MATEMÁTICAS Mayores de 25 añosTema 3. Ecuaciones e inecuaciones.

Ecuaciones algebraicas.Ecuaciones exponenciales.Ecuaciones logarítmicas.Sistemas de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas: método de Gauss.Inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita.

IPEP de Granada

Dpto. de Matemáticas

Tema 3. Ecuaciones e inecuaciones.Ecuaciones algebraicas.Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual.2x + 3 = 5x − 2

Una igualdad puede ser: Falsa:Ejemplo 2x + 1 = 2 · (x + 1)     2x + 1 = 2x + 2    1≠2.CiertaEjemplo 2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2

IdentidadUna identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras.Ejemplo 2x + 2 = 2 · (x + 1)     2x + 2 = 2x + 2    2 = 2

EcuaciónUna ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras.

Ejemplo: x + 1 = 2         Solución: x = 1

Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual.Los términos son los sumandos que forman los miembros.

Las incógnitas son las letras que aparecen en la ecuación.Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.2x − 3 = 3x + 2           x = −52 · (−5) − 3 = 3 · (−5) + 2        − 10 −3 = −15 + 2         −13 = −13 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

Tipos de ecuaciones según su grado Ecuación de primer grado.              5x + 3 = 2x +1Ecuación de segundo grado.           5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de tercer grado.             5x3 + 3 = 2x +x2

Ecuación de cuarto grado.             5x3 + 3 = 2x4 +1

Ecuaciones de primer grado1) Resuelve

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

Despejamos la incógnita:

2) Resuelve

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

3) Resuelve la ecuación

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

4) Resuelve la ecuación

5) Resuelve la ecuación

6) Resuelve la ecuación

7) Resuelve la ecuación

8) Resuelve la ecuación

8) Resuelve la ecuación

Ecuaciones de segundo grado.Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos

1.

2.

3. Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Ecuaciones de segundo grado incompletasSe dice que una ecuación de segundo grado es incompleta cuando alguno de los coeficientes, b o c, o ambos, son iguales a cero.

Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas1. ax2 = 0La solución es x = 0. Ejemplos

2. ax2 + bx = 0 Extraemos factor común x:

Como tenemos un producto igualado a cero o un factor es cero o el otro factor es cero o los dos son cero.

Ejemplos

1.

2.

3. ax2 + c = 0 1. En primer lugar pasamos el término c al segundo miembro cambiado de signo.2. Pasamos el coeficiente a al 2º miembro, dividiendo.3. Se efecúa la raí cuadrada en los dos miembros.

Ejemplos

1.

2.

Por ser el radicando negativo no tiene solución en los números reales

Estudio de las soluciones de la ecuación de 2º gradoDada una ecuación de segundo grado completa: ax2 + bx + c = 0

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación.

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:1. b2 − 4ac > 0La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.Ejemplo

2. b2 − 4ac = 0 La ecuación tiene una solución doble.Ejemplos

3. b2 − 4ac < 0 La ecuación no tiene soluciones reales.Ejemplos

Propiedades de las soluciones de la ecuación de 2º gradoLa suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus solucionesSi conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:Siendo S = x1 + x2 P = x1 · x2 (S es la suma de las soluciones, P es el producto)

Ejemplo: Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.Como la suma de las raíces es S= 3 − 2 = 1 y su producto es P = 3 · 2 = 6, entonces una ecuación de segundo grado con esas soluciones es x2 − x + 6 = 0

Factorización de un trinomio de segundo grado Dada una ecuación de segundo grado completa: ax2 + bx + c = 0 cuyas soluciones son x1 y x2

Entonces, el polinomio ax2 + bx + c se puede descomponer en factores como sigue:ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)

Ejemplo La ecuación tiene como soluciones:

La ecuación 3x2 – 15 x + 18 = 0 tiene las mismas soluciones, sin embargo 3x2 – 15 x + 18 = 3 (x–2) (x–3)

Ecuaciones con radicalesLas ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Por ejemplo:Resolución de ecuaciones con radicales1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.2º Se elevan al cuadrado los dos miembros.3º Se resuelve la ecuación obtenida. 4º Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.5º Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos. Resuelve 1º Aislamos el radical:

2º Elevamos al cuadrado los dos miembros:

3º Resolvemos la ecuación:

4º Comprobamos:La ecuación tiene por solución x = 2.

Resuelve

Resuelve

Comprobamos si es realmente solución:Luego, la ecuación tiene por solución x = 4.

Ejercicios de ecuaciones con radicales1

2

3

Ecuaciones exponenciales.Ecuación exponencialUna ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:1.

2.3. Las propiedades de las potencias.

a0 = 1a1 = a

am · a n = am+n am : a n = am - n (am)n = am · n

an · b n = (a · b) n an : b n = (a : b) n

Resolución de ecuaciones exponenciales

Caso 1Realizar las operaciones necesaria para que en los miembros tengamos la misma base, de modo que podemos igualar los exponentes.

Ejemplos 1.

2.

3.

Caso 2Cuando tenemos una ecuación más compleja podemos recurrir a un cambio de variable.Ejemplos

1 . En primer lugar aplicamos las propiedades de las potencias del producto o el cociente, para quitar las sumas o restas de los exponentes.

Posteriormente realizamos el cambio de variable:

Resolvemos la ecuación y deshacemos el cambio de variable.

2.

3.

Deshacemos el cambio de variable en primer con el signo más.

Como no podemos igualar exponentes tomamos logaritmos en los dos miembros y en el primer miembro aplicamos la propiedad:

Despejamos la x

Con el signo negativo no tendríamos solución porque al aplicar logaritmos en el segundo miembro nos encontraríamos con el logaritmo de un número negativo, que no existe.

Caso 3Para despejar una incógnita que está en el exponente de una potencia, se toman logaritmos cuya base es la base de la potencia.

Ejemplo

Ecuaciones logarítmicas.Ecuación logarítmicaLas ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmoPara resolver ecuaciones logarítmicas vamos a tener en cuenta:1 Las propiedades de los logaritmos.

1

2

3

4

5

6

7

2 Inyectividad del logaritmo:

3 Definición de logaritmo:4 Además tenemos que comprobar las soluciones para verificar que no tenemos logaritmos nulos o negativos.

Ejemplos 1. Resuelve la ecuación logarítmica:

En el primer miembro aplicamos del logaritmo de un producto y en segundo la propiedad del logaritmo de

una potencia:

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos que no obtenemos un logaritmo nulo o negativo.

2. Resuelve la ecuación logarítmica:

En el 2º miembro aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente:

Restamos en los dos miembros log x y teniendo en cuenta que el log 10 = 1, tenemos:

Teniendo en cuenta la definición de logaritmo y que es un logaritmo decimal:

3. Resuelve la ecuación logarítmica:

En primer miembro aplicamos la propiedad del producto y en el 2º la de la potencia de un logaritmo.

Teniendo en cuenta la inyectividad de los logaritmos tenemos:

Resolvemos la ecuación y comprobamos la solución.

4. Resuelve la ecuación logarítmica:

Multiplicamos en los dos miembros por log(3x −4).

En el 2º miembro aplicamos la propiedad de la potencia de un logaritmo y tenemos en cuenta la inyectividad de los logartmos.

Resolvemos la ecuación x = 0 no es solución porque nos encontrariamos al sustituir en la ecuación nos encontraríamos en el denominador un logarítmo negativo.

Sistemas de ecuaciones lineales con no más de tres incógnitas: método de Gauss.Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas

Ejemplo

Método de reducción1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas.3. Se resuelve la ecuación resultante.4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.Ejemplo:

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

Restamos y resolvemos la ecuación:

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

Solución:

Método de sustitución1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.3. Se resuelve la ecuación.4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

Método de igualación1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo:

1 Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

2 Igualamos ambas expresiones:

3 Resolvemos la ecuación:

4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x:

5 Solución:

Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitasEjemplo

Método de Gauss http://www.ditutor.com/ecuaciones_grado2/metodo_gauss.html

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:Todos los coeficientes son ceros.Dos filas son iguales.Una fila es proporcional a otra.Una fila es combinación lineal de otras.Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

El método de Gauss consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1º Ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incógnitas.

2º Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:E'2 = E2 − 3E1

3º Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.E'3 = E3 − 5E1

4º Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.E''3 = E'3 − 2E'2

5º Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6º Encontrar las soluciones.z = 1 − y + 4 · 1 = −2         y = 6

x + 6 −1 = 1          x = −4

Ejercicios. Resuelve utilizando el método de Gauss:

Solución: En el sistema

realizamos

Resuelve utilizando el método de Gauss:

Solución: En el sistema

realizamos

2. Método de Gauss utilizando matricesPara facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta

Ejemplos

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

Resuelve el sistema de ecuaciones lineales

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita.InecuacionesUna inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:< menor que 2x − 1 < 7 ≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7> mayor que 2x − 1 > 7≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

Inecuaciones equivalentesSi a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

Resolución de inecuaciones de primer grado1º Quitar paréntesis. 2º Quitar denominadores.3º Agrupar los términos en x a un lado de la desigualdad y los términos independientes en el otro.4º Efectuar las operaciones5º Como el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad.6º Despejamos la incógnita.Obtenemos la solución como una desigualdad, pero ésta también podemos expresarla:De forma gráficaComo un intervalo

Resolución de sistemas de inecuaciones con una incógnitaSe resuelve cada inecuación por separado, siendo el conjunto solución del sistema la intersección de los conjuntos soluciones de ambas inecuaciones.Ejemplos

1.

[−1, 3]

2.

(3, ∞)

3.

No tiene solución.