Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Método de igualación

1) 𝑎 + 𝑏 = 9𝑎 − 𝑏 = 1

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Suele ser mejor utilizar la que tenga los coeficientes iguales, positivos o lo más pequeños posible. Por ejemplo, vamos a igualar por la a:

𝑎 = 9 − 𝑏𝑎 = 1 + 𝑏

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

9 − 𝑏 = 1 + 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

9 − 𝑏 − 9 = 1 + 𝑏 − 9

−𝑏 = −8 + 𝑏

−𝑏 − 𝑏 = −8 + 𝑏 − 𝑏

−2𝑏 = −8

𝑏 = 4 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑎 = 1 + 𝑏 Podemos cambiar la b por 4 que es su valor:

𝑎 = 1 + 4

𝑎 = 5 Con lo que la solución del sistema es (+5, +4)

2) 2𝑥 − 𝑦 = 9

3𝑥 − 7𝑦 = 19}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la x:

2𝑥 = 9 + 𝑦3𝑥 = 19 + 7𝑦

}

𝑥 =9 + 𝑦

2

𝑥 =19 + 7𝑦

3

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

9 + 𝑦

2=

19 + 7𝑦

3

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

3 · (9 + 𝑦) = 2 · (19 + 7𝑦)

27 + 3𝑦 = 38 + 14𝑦

−11𝑦 = 11

𝑦 = −1 Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑥 =9 + 𝑦

2

Podemos cambiar la 𝑦 por −1 que es su valor:

𝑥 =9 + (−1)

2

𝑥 = 4

Con lo que la solución del sistema es (+4, −1)

3) 5𝑥 + 𝑦 = 57𝑥 − 𝑦 = 13

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:

𝑦 = 5 − 5𝑥−𝑦 = 13 − 7𝑥

}

Multiplicamos la segunda ecuación por −1:

𝑦 = 5 − 5𝑥𝑦 = −13 + 7𝑥

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

5 − 5𝑥 = −13 + 7𝑥 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

−12𝑥 = −18

𝑥 =−18

−12

𝑥 = +3

2

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑦 = 5 − 5𝑥

Podemos cambiar la 𝑥 por 3

2 que es su valor:

𝑦 = 5 − 5 ⋅ (+3

2)

𝑦 = 5 −15

2

𝑦 =10

2−

15

2

𝑦 = −5

2

Con lo que la solución del sistema es (+3

2, −

5

2)

4) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:

13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥

}

𝑦 =23 − 11𝑥

13

𝑦 =25 − 13𝑥

11

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

23 − 11𝑥

13=

25 − 13𝑥

11

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)

253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥

48𝑥 = 72

𝑥 =72

48

𝑥 =3

2

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑦 =23 − 11𝑥

13

Podemos cambiar la 𝑥 por 3

2 que es su valor:

𝑦 =23 − 11 (

32)

13

𝑦 =23 −

332

13

𝑦 =

462 −

332

13

𝑦 =

132

13

𝑦 =

132

131

𝑦 =1 · 13

2 · 13

𝑦 =1

2

Con lo que la solución del sistema es (+3

2, +

1

2)

5) 11𝑥 + 13𝑦 = 2313𝑥 + 11𝑦 = 25

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:

13𝑦 = 23 − 11𝑥11𝑦 = 25 − 13𝑥

}

𝑦 =23 − 11𝑥

13

𝑦 =25 − 13𝑥

11

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

23 − 11𝑥

13=

25 − 13𝑥

11

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

11 · (23 − 11𝑥) = 13 · (25 − 13𝑥)

253 − 121𝑥 = 325 − 169𝑥

48𝑥 = 72

𝑥 =72

48

𝑥 =3

2

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑦 =23 − 11𝑥

13

Podemos cambiar la 𝑥 por 3

2 que es su valor:

𝑦 =23 − 11 (

32)

13

𝑦 =23 −

332

13

𝑦 =

462

−332

13

𝑦 =

132

13

𝑦 =

132

131

𝑦 =1 · 13

2 · 13

𝑦 =1

2

Con lo que la solución del sistema es (+3

2, +

1

2)

6) 5𝑥 − 4𝑦 =

49

6

2𝑥 + 3𝑦 = 14}

Quitamos denominadores de la primera ecuación multiplicándola por 6: 30𝑥 − 24𝑦 = 49

2𝑥 + 3𝑦 = 14}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:

30𝑥 = 49 + 24𝑦2𝑥 = 14 − 3𝑦

}

𝑥 =49 + 24𝑦

30

𝑥 =14 − 3𝑦

2

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

49 + 24𝑦

30=

14 − 3𝑦

2

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

2 · (49 + 24𝑦) = 30 · (14 − 3𝑦)

98 + 48𝑦 = 420 − 90𝑦

138𝑦 = 322

𝑦 =322

138

𝑦 =2 · 7 · 23

2 · 3 · 23

𝑦 =7

3

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑥 =14 − 3𝑦

2

Podemos cambiar la 𝑦 por 7

3 que es su valor:

𝑥 =14 − 3 · (

73)

2

𝑥 =14 − 7

2

𝑥 =7

2

Con lo que la solución del sistema es (+7

2, +

7

3)

7) 3𝑥 + 7𝑦 = 27𝑥 + 8𝑦 = −2

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:

3𝑥 = 2 − 7𝑦7𝑥 = −2 − 8𝑦

}

𝑥 =2 − 7𝑦

3

𝑥 =−2 − 8𝑦

7

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

2 − 7𝑦

3=

−2 − 8𝑦

7

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

7 · (2 − 7𝑦) = 3 · (−2 − 8𝑦)

14 − 49𝑦 = −6 − 24𝑦

−25𝑦 = −20

𝑦 =−20

−25

𝑦 =4

5

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑥 =2 − 7𝑦

3

Podemos cambiar la 𝑦 por 4

5 que es su valor:

𝑥 =2 − 7 · (

45

)

3

𝑥 =2 −

285

3

𝑥 =

105

−285

3

𝑥 =

−1853

𝑥 =

−18531

𝑥 = −18

15

𝑥 = −6

5

Con lo que la solución del sistema es (−6

5, +

4

5)

8) 4𝑥 + 6𝑦 = 11

17𝑥 − 5𝑦 = 1}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑥:

4𝑥 = 11 − 6𝑦

17𝑥 = 1 + 5𝑦}

𝑥 =11 − 6𝑦

4

𝑥 =1 + 5𝑦

17

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

11 − 6𝑦

4=

1 + 5𝑦

17

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

17 · (11 − 6𝑦) = 4 · (1 + 5𝑦)

187 − 102𝑦 = 4 + 20𝑦

−122𝑦 = −183

𝑦 =−183

−122

𝑦 =3 · 61

2 · 61

𝑦 =3

2

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑥 =11 − 6𝑦

4

Podemos cambiar la 𝑦 por 3

2 que es su valor:

𝑥 =11 − 6 · (

32)

4

𝑥 =11 − 9

4

𝑥 =2

4

𝑥 =1

2

Con lo que la solución del sistema es (+1

2, +

3

2)

9) 8𝑥 − 4𝑦 = 69𝑥 − 3𝑦 = 6

}

Podemos simplificar las ecuaciones dividiendo la primera entre 2 y la segunda entre 3:

4𝑥 − 2𝑦 = 33𝑥 − 𝑦 = 2

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑦:

−2𝑦 = 3 − 4𝑥−𝑦 = 2 − 3𝑥

}

Multiplicamos las dos ecuaciones por −1:

2𝑦 = −3 + 4𝑥𝑦 = −2 + 3𝑥

}

𝑦 =−3 + 4𝑥

2𝑦 = −2 + 3𝑥

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

−3 + 4𝑥

2= −2 + 3𝑥

Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

(−3 + 4𝑥) = 2 · (−2 + 3𝑥)

−3 + 4𝑥 = −4 + 6𝑥

−2𝑥 = −1

𝑥 =−1

−2

𝑥 =1

2

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑦 = −2 + 3𝑥

Podemos cambiar la 𝑥 por 1

2 que es su valor:

𝑦 = −2 + 3 (1

2)

𝑦 = −2 +3

2

𝑦 = −4

2+

3

2

𝑦 = −1

2

Con lo que la solución del sistema es (+1

2, −

1

2)

10) 37,43:.80

6Sol

ba

ba

𝑎 − 𝑏 = 6𝑎 + 𝑏 = 80

}

Despejamos la misma incógnita en las dos ecuaciones. Vamos a igualar por la 𝑎:

𝑎 = 6 + 𝑏𝑎 = 80 − 𝑏

}

Igualamos las dos expresiones resultantes:

6 + 𝑏 = 80 − 𝑏 Resolvemos esta ecuación donde ya sólo hay una incógnita:

2𝑏 = 74

𝑏 = 37

Volvemos ahora a cualquiera de las expresiones donde habíamos despejado la incógnita:

𝑎 = 6 + 𝑏 Podemos cambiar la 𝑏 por 37 que es su valor:

𝑎 = 6 + (37)

𝑎 = 43 Con lo que la solución del sistema es (+43, +37)