líneas de investigación - universidad de santiago de chile•obtener una solución analítica del...

Líneas de investigación

1. Aplicación del fenómeno de resonancia en flujo viscoelástico con aumento de eficiencia energética.

2. Análisis de transferencia de calor en intercambiadores tubulares.

3. Estudio comparativo de tres modelos de fluidos que predicen flujos secundarios.

4. Rediseño de tubos de transporte de flujos viscoplásticos para evitar zonas de estancamiento.

Santiago de Chile2019

Equipo de trabajo:Diego Almendra

Paola MerinoLeandro Arancibia

Profesor: Mario Letelier

1. Aplicación del fenómeno de resonancia en flujo viscoelástico con aumento de eficiencia energética


EQUIPO DE TRABAJO:Mario Letelier

Diego Almendra

Objetivos

Santiago de Chile/2019 DIMEC - USACH 3

Objetivo general

Estudiar, en ductos circulares y bajo condiciones de resonancia, el efecto que las propiedades viscoelásticas producen sobre el gasto energético cuando se le compara con fluidos Newtonianos.

Objetivos específicos

• Utilizar un gradiente de presión axial pulsante para inducir resonancia sobre un fluido viscoelástico no lineal de Johnson-Segalman.

• Obtener una solución analítica del campo de velocidad mediante aproximación asintótica.

• Estudiar el efecto que producen las propiedades viscoelásticas sobre el ahorro energético al comparar las potencias medias del fluido en estudio con uno Newtoniano de igual caudal promedio.

Introducción


El problema a estudiarEl transporte de fluidos es un problema cuya solución consiste en inducir una caída de presión que cambie linealmente en la dirección axial. Sin embargo, esta puede volverse variable en el tiempo si se considera un gradiente de presión pulsante (periódico). Para que esto implique una ganancia energética, ha de esperarse un incremento en el caudal medio, lo cual sólo es posible en fluidos que presentan elasticidad en su estructura molecular. Con ello en mente, se estudia el transporte de un fluido de naturaleza viscoelástica al interior de un ducto de sección circular en condiciones pulsantes.

Geometría

Esquema bombeo pulsante

Introducción


Efecto de la resonanciaEl fenómeno de resonancia ocurre cuando la frecuencia de impulsión es coincidente con uno de los modos naturales que tiene el fluido viscoelástico de vibrar. Su efecto puede resultar positivo o negativo según sea la aplicación. En el caso de transporte de fluidos, su presencia resulta favorable, ya que a diferencia de fluidos sin elasticidad o completamente viscosos (Newtoniano), el caudal medio no es indiferente de la frecuencia de impulsión. El fenómeno de resonancia en fluidos viscoelásticos resulta ser un fenómeno acotado, gracias a la presencia del elemento viscoso que actúa como disipador.

Elemento viscoso

Elemento elástico

Fenómenos

Metodología


Procedimiento1. Considerar ecuación de momentum y modelo viscoelástico en simetría axial.

2. Utilizar un gradiente de presión pulsante como caída de presión axial.

3. Adimensionalizar las ecuaciones en función del número de Weissenberg.

4. Utilizar un método asintótico en torno al parámetro de deslizamiento 𝜉 y expandir las incógnitas, considerando un error 𝑶 𝜉2 .

5. Resolver los sistemas por orden de potencias de 𝜉.

6. Conocido el campo de velocidad, determinar la potencia media y compararla con la que experimentan los fluidos Newtonianos en igualdad de caudal promedio.

Metodología


1. Considerar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) dado por:

Ecuación de momentum Modelo de Johnson-Segalman

𝜌 Ԧ𝑣 ∙ ∇ Ԧ𝑣 = ∇ ∙ −𝑝𝑰 + 𝝉 𝝉 + 𝜆ො𝝉 = 2𝜂0𝑫

ො𝝉 =𝐷𝝉

𝐷𝑡− ∇ Ԧ𝑣T − 𝜉𝑫 𝝉 − 𝝉 ∇ Ԧ𝑣T − 𝜉𝑫

TNomenclatura

Ԧ𝑣 = (𝑢, 𝑣, 𝑤) es el vector velocidad.

∇ es el vector gradiente. ∇ Ԧ𝑣 es el tensor gradiente de velocidad.

𝝉 es el tensor de corte. 𝑫 es el tensor de deformaciones. 𝐷 es la derivada material. T es la operación traspuesta.

𝜌 es la densidad, 𝜆 es el tiempo de relajación y𝜂0 la viscosidad absoluta. Todos constantes.

Supuestos

Flujo laminar e incompresible.

Flujo desarrollado y axisimétrico → se satisface continuidad inequívocamente.

𝜉 es el parámetro de deslizamiento, constante.

Metodología


2. Adimensionalizar sistema de EDP y acoger los supuestos previos:

Momentum axial (z) Modelo de Johnson-Segalman

Constantes• El número de Weissenberg Wi y el parámetro de deslizamiento 𝜉.

• La amplitud de gradiente de presión 𝜙0∗ y el factor de amplitud 휀.

• La frecuencia de oscilación 𝜔∗.

𝜕𝑤∗

𝜕𝑡∗−1

𝑟∗𝜕

𝜕𝑟∗𝑟∗𝜏𝑟𝑧

∗ = −𝜕𝑝∗

𝜕𝑧∗𝝉∗ +Wiො𝝉∗ = 2𝑫∗

ො𝝉∗ =𝐷𝝉∗

𝐷𝑡∗− ∇ Ԧ𝑣∗

T− 𝜉𝑫∗ 𝝉∗ − 𝝉∗ ∇ Ԧ𝑣∗

T− 𝜉𝑫∗

T−𝜕𝑝∗

𝜕𝑧∗= 𝜙0

∗ 1 + 휀 sin 𝜔∗𝑡∗

Metodología


3. Expandir asintóticamente las incógnitas en torno al parámetro de deslizamiento 𝜉:

Series asintóticas

Notas:• Las componentes no nulas del tensor de corte 𝝉 son 𝜏𝑟𝑟, 𝜏𝑟𝑧 y 𝜏𝑧𝑧.

• Se omiten los ∗ para no sobrecargar notación, sin olvidar que todo es adimensional.

• En el sistema de EDP, se factoriza por potencias de 𝜉, asumiendo un error 𝑂 𝜉2 , y se iguala a cero. Como 𝜉 no es nulo, entonces todo lo que acompaña a las potencias de 𝜉 es cero por sí mismo. Por lo tanto, se obtienen dos sistemas de EDP por cada potencia.

• Los sistemas se resuelven por orden creciente de potencias de 𝜉, empezando por 𝜉0.

• Las condiciones de borde se aplican a la velocidad axial 𝑤(𝑚), con 𝑚 = 1 y 2.

𝑤 = 𝑤(0) + 𝜉𝑤(1) + 𝑶 𝜉2 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑖𝑗(0) + 𝜉𝜏𝑖𝑗

(1) + 𝑶 𝜉2𝑤(𝑚)|𝑟=1 = 0,

𝑤(𝑚)|𝑟=0 < ∞,

𝑚 = 1 y 2.

Metodología


4. Resolver el sistema de orden cero, y luego, el sistema de orden uno:

Solución de orden cero 𝝃𝟎

Solución de orden uno 𝝃𝟏

Ψ1 a Ψ7 son constantes que dependen de 𝜔, Wi, 휀 y 𝜉. 𝜆𝑛 son los ceros de la función Bessel de ordencero de primer tipo 𝐽0.

𝑤(0) = 𝜙0

1 − 𝑟2

4+ 휀

𝜙0

2𝜔

𝐽0 𝜆0𝑟

𝐽0 𝜆0𝑒−𝑖𝜔𝑡 +

𝐽0 ҧ𝜆0𝑟

𝐽0 ҧ𝜆0𝑒𝑖𝜔𝑡 − 2cos 𝜔𝑡

𝜆0 = 𝜔 𝜔Wi + 𝑖ҧ𝜆0 = 𝜔 𝜔Wi − 𝑖

𝑤(1) =

𝑛=1

∞Ψ1

𝜆𝑛2 +

𝑘=1

3Ψ2𝑘𝑒

𝑖𝑘𝜔𝑡

𝜆𝑛2 + 𝑘𝜔 𝑖 − 𝑘𝜔Wi

+Ψ2𝑘+1𝑒

−𝑖𝑘𝜔𝑡

𝜆𝑛2 − 𝑘𝜔 𝑖 + 𝑘𝜔Wi

𝐽0 𝜆𝑛𝑟

Metodología


5. Determinar el caudal, caudal promedio, razón de potencias medias y ahorro energético:

Caudal Caudal medio

Razón de Potencias medias Ahorro energético

ഥሶ𝑊 indica potencia media, ത𝜙 indica gradiente de presión medio. Los subíndices 𝑣 y 𝑛 indicanviscoelástico y Newtoniano, respectivamente . 𝐽1 es la función Bessel de orden uno de primer tipo.

𝑄 = 2න0

1

𝑤𝑟𝑑𝑟 = 𝑄0 + 𝜉𝑄1 + 𝑶 𝜉2 ത𝑄 =𝜔

2𝜋න0

2𝜋/𝜔

𝑄𝑑𝑡 = ത𝑄0 + 𝜉 ത𝑄1 + 𝑶 𝜉2

𝐸𝑠 = 1 −𝜙0

8𝜙08+ 2𝜉 σ𝑛=1

∞ Ψ1

𝜆𝑛3 𝐽1 𝜆𝑛

= 1 −ഥሶ𝑊𝑣

ഥሶ𝑊𝑛

ഥሶ𝑊𝑣

ഥሶ𝑊𝑛

=ത𝑄𝑣 ത𝜙𝑣ത𝑄𝑛 ത𝜙𝑛

=ത𝜙𝑣ത𝜙𝑛

Resultados


Caudal medio Newtoniano Caudal medio viscoelástico

𝜙0 = 1, Wi = 0. 𝜙0 = 1, ξ = 0.1, 휀 = 1.

Resultados


Ahorro energético

𝜙0 = 1, ξ = 0.1. 𝜙0 = 1, ξ = 0.15.

Trabajos futuros


1. Para fluido viscoelástico de JS con gradiente de presión pulsante: determinación del campo de temperatura en el problema de flujo de calor constante con disipación viscosa.

2. Para fluido viscoelástico de JS con gradiente de presión pulsante: determinación del campo de temperatura en el problema de Graetz con disipación viscosa.

3. Para fluido viscoelástico de JS con gradiente de presión pulsante: determinación del campo de velocidad para geometrías no circulares.

2. Análisis de transferencia de calor en intercambiadores tubulares excéntricos



Diego Almendra

Objetivos


Objetivo general

Estudiar, en un ducto anular y bajo condiciones de flujo de calor constante, el efecto que las propiedades viscoelásticas y excentricidad producen sobre la transferencia de calor.

Objetivos específicos

• Utilizar un gradiente de presión axial constante sobre un fluido viscoelástico no lineal de Phan-Thien-Tanner modificado.

• Obtener una solución analítica del campo de velocidad mediante aproximación asintótica.

• Estudiar el efecto que producen la excentricidad y propiedades viscoelásticas sobre el aumento de la transferencia de calor al comparar la capacidad de transporte del fluido en estudio con uno Newtoniano (en curso).

Introducción


El problema a estudiarLa transferencia de calor entre dos fluidos en movimiento es un problema en el que una de sus soluciones es la utilización de intercambiadores tubulares. Sin embargo, su rendimiento puede verse mejorado al alterar la geometría y el fluido de trabajo. Esto es posible al inducir flujos transversales, los cuales sólo se formarán si se cumple con dos condiciones: asimetría en la geometría y elasticidad en las propiedades del fluido. Con ello en mente, se estudia el transporte de un fluido de naturaleza viscoelástica al interior de un ducto de sección circular anular con gradiente de presión axial constante.

Geometría

Metodología


Procedimiento1. Considerar ecuación de momentum y modelo viscoelástico o MPTT.

2. Utilizar un gradiente de presión constante como caída de presión axial.

3. Adimensionalizar las ecuaciones en función del número de Weissenberg Wi.

4. Utilizar un método asintótico en torno a dicho parámetro y expandir las incógnitas, considerando un error 𝑶 Wi4 .

5. Resolver los sistemas por orden de potencias de Wi, utilizando el factor de forma en cada uno de ellos.

6. Conocido el campo de velocidad, estudiar el efecto que produce la excentricidad del ducto interior sobre los flujos transversales o secundarios vía función corriente.

Metodología


1. Considerar el sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) dado por:

Ecuación de momentum Modelo de MPTT

𝜌 Ԧ𝑣 ∙ ∇ Ԧ𝑣 = ∇ ∙ −𝑝𝑰 + 𝝉 ෬𝑔𝝉 + 𝜆ො𝝉 = 2𝜇𝜂0𝑫

ො𝝉 =𝐷𝝉

𝐷𝑡− ∇ Ԧ𝑣T − 𝜉𝑫 𝝉 − 𝝉 ∇ Ԧ𝑣T − 𝜉𝑫

TNomenclatura

𝜖 es un parámetro material y 𝜂𝑚0 es la viscosidad de contribución molecular de velocidad de corte cero. Ambas constantes.

Γ es una constante de tiempo, 𝑛 es el índice de ley de potencia.

෬𝑔 = 1 +𝜆𝜖

𝜂𝑚0𝑇𝑟 𝝉

𝜇 =1 + 2𝜉 2 − 𝜉 𝜆2𝑇𝑟 𝑫2

1 + 2Γ2𝑇𝑟 𝑫21−𝑛2

Se estudia 𝑛 = 1.

Metodología


2. Adimensionalizar sistema de EDP y acoger los supuestos previos:

Ecuación de momentum Modelo de MPTT

Constantes• El número de Weissenberg Wi y el parámetro de deslizamiento 𝜉.

• La amplitud de gradiente de presión 4𝜙0∗ y el parámetro material 𝜖.

𝝉∗ = 2𝑫∗ + 𝚾∗

ො𝝉∗ =𝐷𝝉∗

𝐷𝑡∗− ∇ Ԧ𝑣∗

T− 𝜉𝑫∗ 𝝉∗ − 𝝉∗ ∇ Ԧ𝑣∗

T− 𝜉𝑫∗

T

Ԧ𝑣∗ ∙ ∇∗ Ԧ𝑣∗ = ∇∗ ∙ −𝑝∗𝑰 + 𝝉∗

𝚾∗ = 4𝜉 2 − 𝜉 Wi2𝑇𝑟 𝑫∗2 −Wi 𝜖 𝑇𝑟 𝝉∗ + ො𝝉∗

−𝜕𝑝∗

𝜕𝑧∗= −4𝜙0

∗

Metodología


3. Expandir asintóticamente las incógnitas en torno al número de Weissenberg Wi:

Series asintóticas Método de factor de forma

Factor de forma anular

𝐺 = 1 − 𝑟2 + 𝑎 ln 𝑟 + 휀 𝑟 cos 𝜃Notas

𝑎: parámetro de tamaño de ducto interior.휀: Parámetro de excentricidad.𝜓: función corriente.

𝑓0(𝑘)

, 𝑓1(𝑘)

y ℎ1𝑘

se despejan en función de 𝑤(𝑘) o 𝜓(𝑘)

por potencias de 휀.

𝑤(𝑘) = 𝑤0(𝑘)

+ 휀𝑤1(𝑘)

= 𝐺 𝑓0𝑘+ 휀𝑓1

𝑘+ 𝑶 휀2

𝜓(𝑘) = 휀𝜓1(𝑘)

= 𝐺2 휀ℎ1𝑘

+𝑶 휀2

Υ =

𝑘=0

3

Wi𝑘Υ(𝑘) + 𝑶 Wi4

Υ es cualquier campo.

Metodología


4. Resolver los sistemas de orden cero a tres consecutivamente:

Función corriente a tercer orden 𝑾𝒊𝟑

𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 y 𝑑1 son constantes que se determinan con las condiciones de regularidad:

𝜓(3) =휀𝜖 −1 + 𝜉 𝜉𝜙0

4𝐺2𝑔(𝑟) sin 𝜃

1 − 𝑟2 + 𝑎 ln 𝑟 2

𝑔 𝑟 =𝑎1𝑟+ 𝑏1𝑟 + 𝑐1𝑟 ln 𝑟 + 𝑑1𝑟

3 +3 −1 + 𝛽2

8𝑟 ln 𝛽 3 4 ln 𝛽 2 𝑟4 5 − 4 ln 𝑟 —1 + 𝛽2 2 5 + 4 ln 𝑟

𝑎 =𝛽2 − 1

ln 𝛽

𝑔 1 = 𝑔′ 1 = 𝑔 𝛽 = 𝑔′ 𝛽 = 0

Resultados


Flujos secundarios

𝑎 = 0.8, 휀 = −0.22. 𝑎 = 1, 휀 = −0.15. 𝑎 = 0.6, 휀 = −0.224.

Considere 𝜙0 = 1, Wi = 0.2 y 𝜖 = 𝜉 = 0.3 en cada caso.

Trabajos futuros


Para fluido viscoelástico de MPTT con gradiente de presión constante:

1. Determinación del campo de temperatura en el problema de flujo de calor constante con disipación viscosa (en curso).

2. Determinación del campo de temperatura en el problema de Graetz con disipación viscosa.

3. Determinación del campo de velocidad para geometrías anulares circulares con frontera exterior no circular.

3. Estudio comparativo de tres modelos de fluidos que predicen flujos secundarios


EQUIPO DE TRABAJO:Mario LetelierPaola Merino

Objetivos


Objetivo General• Contribuir a la simplificación de los modelos matemáticos que describen los flujos

secundarios en tuberías.

Objetivos Específicos• Comparación de tres modelos constitutivos.

• Encontrar de flujos secundarios mediante el método de factor forma y expansión asintótica.

• Exponer resultados a través de gráficos de contorno y cuadro resumen.

• Analizar la composición de la función corriente en cada uno de los modelos que se planteanen diferentes teorías.

• Indagar sobre los diversos motivos de la formación de flujos secundarios por medio de lacomposición de los modelos constitutivos.

• Dar a conocer la relevancia de los flujos secundarios en el ámbito de la ingeniería.

Metodología


Contextualización de problema.• Los flujos secundarios en tuberías es un fenómeno que nace

por la existencia de componentes del campo velocidad radialy azimutal, formando una trayectoria helicoidal en ladescripción del movimiento de cualquier partícula presenteen el fluido.

• La producción de flujos secundarios se origina principalmenteen fluidos viscoelásticos en ductos y/o tuberías que poseenuna sección no circular.

• Dado la formación de flujos secundarios, la convecciónnatural que se produce en este tipo de fluido tambiénfavorece la transferencia de calor por las paredes del ducto.Las diferentes formas del ducto facilitaran el paso de laenergía a través de las paredes, buscándose mejorar surendimiento.

Metodología


Consideraciones iniciales para el estudio

• Descripción de la tubería:

Área no circular.

Largo considerable con respecto a su sección transversal.

Impulsión mediante a gradiente de presiones.

• Sistema de coordenadas:

Cilíndrica.

• Propiedades de fluido viscoelástico de trabajo:

Fluido isotérmico.

Flujo estacionario.

Flujo completamente desarrollado.

Flujo laminar.

Metodología


Modelos en análisis:

Modelos Denominación Ecuaciones

Giesekus

Esfuerzos totales 𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗𝑝

Ecuación constitutiva

𝜏𝑖𝑗𝑝 + 𝜆1 Ƹ𝜏𝑖𝑗𝑝 + 𝛼𝜆1𝜂𝑝

𝜏𝑖𝑗𝑝 ∙ 𝜏𝑖𝑗𝑝 = 2𝜂𝑝𝐷𝑖𝑗

Derivada convectiva Ƹ𝜏𝑖𝑗𝑝 =

𝐷 𝜏𝑖𝑗𝑝

𝐷𝑡− 𝛻𝑉

𝑇∙ 𝜏𝑖𝑗𝑝 + 𝜏𝑖𝑗𝑝 ∙ 𝛻𝑉

MPTT

Esfuerzos totales 𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 𝜏𝑖𝑗

Ecuación constitutiva

𝜏𝑖𝑗 1 +𝜆 𝜖0𝜂0

𝑡𝑟 𝜏𝑖𝑗 + Ƹ𝜏𝑖𝑗𝜆 = 2𝜂0𝐷𝑖𝑗 1 + 𝜉 2 − 𝜉 𝜆2 ሶ𝛾2 ; ሶ𝛾 = 2 𝑡𝑟 𝐷𝑖𝑗2

Derivada convectiva

ሶƸ𝜏𝑖𝑗 =

𝐷 𝜏𝑖𝑗

𝐷𝑡− 𝜏𝑖𝑗 ∙ 𝜑 𝑇 + 𝜑 ∙ 𝜏𝑖𝑗 ; 𝜑 = 𝛻𝑉

𝑇− 𝜉𝐷𝑖𝑗

Viscometrico de cuarto orden

Esfuerzos totales 𝜎𝑖𝑗 = −𝑝𝛿𝑖𝑗 + 2𝜂𝐷𝑖𝑗 + 𝐶𝑁𝑁

Contribución no Newtoniana 𝐶𝑁𝑁 = 𝑘 𝐷𝑖𝑗

4

Metodología


Método Solución.

Giesekus y MPTT

Viscometrico

𝐺 = 1 − 𝑟2 + 𝜖𝑟𝑛 sin 𝑛𝜃 𝜖𝑐 =2

𝑛

𝑛 − 2

𝑛

𝑛−22

Φ = Φ 0 +𝑊𝑖Φ 1 +⋯ =

𝑖=0

𝑁

𝑊𝑖𝑖Φ 𝑖

Φ = Φ 0 + 𝑘Φ 1 +⋯ =

𝑖=0

𝑁

𝑘𝑖Φ 𝑖

2) Metodo de factor forma: método que permite tomaruna solución base y perturbar la geometría en cuestiónmediante a una factor 𝐺 dado, en función de unparámetro 𝜖, quien perturba la geometría, y 𝑛, que esnumero de vértices de la figura. Si 𝜖 llegase a tomarvalores críticos, obligatoriamente 𝜖 = 𝜖𝑐

1) Adimensionalización de las variables enecuaciones gobernantes: en este caso, lasecuaciones gobernantes para cada modelo enestudio es adimensionalizado para su posterioranálisis futuro, dejándose en función del númerode Weissenberg 𝑊𝑖 (en el caso de Giesekus yMPTT) y el parámetro 𝑘 (en el caso delviscométrico).

3) Expansión Asintótica: cada variableindependiente Φ extiende como una seriede potencias, el cual estará caracterizadopor un parámetro adimensional propio delfluido. En el caso de Giesekus y MPTT, seráen función de 𝑊𝑖; mientras que el modeloviscométrico será en función de 𝑘.

Φ = 𝐷𝑖𝑗 , 𝑃, 𝜎𝑖𝑗 , 𝜏𝑖𝑗 , 𝑉

Resultados


Cuadro resumen función corriente.

Modelos Expresión de Función Corriente 𝜓

Giesekus3𝑛 𝑛 − 1 𝑛 + 4 𝐺2

2 𝑛 + 1 𝑛 + 2𝑝4𝑟𝑛𝛼2 1 − 𝛼 𝜖 cos 𝑛𝜃 𝑊𝑖3

MPTT𝑛 𝑛 − 1 𝑛 + 4 𝐺2

𝑛 + 1 𝑛 + 2𝑝4𝑟𝑛𝜖0 1 − 𝜉 𝜉𝜖 cos 𝑛𝜃 𝑊𝑖3

Viscometrico de cuarto orden

𝑛 𝑛 − 1 𝑛 + 4 𝐺2

32 𝑛 + 1 𝑛 + 2𝑝4𝑟𝑛𝜖 cos 𝑛𝜃 𝑘

Relación entre modelos.

ห𝝍 𝟑 𝒓, 𝜽𝑴𝑷𝑻𝑻

ห𝝍 𝟏 𝒓, 𝜽𝑽𝒊𝒔𝒄𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐

= 𝟑𝟐𝝐𝟎 𝟏 − 𝝃 𝝃

ห𝝍 𝟑 𝒓, 𝜽𝑮𝒊𝒆𝒔𝒆𝒌𝒖𝒔

ห𝝍 𝟏 𝒓, 𝜽𝑽𝒊𝒔𝒄𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒐

= 𝟒𝟖𝜶𝟐 𝟏 − 𝜶

Se determinan la existencia de flujos secundarios para el tercer orden en 𝑊𝑖 en los modelos de Giesekus y MPTT;mientras que el modelo viscométrico se encuentra en el primer orden en 𝑘.

Se comprueba que la función corriente es dependiente de la forma que tenga la sección transversal y, por ende, elnumero de los vórtices que contenga el ducto estará relacionado con el numero de vértices 𝑛.

La manifestación de flujos secundarios estará sujeto a los productos escalares de los tensores de esfuerzos extraspresentes en las ecuaciones constitutivas en cada modelo.

Resultados


Los vórtices presentes en el fluido se adaptan a laforma de la sección transversal, donde su sentidode giro será el opuesto al vórtice vecino.

A pesar de ser diferentes valores en las líneas decorriente, la forma no cambiara, por lo explicadoanteriormente.

Sus máximos estarán presentes en el centro delvórtice, disminuyendo un 25% al acercarse a laperiferia de éste.

Resultados


Los efectos que provoca al aumentar el valor de 𝑊𝑖 y 𝑘,en comparación con las graficas anteriores, repercuteque en los máximos sean 10 veces mas grande en elmodelo viscométrico que en los modelos de Giesekus yMPTT, acrecentando la diferencia cuando estosdisminuyen.

La expansión asintótica en cada uno de los modelos hacela gran diferencia entre ellos debido a los distintos ordenen que son encontrados los flujos secundarios.

Trabajos futuros


1. Estudio de transferencia de calor para otros modelos viscoelásticos oviscoelastoplásticos.

2. Análisis de flujos secundarios de un ducto no circular que contiene aun banco de tubos circulares por medio del modelo de Giesekus.

3. Estudio de eficiencia energética en un ducto de sección circular quecontiene a un banco de ductos de sección no circular mediante almodelo de MPTT.

4. Rediseño de tubos de transporte de flujos viscoplásticos para evitar zonas de estancamiento



Leandro Arancibia

Objetivos


1. Objetivo general• Determinar analíticamente la conformación de la zona de estancamiento en el transporte de

flujos viscoplásticos bajo el modelo plástico de Bingham en la cercanía de la esquina de unducto, para el rediseño de su sección transversal y la optimización del caudal netotransportado.

2. Objetivos específicos• Desarrollar una metodología analítica para obtener y localizar la zona de estancamiento en

una esquina para un flujo plástico de Bingham.

• Determinar las curvas de velocidad constante en un flujo plástico de Bingham a través de una esquina para distintos números de Bingham y ángulos de apertura del vértice.

• Desarrollar analíticamente una propuesta de solución para evitar zonas de estancamiento mediante el rediseño de la sección transversal del tubo.

• Optimizar el caudal neto transportado mediante la propuesta de solución desarrollada.

Introducción


• La formación de zonas de estancamiento en los flujos plásticos de Bingham está asociada al esfuerzode fluencia propio del modelo constitutivo y a la geometría de la sección transversal del ducto,formándose en las esquinas como en ductos triangulares o rectangulares.

Este estudio se basa en aplicar fuertemente el criterio ingenieril para minimizar las pérdidas energéticas,y proponer/analizar el rediseño de la sección transversal para la optimización del caudal transportado.

Metodología

1. Descripción física• Se plantea un modelo bidimensional para el análisis de la

sección transversal del ducto en coordenadas cartesianas(x,y) en términos adimensionales, cuyo vértice esta definidopor dos paredes no paralelas.

• El problema consiste en analizar la conformación de la zonade estancamiento en un flujo paralelo de Bingham en lacercanía de la esquina de un ducto y su efecto en el caudalneto.

• Se desarrolla una solución analítica aproximada basada enel método de expansión asintótica con perturbación entérminos del número de Bingham acoplado a la expansiónde la ecuación de momento lineal en un ajuste por seriesde Taylor para pequeñas plasticidades.


Metodología


2. Supuestos y condiciones de borde• El estudio se realiza con algunos supuestos que se aproximan a las condiciones reales bajo las

cuales son transportados los flujos cuya reología es del tipo plástico de Bingham.

3. Ecuaciones gobernantes adimensionales

- Flujo laminar e incompresible- Flujo permanente- Flujo totalmente desarrollado- Propiedades constantes- Número de Bingham pequeño N<<1- Flujo sin transferencia de calor

- No deslizamiento en las paredes:

- Flujo simétrico respecto a bisectriz:

Ecuación de conservación de momento lineal Ecuaciones constitutivas Número de Bingham

Metodología


4. Método de expansión asintótica:• Pequeñas plasticidades (N ≤ 0.1):

5. Velocidad de orden cero

• Para incorporar las condiciones de borde, se determina la velocidad 𝑤0

aportada por el flujo

Newtoniano base que depende de 𝜙 y del ángulo del vértice denotado 𝜃0

:

6. Velocidad de orden uno• Desarrollo de ecuaciones constitutivas y ecuación de momento para orden uno.

• Desarrollo de ecuaciones mediante uso de Teorema General del Binomio de Newton.

• Cambio de variables y linealización de Laplaciano de 𝑤1 por separación de variables.

• Solución de ecuación de velocidad mediante Expansión en Serie de Taylor.

Metodología


6. Velocidad de orden uno (continuación)• El flujo de desarrollo es:

∇2𝑤1 = −𝐻 𝑥, 𝑦 → 𝑤1 𝑥, 𝛽 = 𝐴 𝑥 ∙ 𝐵 𝛽 𝑐𝑜𝑛 𝐴 𝑥 = 𝑥 →𝜕2𝐵 𝛽

𝜕𝛽2= 𝑓(𝛽) ≈ 𝑓 𝛽 𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟

• Velocidad de orden uno:

7. Campo de Velocidad

n: Orden del polinomio de Taylor𝑎𝑖: Coeficientes polinomiales de expansión

en Series de Taylor

Metodología


8. Caudal neto• Desarrollo de modelo para el

cálculo del caudal neto como:

𝑄 = 2න

0

𝜃𝑏

න

𝑅𝑖[𝜃]

𝑅𝑒

𝑤 𝑟, 𝜃, 𝑁 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝑅𝑖[𝜃]: Radio hasta curva w = 0

9. Velocidad modificada• Para evitar la formación de zona

de estancamiento, se obtiene:

𝛾: Desplazamiento en iso velocidad

Resultados


1. Iso velocidades a distintas plasticidades para 𝜽𝟎 = 𝟔𝟎° y 2𝟎°• Se presenta la evolución de la zona de estancamiento a medida que crece la plasticidad N:

Zona de estancamiento en color GRIS

Resultados


2. Iso velocidades con modificación del ducto a 𝜽𝟎 = 𝟑𝟎° 𝒚 𝟐𝟎°• Se presenta la evolución de las iso velocidades a medida que crece el corrimiento 𝛾:

Modificación en forma del vértice para evitar zonas de estancamiento, con respectivo Círculo

osculador y Radio de Curvatura

Trabajos futuros


1. Estudio del campo de velocidades y conformación de la zona tapón en el transporte de fluidos viscoplásticos en ductos circulares y anulares bajo modelos constitutivos modificados.

2. Análisis y determinación de la zona de estancamiento en flujos viscoplásticos en contracciones bruscas circulares para minimizar las pérdidas energéticas mediante el rediseño de la tubería.

3. Estudio de flujo viscoplástico paralelo en un ducto circular bajo un gradiente de presiones pulsante de baja frecuencia y su efecto en el caudal neto transportado.

líneas de investigación - universidad de santiago de chile•obtener una solución analítica del...

Documents