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LISTADO DE EJERCICIOS Y PROBLEMASPARA EL CURSO
ALGEBRA Y FUNCIONES
UNIDAD 1: NUMEROS REALES Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEALGEBRA
UNIDAD 2: ECUACIONES, DESIGUALDADES Y DESIGUALDADES CONUNA VARIABLE
PERIODO ACADEMICO 2011 - 1
PERÍODO ACADÉMICO 2018-1
1. Operaciones basicas con numeros reales
I. Determine cuales elementos del conjunto
{−3,5, −√
2, −1, 0, 1,√
3, 3,14, π, 4, 3535 . . . , 5,060060006 . . .}
pertenecen a los siguientes conjuntos:i) Numeros Reales ii) Numeros Racionales iii) Numeros Irracionales iv) Numeros En-teros v) Numeros naturales.
II. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraicasque completa el enunciado, de acuerdo a la propiedad que se nombra:
1. 7 + x = conmutativa 2. 5(4y) = asociativa
3. 5(x+ 3) = distributiva 4. −3(x− 4) = distributiva
5. 5x+ 5 = distributiva 6. −5x+ 10 = distributiva
7. −13 + (4 + x) = asociativa 8. yx = conmutativa
9. 0,125( ) = 1, inverso multiplica-tivo
10. −3 + ( ) = 0, inverso adi-tivo
III. Encuentre la distancia en la recta numerica entre cada par de numeros:i) 8, 13 ii) -5, 17 iii) 22, -9 iv) -3, -14, v) -1/2, 1/4 vi) -1/2, -3/4
IV. Represente sobre la recta real los siguientes numeros: i) 0,34, ii) −43 , iii)√
3, iv) 3√
5− 1,
v) 5−√
6.
V. Utilice el orden de prioridad de las operaciones para evaluar cada una de las siguientes expre-siones:
1. 4− 5 · 32 2. 4 + 2(−6)2
3. 3− 4 + 5− 7− 4 4. 4− 3 + 2− 5 + 6
5. 3 · 6 + 2 · 4 6. −2 · 9 + 3 · 5
7. 26 · 15 ÷12 · 5 8. 4
3 · 50(0,75)÷ 2
9. (3 · 4− 1)(1 + 2 · 4) 10. −2− 3(5− 2 · 8)
11. 2− 3|3− 4 · 6| 12. 1− (3− |1− 2 · 3|)
13. 72 − 2(−3)(−6) 14. (−3)2 − 4(−2)(−5)
2
VI. Decida la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones, justificando susrespuestas:
i) 8−1/3 = −2 ii) 161/4 = 41/2 iii)√
46 = 2
3 iv) (√
3)3 = 3√
3 v) (−1)2/2 = −1 vi)
3√
72 = 73/2 vii) 91/2 =√
3 viii) 1√3
=√33 ix) 21/2
21/3= 6√
2 x)3√
75 = 7 3√
49
VII. Evalue cada una de las siguientes expresiones:
1. −91/2 2. 271/3 3. 641/2 4. −1441/2
5. (−64)1/3 6. 811/4 7. (−27)4/3 8. 125−2/3
9. 8−4/3 10. 4−3/2 11.(14
)1/212.
(132
)1/513.
(49
)3/214.
(− 8
27
)2/315.√
900 16.√
400
17. 3√−8 18. 3
√64 19. 5
√−32 20. 6
√64
21.√
49 22.
√916 23. 3
√− 8
1000 24. 4
√1
625
25.√
0,01 26.√
0,25 27.4√
163 28.3√
85
VIII. En cada uno de los siguientes casos realice las operaciones indicadas y simplifique su respuesta.
1. −548 −
836 + −3
12 2. −10−2 −
2−5 −
424 + 23
8
3.(−13 + 3− 2
5
).(2 + −1
10
)4.
(5−7 + 2− 1
6
)÷(24 − 3
[34 − 5
]+ 2
)
5.
13 + 2
5
(25 −
610
)÷ 1
3 −34
3−2 −
29
[1− 3
5
(2 + −3
5
)− 4
] 6.
3−7 +
[15 + 5
]−2(38 −
15
)−3÷ 2
(14 − 5
)−17.√
245−√
125 8.√
8 +√
20−√
12
9.√
18−√
50 +√
12−√
75 10. (−2√
3)(5√
6)
11. (−3√
2)(−2√
3) 12. (−2√
6)(3√
6)
13. (−5√
3)2 14. (3√
5)2
15. (1 +√
2)(3 +√
2) 16. (5 +√
6)(2 +√
6)
3
17. (5 +√
2)(4− 3√
2) 18. (2− 3√
7)(5−√
7)
19. (3√
2 +√
3)(2√
2−√
3) 20. (2√
6−√
3)(4√
6−√
3)
21. (√
5 +√
3)2 22. (√
8−√
3)2
IX. Escriba cada una de las siguientes expresiones utilizando un solo simbolo radical. Simpli-fique el radicando cuando sea posible.
i) 3√
3 ·√
2 ii) 3√
4 ·√
5 iii) 3√
3 · 4√
4 iv)3√√
2
X. Simplifique cada una de las siguientes expresiones, racionalizando el donominador:
1. 51−√7
2. 23+√5
3.√10√5−2 4.
√3√
2−√3
5.√6
6+√3
6.√2√
8+√3
7. 1+√2
2−√3
8.√2+5√8+3
XI. En cada uno de los siguientes casos escoja la opcion que completa o responde correctamentea cada enunciado.
1. Al racionalizar completamente la expresion 4√6√
6−√2, el resultado es:
(a) 6 +√
6 (b) 6− 2√
3 (c) 6 + 2√
3 (d) 6−√
6
2. Al simplificar la expresion: (0,0016)34 se obtiene:
(a) 18 (b) 4
5√10
(c) 1125 (d) 4
25(10)14
3. Al simplificar la expresion:√
0,0001× 128 se obtiene:
a) 800√
2 b) 2√2
25 c) 4√5
25 d) 160√
5
4. Se da la siguiente expresion: 0,25+1,83333 . . .−1,9999 . . . = pq , donde p
q es la fraccion,en su forma mas simplificada, resultante al hacer las operaciones indicadas. Determinepq y diga cual de las siguientes relaciones es correcta.
a) pq = 81 b) pq = 18 c) q + p = 215 d) q + p = 13
5. Se corta un pedazo de alambre en 3 partes y cada parte mide 213 de metro. Si se sabe
que en cada corte se pierde 120 de metro, se puede concluir que la longitud inicial del
pedazo de alambre, en metros, es:
4
a) 61330 b) 7 3
20 c) 7 110 d) 9 1
20
XII. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraica quecompleta el enunciado correctamente:
1. La distancia entre los numeros −0,5 × 10100 y 0,71 × 10101 se puede escribir como× 10100
2. 0,38− 0.2 = pq donde p = y q =
3. Si el precio P de un artıculo se reajusta con un aumento del 7 %, el nuevo precio P ′ secalcula con la formula P ′ = × P
XIII. Decida la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones, justificando susrespuestas.
1. Si a es un numero real, entonces −a es un numero real negativo.
2. Si a y b son numeros reales, entonces a · b = 1 implica que a = 1 o b = 1
3. Si a y b son numeros enteros, entonces a · b = 1 implica que a = 1 o b = 1
4. Si a y b son numeros naturales, entonces a · b = 1 implica que a = 1 o b = 1
XIV. Aquiles, el heroe mas veloz de la literatura griega, compite contra una tortuga que es 10 vecesmas lenta que el. Si Aquiles le da 10 metros de ventaja a la tortuga, mientras la persigue deberecorrer las distancias: 10 + 1 + 1
10 + 1100 + 1
1000 + . . .¿Que distancia ha recorrido la tortuga al momento de ser alcanzada por Aquiles?
5
2. Operaciones basicas con expresiones algebraicas generales
I. Utilice las propiedades de los numeros reales para simplificar cada una de las siguientes ex-presiones:
1. −5x+ 3x 2. −5x− (−8x)
3. x− 0,15x 4. x+ 3− 0,9x
5. −3(2xy) 6. 12(8wz)
7. 12(6− 4x) 8. 1
4(8x− 4)
9. 6x−2y2 10. −9−6x
−3
11. (3− 4x) + (x− 9) 12. (9x− 3) + (4− 6x)
13. −2(4− x)− 3(3− 3x) 14. 5(4− 2x)− 2(x− 5)
II. En cada uno de los siguientes casos escriba la expresion que involucre Exponente Racionalcomo una expresion en notacion radical y la expresion que este en notacion radical como unaexpresion que involucre Exponente Racional :
i) a2/3 ii) −b3/54 iii) 3y−3/5 iv) a(b4 + 1)−1/2 v) 1√x
vi) −4√x3 vii)
5√x3 viii)
3√x3 + y3
III. Simplifique cada una de las siguientes expresiones, suponiendo que todas las variables repre-sentan numeros reales positivos. Escriba sus respuestas sin usar exponentes negativos.
1. y2/3 · y7/3 2. a3/5 · a7/5 3. (x4y)1/2 4. (a1/2b1/3)2
5. (2a1/2)(3a) 6. (−3y1/3)(−2y1/2) 7. (a2b1/2)(a1/3b2) 8. (43/4a2b3)(4a−2b)
9. 6a1/2
2a1/310. −4y
2y2/311.
(x6y3
z9
)1/312.
(x1/2yy1/2
)313.√
16x2 14.√
121y4 15. 3√
8y9 16.3√
125x18
17.√
xy100 18.
√t81 19. 3
√−8a3b15
20. 4
√16t4
y8
IV. Utilice resultados conocidos sobre Productos Notables para resolver los siguientes ejercicios:
1. Calcule:i) (3x+5)2 ii) (xn−3)(xn+3) iii) (2zb−1)(2zb+1) iv) (
√2−5)(
√2+5) v) (3
√6−1)2
6
2. Muestre que (a− b)3 − (b− a)3 = 2 (a− b)3
3. Muestre que (a− b)3 + (a− b)3 = 2 (a− b)3
4. Una terna (x, y, z) de enteros positivos se denomina terna pitagorica si x2 + y2 = z2.Por ejemplo, (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10) son ternas pitagoricas. Pruebe que si a > 1,entonces (2a, a2 − 1, a2 + 1) es una terna pitagorica.
5. Pruebe que si x, y son enteros positivos y si x > y, entonces (x2 − y2, 2xy, x2 + y2)es una terna pitagorica.
6. Si t > 0 y (t+ t−1)2 = 5, determine t3 + t−3
7. Si x+ y = 1 y x2 + y2 = 2, determine x3 + y3
8. Demuestre que ab = 12
[(a+ b)2 −
(a2 + b2
)]9. Demuestre que
(a2 + b2
) (c2 + d2
)= (ac+ bd)2 + (ad− bc)2
10. Demuestre que(a2 + b2
)2 − (a2 − b2)2 es un cuadrado perfecto.
11. En el proceso siguiente se ha cometido un error, que conduce al resultado absurdo 5 =-1. Indique en que ha consistido el error:
x2 + 6x+ 5 = x2 − 1
(x+ 5)(x+ 1) = (x+ 1)(x− 1)
x+ 5 = x− 1
5 = −1
V. En cada uno de los siguientes casos realice las operaciones indicadas y simplifique su respuesta.
1. x3 + 1−1 ÷ 2(x3 + 1)
6 2. x32
(√x− 1√
x
)
3.
√1 +
(x√1−x2
)24.
2x2
−3x3
x2
2x
5. (x− 1) . (x+ 1) 6. (x+ 1) . (x+ 1)
7. (x− 6) . (x− 10) 8. (x+ 7) . (x− 20)
9. (y + 35) . (y − 23) 10. x.(−3x2 + 5x− 12
)11. 8x2.
(2 + x+ 5x3 − x4
)12.
(−x2 − 5
)213.
(x2 + 5
)214.
(x3 − 10
)215.
(−x3 + 10
)216. (y − 3z)3
7
17. (a+ b− c)2 18. (x− y + z) . (x+ y − z)
19. (2ax+ b) . (2ax− b) 20. (2x− y − 5) . (2x− y + 5)
21.(5x4y + 1
2
)222. (a+ b− 7) . (a+ b− 5)
21.(6xy2
)3 (−3x2y3)2
22. (x− y) .(x2 + xy + y2
)23. (x+ y) .
(x2 − xy + y2
)24.
(x−√
2) (x+√
2)
25.(
3√
7 + 3√
5).
[(3√
7)2− 3√
7 3√
5 + 3√
25
]26.
(35x
3 − 53x
2y3z)2
27.(x2n − y3m
)328.
(−5xayb − 4x2az5m+2
)229. (4x+ 8)÷ 4 30. (−3xy − x)÷ x
31. (−2mn+m)÷m2 32. x2+xy ÷ x
y
33.(−2x3 − 8x4
)÷−2xy 34.
(x−2 + x−3 − x−4
)÷ x−1
35. 5s2(2rs− 8rs2
)÷ 2rs3 36.
(4x2y2 −
(2x2y
)2+ 8x8y3
)÷ 4x2y2
37. x−x−1−x−3
x ÷−x−1 38.(xn + x2n − x3n
)÷ xn
39.(x
12 + x
13 − x
−25
)÷ x 40.
(xy + x2y3 − x3y2
)÷ x
23
41. − (x+ 3)÷ (−x− 3) 42.(−35 x
2 − 47x
3 + 13x
6)÷ 4
3x3
43.(a−1/3b2/9c1/6
)6÷(a1/6b−2/3
)944. (x+ y)3 ÷ (−x− y)2
45.(xt − 2x−2t − x−4t
)÷ xt 46.
(et + 1
) (et − 1
) [1
(e2t−1)3
]VI. En cada uno de los siguientes casos escoja la opcion que completa o responde correctamente
a cada enunciado.
1. A un estudiante se le pide simplificar y expresar solo con exponentes positivos la expre-sion: (
(ex + e−x)2
(ex + e−x)2 − (ex − e−x)2
) 12
El estudiante procede en la forma siguiente, y comete un error en el proceso:
8
i.
((ex+e−x)
2
(ex+e−x)2−(ex−e−x)2
) 12
=
ii. ex+e−x
ex+e−x−ex+e−x =
iii. ex+e−x
2e−x =
iv.ex(ex+e−x)
2 =
v. e2x+12
El error se cometio:(a) al pasar de i a ii (b) al pasar de ii a iii (c) al pasar de iii a iv (d) al pasar de iv a v.
2. Si y = 2x+2x−1 entonces:
(a)x = y+2y−2 (b) x = y−2
y+2 (c) x = 3− y (d)x = 0
3. Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion x32
(√x− 1√
x
), se obtiene:
(a)√x (b)x (c) x(x− 1) (d) x−1
x
4. Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion:
√a2+x2− x2−a2√
a2+x2
a2+x2 , el resultado es:
a) 0 b) 2a2
a2+x2 c) 2x2
(a2+x2)3/2d) 2a2
(a2+x2)3/2
5. Al efectuar las operaciones indicadas en la expresion:5
x+h− 5
x
h , el resultado es:a) 0 b) 5
h2 c) 5 d) −5x(x+h)
6. Si a+b representa la diagonal de un cuadrado C1, entonces el perımetro de otro cuadra-do C2, cuya area es el doble de la C1, esta representado por:
(a)√
2 (a+ b)2 (b) 2 (a+ b) (c)√
8 (a+ b) (d) 4 (a+ b)
7. Entre las siguientes proposiciones la correcta es:
(a) el resultado de tomar tres veces un numero es mayor que el numero (b) el resultadode tomar tres veces un numero negativo es menor que el numero (c) el resultado deaumentar en 3 un numero negativo es otro numero negativo (d) el resultado de aumen-tar en 3 un numero negativo es un numero positivo
8. Entre las siguientes proposiciones la incorrecta es(a) si se duplica la base de un rectangulo, entonces se duplica el area (b) si se duplica
9
la altura de un triangulo, entonces se duplica el area (c) si se duplica el radio de uncırculo, entonces se duplica el area (d) si se duplica el divisor de una fraccion y sedivide su numerador por 2, entonces cambia el cociente
9. El volumen de un cilindro circular recto de altura h y cuya base tiene un radio r esV = πr2h. Si el radio se duplica y la altura se reduce a la mitad, entonces el volumen:a) se duplica b) se reduce a la mitad c) se conserva igual d) no podemos saber sin datosconcretos
VII. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraica quecompleta el enunciado correctamente:
1. Si en la formula ax+bcx+d = 2 despejamos x, obtenemos x = ( )
( )
2. En el proceso de simplificacion, la expresion(
1−t22t2−t−6
) (1+5t−6t2
(−2t−3)(2−t)
)−1se reduce a
(1 + t)( )
(t− 2)( )
(2t+ 3)( )
( )(6t+ 1)=
(1 + t)
( )
3. Cuando se simplifica completamente la expresion(x−4−1)(x+y
y)
(2xy)−1(x−3−x) se obtiene como resul-
tado:a) −2(x+ y) b) −2(x+y)
y c) 2(x+ y) d) 2(x+y)y
VIII. En cada uno de los siguientes casos transforme la expresion dada, E(x), en una expresion
ξ(t) por medio del cambio de variable t = 1x . Ejemplo: si E(x) = x21/x, ξ(t) =
2t
t.
1. E(x) = x ln(1/x) 2. E(x) = x2 sen(π/x)
3. E(x) = xe−3x2
4. E(x) =e−1/x
x
5. E(x) =(1 + 2
x
)3x6. E(x) = (1 + 3x)2/x
7. E(x) =(lnx)2
x38. E(x) =
x3
e3x
9. E(x) =1/x
e−x10. E(x) = x3 ln(2x)
10
3. Factorizacion de expresiones algebraicas
I. En cada uno de los siguientes casos factorice completamente la expresion dada:
1. (x− 1)72 − (x− 1)
32 2. y3 − y2 + y − 1
3. x−2 − y−6 4. 16x8 − 81y4
5. 2x2 + x− 3 6. 4z2w4 + 4zw2b3 + b6
7. m2 − n2 + x2 − 2mx 8. x3 − 2x2 − 4x+ 8
9. x3 − y6 10. (1 + x)−23 + (x+ 1)
23
11. x3 − 2x2 − 3x+ 6 12. x−4 − y−16
13. a2 − 4y9 14. 16a3 − 2x3y6
15. 4x6y8 + x2y4z6 − 4x4y6z3 16. a2 + b2 − c2 − 2ab
17. 2m6nb5 − 4m7c3 + 3n5b5 − 6mn4c3 18. a2 cos2 x + 2ab cos2 x + b2 cos2 x −a2 sen2 x− 2ab sen2 x− b2 sen2 x
19. a2 − a+ ab 20. x100 − x101
21. 3x− 6y + 12x 22. (a+ b+ 1)(a2 − 1
)− a2 + 1
23. 6am− 4ac− 3bm+ 2bc 24. 2y2 − 18xy
25. 2ax2 + 6a2x3 − 10a2x2 26. −7x2z3 + 63xz5
27. 36x3y2 + 42x2y3 − 6x2y2 28. k3 + 2k2 − 10k − 20
29. −6− 2y + 3x+ xy 30. 2x2 + 15y + 5xy + 6x
31. n3 + 17n2 − 3n− 51 32. a2b3−n4+a2b3x2−n4x2−3a2b3x+3n4x
33. x2y − xy + 10x− 10 34. 1 + x+ 3xy + 3y
35. a3 + a+ a2 + 1 + x2 + a2x2 36. px+ py − qx− qy
37. my + n(m2 + y
)+mn2 38. 9− a2
4
39. a2n − b2n 40. 50a2 − 2
11
41. x6 −(x2 − 1
)242. 49− s2
43. 4b2 − 121a2 44. 16w4 − 81
45. x4 − y4 46. 25x2 − 100
47. 5− 80q2 48. 169− p10
49. 16m4n6 − 144a8b10 50. 125x3
8 − y3
27
51.(x2 − y2
)3+ z3 52. x12 − y12
53. (a− b)3 − (b− a)3 54. m9 − 27n12
55. 8x9 − b6 56. x3y − 9xy3
57. 1 + (x− 2)3 58. x6 + 64
59. x2 + 9x+ 20 60. x2 + 2x+ 1
61. 4x2 + 4xy + y2 62. x4 + 2x2 + 1
63. x3 + 2x2 + x 64. 9y2 − 66y + 121
65. x4 − 8x2y2 + 16y4 66. 25y6 − 10y3 + 1
67. x2 + 15x+ 56 68. w2 + 4w − 5
69. z3 + 2z2 − 63z 70. n2 + 7n− 30
71. c2 + 31c+ 30 72. y5 − 4y4 − 77y3
73. x2 − 11x+ 30 74. r2 − r − 30
75. 3x3 − 3x2 − 18x 76. 2x2 − 5x− 3
77. 3x2 + 2x− 5 78. 5x2 + 7x− 8
79. 20a2 + 48ab− 5b2 80. 12x2y − 34xy2 + 14y3
81. −7x2 − 13x+ 2 82. 8y2 − 18y − 5
83. 2k2 − k − 15 84. 12z2 − 19z − 18
85. 4 + 3y − 7y2 86. −2x2 − 5x+ 12
12
87. 6w2 − 28w − 10 88. 24x2y − 6xy − 45y
89. 36h6 − 24h3k2 + 4k4 90. 9c4 + 5c2 + 1
91. 8x2 + 10x+ 3 92.(a2 + 1
)2 − 7(a2 + 1
)+ 10
93.(a2 + 2a
)2 − 2(a2 + 2a
)− 3 94. 9x2 − 12xy + 4y2
95. x2 − 4xy + 4y2 + 6x− 12y + 9 96. −3x+ x2 − 10
97. (5m)2 + 65m+ 42 98. 3x2 + 5x− 2
99. 100x2 + 50x+ 4 100. a2 + 2ab+ b2 − 1
101. 9m4 − 6m2 + 1− 25a2b4c2 102. 1− 9m2 − 6mn− n2
103. 4x4 + 8x2y2 + 9y4 104. c4 − 45c2 + 100
105. x4 − 64 106. 4 + 625x8
107. x4 + 4x2 + 16 108. r4 − 10r2 + 9
109. m4 + 14m2n2 + 25n4 110. a4 + 2a2b2 + 9b4
111. 4x8 − y8 112. 4a2c2 −(c2 − b2 + a2
)2113. 3x−1/2 + 4x1/2 + x3/2 114. (x− 1)7/2 − (x− 1)3/2
115. (x2 + 1)1/2 + 2(x2 + 1)−1/2 116. x−1/2(x+ 1)1/2 + x1/2(x+ 1)−1/2
117. x5/2 − x1/2 118. x−3/2 + 2x−1/2 + x1/2
II. En cada uno de los siguientes casos convierta la primera fraccion en una equivalente quetenga el denominador indicado:
1. 43a = ?
12a22. a+2
4a2= ?
20a3b3. x−5
x+3 = ?x2−9
4. x+2x−8 = ?
16−2x 5. xx+5 = ?
x2+6x+56. 3a−b
a+b = ?9b2−9a2
III. En cada uno de los siguientes casos encuentre el Mınimo Comun Denominador del parde fracciones dadas:
13
1. 14ab2
, 76a2b3
2. 32x2y
, a5xy 3. −7a
3a+3b ,5b
2a+2b
4. 13a−3b ,
2a2−b2 5. 2x
x2+5x+6, 3xx2−x−6 6. x+7
2x2+7x−15 ,x−5
2x2−5x+3
IV. Efectue las operaciones indicadas:
1. 2a3b ·
9b14a2
2. 14w51y ·
3w17y
3. 12a7 ÷
2a3
49 4. 20xy3÷ 30
y5
5. a2−93a−6 ·
a2−4a2−a−6 6. 6x2+x−1
6x+3 · 159x2−1
7. x2−y29 ÷ x2+2xy+y2
18 8. a3−b3a2−2ab+b2
÷ 2a2+2ab+2b2
9a2−9b2
9. x2−y2−3xy ·
6x2y3
2y−2x 10. a2−a−22 · 1
4−a2
11. 32x + 1
6 12. −73a2b
+ 46ab2
13. x+3x−1 −
x+4x+1 14. x+2
x−3 −x2+3x−2x2−9
15. 3 + 1a 16. −1− 3
c
17. t− 1− 1t+1 18. w + 1
w−1
19. xx2+3x+2
+ x−1x2+5x+6
20. x−1x2+x−6 −
x−2x2+4x+3
21. 1x−3 −
56−2x 22. 5
4−x2 − 2xx−2
23. y2
x3−y3 + x+yx2+xy+y2
24. aba3+b3
+ a2a2−2ab+2b2
25. 1x + 1
x−1 −1
x+1 26. 3x −
x−1x2−9 + 1
x−3
V. Simplifique las siguientes fracciones complejas:
1.4a− 3
b1ab
+ 2b2
2.2
6xy− 1
4x1
3y2+ 1
2x
3.a
ab2− b
ab33a2
+ aa3b
4.1
a2b3cc
ab2+ a
b2c
5.a+ 4
a+4
a− 4a+4a+4
6.y− y+6
y+2
y− 4y+15y+2
7.t+2t−1− t−3
tt+4t
+ t−2t−1
8.3
2+x− 4
2−x1
x+2− 3
x−2
14
VI. Simplifique las siguientes expresiones y escriba sus respuestas usando solamente exponentespositivos:
1. x−1+1x−1−1 2. x−2−4
x−1−2 3. x2−y2x−1−y−1
4. x−2−y−2
(x−y)2 5. a2 + a−1b−3 6. a−2 + a−1 + a
7. (m−1 − n−1)−2 8. (m−1 + n−1)−1
VII. En cada uno de los siguientes casos lleve la expresion algebraica dada a una de las formas
basicas: ± (x−h)2a2
± (y−k)2b2
= 1, y − k = α(x − h)2, x − h = β(y − k)2, y = mx + b.Identifique, segun el caso, el valor de las respectivas constantes: h, k, a, b, α, β, m.
1. x− y = 0 2. −x3 + y
6 −59 = 0
3. −2x− 5y + 7 = 0 4. 3x4 + 5y
12 −320 = 0
5. 9x2 − 18x+ 4y2 + 24y + 9 = 0 6. 16x2 + 96x+ 25y2 − 100y − 156 = 0
7. 2x2 − 16x+ y2 − 2y + 31 = 0 8. 4x2 − 9y2 − 18y − 10 = 0
9. 16y2 − 2x2 + 12x− 19 = 0 10. x2 + 4x− 100y2 = 0
11. −4x+ y2 + 6y + 29 = 0 12. x2 − 4x+ 5y − 6 = 0
13. 16x2 + 32x− y + 16 = 0 14. x− 5y2 + 3 = 0
15. 2x2 + 3y − 3 = 0 16. 4x2 + 4y2 − 24y + 35 = 0
17. 5x2 + 10x+ 5y2 − 30y + 48 = 0 18. x2 + 10x+ y2 + 2y = 0
19. (2x− 3)2 + 5y2 = 1 20. (−4y + 6)2 + (5−3x)22 = 4
21. (3y + 5)2 + 4− 5x = 0 22. (2− 7x)2 − 3 + 4y5 = 0
23. (−1− 2x)2 + 1 + 3y = 0 24. −(2x+ 1)2 + 4y2 = 1
25.(x3 − 1
)2 − (2y5
)2= 4
VIII. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraica quecompleta el enunciado correctamente:
15
1. Una factorizacion completa de la expresion (x+ 1)−12 − (x+ 1)
32 + x+ 2 es:
(x+ 2)[(x+ 1)
−12 ( ) + 1
]2. La expresion 2x2 + 3 puede factorizarse como 2 ( )
3. Si b 6= 0 entonces la expresion 2 + 3b puede factorizarse como 2b ( )
4. Si b 6= 0 entonces la expresion 2 + 3b puede factorizarse como b−1 ( )
IX. En los siguientes casos realice las operaciones indicadas y simplifique su respuesta.
(a) x3 + 14x2 − 1
÷ 2− x− 3x2
6x2 − x− 2(b)
2x2 − 3x− 2
1− x22x2 + 5x+ 2x2 + x− 2
X. Compruebe que las siguientes igualdades son correctas, mostrando el proceso de simplificacionen cada caso:
(a)1− 3a−1
1− 2a−1 − 3a−2=
a
a+ 1(b)
2x
x2 − 4+
5
2− x− 1
x+ 2=
4
2− x
XI. Al simplificar el producto de fracciones:(2x2−3x−2
1−x2
) (2x2+5x+2x2+x−2
)−1, se obtiene:
(a) x−2−1+x (b)−x+2
−1−x (c) 2−x1+x (d) x−2
1+x
16
4. Desigualdades
I. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraica quecompleta el enunciado correctamente
1. La desigualdad representa al intervalo (−1, 0]
2. El conjunto de puntos sobre la recta numerica tales que la mitad de su distancia al punto12 es mayor o igual a una unidad, se representa por: ∪
3. La desigualdad significa que a es un numero menor que −1 y mayorque −8
5
4. Para determinar el conjunto de puntos sobre la recta numerica tales que el doble desu distancia al punto −5 es menor que 3 unidades, se deben resolver las desigualdades:
< <
II. Respecto a la afirmacion para todo numero real x se cumple que x+3 < 3x se puede argumentarque:
1. Es cierta porque se cumple para muchos numeros, como 4,5,6, . . .
2. Es cierta porque se cumple para algunos numeros
3. Es cierta porque se cumple por lo menos para x = 3
4. Es falsa porque no se cumple para x = 12
III. Resuelva cada una de las siguientes desigualdades y exprese las respectivas soluciones en formade intervalo.
1. 23 < 1
x− 2 ≤ 1 2. |2x+ 1| ≥ 1
3. x < xx+1 ≤ 2 4. (2x− 1)2 < 25
5. −4x2 + 12x− 9 < 0 6. −5 (2x− 1)2 < 07. x3 − 7x+ 6 > 0 8.
(4x2 − 1
) (x2 + x− 2
)< 0
9. 2xx2+1
> 0 10. (x+1)2
x−4 < 0
11. 2x2−6x+3(2x−3)2 < 0 12. x
(x−1)3 < 0
13. 3x+ 7 > 5− 2x ≥ 13− 6x 14. |2x− 3| < x− 4
15. 3x+ 7 > 5− 2x ≥ 13− 6x 16. |2x− 3| < x− 4
17. |x− 3| < x− 2 18. |x+ 2|+ |2x− 1| ≥ 0
19. |3x− 2|+ |2x− 7| < 0 20. 53x+1 −
209x2−1 <
23x−1
21. 1x2+x
> 1x2−x −
1x2−1 22. 2x+1
3x−1 >2x+53x+2
17
IV A continuacion se ilustra un procedimiento equivocado de solucion de una desigualdad. Ex-plique los errores cometidos y luego encuentre la solucion correcta:
x2 − 3x+ 4 < 8
x2 − 3x < 4
x(x− 3) < 4
x < 4 o x− 3 < 4
x < 4 o x < 7
18
5. Ecuaciones
I. En cada uno de los siguientes casos escriba en el espacio en blanco la expresion algebraica quecompleta el enunciado correctamente.
1. Para determinar un punto del plano que este sobre el eje y, tal que el triple de sudistancia al origen es igual a su distancia al punto (6, 8), se debe resolver la ecuacion:
2. Si el precio de un artıculo con el IVA incluido (16 %) es $280000, el precio original X delartıculo se determina resolviendo la ecuacion:
3. Para determinar un punto del plano que este sobre el eje x, equidistante de los puntos(0,0) y (3,4), se debe resolver la ecuacion:
II. A continuacion se ilustra un procedimiento equivocado de solucion de una ecuacion. Ex-plique los errores cometidos y luego encuentre la solucion correcta:
x2 + 2x− 15 = 2
(x+ 5)(x− 3) = 2
x+ 5 = 2 o x− 3 = 2
x = −3 o x = 5
III. En cada uno de los siguientes casos despeje la formula para la variable que se indica:
1. p = 2x+ 2a, para x 2. S = 2πr2 + 2πrh, para h
3. A = p (1 + rt), para t 4. E = g (R+ r), para r
5. S = a−rl1−r , para r 6. A = 1
2 (B + b)h, para h
7. Y = I(R+ r
n
), para n 8. 1
f = 1p + 1
q , para p
9. h = vt− 12gt
2, para v 10. A = 2lw + 2wh+ 2lh, para h
11. ax+bcx+d = 2, para x 12. a− 2 [b− 3 (c− x)] = 6, para x
IV. Obtenga todas las soluciones reales de cada una de las siguientes ecuaciones y verifique sussoluciones:
19
1. 4x− 15 = 3x+ 2 2. 5x− 4 = 3x+ 6
3. 4 (3− a) = 2a− 3 4. 2 (x+ 6) = 7x− (x− 3)
5. (x− 1) (x+ 4) = (x+ 3) (x− 2) 6. 9x− x2 − 4 = 5 (x+ 2)− (x+ 2)2
7. 6−3x2− (−5x+ 2) = 2− (2− x) (4− 3x) 8. by − (a+ c) = 2y − c
9. ax− a2 = bx− b2 10. 3x−25x+4 = 5+3x
5x−1
11. 3 (a− b) z + 2a = 2 (a+ b) z − 3b 12. x−34 = x+3
14 −x+67
13. 1− 2x + 2
3x = 13 14. 1
x+1 −4
x−1 = 32−x
15. x+4x+3 −
x+1x+2 = x+2
x+1 −x+3x+4 16. ay+a2
y−b + b = 0
17.3− b
x1+ a
x− 2 =
bx+1
−1− bx
18.x
a−b−b
xa−b
+b = 1 + ba
19. (x− 1) (x+ 3) = 0 20. 0 = −12a−
23
21. 38 + 1
2x = 2x 22. 5
2y −1y = 3
4
23. 3x−23 + x−3
2 = 56 24. 2x−1
x−5 + 3 = −5x−25−x
25.3
2x− 1− 5
4x− 2=
3
8x2 − 8x+ 226. x5/6 + x2/3 − 2x1/2 = 0
27.√√
x− 5 + x = 5 28. 3 +√
12− 8x = 2x
29. 2x+√
6− 5x = 3 30. 5x−1 −
4x+1 = 2x2+25
3x2−3
31. 9x+1 −
x+1x2−x+1
= 9xx3+1
32.√
2x+ 2 +√
3x+ 4 =√
10x+ 11
33. 1x−a + 1
x−b = 1b + 1
a 34.(2x2 − x
)+√
2x2 − x = 2
35.√x+ 20−
√x− 1 = 3 36.
√x−√x− 8 = 2√
x−8
37.√
3x+ 10 +√x+ 2 =
√10x+ 16 38.
√x+ 4 +
√2x− 1 = 6
39.√x+ 13 = 13−
√x 40.
√2x+
√3x = 2
41.√
3 +√
4x+ 3− 3√x = 0 42. 2
√x− 1√
4x−3 =√
4x− 3
20
43.√x+ 11− 3 = 3−
√x− 13 44.
√11 +
√5 +√x = 4
45.√x+1√x−2 =
√x−9√x+3
46. 1√x+2− 1√
x−2 + 1√x2−4 = 0
47. 2√
3x+ 4 + 3√
3x+ 7 = 8√3x+4
48. 3+√x2−8
x−√x2−8 − x =
√x2 − 8
49. 3√x2 + 2x = 2 50. 4
√x2 − 4 = 2
51. 5√x2 − 7− 2 = 0
IV. Resuelva los siguientes problemas, elaborando en cada caso una respuesta clara y precisa.
1. Sabiendo que 2 es una solucion de la ecuacion x3 + hx+ 10 = 0, encuentre el valor deh. R./ -9
2. El curso de Matematicas Basicas se califica en una escala de 1 a 5, de acuerdo con lossiguientes parametros: Quices (Q) 25 %; Primer parcial (1P ) 20 %; Segundo parcial (2P )25 %; Examen final (EF ) 30 %. De acuerdo con esta informacion, responda las siguientespreguntas:
a) Las notas de Pedro son: Q : 3,5, 1P : 4,5, 2P : 2,0. EF : 2,5. ¿Cual es lacalificacion definitiva de Pedro? R./ 3.025
b) Las notas de Juan son: Q : 3,2, 1P : 2,5, 2P : 2,0. ¿Cual debe ser la calificacionde Juan en su Examen final para que su promedio definitivo sea de 3,0? R./ 4.0
3. Un granjero divide su hato de n vacas entre sus cuatro hijos, de manera que un hijorecibe la mitad del hato, otro una cuarta parte, otro una quinta parte y el ultimo 7 vacas;n es igual a:a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 R./ c
4. El gerente de una fabrica de muebles establece que una produccion de 100 sillas diariastiene un costo de $2200, mientras que una produccion de 300 sillas diarias tiene un costode $4800. Suponga que la relacion entre costo y numero de sillas producidas por dıa eslıneal y obtenga una ecuacion que exprese esta relacion. R./ c = 2200 + 13(n− 100)
5. Juan y Pedro, trabajando juntos, pintan una habitacion en 3 horas. Si Juan pinta tresveces mas rapido que pedro, ¿cuanto tiempo le tomarıa a Pedro pintar la habitaciontrabajando solo? R./ 4 horas
6. Un joyero tiene cinco anillos, cada uno pesa 18 gramos y esta fabricado con una aleacionde plata y oro (75 % de oro). Desea fundir los anillos y agregar suficiente plata parareducir el contenido de oro a un 65 %. ¿Cuanta plata debe agregar? R./ 13.85 grms.
7. Determine un punto del plano sobre el eje x tal que su distancia al origen de coordenadassea el doble de su distancia al punto C(13, 4). R./ (10,0)
8. El precio de un artıculo se rebaja el 10 %. Para volverlo al precio original, el nuevo preciose debe aumentar en:
(a) 10 % (b) 9 % (c) 1119 % (d) 11 % R./ c
21
9. Un manufacturero construye una maquina que pone sellos en 8 minutos a 500 empaques.Desea construir otra maquina de manera que cuando ambas esten funcionando podranhacer el mismo trabajo en 2 minutos. La ecuacion usada para hallar cuantos minutos templea la segunda maquina para poner los sellos a los 500 empaques es:
(a) 8− t = 2 (b) 18 + 1
t = 12 (c) 500
8 + 500t = 500 (d) t
2 + t8 = 1
R./ c
10. El costo C de envıo de un paquete postal de P kilogramos exactos es de 10 pesos porel primer kilogramo y 3 pesos por cada kilogramo adicional. La formula que da el costo es:
(a) C = 10+3P (b) C = 10P +3 (c) C = 10+3(P−1) (d) C = 10P−7R./ c
11. Un rectangulo cuyo largo es el doble del ancho tiene un perımetro p . El area del rectangu-lo en terminos de p es:
(a) p2
2 (b) 2p2 (c) 2p2
9 (d) p2
18 R./ c
12. Un jardın rectangular esta rodeado por un camino uniforme de 3 metros de ancho. Si elancho del jardın es x y su longitud es el doble de su ancho, el area total del camino yel area total del jardın en terminos de x vienen dadas por:
a) Jardın: 6x; Camino: 6x+ 24.
b) Jardın: 2x2; Camino: 6x+ 24.
c) Jardın: 2x2; Camino: 18x+ 36.
d) Jardın: 6x; Camino: 18x+ 36. R./ c
13. Suponga que ABCD es un rectangulo que tiene un area de 144 m2 y un perımetro de 50m. Si se quiere calcular el largo (x) del rectangulo, debe resolverse la ecuacion:
(a)x2 − 25x + 144 = 0 (b) x2 − 50x + 144 = 0 (c) x2 + 25x + 144 = 0 (d)x2 −25x− 144 = 0 R./ a
14. Mr. Smith tiene una casa que vale 10000 dolares. La vende a Mr. Brown con una ganan-cia del 10 %. Mr. Brown la vende nuevamente a Mr. Smith, con una perdida del 10 %.Entonces:
a) Mr. Smith no gana nada en el negocio
b) Mr. Smith gana 1100 dolares en el negocio
c) Mr. Smith gana 1000 dolares en el negocio
d) Mr. Smith pierde 900 dolares en el negocio
e) Mr. Smith pierde 1000 dolares en el negocio R./ b
15. Si la ganancia que se le hace a un artıculo que cuesta C dolares y se vende en Sdolares es G = 1
n C, entonces la ganancia esta dada por:
a) G = 1n+1 S b) G = 1
n−1 S c) G = 1n S d) G = n
n+1 S R./ a
22
16. Despues de haber gastado los 2/3 de lo que tenıa, Juan recibe otros $2250 con lo cualahora tiene $250 mas que al principio. Entonces la cantidad de dinero que Juan tieneahora es:
a) $3000 b) $3250 c) $7500 d) $6000 R./ d
17. Si el numerador de una fraccion es sustraıdo de su denominador, la diferencia es 21; pero,si el denominador es sustraıdo de 8 veces el numerador, la diferencia es -7. Encuentre lafraccion. R./ 4/25
18. La suma de los dıgitos de cierto numero de dos dıgitos es 13. Si el orden de los dıgitos esintercambiado, se obtiene un numero que es 4 menos que el doble del valor del numero.Encuentre el numero R./ 49
19. Encuentre dos numeros enteros cuya suma sea 50 y cuya diferencia sea 26 R./ 38 y12
20. Encuentre tres numeros enteros consecutivos cuya suma sea 48 R./ 15,16 y 17
21. La diferencia de los cuadrados de dos numeros consecutivos pares es 92. Encuentre losdos numeros R./ 22 y 24
22. El cociente de dos numeros es 4. Si un numero es 39 menos que el otro, encuentre los dosnumeros R./ 52 y 13
23. En 5 anos Ana tendra 3 veces la edad que tenıa hace 7 anos. ¿Cuantos anos tiene?R./ 13 anos
24. La suma de los dıgitos de cierto numero de dos dıgitos es 12. Si el orden de los dıgitos escambiado, el numero es aumentado en 18. ¿Cual es el numero? R./ 57
25. El dıgito de las decenas de un numero de dos dıgitos excede al doble del dıgito de lasunidades en 2. Si se cambia el orden de los dıgitos, la suma del numero nuevo y el numerooriginal es 121. ¿Cual es el numero? R./ 83
26. La suma de dos numeros es 139, y si el mayor se divide entre le menor, el cociente es 5y el resto es 7. Encuentre los numeros. R./ 117 y 22
27. La firma sanitaria Perez e hija anuncia: 30 anos de experiencia en higiene sanitaria.Si el padre tiene 16 anos mas de experiencia en higiene sanitaria que su hija, ¿cuantotiempo de experiencia en higiene sanitaria tiene cada uno? R./ 23 y 7 anos.
28. El radiador de un automovil contiene 10 galones de una mezcla de agua y 20 % de anticon-gelante. ¿Que cantidad de esta mezcla debe vaciarse y reemplazarse por anticongelantepuro para obtener una mezcla de 50 % en el radiador? R./ 3.75 galones
29. Cierta capa de suelo de plantacion contiene 10 % de turba y otra capa contiene 30 %.¿Que cantidad de cada suelo debe mezclarse para producir 2 pies cubicos de suelo deplantacion que contenga 25 % de turba? R./ 0.5 y 1.5 pies cubicos respectivamente.
30. El jefe de una estacion de servicio compro 15000 galones de gasolina corriente y deprimera calidad por US$ 8500. Si el precio mayorista fue de 55 centavos por galon paragasolina corriente y 60 centavos por galon para la gasolina de primera calidad, determinecuantos galones de cada clase de gasolina se compraron. R./ 500 y 1000 gal.
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31. Un carnicero vende una clase de carne de res a US$ 0.95 por libra y otra clase a US$1.20 por libra. Desea combinar las dos clases para obtener una mezcla que se venda aUS$ 1.15 por libra. ¿Que porcentaje de cada clase se debe utilizar? R./ 20 % y 80 %
32. Un rectangulo cuya longitud es 8 cm. Mas que su ancho, tendra un area aumentada por37 cm2 si cada dimension se incrementa en 1 cm. ¿Cuales son sus dimensiones? R./22 x 14 cms.
33. El perımetro de un rectangulo es de 50 cm. Y el ancho es dos tercios de la altura.Encuentre las dimensiones del rectangulo R./ 15 x 10 cms.
34. El lado mayor de un triangulo es de 2 cm. mas largo que el lado menor. El tercer ladotiene 5 cm. menos que el doble de la longitud del lado menor. Si el perımetro es de 21cm., ¿cual es la longitud de cada lado? R./ 6,7 y 8 cms.
35. Jose presento un examen. Si debe sacar 99 en el segundo examen para tener un promediode 73 en los dos examenes, ¿cuanto saco en el primero? R./ 44
36. Carlos tiene 4 monedas mas de 10 centavos que de 5 centavos. Si el valor total de estasmonedas es de $ 2.35, encuentre cuantas monedas de cada valor tiene Carlos. R./ 10y 13
37. El denominador de un fraccionario es de 2 mas que el numerador. Si tanto el numeradorcomo el denominador se aumentan en una unidad, el fraccionario resultante es 2/3.Encuentre el numero original. R./ 3/5
38. Un trabajador obtuvo 6 % de aumento, lo cual es $ 480. ¿Cual era su salario antiguo?¿Cual su nuevo salario? R./ 8000 y 8480 pesos.
39. Halle cuantos litros de alcohol puro deben agregarse a 15 litros de solucion que contiene20 % de alcohol para que la mezcla resultante sea de 30 % de alcohol. R./ 2.1 litros
40. Un campo rectangular que es 20 m. mas largo que ancho esta circundado de exactamente100 m. de cercado. ¿Cuales son las dimensiones del campo? R./ 15 x 35 mts.
41. Un estudiante saca un puntaje de 75 y 82 en sus dos primeros examenes. ¿Que puntajeen el proximo examen elevara su promedio a 85? R./ 98
42. El consumo de combustible del automovil de Pedro es de 30 millas/galon en carretera yde 25 millas/galon en ciudad. En un viaje de vacaciones de 400 millas utilizo 14 galonesde gasolina. ¿Cuantas millas de carretera recorrio en este viaje? R./ 300 millas
43. Una familia tiene cuatro ninos. El mayor tiene dos veces la edad del mas joven. Los dosninos intermedios tiene 10 y 11 anos. Si el promedio de edad de los cuatro es de 10,5anos. ¿cual es la edad del mas joven? R./ 7
44. Si las medidas de los angulos interiores de un triangulo son enteros pares consecutivos,¿cuales son las medidas de los angulos? R./ 58◦, 60◦ y 62◦
45. Despues de x horas, la distancia entre dos trenes que salen en direcciones opuestasde la misma estacion, es 704 kilometros. Si un tren va a 96 km/h y el otro a 80 km/h,encontrar el numero de horas que han viajado. R./ 4 horas
46. Dos aviones salen de un aeropuerto al mismo tiempo y vuelan en direcciones opuestas. Siun avion va en promedio a 960 km/h y el otro a 800 km/h, ¿en cuantas horas su distanciasera 3520 km? R./ 2 horas
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47. Un carpintero tiene cinco veces mas anos de experiencia que su aprendiz; pero en cuatroanos tendra solamente tres mas. ¿Cuantos anos de experiencia tiene el aprendiz ahora?R./ 2 anos
48. Una semana Isabel promete a su hijo Mario $5 por cada problema de algebra que resuelvacorrectamente. Por otra parte ella le cobrara $2 por cada solucion incorrecta. Al finalde la semana Mario ha resuelto 70 problemas, pero no recibe dinero ni tiene que pagar.¿Cuantos problemas resolvio correctamente Mario? R./ 20 problemas.
49. En un auditorio, el numero de sillas por fila es tres veces el numero de filas. Si se quitancuatro sillas de cada fila para ensanchar los pasillos, la capacidad de la silleterıa se reduceen 96. ¿Cuantas filas tiene el auditorio? R./ 24 filas
50. En una sala de cine, el numero de sillas en cada fila es cinco veces mas que dos veces elnumero de filas. Cuando se remodela el teatro, se adicionan cinco filas y se quitan cincosillas de cada fila. Esto incrementa la capacidad de la silleterıa en 100. ¿Cuantas filashabıa antes de empezar a remodelar? R./ 20 filas
51. Un barril contiene 18 galones de alcohol y 12 galones de agua. Otro barril contiene 3galones de alcohol y 9 galones de agua. ¿Cuantos galones deben ser tomados de cadabarril para que, cuando sean mezclados, hallan 14 galones conteniendo la mitad de aguay la mitad de alcohol? R./ 10 y 4 gal.
52. El ancho de un rectangulo es un pie mayor que la mitad de su largo. Si una franja de 3pies de ancho es sacada de sus 4 lados, el area total de la franja es 330 pies cuadrados.Encuentre las dimensiones del rectangulo. R./ 40 x 21 pies
53. Hace dos anos Juan tenıa 5 veces la edad de Pedro. Ahora es 8 anos mayor que Pedro.Encuentre la edad de Juan. R./ 12 anos
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