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7252019 ALGEBRA--full ejercicios--OKpdf

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Aacute L G E B R A

U N F V - C E P R E V I 3

Denicioacuten 1

Si a isin R y n isin Z

an = a middot a middot a middot middot a (n factores)

Denicioacuten 2

Si a isin R ndash 0

a0 = 1

Denicioacuten 3

Si a isin R ndash 0 y n isin Z+

a ndashn = na

1

Denicioacuten 4

Si mn isin Q con n positivo y a isin R

n mn

m

aa ==mn( a)

Teoremas1 am middot an = am+n

2n

m

a

a= amndashn a ne 0

3 (amiddotb)n = an middot bn

4n

nn

b

a

b

a =

5 (am)n = ammiddotn = (an)m

6 nnn baab sdot=

7 n

nn

b

a

b

a

=

8n mcn cm aa =

9 mnm n aa =

10 mnnn m baba =

Ecuaciones exponencialesI BASES IGUALES

Si Nx = Ny rarr x = y

Obs N ne 0 ^ |N| ne 1

Ejemplo

Resolver 9xndash1 = 27xndash2

Buscamos bases iguales

32xndash2 = 33xndash6

Luego

2x ndash 2 = 3x ndash 6 rArr 4 = x

II FORMAS ANAacuteLOGAS

Si MM = NN rarr M = N

Obs M ne2

1 ^ N ne

4

1

Ejemplo

Resolver 3x5 36x5

=

Buscando formas anaacutelogas

32x5 )6()x(5

= 6x5 6)x(5

=

Luego x5 = 6 rarr x = 5 6

NOTA Si af(x) = bf(x) rarr f(x) = 0

Ejemplo


x ndash 4 = 0 rarr x = 4

Leyes de exponentes y radicales

UNIDAD 1



Aacute L G E B R A

U N F V - C E P R E V I4

PROBLEMAS01 Calcular

1 11 14 2

S 16 25minus minusminus minus

minus minus = +

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6

02 Simplicar

n 4 n 1

n 2

3 3(3)M

3(3 )

+ minus

+

minus=

Indicar la suma de los teacuterminos de lafraccioacuten resultante

a) 107 b) 91 c) 89

d) 76 e) 81

03 Calcular

11 3 33 5E 64 32

minusminus minus

= minus

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

04 Calcular

1 1 23 2 3 2

F 64 8 16

minus minus minus

= minus +a) 8 b) 9 c) 1

d) 3 e) 2

05 Efectuar

3 2

6 5

a b abM

ab

=

a) 1 b) a c) b

d) ab e) ab

06 Efectuar

5 3 15 3

56

9 3 9Q

9 27

sdot sdot=sdot

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07 Si ba = 5 y ab = 2

Calcular el valor de

a 1 b 1b a

R a b+ +

= +

a) 57 b) 50 c) 58

d) 62 e) 64

08 Si aa ndash 1 = a calcular el valor dea

a (1 a)aE (a 1) += +

a) 1 b) a c) 2a

d) 1a e) aa

09 Efectuar

28K a a a a aminus= sdot sdot

a) 1 b) a c) a2

d) 2a e) a3

10 Calcular

10 5 1

5 6

12 18 16 A

8 54

minussdot sdot=sdot

a) 8 b) 9 c) 10

d) 6 e) 7



Aacute L G E B R A


11 Calcular

2 2

2

2

a 2 a 1

aa 1

9 9R

90

+ +

+

+=

a) 110 b) 19 c) 10

d) 1 e) 2

12 Calcular

a b a b2a 2b

a b a b

7 21 7S

7

minus minus

minus +

+=

a) 1 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4

13 Calcular (n+1)4 en

n 42 2 2 2=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

14 Hallar el menor valor de ldquonrdquo

23 n n 14 3a a aminussdot =

a) 3 b) 1 c) 2

d) -34 e) -74

15 Resolver e indicar el valor de la ex-presioacuten 2x+1

9 x

3x 3

3 33

3 3

minus =minus

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 9

16 Resolver

xx 2

x 2minus =

a) 12 b) 14 c) 2

d) 116 e) 2-8

17 Hallar ldquonrdquo

3n 20 nn 1

n

n nn

n n

minusminusminus =

minus

a) 20 b) 19 c) 21d) 16 e) 18

18 Calcular x12 al resolver

6 2xx 2=

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Resolver

x 1 x 4

4x 4x 5 x+

+ =a) 1 b) 14 c) 12d) 2 e) 4

20 Resolver2

( x 2 ) 2 2x 2

x 2+

=

Indicando el valor de

2 2(x x 1)(x x 1)+ + minus +

a) 7 b) 1 c) 2d) 6 e) 8

CLAVES

01d 02a 03c 04e 05b

06c 07a 08b 09a 10b

11a 12b 13a 14e 15c

16b 17b 18d 19b 20a



Aacute L G E B R A


Grado de expresiones algebraicasCaracteriacutesticas de toda expresioacuten algebraica de acuerdo al valor que tendraacuten

los exponentes que afectan a la parte literal

Los grados se clasican en

a) Grado relativo a una variable es el exponente de la variable menciona-da

b) Grado absoluto de una expresioacuten cuando interesan los exponentes de

todas las variables

REGLA PARA HALLAR GRADOS

1 PARA MONOMIOS Su grado relativo es el exponente de dicha variable

y su grado absoluto es la suma de los exponentes de la parte literal

EjemploM = 85 x3 y2

GR(x) = 3 GR(y) = 2 GA(M) = 5

2 PARA POLINOMIOS Es el mayor exponente si se trata de un grado

relativo y es el teacutermino de mayor grado si es el grado absoluto

Ejemplo

M = 7x5y2 ndash 2x8y6 + 8x3 y9

GR(x) = 8 GR(y) = 9 GA(M) = 14

3 PARA PRODUCTOS El grado absoluto o relativo seguacuten sean el caso de

cada factor se suman

Ejemplo

M(xy) = (3x7 ndash2y2+8x2y) (xy7 + 8x2)

GA(M) = 7 + 8 = 15 GR(x) = 7 + 2 = 9 GR(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Aacute L G E B R A


4 PARA UNA FRACCIOacuteN Al grado respectivo del numerador se le resta

el grado respectivo del denominador

Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus

GA(M) = 11ndash(2+3) = 6 GR(x) = 8ndash(1+2) = 5 GR(y)=4ndash(1+3) = 0

5 PARA UNA POTENCIA Al grado respectivo de la base se le multiplica

por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++

GA(M) = 5 middot 6 = 30 GR(x) = 2 middot 6 = 12 GR(y) = 5 middot 6 = 30

Polinomios importantes1 POLINOMIO HOMOGENEO Es aquel en el cual todos sus teacuterminos son

de igual grado absoluto

Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4

P(xy) es homogeacuteneo de grado 7

2 POLINOMIO ORDENADO Un polinomio seraacute ordenado con respecto a

una variable Si los exponentes de dicha variable estaacuten aumentando o

disminuyendo a partir del primer teacutermino

Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2

3 POLINOMIO COMPLETO Un polinomio seraacute completo con respecto auna variable si dicha variable posee todos los exponentes desde el mayor

hasta el exponente cero inclusive

Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0

4 POLINOMIOS IDENTICOS Dos polinomios son ideacutenticos si tienen el mismo

valor numeacuterico para cualquier valor asignado a sus variables En dos polinomiosideacutenticos los coecientes de sus teacuterminos semejantes son iguales

Es decir si ax2 + bx + c equiv mx2 + nx + p

Se cumple que a = m b = n c = p



Aacute L G E B R A


5 POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO Es aquel que se anula para cual-

quier valor de sus variables es decir

ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0

Notacioacuten PolinomialEs la representacioacuten de un polinomio por medio de diferentes variables o

estructura cuando la variable adopta un valor constante se obtiene el valor

numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7

P(y) = y3 + 5y2 + 7 P(xndash1) = (x ndash 1)3 + 5(x ndash 1)2 + 7

P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20

b) E = P(ndash2) + P(3) P(ndash2) = 3(ndash2) + 5 = ndash1

P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS01 Sea el monomio

2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=

Hallar su grado absoluto sabiendoque GR(z)=12

a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Hallar el valor de ldquonrdquo para que elgrado de

3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

03 Calcular el coeciente de

2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +

Sabiendo que GA=16 y GR(y)=7

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio

2a 2 3b(xy)M (a b)x y

minus= +

Hallar ldquoabrdquo si se sabe que

Coeciente (M)=GR(x) y GA=27

a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32

05 Se sabe que el grado absoluto delpolinomio ldquoFrdquo es 11 hallar el valorde ldquonrdquo

3n 1 n 2n 2 2n n 3 3n(xy)F x y x y x y

minus minus minus= minus +

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9

06 En el siguiente polinomio

a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +

Hallar ldquoa+brdquo sabiendo que GA=12

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

07 Si el polinomio P(x) es completo

hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4

08 Hallar (m+n+p) si se sabe que elpolinomio

m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x

minus minus + minus += + +

Es completo y ordenado descenden-temente

a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+

Es completo hallar (2m-3n)

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

10 Sabiendo que el polinomio es homo-geacuteneo Calcular ldquomnrdquo

3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



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11 El grado del polinomio homogeacuteneoes 10

3 a 2 b 6 cax y z bx y z cxyz+ minus

Hallar la suma de sus coecientes

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Dado el polinomio homogeacuteneo

3 5 m n 4p(xy)P x y 3x y 7y= minus +

Se sabe que GR(x) = 6 Hallar el valorde (m+n+p)

a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4

13 Calcular (a2 + b2) Si

a(x 2) b(x 3) 2x 21minus + + equiv +

a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38

14 Determinar ldquom2 ndash n2rdquo en la siguienteidentidad de polinomios

m(x 2005) n(x 2003) x 2007minus + minus equiv minusa) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Hallar ldquomnrdquo si el polinomio es ideacutenti-camente nulo

2 2 2(m n 18)xy 2x y (n m)x y 0+ minus + + minus equiv

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5

Calcular el valor de P(4)

a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12

17 Si P(2x-3) = x+5 Calcular el valor deP(4x+1)

a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +

Calcular S=P (1)+P (-1) -2n

a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4

19 Si P(x) = ax+b Q(x) = bx+a

Ademaacutes P(3)=3 y Q(1)=1

Calcular el valor de P(Q(2007))

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


1 CUADRADO DE UN BINOMIO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a ndash b)2 = a2 ndash 2ab + b2

2 CUBO DE UN BINOMIO(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

(a ndash b)3 = a3 ndash 3a2b + 3ab2 ndash b3

(a ndash b)3 = a3 ndash b3 ndash 3ab(a ndash b)

3 CUADRADO DE UN TRINOMIO

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)

4 CUBO DE UN TRINOMIO

(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)

5 MULTIPLICACIOacuteN DE 2 BINOMIOSCON TEacuteRMINOS COMUNES

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

6 MULTIPLICACIOacuteN DE UN BINOMIOS

SUMA POR SU DIFERENCIA

(a+b)(andashb) = a2 ndash b2

7 MULTIPLICACIONES DE UN

BINOMIO POR TRINOMIO

(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3

8 IDENTIDADES DE LEGENDRE

(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)

(x + a)2 ndash (x ndash a)2 = 4xa

9 IDENTIDAD DE ARGAND

(x2m + xmyn+y2n)(x2m ndash xmyn + y2n) =

= x4m + x2my2n + y4n

10 IDENTIDAD DE GAUSS

a3 + b3 + c3 ndash 3abc equiv

equiv(a + b + c)(a2+b2+c2 ndashabndashac ndash bc)

11 IDENTIDAD CONDICIONAL

Si a + b + c = 0

rArr a3 + b3 + c3 = 3abc

rArr a2 + b2 + c2 = ndash2(ab+bc+ac)

Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS01 Si a+b=7 y ab=4

Calcular el valor de ldquoa2 + b2 rdquo

a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2

Indicar el valor de ldquoa3 ndash b3 ldquo

a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1

Calcular el valor de (a+b)2

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0

Determinar el valor de x4 + x

-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x

Hallar el valor de x6 + x-6

a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+

Encontrar el valor de

2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5

09 Se sabe que a b 7b a+ =

Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1

Reducir la expresioacuten

2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A


11 Evaluar la expresioacuten

2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140

13 Si abcisinR ademaacutes

a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8

14 Sabiendo que abcisinR tal que(a+b+c)2=3(ab+bc+ac)

Determine el valor de

8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0

Calcular el valor de2 2 2

(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2

17 Si a 2b a 2b 4b+ + minus =Calcule el valor de

a 2b a 2b+ minus minus

a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que

2 2 2 2 2m n m n n+ minus minus =


2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y

Calcular el valor de ldquoxyrdquo

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4

20 Sabiendo que x2+y2=2y-6x-10

Indicar el valor de x4+y4

a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A


Divisioacuten AlgebraicaOperacioacuten que se realiza entre polinomios que consiste en hallar dos poli-

nomios llamados COCIENTE y RESIDUO conociendo otros dos polinomios

denominados DIVIDENDO y DIVISOR que se encuentra ligados por la re-

lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Donde D(x) Dividendo

d(x) Divisor

q(x) Cociente

r(x) Residuo o Resto

PROPIEDADES DE LA DIVISIOacuteN

Gdo (D(x)) ge Gdo (d(x)) Gdo (q(x)) = Gdo (D(x)) ndash Gdo(d(x))

Gdo (r(x)) lt Gdo (d(x))

Ademaacutes

Maacuteximo Gdo (r(x)) = Gdo (d(x)) ndash 1

Principales metodos de divisioacuten

METODO DE WILLIAM G HORNER

Pasos a seguir

1 Coeciente del dividendo ordenado decrecientemente en una variable

completo o completado

2 Coecientes del divisor ordenado decrecientemente en una variable

completo o completado con signo contrario salvo el primero

3 Coecientes del cociente que se obtienen de dividir la suma de los ele-

mentos de cada columna entre el primer coeciente del divisor Cadacoeciente del cociente se multiplica por los demaacutes coecientes del divisor

Divisioacuten de polinomios

UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea

para colocar dichos resultados a partir de la siguiente columna en forma

horizontal

4 Coecientes del residuo que se obtienen de sumar las columnas nales

una vez obtenidos todos los coecientes del cociente

ESQUEMA GENERAL

OBSERVACIOacuteNLa liacutenea divisoria se colocaraacute separando tantos teacuterminos de la parte nal del

dividendo como grado del divisor

Meacutetodo de Paolo RuffiniSe utiliza cuando el divisor es de primer grado

Pasos a seguir

1 Coecientes del dividendo ordenado decrecientemente completo o com-pletado con respecto a una variable

2 Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor se iguala a cero

3 Coecientes del cociente que se obtienen de sumar cada columna lue-

go que el coeciente anterior se ha multiplicado por (2) y colocado en la

siguiente columna

4 Resto de la divisioacuten que se obtiene de sumar la uacuteltima columna



Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN

Si el coeciente principal del divisor es diferente de la unidad el cocienteobtenido se deberaacute dividir entre este valor

Teorema del restoSe utiliza para obtener el resto de una divisioacuten Consiste en igualar a cero al

divisor y despejar la mayor potencia de la variable para que sea reemplazada

en el dividendo

OBSERVACIOacuteNDespueacutes de realizar el reemplazo debe comprobarse que el grado del poli-

nomio obtenido sea menor que el grado del divisor



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1

2 Indicar el teacutermino independiente delcociente en la divisioacuten

4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5

3 Dividir Hallar (p+q) si la divisioacuten

x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8

4 Calcular ldquoa+brdquo si la divisioacuten es exacta

4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45

5 Determinar ldquoa+brdquo si la divisioacuten

4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus

minus +Deja como resto x+8

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

6 Dividir Hallar (a + b) si la divisioacuten

x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )

Deja por resto -27x - 11

a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2

7 Determinar la suma de coecientes del

cociente de la siguiente divisioacuten

5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2

minus + minus + minusminus

a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35

8 Hallar el resto en la siguiente divisioacuten

5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10

9 Calcular la suma de coecientes del

cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10 Hallar el resto en

15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A


11 Calcular el resto de la siguiente di-visioacuten

4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0

12 Hallar el resto al dividir

23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

13 El residuo de la divisioacuten

6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)

Cuando ldquoyrdquo es igual a

a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3

14 Determinar (a+b) para que el poli-nomio

P(x) = x4 ndash 3x3 + ax + b

Sea divisible por (x2 ndash 2x + 4)

a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16

15 Calcular ldquoardquo

3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus

Si el resto de la divisioacuten es ldquo2a - 4rdquo

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257

17 Calcular el resto

2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2

+ minus + minus + minus

+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15

minus minus minus minus minus

+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25

19 Calcular el resto en la divisioacuten

10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30

minus + minus +minus +

a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A


ConceptoSon aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin necesidad

de efectuar la operacioacuten de divisioacuten

CONDICIONES QUE DEBEN CUMPLIR m mx a

x a

plusmnplusmn

Donde x a bases iguales

m isin Z+ m ge 2

CASOS

1 Si R = 0 rArr m mx a

x a

plusmnplusmn

= q(x) rArr cociente notable

2 Si R ne 0 rArr m mx a

x a

plusmnplusmn = q(x) +

ax

)x(R

plusmn rArr cociente completo

Tambieacuten seguacuten la combinacioacuten de signos se puede analizar 3 casos dando

en cada caso un CN

Deduccioacuten de los CN

Divisioacuten indicada Cocientes Notables

seguacuten su forma n isin z +

ax

ax nn

minusminus

= xnndash1 + xnndash2a + xnndash3a2 + +anndash1 forall n

ax

ax nn

++

= xnndash1 ndashxnndash2a+xnndash3a2 ndash +anndash1 forall n (n impar)

ax

ax nn

+

minus

= xnndash1 ndash xnndash2a + xnndash3a2 ndash ndash anndash1 forall n (n par)

Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A


CONDICIOacuteN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN CN

Deqp

nm

ax

ax

plusmn

plusmn se debe cumplir r

q

n

p

m == r isin Z+

Ademaacutes r rarr indica el nuacutemero de teacuterminos de q(x)

Foacutermula del teacutermino general de un CNEs una foacutermula que nos permite encontrar un teacutermino cualqiera en el desarrollo

de los CN sin necesidad de conocer los demaacutes

De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn

un teacutermino de lugar k (teacutermino cualquiera de q(x)) viene dado por la foacutermula1kkn

signo

taxk minusminus= rarr

Donde

x rarr 1er teacutermino del divisor

a rarr 2do teacutermino del divisor

n rarr nuacutemero de teacuterminos de q(x)

Reglas para determinar el signoa) Si d(x) = x ndash a rarr todos los teacuterminos del CN son (+)

b) Si d(x) = x + a rarr se tiene

i) Teacuterminos del lugar impar son (+)

ii) Teacuterminos del lugar par son (ndash)

Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr

tk rarr teacutermino de lugar k contado del teacutermino nal



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Determinar el valor de ldquomrdquo en el co-

ciente notable exacto

5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12

2 iquestQueacute lugar ocupa en el desarrollo delcociente notable

160 280

4 7

x y

x y

minus

minus

el teacutermino en grado absoluto 252

A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+

+Es un cociente notable Hallar el valor

de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

4 Si la expresioacuten13

623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x

Es un cociente notable Hallar el nuacute-mero de teacuterminos

A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7

5 Sabiendo que n2 ndash 31n + 234 = 0

hallar el nuacutemero de teacuterminos de lasiguiente divisioacuten exacta

n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15

6 Hallar el valor numeacuterico del teacuterminode lugar 29 del cociente notable

( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6

7 El nuacutemero de teacuterminos de

a b

3 5

x ndash y

x ndash y

es ocho iquestCuaacutel es el quinto teacutermino A) x20y9 B) x8y18 C) x9y20

D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus

tiene 12teacuterminos

Si el cuarto teacutermino contiene un x degrado 16 y a + b = 5 hallar ldquonrdquo

A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48

9 Calcular (n-m) si el deacutecimo seacuteptimo

teacutermino de 75 y x

y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50

10 Hallar el coeciente del tercer teacutermino

del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A


11 Hallar el valor de (m + n) si el t60 deldesarrollo de

148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y

es x140 y1416 si el cociente es no-table

A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11

12 Reducir aplicando cocientes notablesindicando el nuacutemero de teacuterminos del

cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1

+ + + helliphellip+ +

+ + + helliphellip+ + A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

13 En el cociente notable

3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus

El cuarto teacutermino de su desarrollo es in-dependiente de x Halle el valor de ldquomrdquo

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

14 Hallar el valor numeacuterico del cuarto

teacutermino en el desarrollo del cocientenotable para x = 1

( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72

15 Hallar el teacutermino ideacutentico en el desa-rrollo de los cocientes notables

75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y

x ndash y A) x45y36 B) xy C) xy4

D) x36y45 E) xy2

16 Indicar cuaacutentos teacuterminos tiene el si-guiente desarrollo de

n p p

n

x ndash y

x yminusSi los grados absolutos de todos losteacuterminos van disminuyendo de 3 en3 y si ademaacutes el t40 de su desarrollotiene GA= 87

A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57

17 Calcular E = a + b + c si el teacutermino

central del desarrollo52 y x

y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394

18 Hallar el nuacutemero de teacuterminos delsiguiente cociente notable

helliphellip+ x195y140 ndash x190y147 +helliphellip

A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A


Es el proceso inverso de la multiplicacioacuten por medio del cual una expresioacuten

algebraica racional entera es presentada como el producto de dos o maacutes

factores algebraicos

FACTOR O DIVISOR- Un polinomio no constante de otro cuando lo divide

exactamente por lo cual tambieacuten es llamado divisorFACTOR PRIMO RACIONALndash Llamamos asiacute a aquel polinomio que no se

puede descomponer en otros factores Racionales dentro del mismo cam-

po

Ejemplo

El proceso

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x +ab es una multiplicacioacuten

En cambio el proceso

x2 + (a+b)x +ab = (x+a)(x+b) es una FactorizacioacutenDonde (x+a)(x+b) son factores primos

Meacutetodos de factorizacioacuten

I MEacuteTODO DE FACTOR COMUacuteN ndash AGRUPACIOacuteN

Factor Comuacuten MonomioConsiste en extraer la parte que se repite en todos los teacuterminos para lo cual

se extrae la expresioacuten repetida elevada a su menor exponente EjemploFactorizar E = 7x5y5 ndash 2x3y3 + x2y2

El factor comuacuten monomio seraacute x2y2 Ahora dividiremos cada uno de los teacuter-

minos entre dicho factor comuacuten para lo que queda en el polinomio Luego

de dicho proceso se tendraacute

E = x2y2(7x3y3 ndash 2xy + 1)

Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A


Factor comuacuten polinomioSe usa este meacutetodo cuando el polinomio posee un factor comuacuten de 2 o maacutes

teacuterminos Por lo general se encuentra luego de agrupar teacuterminos y bajo los

siguientes criterios

ndash De acuerdo al nuacutemero de teacuterminos Ejm Si el polinomio tiene 8 teacuterminos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4

ndash De acuerdo a los coecientes de los teacuterminos

Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12

Como no hay factor comuacuten monomio podemos agrupar los 4 teacuterminos de 2

en 2 y en forma ordenada

En cada uno de los grupos

E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Comuacuten Polinomio (x4+y4) Ahora dividimos cada agrupacioacuten entre el

factor comuacuten polinomio

E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo

Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores tienen

un uacutenico divisor que es si mismo Esta expresioacuten tendraacute 2 factores primos

II MEacuteTODO DE LAS IDENTIDADES

Aplicacioacuten de identidades notables para estructuras conocidas

Recordemos los siguientes

A983081 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 983080TCP983081

A2 plusmn 2AB + B2 = (A plusmn B)2

ObservacioacutenEl trinomio o cuadrado perfecto es el desarrollo de un binomio al cuadrado

se caracteriza porque el doble del producto de la raiacutez de dos de sus teacuterminos

es igual al tercer teacutermino

Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado

Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A


B983081 DIFERENCIA DE CUADRADOS

A2 ndash B2 = (A + B) (A ndash B)

Ejemplos (1)

Factorizar x4 ndash 4b2

Solucioacuten

Se tiene (x2)2 ndash (2b)2 = (x2 + 2b)(x2 ndash 2b)

Ejemplo (2)

Factorizar x2 + 2xy +y2 ndash z6

Solucioacuten

x2 + 2xy + y2 ndash z6 rarr (x + y)2 ndash (z3)2

= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)

C983081 SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS

A3 plusmn B3 = (A plusmn B) (A2 isin AB + B2)Ejemplo

Factorizar 27x3 ndash8

Solucioacuten (3x)3 ndash 23 = (3x ndash 2)(9x2+6x+4)

III ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar expresiones trinomias o aqueacutellas que adopten esa

forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo

Factorizar a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab ndash 28

(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma

Ax2+Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

Ejemplo 1

Factorizar

20x2 + 22yx + 6y2 ndash 33x ndash 17y + 7 5x 3y ndash7

4x 2y ndash1

Luego a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab ndash 28 = (a+b+7)(a+bndash4)



Aacute L G E B R A


La expresioacuten factorizada es

(5x + 3y ndash 7) (4x + 2y ndash 1)

Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)

V ASPA DOBLE ESPECIAL


Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

REGLA1 Se descompone el teacutermino de mayor grado y el teacutermino independiente

se calcula la suma del producto en aspa

2 A la suma obtenida se le agrega la expresioacuten que haga falta para ver el

teacutermino central La expresioacuten agregada es la que se descompone para

comprobar los otros terminos del polinomioEjemplo (1)

Factorizar

P (x) = x4 + 5x3 + 4x2 ndash x ndash 15

x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2

(4x2) ndash (ndash2x2) = 6x2

there4 P(x) = (x2 + 3x ndash 5) (x2 + 2x + 3)

VI MEacuteTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS

Con este meacutetodo se busca uno o maacutes factores binomios primos



Aacute L G E B R A


CONSIDERACIONES1 Si P(x0) = 0 entonces (xndashx0) es un factor primo de P(x)

2 Los demaacutes factores se encuentran al efectuar0xx

)x(P

minus3 Los valores que anulan a P(x) se pueden encontrar

=Posiblesceros P(x)dePrincipalCoefDiv isores

P(x)deindepTDiv isoresx0 =

Ejm Factorizar

P(x) = x3 ndash 6x2 + 11x ndash 6

Posibles ceros =1deDivisor 6Divisoresplusmn

Posibles ceros = plusmn 1 2 3 6

Probando con uno de ellos para x = 1 por Rufni

0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus

R = 0 lo que signica que x = 1 es un cero luego un factor es (x-1)

Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Factorizar e indicar la suma de sus

coecientes de uno de sus factores

primos

x6 ndash x4 + 2x2 ndash 1

a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5

2 Factorizar e indicar un factor

Primo

b2 + c2 ndash a2 ndash d2 +2ad +2bc

a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)

c) (a-b-c+d) d) (a+b+c+d)

e) ( a-b+c+d )

3 Hallar un factor primo al factorizar

abx2 + ( a2 + b2)x + ab

a) ax+b b) ax-b c) b-ax

d) bx-a e) x+a

4 Factorizar e indicar la suma de los co-

ecientes de los factores primos

3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12

5 Factorizar e hallar el factor primo quese repite

F(x) = x4 ndash 4x2- 12x ndash 5

a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3

6 factorizar e indicar la suma de los co-

ecientes de un factor primo

( x ndash y )m + 2m + (y ndash x)n ndashzn

a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4

7 Factorizar e indicar la suma de los coe-cientes del factor primo cuadraacutetico

x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5

8 Factorizar e indicar el nuacutemero de fac-tores primos

F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5

9 Uno de los factores de

x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3

11 Factorizar e indicar la suma de susfactores primos

x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2

12 Factorizar e indicar el teacutermino inde-pendiente de uno de sus factoresprimos

F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

13 Sentildeale un factor primo x(x-2) + y(y-2) +2xy +1

a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1

14 Factorizar e indicar la suma de los teacuter-minos independientes de los factoresprimos

x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A


Maacuteximo Comuacuten Divisor (MCD)El Maacuteximo Comuacuten Divisor de 2 o maacutes polinomios es otro polinomio que tiene

la caracteriacutestica de estar conteido en cada uno de los polinomios Se obtie-

ne factorizando los polinomios y viene expresado por la multilicacioacuten de los

factores primos comunes afectados de sus menores exponentes

Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo (MCM)El Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo de 2 o maacutes polinomios es otro polinomios que tiene

la caracteriacutestica de contener a cada uno de los polinomios Se obtiene facto-

rizando los polinomios y viene expresado por la multiplicacioacuten de los factores

primos comunes y no comunes afectados de sus mayores exponentes

Ejm Hallar el MCM y MCD de los polinomios

A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3

Rpta Como ya estaacuten factorizados el

MCD (ABC) = (x2+1)2 (xndash2)2

MCM (ABC) = (x2+1)6 (xndash2)4 (x+3)4 (x+7)6 (x+5)6

PROPIEDAD

Soacutelo para 2 polinomios A(x) B(x)

Se cumple

MCD(AB) middot MCM(AB) = A(x) middot B(x)

MCD ndash MCM ndash Fracciones

UNIDAD 7



Aacute L G E B R A


Fracciones Algebraicas

I FRACCIOacuteN ALGEBRAICA

Una fraccioacuten algebraica se obtiene como la divisioacuten indicada de dos

polinomios N(x) y D(x) siendo D(x) polinomios no constante

Denotado )x(D)x(N

Donde

N(x) polinomio numerador (no nulo)

D(x) polinomio denominador (no constante)

Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++

II Signos de una fraccioacutena) Signo del Numerador

b) Signo del Denominador

c) Signo de la Fraccioacuten propiamente dicha

yxF

+++=

Si intercambiamos un par de signos por un mismo signo el valor de la fraccioacutenno se altera en el ejemplo anterior es decir

yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A

B A minus=minus=minus

Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A


III Regla para simplificar fracciones Debemos factorizar el numerador y denominador para luego eliminar

los factores comunes

Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten

Factorizando y Simplicando

)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(

Fminusminusminusminusminus+=

2x3x

minus+=

IV Operaciones con fracciones

1 ADICIOacuteN O SUSTRACCIOacuteN

Es preciso dar el Miacutenimo Comuacuten Muacuteltiplo (MCM) de los denominadores

Se presentan los siguientes casos

A) Para fracciones homogeacutenea

Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+

B) Para fracciones heterogeacuteneas

Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+

C) Para 2 fracciones

Regla practica ywyzxw

wz

yx +=+

2 MULTIPLICACIOacuteN En este caso se multiplican numeradores entre si y los mismo se hace

con los denominadores Debe tenerse en cuenta que antes de efectuar laoperacioacuten puede simplicarse cualquier numerador con cualquier denomina-

dor (siempre que sean iguales)

Ejm f dbeca

f e

dc

ba

sdotsdotsdotsdot=sdotsdot

1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Hallar el MCD de

P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1

D) x2 ndashx+1 E) x2 ndash1

2 Hallar el nuacutemero de factores primosen que se descompone el MCM delos polinomios

P(x) = x2 ndash 3x + 2

Q(x) = x2 ndash 5x + 6

R(x) = x2 ndash 4x + 3

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de

x4 + 2x3 ndash px2 + qx + r

x3 + 7x2 ndash qx + 20

es (x2+3x+5) hallar pqr

A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170

4 Hallar el valor de E en la expresioacuten

b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2

ab x y xy a b 4abxyM

a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +

A) ax+by B) ax-by C) ax by

ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1

6 Efectuar el siguiente producto

1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus

A) ab B) ndashba C) abD) ba E) 1

8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x

x 7x 6x 8 x 10x 21minus + + minus += divide

minusminus + minus +

A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6

11 Hallar el MCD de los polinomios

P(x) = x3 + x2 ndash 4x ndash 4

Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A


12 Si los polinomios

P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n

Rx) = 2mx3 + 2nx2 + px ndash q

Admiten como MCD a 2x2 + 2x + 1hallar un divisor de R(x)

A) x2+2xndash1 B) x-3 C) x2+x+1D) 3x-1 E) 2x+1

13 Calcular (A+B) en la identidad

3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

16 Hallar la suma de los teacuterminos delMCD de los polinomios

P(xy) = x3 ndashxy2 + x2y ndash y3

Q(xy) = x3 ndash xy2 ndash x2y + y3

R(xy) = x4 ndash 2x2y2 + y4

A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4

18 El producto de dos polinomios es

(x6 ndash 2x3 + 1 ) y e l coc ien-te de su MCM y su MCD es(xndash1)2 Hallar el nuacutemero de teacuterminosdel MCD

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

19 Hallar la suma de coecientes del

MCM de

P(x) = x4 ndash 11x2 ndash 18x ndash 8

Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4

20 Si la fraccioacuten

3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +

Admite simplificacioacuten iquestCuaacutel es eldenominador que se obtiene si seefectuacutea dicha simplicacioacuten

A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A


Desarrollo general del Coeficiente Binomico

1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m

)(mn minusminus+minusminusminus=

Ejemplo

79212345

89101112)(125 =

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot=

Propiedades del Coeficiente Binomico1) Si el iacutendice es cero el coeciente vale uno

1m0 =

2) Si el iacutendice inferior es la unidad el coeciente es igual al iacutendice supe-

rior

mm1 =

3) Suma de coecientes binoacutemicos

=

+

+

++1m

1nm

1nmn

4) Las propiedades siguiente se cumplen cuando los elementos son nuacutemeros

naturales debiendo ser la base mayor o igual que el orden Estos opera-

dores tambieacuten se les denomina nuacutemeros combinatorios y se les representapor

mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm

mn CC minus= )()(oacute m

nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==

d) mnC nmsi0)(mn lt==

Binomio de NewtonCONCEPTO

Se daacute este nombre a la potencia indicada de un binomio

Ejemplo

(a+b)5 (andashb) ndash2 (1+x) ndash13





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Hallar el valor de ldquonrdquo

(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42

6 Calcular el valor de ldquonrdquo para que eldeacutecimo Teacutermino del desarrollo de

n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

7 Dado el binomio (x + a)4

Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa

8 En el desarrollo del binomio

(x5+x3) 10

Calcular el seacuteptimo teacutermino

a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32

9 iquestQueacute lugar ocupa el teacutermino cuyasuma de exponentes de x e y sea 48

en el desarrollo del binomio

(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14

10 Dado el binomion14 )xx( minus+

Hallar ldquonrdquo para que el 5to teacutermino

Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24

11 Calcular el quinto teacuterminosdel desarrollo de

8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19

12 Indicar el teacutermino independientede ldquoxrdquo en el desarrollo de

92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112

13 Indicar el valor de ldquomrdquo en (x7+ ym) 25 si el teacutermino de lugar 14 es de laforma

84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el

teacutermino de lugar 17 es de la forman 2

17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23

15 Si en el desarrollo del binomio(3x3 + 2x-1y2) n existe un teacutermino cu-yas potencias de ldquoxrdquo e ldquoyrdquo son respec-tivamente 5 y 8 encontrar el nuacutemerode teacuterminos del desarrollo

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

16 iquestQueacute lugar ocupa el Teacutermino que

tiene como grado absoluto 17 en eldesarrollo de

2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6

17 Si los coecientes de los Teacuterminos

3ro y 2do del desarrollo de (a+b)n Suman 78

Calcular el nuacutemero de teacuterminos del

desarrolloa) 7 b) 8 c) 9

d) 13 e) 6

18 Hallar (n+k1) si T3= 405XK1 al d e -sarrollar

n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26

19 Halla el valor de ldquonrdquo

1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando

TRANSFORMACION DE RADICALES DOBLES A SIMPLES

Regla Praacutectica

baab2)ba( plusmn=plusmn+

Donde (a gt b)

Ejemplos

Transformar 23625 +=+ uarr uarr 3+2 3middot2

FOacuteRMULA GENERAL DE TRANSFORMACIOacuteN

2C A

2C AB A minusplusmn+=plusmn

Donde B AC 2 minus= C isin Q

Ejemplo

Transformar 608 minus

Solucioacuten A = 8 B = 60

2608C 2 =minus=

Luego 2 282 28608 minusminus+=minus

35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A


RacionalizacioacutenRACIONALIZACIOacuteN

Llamamos asiacute a la transformacioacuten de una expresioacuten irracional en otra que sea

completamente racional haciendo uso para ello del factor racionalizante

FACTOR RACIONALIZANTE (FR)Llamamos asiacute a aquella expresion irracional tal que al multiplicar a otra que

tambieacuten es irracional la convierte en una expresioacuten racional

CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(

anteRacionalizFactor

Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA

Por lo general en la mayoriacutea de los ejercicios o problemas lo que se racionaliza

son los denominadores esto no necesariamente es asiacute pudiendo racionali-

zarse tambieacuten numeradores



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2

72 50 8+ minus se ob-

tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +

a) 2 12minus b) 322 minus

c) 12 d) 2 12+

e)342 +

5 Hallar ldquoxrdquo

16 2 48 2(x 1)minus = minus

a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

6 Hallar ldquoMrdquo

61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14

9 Determinar ldquoMrdquo

261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 410 Determinar

39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8

12 La expresioacuten

2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2

b a bminus minus d) ab a+

e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2

+ +divideminus minus

a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus

d) 2 3minus e) 3 1minus

15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2

x 1 xminus + d) x 1 x 1+ minus minus

e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2

28 (n 1) 3 5 nminus + = minus

a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32

19 Hallar ldquoErdquo

251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6

20 El valor de la suma del teacutermino

Racional se obtiene al efectuar

3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z

Nuacutemeros ComplejosDEFINICIOacuteN

Se llama nuacutemero complejo a todo par ordenado (xy) de componentes rea-

les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)

El conjunto cumple con todos los axiomas de R con excepcioacuten de la relacioacuten

de orden

Donde

x se le llama parte real de Z (Re(Z)=x)

y se le llama parte imaginaria de Z (im(Z)=y)

i es la unidad imaginaria establecido por 1ii1

2

minus=rArr=minusZ es la variable compleja

x+yi es el nuacutemero complejo

(xy) es el nuacutemero o par complejo

Tipos de nuacutemeros complejosLuego de algunas deniciones necesarias tenemos los tipos de complejos

1 COMPLEJO REAL O PURAMENTE REAL

Es aquel nuacutemero complejo que carece de la parte imaginaria es decir

su parte imaginaria es cero

Notacioacuten

z = (x0) = x forall x isin R

2 COMPLEJO IMAGINARIO PURO

Es aquel nuacutemero complejo que carece de la parte real es decir su parte

real es cero ademaacutes su parte imaginaria siempre es diferente de ceroNotacioacuten

z = (0y) = yi forall y isin R ndash 0



Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO

Es aquel nuacutemero complejo que presenta la parte real e imaginaria igual

al nuacutemero cero es decir las dos componentes son nulas

Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES

1 Dado el complejo z = (xy) = x+yi se dene el conjugado de z denotado

por z tal que

z = (x ndashy) = x ndash yi

2 Dado el complejo z = (xy) = x+yi se dene el opuesto de z denotado por

z tal que

z = (ndashx ndashy) = ndashx ndash yi

Ejemplo I

Sea z = (4 ndash5) rArr

minus=

=minus

)54(z

)54(z

Aacutelgebra de los nuacutemeros complejosSe realizan mediante los axiomas del conjunto R

Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten

(5+7i) ndash (9+2i) = (5ndash9) + (7ndash2)i = ndash4 + 5i

Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i

minus + minus+ minus+ = = = + + + minus minus

Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix

minusρplusmn+ρ=+ i



Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ

Elementos geomeacutetricos del Nuacutemero ComplejoSi Z = x + yi es un complejo se denen

1ordm) Moacutedulo de un nuacutemero complejo

22 yx|Z| +==ρ x y isin R |Z| ge 0

2ordm) Argumento de un nuacutemero complejo

θ

=xy

tgarc x ne 0 α isin R

3ordm) Representacioacuten geomeacutetrica

Todo nuacutemero complejo se puede representar por puntos en el plano

llamado Plano Complejo o Diagrama de Argand

Sea Z = x+yi x ^ y isin R

FORMA POLAR O TRIGONOMEacuteTRICA DE UN COMPLEJO

z = ρ(Cosθ+iSenθ) = ρCisθ

FORMA EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO

z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

02 Halle Re(Z)+Im(Z) sabiendo que

2 6 32

Z (1 i) i i= + + minus

a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0

04 Calcular a + b si

4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +

a) 12i b) 13i c) 14id) ndashi e) 0

09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0

12 Hallar el moacutedulo

2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4

13 Indicar el moacutedulo

(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i

minus minus minus= + + minus +

a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1

17 Calcular ldquonrdquo real si

4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=

+Es un complejo reala) 9 b) 8 c) 7

d) 6 e) 5

18 Hallar ldquobrdquo para que el complejo

6 2iZ

1 bi

+=+

Sea imaginario puroa) 1 b) -1 c) 2d) ndash2 e) -3

19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20 Si 5 x yi 7 24i+ = minus hallar elvalor de

2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD

Es la relacioacuten que existe entre cantidades que tienen el mismo valor

ECUACIOacuteN

Es una igualdad relativa que se verica soacutelo para determinado(s) valor(es)de su incoacutegnita

Ejemplo

La ecuacioacuten x ndash 7 = 3

Se verica soacutelo para x = 10

SOLUCIOacuteN DE UNA ECUACIOacuteN

Se llama asiacute al valor de la incoacutegnita que reemplazando en la ecuacioacuten verica

la igualdad Si la ecuacioacuten tiene una sola incoacutegnita a la solucioacuten tambieacuten sele denomina raiacutez

Ejemplo

x2 = 9 rarr soluciones o raiacuteces x=3 oacute x=ndash3

Clasificacioacuten de las ecuaciones

I ECUACIONES COMPATIBLES

Son aquellas que aceptan por lo menos una sola solucioacuten A su vez sedividen en

A ECUACIONES DETERMINADAS

Son aquellas que tienen un nuacutemero limitado de soluciones

Ejemplox2 ndash 1 = 24 rarr tiene dos soluciones

x = 5 oacute x = ndash5

Ecuaciones de primer grado

UNIDAD 11





Aacute L G E B R A


3 Si se eleva ambos miembros de una ecuacioacuten a un mismo exponente

entonces se puede introducir soluciones extrantildeas

EjemploResolver

7x2

+ = x ndash 7Solucioacuten

Elevando al cuadrado2

22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3

Pero si reemplazamos x = 3 en la ecuacioacuten dada tendremos

73732 minus=+ rarr 416 minus=

4 = ndash4 (no cumple)

Luego x = 3 es una solucioacuten extrantildea y la ecuacioacuten es incompatible pues

no tiene solucioacuten

OBSERVACIOacuteN

Siempre que se potencie los 2 miembros de una ecuacioacuten el valor o valores

obtenidos para ldquoxrdquo deben comprobarse en la ecuacioacuten dada pues pueden noser soluciones verdaderas

Ecuaciones de primer grado o lineales (Con una solaincoacutegnita)La ecuacioacuten lineal con una incoacutegnita

ax + b = 0 a ne 0

Tiene solucioacuten uacutenica

x = abminus

Por tanto para resolver una ecuacioacuten de primer grado con una incoacutegnita se

transponen todos los teacuterminos que contienen a la incoacutegnita a un miembro

de la ecuacioacuten y todos los teacuterminos que no la contiene al otro miembro de la

ecuacioacuten y se realizan las operaciones para el despeje de la incoacutegnita



Aacute L G E B R A


Ejemplo

Resolver la ecuacioacuten

ax + b2 = a2 + bx a ne b

Solucioacuten

Por supuesto aquiacute se sobre entiende que la incoacutegnita es x y que por tantotodas las letras representan constantes conocidas Entonces procederemos

como sigue

Por transposicioacuten ax ndash bx = a2 ndash b2

Factorizando (andashb)x = a2 ndash b2

Dividiendo entre (a ndash b) si a ne b x = a + b

Comprobaremos nuestra solucioacuten por sustitucioacuten directa de la raiacutez (a+b) en

la ecuacioacuten original asiacute obtenemosa(a+b) + b2 = a2 + b(a+b)

O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2

DISCUSIOacuteN DE LA RAIacuteZ

x =abminus de ax + b = 0

1 Si a = 0 b = 0 rarr La ecuacioacuten es indeterminada

2 Si a = 0 b ne 0 rarr La ecuacioacuten es incompatible

3 Si a ne 0 b ne 0 rarr La ecuacioacuten es determinada

Sistema de ecuaciones linealesUNA ECUACIOacuteN LINEAL CON DOS INCOacuteGNITAS (o variables) x e y es de

la forma ax+by = c en donde a b c son constantes y a b distintos de cero

Dos ecuaciones de este tipo

a2x + b2y = c2

constituyen un sistema de ecuaciones lineales en este caso de dos ecuacio-

nes con dos incoacutegnitas Todo par de valores de x e y que satisfagan ambasecuaciones simultaacuteneamente recibe el nombre de solucioacuten del sistema

Por ejemplo la solucioacuten del sistema x + y = 7 y x ndash y = 3 es x = 5 y = 2

a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A


Luego (α) = (β) y232

4y minusminus=+

Resolviendo y + 4 = ndash6 ndash 4y

5y = ndash10

y = ndash2Reemplazando en α x = 1

Clasificacion de los sistemas de ecuaciones(DE ACUERDO A SU SOLUCIOacuteN)

A SISTEMAS COMPATIBLES

Aquellos que tienen solucioacuten se subdividen en

A1) Determinado Nuacutemero de soluciones limitado

A2) Indeterminados Nuacutemero de soluciones ilimitado

B SISTEMAS INCOMPATIBLES IMPOSIBLES O ABSURDOS

Aquellos que no tienen solucioacuten

Analisis del sistema particular

a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2

El sistema seraacute

A Compatible Determinado

b

b

a

a 11 ne

B Compatible Indeterminado

c

c

b

b

a

a 111 ==

C Incompatible o Absurdo

c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS01 Resolver

3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14

minus minusminus = +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0

02 Si la ecuacioacuten

2 2ax ax 7 3x x 5a+ + = minus +Es de 1er grado el valor de ldquoxrdquoes

a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =

minus minus +a) 2 b) 3 c) 4

d) -2 e) Incompatible

04 Hallar ldquonrdquo para que la ecuacioacuten seaincompatible

2nx 5 n 8x 3n+ minus = +

a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16

minus + minus +=+ + + +

a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14

06 Resolver la ecuacioacuten

a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0

07 Hallar el valor de ldquoxrdquo

2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2

+ minus+ = minus minus

minus minus

a) R b) Oslash c) 13

d) R- 2 e) 32


3x 10 3x 2 6+ minus minus =a) 2 b) 3 c) 10

d) 4 e) Oslash

09 Resolver

x 5 2 x 9 2 4x 36minus + minus = + minus

a) 7 b) 9 c) R

d) -7 e) incompatible

1 0 R e s o l v e r l a e c u a c i oacute n 2 2 2

mx (m 5m 5)x 5m 9 xminus + minus + minus =

Si es de primer grado

a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b

minus minus minus minus minus minus+ + =

a) a+b+c b) a+b-c c) 1

d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12

13 Hallar ldquoxrdquo en la siguiente ecuacioacuten

2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =

Donde 2007geandisin n Z n

a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn

14 Resolver para ldquoxrdquo

x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6

+ minus + = minus minus + + =

a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)

16 Indicar ldquox+yrdquo en

2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1

17 Que valor debe tener ldquonrdquo para que elsiguiente sistema sea incompatible

(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5

18 Calcular el valor de ldquom+nrdquo si el siguien-

te sistema tiene innitas soluciones

(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5

minus minus minus = minus =

a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121

19 Hallar ldquox+yrdquo

3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0

a b y c Coecientes a ne 0

ax2 Teacutermino cuadraacutetico

bx Teacutermino lineal

c Teacutermino independiente

Resolucioacuten de la Ecuacioacuten de Segundo GradoI POR FACTORIZACIOacuteN Consiste en factorizar el 1er teacutermino de la ecua-

cioacuten empleando aspa simple o completando cuadrados enseguida se

iguala a cero cada uno de los factores obtenidos

Ejemplo

Resolver 2x2 ndash 5x ndash 3 = 0

Solucioacuten 2x2 ndash 5x ndash 3 = 0

2x +1

1x ndash3

(2x+1)(xndash3) = 0 rArr

=

minus=

3x

2

1x

2

1

II POR FOacuteRMULA Las raiacuteces de la ecuacioacuten ax2 + bx + c = 0 se obtiene

mediante la foacutermula

a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=

las raiacuteces x1 y x2 de la ecuacioacuten son

a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=

Ecuaciones de segundo grado

UNIDAD 12



Aacute L G E B R A


O expresando de otro modo la solucioacuten es

2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a

minus + minus minus minus +

EjemploResolver x2 + x + 3 = 0

Solucioacutena = 1 b = 1 c = 3

Reemplazando en la foacutermula

)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus

Propiedades de las raiacuteces1 SUMA DE RAIacuteCES Se obtiene dividiendo el coeciente del teacutermino lineal

con el signo cambiado entre el coeciente del teacutermino cuadraacutetico

a

bxx 21 minus=+

2 PRODUCTO DE RAIacuteCES Se determina dividiendo el teacutermino indepen-

diente entre el coeciente del teacutermino cuadraacutetico

x1 middot x2 a

c=

3 DIFERENCIA DE RAIacuteCES Se calcula con la siguiente foacutermula

Donde ∆ = b2 ndash 4ac

|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A


Naturaleza de las raiacutecesPara conocer la naturaleza de las raiacuteces de la ecuacioacuten cuadraacutetica se analiza

el valor que toma la siguiente relacioacuten

∆ = b2 ndash 4ac (discriminante)


1 ∆ gt 0 se tienen 2 raiacuteces reales y diferentes

2 ∆ = 0 se obtiene 2 raiacuteces reales e iguales

3 ∆ lt 0 se obtienen 2 raiacuteces complejas conjugadas

OBSERVACIOacuteN∆ ge 0 Raiacuteces Reales

Formacioacuten de la ecuacioacuten de segundo gradoExisten 2 procedimientos para formar una ecuacioacuten

1 Se forma un producto de 2do grado a partir de sus raiacuteces de dos binomios

cuyo primer teacutermino es la incoacutegnita siendo los segundos las raiacuteces con

signos cambiados nalmente se iguala a cero dicho producto

2 Consiste en calcular la suma s y el producto P de la raiacuteces luego se

reemplaza estos dos valores en la siguiente foacutermula

x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +

Y dar la diferencia entre el producto yla suma de las soluciones

a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1

03 Determinar el valor de ldquokrdquo si una de lasraiacuteces de la ecuacioacuten es igual a 3

2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13

04 Si a y b son las raiacuteces de la ecuacioacuten2

x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52

05 Hallar la menor raiacutez de la siguienteecuacioacuten Moacutenica de segundo grado

2(m 2)x (3m 8)x m 9minus minus minus + =

a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3

06 La diferencia de las raiacuteces de la

ecuacioacuten

2x mx 2 0minus + = es 1

Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4

07 Hallar ldquokrdquo para que las raiacuteces de laecuacioacuten

2x kx 8 k+ + = sean iguales (kgt0)

a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13

08 Para que valor de ldquoardquo la ecuacioacuten

2x (3a 1)x 5a 1 0minus minus + + = admiteraiacuteces iguales

a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0

09 Hallar ldquonrdquo para que las raiacuteces de laecuacioacuten

2(n 1)x (2n 8)x 2 2n+ minus minus + =Sean simeacutetricas

a) 7 b) 9 c) Rd) -7 e) incompatible

10 Calcular el valor de ldquonrdquo si las raiacuteces de

la ecuacioacuten2

(n 1)x 5x 3n 7minus minus + =

Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A


11 Hallar ldquonrdquo en la ecuacioacuten

29x 18(n 1)x 8n 24 0minus minus minus + =Si una raiacutez es el doble de la otra

a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3

12 Construir una ecuacioacuten cuadraacutetica

sabiendo que una de las raiacuteces es

1x 3 2i= +

a) x2 -6x+13=0 b) x2 -6x-13=0c) x2 +6x+13=0 d) x2 -6x+12=0e) x2 -6x+5=0

13 Formar una ecuacioacuten de segundo

grado sabiendo que una de las raiacute-ces es

1x 7 2= +a) x2 -14x+47=0 b) x2-14x-47=0c) x2+14x+47=0 d) x2-14x+47=0e) x2 -14x+51=0

14 Siendo x1 y x2 las raiacuteces de la ecua-

cioacuten 012 =minusminus x x Hallar el

valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1


cioacuten 0172 =+minus x x Hallar elvalor de

1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4

16 Calcular el valor de ldquomrdquo en la ecua-cioacuten

2(m 1)x (3m 12)x (3m 6) 0minus + + minus + =

Si sus raiacuteces son opuestas

a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5

18 Dada la ecuacioacuten

2x 2mx 3x 5m 1minus minus = minus

iquestPara que valor de ldquomrdquo la suma desus raiacuteces sea igual al producto delas mismas

a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2

19 Calcular Un valor de ldquomrdquo en la ecua-cioacuten

2x 2mx 2m 3 0minus + + =

Si admite una raiacutez doble

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

CLAVES01b 02c 03d 04d 05b06a 07b 08c 09a 10c11a 12b 13d 14a 15e16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


DEFINICIONES

Una desigualdad expresa que una cantidad real o una expresioacuten es mayor

o menor que otra

A continuacioacuten se indica el signicado de los signos de desigualdad

1) a gt b signica que a es mayor que b (o bien que a ndash b es un nuacutemeropositivo)

2) a lt b signica que a es menor que b (o bien que a ndash b es un nuacutemero

negativo)

3) a ge b signica que a es mayor o igual que b

4) a le b signica que a es menor o igual que b

5) 0 lt a lt 2 signica que a es mayor que cero pero menor que 2

6) ndash2 le x lt 2 signica que x es mayor o igual que ndash2 pero menor que 2

Una desigualdad absoluta es aquella que se verica para todos los valores

reales de las letras que intervienen en ella Por ejemplo (andashb)2 gt ndash1 es cierta

para todos los valores reales de a y b ya que el cuadrado de todo nuacutemero

real es un nuacutemero positivo o cero

Una desigualdad condicional es aquella que solo es cierta para determinados

valores de las letras Por ejemplo x ndash 5 gt 3 soacutelo es verdad para x mayor

que 8

Las desigualdades a gt b y c gt d son del mismos sentido Las desigualdades

a gt b y x lt y son de sentido contrario

Teoremas de las Desigualdades1) El sentido de una desigualdad no se modica si se suma o se resta un

mismo nuacutemero real a sus dos miembros Por consiguiente para pasar

un teacutermino de un miembro a otro de una desigualdad no hay maacutes que

cambiarle de signo

Por ejemplo si agtb se tiene a+cgtb+c y andashcgtbndashc y andashbgt0

Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A


2) El sentido de una desigualdad no se altera si se multiplica o divide por

un mismo nuacutemero real sus dos miembros

Por ejemplo si a gt b y k gt 0 se tiene ka gt kb y kb

ka gt

3) El sentido de una desigualdad se invierte cuando se multiplica o divide

por un mismo nuacutemero negativo sus dos miembros

Por ejemplo si a gt b y k lt 0 se tiene ka lt kb ykb

ka lt

4) Si a gt b y a b n son positivos se tiene an gt bn Pero a ndashn lt b ndashn

Ejemplos

5 gt 4 se tiene 53 gt 43 oacute 125 gt 64 pero 5 ndash3 lt 4 ndash3 oacute 641

1251 lt

16 gt 9 se tiene 1612 gt 912 oacute 4gt3 pero 16 ndash12 lt 9 ndash12 oacute 14 lt 13

5) Si a gt b y c gt d se tiene (a+c) gt (b+d)

6) Si agtbgt0 y cgtdgt0 se tiene ac gt bd

Tambieacuten

Desigualdades Estrictas

gt Mayor que

lt Menor que

Desigualdades No Estrictas

ge Mayor o Igual que

le Menor o igual que

Intervalo Cerrado [ ] Cuando intervienen los extremos a lt b

Luego a le x le b

Intervalo Abierto ][ lt gt cuando no intervienen los extremos

Luego a lt x lt b

Observacioacuten

El +infin y el ndashinfin se escribiraacuten como intervalos abiertos por no conocer su valor

Ejemplo x isin [2 infinrang

ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A


Inecuaciones de 1er GradoSon aquellos inecuaciones que presentan la siguiente forma

ax + b gt 0 (lt ge le)

Una inecuacioacuten de este tipo se resuelve agrupando los teacuterminos que contienen

a la incoacutegnita en un soacutelo miembro y los teacuterminos que no la contienen en el

otro para luego realizar un despeje

Inecuacioacuten de 2do Grado (con una incoacutegnita)FORMA

ax2 + bx + c gt 0 (lt ge le)

MEacuteTODOS DE RESOLUCIOacuteN

1 POR FACTORIZACION (ptos criacuteticos)

a Se factoriza el poliomio mediante un aspa simple

a1 Se hallan los puntos criacuteticos igualando cada factor a cero y se ubican

en la recta numeacuterica o eje lineal de coordenadas

a2 De derecha izquierda se ubican los signos (+) y menos (ndash) en forma

alternada en cada intervalo

a3 Luego si P(x) ge 0 se tomaraacuten los intervalos (+) positivos y si P(x) le 0se tomaraacuten los intervalos (ndash) negativos

Ejemplo

Resolver x2 ndash x ndash 6 le 0

1er Paso Factorizar x2 ndash x + 6 le 0

x ndash3

x 2 rArr (xndash3)(x+2) le 0

2do Paso Ptos criacuteticos x ndash 3 = 0 ^ x + 2 = 0

3 ndash2

3er Paso Ubicamos los puntos criacuteticos en la recta numeacuterica y hacemos la

distribucioacuten de signos

4to Paso Como P(x) le 0 tomamos el intervalo negativo

x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge

Sentildeale un valor que la verifcaa) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -3

02 Resolver siendo altb

2 2a(x b) b(x a) a bminus minus minus le minus

Sentildeale el menor valor que puedetomar ldquoxrdquo

a) a b) a+b c) 0d) ndasha e) -b


12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +

Indique la menor solucioacuten entera que

asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

04 Determinar el nuacutemero de solucionesenteras que verican la inecuacioacuten

3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver

x 7 3x 1 x 15minus le + lt +

Indique la suma de las solucionesenteras

a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6

06 Determinar el menor valor entero deldquoxrdquo si

1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07 Si x isin [79isin calcule el mayor valorde ldquoxrdquo

x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2

x x 20 0minus minus lt

a) x isin R b) 54minus c) 45minus

d) xisin f e) infinminus 4

09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge

Indique el menor valor entero positivo

que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le

a) xisinR b) 1infinminus c) 11minus

d) xisin f e) infin4

11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO

Conjunto de dos elementos en donde el orden en que esteacuten ubicados (los

elementos) indica una caracteriacutestica de los mismos

(a b)

1ordm componente (abcisa) 2ordm componente (ordenada)

Luego Si (a b) = (m n)

Entonces a = m ^ b = n

Producto cartesianoEs un conjunto que genera pares ordenados

Si A y B son conjuntos no vaciacuteos

AtimesB = (ab) a isin A ^ b isin B

Esta notacioacuten indica que en los pares ordenados generados las 1ras compo-

nentes pertenecen al conjunto A y las 2das componentes al conjunto B

Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)

Luego A times B ne B times A

Plano CartesianoEs aquel donde se ubican los puntos generados por los pares ordenados

Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN

Dados dos conjuntos no vaciacuteos A y B llamamos funcioacuten denida en A con

valores en B o simplemente funcioacuten de A en B a toda correspodencia f que

asocia a cada elemento x isin A un uacutenico elemento y isin B

NotacioacutenfArarrB or A

f rarrB

Se lee f es funcioacuten de A en B

Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten

G = (38) (51) (32) (7ndash3) Relacioacuten

No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma

NOTASi (a b) isin F entonces F(a) = b

Es la imagen de a en F

EjemploF = (40) (6ndash1) (82)

F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2

Regla de Correspondencia

y = F(x)

Variable Variable

dependiente independiente

Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)

Del proceso anterior podemos decir que una relacioacuten algebraica entre la

abcisa (x) y la ordenada (y) generan pares ordenados



Aacute L G E B R A


DominioEs el conjunto de valores que puede tomar la 1ra componente (abcisa)

considerando las restricciones

0D

N0n2

nege

RangoEs el conjunto de valores que asume la 2da componente (ordenada) de

acuerdo al dominioEjemplo

F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4

Funciones Especiales

y

x

f

y

x

f

funcioacutenesNofuncioacutenesNo

TEOREMA

Si f es una funcioacuten de R en R hArr toda recta paralela al eje y corta la graacuteca

a los maacutes en un punto

y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x

1 FUNCIOacuteN CONSTANTE Regla de correspondencia

f(x)=C

Df = R Rf = C

2 FUNCIOacuteN IDENTIDAD Regla de correspondencia

f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A


9 Hallar ldquo 3a -2brdquo Si

A (26)( 13)(22a b)(09)( 1b a)= minus minus minus minus

Representa una funcioacuten

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

10 Hallar el dominio de

(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus

a) lt05gt b)] 250 minuslt

c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt

11 iquestCuaacuteles de los siguientes graacutecos no

representa una funcioacuten

a) Solo I b) II y III c) I IV y V

d) IV y V e) I y III

12 Hallar el valor miacutenimo que tiene laordenada en la siguiente funcioacuten

2F(x) x x 3= minus +

a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114

13 Dadas las funciones

x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap

a) isin 0 +infinisin

b) isin ndashinfin 0isin

c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]

e) isin ndashinfin ndash1] isin isin1 +infinisin


x 1f(x)

x 2

minus=+

a) isin ndashinfin ndash2isin isin [ndash1 +infinisin

b) isin ndashinfin ndash2isin isin [1 +infinisin

c) isin ndashinfin ndash1isin isin [2 +infinisin

d) isin ndashinfin ndash2isin isin [ndash1 +infinisin

e) isin ndashinfin ndash2isin isin [ndash1 9isin

15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge

Hallar )3()2()5( F F F minus+

a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A


Progresiones AritmeacuteticasEs una sucesioacuten de nuacutemeros que se generan mediante la siguiente ley de

formacioacuten cada teacutermino es igual a su precedente maacutes una cantidad constante

nombrada razoacuten o diferencia de la progresioacuten

ELEMENTOS

Primer teacutermino a

Ultimo teacutermino u

Razoacuten o diferencia r

Teacutermino de lugar k TkNuacutemero de teacuterminos n

Suma de teacuterminos S

CLASES

1 CRECIENTES Cuando la razoacuten es una cantidad positiva

Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)

2 DECRECIENTES Cuando la razoacuten es una cantidad negativa

Ejemplo

divide 25 22 19 16 13 (r = 22 ndash 25 ndash3)

Formas de representar una PA1 Cuando no se conoce el nuacutemero de teacuterminos

divide a middot a+r middot a+2r middot a+3r middot

2 Cuando el nuacutemero de teacutermino es impar

andash3r middot andash2r middot andashr middot a middot a+r middot a+2r middot a+3r middot

NOTASe comienza por los dos teacuterminos marcados luego se agregan en ambos lados

la misma cantidad de teacuterminos hasta completar los teacuterminos requeridos

Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A


3 Cuando el nuacutemero de teacuterminos es par

middot andash5r middot andash3r middot andashr middot a+r middot a+3r middot a+5r middot

Teacutermino general de una PATk = a + (k ndash 1)r

Uacuteltimo teacutermino de la PASi la PA admite n teacuterminos el uacuteltimo ocupa la posicioacuten n es decir

Tn = u luego

u = a + (n ndash 1)r

TEOREMAEn toda PA nita se verica que la suma de dos teacuterminos equidistantes de

los extremos es constante e igual a la suma de los extremos

Sea la PA divide a middot b middot c middot d middot middot p middot q middot t middot u

Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA

Si la PA tiene un nuacutemero impar de teacuterminos el teacutermino central (TC) es lamedia aritmeacutetica de los extremos

2

uaTc

+=

Suma de teacuterminos de la PA

S = n2

ua

+

Ademaacutes al sustituir en esta relacioacuten

u = a + (nndash1)r resultaraacute

[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A


Interpolacioacuten de medios aritmeacuteticosInterpolar m medios aritmeacuteticos o diferenciales entre dos nuacutemeros dados a

y b es formar una PA con (m+2) teacuterminos cuyos extremos sean los nuacutemeros

propuestos a y b De lo expuesto se tiene

dividea

lesdiferenciaosaritmeacuteticomediosm b

1m

abr

+minus=

r razoacuten de interpolacioacuten

Progresiones GeomeacutetricasDEFINICIOacuteN

Es una sucesioacuten de nuacutemeros en la cual el primer teacutermino es distinto de cero

y cada uno de los siguientes se obtiene multiplicando su precedente por

na cantidad constante diferente de cero nombrada razoacuten o cociente de la

progresioacuten

ELEMENTOSPrimer teacutermino a


Razoacuten o cociente q



Producto de teacuterminos P

Clases1 CRECIENTES Aquellas cuya razoacuten en mayor que la unidad

Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)

2 DECRECIENTES Cuando su razoacuten es un nuacutemero positivo menor que la

unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A


3 ALTERNADAS U OSCILANTES Se caracteriza porque su razoacuten es un

nuacutemero negativo

Ejemplo

dividedivide 1 ndash3 9 ndash27 (q =1

3minus= ndash3)

Formas de representar una PG1 Cuando no se conoce el nuacutemero de teacuterminos

divide a aq aq2 aq3

2 Cuando el nuacutemero de teacuterminos es impar

2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA

En toda progresioacuten geomeacutetrica nita el producto de los teacuterminos equidistantes

de sus extremos es constante e igual al producto de los extremos

Sea la PG dividedivide a b c p t ubt = cp = = au

CONSECUENCIA

Si la PG admite un nuacutemero impar de teacuterminos el teacutermino central (TC) es la

media geomeacutetrica de los teacuterminos extremos

auTC =

TERMINO GENERAL DE UNA PROGRESIOacuteN GEOMEacuteTRICA

Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO

Si la PG tiene n teacuterminos el uacuteltimo ocupa la posicioacuten n es decir u = Tn

u = a qnndash1



Aacute L G E B R A


PRODUCTO DE TEacuteRMINOS

n)au(P =

SUMA DE TEacuteRMINOS DE UNA PG FINITA

1q)1q(a

Sn

minusminus= oacute 1q

auqS

minusminus=

Liacutemite de una Serie GeomeacutetricaLa suma de un conjunto innito de teacuterminos de una PG admite liacutemite sola-

mente si el valor absoluto de su razoacuten q verica |q| lt 1 este tipo de series

se nombran innitamente decreciente y en ellas cuando n rarr infin el uacuteltimo u

rarr 0

Al sustituir en la foacutermula

1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=

multiplicando ambos teacuterminos por ndash1

q1aSminus

= |q| lt 1

INTERPOLACIOacuteN DE MEDIOS GEOMEacuteTRICOSInterpolar m medios geomeacutetricos o proporcionales entre dos cantidades

propuestas a y b es formar una PG que contiene (m + 2) teacuterminos siendo

ademaacutes los extremos las cantidades propuestas De lo expuesto se tiene

dividedivide a

alesproporcionosgeomeacutetricomediosm

b

1mabq +=

q razoacuten de interpolacioacuten



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 El tercer teacutermino de una progresioacutenaritmeacutetica es 8 y el deacutecimo sexto teacuter-mino es 47 Encuentre la razoacuten

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

02 Hallar el primer teacutermino de unaprogresioacuten aritmeacutetica cuya suma delos 4 primeros teacuterminos es 20 y surazoacuten 6

a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6

03 La suma de los ldquonrdquo primeros teacuter-minos de una progresioacuten aritmeacutetica es117 la razoacuten 2 y el primer teacutermino 5Hallar el valor de ldquonrdquo

a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9

04 Hallar el primer teacutermino y la razoacuten dela progresioacuten aritmeacutetica cuyo uacuteltimoteacutermino es 16 y la suma de sus 10teacuterminos es igual a 70 Indicar la sumade ellos

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

05 En una progresioacuten aritmeacutetica el teacutermi-no de lugar 53 es 5 y el de lugar 17 es-58 Hallar la razoacuten

a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38

06 La suma de los 57 teacuterminos de unaprogresioacuten aritmeacutetica es 228 hallar elteacutermino central de la misma

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

07 En una progresioacuten aritmeacutetica de 25teacuterminos se sabe

3 23t t 56+ =

Hallar la suma de todos sus teacutermi-nos

a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540

08 Interpolar 3 medios aritmeacuteticos en-tre 13 y 21 Hallar el cuarto teacuterminoobtenido

a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16

09 Interpolar 4 medios diferenciales en-tre -8 y 12 Indicar el tercer teacuterminoobtenido

a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0

10 El nuacutemero de teacuterminos de la siguienteprogresioacuten geomeacutetrica

dividedivide 2 8 hellip 8192 es

a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A


11 Si el quinto teacutermino de una progresioacutengeomeacutetrica es 48 y el primero es 3calcular la suma de los tres primerosde lugares impares

a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70

12 En una progresioacuten geomeacutetrica la razoacutenes 05 y el decimosegundo teacutermino es72 Calcular el octavo teacutermino

a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456

13 Hallar el producto de los 11 primerosteacuterminos de una progresioacuten geomeacute-trica sabiendo que el teacutermino centrales 2

a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120

14 Interpolar 6 medios geomeacutetricos entre13 y 729 Halar el segundo teacutermino

a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6

15 La suma de tres nuacutemeros en PA es21 si a los dos primeros se les suma3 y al uacuteltimo 8 los nuevos nuacutemerosforman una progresioacuten geomeacutetricaHallar el valor del mayor de los teacuter-

minosa) 20 b) 12 c)7

d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16

17 Hallar la suma limite

2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15

18 Calcular la suma limite

2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20

19 Se deja caer una pelota desde unaaltura de 17 m En cada rebote alcan-za los 23 de la altura anterior iquestQueacutedistancia recorre hasta detenerse

a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A


El logaritmo de un nuacutemero real positivo en una base positiva y diferente de la

unidad es el exponente al cual hay que elevar al nuacutemero denominado base

para que nos reproduzca el nuacutemero dado

LogbN = α rarr N = bα

Siendo N gt 0 b gt 0 ^ b ne 1

Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52

Log31 = 0 rarr 1 = 3deg

Principales relacionesSe sabe LogbN = α (1)

N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades

1 LOGARITMO DE UN PRODUCTO

LogbM + LogbN = Logb(MN)

2 LOGARITMO DE UNA FRACCIOacuteN

Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A


3 LOGARITMO DE UNA POTENCIA

nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE

5 REGLA DE LA CADENA

Logab middot Logbc middot Logcm = Logam Logab middot Logba = 1

6 ADICIONALES

CologaritmosCologbN = = ndashLogbN

Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS01 Efectuar

5 2M log 125 log100 log 64= minus +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular

4 9 5R log 8 log 27 log 25= minus +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver

5 3 72log x 2log 2 log 4x

5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular

2 3 2 3log 6 log 6 log 3 log 2sdot minus minus

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular

2 4 5E 1 colog antilog log 625= minus

a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular

4 2 2 2M colog antilog log antilog 4= minus

a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


Denicioacuten 1

Si a isin R y n isin Z

an = a middot a middot a middot middot a (n factores)

Denicioacuten 2

Si a isin R ndash 0

a0 = 1

Denicioacuten 3

Si a isin R ndash 0 y n isin Z+

a ndashn = na

1

Denicioacuten 4

Si mn isin Q con n positivo y a isin R

n mn

m

aa ==mn( a)

Teoremas1 am middot an = am+n

2n

m

a

a= amndashn a ne 0

3 (amiddotb)n = an middot bn

4n

nn

b

a

b

a =

5 (am)n = ammiddotn = (an)m

6 nnn baab sdot=

7 n

nn

b

a

b

a

=

8n mcn cm aa =

9 mnm n aa =

10 mnnn m baba =

Ecuaciones exponencialesI BASES IGUALES

Si Nx = Ny rarr x = y

Obs N ne 0 ^ |N| ne 1

Ejemplo


Buscamos bases iguales

32xndash2 = 33xndash6

Luego

2x ndash 2 = 3x ndash 6 rArr 4 = x

II FORMAS ANAacuteLOGAS

Si MM = NN rarr M = N

Obs M ne2

1 ^ N ne

4

1

Ejemplo

Resolver 3x5 36x5

=

Buscando formas anaacutelogas

32x5 )6()x(5

= 6x5 6)x(5

=

Luego x5 = 6 rarr x = 5 6

NOTA Si af(x) = bf(x) rarr f(x) = 0

Ejemplo


x ndash 4 = 0 rarr x = 4

Leyes de exponentes y radicales

UNIDAD 1



Aacute L G E B R A



1 11 14 2


minus minus = +

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6

02 Simplicar

n 4 n 1

n 2

3 3(3)M

3(3 )

+ minus

+

minus=


a) 107 b) 91 c) 89

d) 76 e) 81

03 Calcular

11 3 33 5E 64 32

minusminus minus

= minus

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

04 Calcular

1 1 23 2 3 2

F 64 8 16

minus minus minus

= minus +a) 8 b) 9 c) 1

d) 3 e) 2

05 Efectuar

3 2

6 5

a b abM

ab

=

a) 1 b) a c) b

d) ab e) ab

06 Efectuar

5 3 15 3

56

9 3 9Q

9 27

sdot sdot=sdot

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07 Si ba = 5 y ab = 2


a 1 b 1b a

R a b+ +

= +

a) 57 b) 50 c) 58

d) 62 e) 64


a (1 a)aE (a 1) += +

a) 1 b) a c) 2a

d) 1a e) aa

09 Efectuar


a) 1 b) a c) a2

d) 2a e) a3

10 Calcular

10 5 1

5 6

12 18 16 A

8 54

minussdot sdot=sdot

a) 8 b) 9 c) 10

d) 6 e) 7



Aacute L G E B R A


11 Calcular

2 2

2

2

a 2 a 1

aa 1

9 9R

90

+ +

+

+=

a) 110 b) 19 c) 10

d) 1 e) 2

12 Calcular

a b a b2a 2b

a b a b

7 21 7S

7

minus minus

minus +

+=

a) 1 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4


n 42 2 2 2=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8



a) 3 b) 1 c) 2

d) -34 e) -74


9 x

3x 3

3 33

3 3

minus =minus

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 9

16 Resolver

xx 2

x 2minus =

a) 12 b) 14 c) 2

d) 116 e) 2-8


3n 20 nn 1

n

n nn

n n

minusminusminus =

minus

a) 20 b) 19 c) 21d) 16 e) 18


6 2xx 2=

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Resolver

x 1 x 4

4x 4x 5 x+

+ =a) 1 b) 14 c) 12d) 2 e) 4

20 Resolver2

( x 2 ) 2 2x 2

x 2+

=


2 2(x x 1)(x x 1)+ + minus +

a) 7 b) 1 c) 2d) 6 e) 8

CLAVES

01d 02a 03c 04e 05b

06c 07a 08b 09a 10b

11a 12b 13a 14e 15c

16b 17b 18d 19b 20a



Aacute L G E B R A







todas las variables




EjemploM = 85 x3 y2

GR(x) = 3 GR(y) = 2 GA(M) = 5



Ejemplo


GR(x) = 8 GR(y) = 9 GA(M) = 14



Ejemplo


GA(M) = 7 + 8 = 15 GR(x) = 7 + 2 = 9 GR(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Aacute L G E B R A




Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus



por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++




Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4





Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2



Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0







Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



1 11 14 2


minus minus = +

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 6

02 Simplicar

n 4 n 1

n 2

3 3(3)M

3(3 )

+ minus

+

minus=


a) 107 b) 91 c) 89

d) 76 e) 81

03 Calcular

11 3 33 5E 64 32

minusminus minus

= minus

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

04 Calcular

1 1 23 2 3 2

F 64 8 16

minus minus minus

= minus +a) 8 b) 9 c) 1

d) 3 e) 2

05 Efectuar

3 2

6 5

a b abM

ab

=

a) 1 b) a c) b

d) ab e) ab

06 Efectuar

5 3 15 3

56

9 3 9Q

9 27

sdot sdot=sdot

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

07 Si ba = 5 y ab = 2


a 1 b 1b a

R a b+ +

= +

a) 57 b) 50 c) 58

d) 62 e) 64


a (1 a)aE (a 1) += +

a) 1 b) a c) 2a

d) 1a e) aa

09 Efectuar


a) 1 b) a c) a2

d) 2a e) a3

10 Calcular

10 5 1

5 6

12 18 16 A

8 54

minussdot sdot=sdot

a) 8 b) 9 c) 10

d) 6 e) 7



Aacute L G E B R A


11 Calcular

2 2

2

2

a 2 a 1

aa 1

9 9R

90

+ +

+

+=

a) 110 b) 19 c) 10

d) 1 e) 2

12 Calcular

a b a b2a 2b

a b a b

7 21 7S

7

minus minus

minus +

+=

a) 1 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4


n 42 2 2 2=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8



a) 3 b) 1 c) 2

d) -34 e) -74


9 x

3x 3

3 33

3 3

minus =minus

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 9

16 Resolver

xx 2

x 2minus =

a) 12 b) 14 c) 2

d) 116 e) 2-8


3n 20 nn 1

n

n nn

n n

minusminusminus =

minus

a) 20 b) 19 c) 21d) 16 e) 18


6 2xx 2=

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Resolver

x 1 x 4

4x 4x 5 x+

+ =a) 1 b) 14 c) 12d) 2 e) 4

20 Resolver2

( x 2 ) 2 2x 2

x 2+

=


2 2(x x 1)(x x 1)+ + minus +

a) 7 b) 1 c) 2d) 6 e) 8

CLAVES

01d 02a 03c 04e 05b

06c 07a 08b 09a 10b

11a 12b 13a 14e 15c

16b 17b 18d 19b 20a



Aacute L G E B R A







todas las variables




EjemploM = 85 x3 y2

GR(x) = 3 GR(y) = 2 GA(M) = 5



Ejemplo


GR(x) = 8 GR(y) = 9 GA(M) = 14



Ejemplo


GA(M) = 7 + 8 = 15 GR(x) = 7 + 2 = 9 GR(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Aacute L G E B R A




Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus



por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++




Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4





Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2



Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0







Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


11 Calcular

2 2

2

2

a 2 a 1

aa 1

9 9R

90

+ +

+

+=

a) 110 b) 19 c) 10

d) 1 e) 2

12 Calcular

a b a b2a 2b

a b a b

7 21 7S

7

minus minus

minus +

+=

a) 1 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4


n 42 2 2 2=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8



a) 3 b) 1 c) 2

d) -34 e) -74


9 x

3x 3

3 33

3 3

minus =minus

a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 9

16 Resolver

xx 2

x 2minus =

a) 12 b) 14 c) 2

d) 116 e) 2-8


3n 20 nn 1

n

n nn

n n

minusminusminus =

minus

a) 20 b) 19 c) 21d) 16 e) 18


6 2xx 2=

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Resolver

x 1 x 4

4x 4x 5 x+

+ =a) 1 b) 14 c) 12d) 2 e) 4

20 Resolver2

( x 2 ) 2 2x 2

x 2+

=


2 2(x x 1)(x x 1)+ + minus +

a) 7 b) 1 c) 2d) 6 e) 8

CLAVES

01d 02a 03c 04e 05b

06c 07a 08b 09a 10b

11a 12b 13a 14e 15c

16b 17b 18d 19b 20a



Aacute L G E B R A







todas las variables




EjemploM = 85 x3 y2

GR(x) = 3 GR(y) = 2 GA(M) = 5



Ejemplo


GR(x) = 8 GR(y) = 9 GA(M) = 14



Ejemplo


GA(M) = 7 + 8 = 15 GR(x) = 7 + 2 = 9 GR(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Aacute L G E B R A




Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus



por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++




Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4





Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2



Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0







Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A







todas las variables




EjemploM = 85 x3 y2

GR(x) = 3 GR(y) = 2 GA(M) = 5



Ejemplo


GR(x) = 8 GR(y) = 9 GA(M) = 14



Ejemplo


GA(M) = 7 + 8 = 15 GR(x) = 7 + 2 = 9 GR(y) = 2 + 7 = 9

Grados y polinomios

UNIDAD 2



Aacute L G E B R A




Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus



por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++




Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4





Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2



Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0







Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




Ejemplo

M(xy) =)yx(xy

yx6yx5yx3

32

352847

+

+minus



por el exponente

Ejemplo

M =

6

52

32 y

yx

)yx(xyx

+

minus

++




Ejemplo

P(xy) = 3x5y2 + 6x7 + 2x3y4





Ejemplo

P(xy) = x8 + x5 ndash 2x4 + 5x + 2



Ejemplo

P(x) = 2x3 + 3x2 + x4 ndash 2x + 6x0







Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




ax2 + bx + c = 0

Se cumple

a = 0 b = 0 c = 0



numeacuterico

Ejemplo

P(x) = x3 + 5x2 + 7


P(1) = (1)3 + 5(1)2 + 7 = 13 VN

Ejemplo

Si P(x) = 3x + 5

Hallar

a) P[P(x)] P[P(x)] = 3 P(x) + 5 = 3(3x + 5) + 5

P[P(x)] = 9x + 20


P(3) = 3(3) + 5 = 14

E = ndash1 + 14 = 13



Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



2n 4 3n 1 5n 8(xyz)M 5x y z

minus + minus=


a) 28 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26


3n 2

2x y+

es 18

a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8


2 2 5a 3b 3 2b(xy)M (a b )x y

minus += +


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Dado el monomio


minus= +



a) 38 b) 39 c) 31d) 35 e) 32




a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9


a 3 b 2 a 2 b 3(xy)P 7x y 5x y

+ minus + minus= +


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


hallar ldquonrdquo

n 1 n 2 n 3(x)P x 3x x 5

+ + += + + +

a) 7 b) 0 c) 8

d) 2 e) 4


m 10 m n 5 p n 6(x)P x 3x 2x



a) 12 b) 32 c) 38

d) 16 e) 28

09 Si el polinomio

( )m n 4 2 3 3x y 4x y 5x y+


a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4


3m 2n 7 8 10 2m m n 1x y 2x y x y

minus + +minus +

a) 18 b) 19 c) 10

d) 16 e) 17



Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A





a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 11 b) 10 c) 7

d) 14 e) 4



a) 30 b) 31 c) 32

d) 34 e) 38



d) 4 e) 7



a) 17 b) 21 c) 13

d) 15 e) 80

16 Si P(x+1) = P(x) + x P(2) = 5


a) 12 b) 14 c) 20

d) 10 e) 12


a) 2x+5 b) 2x+7 c) 3x

d) 2x-1 e) 2x+8

18 Sabiendo que

2 3 2n(x)P 1 x x x x= + + + + +


a) 0 b) 1 c) 2

d) 8 e) 4




a) 1 b) 2 c) 3

d) 5 e) 4

20 Sabiendo que

(x)P 1 2 3 4 x= + + + + +


2(x 1)

(x) (x 1)

PE

P P

minus

minus

=sdot

a) 7 b) 1 c) 2

d) 6 e) 8

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



(a + b)2 = a2 + 2ab + b2



(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)






(a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(a+c)(b+c)


(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab






(a + b)(a2 ndash ab + b2) = a3 + b3

(a ndash b)(a

2

+ ab + b

2

) = a

3

ndash b

3


(x + a)2 + (x ndash a)2 = 2(x2 + a2)









Si a + b + c = 0



Productos Notables

UNIDAD 3



Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




a) 41 b) 29 c) 30

d) 27 e) 26

02 Si a-b=3 y ab=2


a) 15 b) 45 c) 35

d) 16 e) 18

03 Si a-b=3 y ab=1


a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 4

04 Si x2+3x+1=0


-4

a) 38 b) 39 c) 31

d) 35 e) 47

05 Si x2+1= 6 x


a) 14 b) 32 c) 52

d) 27 e) 59

06 Si a b2

b a+ =


2 25a b

F6ab

+=

a) ab b) 2 c) 3

d) 4 e) 1

07 Si 1 1 4

x y x y+ =

+


2 3

3 2

x yE

x y

+= +

a) 1 b) 3 c) 8

d) 2 e) 4

08 Sia b

27b a

+ =


4 4a b

Mb a

= minus

a) 1 b) 2 c) 8

d) 6 e) 5


Indicar el valor de

2 2a b

Sab

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 5

10 Si a=b+1


2 2 4 4 88E (a b)(a b )(a b ) b= + + + +a) 1 b) ab c) b

d) a e) 4ab



Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



2 416P 1 80(9 1)(9 1)= + + +

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

12 Si a+b+c=10

a2+b2+c2=40


P=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2

a) 110 b) 100 c) 70

d) 14 e) 140


a2+b2+c2=ab+bc+ac

Calcule el valor de

3 3

3

a bM

c

+=

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 8



8

78 8 8

(a b c)K

a b c

+ +=

+ +

a) 3 b) 1 c) 2

d) 4 e) 7

15 Si a+b+c=0


3 3 3(a b) (b c) (a c)

Mabc

+ + + + +=

a) 1 b) 2 c) 3

d) -1 e) -3

16 Si a+b+c=0


(2a b c) (a 2b c) (a b 2c)R

ab bc ac

+ + + + + + + +=

+ +

a) -1 b) -4 c) -2

d) 1 e) 2



a) 2 b) 7 c) 3d) 1 e) 8

18 Sabiendo que



2 2 2 2m n m n+ + minus

a) 0 b) 1 c) 2d) 8 e) 4

19 Si x2+y2+17=2x+8y


a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 4



a) 72 b) 81 c) 24d) 64 e) 82

CLAVES

01c 02b 03d 04e 05c

06e 07a 08e 09e 10d

11d 12e 13c 14a 15e

16c 17d 18c 19e 20e



Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A





lacioacuten

D(x) = d(x) q(x) + r(x)


d(x) Divisor

q(x) Cociente





Ademaacutes




Pasos a seguir








UNIDAD 4



Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


2

1

3 4

divisorialiacutenea


horizontal



ESQUEMA GENERAL




Pasos a seguir





siguiente columna




Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


ESQUEMA GENERAL

2 1

3 4

OBSERVACIOacuteN




en el dividendo





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS1 Dividir

x x x x

x x

4 3 2

2

4 6 7 2

2 1

+ + minus +

+ +

Indicando el resto

a) 1-10x b) 1+11x c)1-11xd) 10x-2 e) 4x-1


4 3 2

2

28x 2x 7x 22x 16

7x 3x 5

+ minus + minus

minus +

a) 1 b) 2 c) -3d) 4 e) -5


x p x q

x x

4 2

2

3 3

1

+ minus + +

+ +

( )

Es exacta

a) 1 b) -2 c) 2d) -1 e) 8


4 2

2

6x 13x ax b

2x 4x 5

minus + minus

minus +

a) 41 b) 42 c) 43d) 48 e) 45


4 3 2

2

12x 12x 13x ax b

2x 3x 5

minus + + minus


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50


x x x a x b

x x

4 3 2

2

4 6 2 3

2 1

minus + minus + + +

+ +

( )


a) 3 b) -3 c) 0d) 4 e) -2



5 4 3 23x 5x 7x 15x 9x 25

x 2


a) 31 b) 32 c) 33d) 34 e) 35


5 16 8 2

3

4 3x x x

x

+ minus +

+

a) 1 b) -2 c) -1d) 4 e) 10


cociente al dividir

13

2586 23

minus++minus

x

x x x

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


15 8 9 7 1

5 1

4 3 2x x x x

x

minus minus + +

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6



Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

+ minus + minus

minus

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 0


23

7222222 356

+minus

++++

x

x x x x

a) 7 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8


6 6 5 3

2 2

4 3 2 2 3 4

2 2

x x y x y xy y

x xy y

minus minus + minus

+ minus

Es igual a (-16)


a) -3 b) 0 c) 2

d) 5 e) 3




a) 8 b) -24 c) -16

d) -20 e) 16


3 2x (2 7)x (2 7 15)x 15 7 a

x 7

minus + + minus + +

minus


a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

16 Hallar el resto

2008 2008 16

2

x (x 2) (x 1)

x 2x 1

+ + +

+ minus

a) 128 b) 256 c) 3

d) 64 e) 257


2

(x 5)(x 1)(x 4)(x 2) x 14

x 3x 2


+ minus

a) x+1 b) x+2 c) x+3d) x+4 e) x+ 5


( )( )( )( )

( )( )

x x x x x

x x

2 2 2 21 4 9 4 81

4 5 15


+ minus +

a) 21 b) 27 c) 24

d) 29 e) 25


10 7

2

(x 5) (x 6) 6

x 11x 30


a) 2x-1 b) 2x-5 c) 2x-4

d) 4x e) 5


16 15 32 33

3 22x x 2 4x 2x xx 3x 3x 2

+ + + + ++ + +

a) 4+x2 b) 4-x2 c) 5-x2

d) 6-x2 e) 7-x2

CLAVES

01c 02c 03c 04d 05d 06c 07a

08c 09a 10b 11e 12e 13c 14c

15d 16e 17b 18c 19b 20b



Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A





x a

plusmnplusmn


m isin Z+ m ge 2

CASOS


x a

plusmnplusmn



x a


ax

)x(R



en cada caso un CN




ax

ax nn

minusminus


ax

ax nn

++


ax

ax nn

+

minus


Cocientes Notables

UNIDAD 5



Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



Deqp

nm

ax

ax

plusmn


q

n

p

m == r isin Z+




De la divisioacuten

ax

ax nn

plusmnplusmn


signo


Donde








Ademaacutes

kn1k

signo

t

axk minusminus

= larr




Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




5m 1 12m 5

m 5 m 1

x y

x y

minus minus

minus minus

minus

minus A) 10 B) 6 C) 7D) 8 E) 12


160 280

4 7

x y

x y

minus

minus


A) 30 B) 31 C) 32D) 33 E) 34

3 Si

3n 9 6n 11

n 1 2n 3

x y

x y

+ +

minus minus

+


de ldquonrdquo

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6


623

minusminus

++

minusminus

mm

mm

y x

y x


A) 5 B) 3 C) 6

D) 4 E) 7



n 1 n

2

x y y

x y y

minus minus

+

A) 17 B) 12 C) 1D) 14 E) 15


( )36 36

x 3 ndash x

2x 3

+

+

Para x= - 1 A) 128 B) 129 C) 4D) 5 E) 6


a b

3 5

x ndash y

x ndash y


D) x18y8 E) x12y20

8 El cociente deba

nm

y x

y x

+minus



A) 24 B) 36 C) 18D) 42 E) 48



y x nm

minusminus

es x115y112

A) 42 B) 45 C) 46D) 49 E) 50


del desarrollo de

12

3

x ndash 16

2x 4+ A) 2 B) 4 C) -2D) 8 E) 4



Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



148m 296n

2m 4n

x ndash y

x ndash y


A) 7 B) 8 C) 9

D) 10 E) 11


cociente70 68 66 2

32 28 24 4

x x x x 1

x x x x 1




3m m

3 1

x ndash x

x ndash x

minus

minus


A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6



( ) ( )6 62x 1 ndash x 1

x+ +

A) 16 B) 256 C) 128D) 64 E) 72


75 100

3 4

x ndash y

x ndash y

y 102 68

3 2

x ndash y


D) x36y45 E) xy2


n p p

n

x ndash y


A) 53 B) 54 C) 55D) 56 E) 57



y x ba

minus+

es x c y 120

A) 390 B) 391 C) 392

D) 393 E) 394



A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 E) 60

CLAVES

1 D 2 D 3 C 4 D 5 B

6 A 7 C 8 B 9 C 10 A

11 E 12 D 13 D 14 E 15 A

16 D 17 B 18 E



Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A








po

Ejemplo

El proceso












Factores Primos

Factorizacioacuten

UNIDAD 6

Factores primosxy

x3y3 ndash 2xy + 1



Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A







Ejm Factorizar

E = x12 + x8y4 + x4y8 + y12




E = x8(x4 + y4) + y8(x4 + y4)



E = (x4 + y4)(x8 + y8)

Factor Primo

Factor Primo












Ejemplo

cuadrado

alBinomio

23632 )y5x4(y25xy40x16 +=++

(4x)2+2(4x)5y3+(5y3)2

Luego es TCP



Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




Ejemplos (1)


Solucioacuten


Ejemplo (2)


Solucioacuten


= (x + y + z3)(x + y ndash z

3)





III ASPA SIMPLE


forma

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplo


(a+b)2 + 3(a+b) ndash 28

a+b 7 a+b ndash4

IV ASPA DOBLE



Ejemplo 1

Factorizar


4x 2y ndash1




Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




Ejemplo 2

Factorizar

6x2 + 23xy + 20y2 + 13xz + 22yz + 6z2

3x 4y 2z

2x 5y 3z


(3x + 4y + 2z)(2x + 5y + 3z)



Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E






Factorizar


x2 3x ndash5

x2 2x 3

ndash 2x2







Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




)x(P




Ejm Factorizar





0651

6511

61161

minus

minusdarr

minusminus


Luego P(x) = (x-1)(x2 - 5x + 6)

x -3 x -2

there4 P(x) = (x-1)(x-3)(x-2)



Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




primos


a) 1 b) 2 c) 3

d ) 4 e) 5


Primo


a) (a+b+c-d) b) ( a-b-c-d)


e) ( a-b+c+d )


abx2 + ( a2 + b2)x + ab


d) bx-a e) x+a



3x2 +4xy +y2 + 4x +2y +1

a) 8 b ) 9 c)10

d) 11 e) 12



a) x-1 b) x+1 c) x-2

d) x+2 e) x-3




a) 1 b) -1 c) 2 d) -3 e) 4


x5 + x + 1

a) 3 b) 1 c) 0 d) 4 e) 5


F(x) = x3 -11x2 +31x ndash 21

a) 3 b)1 c) 0 d) 4 e) 5


x6 - x2- 8x -16

a)x3-4 b) x3-2x+4 c)x2+2x+4

d)x3-x-4 e) x

3-x+4


x4 + 2x2+9

a) x2-3 b) x2-2x +3 c) x+1

d) x2+3 e) x2-2x-3


x4 +2x3+3x2+2x +2

a)3 b)-1 c) 4 d) 2 e) -2


F(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


a) x-y+1 b) x+y-1 c) x+y+1d) x-y-1 e) x-1


x5 +x4 +2x3- 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4





Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A











A(x) = (x+3)4 (x

2+1)

6 (xndash2)

2 (x+7)

6

B(x) = (x+7)2 (x2+1)3 (xndash2)4 (x+5)6

C(x) = (x+5)4 (x2+1)2 (xndash2)3 (x+3)3




PROPIEDAD


Se cumple



UNIDAD 7



Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A






Denotado )x(D)x(N

Donde



Ejm

2x1x2

minus+

2x

1x7

4

minus

+

4x

48x2x2

minus

++




yxF

+++=


yx

yx

yx

yxF

minus+minus=

minusminus+=

+minusminus=

+++=

Tambieacuten

B A

B A


Ejm Sumar x ne y

xyy

yxxS

minus+

minus=

yxxminus

= ndash)yx(

yminus

yxyx

Sminusminus= = 1



Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




Ejm

Simplicar

6x11x6x

)1x)(9x(F

23

2

minus+minus

minusminus=

Solucioacuten


)3x)(2x)(1x()1x)(3x)(3x(


2x3x

minus+=






Ejm2x

zyx

2x

z

2x

y

2x

x

+

+minus=

+

+

+

minus

+


Ejm bdf bdebfcadf

f e

dc

ba minus+=minus+



wz

yx +=+




Ejm f dbeca

f e

dc

ba


1x

x+ 7x

7x7x1x

x2x

2x7x

minus+=

minus+sdotminussdot

minus+sdot





Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A



P(x) = x3 ndash 1

Q(x) = x4 + x2 + 1

A) x2

+x+1 B) x2

+1 C)xndash1






A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

3 El MCD de




A) ndash340 B) 340 C) 680

D) ndash680 E) 170


b a x

b a x

b x

a x E

2

23

minus++minus

minus

minusminus

=

Para2

b a x

+=

A) 1 B) a+b C) a-b

D) (andashb)3 E) 0

5 Simplicar

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2


a axy bx by b xy

+ + + minus=

+ + +


ax by

+minus

D) ax byax by

minus+ E) 1


1 1 1 1E 1 1 1 1

x x 1 x 2 x 10

= + + + + + + +

A)x 10

x

+ B) x

1x + C) x

11x +

D)x

1 E)

x

2

7 Reducir2 2

2

ab b ab b A

ab ab a

+ minus= +minus


8 Efectuar

1a

1

1a

1

1a

a

1a

aR

23

minusminus

++

minus+

+=

A) a2+2 B) a-2 C) a+1D) a2-2 E) a2+1

9 Efectuar

2 2

2 2x 7x 12 x 3x 10 x 5E x



A) x B) x-1 C) 1

D) 2 E) 3

10 Six y z w

10x y z w

+ minus+ =minus +


wz

z

yx

xE

++

minus=

A) 5 B) 60 C) 5D) 9 E) 6



Q(x) = x

3

+ 3x

2

+ 2x A) x-1 B) x+1 C) x2+3x+2D) x-5 E) x+5



Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



P(x) = 6x4 + 4x3 + 5x2 + mx + n





3x2

B

2x

A

6xx2

11x52 minus

++

equivminus+

minus

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

14 Simplicar

4242

2442

x)xx1(

)x1()x1(f

minus++

minus++=

A) 2 B) 1 C) 1+x2

D) x2 E)

2

1

15 Si se cumple que

y2 = (1-x)(x+y)

Calcular int +

+=

23

32

yx

yx

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4





A) 0 B) 1 C) 2X

D) 3 E) 4

17 Efectuar

( ) ( )2 22

2 2

a x a yaM

xy x xy y xy

+ += + +

minus minus

A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4



A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


MCM de


Q(x) = x4 ndash 1

R(x) = x3 ndash 6x2 + 32

A) 0 B) 1 C) 2

D) 3 E) 4


3 2

3 2

ax (a 7)x (a 8)x (a 1)

ax (a 9)x (a 16)x (a 7)

minus + + + minus +

minus + + + minus +


A) 2x+1 B) 2x-1 C) 2x+3

D) 2x-3 E) 2x+5

CLAVES

1 A 2 C 3 C 4 E 5 E

6 B 7 D 8 A 9 C 10 E

11 C 12 D 13 B 14 A 15 B

16C 17 B 18 B 19 A 20 D





Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A



1)2n)(1n(n)1nm)(2m)(1m(m


Ejemplo

79212345

89101112)(125 =



1m0 =


rior

mm1 =


=

+

+

++1m

1nm

1nmn




mnC )(mn=

a))nm(n

m)(C mn

mn minus

==

b) mnm


nmmn minus=

c) mnC 1)(mm ==




Ejemplo






Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A



(2n 1)(2n)99 (2n 2)

(2n 1) (2n)

+= minus

+ minus

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

2 Hallar x en

(2x-1)=120

a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 3

3 Siendo

10 42ab =

Calcular ab

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

4 Calcular (n +m)

Si8

14n m

=

a) 9 b) 12 c) 10 d) 13 e) 15

5 Dado el binomio

2 19

9

12

(x y) Calcular

T

T

+

=

a) x6y-3 b) x2y5 c) 20

d) 30 e) 42


n3 15

2

1x contenga x

x

+

a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42


Calcular42 TT

a) 4 416x a b) 44ax4

c)3 3

16x a d) 33ax4 e) 4xa


(x5+x3) 10


a) 210x32 b) 210x34

c) 210x36 d) 210x38

e) 200x32



(x2+ y3) 18

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 14



Resulte de1er grado

a) 12 b) 16 c) 18 d) 20

e) 24


8

x

4

4

x

+

a) 59 b) 69

c) 70 d) 71



Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


e) 19


92

2 5050

+ x x

a) 72 b) 84

c) 96 d) 112


84 39

x y α a) 2 b) 3 c) 4 d)

5 e) 6

14 Dado el binomio

n

2 x

x

1

+ el


17 16T C x =

Calcular n

a) 19 b) 20 c) 21d) 22 e) 23


a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11



2 14

(x 2y)+a) 7 b) 12 c) 13

d) 14 e) 6





d) 13 e) 6


n2 )3x( minus

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 26


1 + 2 2 + 3 3 + + n n = 5039

a) 7 b) 5 c) 6

d) 8 e)10

CLAVES

1 A 2 E 3 D 4 A 5 A

6 C 7 A 8 D 9 D 10 E

11C 12 B 13 B 14 A 15 B

16B 17D 18 B 19 A



Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


Recordar

Indice rarrR An =

larr Raiacutez

darr Radicando


Regla Praacutectica


Donde (a gt b)

Ejemplos



2C A



Ejemplo



2608C 2 =minus=


35608 minus=minus

Radicacioacuten

UNIDAD 9



Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A







CASOS

babababa4

ba)baba()ba(3

ba)ba()ba(2

Akn A A1

Racional

Expresioacuten

)FR(


Irracional

Expresioacuten

3 233 233

3 233 233

n knn k

minus++minus

++minus+

minusplusmn

gtminus

NOTA






Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

1 Simplificar2


tiene

a) 13 b) 19 c) 29d) 49 e) 1899

2 Simplicar

3 27 6 12

108

+

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

3 Calcular

79 30 6 3 6+ minus

a) 4 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3

4 Hallar

28 16 3 2

3

+ +


c) 12 d) 2 12+

e)342 +



a) 2 b) 6 c) 7

d) 5 e) 3


61 24 5 2 5M

21 8 5

+ minus=+

a) -1 b) 12 c) 14

d) 1 e) 2

7 Hallar

3 2 2 2

2

+ minus

a) 12 b) frac14 c) 13

d) 2 e) 1

8 Resolver

2 11 6 2 9 4 2

10

+ minus +

a) 2 b) 1 c) 13d) frac12 e) frac14


261183M minus++=

a) 1 b) 2 c) 3


39 12 3 4 2 3minus + +

a) 6 b) 5 c) 4

d) 7 e) 8



Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



(2n 1) 4 5 5 n+ + = +

a) 3 b) 4 c) 2

d) 6 e) 8


2

2 2

b

a b a+ + es

a) a b+ b) 2 2a b b+ +

c)2 2


e)2 2

a b a+ minus

13 Racionalizar3

5 2minus

a) 5 2minus b)5 2

2

minusc)

5 2

3

minus

d) 2 3

5

+ e)5 2

10

minus

14 Efectuar

3 2 7 4 3

2 3 3 2


a) 2 3+ b) 6 2+ c) 6 2minus


15 Racionalizar

3 3

4

9 3 1minus +

a) 3 3 1+ ) b) 3 6 2+ c) 3 3 3+

d) 32 3 1+ e) 3 39 3 1+ +

16 Racionalizar

x 1 x 1

x 1 x 1

minus minus +

minus + +

a) 2x 1 1minus + b)

2x 1 x+ +

c)2


e)2

x 1 xminus minus

17 Simplicar

1

x 2 2 x 1 x 2 2 x 1+ + + minus + minus +

a) 2 b) frac12 c) 14d) 13 e) 4

18

Si2


a) 6 b) 1 c) 3

d) 2 e) 32


251 14 2 29 10 2 E E+ + minus = minus

a) 4 b) 3 c) 2d) 5 e) 6



3

3

16 4 8 2

4 2

minusminus

a)16 b)12 c)24d)2 e)1

CLAVES

1b 2c 3d 4d 5a

6d 7a 8d 9e 10d11b 12e 13a 14d 15a

16e 17b 18c 19a 20c





Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A


Luego deducimos que

ii 14 =+

1i 24 minus=+

ii 34 minus=+

Generalizando

kk4 ii =+

forall k isin Z



les

NOTACIOacuteN

Z = x + yi o Z = (xy)


de orden

Donde




2








Notacioacuten








Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


3 COMPLEJO NULO



Notacioacuten

z = (0 0)

DEFINICIONES


por z tal que



z tal que


Ejemplo I


minus=

=minus

)54(z

)54(z


Ejemplo

Adicioacuten

(2+15i) + (3+8i) = (2+3)+(15 +8)i = 5 + 23i

Sustraccioacuten


Multiplicacioacuten

(4+3i)(2+11i) = 8 + 44i + 6i + 33i2 = ndash25+50i

Divisioacuten

2

2

12 4 i 15 i 5 i 11 i(4 5i)(3 i)4 5i 17

3 i (3 i)(3 i) 10 109 i


Raiacutez cuadrada

2

x2

xyix




Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


EjeReal

Ejeimaginario

Radiovector

Z(xy)

|Z|=ρ

Polo

y

x

θ





θ

=xy









z = ρeθi



Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS

01 Efectuar

1 2 3 4 2009E i i i i i= + + + + +

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0


2 6 32


a) 2i b) 1 c) i

d) 3i e) 0

03 Calcular16 16

G (1 i) (1 i)= + + minus

a) 32 b) -i c) i

d) 16 e) 0


4 3a bi (1 i) (1 i)+ = + + minus

a) 8 b) 16 c) 32

d) -8 e) 0

05 Calcular

200813 21

17 25

1 i 1 iZ

1 i 1 i

+ minus= + minus +

a) 2i b) -2i c) i

d) ndashi e) 0

06 Calcular

21

25

29

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

+=+minus

+minusminus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

07 Reducir

E 2 i 2i= minus

a) 1+i b) 1-i c) i

d) ndashi e) 0

08 Simplicar

4 8 12 563 7 11 55

2 6 10 541 5 9 53

R i i i i= + + + +


09 Reducir

2 5M

1 i 2 i= +

+ minus

a) 1 b) -1 c) 2i

d) 3 e) 0

10 Simplicar

5 2 17S

1 2i 1 i 4 i= + +

+ minus minus

a) 1 b) 6 c) i

d) 6i e) ndashi



Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


11 Reducir

4 i 3 8iM

1 4i 8 3i

+ += +minus minus

a) 1 b) 2i c) i

d) ndashi e) 0


2(2 i)Z

2 i

+=

minus

a) 1 b) 2 c) 5

d) 0 e) 4


(1 3i)(2 2i)Z

( 3 7i)(1 i)

+ +=

+ minus

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

14 Calcular Z en

22 2025

20 16

(1 i) (1 i)Z i

(1 i) (1 i)

+ += + +

minus minus

a) 2 b) 2 c) 3

d) 5 e) 1

15 Obtener Z2007

1 iZ

1 i1

1 i1

1 i

minus=minus+

minus++

a) 1 b) -1 c) i

d) ndashi e) 0

16 Reducir

5 7 15i 11K (11 i)(i 1) (i 1)

64i


a) 14 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


4 (n 1)iZ

2 5i

+ +=


d) 6 e) 5


6 2iZ

1 bi

+=+


19 calcular

E 3 4i 3 4i= + + minusa) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


2 210 (x y) (y x)

M2

+ + minus=

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


IGUALDAD


ECUACIOacuteN


Ejemplo






Ejemplo










UNIDAD 11





Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A




EjemploResolver

7x2



22 )7x(7x minus=

+

x2 + 7 = x2 ndash 14x + 49

14x = 42 rarr x = 3






OBSERVACIOacuteN




ax + b = 0 a ne 0


x = abminus







Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


Ejemplo



Solucioacuten


como sigue






O sea la identidad

a2 + ab + b2 = a2 + ab + b2









a2x + b2y = c2




a1x + b1y = c1





Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A



4y minusminus=+


5y = ndash10










a1x + b1y = c1

a2x + b2y = c2



b

b

a

a 11 ne


c

c

b

b

a

a 111 ==


c

c

b

b

a

a 111 ne=



Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



3(x 1) x 2 x 10

4 4 7 14


a) 1 b) 2 c) 3

d) 34 e) 0



a) 32 b) 2 c) -12

d) 1 e) 12

03 Resolver

x 2 2x 3

x 2 x 2 x 5

+minus =





a) 4 b) -4 c) 54

d) 1 e) 0

05 Resolver

2 2

2 2

x 6x 10 x 6x 9

x 8x 17 x 8x 16


a) 2 b) 1 c) 12

d) ndash12 e) -14


a a b b1 1 1

b x a x

minus + minus =

a) a+b b) ab c) a-b

d) 1 e) 0


2(x 1) 45

2 x 2x 2 x 2


minus minus


d) R- 2 e) 32



d) 4 e) Oslash

09 Resolver


a) 7 b) 9 c) R





a) 1 b) 3 c) -4

d) -43 e) ndash374

11 Resolver

x a b x b c x c a3

c a b



d) a-b+c e) 0



Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



2 2

2

x 5 x 10x 26

x 7 x 14x 50

+ + + = + + +

a) 10 b) -8 c) -6

d) 7 e) 12


2(x 1) (x 2) (x 3) (x n) n+ + + + + + + + =


a) 1 b) 2007 c) n

d)21+n e)

21minusn


x 5 x 2 x 3 x 4

x 6 x 3 x 4 x 5

+ + + ++ = ++ + + +

a) -92 b) 29 c) 13

d) 5 e) 1

15 Resolver

x y x y 7

2 3 6x y x y 17

2 3 6


a) (14) b) (1-12) c) (34)

d) (15) e) (25)


2x 3y 2

2 3x 3 2y 2 3

minus =

+ =

a) 2 b) 1 c) 4

d) -14 e) -1


(3 n)x 5y 4

(n 2)x 2y 6

minus + = minus + =

a) 57 b) 87 c) 167d) 6 e) 5



(m 3)x (n 5)y 10

4x 3y 5


a) 11 b) 22 c) 12

d) 0 e) 121


3 x 2 y 12

9x 4y 108

+ =

minus =

a) 10 b) 20 c) 30

d) 14 e) 25

20 Resolver

3 3 3a x a x 5a+ + minus =

a)2

5

4a b) 2a c) 3 a2

d) 4 e) 1

CLAVES

01b 02c 03d 04d 05b

06a 07b 08c 09a 10c

11a 12b 13d 14a 15e

16d 17b 18c 19a 20c



Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


Forma general

ax2 + bx + c = 0








Ejemplo



2x +1

1x ndash3


=

minus=

3x

2

1x

2

1



a2

ac4bbx

2 minusplusmnminus=


a2

ac4bbx

2

1

minus+minus= a2

ac4bbx

2

2

minusminusminus=


UNIDAD 12



Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



2 2b b 4ac b b 4ac

2a 2a





)1(2

)3)(1(4)1(1x

2

=minusplusmnminus

= 1 11 i

2

minus plusmn

x1 =1 11 i

2

minus + x2 =

1 11 i

2

minus minus



a

bxx 21 minus=+



x1 middot x2 a

c=



|x1 ndash x2| =a

∆



Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A
















x2 ndash Sx + P = 0



Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



x 1 x 3 2

x 2 x 4 3

+ +minus =+ +


a) 5 b) 15 c) 9

d) 6 e) 17

02 Resolver

22x 9 2x 3minus = +

a) 3 b) -2 c) -4d) -5 e) 1


2x 7x k 0minus + =

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 13


x 6x 5 0minus + =

Calcular

1 1E

a b

= +

a) 1 b) 2 c) 3

d) 65 e) 52



a) 2 b) -2 c) -4

d) -4 e) 3


ecuacioacuten


Hallar m2

-5a) 2 b) -2 c) -4

d) 11 e) 4



a) -8 b) 4 c) -6

d) 10 e) 13



a) -1 b) -3 c) 9d) 3 e) 0





la ecuacioacuten2


Son reciprocas

a) 2 b) -2 c) -4

d) 4 e) 3



Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




a) 2 b) -2 c) 0

d) 1 e) 3



1x 3 2i= +







valor de

1 2

2 1

x xM

x x= +

a) -9 b) 9 c) -32

d) 5 e) 1



1 2M x x= +

a) 5 b)1 c) 2

d) 3 e) 4




a) 2 b) -2 c) 4

d) -4 e) 3

17 Resolver

2x (2x 3) 4(2x 3)

2 x 2 x

minus minus=

minus minus

a) 7 b) 8 c) 17d) -32 e) 5




a) 11 b) -27 c) 27

d) 0 e) 2


2x 2mx 2m 3 0minus + + =


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5




Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


DEFINICIONES


o menor que otra




negativo)











que 8






cambiarle de signo


Desigualdades

UNIDAD 13



Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A





ka gt




ka lt


Ejemplos


1251 lt




Tambieacuten


gt Mayor que

lt Menor que





Luego a le x le b


Luego a lt x lt b

Observacioacuten



ax

b

ax

b

20x

ndashinfin infin



Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A

















Ejemplo



x ndash3



3 ndash2




x isin [ndash2 3]



Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



3x - 4 5x - 6 8 - 7x

2 4 2+ ge


d) -1 e) -3






12 12x 8 4 x

x - 6 x - 6

minus + ge minus +


asume ldquoxrdquo

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8


3x 12 4

2

+lt lt

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

05 Resolver



a) 15 b) 11 c) 12

d) 5 e) 6


1 1 1

7 2x 1 3le lt

+a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


x 3

x 2

+minus

a) 1 b) 0 c) 2d) 127 e) 3

08 Resolver

2




09 Resolver

2

x x 72 0+ minus ge


que se verica

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

10 Resolver

2

x 8x 20 0+ + le



11 Resolver

2x 10x 27 0+ + ge







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A


PAR ORDENADO



(a b)









Ejemplo

A = 1 2 3 B = 7 8

AtimesB = (17) (18) (27) (28) (37) (38)

BtimesA = (71) (72) (73) (81) (82) (83)



Eje deabcisas

Eje deordenadas

O

(++)

(+ndash)

(ndash+)

(ndashndash)

Funciones

UNIDAD 14



Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


Funcioacuten

DEFINICIOacuteN





f rarrB


Ejemplo

F = (23) (47) (89) (50) Funcioacuten


No es funcioacuten

I = (16) (32) (4 5) (16) Funcioacuten

es la misma




F(4) = 0 F(6) = ndash1 F(8) = 2


y = F(x)

Variable Variable


Ejemplo y = 2x + 3 o F(x) = 2x + 3

F(1) = 5 F(3) = 9 F(5) = 13 F(0) = 3

F = (15) (39) (513) (03)





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




0D

N0n2

nege



F (25) (37) (84) (04)

Dom F = 23 80 Ran F = 5 7 4


y

x

f

y

x

f


TEOREMA



y

x

f

funcioacutenEs

y

Cgt0

C=0

Clt0

x


f(x)=C

Df = R Rf = C


f(x)=x o I(x)=x

Df = R Rf = R

y

45deg

f

x







Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7









Aacute L G E B R A





a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5


(x)1 1

F xx 2 5 x

= + +minus minus


c) 250 minusgtlt

d) 255 minusgtlt

e) [ 250 minusgt







a) -12 b) 3 c) 114d) 12 e) -114


x 1f(x)

x 2

+=minus

2

g(x) x 1= minus

Calcule g f D Rcap



c) [ndash1 1isin

d) isin ndash1 1]



x 1f(x)

x 2

minus=+






15 Sea

23x 1x 3F(x)2x 5x 3

+ lt= minus ge


a) -9 b) 15 c) 16

d) -7 e) 17





Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7







Aacute L G E B R A





ELEMENTOS






CLASES


Ejemplo

divide 4 9 14 19 24 (r = 9 ndash 4 = 5)


Ejemplo








Progresiones

UNIDAD 15



Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A






Tn = u luego





Luego

b + t = c + q = d + p = = a + u

CONSECUENCIA


2

uaTc

+=


S = n2

ua

+



[2a (n 1)r]nS

2

+ minus=



Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A





dividea


1m

abr

+minus=






progresioacuten








Ejemplo

divide 2 6 18 54 (q =2

6= 3)


unidad

Ejemplo

divide 48 24 12 6 (q =4824 =

21 )



Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




Ejemplo


3minus= ndash3)


divide a aq aq2 aq3


2q

a q

a a aq aq2


qa

q

aq

a35

a q aq3 aq5

TEOREMA




CONSECUENCIA



auTC =


Tk = a qkndash1

ULTIMO TEacuteRMINO


u = a qnndash1



Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



n)au(P =


1q)1q(a

Sn


auqS

minusminus=




rarr 0


1qauq

Sminusminus=

1qa

1qaq0

Sminus

minus=minus

minussdot=


q1aSminus

= |q| lt 1




dividedivide a


b

1mabq +=




Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A


PROBLEMAS


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 2 b) 3 c)-4

d) 5 e) -6


a) 7 b) 3 c)11

d) 5 e) 9


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


a) 94 b) 34 c) 74

d) 112 e) 38


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 6


3 23t t 56+ =


a) 640 b) 720 c)100

d) 700 e) 540


a) 21 b) 17 c)19

d) 15 e) 16


a) 2 b) 3 c)4

d) 5 e) 0



a) 2 b) 3 c)4

d) 7 e) 6



Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



a) 60 b) 63 c)54

d) 687 e) 70


a) 1125 b) 1162 c)114

d) 1152 e) 3456


a) 3072 b) 1024 c)64

d) 2048 e) 5120


a) 1 b) 3 c)4

d) 5 e) 6



d) 9 e) 15

16 Calcular

2 3 41 1 1 1

S 3 3 3 3

= + + + +

a) 12 b) 13 c) 14

d) 1 e) 16


2 3

1 2 1S

7 7 7= + + +

a) 2116 b) 18 c) 316

d) 14 e) 15


2 4 6 62 2 2 2

S 2 3 4 3 3 3 3

= + + + +

a) 3625 b) 2536 c) 14d) 4 e) 20


a) 40 b) 50 c) 65

d) 80 e) 85

20 Calcular

2 4 6

3 7 15S

2 2 2= + + +

a) 53 b) 54 c)73

d) 687 e) 70

CLAVES

01b 02c 03e 04c 05c

06c 07d 08c 09e 10d

11b 12d 13d 14a 15a

16a 17c 18a 19e 20a



Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A







Ejemplos

Log525 = 2 rarr 25 = 52



N = bα (2)

De (1) en (2)

De (2) en (1)

Ejemplo

(m gt 0 ^ m ne 1)

Propiedades




Logariacutetmos

UNIDAD 16



Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A



nLogbN = LogbNn

4 CAMBIO DE BASE



6 ADICIONALES


Ejemplos

Colog525 = Log5

1

25

= ndash2

Antilogaritmo

Ejemplo

Antilog34 = 34 = 81

Antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

Logb AntilogbN = N

Antilogb LogbN = N



Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7





Aacute L G E B R A




a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

02 Calcular


a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

03 Efectuar

3 8 2log 7 log 27 log 3

S 3 2 4= + +

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 19

04 Calcular

4 4 4 42 3 A log log 3=

a) 3 b) 4 c) 8

d) 6 e) 7

05 Calcular

15

5

216M log 6 36=

a) 1 b) 4 c) 5

d) 9 e) 7

06 Resolver

3log (x 2) 2

9 x 12+ = +

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 2

07 Resolver


5 3 7+ =

a) 2 b) 4 c) 5

d) 6 e) 8

08 Calcular


a) 0 b) 1 c) 2

d) 6 e) 5

09 Resolver

1logx loga 2logb

2= minus

a) a b) 2ba

c)2

a

d) 1 e) ab

10 Calcular


a) 9 b) 3 c) -9

d) -7 e) 7

11 Calcular


a) 2 b) 4 c) 5

d) 8 e) 7



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