algebra lineal ejercicios propuestos
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Problemas resueltos Luis Zegarra Agramont
ALGEBRA LINEAL
Problema 1.
Dado el sistema B +B B B œ ," # $ %
B ,B #B B œ -" # $ %
B -B #B #B œ +" # $ %
B B B B œ + , -" # $ %
i) Determine los valores de y para que el sistema dado admita como+ß , -solución a:
, para un valor del parámetro fijo.\ œ > >
" "# !! "" #
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø ii) Determine condiciones entre y para que el sistema dado tenga solución+ß , -
exáctamente con un parámetro, luego encuentre una solución particular y lasolución del sistema homogeneo asociado en este caso.
Solución.
i) qué sea solución del sistema\ œ > Ê \ œ ß \
" " " ># ! #! " >" # " #>
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø dado es que lo satisfaga es decir,
Ô ×Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø" + " " " > ," , # " # -
" - # # > +" " " " " #> + , -
œ Í
#+ , œ #
#, - > œ !
+ #- $> œ "
+ , - %> œ #
Resolviendo resulta: y + œ ß , œ ß - œ > œ#$ " "$ *
## "" ## ##
ii) Se debe anular una fila completa de la siguiente matriz, para obtenerexáctamente un parámetro en la solución,
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
" + " " ã ," , # " ã -
" - # # ã +" " " " ã + , -
µ † † †
luego se debe tener
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Øa b a b
a b a ba b
" #+ - ! ! ã #, +
! , - ! " ã + -
! + $, #- " ! ã #+ , $-
! + #, #- " ! ! ã $ + -
ß
" "$ $
" "$ $
asíÐ+ #, #- " œ ! • $ + - œ !Ñ Ê + œ - • , œ - "a b a b"#
resulta la solución
parámetro.\ œ > ß >
#, -
!
$- "
!
-
"
- $
- "
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Øa ba b a ba b
"$
"'
"$
"'"#
Problema 2.
Dado el sistema
#B B B B œ '" # $ &
B B (B 5B %B œ $" # $ % &
$B B B B œ :" # $ %
a) Determine y de modo que y en este caso obtenga y5 : \ œ ÖB ß B ß B ×ß PF # % &
.Y
b) Resuelva por para la base PY \ œ ÖB ß B ß B ×F # $ &
Solución.
a) , la exigencia de supone \ œ ÖB ß B ß B × Ê F œ \ F" ! "
" 5 %" " !
F # % & F
Ô ×Õ Ø
no
singular B 0 Í l l Á Í $ 5 Á ! Í 5 Á $
Se debe hacer préviamente con TF œ ß T œ" ! " " ! !" " ! ! ! "
" 5 % ! " !
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
con el fín de no imponer condiciones no necesarias para excepto así5ß 5 Á $ß
y Y œ P œ
" ! " " ! !! " " " " !! ! 5 $ " 5 "
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
b) Nótese que la matriz asociada a la base es singular, porF \ œ ÖB ß B ß B ×F # $ &
lo que es imposible resolver el sistema con esta exigencia.
Problema 3.
Dada la matriz E œ
" # $ *# $ & "%$ % ( "*% & * #%& ' "" #*
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø a) Determine una base para el subespacio .M7E
b) Determine una base para el subespacio dondeO/<E [ß
[ œ Ö Bß Cß Dß > Î #B C #> œ ! ×a b Solución.
a) El espacio está generado por los vectores columna de entoncesM7E Eß
1
E œ µ µ ‡
" # $ * # $ * " # $ *# $ & "% ! " " % ! " " "$ % ( "* ! # # ) ! ! ! !% & * #% ! $ $ "# ! ! ! !& ' "" #* ! % % "' ! ! ! !
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Øa b
luego, una base para es {M7E "ß #ß $ß %ß & ß #ß $ß %ß &ß ' ×a b a b b) De a b a b‡ ß O/<E œ Ö Bß Cß Dß > Î B D (> œ !
C D > œ ! ×
por tanto O/<E [ œ Ö Bß Cß Dß > Î B D (> œ !a b C D > œ !
#B C #> œ ! ×
Así, a − O/<E [ Í œ Bß Cß Dß > Î
" ! " ( ã !! " " " ã !# " ! # ã !
! ! a b Ô ×Õ Ø
de donde resolviendo se obtiene, , B œ >ß C œ > D œ >% "% "(
$ $ $
con lo que y una base del subespacioO/<E [ œ Ö %ß "%ß "(ß $ × ¡a b , es .O/<E [ Ö %ß "%ß "(ß $ ×a bProblema 4.
En sobre , dadas las basesT# ‘
y W œ Ö "ß " >ß " > × W œ Ö # >ß $ß " > ×" ## #a b
a) Determine la matriz de cambio de base, de: T W Ä W Þ# "
b) Si [ determine: y : > Ó œ ß : > Ò: > Ó"!#!$!
a b a b a bÔ ×Õ ØW W# 1
Solución.
a) # > œ $ † " " † Ð" >Ñ ! † " >a b a b# $ œ $ † " ! † Ð" >Ñ ! † " >a b# " > œ # † " # † Ð" >Ñ " † " ># #a b a b de donde T œ ß
$ $ # " ! #
! ! "
Ô ×Õ Ø
b) De inmediato : > œ "! † # > #! † $ $! † " > œ ""! "!> $!>a b a b a b# #
por tanto se debe tener
""! "!> $!> œ "&! † " Ð (!Ñ † Ð" >Ñ $! † " > Ê# #a b Ò: > Ó œ
"&! (!
$!a b Ô ×
Õ ØW1
Otra forma, es À Ò: > Ó œ T Ò: > Ó œ œ$ $ # "! "&!
" ! # #! (!! ! " $! $!
a b a b Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØW W1 #
Problema 5.
Una empresa elabora 4 tipos de productos y T ßT ß T T" # $ %
requiere 10 hrs. de diseño, 4 de armado, 5 de pulido y 2 hrs. de detallesT ß Þ"
T ß # $ " " Þ# requiere hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detallesT ß # ! " Þ$ requiere 1 hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detallesT ß & $ " % Þ% requiere hrs. de diseño, de armado, de pulido y hrs. de detalles
Los recursos que se disponen son: 610 hrs. de diseño, 334 hrs. de armado, 288 hrs.de pulido y 172 hrs. para detalles.
a) Determine el nivel de producción de modo, de ocupar todos los recursos.
b) Los costos por hora para el diseño es de $10, los costos por hora para el armadoes de $20, los costos por hora en las máquinas de pulido es de $12 y por terminarlos detalles se cobra $5 la hora. Calcular usando matrices el costo por unidad paraelaborar los productos: y .T ßT ß T T" # $ %
c) Hay más demanda por el producto que por el producto esto obliga aT T ß% "
cambiar el nivel de producción acostumbrado. Se impone la producción de 20 deT ß #! T ß & T T Þ" # $ %de de y 25 de Determine usando matrices, si es necesarioadquirir más recursos.
Solución.a) "!B #B B &B œ '"!" # $ %
%B $B #B $B œ $$%" # $ %
&B B B œ #))" # %
#B B B %B œ "(#" # $ %
\ œ E , Í \ œ
&!$!"!)
"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø Se deben producir 50 unidades de de de y 8 de À T ß $! T ß "! T T Þ" # $ %
b) E - œ œ
"! % & # "! #&!# $ " " #! *(" # ! " "# '#& $ " % & "%#
>
Ô ×Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø
c) E\ œ œ Ê
"! # " & #! $(!% $ # $ #! ##&& " ! " & "%&# " " % #& "'&
w
Ô ×Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø Como y no es necesario$(! '"!ß ##& $$%ß "%& #)) "'& "(#ß
adquirir más recursos.
Problema 6.
Gas-Chile, tomó los siguientes datos sobre la eficiencia de combustible (97 octanos)en Km / lt. para automóviles (de alto rendimiento) en un tramo de la carretera delNorte.
Año Km / lt.1996 15.51997 15.91998 16.71999 17.12000 17.82001 18.22002 18.32003 19.22004 20.0
a) Encuentre una recta que ajuste por mínimos cuadrados y grafíquela (B œ ! representa a 1996 , , representa a 2004). Analice si la recta parece† † † B œ ) razonable para los datos.
b) Suponga que la tendencia se mantiene, ocupe tal tendencia para predecir el año en que el promedio será de 25.
Solución.a)
E œ ß E E œ ß
" !" "" #" $" %" &" '" (" )
* $'$' #!%
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
” •>
ÐE EÑ œ ß ] œ#!% $' $' *
"&Þ&"&Þ*"'Þ("(Þ""(Þ)")Þ#")Þ$"*Þ##!Þ!
> " "&%!” •
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
\ œ ÐE EÑ E ] œ Ê C œ !Þ&$( B "&Þ%)("&Þ%)(!Þ&$(
> " > ” •La recta es razonable pués la pendiente es positiva lo que indica crecimiento.b) Entre los años yC œ #& Ê #& œ !Þ&$( B "&Þ%)( Í B œ "(Þ(" Ê #!"$#!"%.
Problema 7.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä‘ ‘$ $
X Bß Cß D œ 5B $Cß B #C Dß 5B C Da b a ba) Determine de modo que 5 .37O/<X œ "
b) Considere y encuentre una base para la ¿es invertible? en caso5 œ " M7X ß X
afirmativo determine una fórmula para X Þ"
c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases dondeX W Ä W ß" #
W œ Ö "ß "ß ! ß "ß "ß # ß !ß "ß # × W œ Ö !ß "ß " ß #ß "ß ! ß "ß "ß $ ×" #a b a b a b a b a b a by .Considere también .5 œ "
Solución.
a) a − O/<X Í œ Bß Cß D Î µ5 $ ! ã !" # " ã !5 " " ã !
! ! a b Ô ×Õ Ø
luegoÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø
5 $ ! ã ! %5 $ ! ! ã !" # " ã ! " # " ã !
5 " " ! ã ! 5 " " ! ã !µ ß
.37O/<X œ " Ê %5 $ œ ! Í 5 œ $
%
b) Como como5 œ " Á Ê M7X œ • O/<X œ Ö × Ê bX ß$%
$ "‘ )
E œ Í E œ Ê" $ ! " $ $" # " # " "" " " $ # &
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø" "
(
X Bß Cß D œ B $C $Dß #B C Dß $B #C &D" "(a b a b
c) X "ß "ß ! œ %ß "ß # œ ) !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $a b a b a b a b a b"" "!$ $
X "ß "ß # œ #ß &ß # œ "% !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $a b a b a b a b a b"" "'$ $
X !ß "ß # œ $ß !ß " œ # !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $a b a b a b a b a b& "$ $
luego
F œ
) "% #
Ô ×Ö ÙÕ Ø"" "" &$ $ $"! "' "$ $ $
Problema 8.
Dada
E œ5 # "# " :" # !
Ô ×Õ Ø
a) Determine y de modo que sea un vector propio para .5 : E"""
Ô ×Õ Ø
b) Sea la base de vectores propios de la matriz , para los valores de y queW E 5 :determinó en a). Determine matriz de cambio de base de a siendo laT W W ß Ww w
base canónica de y verifique que matriz diagonal‘$ "T ET œ Hß H
Solución.a)
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
5 # " " "# " : " "" # ! " "
œ > Í
5 # " œ >
# " : œ > Í > œ $ Ê 5 œ ! • : œ #
" # œ >
b) Valores propios de E À > œ $ß > œ " • > œ $" # $
Vectores propios:
, y Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
" " " # ! "
" " "
asociados a , y respectivamente luego> > > ß" # $
y T œ ß T œ E œ" " " " # " ! # "
# ! " $ ! $ # " #" " " # # # " # !
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø" "
'
T ET œ $ ! !
! " !! ! $
"Ô ×Õ Ø
Problema 9.
Encuentre la matriz de proyección sobre la recta dondeT [ ß[¼
¼
[ œ Ö Bß Cß D Î B C #D œ ! ×a b y verifique que T T œ 
T œ µ µ
+ + + â + +
+ + + â + +â â â â
+ + + + â +
+ + â ++ + â +â â â â â â â â+ + â + ! ! â !
+ + â +! ! â !
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø"#
" # " 8
# " # 8##
8 " 8 ##8
" # 8
" 8#
" # 8
" # 8
si se consideran algunos la demostración es similar.Ê < T œ " ß + Á !a b 3
De inmediato y E œ
++ã+
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø"
#
8
+ + †††+E E E E œ EE œ T Þa b> > >" "
" ## #
8#
Problema 11.
Dada una función definida porX À Q Ä Q X E œ E E8‚8 8‚8>a b
a) Demuestre que es una transformación lineal.X
b) Averigue si es biyectivaX Þ
c) Encuentre una base para el considere O/< X ß X À Q Ä Q Þ$‚$ $‚$
Solución.
a) X E F œ EF EF œ E E F F œ X E X Fa b a b a b a b a b a b a b> > >
X 5E œ 5E 5E œ 5E 5E œ 5 E Ea b a b a b a b> > >
b) peroaE − O/< X Í X E œ E E œ ! Í + œ !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þß 8a b >33Q
de aquí se sigue + + œ !ß a 3 Á 5ß 3ß 5 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 + œ + ß35 53 35 53
+ O/< X Á53 parámetro no necesariamente nulo, lo que prueba que el { }, por)
tanto no es biyectiva.X
c) con aE − O/< X Í X E œ E E œ ! ß E œ Ê+ + ++ + ++ + +
a b Ô ×Õ Ø>
"" "# "$
#" ## #$
$" $# $$
Q
y + œ + œ + œ ! • + œ + ß + œ + + œ +"" ## $$ "# #" "$ $" #$ $#
luego 0
00
E œ + +
+ ++ +
Ô ×Õ Ø
#" $"
#" $#
$" $#
E œ + + +! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !
#" $" $#
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
Una base para esO/< X
š ›Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø! " ! ! ! " ! ! !" ! ! ! ! ! ! ! "! ! ! " ! ! ! " !
ß ß
Problema 12.
Sea una definida porX À Ä ß X ÞPÞ‘ ‘$ %
E œ
" " "# % )$ * #"% "' %!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø con respecto a donde: À W Ä W W œ Ö "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×" # " a b a b a b W œ Ö "ß "ß "ß " ß !ß "ß !ß " ß "ß !ß "ß ! ß "ß #ß "ß # ×# a b a b a b a b a) A partir de encuentre una base ortonormal para .W#
%‘
b) Determine la matriz representativa de con respecto a bases canónicas deX ß
respectivamente.‘ ‘$ %Ä
c) Encuentre una base para el y otra para la O/< X M7X Þ
Solución.a) " " "" # $œ Ð"ß "ß "ß "Ñß œ Ð!ß "ß !ß "Ñß œ Ð"ß !ß "ß !Ñ
"% œ "ß #ß "ß # Ð"ß "ß "ß "Ñ œ Ð "ß "ß "ß "Ñ$ "
# #a b
Base ortonormal para ‘ " " " "%" # $ %œ Ö ß ß ß ×
" " " "
# ## #È Èb) donde F œ TEU ß T œ ßU œ
" ! " "" " ! #" ! " "" " ! #
" ! !" " !" " "
"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ ×Õ Ø
F œ
") $' '# ## %% ($ ' "# #! #' &# )*
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø c) Una base para M7X œ Ö *ß ""ß $ß "$ ß '#ß ($ß #!ß )* ×a b a b Una base para O/< X œ Ö "ß "ß ! ×a b
Problema 13.
Dadas
E œ ß ] œ
% # " # +$ # # " ,# # & % -& # % & .
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØDetermine una base para el subespacio definido por:[
sea compatible [ œ Î E\ œ ] a \ œ+ , B- . B
B
B
˜ ™” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
"
#
$
%
Solución.
E\ œ ] Í
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø% # " # À + % # " # À +$ # # " À , " ! $ $ À , +# # & % À - # ! ' ' À - +& # % & À . " ! $ $ À . +
µ
µ
! # "" "! À %, $+" ! $ "! À + ,! ! ! ! À + #, -! ! ! ! À #+ , .
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØE\ œ ] Í + #, - œ !
#+ , . œ !
es compatible
luego a \ − [ Í \ œ ” •+ ,- .
Î - œ + #,
. œ #+ ,
\ œ œ + ,+ , " ! ! "
+ #, #+ , " # # "” • ” • ” • Ô
[ œ ß" ! ! "
" # # " ˜ ™ ¡” • ” •
es L.I. por tanto una base para ˜ ™” • ” •" ! ! " " # # "
ß [ Þ
Problema 14.
Si es una base para un espacio vectorial V sobre , si yÖ@ × - Á !33œ7
3œ"‘
? œ - @ , @ 4 œ "ß #ß $ß † † † † Ð7 "ÑÞ4 4 4 7 con Demuestre que es linealmente independiente pero no una base para V.Ö? ×4 4œ"
4œ7"
Solución.
Si por demostrar !3œ"
7"
3 3 3+ ? œ + œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß7 ")
De la hipótesis se tiene ( !3œ"
7"
3+ - @ , @ Ñ œ3 3 7 )
Ô
! !4œ" 3œ"
7" 7"
4 4 3+ - @ Ð + ,3 7Ñ @ œ )
Como note que paraÖ@ × - Á ! Ê3 3œ"
3œ7 es L I. y + œ ! a 3 œ "ß #ß † † † † ß7 "3
estos valores se verifica que !3œ"
7"
3+ ,3 œ !
No es una base pues son solo vectores y la dimensión de es .7 " Z 7
Problema 15.
Discutir según sean los valores de los parámetros reales y el sistema lineal de+ ,8 " 8 "ecuaciones con variables, y resolver el sistema cuando seacompatible.
B +B œ +" 8"
B +B œ +# 8"
Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ Þ B +B œ +8 8"
+ Ð B Ñ B œ ,!3œ"
8
3 8"
Solución.
¸ ¸E œ
" ! ! † † † ! +! " ! † † † ! +! ! " † † † ! +† † † † † † † †! ! ! † † † " ++ + + † † † + "
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
œ
" ! ! † † † ! +! " ! † † † ! +! ! " † † † ! +† † † † † † † †! ! ! † † † " +
! ! ! † † † ! " 8+
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â#
¸ ¸ E œ " 8+#
Si 0 y cualquier real el sistema tiene única solución" 8+ Á Ê + Á „ ,# "8È
que resulta ser y B œ B œ † † † † † œ B œ B œÐ8 "Ñ + , 8+
8+ " " 8+" # 8 8"# #
#
Si y el sistema tiene infinitas soluciones (con un parámetro) que+ œ „ , œ ""8È
resulta ser: parámetro.B œ „ Ð" B Ñß 3 œ "ß #ß † † † † ß 8à B"
83 8" 8"È
Si y el sistema es+ œ „ , Á " Ê <ÐEÑ œ 8 Á 8 " œ <ÐE À ,Ñ Ê"
8Èincompatible.
Problema 16.
Si calcular, siempre que se pueda si:E œ F" $ $! " !! # "
Ô ×Õ Ø "
F œ )E #E E#% "! )
Solución.
Nótese que es involutiva ( luego E E œ M Ñß F œ &M Ê F œ M# "$ $ $
"&
Problema 17.
Sea una función definida por 0 À T Ä T 0Ð:ÐBÑÑ œ Ð:ÐBÑÑ.
.B$ #
a) Justificando, determine la matrz asociada a con respecto a las bases0
W œ Ö"ß " Bß " B ß B × Ä W œ ÖB ß B #ß #×" ## $ #
b) Hallar ( ocupando la matriz que obtuvo en a)..
.B% (B 'B ")B Ñ# $
Solución.
a) Note que es una T.L. pues:0
0Ð:ÐBÑ ;ÐBÑÑ œ Ò :ÐBÑ ;ÐBÑ Ó œ : ÐBÑ ; ÐBÑ œ 0Ð:ÐBÑÑ 0Ð;ÐBÑÑw w w
0Ð5 :ÐBÑÑ œ Ò 5 :ÐBÑ Ó œ 5 : ÐBÑ œ 5 0Ð:ÐBÑÑw w
Así,
0Ð"Ñ œ ! œ ! † B ! † ÐB #Ñ ! † ##
0Ð" BÑ œ " œ ! † B ! † ÐB #Ñ Ð Ñ † ## "#
0Ð" B Ñ œ #B œ ! † B # † ÐB #Ñ Ð #Ñ † ## #
0Ð B Ñ œ $B œ $ † B ! † ÐB #Ñ ! † #$ # #
de aquí se obtiene
E œ
! ! ! $! ! # !
! # !
Ô ×Õ Ø"
#
b) Sea como se tiene:ÐBÑ œ % (B 'B ")B ß Ò 0Ð:ÐBÑÑ Ó œ E Ò :ÐBÑ Ó# $W W# "
:ÐBÑ œ "( † " Ð (Ñ † Ð" BÑ Ð 'Ñ † Ð" B Ñ ") † B# $
Ò 0Ð:ÐBÑÑ Ó œ œ
! ! ! $ &%! ! # ! "#
! # !
"( ( '")
W#
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" $"# #
luego (ß % (B 'B ")B Ñ œ &% † B Ð "#Ñ † ÐB #Ñ † #. $"
.B ## $ #
œ &%B "# B (#
Problema 18.
E œ" ! ,! , $+ , # "
Ô ×Õ Ø
a) Determine y tal que sea un vector propio de + , EÞ#"!
Ô ×Õ Ø
b) Determine y tal que sea un valor propio de (no invierta )+ , > œ E E"#
"
c) Si determine de modo que no sea diagonalizable.+ œ ! , E
Solución.
a)
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
ÚÛÜ
" ! , # #! , $ " "+ , # " ! !
œ > Ê + œ
> œ "
, œ "
$#
b) valor propio de es un valor propio de así> œ E Ê > œ # Eß"
#"
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø" ! , B B! , $ C C+ , # " D D
œ Ð #Ñ Ê + œ ! ” , œ ! ” , œ #
c) Para que no sea diagonalizable se debe pedir que un valor propio, tengaE
multiplicidad algebraica 2 o 3 en este caso, y luego verificar su multiplicidad geométrica(que debe ser diferente)
Notemos que obligandoT Ð>Ñ œ Ð> "Ñ Ò Ð> ,Ñ Ð> "Ñ $ Ð, #Ñ Ó Ê > œ "E "
a que por tanto resulta> œ " Ê Ð" ,Ñ † ! $Ð, #Ñ œ ! Ê , œ #ß#
para cuya multiplicidad algebraica es 2 y su geométrica es 1> œ > œ " , œ #" #
Por otra parte tambien se pueden obtener raíces repetidas imponiendo que
tenga su discriminante nulo, es decirÐ> ,Ñ Ð> "Ñ $ Ð, #Ñ œ !
en este caso:J œ Ð, "Ñ %Ð #, 'Ñ œ ! Ê , œ &ß#
y su multiplicidad geométrica es 1.> œ "ß > œ > œ #" # $
Finalmente nótese que en este caso la multiplicidad algebraica de un valor propio no
puede ser 3, pues como para que necesáriamente y esto> œ " > œ " , œ #" #
implica que > œ #Þ$
Problema 19.
Dado , donde [ œ Ö \ − Q Î E\ œ ! ×&‚"
1 2
2E œ
" " # - " + , -# # + + , % %
Ô ×Õ Ø
a) Determine los valores de y de modo que la dimensión del subespacio+ß , -
[ sea: i) 3 ii) 4.
b) Encuentre tres valores para y para los cuales la dimensión de sea 2,+ß , - [
exiba una base en tal caso.
Solución.
a)
1 2
2E œ µ
" " # - " + , -# # + + , % %
Ô ×Õ Ø
Ô ×Õ Ø" " " # -! + " , " ! !! ! #+ # + , % #-
Para obtener es necesario que se anule la fila 2 o la fila 3 (pero no.37[ œ $ß
ambas) en caso que sea la fila 2 lo que obliga a que Ê + œ " œ , - Á #Þ
Si se anula la fila 3 y en este caso la dimensión de es 4.Ê + œ " œ , • - œ # [
b) Basta tomar por ejemplo: (no es el único caso), así:+ œ , œ - œ !
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø" " " # ! " ! ! # !! " " ! ! ! " ! ! #! ! # ! % ! ! " ! #
µ Ê
B œ #B
B œ #B
B œ #B
" %
# &
$ &
Así a \ − [ Í \ œ œ B B Ê
#B # !#B ! #
#B ! #B " !B ! "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
%
&
&
%
&
% &
una base para resulta ser , [
# !! #! #" !! "
š ›Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
Problema 20.
Sea una transformación linealX À Z Ä [
a) Demuestre que es un subespacio de O/< X ß Z Þ
b) ¿Es verdad? que si es una base para entonces lo es paraÖ@ × Z Ö X Ð@ Ñ ×3 33œ8 3œ83œ" 3œ"
[Þ
Solución.
a) Como XÐ Ñ œ Ê − O/< X Ê O/< X Á gÞ) ) )Z [ Z
a ß − O/< X Ê XÐ Ñ œ
XÐ Ñ œ
! " ! )
" )[
[
Sumando miembro a miembro resulta:
XÐ Ñ XÐ Ñ œ Ê XÐ Ñ œ Ê Ð Ñ − O/< X ß! " ) ! " ) ! "[ [
Tambien se tiene
5 X Ð Ñ œ 5 œ Ê XÐ5 Ñ œ Ê Ð5 Ñ − O/< X Þ! ) ) ! ) 
"" œ Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ
"#"&&œ Ð"ß #ß $ß %ß &Ñ Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ œ Ð #ß "ß !ß "ß #Ñ
"$ œ Ð"ß %ß *ß "'ß #&Ñ ""Ð"ß "ß "ß "ß "Ñ 'Ð #ß "ß !ß "ß #Ñ
œ Ð#ß "ß #ß "ß #Ñ
luego una base ortogonal para resulta[
Ö Ð"ß "ß "ß "ß "Ñß Ð #ß "ß !ß "ß #Ñß Ð#ß "ß #ß "ß #Ñ ×
Problema 22.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä‘ ‘% %
XÐBß Cß Dß >Ñ œ Ð Bß Ð $B C $D >Ñß ÐB $C D >Ñß" ") )
") Ð (B C D $>ÑÑ
a) Determine la matriz representativa de con respecto a las bases canónicasE X
de ‘%
b) Determine los valores y vectores propios de EÞ
c) Justifique ¿porque? es diagonalizable y calcule E Elim8Ä_
8
Solución.
a) De inmediato E œ
) ! ! ! $ " $ "" $ " "
( " " $
")
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
b) > œ " Ê œ Ð#"ß #ß &ß $!Ñ" "!
> œ Ê œ Ð!ß "ß "ß "Ñ# #") !
> œ Ê œ Ð!ß "ß "ß #Ñ$ $"# !
> œ Ê œ Ð!ß "ß "ß !Ñ% %"# !
c) es diagonalizable pues existe una base de vectores propios para Eß ‘%
Note que E œ T H T8 8 "
œ
#" ! ! ! # " " "
& " " " $! " # !
" ! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ ×Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ ØÕ Ø
")
"#
Ð"Ñ#
"#"* " " "#" $ $ $" " " "# ' ' $" " "' # #
8
8
8
8
tomando el límite resulta finalmente
=
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
" ! ! !
! ! !
! ! !
! ! !
##"&#"$!#"
Problema 23.
Determine (si es posible) de modo que los conjuntos5ß
W œ Ö "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " ß $ß 5ß !ß # ×" a b a b a b W œ Ö %ß %ß &ß " ß !ß %ß $ß " ×# a b a b generen al mismo subespacio de .‘%
Solución.
Como tiene solo 2 vectores L.I., entonces genera un subespacio de dimensión W ##
por tanto debemos probar dos cosas:
1) Determinar de modo que sea L.D. y que para dicho valor sean5 W"
exactamente vectores L.I.#
2) Se debe probar que los generadores L.I. de generen al mismo espacio que# W"
los dos generadores de para el valor de encontrado.W 5#
En efecto 1) B "ß #ß "ß " B #ß !ß "ß " B $ß 5ß !ß # œ Ð!ß !ß !ß !Ñ" # $a b a b a bB ß B ß B 5 œ #" # $y no todos nulos a la vez implica 2) Por probar que ¡ ¡a b a b a b a bÖ "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " × œ Ö %ß %ß &ß " ß !ß %ß $ß " ×
a ÐBß Cß Dß >Ñ − Ö "ß #ß "ß " ß #ß !ß "ß " × Í ¡a b a b #B C %> œ ! • #B D $> œ ! "a b
a ÐBß Cß Dß >Ñ − Ö %ß %ß &ß " ß !ß %ß $ß " × Í ¡a b a b
#B C %> œ ! • #B D $> œ ! #a bComo entonces ambos conjuntos generan al mismo subespacio.a b a b" œ #
Problema 24.
Sea sobre ,Q8‚8 ‘
a) Sea sobre , definido por[ © Q8‚8 ‘
[ œ ÖE − Q Î ><E œ ! ×8‚8
demuestre que és, un subespacio de y luego determine su dimensión.Q8‚8
b) Demuestre que es suma directa de los conjuntos: de las matrices simétriQ8‚8
cas y de las antisimétricas.
Demostración.a) i) pués ! − [ >< Ð! Ñ œ ! Ê [ Á ÞQ Q 9
ii) a EßF − [ Ê ><E œ ! • ><F œ !
Como ><ÐE FÑ œ ><E ><F œ ! ! œ ! Ê ÐE FÑ − [Þ
iii) se tienea E − [ Ê ><E œ ! • a 5 − ‘
><Ð5EÑ œ 5 ><E œ 5 † ! œ ! Ê E − [Þ
Por tanto es un subespacio de .[ Q8‚8
b) Se deben probar dos cosas, siendo subespacios de , con[ ß[ Q" # 8‚8
[ œ ÖE − Q Î E œ E× • [ œ ÖE − Q Î E œ E×" 8‚8 # 8‚8> >
1) [ [ œ Ö × • #Ñ [ [ œ Q" # " # 8‚8)
sumando"Ñ a E − Ð[ [ Ñ Í E − [ •E − [ Í E œ E • E œ E" # " #> >
estas dos ecuaciones miembro a miembro resulta #E œ ! Í E œ ! ÊQ Q
[ [ œ Ö ×Þ" # )
#Ñ a E − Q Í E œ ÐE E Ñ ÐE E ÑComo en donde8‚8" "# #
> >
" "# #
> >" # " # 8‚8ÐE E Ñ − [ • ÐE E Ñ − [ Ê [ [ œ Q Þ
Problema 25.
Dado el sistema que tiene por solución aE\ œ ,ß E$‚&
\ œ > > >
% $ # "" ! " #! " ! "
" # # #! ! " #
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø" # $
a) Determine una base ortogonal para O/<EÞ
b) Describa el espacio M7EÞ
c) Determine las condiciones entre y de modo que+ß ,ß -ß . /
c d+ , - . / − M7E> >
Solución.
a) Una base para el es , por Gram SchmidtO/< X
$ #! "" !# #! "
œ Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
" "" #"! ""% (œ à œ œ
$ # $ "! " ! (" ! " &# # # %! " ! (
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
luego una base ortogonal es , œ Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
$ "! (" &# %! (
b) Como .37O/< X œ # Ê .37M7X œ & # œ $ Ê M7X œ Þ‘$
c)
\ œ > > Í
% $ #" ! " " ! $ ! # ã %! " ! ! " ! ! " ã "
" # # ! ! # " # ã "! ! "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ ØÔ ×Õ Ø" #
Ê µ † † † µ
" ! ! ã + " ! ! ã +! " ! ã , ! " ! ã ,
$ ! # ã - ! ! ! ã $+ - #.! ! " ã . ! ! " ã .
# " # ã / # " # ã #+ , #. /
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÊ $+ - #. œ ! • #+ , #. / œ !
Problema 26.
Sean y polinomios en Averiguar si:: B ; B T Þa b a b #
a b a b a b a b a b:ÐBÑà ;ÐBÑ œ : ! ; ! : " ; "
es un producto interior en T Þ#
Solución.No es un producto interior pués por ejemplo, si : B œ B B Êa b #
a b a b a b a b a b a b:ÐBÑà :ÐBÑ œ : ! : ! : " : " œ ! Ð " "Ñ œ ! • : B Á !# #
lo que contradice que si 0 debe ser 0.a b a b:ÐBÑà :ÐBÑ œ Ê : B
Problema 27.
Sea una base ortonormal para un espacio con productoÖ ß ß Þ Þ Þ ß × Z! ! !" # 8
interior. Demuestre que si es un vector cualquiera de entonces! Z ß
|| ||! ! !#
5œ"
8
5#œ à!a b
Solución.
! ! ! ! ! ! !œ + œ à + œ à! !a b a b5œ" 5œ"
8 8
5 5 5 5 5 5 note que
|| || ( por propiedad! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#
5œ" 5œ"
8 8
5 5 5 5œ à œ à à Ñ œ à àa b a b a ba b! !distributiva del producto interno, por tanto se tiene que || ||! ! !#
5œ"
8
5#œ à!a b
Problema 28.
Sea E œ
" " ! !! " " "" ! " "! ! " !
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Factorice en E UV
b) Aprovechando la factorización hecha en a) resuelva el sistema enE\ œ ,
que ., œ "! #! "! "!> c d Solución.
a) Por Gram-Schmidt "" œ "ß !ß "ß !a b "#
" "# #œ "ß "ß !ß ! "ß !ß "ß ! œ "ß #ß "ß !a b a b a b
"$" " "# ' $œ !ß "ß "ß " "ß !ß "ß ! "ß #ß "ß ! œ #ß #ß #ß $a b a b a b a b
"%" " %# ' #"œ !ß "ß "ß ! "ß !ß "ß ! "ß #ß "ß ! #ß #ß #ß $a b a b a b a b
œ "ß "ß " ##( a b
Así, resultaU
y U œ V œ U E œ! !
! !
! !
! ! !
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
" " # " # " " "
# #" ( # # # #'# # " $ " "
' ' ' '#" (" " # "
# #" ('$ #
#" (
>( %
#" #"#
(
È È È È È È È ÈÈ È È È È È
È È È ÈÈ È
È ÈÈ
b) E\ œ , Í UV\ œ , Í V\ œ U , œ U , œ !" > #! %! (!
# #"'
>’ “È È È De donde : #B B B B œ #!" # $ %
$B B B œ %!# $ %
(B %B œ (!$ %
B œ !%
Finalmente, facilmente se obtiene: B œ #!ß B œ "!ß B œ "!ß B œ !" # $ %
Problema 29.
Sea una T. L. definida porX À Ä‘ ‘$ $
E œ" $ %$ % (
# # !
Ô ×Õ Ø
a) Describa la imagen y el nucleo de X Þ
b) Describa el nucleo de la transformación lineal cuya matriz representativa es E>
Solución.a) Sea ] − M7X Í
y b + ß + + Î ] œ œ + + +B " $ %C $ % (D # # !
" # $ " # $ Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø" $ % ã B$ % ( ã C
# # ! ã Dµ † † † µ
" $ % ã B
! " " ã$B C
&
! ! ! ã #B D C $B
) &
La existencia de y obliga a de donde se obtiene+ ß + + œ !#B D C $B
) &" # $
"% B )C &D œ ! que representa a un plano por el origen.
*También es válido el argumento siguiente: la imagen está generada por losvectores columna de y como de los tres dos son L.I. entonces generan un planoEpor el origen.
Para el nucleo de X ß a\ − O/< X Í \ œ Î µ † † †B " $ % ã !C ! " " ã !D ! ! ! ã !
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
µ Ê B œ C œ D Ê \ œ œ D" ! " ã ! D "! " " ã ! D "! ! ! ã ! D "
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
que és la ecuación paramétrica de una recta que pasa por el origen.
b) También es una recta por el origen, que es perpendicular al plano generado porla imagen de pués .Eß O/<E œ ÐM7EÑ> ¼
Procediendo en forma similar a la parte a) se llega
note que la dirección de esta recta coincidea\ − O/< X Í \ œ > ß"% ) &
Ô ×Õ Ø
con el vector normal del plano obtenido en la parte a) y que afirma lo dichoanteriormente.
Problema 30.
Sea una función definida porX À Q Ä Q#‚$ $‚#
; 41
X E œ ÐE FÑ a E − Q ß F œ" " ## #
" "a b Ô ×
Õ Ø>#‚$
a) Pruebe que es una transformación linealX Þ
b) Determine una base para el O/< X Þ
c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases: canónicas deX
y a la baseQ#‚$
š ›Ô × Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø" " " " " " " " " " " !" " " " " " " ! ! ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! ! !
ß ß ß ß ß
Solución.
a) i) X E E œ Ò E E FÓ œ F E E œ F E Ea b a b a b a b" # " # " #> > > > >>
" #
œ F E F E œ ÐE FÑ ÐE FÑ œ X E X E> > > > > >" # " # " #a b a b
ii) X 5E œ 5EF œ F Ð5EÑ œ 5 F E œ 5ÐEFÑ œ 5 X E Þa b a b a b> > > > > >
b) a E − O/< X Î X E œ ! Ê ÐE FÑ œ ! Í EF œ !a b >
con de donde resulta sistemas homogeneos del tipoE œ ßB B BC C C” •" # $
" # $dos
B #B B œ !" # $
B #B B œ !" # $
#B %B B œ !" # $
cuyas soluciones son: por tantoB œ #B ß B œ !à C œ #C ß C œ !" # $ " # $
E œ œ B C #B B ! # " ! ! ! ! #C C ! ! ! ! # " !” • ” • ” •# #
# ## #
luego una base del resulta O/< X ß # " ! ! ! !
! ! ! # " !š ›” • ” •
c) Como ; 41
X E œ F E a E − Q ß F œ" " ## #
" "a b Ô ×
Õ Ø> >#‚$
X œ œ ! † # † # † " † " † " †" !" !# !
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . ." " # $ % & '
X œ œ ! † % † % † # † # † # †# !# !% !
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . .# " # $ % & '
X œ œ ! † " † " † " † " † " † " !
" !" !
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . .$ " # $ % & '
X œ œ # † # † " † " † " † " †! "! "! #
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . .% " # $ % & '
X œ œ % † % † # † # † # † # †! #! #! %
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . .& " # $ % & '
X œ œ " † " † " † " † " † " †! "! "! "
a b Ô ×Õ Ø% . . . . . .' " # $ % & '
donde:
. . . . ." # $ % &œ ß œ ß œ ß œ ß œ" " " " " " " " " "" " " " " " " ! ! !" " " ! ! ! ! ! ! !
Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
y .' œ" !! !! !
Ô ×Õ Ø
luego la matriz de transformación pedida es
G œ
! ! ! # % "# % " # % "
# % " " # "" # " " # "
" # " " # "" # " " # "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
Problema 31.
a) Sea una matriz cuadrada de y y matrices tales queE 8 ‚ 8 U F
E œ U FUß a 5 − ß E œ U F U demuestre que " 5 " 5™
b) Si es diagonalizable, existe tal que E U œ T E œ T HT"
Sea se define por: > œ > - > † † † - > - : Ea b a b8 8"8" " !
: E œ E - E † † † - E - Ma b 8 8"8" " ! 8
i) Demuestre que si es un valor propio de entonces es un valor- -Eß :a b propio de : E Þa b ii) Demuestre que es diagonalizable: Ea b
iii) Aproveche para resolver en forma apropiada E œ T HT E\ œ ,"
Solución.a) Sea con 5 − 5 !Þ™
Por inducción, para lo que es verdadero por hipótesis5 œ " Ê E œ U FU"
Sea válido para o sea se cumple 5ß E œ U F U ÐLÞMÞÑ5 " 5
Por demostrar para o sea 5 "ß E œ U F U X Þ5" " 5" a bEn efecto, E œ E E œ U F U † U FU œ U F ÐU U ÑFU5" 5 " 5 " " 5 "
œ U F FU œ U F U" 5 " 5"
Si se cumple 5 œ !ß E œ M œ U U œ U F UÞ! " " !8
Si asumiendo que es no singular(y por tanto lo és), entonces5 !ß E F
se tiene: (ya demostrado) entonces7 œ 5 ! E œ U F U7 " 7
E œ ÐE Ñ œ ÐU F UÑ œ U ÐF Ñ U œ U F UÞ5 7 " " 7 " " 7 " " 5
b) i) Si es un valor propio de asociado al vector propio entonces- E @ ß
: E @ œ ÐE - E † † † - E - M Ñ @a b 8 8"8" " ! 8
œ ÐE @Ñ - ÐE @Ñ † † † - ÐE@Ñ - @8 8"8" " !
œ @ - @ † † † - @ - @- - -8 8"8" " !
œ Ð - † † † - - Ñ @- - -8 8"8" " !
œ : @a b- con lo que es un valor propio de : : E Þa b a b-
ii) Como es diagonalizable entonces existe tal que luegoE T E œ T HT"
: E œ E - E † † † - E - Ma b 8 8"8" " ! 8
œ ÐT HTÑ - ÐT HTÑ † † † - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " !
œ T H T - T H T † † † - T HT - T T" 8 " 8" " "8" " !
œ T ÐH - H † † † - H - M ÑT" 8 8"8" " ! 8
œ T : H T" a b Lo que implica que es diagonalizable, pués: Ea b es diagonal por: H œ H - H † † † - H - Ma b 8 8"
8" " ! 8
ser una combinación lineal de matrices diagonales.
iii) Sea un sistema. Asumiendo que y que esE\ œ , E œ T HT H"
diagonal,
se cumple: E\ œ , Í T HT\ œ , Í HT\ œ T, Í HÐT\Ñ œ T, Í"
H] œ T, • T\ œ ] Þ
Pero como es diagonal, resolver para es muy simple de resolverH H] œ T, ]
pués, si
y H œ ß ] œ T, œ
. á ! á ! C -ã ä ã ã ã ã! â . â ! C -ã ã ä ã ã ã! â ! â . C -
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
"" " "
33 3 3
88 8 8
entonces donde para cada 1 se tiene] œ œ ß Ÿ 3 Ÿ 8
C .ã ãC .ã ãC .
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
" "
3 3
8 8
si
arbitrario si . œ
, Á !
C − , œ !3
-, 33
3 33œ 3
33
‘
Obtenido ya para resolver basta con ya que ] T\ œ ] \ œ T ] ß T" "
existe y se asume conocida.
Problema 32.
Sea la transformación lineal cuya matriz con respecto a las bases canónicas deX‘% es .E
E œ
"& '' %% $$! "$ #" "&" "& #" "## ") ## )
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Encuentre una base para con respecto de la cuál la matriz representativaW ‘%
de sea diagonal.X ß
b) Calcule X '"ß (ß "%ß "& Þ"!a bSolución.
a) Valores propios: > œ &ß > œ #ß > œ > œ %" # $ %
Vectores propios asociados, respectivamente:
y ! ! ! !" # $ %œ ß œ ß œ œ
"" ! $! $* $ $ ( &
% $ $ !% # ! $
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
luego la base pedida es W œ Ö ß ß ß ×! ! ! !" # $ %
b) Expresamos el vector en C.L. de los vectores propios de laa b'"ß (ß "%ß "&base WÞ
Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
'" "" ! $! $* ( $ $ ( &"% % $ $ !"& % # ! $
œ # # ! "
XÐ Ñ œ #X Ð Ñ #X Ð Ñ "X Ð Ñ
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
XÐ Ñ œ # † & # † # " † %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
X Ð Ñ œ # † & # † # " † %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
# # # #
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † † †
X Ð Ñ œ # † & # † # " † %
'" "" ! $* ( $ $ &"% % $ !"& % # $
"! "! "! "!
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
X Ð Ñ œ
'" ( ' † & ' † # & † %"%"&
## † & $* † %
) † & ' † #
) † & ' † # $ † %
"!
"! "!
"! "! "!
"! "!
"! "! "!
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØProblema 33.
a) es una matriz de con dos valores propios. Un espacio propio esE & ‚ &tridimensional y el otro bidimensional. ¿Es diagonalizable? ,¿porque?.E
b) Demuestre que si es un vector propio de y entonces es? EF F? Á ß F?)un vector propio de FEÞ
c) Sea una forma cuadrática dada por siendo el vectorJ J œ \ E\ß \a b! >
coordenada del vector con respecto a una base de ! ! ! ! ‘W œ Ö ß ß Þ Þ Þ ß × ß" # 88
donde es una matriz simétrica diagonalizable.E
Sean los valores propios de > ß 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 EÞ3
es definida positiva J Í > !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 83
es definida negativa J Í > !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 83
es semidefinida positiva y algún J Í > !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 > œ !3 3
es semidefinida negativa y algún J Í > Ÿ !ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ ß 8 > œ !3 3
es indefinida existen y J Í > ! > !3 4
Según lo anterior encuentre la forma cuadrática asociada a las siguientes matrices yclasifíquelas
E œ F œ G œ$ # % $ # !# ! # # % #% # $ ! # &
% ! #
% # !
! # %
# ! %
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
$#
$#
$#
$#
Solución.a) Si es una matriz de con dos valores propios, entonces un valor propioE & ‚ &es de multiplicidad algebraica y el otro de multiplicidad algebraica 2 y se dice que$un subespacio es de dimensión 3 y el otro de dimensión 2, con lo que lasmultiplicidades algebraica y geométrica de ambos valores propios son iguales, portanto E es diagonalizable.
b) Por hipótesis yEF ? œ >? Í FEÐF ?Ñ œ FÐ>?Ñ Í FEÐF ?Ñ œ >FÐ?Ñademás , entonces es un vector propio de F? Á F? FEÞ)
c) Para sus valores propios son: , y además el valorEß > œ > œ " > œ )" # $
propio es de multiplicidad geométrica por tanto es diagonalizable, " # Eentonces es indefinida yJ
J œ \ E\ œ $B $B %B B )B B %B Ba b! > # #" $ " # " $ # $
Para sus valores propios son: , y ambos valoresFß > œ > œ > œ > œ" # $ %$ "$# #
propios tienen multiplicidad geométrica 2 igual a su multiplicidad algebraica,entonces es diagonalizable, y como los valores propios son todos positivos F Jßdefinida positiva y 4 4 4J œ B %B B B $B B %B B %B B $B Ba b! # # # #
" # $ % " # " % # $ $ %
Para analogamente sus valores propios son: 1, 4 y todosGß > œ > œ > œ (" # $
distintos entre si, luego es diagonalizable, y por tanto es definida positiva yG J
J œ $B %B &B %B B %B Ba b! # # #" # $ " # # $
Problema 34.
Sea una T. L. definida porX À Q Ä Q" #‚# #‚#
X Ð Ñ œ+ , #- + -- . , #- ." ” • ” •
y sea otra T.L. definida por la matrizX À Q Ä Q# #‚# #‚#
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" # ! !# $ " !! " ! #! ! # "
con respecto a la base W œ ß ß ß" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !
š ›” • ” • ” • ” • a) Determine los valores y vectores propios de ¿Es diagonalizable?X ß"
Justifique.
b) Usando cambio de base determine los valores y vectores propios de X ‰ X" #
Solución.a) Sea la matriz representativa de con respecto a canónicas de , es decirE X"
%‘
E œ
! ! # !" ! " !! " # !! ! ! "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø Valores propios: y > œ > œ "ß > œ " > œ #" # $ %
Vectores propios:
y
0001
@ œ ß @ œ ß @ œ @ œ
# # "$ " !" " "! ! !
" " " "
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø es diagonalizable pués existe una base de vectores propios con respecto de laEcual, puede ser representada por una matriz diagonalX"
b) Sea la matriz representativa de con respecto canónicas de Gß X W œ Ö ×#w %‘
y como F
W WÒ
T Æ Æ T Ê G œ TFT"
W Ww wÒ
G
donde de dondeT œ ß T œ
" " " " ! ! ! "" " " ! ! ! " "" " ! ! ! " " !" ! ! ! " " ! !
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø"
G œ
$ # $ "# $ & "! " ' #! ! # "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
Con lo que, la matriz de es X ‰ X EG œ
! # "# %$ $ * $# " ( $! ! # "
" #
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø Valores propios de : EG > œ !Þ&"! #Þ!&# 3à > œ !Þ"$'#" #
y > œ *ß )%#* > œ !Þ&"! #Þ!&# 3$ %
Vectores propios:
y
000
1
@ œ ß @ œ ß @ œ
"Þ'"" 'ß ')& 3 Þ#)( 'Þ%)*'Þ(%! 'Þ#!* 3 Þ'"! $Þ%!)!Þ#%% "Þ!#' 3 Þ%$" %Þ%#"
" "
" # $
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
@ œ
"Þ'"" 'ß ')& 3'Þ(%! 'Þ#!* 3!Þ#%% "Þ!#' 3
"
%
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØProblema 35.
Sean y W œ Ö "ß -9=>ß -9= >ß Þ Þ Þ ß -9= > × W œ Ö "ß -9= >ß -9= #>ß Þ Þ Þ ß -9= '> ×Þ" ## '
Suponga las siguientes identidades trigonométricas-9= #> œ # -9= > "#
-9= $> œ % -9= > $ -9= >$
-9= %> œ ) -9= > ) -9= > "% #
-9= &> œ "' -9= > #! -9= > & -9= >& $
-9= '> œ $# -9= > %) -9= > ") -9= > "' % #
Sea el subespacio generado por las funciones en [ W"
a) Escriba los vectores coordenada de los vectores de con respecto a yW W# "
úselos para demostrar que es un conjunto linealmente independiente en W [Þ#
b) Explique por qué es una base para W [Þ#
c) Determine la matriz de cambio de base de a W W Þ# "
Solución.a) Sean: , entonces% % % %" # $ (
# 'œ "ß œ -9=>ß œ -9= >ß Þ Þ Þ ß œ -9= >
" œ " † ! † ! † ß Þ Þ Þ ß ! †% % % %" # $ (
-9=> œ ! † " † ! † ß Þ Þ Þ ß ! †% % % %" # $ (
-9=#> œ " † ! † # † ß Þ Þ Þ ß ! †% % % %" # $ (
-9=$> œ ! † $ † ! † % † ß Þ Þ Þ ß ! †% % % % %" # $ % (
-9=%> œ " † ! † ) † ! † ) † ß Þ Þ Þ ß ! †% % % % % %" # $ % & (
-9=&> œ ! † & † ! † #! † ! † "' † ! †% % % % % % %" # $ % & ' (
-9='> œ " † ! † ") † ! † %) † ! † $# †% % % % % % %" # $ % & ' (
Ò"Ó œ ß Ò-9=>Ó œ ß Ò-9=#>Ó œ ß Ò-9=$>Ó œ
" ! "! " !! ! #! ! !! ! !! ! !! ! !
W W W W" " " "
Ô × Ô × Ô × ÔÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö Ù ÖÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ ØÖ ÙÖ ÙÕ Ø
×ÙÙÙÙÙÙ
! $
!%!!!
Ò-9=%>Ó œ ß Ò-9=&>Ó œ ß Ò-9='>Ó œ
" ! "! & !
) ! ")! #! !) ! %)! "' !! ! $#
W W W" " "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ ØComo
por tantoE œ Ê < E œ (
" ! " ! " ! "! " ! $ ! & !! ! # ! ) ! ")! ! ! % ! #! !! ! ! ! ) ! %)! ! ! ! ! "' !! ! ! ! ! ! $#
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Øa b
W# es L.I.
b) Son LI. , pertenecen al espacio generado por por la parte a) y son que ésW ( ß"
la dimensión de [Þ
c) La matriz de cambio de base es la matriz mostrada en la parte a).Eß
Problema 36.
a) Sea un conjunto ortonormal en Verifique laÖ ß ß Þ Þ Þ ß × ß : Ÿ 8à Þ! ! ! ‘" # :8
desigualdad de que se cumple para todo en :F/==/6ß ! ‘8
|| || ! ! !# #
3œ"
:
3 Ð à Ñ"b) Demuestre que la linea de mínimos cuadrados para los datos: a b a bB ß C ß B ß C ß" " # #
Þ Þ Þ Þ ß B ß C Bß C B œ B C œ C" "
8 8a b a b " "8 8 3 3
3œ" 3œ"
8 8
debe pasar por donde y
Demostración.a) Extendiendo el conjunto ortonormal dado a una base ortonormal de se tiene‘8
{ así ,! ! ! ! ! ! ‘" # : :" 88ß ß Þ Þ Þ ß ß ß Þ Þ Þ ß × a −
luego entonces! ! ! ! ! ! ! !œ B Ê B œ à œ à ß! !a b a b3œ" 3œ"
8 8
3 3 3 3 3
|| || ( ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !#
3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
3 3 3 3 3#œ à œ à à Ñ œ à à œ àa b a b a ba b a b" " "
por tanto, la desigualdad
|| || es evidente.! ! !# #
3œ"
:
3 Ð à Ñ"
b) La linea de mínimos cuadrados para los datos: a b a bB ß C ß B ß C ß" " # #
Þ Þ Þ Þ ß B ß C C œ , +Bßa b8 8 está dada por en donde
] œ ß \ œ ß\ œ E E E ] ß E œ ß
C " BC , " Bã + ã ãC " B
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø” • a b" "
# #
8 8
> >" así
+ œ ß , œ
8 B C B C B C B C
8 B Ð B Ñ 8 B Ð B Ñ
! ! ! ! ! ! !! ! ! !
3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3
3œ" 3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8 8# #3 33 3
# #
#3
Demostraremos que satisface a es decir, que , en efectoa b a bBß C " +B , œ C
+B , œ † B
8 B C B C B C B B C
8 B Ð B Ñ 8 B Ð B Ñ
"
8
! ! ! ! ! ! !! ! ! !"3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3 3
3œ" 3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8 8# #3 33 3
# #3œ"
8
3
#3
œ
B B C Ð B Ñ C B C B B C
8 B Ð B Ñ
! ! ! ! ! ! ! !! !
3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8 8 8 8 8 8
3 3 3 3 3 3 3 3 3"8
# #3
3œ" 3œ"
8 8#3 3
#
œ œ C œ C
C Ð8 B Ð B Ñ Ñ
8 B Ð B Ñ
"
8
"8
3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
3 3# #3
3œ" 3œ"
8 8#3 3
# 3œ"
8
3
! ! !! ! "
Problema 37.
En el espacio vectorial sobre , considere el producto internoT# ‘
a b (:Ð>Ñà ;Ð>Ñ œ :Ð>Ñ ;Ð>Ñ .>!
"
a) Calcular con a b:Ð>Ñà ;Ð>Ñ :Ð>Ñ œ # >ß ;Ð>Ñ œ % $> >#
b) Determine la matriz del producto dado respecto a la base canónica de yT#
compruebe el cálculo hecho en a) ocupando dicha matriz.
c) Determine la proyección ortogonal de sobre el subespacio de " > [ T#
generado por y .:Ð>Ñ œ # > ;Ð>Ñ œ % $> >#
Solución.
a) a b ( ( ˆ ‰:Ð>Ñà ;Ð>Ñ œ Ð# >ÑÐ% $> > Ñ .> œ ) #> > > .> œ)$
"#! !
" "# # $
b) La base canónica de es, entoncesT W œ Ö"ß >ß > ×##
G œ œ
"à " "à > "ß >
>à " >ß > >à >
> à " > à > > ß >
"Ô ×Õ Ø
a b a b a ba b a b a ba b a b a bÔ ×Ö ÙÕ Ø
#
#
# # # #
" "# $
" " "# $ %" " "$ % &
Comprobando la parte a) note que c d Ô ×Õ Ø# " ! $G œ
%
"
)$"#
c) Forma 1 donde es una base:<9C " > œ " >à 0 0 " >à 0 0 ß Ö0 ß 0 ×
[a b a b a b" " # # " #
ortonormal para [Þ
Por Gram-Schmidt
0 œ # >"
así0 œ % $> > † # > œ "$) $""> ('> ß## #)$ $ "
"# "* ('a b a b
es una base ortonormal para Ö # > ß "$) $""> ('> × [" "#ß&"( ')ß&#
#a b a bluego, :<9C " > œ " >à # > # >
[a b a b a bŠ ‹" "
#ß&"( #ß&"(
Š ‹a b a b" >à "$) $""> ('> "$) $""> ('>" "')ß&# ')ß&#
# #
:<9C " > œ # > Ð (Þ)$Ñ "$) $""> ('>[ # #a b a b a b" #$ "
#ß&"( ' Ð')ß&#Ñ#
( )
:<9C " > œ !Þ*(* "Þ"#% > !Þ"#' >[a b #
Forma 2 Ocupando G Ð ! :<9C àE\Ñ œ !ß :<9C œ E\
[ [! ! w
de donde se tieneÐE\Ñ GÐ :<9C Ñ œ ! Í \ ÐE G E GE\ Ñ œ !> > > > w
Demostración.
a) Si entonces Esto demuestra que a bÊ E\ œ !ß E E\ œ E ! œ !Þ O/<E> >
está contenido en O/<ÐE EÑÞ>
Si entonces Así que a bÉ E E\ œ !ß \ E E\ œ \ ! œ !Þ ÐE\Ñ ÐE\Ñ œ !> > > > >
Ð E\ll œ !Ñ E\ œ !Þlo que implica que || y por lo tanto Esto demuestra que#
O/<ÐE EÑ O/<E> está contenido en .
b) E\ œ , Í E E\ œ E , Í œ Ê$ * ! B $* )$ #) B '&! #) "% B #)
> >"
#
$
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
,Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø$ * ! ã $* )$ #) ã '&! #) "% ã #)
µ † † † µ
" ! ã #
! " ã "
! ! ! ã !
$#"#
Así la solución general por mínimos cuadrados es
parámetroB œ # B ß B œ " B ß B$ "
# #" $ # $ $
Para una solución particular, tomemos por ej. para obtenerB œ !$
para encontrar el error de mínimos cuadrados, calculamos\ œ ß#
"!
:
Ô ×Õ Ø
, œ E\ œw:
Ô ×Õ Ø
& $ &
ß ll, , ll œ !Þasí que El error de mínimos cuadrados esw
cero porque sucede que está en la , M7EÞ
Repitiendo el proceso, se tiene
Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø$ * ! ã (* )$ #) ã &! #) "% ã )
µ † † † µ ß
" ! ã
! " ã
! ! ! ã !
$ '(# #"" ## (
\ œ ß , œ E\ œ œ Ê
! !
: :
'( '(#" #"# #( (
w
)&#"$(#"#&#"
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ ØÔ ×Õ Ø" $ $" & "" ( #
ll, , ll œ ll ll œ $)Þ!* œ 'Þ"(#w
#!#"
"!!#")!#"
Ô ×Ö ÙÕ Ø È
Problema 39.
Encontrar la forma de la transformación lineal que representa la proyecciónXortogonal de un punto en el espacio sobre el plano y su matriz+B ,C -D œ !representativa con respecto a alguna base de , también demuestre que‘$
X ‰ X œ X Þ
¿Es lineal la transformación si el plano es de la forma con+B ,C -D . œ !ß. Á !?
Solución.
Primera forma
Suponiendo + Á !ß B œ C D œ 5 C : D Ê œ, -
+ +
5 C : DCD
!Ô ×Õ Ø
! œ C D ß5 : 5 :" ! " !! " ! "
Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Øpor tanto el plano esta generado por: y , luego
Así M7E œ [ Ê E œ ß X \ œ E E E E \ß a\ œ5 : B" ! C! " D
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øa b a b> >"
Segunda Forma
[ œ Ê E œ ß X \ œ ÒM E E E E Ó\ ß+ +, ,- -
¼ > >$
"¢š ›£Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø a b a bAsí con
+ Á ! ” , Á ! ” - Á !Þ
De inmediato de aquí, la matriz representativa de esX
"+ , -
# #
# #
# ## # #
Ô ×Õ Ø, - +, +-
+, + - ,-
+- ,- + ,
X ‰ X œ ÒE E E E Ó œ E E E E E E E E œ E E E E œ Xa b a b a b a b> > # > > > > > >" " " "
Si el plano no pasa por el origen no se verifica que luego no es unaXÐ Ñ œ ß) )X ÞP.
Problema 40.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä‘ ‘$ %
X \ œ E\ß \ œ ß E œBCD
" 5 #55 " 5#5 #5 "
#5 " $5 #5 "
a b Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø donde es un parámetro real dado.5
a) Demuestre que para un vector de la imagen, los valores y a b+ß ,ß -ß . +ß ,ß - .satisfacen una ecuación homogenea independiente de que define a la 5 M7X Þ
b) Determine y la nulidad de < X X Þa b c) Halle los valores de para los cuales se tiene que 5 < X $Þa b d) Calcule para X "ß !ß "ß ! 5 œ "Þ"a b Solución.
a) Recordemos que la Imagen de esta generada por los vectores columna de X Eßentonces
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
" 5 #5 ã +5 " " ã ,#5 #5 " ã -
#5 " $5 #5 " ã .
Es suficiente hacer para obtener J% J J . + - œ !Þ" $
b) Como además de la operación anterior hacemos < X œ < E ß J Ja b a b J" # $
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
" 5 #5 $5 " $5 " $5 "5 " 5 5 " 5#5 #5 " #5 #5 "
#5 " $5 #5 " ! ! !
µ Ê
< X œ # Í 5 œ Ê X œ $ < X œ $ # œ ""
$a b a b a b(
Si haciendo y posteriormente 5 Á J 5J à #5J"
$5 ""$ " " " J J# $
1 1
µ µ Ê
$5 " $5 " $5 " "5 " 5 ! " 5 !#5 #5 " ! ! " #5! ! ! ! ! !
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø < X œ # Í 5 œ " ” 5 œ Ê X œ $ < X œ $ # œ "
"
#a b a b a b(
< X œ $ Í 5 Á • 5 Á " • 5 Á Ê X œ $ < X œ $ $ œ !" "
$ #a b a b a b(
c) < X $ Í Ð5 œ ” 5 œ " ” 5 œ Ñ" "
$ #a b
d) considerando seX œ Í XÐ Ñ œ ß 5 œ "
" "! !
" "! !
B BC CD D
"Š ‹Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
tiene
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø" " # ã " " " ! ã "" " " ã ! ! ! " ã "# # " ã " ! ! ! ã !$ $ $ ã ! ! ! ! ã !
µ Ê
parámetroX œ ß > − ß
"!
"!
" >>"
"Š ‹Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
Ô ×Õ Ø ‘
Problema 41.
a) Demuestre que todas las raíces del polinomio característico de una matriz realsimétrica son números reales.
b) Si es una matriz simétrica de entonces los vectores propios queE 8 ‚ 8ßcorresponden a valores propios de distintos entre si, son ortogonales.Eß
Demostraciones
a) Sea una raíz del por demostrar que > œ + ,3 T Ð>Ñß , œ !ÞE
con T > œ ! Í l + ,3 M El œ !ß E œ E ß + − ß a 3ß 4E 8 34>a b a b ‘
Ahora el sistema homogeneo [ ] ( , noa b a b+ ,3 M E 3 œ ! !3à −88! " ! " ‘
nulos a la vez) tiene solución distinta de la trivial de aquí se sigueß
+M E ,8! ! M +M ,M E œ ! !38 8 8" " ! "a b +M E ,8! ! M œ ! • +M ,M E œ !ß8 8 8" " ! " de donde Ð à" +M E ,8! ! M Ñ œ ! Í + à M àE , à M œ ! "8 8 8" " ! " ! " "a b a b a b a b a b a b a b a b+M ,M E ß œ ! Í + M à ÐE à Ñ , M à œ ! #8 8 8 8" ! " ! " ! " ! ! !
pero como, a b a b a bM à œ M œ M œ M œ à8 8 8> > > >
8" ! " ! " ! " ! " M8!
y también a b a b a bE à œ E œ E œ E œ àE" ! " ! " ! " ! " !> > > >
remplazando en y y restando miembro a miembro resultaa b a b" #
, M à , à M œ ! Í , Ðll ll ll ll Ñ œ ! Ía b a b8 8# #! ! " " ! " , œ !Þ
b) Sean dos vectores propios asociados a los valores propios y con! !" # " #ß > >
, por tanto se debe tener: con > Á > E œ > • E œ > ß ß Á" # " " " # # # " #! ! ! ! ! ! )
Ahora, como como > à œ > à œ E à œ ÐE Ñ œ E ß E œ E" " # " " # " # " # #
> > > >"a b a b a b! ! ! ! ! ! ! ! ! !
de dondeœ E œ àE œ à > œ > à ß! ! ! ! ! ! ! !>" # " # " # # " ##a b a b a b
pero como entoncesÐ> > Ñ à œ ! > Á > Ê à œ ! ß Á" # " # " # " # " #a b a b! ! ! ! ! ! )
y son ortogonales.! !" #
Problema 42.
a) Para que valores de y es posible encontrar una matriz de orden 4,5 : Esimétrica real, tal que sus valores propios sean: con vectores propios:#ß "ß "ß "
a b a b a b a b%ß #ß 5ß " ß "ß "ß #ß ! ß "ß :ß "ß " ß !ß %ß #ß ' respectivamente.
b) En caso que sea posible determinar y encuentre la matriz mediante una5 :ß Ematriz ortogonal que la diagonalice, en caso contrario haga caso omiso de estaTparte.
Solución.
a) Por la parte b) del problema 3 deben ser ortogonales necesariamente los paresde vectores siguientes:Ð %ß #ß 5ß " à "ß "ß #ß ! Ñ œ ! Í 5 œ " "a b a b a b Ð %ß #ß 5ß " à "ß :ß "ß " Ñ œ ! Í % #: 5 " œ ! Í : œ #a b a bÐÐ %ß #ß 5ß " à !ß %ß #ß ' Ñ œ ! Í ) #5 ' œ ! Í 5 œ "a b a bÐ "ß "ß #ß ! à "ß :ß "ß " Ñ œ ! Í " : # œ ! Í : œ $ Ð Ê É Ña b a b
por tanto no es posible encontrar una matriz simétrica, pues los vectores propiosasociados deben ser ortogonales.
b) Se omite.
Problema 43.
Sea una y sea su matriz representativa con respectoX À Q Ä Q XÞPÞ E#‚# #‚#
a las bases canónicas de (partida y llegada), dada porW Q" #‚#
E œ
( $ # " #$ "& ( #
"$ * & "* ' $ !
"$
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
a) Determine X Ð Ñ" #! "
" ” •
La inversa de la matriz representativa es , por lo2 00 1 4
E œ
" ! " "# " ! "" $
"
"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
tanto para obtener lo pedido, calculamos .
E œ
" !# $! &
" #
"
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØEntonces = 0 3
5 2X Ð Ñ" #! "
" ” • ” •
b) Determine ( ) si [ ] dondeX œ
"#!
"
"W! !#
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø }W œ ß ß ß
" " " " " " " !" " " ! ! ! ! !# š ›” • ” • ” • ” •
! œ " † # † ! † " † œ" " " " " " " ! # $" " " ! ! ! ! ! $ "” • ” • ” • ” • ” •
por tanto =
0
E œ Ê X Ð Ñ
# !$ ) # $ )$ "( $ " "( %" %
" "
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø ” • ” • c) Encuentre matriz representativa de con respecto a la base partida yF X W ÞÐ#
llegada).
De inmediato con asíF œ T ET T œ ß
" " " "" " " !" " ! !" ! ! !
"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
luego T œ ß F œ
! ! ! "! ! " "! " " !" " ! !
# # " $
"
( ) % "#' ( % "!
"# " %$ $ $
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØProblema 44.
En , dado el subespacio ‘% [ œ Ö "ß !ß #ß # ß "ß "ß "ß " ß $ß "ß &ß $ × ¡a b a b a b a) Determine una base ortonormal para [Þ
b) Determine una transformación lineal X À Ä‘ ‘% %
tal que el y O/< X œ [ M7X œ [ Þ¼
Solución.a) Una base para es } pués el vector[ Ö "ß !ß #ß # ß "ß "ß "ß "a b a b es C.L. de los otros dos vectores.a b$ß "ß &ß $
Por Gran Schmidt "" œ "ß !ß #ß #a b "#
" "* *œ "ß "ß "ß " "ß !ß #ß # œ )ß *ß (ß ""a b a b a b
Una base ortonormal resulta { " "$ $"&a b a b"ß !ß #ß # ß )ß *ß (ß "" ×È
b) Tomamos una base para que incluya a los vectores y‘% a b"ß !ß #ß #
por ejemploa b"ß "ß "ß "
{a b a b"ß !ß #ß # ß "ß "ß "ß " ß Ð"ß !ß !ß !Ñß Ð!ß !ß !ß "Ñ×
por otra parte de[ œ Ö Bß Cß Dß > Î B #D #> œ ! • B C D > œ !×¼ a b donde resulta [ œ Ö #ß "ß "ß ! ß #ß $ß !ß " ×¼ ¡a b a b Así: X "ß !ß #ß # œ !ß !ß !ß !a b a b X "ß "ß "ß " œ !ß !ß !ß !a b a b X "ß !ß !ß ! œ #ß "ß "ß !a b a b XÐ!ß !ß !ß "Ñ œ #ß $ß !ß "a b luego a b a b a b a bBß Cß Dß > œ D C C #B C D > D #C" "
# #" # $ %& & & &
X Bß Cß Dß > œa b " "
# #" # $ %a b a b a bD C X Ð Ñ C X Ð Ñ #B C D X Ð Ñ > D #C X Ð Ñ& & & &
X Bß Cß Dß > œ #B C D #ß "ß "ß ! > D #C #ß $ß !ß "a b a ba b a ba b"#
X Bß Cß Dß > œ
#B $C $D #>
B C D $>
B C D
> D #C
a bÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
"$ (# #
" "# #
Problema 45.
Sea una base para y sea dado un producto interno enW œ Ö ß ß Þ Þ Þ ß ×! ! ! ‘" # 88
‘ ! !834 3 4 34ß - œ Ð à Ñ G œ ß 3ß 4 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 Ð G-tal como y sea note que ésc d
simétricaÑ
Si y , entonces: donde y ! " ‘ ! ! " !− œ + • œ , + ,8
3œ" 3œ"
8 8
3 3 3 3 3 3! !son determinados en forma única, así se define e a b! " ! "à œ \ G] à \ œ Ò Ó ] œ Ò Ó>
W W
a) Es necesario imponer alguna condición para que sea un producto internoa b! "àbien definido.b) Con atención a su respuesta en a) se puede afirmar que es un productoa b! "àinterno si la base esW
W œ Ö "ß "ß " ß Ð"ß !ß #Ñß Ð"ß "ß "Ñ ×a b y calcule y la si y a b a b a b! " ! ! "à ll ll œ "ß #ß ! œ #ß $ "
Solución.a) Las tres primeras propiedades de un producto interno se cumplen sin dificultad(debe verificarlo), para la cuarta propiedad esa b! !à œ \ G\>
necesario que y esto verifica solo si es definida positiva.\ G\ ! G>
b) Debemos obtener la matriz y comprobar si es de finida positivaG
Así, G œ Ê G µ µ Ê$ $ "$ & $" $ $
$ $ " $ $ "! # # ! # #
! # ! !
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø) #
$ $
todos los pivotes positivos, por tanto es definida positiva luego es unG àa b! "producto interno considerando la base WÞ
\ œ Ò Ó œ à ] œ Ò Ó œ# %
" $! "
! "W W
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
a b c dÔ ×Ô ×Õ ØÕ Ø! "à œ œ )# " ! $ & $ $$ $ " %
" $ $ "
ll ll œ à œ œ &# " ! $ & $ "$ $ " #
" $ $ !! ! !Èa b c dŠ ‹Ô ×Ô ×
Õ ØÕ Ø È"#
Problema 46. Sea una T. L. con valores propios reales, se sabe queX À Ä‘ ‘% %
[ œ Ö Bß Cß Dß > Î B #C > œ !a b #B D $> œ ! ×
es un subespacio propio de también se sabe que que la imagen> œ > ß >< E œ ) ß1 #
del vector por es y por último que |a b a b"ß "ß "ß " E $ß $ß $ß $ El œ #"Þ
a) Determine los valores y vectores propios de EÞ
b) ¿Es posible determinar de modo que sea definida positiva? (justifique)E
c) Sin determinar el indique cuál es su dimensión. (justifique)O/< X ß
d Calcule Ñ E Þ&
Solución.a) pués >< E œ ) Í # > $ > œ ) " ß E "ß "ß "ß " œ $ "ß "ß "ß "" % a b a b a b | El œ #" Í > > > > œ " Í > † $ † > œ #" #" # $ % %
#" a b
De y se obtiene dea b a b a ba b" # # > &> ( œ ! Í > " #> (> ( œ !$ # #" " "" "
donde las otras dos raíces son complejas entonces > œ " Ð Ñ > œ (" %
Por tanto los valores propios son: y > œ > œ "ß > œ $ > œ (Þ" # $ %
Vectores propios: De se obtienen y [ œ #ß "ß %ß ! œ !ß "ß 'ß #! !" #a b a b vectores propios asociados a , asociado a > œ > œ " œ "ß "ß "ß " > œ $" # $ $! a b
para consideramos > œ ( œ !ß !ß !ß "% %! a b b) Es imposible pués tiene al valor propio que es negativo.Ð "Ñ
c) Como | entonces El œ #" .37O/< X œ !
d) Existen varias matrices pués el vector propio puede ser cualquiera queE !%
sea con los otros tres, para el caso en que se tiene quePÞMÞ œ !ß !ß !ß "!% a b
T œ Í T œ à
# ! " ! & " " !" " " ! $ # " !% ' " ! # "# # !! # " " ) "' ! )
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø" "
)
H œ
" ! ! !! " ! !! ! $ !! ! ! (
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
E œ THT œ
# ' " ! " & " ! " ' # !
( "! " (
"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
d) E œ TH T& & "
Problema 47.
Sea
E œ
" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø y [ œ Ö\ − Î E\ œ !ב&
a) Encuentre los valores de y de modo que la sea: +ß , - .37[ "ß #ß $ 9 %Þ
b) Encuentre una base para para el caso de y tal que [ +ß , - .37[ œ $¼
Solución.a)
E œ µ
" # + " $ " # % " + , # % - # ' # % + - % # + , $
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
0 0Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" # + " $
+ % ! + , $! ! $+ - % ! + , $! ! ! ! !
.37[ œ " es imposible
.37[ œ $ Í + œ %ß , œ " - œ )y y para cualquier otro caso diferentede estos valores para y en el que , entoces +ß , - .37[ œ $ .37[ œ #
Problema 48.
Sea una definida porX À Q Ä Q XÞPÞ#‚# %‚"
E œ
" # $ "! " " #" ! " "
" # ! #
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø con respecto a: W Ä W" #
y W œ ß ß ß W œ ß ß ß" " " " " " " ! ! " ! !" " " ! ! ! ! ! ! ! " !
" ! ! !
! ! ! "
" #˜ ™ ˜ ™” • ” • ” • ” •Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
a) Determine una base ortogonal para M7X Þ
b) Encuentre tal que ” • ” •’ “Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
B C B C #D > D > !
− Q XÐ Ñ œ Þ
"
5
#‚#W#
Solución.a) Note que la está generada por los vectores columna de < E œ %ß M7X Eßa bentonces por Gram Schmidt " "" #œ "ß !ß "ß " ß œ #ß "ß !ß # ßa b a b "$
% ( "$ * *œ $ß "ß "ß ! "ß !ß "ß " #ß "ß !ß # œ "ß #ß $ß #a b a b a b a b
b) Primero determinamos el vector coordenado de en la base es decir! W ß"
” • ” • ” • ” • ” •B C " " " " " " " !D > " " " ! ! ! ! !
œ > ÐD >Ñ ÐC DÑ ÐB CÑ
’ “” •Ô ×Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø
XÐ Ñ œ œ ßB C ! " " # D > #D > " ! " " C D !
" # $ " > "
" # ! # B C 5W#
Como el el sistema anterior es consistente para todo real.< E œ % Ê 5a bProblema 49.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä‘ ‘$ $
X Bß Cß D œ 5B $Cß B #C Dß 5B C Da b a b a) Determine de modo que 5 .37O/< X œ "
b) Considere y encuentre una base para la ¿es invertible? en5 œ " M7X ß X
caso afirmativo determine una fórmula para X Þ"
c) Encuentre la matriz representativa de con respecto a las bases X W Ä W ß" #
dondeW œ Ö "ß "ß ! ß "ß "ß # ß !ß "ß # × W œ Ö ß "ß " ß #ß "ß ! ß "ß "ß $ ×" #a b a b a b a b a b a by 0 .Considere 5 œ "Þ
Solución.
a) a − O/<X Í œ Bß Cß D Î µ5 $ ! ã !" # " ã !5 " " ã !
! ! a b Ô ×Õ Ø
luegoÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø
5 $ ! ã ! %5 $ ! ! ã !" # " ã ! " # " ã !
5 " " ! ã ! 5 " " ! ã !µ ß
.37O/<X œ " Ê %5 $ œ ! Í 5 œ $
%
b) Como como5 œ " Á Ê M7X œ • O/<X œ Ö × Ê bX ß$%
$ "‘ )
E œ Í E œ Ê" $ ! " $ $" # " # " "" " " $ # &
"
(
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
X Bß Cß D œ B $C $Dß #B C Dß $B #C &D" "(a b a b
c) X "ß "ß ! œ %ß "ß # œ ) !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $"" "!
$ $a b a b a b a b a b
X "ß "ß # œ #ß &ß # œ "% !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $"" "'
$ $a b a b a b a b a b
X !ß "ß # œ $ß !ß " œ # !ß "ß " #ß "ß ! "ß "ß $& "
$ $a b a b a b a b a b
luego
F œ
) "% #"" "" &
$ $ $
"! "' "
$ $ $
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ ØProblema 50.
De la siguiente matriz se sabe que es uno de sus valores propios y queE "
a b"ß "ß "ß " es su vector propio asociado.
E œ
" # # !! " # +! # " ,! # # -
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Determine y +ß , -Þ
b) Diga si es o no diagonalizable (justifique) para los valores de y E ß +ß , -
encontrados en a). c) Si es posible calcule para los valores de y E Ð#ß !ß #ß %Ñß +ß , -"!!
encontrados en a).
Solución.a) Se debe tener que
y Ô ×Ô × Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÕ ØÕ Ø Õ Ø" # # ! " "! " # + " "! # " , " "! # # - " "
œ " † Í + œ #ß , œ # - œ $
b) Valores propios y T > œ ! Í > œ > œ " > œ > œ "E " # $ %a b Vectores propios Para y > œ > œ " Ê œ "ß !ß !ß ! œ !ß "ß "ß "" # " #! !a b a b y > œ > œ " Ê œ #ß "ß "ß ! œ "ß "ß !ß "$ % $ %! !a b a b Como existe una base { de vectores propios para entonces ! ! ! ! ‘" # $ %
%ß ß ß × ß E
es diagonalizable.
c) Como con:E œ TÐH Ñ T Í E œ TÐH Ñ T ß8 " 8 " "!! " "!! "
H œ ß T œ
" ! ! ! " ! # "! " ! ! ! " " "! ! " ! ! " " !! ! ! " ! " ! "
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø notemos que en este caso luegoH œ H ß œ # ! # %" >! c d E Ð#ß !ß #ß %Ñ œ TÐH Ñ T"!! " "!! "!
Problema 51.
Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, en caso que surespuesta sea verdadera demuéstrela, y en caso de ser falsa muestre un contraejemplo.
a) Sea el espacio vectorial de todas las matrices cuadradas de orden sobreZ ß 8ßun cuerpo y sea formado por todas las matrices que conmutan con unaOß [matriz dada, entonces és un subespacio de [ Z Þ
b) / és un espacio vectorial.‘ ‚$ ß
c) En / todos los vectores ortogonales a un plano, que no pasa por el origen,‘ ‘$ ßforman un subespacio de .‘$
Solución. a) Sea matriz fija.Verdadera. [ œ Ö\ − Z Î \E œ E\ß E ×
y a\ ß\ − [ 5 − O Ê Ð\ 5\ Ñ − [" # " #
En efecto a\ ß\ − [ Î \ E œ E\ "" # " " a b \ E œ E\ Ê 5\ E œ 5E\ ## # # # a b Sumando miembro a miembro y se tiene:a b a b" # ß
\ E 5\ E œ E\ 5E\ Í Ð\ 5\ ÑE œ EÐ\ 5\ Ñ" # " # " # " #
entonces , lo que prueba que es un subespacio de Ð\ 5\ Ñ − [ Z Þ" #
b) Falsa. No se cumple el axioma 1 de la ponderación, por ejemplo tomando
3ÐBß Cß DÑ œ Ð3Bß 3Cß 3DÑ Â pues no son componentes reales.‘$ 3Bß 3C ß 3D
c) Sea la normal del plano que no pasa por el origen entonces Verdadera. 8t
[ œ Ö? − Î ? œ >8ß > − ×t t t‘ ‘$
o también [ œ Ö? − Î ? ‚ 8 œ ! ×t t t t‘$
En efecto: luegoa ? ß ? − [ Ê ? œ > 8 • ? œ > 8ß > ß > − àt t t t" # " " # # " # ‘
a 5 − ß ? 5 ? œ > 8 5 > 8 œ Ð> 5> Ñ8 œ >8ß > œ Ð> 5> Ñ −t t t t t t‘ ‘" # " # " # " #
lo que nos demuestra que es un subespacio de .[ ‘$
Problema 52.
Sea espacio vectorial sobre linealmenteE œ Ö ß ß † † † × ß E © Z ß Z Oß E! ! !" # 8
independiente, demuestre que si entonces se escribe de manera única" "− ØEÙßcomo combinación lineal de los vectores de EÞ
Solución. Supongamos que hay dos formas distintas de expresar , es decir sean:"
y " ! " !œ B œ C! !3œ" 3œ"
8 8
3 3 3 3
restando miembro a miembro estas expresiones se tiene,
) ! ! !œ B C œ ÐB C Ñ! ! !3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
3 3 3 3 3 3 3
pero los son L.I. entonces !3 3 3 3 3B C œ ! Í B œ C ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ 8
lo que prueba que se escribe de manera única en C.L. de los vectores " EÞ
Problema 53.
En dados:T Î# ‘
: B œ # Bß ; B œ " B ß < B œ " B B ß = B œ B Ba b a b a b a b# # #
Sean y determine un vector W œ ØÖ: B ß ; B Ù W œ ØÖ< B ß = B ×Ùß ? B − W ß" # #a b a b a b a b a btal que T œ W Š ØÖ? B ×Ù# " a b
Solución. Sea se debe verificar que? B œ = B œ B B ßa b a b #
es un conjunto L.I., pues de ser así, entoncesÖ# Bß " B ß B B ×# #
y W ØÖ? B ×Ù œ Ö × T œ W Š ØÖ? B ×Ù" # "a b a b)
Por tanto: conduce a+ Ð# BÑ + Ð" B Ñ + Ð B B Ñ œ !" # $# #
#+ + œ !" #
+ + œ !" $
+ + œ !# $
cuya solución es , resultado que se pretendía.+ œ + œ + œ !" # $
Problema 54.
Demuestre que toda función que proyecta vectores de , ortogonalmente, sobre unZsubespacio del espacio vectorial , es una transformación lineal.[ Z
Demostración.
Sea tal que en que en que lasX À Z Ä [ X B œ T Bà T œ EÐE EÑ Ea b[ [
> " >
columnas de esta formada por una base de E [
Así: 1) X B B œ T B B œ T B T B œ X B X Ba b a b a b a b" # " # " # " #[ [ [
2) XÐ5BÑ œ T Ð5BÑ œ 5T B œ 5 X B[ [
a b luego es una transformación lineal.X ß
Problema 55.
En dado Q ß [ œ ß
" !" "" #" "
%‚" ¤œ ¥Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
a) Factorice en y ocupe y para determinarE œ UV U V
" !" "" #" "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØC œ +B , !ß " ß "ß # ß #ß ! "ß % Þque mejor representa a los puntos: y a b a b a b a b
b) Encuentre un vector no nulo, tal que . . .T œ Þ
c) Determine el vector en el espacio columna de más cercano al vector" Eßc d# $ " ! Þ>
Solución
a) De inmediato U œ à
"
"
"
"
"#
"
&"
&$
&$
&
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
ÈÈÈ
È como E œ UV Í U E œ U UV œ M V Ê V œ U E œ
# "
! &> > >
# ” •È donde C œ +B ,ß \ œ ß \ œ ÐE EÑ E ] ] œ
, #+ !
"
%
” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
> " >
\ œ ÒÐUVÑ ÐUVÑÓ ÐUVÑ ] œ V U ]> " > " >
\ œ œ œ"
!
" " " ""# %' #Þ$! ## "Þ"%
" "% #!
"
&#
&
" " $ $
& & & &
Ô ×Õ Ø– —
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø ” • ” •ÈÈ È È È È
finalmente: C œ "Þ"B #Þ$
b) puede ser cualquiera de los vectores generadores de . [Þ
c) con " ! !œ :<9C ß œ Ê# $ " 
Solución.El sistema E\ œ , debe ser compatible, y como:
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
% % * * ã "' ) ( & ã && ( % * ã &
* "" "' ( ã &
µ † † † µ
! ! " ã
" ! ã
! " ã
! ! ! ! ã !
( "$ $
"( $( &# # #
"" #* &# # #
esta matriz nos indica que el sistema en cuestión es compatible, por tanto está en,el espacio imagen de Hay infinitos cuya imagen bajo sea uno de ellosX Þ \ X ,ß
se obtiene para y resulta ser B œ ! \ œ Þ"
$" # " !%
>c d
Problema 57.
Sean las bases de ;‘$
W œ Ö "ß !ß ! ß !ß "ß ! ß !ß !ß " ×" a b a b a b W œ Ö "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×# a b a b a b W œ Ö $ß #ß " ß %ß "ß $ ß "ß "ß " ×$ a b a b a by dada la transformación representada en la base porW$
E œ" # "! " ## $ !
Ô ×Õ Ø
a) Determine las imágenes de los vectores básicos de la base W Þ#
b) Determine la matriz de transformación en la base W Þ"
c) Determine la matriz de la transformación inversa en la base W Þ#
Solución. a) Primero determinamos los vectores coordenada de los vectores de la base W#
con respecto a la base resolviendo el sistema simultaneo:W ß$
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
$ % " ã " ! ! " ! ! ã ' "! $# " " ã " " ! ! " ! ã # $ " " $ " ã " " " ! ! " ã "" ") &
µ † † µ
Así:
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø" # " ' "! $ "$ ## '! " # # $ " #% $* ""# $ ! "" ") & ") #* *
œ
Las vectores columna de esta matriz, representan los vectores coordenada de lasimágenes pedidas pero con respecto a la base , por tanto tales imágenes resultanW$
finalmente:X "ß "ß " œ "$ $ß #ß " #% %ß "ß $ ") "ß "ß " œ $*ß #!ß "!$a b a b a b a b a bAnalogamente, y X !ß "ß " œ '"ß $%ß "') X !ß !ß " œ "(ß "!ß %)a b a b a b a b
b) E
W W$ $Ò
T Æ Æ T Ê F œ TET"
W W" "Ò
F
donde: T œ à T œ$ % " % ( $# " " " # "
" $ " ( "$ &
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
luego resulta F œ ## %% "(
"% #% "! '& "#! %)
Ô ×Õ Ø
c) F"
W W" "Ò
U Å Å U Ê G œ U F U" " "
W W# #Ò
G"
donde: U œ àU œ" ! ! " ! !" " ! " " !" " " ! " "
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
F œ ß G œ%) (# $# &' "!% $#
## %* ") "!" "(" &!"#! ##! )) #$$ $(& "!'
" "" ""' "'
Ô × Ô ×Õ Ø Õ ØAsí
Problema 58.
Sea es un vector propio de con valor propio correspondiente y sea un" E > 5escalar, demuestre que es un vector propio de con valor propio" E 5M8correspondiente > 5Þ
Demostración. Por hipótesis de aquí se tieneEÐ Ñ œ > ß" "
EÐ Ñ 5 œ > 5 Í ÐE 5M Ñ œ Ð> 5Ñ Ê" " " " " "8
" es un vector propio de con valor propio E 5M > 5Þ8
Problema 59.
Sean
, y E œ ? œ @ œ ) # * # "' % ) " "% ! % # "
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
a) Averigue a cuál de los subespacios: , o a ninguno pertenecen losO/<E M7Evectores y ? @Þ
b) Encuentre la si , explique geométricamente su resultado.:<9C ?ß [ œ M7E[
>
Solución.a) De inmediato se tiene
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
) # * # !' % ) " !% ! % # !
œ Ê ? − O/<E
Para ver si se resuelve:? − M7Eß
Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø ) # * ã #
' % ) ã "% ! % ã #
µ Ê ? − M7E
" ! " ã
! " ã "
! ! ! ã !
"#
"#
Analogamente se determina que: y que @ Â O/<E @ Â M7E
b) Como < E œ # Ê [ œ M7E œ Ö ß × œ Ö ß ×% ' " $! % ! #% ) " %
a b ¡ ¡Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø>
Así: donde con :<9C ? œ E Bà B œ ÐE E Ñ E ?ß E œ" $! #" %
[ " " "> " >" "
Ô ×Õ Ø
efectuando cálculos se obtiene: B œ œ Ê :<9C ? œ!!
!!!
""!” • Ô ×
Õ Ø[
Este resultado nos indica que el vector director del plano que representa es[
el vector .? œ#"
#
Ô ×Õ Ø
Problema 60.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä ß‘ ‘$ $
X "ß "ß " œ "ß #ß "a b a b X !ß "ß " œ #ß $ß !a b a b XÐ!ß !ß "Ñ œ "ß &ß "a ba) Determine la matriz representativa de con respecto a la base canónica de X Þ‘$
b) Resuelva para y la ecuaciónB ß C D À
# X B "ß Cß D " $X Cß Dß B œ ÐX ‰ X Ñ #ß #ß #a b a b a b Solución.
a) X "ß !ß ! œ "ß #ß " #ß $ß ! œ "ß &ß "a b a b a b a b X !ß "ß ! œ #ß $ß ! "ß &ß " œ "ß #ß "a b a b a b a b XÐ!ß !ß "Ñ œ "ß &ß "a b De donde se obtiene la matriz representativa pedida, que es:
E œ " " "
& # & " " "
Ô ×Õ Ø
b) # X B "ß Cß D " $X Cß Dß B œ ÐX ‰ X Ñ #ß #ß # Ía b a b a b X #B $C #ß #C $Dß $B #D # œ XÐ#ß %ß #Ñ Ía b 4
Ô ×Ô × Ô ×Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØÕ Ø
" " " #B $C # " " " #& # & #C $D & # &
" " " $B #D # " " " #œ
lo que conduce al sistema:
&B &C D œ %
#&B ""C "'D œ %)
&B C &D œ "#
Resolviendo resultta: parámetro. B œ Dà C œ # Dß D"% "$ $& "! #
Problema 61.
Sea E œ% $# "” •
a) Determine los valores y vectores propios de EÞ
b) Resuelva X Ð Ñ œ X Ð Ñ X Ð ÑB " $C " #
#! #" ""” • ” • ” •c) Si es la matriz representativa de una T. L. de con respecto aE Ä‘ ‘# #
. Determine fórmulas para y para W œ Ö ß × X Ð Ñ X Ð ÑÞ" $ B +" # C ,"
"” • ” • ” • ” •Solución. a) Valores propios:
T > œ l>M El œ œ > $> # œ ! Ê > œ "à > œ #> % $ # > "E # " #
#a b º º Vectores propios:
> œ " Ê µ Ê œ $ $ ã ! " " ã ! # # ã ! ! ! ã !" "” • ” • ! ” •""
> œ # Ê œ Þ$## #! ” •
b) Note que existe X Ê X Ð Ñ œ X Ð Ñ X Ð Ñ ÍB " $C " #
" %! " *” • ” • ” • E Ð Ñ œ E E Í TH T œ TH T TH T
B " $C " #
%! " * %! " " " * "” • ” • ” • donde; y H œ ß T œ T œ à \ œ
" ! " $ # $ B! # " # " " C” • ” • ” • ” •"
Problema 62.
a) Sea una base ortonormal para un espacio vectorial W œ Ö ß ß † † † ß × Z ß! ! !" # 8
a − Z ß œ B! ! !3œ"
8
3 3Þ! Demuestre que || || es igual a ! # #
3œ"
8
3!B
b) Encuentre un vector ortogonal a todos los vectores del plano generado por:
y y muestre que dicho vector tiene la dirección del+ œ Ð"ß #ß #Ñ , œ Ð"ß "ß "Ñt t
vector donde :<9C œ Ð#ß !ß $ÑÞ[¼! !
Solución.
a) || ||! # œ Ð! !3œ" 3œ"
8 8
B B3 3 3 3! !à Ñ
œ Ð à B Ñ Ð à B Ñ † † † Ð à B Ñ! ! !3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
B B B3 3 " " 3 3 # # 3 3 8 8! ! ! ! ! !
œ B B Ð à Ñ B B Ð à Ñ † † † B B Ð à Ñ! ! !3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
" 3 3 " # 3 3 # 8 3 3 8! ! ! ! ! !
Note: Que, en la primera sumatoria todos los productos son 0 excepto cuando 3 œ "
lo mismo en la segunda cuando y así sucesivamente hasta la última para3 œ #ß
3 œ 8ß es decir:
œ B Ð à Ñ B Ð à Ñ † † † B Ð à Ñ œ# # #" #" " # # 8 88! ! ! ! ! ! !
3œ"
8#3B
b) De inmediato el vector en cuestión es ? œ + ‚ , œ Ð!ß "ß "Ñt t t
[ œ Ö Ð"ß #ß #Ñß Ð"ß "ß "Ñ× Ê [ œ ÖBß Cß DÑ Î B #C #D œ !¡ ¼
B C D œ ! Ó×
o bien entonces[ œ Ð!ß "ß "Ñ× Ê E œ ß!"
"
¼ Ö ¡ Ô ×Õ Ø
como se pretendía.:<9C œ EB œ B ß!"
"[
¼!Ô ×Õ Ø
Problema 63.
Dada la matriz
Q œ
" " " " "" # $ % &! " # $ %# % ' ) "!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Determine la distancia desde el vector al subespacio! œ # ! $ "c d> .[ œ M7Q
b) Determine la matriz de proyección sobre el subespacio [ Þ¼
Solución. a) La distancia pedida es . œ ll :<9C ll! !
[
Como ; <ÐQÑ œ # Ê E œ :<9C œ EBß B œ ÐE EÑ E
" "" #! "# %
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø [! !> " >
Haciendo los cálculos pertinentes resulta :<9C œ
"*
"!")
[! "
""
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
Así: . œ ll ll œ
#$ *#$ (
""" ""
' $$
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÈ
b) T œ M T œ M
' " & #" # " %
& " ' ## % # )
[¼ [% %"""
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
œ
& " & # " * " %
& " & # # % # $
"""
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØProblema 64.
1. Sea la transformación lineal definida porX À T Ä T# #
X : B œ : #B "a b a ba b a) Determine la matriz de con respecto a X Ö"ß Bß B ×#
b) Ocupe para determinar la matriz de con respecto acambio de base X ß
Ö" Bß " Bß B ×#
Note que, por ejemplo entoncesIndicación: XÐ%B "Ñ Ê : B œ %B "ßa b XÐ%B "Ñ œ %Ð#B "Ñ "
Solución. a) X " œ " œ " † " ! † B ! † Ba b #
X B œ #B " œ Ð "Ñ † " # † B ! † Ba b #
X B œ " %B %B œ " † " Ð %Ñ † B % † Ba b# # #
de donde
E œ" " "! # %! ! %
Ô ×Õ Ø
b) Sean: y W œ Ö"ß Bß B × W œ Ö" Bß " Bß B ×" ## #
E
W W" "Ò
T Å Å T Ê F œ T ET ß"
W W# #Ò
donde luegoT œ Í T œ ß" " ! " " !" " ! " " !! ! " ! ! #
"
#
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
F œ"
#
# ! $ # % &
! ! )
Ô ×Õ Ø
Problema 65.
Sea la función tal queJ À Q Ä ß#‚#%‘
JÐ Ñ œ Ð"ß !ß !ß "Ñà J Ð Ñ œ Ð"ß #ß $ß %Ñà" " " "" " " !” • ” •
y JÐ Ñ œ Ð%ß $ß #ß &Ñ JÐ Ñ œ Ð!ß "ß "ß "Ñ" " " !! ! ! !” • ” •
a) Determine y demuestre que define un isomorfismo de J Q Ä#‚#%‘
b) Determine el vector de que tiene por imagen al vector Q "ß !ß %ß $#‚# a b Solución.
a)
JÐ Ñ œ Ð!ß "ß "ß "Ñà J Ð Ñ œ Ð%ß #ß "ß %Ñà" ! ! "! ! ! !” • ” •
y JÐ Ñ œ Ð $ß "ß "ß "Ñ JÐ Ñ œ Ð!ß #ß $ß $Ñ! ! " !" ! ! !” • ” •
Sea matriz de con respecto a las bases canónicas de asíEß J Q Ä ß#‚#%‘
E œ
! % $ !" # " #" " " $" % " $
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø Como | es epiyectiva, y por el teorema de la dimensiónEl œ " Á ! Ê J
.37Q œ .37M7J .37O/< J Í % œ % .37O/< J#‚#
entonces es inyectiva, por tanto es una biyección.Ê .37O/< J œ !ß J J
Ahora la función se puede expresar por donde es el vectorJ JÐ\Ñ œ E\ß \
coordenada de con respecto a la base canónica de , y es claro que” •+ ,- .
Q#‚#
JÐ\ 5] Ñ œ EÐ\ 5] Ñ œ E\ EÐ5] Ñ œ E\ 5E] œ J \ 5J ]a b a b lo que prueba que es una transformación lineal, luego define unJ J
isomorfismo de Q Ä#‚#%‘
b) Como es un isomorfismo entonces existe luegoJ J ß"
J Ð"ß ! %ß $Ñ œ E œ œ
" ( $ "! ) " &(! # ! $ $ ! "*
% $ ! % % % #&$ % " ' & $ $&
" "
Ô × Ô ×Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÕ Ø Õ Ø entonces
J Ð"ß ! %ß $Ñ œ&( "*#& $&
" ” •Problema 66.
Sea una matriz de con vectores propiosE $ ‚ $
@ œ ß @ œ ß @ œ" " "! " "! ! "
" # $
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
correspondientes a los valores propios
y respectivamente y > œ ß > œ > œ " ß B œ#"#
" # $" "$ $
Ô ×Õ Ø
a) Encuentre E ÐBÑ#!
b) Determine ¿Qué pasa cuando crece( es decir, ?E ÐBÑÞ 8 8 Ä _Ñ8
Solución.
a) E œ TH T œ" " " " " ! #! " " ! " " "! ! " ! ! " #
! !
! !
! ! "
#! #! "
"$
"$
Ô × Ô ×Ô ×Õ Ø Õ ØÕ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø#!
#!
œ###
Ô ×Õ Ø
E œ TH T œ
Ð Ñ Ð Ñ "
! "
! ! "
8 8 "
" " " "$ $ $ $
8 8
" "$ $
Ô ×Ö ÙÕ Ø8 8
8 8
lim lim lim8Ä_ 8Ä_ 8Ä_
8 8
" "$ $
8
"$
E B œ E œ œ# #" ## #
Ð Ñ #
#
#
a b Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø8
8
Problema 68.
Sea [ œ Ö Bß Cß Dß > Î B #D > œ ! • B C $D #> œ ! •a b #B C $D 5> œ !×
el subespacio asociado a un valor propio de multiplicidad y sean# Ð > œ > Ñ" #
> œ # > œ " E$ %y dos valores propios de cuyos vectores propios asociados son respectivamente y y ? œ "ß "ß "ß " ? œ "ß !ß "ß # >< E œ )$ %a b a ba) Determine 5Þb) Averigue si existe la matriz y en caso afirmativo encuéntrela ¿És diag.?E Þ E
Solución. a) debe ser de dimensión 2, luego[
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
" ! # " ã ! " ! # " ã ! " " $ # ã ! ! " " " ã !
# " $ 5 ã ! ! " " 5 # ã !µ µ
Ô ×Õ Ø" ! # " ã !! " " " ã !! ! ! 5 " ã !
Ê 5 " œ ! Í 5 œ "
b) Valores propios:
> > > > œ ) Í #> # " œ ) Í > œ > œ" # $ % " " #(#
Vectores ptopios asociados a: son> œ > œ" #(#
y ? œ #ß "ß "ß ! ? œ "ß "ß !ß "" #a b a b Así: E œ THT"
E œ
# " " " ! " # "" " " ! " $ & $" ! " " " " $ #! " " # " # % $
! ! !
! ! !
! ! # !! ! ! "
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
(#
(#
es diagonalizable pues existe unaE œ ß"
#
"$ "& #( #" $ "! * '
' "& $% #""& $$ '$ %"
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø base de vectores propios para .‘%
Problema 69.
Dada la matriz
E œ
# $ & # # %
! 5 "% ' :
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# ß 5 œ " : œ "!>
b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E œ #
c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ß ,ß 5 :
pertenezca al c d+ , " 5/<EÞ>
Solución. a) Se debe resolver el sistema
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
# $ & ã ' # $ & ã ' # # % ã # ! " " ã )
! " " ã ) ! " " ã )% ' "! ã "# ! ! ! ã !
µ
µ Ê \ œ > à > −
# ! # ã ")! " " ã )! ! ! ã !! ! ! ã !
* " ) "
! "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø ‘
b)
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
# $ & # $ & # # % ! " "
! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!
µ
µ à < E œ # Ê 5 œ " : œ "!
# $ &! " "! ! " 5! ! : "!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Øa bluego y
c) Se debe tener que:
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù ÛÕ Ø Õ Ø
Ô ×Õ Ø
ÚÝÝÝÝÜ
# $ & ! #+ $, & œ ! # # % ! #+ #, % œ !
! 5 " ! 5, " œ !% ' : ! %+ ', : œ !
+,"
œ Í
de donde se obtienen: y + œ "ß , œ "ß 5 œ " : œ "!
Problema 70.
a) Demuestre que toda matriz simétrica e idempotente es una matriz de proyección sobre un subespacio de [ Þ‘8
b) Determine el subespacio de y además descríbalo geométricamente tal[ ‘$
que la matriz
T œ["'
Ô ×Õ Ø
" " # " " # # # %
es su matriz de proyecciónÞ
Solución. a) Sea una matriz simétrica e idempotente de , es decir:F 8 ‚ 8
y F œ F œ F> #F
Se debe demostrar dos cosas:
1) Para cualquier sea y Z entonces\ − ß ] œ F\ œ \ ] ß‘8
es ortogonal a ] ^
2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ œ M7Fß Ð FÑ \
vector de y un vector de [ [ Þ¼
En efecto: 1) Ð] à ^Ñ œ ÐF\à\ ] Ñ œ ÐF\à\ Ñ œ ÐF\Ñ Ð\ F\ÑF\ >
œ \ F Ð\ F\Ñ œ \ ÐF \ F F\Ñ œ \ ÐF\ F \Ñ> > > > > > #
œ \ ÐF\ F\Ñ œ !>
2) Descomposición unica)\ œ ] ^ß ] − [ • ^ − [ м
Sea una base ortonormal para Ö? ß ? ß † † † ß ? × [ß" # :
Así a\ − ß \ œ B ? B ? † † B ? B ? † † B ?‘8" " # # : : :" :" 8 8
es inmediato que , a esteB − [3 3 3 3œ Ð\à ? Ñß " Ÿ 3 Ÿ :ß Ð\à ? Ñ?así ] œ !3œ"
8
vector se suele llamar :<9C \Þ[
Por otra parte ^ œ \ ] Ê
Ð^à ? Ñ œ Ð\à ? Ñ Ð\à ? ÑÐ? à ? Ñ Ð\à ? Ñ † ! Ð\à ? Ñ † ! † † † ! œ !" " " " " # $
Entonces es ortogonal a De manera semejante, es ortogonal a cada de^ ? Þ ^ ?" 3
la base para Por tanto es ortogonal a todo vector de es decir, está en[Þ ^ [ß ^[¼.b) De inmediato se sabe que Vect. col. de [ œ ØÖÐ"ß "ß #Ñ×Ù Ð T Ñ[
Que representa a una recta en ‘$Þ
Problema 71.
Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores:
y ? œ @ œt t# B$ C% D
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
para determinar el máximo de la función sujeta a la0 Bß Cß D œ #B $C %Da brestricción ¿Cuál es el punto donde se produce este máximo?B C D œ "Þ# # #
Solución.La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice: luegoÐ?à @Ñ Ÿ lÐÐ?à @Ñl Ÿ ll?ll ll@llßt t t t t t
#B $C %D Ÿ # $ % B C D œ #* ÊÈ È È# # # # # #
el máximo de es 0 Bß Cß D #*a b È Ahora, como y es máx. cuandoÐ?à @Ñ œ ll?ll ll@ll-9=> œ ll?ll -9=> Ð?à @Ñt t t t t t t
es paralelo a entonces es válido suponer que-9=> œ " Ê ? @t t
@ œ œ 5? œ 5 Êt tB # B œ #5C $ C œ $5D % D œ %5
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
ÚÛÜ
Con lo que: Ð#5Ñ Ð$5Ñ Ð%5Ñ œ " Í 5 œ"
#*
# # # ÈAsí: y B œ ß C œ D œ
# $ %
#* #* #*È È È
Problema 72.
a) Utilice la factorización para encontrar una solución por mínimos cuadradosUV
de dondeE\ œ ,ß
y E œ , œ
" # # # " " # $ " ! " #
" " # &
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 ‚ 8 ß F œ T ET"
alguna matriz invertible.T ß
Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.Solución. a) E\ œ , Í E E\ œ E , Í \ œ ÐE EÑ E , E œ UV Ê> > > " > pero \ œ ÒÐUVÑ UVÓ ÐUVÑ , œ ÐV U UVÑ V U , œ V U ,> " > > > " > > " >
Por Gram-Schmidt se obtienen
" " "" # $œ ß œ ß œ
"Î# "Î# $ &Î"! "Î#
"Î#
$ &Î"!
&Î"!
&Î"!
'Î'!
'Î'
'Î$
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
ÈÈÈÈ
ÈÈÈ
Así:
y U œ V œ U E œ
"Î# $ &Î"! 'Î'
"Î# $ &Î"! !
"Î# &Î"! 'Î'
"Î# &Î"! 'Î$
# " "Î#
! & $ &Î#
! ! 'Î#
Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ Ø
È ÈÈÈ ÈÈ ÈÔ ×Õ ØÈ ÈÈ
>
\ œ V U , œ U , œ
"Î# &Î"! 'Î'
! &Î& 'Î#
! ! 'Î$
# #"!Î$
" > >Ô ×Ö ÙÕ Ø
È ÈÈ ÈÈÔ ×Õ Ø
b) lFl œ lT ET l œ lT llEllT l œ lElÞ" "
pero entonces< F œ <ÐT ETÑ <ÐQRÑ œ <ÐRQÑßa b "
œ <ÐETT Ñ œ <ÐEÑÞ"
><ÐFÑ œ ><ÐT ETÑ œ ><ÐETT Ñ œ ><ÐEÑÞ" "
Problema 73.
Sea una transformación lineal tal queX À Z Ä [
XÐ Ñ œ! "" "
XÐ Ñ œ ! " "# # "
XÐ Ñ œ ! " "$ $ #
XÐ Ñ œ! "% $
donde: es una base para W œ Ö ß ß ß × Z Þ" " # $ %! ! ! !
y son bases de W œ Ö ß ß × W œ Ö ß ß × [Þ# " # $ $ " # # $ $ "" " " " " " " " "
a) Demuestre que O/< X Á Ö ×)
b) Encuentre la matriz de con respecto a y ocupando cambio deX ß À W Ä W" #
base con respecto a .W Ä W" $
c) Encuentre ocupando la matriz de , con respecto a .XÐ Ñ X W Ä W! ! !" # $ " $
Solución. a) Notemos que XÐ Ñ XÐ Ñ XÐ Ñ XÐ Ñ œ! ! ! ! )" # $ %
Ô
XÐ Ñ œ! ! ! ! )" # $ %
entonces Ð Ñ − O/< X Ê O/< X Á Ö ×! ! ! ! )" # $ %
b) XÐ Ñ œ œ " † ! † ! †! " " " "" " " # $
XÐ Ñ œ œ " † " † ! †! " " " " "# # " " # $
XÐ Ñ œ œ ! † " † ! †! " " " " "$ $ # " # $
XÐ Ñ œ œ ! † ! † " †! " " " "% $ " # $
así la matriz de con respecto a a esX W W" #
E œ" " ! !! " " !! ! " "
Ô ×Õ Ø
ahora por cambio de base
E
W W" #Ò
M Å Å T Ê F œ T Eß "
W W" $Ò
F
F œ"
#
" " " " " ! ! " " " ! " " !
" " " ! ! " "
Ô ×Ô ×Õ ØÕ Ø
F œ"
#
" ! # " " # ! "
" # # "
Ô ×Õ Ø
c) ÒX Ð ÑÓ œ F œ Í
"""!
"
#
""! ! !" # $ W$
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ ×Õ Ø
XÐ Ñ œ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ œ" " "
# # #! ! ! " " " " " " "" # $ " # # $ $ " $
Problema 74.
Sea el plano en con ecuación [ B C #D œ !Þ‘$
a) Encuentre la matriz representativa de la transformación que proyecta ortogonalmente vectores de , sobre el plano ‘$ [ Þ
b) Determine la matriz representativa de otra transformación, que transforme los vectores del plano en los vectores de un plano cuya normal sea el vector[
a b"ß "ß " Þ
Problema 75.
Sean y dos transformaciones lineales definidas por:X À Ä X À Ä" ## # # $‘ ‘ ‘ ‘
X C œ B"#transforma todo vector de en una reflexión con respecto a la recta ‘
y definida por la matrizX#
E œ" "" "
" !
Ô ×Õ Ø
con respecto a , donde y canónicas de .W Ä W W œ ß W" "" !1 # " #
$˜ ™” • ” • ‘
a) Determine una fórmula par X ‰ X Þ# "
b) Encuentre la matriz representativa de , e indique su efecto geométrico enX""
plano de .‘#
Problema 76.
Sea una matriz ortogonal de y sea una transformaciónE 8 ‚ 8 X À Ä‘ ‘8 8
definida por XÐBÑ œ EBß aB − Þ‘8
Demuestre que: i) ll X ÐBÑ ll œ llBll
ii) ÐX ÐBÑà X ÐCÑÑ œ ÐBà CÑ
Demostración. i) ll X ÐBÑ ll œ llEBll œ ÐEBàEBÑ œ ÐEBÑ EB œ B ÐE EÑBÈ È È> > >
œ B ÐM ÑB œ B B œ ÐBà BÑ œ llBllÈ ÈÈ> >8
ii) ÐX ÐBÑà X ÐCÑÑ œ ÐEBàECÑ œ ÐEBÑ EC œ B ÐE EÑC œ B C œ ÐBà CÑ> > > >
Problema 77.
a) Si y son vectores propios de asociados con el valor propio entonces? @ Eß >ß
para cualquier vector no nulo en .A ØÖ?ß @×Ùß EA œ >A
b) Sea una matriz diagonalizable, entonces demuestre que la matriz diagonalizadaE
también satisface el polinomio característico de H EÞ
Solución. a) Dado que: y E? œ >? E@ œ >@ß ?ß @ Á ßA − ØÖ?ß @×Ù Í A œ 5? :@à)
Así: EA œ EÐ5? :@Ñ œ 5E? :E@ œ 5>? :>@ œ >Ð5? :@Ñ œ >A
b) diagonalizable no singular tal que entoncesE Í bT E œ THT ß"
por Cayley HamiltonT Ð>Ñ œ > + > † † † + > +E8 8"
8" " !
de aquíE + E † † † + E + M œ !ß8 8"8" " ! 8
ÐTHT Ñ + ÐTHT Ñ † † † + ÐTHT Ñ + TT œ !" 8 " 8" " "8" " !
T ÐH + H † † † + H + M ÑT œ ! Ê8 8" "8" " ! 8
H + H † † † + H + M œ ! Ê H T Ð>Ñ8 8"8" " ! 8 Esatisface a .
Problema 78.
a) Mediante la factorización de determine una solución por mínimosUV Eß
cuadrados de EB œ ,Þ
E œ à , œ
" # " "" $ # ## & $ !# ! " "$ " " #
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø b) Mediante Cholesky muestre que 0 Bß Cß D !ß a Bß Cß D −a b a b ‘$
0 Bß Cß D œ *B &C 'D "#BC 'BD #CDa b # # #
Solución.
a) B œ V U , œ œ #$ "Þ&$$ #) "Þ)''
'% %Þ#''
" > ""&
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
donde
V œ
"* (*#$ #!)&
! (*#$ #!)&
! ! #!)&
"
" ' "*"* #'%" #!)&
" $%%"( #!)&
"$!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÈ ÈÈ
È ÈÈ
U œ
"* "* "* "* "*
(*#$ (*#$ (*#$ (*#$ (*#$
#!)& #!)& #!)&
>
" " # # $"* "* "* "* "*
#! "$ &* "# $&(*#$ #'%" (*#$ #'%" (*#$( ' ")$% '*& %"(!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÈ È È È ÈÈ È È È ÈÈ È È #" %$
"$*! %"(!È È#!)& #!)&
b)
E œ Ê Y œ à P œ* ' $ * ' $' & " ! " "
$ " ' ! ! %
" ! !
" !
" "
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø#$"$
È Ô ×Õ ØH œ à
$ ! !! " !! ! #
0 Bß Cß D œ \ E\ œ \ P H HP œ ÒÐP HÑ \Ó ÒÐP HÑ \Óa b È È È È> > > > > >
œ Ò Ó$ # " B $ # " B! " " C ! " " C! ! # D ! ! # D
Ô ×Ô × Ô ×Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØÕ Ø>
œ $B #C D C D #D C D$B #C D
#Dc dÔ ×
Õ Ø œ Ð$B #C DÑ ÐC DÑ %D !# # #
Problema 79.
Para la matriz
E œ# " "" # "" " #
Ô ×Õ Ø
a) Determine su descomposición espectral
b) Muestre que las matrices de la descomposición espectral de corresponden aEß
las matrices de proyección ortogonal de cualquier vector de , sobre los‘$
los subespacios y [ [ Þ> œ>¼># $ "
Solución. a) Valores propios: > œ %ß > œ > œ "" # $
Vectores propios asociados:
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø
1 1 11 11 1
, y
!!
base ortonormal
y 1 1 111 1 1
" " "
$ '#È È ÈÔ × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Øß
! #
E œ > ; ; > ; ; > ; ;" " # # $ $" # $> > >
œ % " "
!
! ! !
!
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø" " " " " "$ $ $ ' $ '" " " " # "$ $ $ $ $ $" " " " " "$ $ $ ' $ '
" "# #
" "# #
Ahora vamos a determinar la matriz de proyección de [¼>"
111
T œ UU œ œ" " " " " "" " "
" " "[
> " " "
$ $ $¼ È È
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Øc d
entonces T œ M T œ œ# " "
" # " " " #
[ $ ["$
¼
Ô ×Õ Ø
œ
!
! ! !
!
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø" "# #
" "# #
" " "' $ '" # "$ $ $" " "' $ '
Problema 80.
a) Determine un conjunto de vectores que genere el espacio nulo de
E œ
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" " # "# $ ' ## " $ "" " # "
b) Suponga que es ortogonal a y Demuestre que es ortogonal a? @ AÞ ?t t t t
cualquier vector de la forma donde y son escalares< @ =A ß < =t t
Solución. a) Note que E µ M Ê O/<E œ ÖÐ!ß !ß !ß !Ñ×8
b) Si es ortogonal a y y y como? @ A Ê ? † @ œ ! ? † A œ !t t t t t t t
entonces es ortogonal a? † Ð < @ =AÑ œ <Ð? † @Ñ =Ð? † AÑ œ ! ! œ ! ?t t t t t t t
.< @ =At t
Problema 81.
Suponga que es un conjunto linealmente independiente deW œ Ö@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ ×" # 8
vectores de Demuestre que si es una matriz no singular de entonces‘8Þ E 8 ‚ 8ß
ÖE@ ßE@ ß Þ Þ Þ ß E@ ×" # 8 es linealmente independiente.
Demostración.
Sea B E@ B E@ Þ Þ Þ B E@ œ Í" " # # 8 8 )
EB @ EB @ Þ Þ Þ EB @ œ Í" " # # 8 8 )
es no singular, EÐB @ B @ Þ Þ Þ B @ Ñ œ ß E bE Ê" " # # 8 8")
y como es entoncesB @ B @ Þ Þ Þ B @ œ Ö@ ß @ ß Þ Þ Þ ß @ × PMÞ" " # # 8 8 " # 8)
por tanto es B œ B œ Þ Þ Þ œ B œ !ß ÖE@ ßE@ ß Þ Þ Þ ß E@ × PMÞ" # 8 " # 8
Problema 82.
Sean y bases para dondeW œ Ö@ ß @ × X œ ÖA ßA × T ß" # " # "
A œ > "ß A œ > "" #
Si la matriz de cambio de base de a esX W
” •" ## $
determine los vectores de WÞ
Solución.
Sea matriz de cambio de base de a , entoncesU œ ß X W" ## $” •
A œ " @ # @" " #
A œ # @ $@# " #
de donde se obtienen: @ œ $A #A œ $Ð> "Ñ #Ð> "Ñ œ > &" " #
@ œ #A A œ #Ð> "Ñ Ð> "Ñ œ > $# " #
Así los vectores de son: y W @ œ > & @ œ > $Þ" #
Problema 83.
Responda con falso o verdadero cada una de las proposiciones siguientes, en casode ser verdadero demuestre y en caso de ser falso justifique.
a) En , || || || || para todo ‘ ‘8 8-@ œ - @ @ −
b) El espacio solución del sistema homogeneo EB œ ! es generado por las columnas de EÞ
c) Todo conjunto ortonormal de cinco vectores en es una base para .‘ ‘& &
d) Si , entonces E 8 ‚ 8 < E œ 8Þes una matriz simétrica de a b Solución.
a) Falso.
|| || || ||.-@ œ Ð-@à -@Ñ œ - Ð@à @Ñ œ l-l Ð@à @Ñ œ l-l @È È È#
b) Falso. Si es el espacio columna esta generado por vectores de E # ‚ $ # ‚ "ß
en tanto que la solución de genera vectores de E œ ! $ ‚ "ÞB
c) Verdadero.
Pués son cinco vectores y todo conjunto ortogonal es LI.,ß .37 œ &‘&
por tanto forman una base para .‘&
d) Falso.
Como un contraejemplo basta tomar la matriz simétrica yE œ" "" "” •
ésta es de rango 1 y no 2.
Problema 84.
De las afirmaciones que se indican, determine cuáles son verdaderas y cuáles sonfalsas. Para las que sean verdaderas debe hacer una demostración y para las falsasbastará un contraejemplo o una justificación adecuada.
a) Si
E œ+ $ # " " + "! ! "
Ô ×Õ Ø
entonces el único valor de para el cual el sistema lineal tiene una+ EB œ !
solución no trivial es + œ #Þ
b) Si un sistema lineal admite por soluciones a y a , entonces admiteEB œ ,ß B B" #
infinitas soluciones.
c) Una matriz simétrica siempre es diagonalizableEß Þ
d) Si entonces es el conjunto de todos los vectores de la[ œ ß ["!"
¢š ›£Ô ×Õ Ø ¼
forma donde es cualquier número real.0Ô ×
Õ Ø>! ß >
Solución.a) Falso.
â ââ ââ ââ ââ ââ â+ $ # " " + "! ! "
œ +Ð+ $Ñ # œ ! Í + œ # ” + œ "ß por tanto
+ œ # Þno es el único valor
b) Verdadera.
Si y son soluciones de y B B EB œ , Ê EB œ , EB œ ," # " #
por tanto también es solución puesB :ÐB B Ñ" # "
EÒB :ÐB B ÑÓ œ EB :ÐEB EB Ñ œ , :Ð, ,Ñ œ ," # " " # "
Como es un real arbitrario, entonces el sistema admite infinitas soluciones.:
c) Falso.
La matriz que es simétrica no es diagonalizable, pues el valor propioÔ ×Õ Ø" " !" " !! ! "
es de multiplicidad algebraica y su multiplicidad geométrica es 1.> œ " #
d) Falsa.
Pues el vector también pertenece a y no es precísamente de la formaÔ ×Õ Ø
#"#
[¼
Ô ×Õ Ø
0, >
!> − ‘
Problema 85.
Determine una base ortonormal para el espacio solución del sistema homogeneo
B B B #B œ !" # $ %
#B B #B B œ !" # $ %
y encuentre el vector más cercano al vector en el complementoa b"ß #ß !ß " ß
ortogonal de este espacio soluciónÞ
Solución.
Sea el espacio solución del sistema[
a? − [ß ? œ ÐB ß B ß B ß B Ñ Î µ" " " # ã !# " # " ã !" # $ % ” •
y µ Ê B œ B B B œ $B" ! " " ã !! " ! $ ã !” • " $ % # %
luego, ? œ ÐB ß B ß B ß B Ñ œ ÐB B ß $B ß B ß B Ñ" # $ % $ % % $ %
œ B Ð"ß !ß "ß !Ñ B Ð"ß $ß !ß "Ñ$ %
[ œ ØÖÐ"ß !ß "ß !Ñß Ð"ß $ß !ß "Ñ×Ù
"" œ Ð"ß !ß "ß !Ñ
"#" "# #œ Ð"ß $ß !ß "Ñ Ð"ß !ß "ß !Ñ œ Ð"ß 'ß "ß #Ñ
Así, es una base ortonormal para Ö Ð"ß !ß "ß !Ñß Ð"ß 'ß "ß #Ñ× [" "
# %#È È El vector más cercano es :<9C @ œ @ :<9C @ß @ œ "ß #ß ! ß "
[¼ [a b
así:<9C @ œ Ð"ß !ß "ß !Ñ Ð"ß 'ß "ß #Ñ œ Ð)ß ()ß $%ß #'Ñß[
" "$ "# %# %#
:<9C @ œ "ß #ß ! ß " Ð%ß $*ß "(ß "$Ñ œ Ð"(ß $ß "(ß )Ñ[¼ a b " "
#" #"
Problema 86.
Sea una transformación lineal definida porX À Ä ß‘ ‘4 4
XÐ Ñ œ
B " # " $ BC # " " $ CD % & " * D> ! $ $ $ >
Ô × Ô ×Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ Ø Õ ØÕ Ø
Sea la base canónica para y sea otra baseW W œ ß ß ß
" " " "! " " "! ! " "! ! ! "
" #%‘ œ
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø›para ‘%Þ
a) Indique (justificando), cuál de los siguientes vectores
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
( #& "#"* (* &
ß
pertenece al o a la ¿Es invertible?(justifique)O/< X M7 X Þ X
b) Calcule la matriz representativa de con respecto a ocupando elFß X W#
teorema de cambio de base.
Solución.a)
, pues 1Ô × Ô × Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
( " # " $ (& # " " $ &"* % & " * "** ! $ $ $ *
− M7 X † " † " † " † œ
porque
0000
Ô × Ô ×Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÕ Ø Õ Ø( " # " $ (& # " " $ &"* % & " * "** ! $ $ $ *
 O/< X ß Á
pues
0000
Ô × Ô ×Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØÕ Ø Õ Ø# " # " $ #
"# # " " $ "#( % & " * (& ! $ $ $ &
− O/< X ß œ
b)
donde y F œ T ET ß E œ T œ
" # " $ " " " "# " " $ ! " " "% & " * ! ! " "! $ $ $ ! ! ! !
"
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ ØProblema 87.
a) Indique si es posible que los vectores
Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø" " "" ! #" " "
ß ß
formen una base de vectores propios asociados a los valores propios À %ß "ß #
tal que es diagonalizable y simétrica. No calcule E EÞ
b) Demuestre que una matriz de proyección ortogonal sobre un subespacio [ß
solo admite por valores propios a: 0 y 1.
Solución.a) Como los valores propios son reales distintos y sus vectores propios son ortogonales, entoces existe una matriz simétrica y diagonalizable.E
b) Sea una matriz de proyección ortogonal sobre un subespacio se sabe queE [ß
E E œ EÑes idempotente ( .#
Si es un valor propio de y su vector propio asociado, entonces> E ?
con de aquí E? œ >?ß ? Á E ? œ >E? Í E? œ >E? Í) #
como >? œ > ? Í Ð> > Ñ? œ ß ? Á Ê > > œ ! Í > œ ! ” > œ "# # #" #) )
Problema 88.
1. Dada la matriz
E œ
# $ & # # %
! 5 "% ' :
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø a) Determine la preimagen del vector para y c d' # ) "# ß 5 œ " : œ "!>
b) Determine los valores de y de modo que dim5 : M7E œ #
c) Encuentre los valores adecuados de: y de modo que el vector+ß ,ß 5 :
pertenezca al c d+ , " 5/<EÞ>
Solución. a) Se debe resolver el sistema
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
# $ & ã ' # $ & ã ' # # % ã # ! " " ã )
! " " ã ) ! " " ã )% ' "! ã "# ! ! ! ã !
µ
µ Ê \ œ > à > −
# ! # ã ")! " " ã )! ! ! ã !! ! ! ã !
* " ) "
! "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ × Ô ×Õ Ø Õ Ø ‘
b)
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
# $ & # $ & # # % ! " "
! 5 " ! 5 "% ' : ! ! : "!
µ
µ à < E œ # Ê 5 œ " : œ "!
# $ &! " "! ! " 5! ! : "!
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Øa bluego y
c) Se debe tener que:
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù ÛÕ Ø Õ Ø
Ô ×Õ Ø
ÚÝÝÝÝÜ
# $ & ! #+ $, & œ ! # # % ! #+ #, % œ !
! 5 " ! 5, " œ !% ' : ! %+ ', : œ !
+,"
œ Í
de donde se obtienen: y + œ "ß , œ "ß 5 œ " : œ "!
Problema 89.
a) Demuestre que toda matriz simétrica e idempotente es una matriz de proyección sobre un subespacio de [ Þ‘8
b) Determine el subespacio de y además descríbalo geométricamente tal[ ‘$
que la matriz
T œ["'
Ô ×Õ Ø
" " # " " # # # %
es su matriz de proyecciónÞ
Solución. a) Sea una matriz simétrica e idempotente de , es decir:F 8 ‚ 8
y F œ F œ F> #F
Se debe demostrar dos cosas:
1) Para cualquier sea y Z entonces\ − ß ] œ F\ œ \ ] ß‘8
es ortogonal a ] ^
2) Sea espacio columna de entonces es la suma de un[ œ M7Fß Ð FÑ \
vector de y un vector de [ [ Þ¼
En efecto: 1) Ð] à ^Ñ œ ÐF\à\ ] Ñ œ ÐF\à\ Ñ œ ÐF\Ñ Ð\ F\ÑF\ >
œ \ F Ð\ F\Ñ œ \ ÐF \ F F\Ñ œ \ ÐF\ F \Ñ> > > > > > #
œ \ ÐF\ F\Ñ œ !>
2) Descomposición unica)\ œ ] ^ß ] − [ • ^ − [ м
Sea una base ortonormal para Ö? ß ? ß † † † ß ? × [ß" # :
Así a\ − ß \ œ B ? B ? † † B ? B ? † † B ?‘8" " # # : : :" :" 8 8
es inmediato que , a esteB − [3 3 3 3œ Ð\à ? Ñß " Ÿ 3 Ÿ :ß Ð\à ? Ñ?así ] œ !3œ"
8
vector se suele llamar :<9C \Þ[
Por otra parte ^ œ \ ] Ê
Ð^à ? Ñ œ Ð\à ? Ñ Ð\à ? ÑÐ? à ? Ñ Ð\à ? Ñ † ! Ð\à ? Ñ † ! † † † ! œ !" " " " " # $
Entonces es ortogonal a De manera semejante, es ortogonal a cada de^ ? Þ ^ ?" 3
la base para Por tanto es ortogonal a todo vector de es decir, está en[Þ ^ [ß ^[¼.b) De inmediato se sabe que Vect. col. de [ œ ØÖÐ"ß "ß #Ñ×Ù Ð T Ñ[
Que representa a una recta en ‘$Þ
Problema 90.
Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwarz a los vectores:
y ? œ @ œt t# B$ C% D
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
para determinar el máximo de la función sujeta a la0 Bß Cß D œ #B $C %Da brestricción ¿Cuál es el punto donde se produce este máximo?B C D œ "Þ# # #
Solución.La desigualdad de Cauchy-Schwarz dice: luegoÐ?à @Ñ Ÿ lÐÐ?à @Ñl Ÿ ll?ll ll@llßt t t t t t
#B $C %D Ÿ # $ % B C D œ #* ÊÈ È È# # # # # #
el máximo de es 0 Bß Cß D #*a b È Ahora, como y es máx. cuandoÐ?à @Ñ œ ll?ll ll@ll-9=> œ ll?ll -9=> Ð?à @Ñt t t t t t t
es paralelo a entonces es válido suponer que-9=> œ " Ê ? @t t
@ œ œ 5? œ 5 Êt tB # B œ #5C $ C œ $5D % D œ %5
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
ÚÛÜ
Con lo que: Ð#5Ñ Ð$5Ñ Ð%5Ñ œ " Í 5 œ"
#*
# # # ÈAsí: y B œ ß C œ D œ
# $ %
#* #* #*È È ÈProblema 91.
a) Utilice la factorización para encontrar una solución por mínimos cuadradosUV
de dondeE\ œ ,ß
y E œ , œ
" # # # " " # $ " ! " #
" " # &
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø b) Se dice que y matrices de son semejantes si paraE F 8 ‚ 8 ß F œ T ET"
alguna matriz invertible.T ß
Demuestre que dos matrices semejantes tienen: el mismo determinante, rango y traza.
Solución. a) E\ œ , Í E E\ œ E , Í \ œ ÐE EÑ E , E œ UV Ê> > > " > pero \ œ ÒÐUVÑ UVÓ ÐUVÑ , œ ÐV U UVÑ V U , œ V U ,> " > > > " > > " >
Por Gram-Schmidt se obtienen
" " "" # $œ ß œ ß œ
"Î# "Î# $ &Î"! "Î#
"Î#
$ &Î"!
&Î"!
&Î"!
'Î'!
'Î'
'Î$
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
ÈÈÈÈ
ÈÈÈ
Así:
y U œ V œ U E œ
"Î# $ &Î"! 'Î'
"Î# $ &Î"! !
"Î# &Î"! 'Î'
"Î# &Î"! 'Î$
# " "Î#
! & $ &Î#
! ! 'Î#
Ô ×Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ ÙÕ Ø
È ÈÈÈ ÈÈ ÈÔ ×Õ ØÈ ÈÈ
>
\ œ V U , œ U , œ
"Î# &Î"! 'Î'
! &Î& 'Î#
! ! 'Î$
# #"!Î$
" > >Ô ×Ö ÙÕ Ø
È ÈÈ ÈÈÔ ×Õ Ø
b) lFl œ lT ET l œ lT llEllT l œ lElÞ" "
pero entonces< F œ <ÐT ETÑ <ÐQRÑ œ <ÐRQÑßa b "
œ <ÐETT Ñ œ <ÐEÑÞ"
><ÐFÑ œ ><ÐT ETÑ œ ><ÐETT Ñ œ ><ÐEÑÞ" "
Problema 92.Sea una matriz de orden con Determine un número tal queE 8 + œ "ß a 3ß 4Þ -34
M -E M EÞ8 8sea la inversa de
Solución. Como es inversa de se debe tener: M -E M E ÐM EÑÐM -EÑ œ M8 8 8 8 8
Í M Ð- "ÑE -E œ M Í Ð- "ÑE -8E œ !à E œ 8EÞ8 8# #note que
Así: pues por tanto Ð- " -8ÑE œ ! Ê - " -8 œ ! E Á !à - œ ß"
" 8
8 "Þ
Problema 93.
a) Si y son matrices cuadradas de orden n, tales que y E F EF œ E FE œ F
demuestre que es una matriz idempotente.E>
b) Sea demuestre que F œ EÐE EÑ E ß E − Q F F œ #> " > # >7‚8 F
Solución. a) Por demostrar que ÐE Ñ œ E> # >
En efecto ÐE Ñ œ E E œ ÐEFÑ ÐEFÑ œ F ÐE F ÑE œ F Ð> # > > > > > > > > > FEÑ E> >
œ F ÐF E Ñ œ F ÐEFÑ œ F E œ ÐEFÑ œ E> > > > > > > > >
b) F F œ EÒÐE EÑ E EÓÐE EÑ E ÐEÐE EÑ E Ñ# > > " > > " > > " > >
œ EM ÐE EÑ E EÒÐE EÑ Ó E8> " > > " > >
œ EÐE EÑ E EÒÐE EÑ Ó E> " > > > " >
œ EÐE EÑ E EÐE EÑ E œ F F œ #F> " > > " >
Problema 94.
Encontrar de manera que la siguiente matriz sea ortogonal! " #ß ß
E œ"
$
# &Î &
" #Î &
# %Î &
Ô ×Ö ÙÕ ØÈÈÈ
!
"
#
Solución. Por definición es ortogonal si y solo si entonces se debe cumplirE E œ E> "
EE œ E E œ M Ê> >$
EE œ œ M ß"
*
# &Î & # " #
" #Î &
# %Î & &Î & #Î & %Î &
>$
Ô ×Ö ÙÕ ØÈÈÈ
Ô ×Õ ØÈ È È
!
"
#
! " # de donde
se obtiene el sistema de ecuaciones, que sigue:
"
*Ð% &Ñ œ " Ê œ ! Í œ !! ! !# #
"
*Ð# #Ñ œ ! Ê œ !!" !"
"
*Ð% %Ñ œ " Ê œ !!# !#
" % $' '
* & &Ð" Ñ œ " Ê œ Í œ „
&" " "# # È
" ) $
* &Ð# Ñ œ ! Ê œ …
&"# # È
" "' $
* &Ð% Ñ œ " Ê œ …
&# ## È
Así resultan dos ternas de valores para y que son:! " #ß
! " ! "œ !ß œ ß ” œ !ß œ ß' $ ' $
& & & &È È È ÈProblema 95.
Si
y P œ E œ" ! ! " # " #
# " ! + # " "$ " " , - ! "
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
a) Determine y c de modo que +ß , E œ PY
b) Ocupe y para resolver en los siguientes casos de P Y E\ œ G G ß3 3
y G œ G œ! " #! " "! # %
" #
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Solución.
a) Se debe tener que : , así resulta+ ,
" "œ # Ê + œ #à œ $ Ê , œ $
E œ µ ß" # " # " # " #
# # " " ! # " $$ - ! " ! - ' $ &
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø entonces
- '
#œ " Ê - œ )Þ
b)
E µ µ œ Y" # " # " # " #! # " $ ! # " $! # $ & ! ! % )
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Por tanto donde: E\ œ G Í PÐY\Ñ œ G à P] œ G • Y\ œ ]3 3 3
P] œ G Í œ" ! ! ! " # ! " #
# " ! ! " $ ! " "$ " " ! # & ! # %
3
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
Y\ œ ] Í œ" # " # ! " #! # " $ ! " $! ! % ) ! # &
B C DB C DB C DB C D
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø" " "
# # #
$ $$
% % %
De aquí se obtienen:
\ œ à \ œ à \ œ
B
B
#BB
C
C D
#C
C
" D
#D
D
" # #
%"# %
%
%
%" " ( "% # ) #% %
"# %
%
%
&% %
%
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
Problema 96.
La solución de un sistema lineal está dado por
parámetros\ œ > > à > ß >
# # &! " !
$ $ $! ! "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø" # " #
a) ¿Cuantas variables tiene el sistema?, cuáles estan consideradas comoparámetrosb) Determine la solución considerando a las variables y como parámetrosB B" #
c) ¿Es otra solución particular del sistema el vector ?c d "" " $ $ >
d) ¿Es una solución del sistema homogeneo asociado?c d " # $ " >
Solución.a) Cuatro variables, y B B Þ# %
b) Se pide que esten consideradas como parámetros.B ß B" #
Dado que B œ # #B &B" # %
B œ $ $B $B$ # %
” • – —" # ! & ã #! $ " $ ã $
µ â µ Ê ! " ã
" ! ã
" # #& & &$ * *& & &
parámetros\ œ > > à > ß >
! " !! ! "
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø* $ *& & &# " #& & &
" # " #
c) Para que sea otra solución particular se debe tener que
Ô × Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø
"" # # &" ! " !$ $ $ $$ ! ! "
œ > > Í > œ "ß > œ $ß" # " #
# #> &> œ "" $ œ $ $> $>" # " #y éstas dos últimas ecuaciones secumple para por tanto es otra solución particular> œ "ß > œ $" #
d) Para que sea una solución del sistema homogeneoc d " # $ " >
asociado se debe tener
por tanto es unaÔ × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
" # &# " !
$ $ $" ! "
œ > > Í > œ #ß > œ "ß" # " #
solución del sistema homogeneo asociado.
Problema 97.
Si es una solución particular del sistemac d" # ! # " >
B #B B $B œ +" $ % &
B #B #B $B B œ ," # $ % &
$ B %B B B œ -" # $ &
& B 'B $B %B $B œ ." # $ % &
i) Determine y +ß ,ß - .Þ
ii) Resuelva el sistemaSolución.
a) Si es una solución particular del sistema dado debec d" # ! # " >
satisfacerlo, es decir
1 0 # † # $ † " œ + Ê + œ #
" # † # # † ! $ † # " œ , Ê , œ "!
$ † " % † # " œ - Ê - œ %
& † " ' † # $ † ! % † # $ † " œ . Ê . œ "#
b)
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
" ! # " $ ã # " # # $ " ã "!$ % " ! " ã %& ' $ % $ ã "#
µ † † †
µ Ê \ œ > >
" ! ! " $ ã '! " ! " # ã '! ! " " ! ã #! ! ! ! ! ã !
' " $' " #
# " !! " !! ! "
Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö Ù Ö ÙÕ ØÔ × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
" #
Problema 98.
Sea y E − Q T œ E E E E%‚#> >"a b
a) Probar que es idempotente y simétricaT Þ
b) Calcule si T E œ" " " " # ! # %Œ X
Solución.
a) T œ E E E E E E E E œ E E E E œ T Ê T# > > > > > >" " "a b a b a b es idempotente
es simétricaT œ ÖE E E E × œ EÖ E E × E œ E E E E Ê T> > > > > > > > >" " "a b a b a b b) E E œ Ê ÐE EÑ œ
% % ' "% #% " "
> > " "#!” • ” •
T œ E E E E œ
"% ) # %) ' % ## % ' )
% # ) "%
a b Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø> >"
Problema 99.
Calcule la temperatura en los puntos , y , en la placa metálica triangularB B B" # $
que se ilustra en la figura, si la temperatura en cada punto interior es el promediode las que prevalecen en sus cuatro puntos vecinos.
1
1
12
2
2 2
x2
x1
x3
Solución. Sean , y las temperaturas en estos puntos, se debe tenerB B B" # $
B œ Í %B B œ %" # " B
%" " #
#
B œ Í B %B B œ %# B B #
%# " # $
" $
B œ Í B %B œ %B " " #
%$ # $
#
De donde resolviendo este sistema mediante
\ œ E , œ œ"& % " % &% "' % % '" % "& % &
" " #&' (
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
Luego las temperaturas son: y de los puntos "! "# "!( ( (ß B B B" # $, y
respectivamente.
Problema 100.
En el espacio se dan los vectores:‘%ß
y ? œ "ß "ß "ß " ß ? œ "ß #ß !ß " ß ? œ #ß $ß "ß " ? œ +ß ,ß -ß .ß" # $ %a b a b a b a ba) Demuestre que y son linealmente dependientes si y sólo si ? ß ? ß ? ? ß" # $ %
#+ œ , -
b) ¿Es posible determinar valores para y tales que+ß ,ß - .
{ } { } ?Ø ? ß ? ß ? Ù œ Ø ? ? ß ? Ù" # $ # $ %
Solución.
a) i) Se debe exigir que la ecuación
B"a b a b a b a b a b"ß "ß "ß " B "ß #ß !ß " B #ß $ß "ß " B +ß ,ß -ß . œ !ß !ß !ß !# $ %
tenga infinitas soluciones, es decir
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø" " # + ã ! " " # + ã !" # $ , ã ! ! " " , + ã !" ! " - ã ! ! ! " $+ #, . ã !" " " . ã ! ! ! ! , - #+ ã !
µ † † † µ Ê
, - #+ œ ! Í #+ œ , -
ii) Ahora si b el vector es#+ œ , - Í œ #+ - Ê ? œ +ß #+ -ß -ß .ß% a b combinación lineal de los demás pués
? œ +ß #+ -ß -ß .ß œ $- + . ? - . ? + #- . ?% " # $a b a b a b a b y son linealmente dependientesÊ ? ß ? ß ? ? Þ" # $ %
b) El espacio generado por debe cumplir que existan escalares ? ß ? ß ? + ß +" # $ " #
y , tales que se tenga:+ a Bß Cß Dß >$ a b + "ß "ß "ß " + "ß #ß !ß " + #ß $ß "ß " œ Bß Cß Dß > Ê" # $a b a b a b a b #B C D œ !ß "a b Análogamente, el espacio generado por debe cumplir que existan? ß ? ß ?# $ %
escalares y , tales que se tenga+ ß + + a Bß Cß Dß >% & ' a b + "ß #ß !ß " + #ß $ß "ß " + +ß ,ß -ß . œ Bß Cß Dß > ß% & 'a b a b a b a b para cumplir con y sea consecuente con la última ecuación, es necesario ya b" suficiente que se verifiquen las siguientes condiciones para obtener y +ß ,ß - .
, - #+ œ ! • + . $- Á !
Problema 101.
Resolver el sistema para e matrices de orden determinado.\ ]
E\F œ G
\ ] œ F> #
donde:
y E œ ß F œ G œ# & "& & !" $ & ! "!
" " #! # "# " !
” • ” •Ô ×Õ Ø
Solución.
Como y entoncesE œ F œ$ &
" #
" # $# % "
% $ #
" " "&” • Ô ×Õ Ø
\ œ E GF œ$! "! &
"$ ' %" " ” •
Ahora, como es de entonces es de sea \ $ ‚ # ] # ‚ $ß ] œC C CC C C
> " # $
% & '” •
Luego \ ] œ F Í œ$! "$ $ & $"! ' # & # % % # ! $
C C CC C C
> # " # $
% & '
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø” •
De aquí se obtienen tres sistemas, cada uno con tres ecuaciones y dos incógnitas.Es suficiente observar que uno de los tres sistemas, por ejemplo:
$! C "$ C œ $" %
"! C ' C œ #" %
%C % C œ #" %
es incompatible, por tanto no existe y luego el sistema para e no tiene] \ ]
solución.
Problema 102.
Sea una matriz de tal que Demuestre que tiene inversaE 8 ‚ 8 E œ ! Þ E M$8Q
y determínela en términos de .E
Demostración.
E œ ! Í E M œ M Í E M ÐE E M Ñ œ M$ $ $ #8 8 8 8 8Q
ecuación que nosa bindica que existe la inversa, pués el producto de los determinantes de y deE M
8
ÐE E M Ñ#8 debe ser 1 por tanto ninguno de los dos puede ser 0.
Ahora por la unicidad de la inversa se tiene que
a bE M œ E E M8 8" #
Problema 103.
Dado el sistema lineal y la solución del sistema homogeneoE\ œ ,ß E − Q%‚%
asociado es
\ œ > > à > ß > −
" !! "# $
" %
2 " # " #
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø‘
a) ¿Es invertible? (Justifique su respuesta)E
b) Si una solución particular del sistema dado es , resolver elc d! ! % ' >
sistema. ¿Es posible determinar ? en caso afirmativo encuéntrela..E ß
c) Resolver el sistema, considerando como parámetros las variables y B B Þ$ %
Considere la solución particular dada en b).d) Al sistema dado se le agrega la ecuación #B $B B &B œ 5" # $ %
Determine el valor de la constante para que se conserve la solución5ß
encontrada por Ud. en la parte b).
e) ¿Es? también una solución del sistema homogeneoc d# $ & # >
asociado.
Solución.a) E no es invertible, pués si la solución del sistema tiene dos parámetros entoncesella tiene exactamente 2 filas nulas.b) La solución es
\ œ
!!%'
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø> > à > ß > −
" !! "# $
" %
" # " #
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø‘
Primero notemos que , vamos a encontrar una de ellasE no es únicaDe la solución obtenemos
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø # $ " ! ã % # $ " ! ã %
" % ! " ã ' " % ! " ã '! ! ! ! ã ! & * " $ ã "%! ! ! ! ã ! ! "" " # ã "'
µ à de aquí
obtenemos
E œ
# $ " !" % ! "
& * " $! "" " #
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Øc)
0 1Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÔ ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
# $ " ! ã %" % ! " ã '! ! ! ! ã !! ! ! ! ã !
µ † † † † µ
ã
" ! ã
! ! ! ! ã !! ! ! ! ã !
" # "'"" "" ""% $ #"" "" ""
Así.
\ œ
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
# $"" """' #"" """ # " #
%"""""
> > à > ß > −
"!
!"
0 0
Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø‘
d) Una forma de hallar es exigir que la solución dada en b) satisfaga la5ßecuación dada, es decir que #> $> Ð% #> $> Ñ &Ð' > %> Ñ œ 5 Í &> #!> #' œ 5" # " # " # " #
relación que contradice la naturaleza de pués esta debe ser constante, por tanto5no existe posible de modo que se mantenga la solución del sistema.5
e) Para que sea una solución del sistema homogeneoc d# $ & # >
asociado deben existir y tales que> >" #
> > œ Í
" ! #! " $# $ &
" % #
" #
Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø Õ Ø
la tercera ecuación se> œ #ß > œ $ß #> $> œ & • > %> œ #" # " # " #
satisface pero la cuarta no por tanto no es unaÐ "% Á #Ñ # $ & #c d>solución del sistema homogeneo asociado.
Problema 104.
Sea espacio vectorial sobre linealmenteE œ Ö ß ß † † † × ß E © Z ß Z Oß E! ! !" # 8
independiente, demuestre que si entonces se escribe de manera única" "− ØEÙßcomo combinación lineal de los vectores de EÞ
Solución. Supongamos que hay dos formas distintas de expresar , es decir sean:"
y " ! " !œ B œ C! !3œ" 3œ"
8 8
3 3 3 3
restando miembro a miembro estas expresiones se tiene,
) ! ! !œ B C œ ÐB C Ñ! ! !3œ" 3œ" 3œ"
8 8 8
3 3 3 3 3 3 3
pero los son L.I. entonces !3 3 3 3 3B C œ ! Í B œ C ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ 8
lo que prueba que se escribe de manera única en C.L. de los vectores " EÞ
Problema 105.
En dados:T Î# ‘
: B œ # Bß ; B œ " B ß < B œ " B B ß = B œ B Ba b a b a b a b# # #
Sean y determine un vector W œ ØÖ: B ß ; B Ù W œ ØÖ< B ß = B ×Ùß ? B − W ß" # #a b a b a b a b a btal que T œ W Š ØÖ? B ×Ù# " a b
Solución. Sea se debe verificar que? B œ = B œ B B ßa b a b #
es un conjunto L.I., pues de ser así, entoncesÖ# Bß " B ß B B ×# #
y W ØÖ? B ×Ù œ Ö × T œ W Š ØÖ? B ×Ù" # "a b a b)
Por tanto: conduce a+ Ð# BÑ + Ð" B Ñ + Ð B B Ñ œ !" # $# #
#+ + œ !" #
+ + œ !" $
+ + œ !# $
cuya solución es , resultado que se pretendía.+ œ + œ + œ !" # $
Problema 106.
Sean las bases de ;‘$
W œ Ö "ß !ß ! ß !ß "ß ! ß !ß !ß " ×" a b a b a b W œ Ö "ß "ß " ß !ß "ß " ß !ß !ß " ×# a b a b a b W œ Ö $ß #ß " ß %ß "ß $ ß "ß "ß " ×$ a b a b a by dada la transformación representada en la base porW$
E œ" # "! " ## $ !
Ô ×Õ Ø
a) Determine las imágenes de los vectores básicos de la base W Þ#
b) Determine la matriz de transformación en la base W Þ"
c) Determine la matriz de la transformación inversa en la base W Þ#
Solución.a) Primero determinamos los vectores coordenada de los vectores de la base W#
con respecto a la base resolviendo el sistema simultaneo:W ß$
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø
$ % " ã " ! ! " ! ! ã ' "! $# " " ã " " ! ! " ! ã # $ " " $ " ã " " " ! ! " ã "" ") &
µ † † µ
Así:
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø" # " ' "! $ "$ ## '! " # # $ " #% $* ""# $ ! "" ") & ") #* *
œ
Las vectores columna de esta matriz, representan los vectores coordenada de lasimágenes pedidas pero con respecto a la base , por tanto tales imágenes resultanW$
finalmente:X "ß "ß " œ "$ $ß #ß " #% %ß "ß $ ") "ß "ß " œ $*ß #!ß "!$a b a b a b a b a bAnalogamente, y X !ß "ß " œ '"ß $%ß "') X !ß !ß " œ "(ß "!ß %)a b a b a b a b
b) E
W W$ $Ò
T Æ Æ T Ê F œ TET"
W W" "Ò
F
donde: T œ à T œ$ % " % ( $# " " " # "
" $ " ( "$ &
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
luego resulta F œ ## %% "(
"% #% "! '& "#! %)
Ô ×Õ Ø
c) F"
W W" "Ò
U Å Å U Ê G œ U F U" " "
W W# #Ò
G"
donde: U œ àU œ" ! ! " ! !" " ! " " !" " " ! " "
Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø"
F œ ß G œ%) (# $# &' "!% $#
## %* ") "!" "(" &!"#! ##! )) #$$ $(& "!'
" "" ""' "'
Ô × Ô ×Õ Ø Õ ØAsí
Problema 107.
Sea es un vector propio de con valor propio correspondiente y sea un" E > 5escalar, demuestre que es un vector propio de con valor propio" E 5M8correspondiente > 5Þ
Demostración. Por hipótesis de aquí se tieneEÐ Ñ œ > ß" "
EÐ Ñ 5 œ > 5 Í ÐE 5M Ñ œ Ð> 5Ñ Ê" " " " " "8
" es un vector propio de con valor propio E 5M > 5Þ8
Problema 108.
Demuestre que toda función que proyecta vectores de , ortogonalmente, sobre unZsubespacio del espacio vectorial , es una transformación lineal.[ Z
Demostración.
Sea tal que en que en que lasX À Z Ä [ X B œ T Bà T œ EÐE EÑ Ea b[ [
> " >
columnas de esta formada por una base de E [
Así: 1) X B B œ T B B œ T B T B œ X B X Ba b a b a b a b" # " # " # " #[ [ [
2) XÐ5BÑ œ T Ð5BÑ œ 5T B œ 5 X B[ [
a b luego es una transformación lineal.X ß
Problema 109.
En dado Q ß [ œ ß
" !" "" #" "
%‚" ¤œ ¥Ô × Ô ×Ö Ù Ö ÙÖ Ù Ö ÙÕ Ø Õ Ø
a) Factorice en y ocupe y para determinarE œ UV U V
" !" "" #" "
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØC œ +B , !ß " ß "ß # ß #ß ! "ß % Þque mejor representa a los puntos: y a b a b a b a b
b) Encuentre un vector no nulo, tal que . . .T œ Þ
c) Determine el vector en el espacio columna de más cercano al vector" Eßc d# $ " ! Þ>
Solución
a) De inmediato U œ à
"
"
"
"
"#
"
&"
&$
&$
&
Ô ×Ö ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÖ ÙÕ Ø
ÈÈÈ
È como E œ UV Í U E œ U UV œ M V Ê V œ U E œ
# "
! &> > >
# ” •È donde C œ +B ,ß \ œ ß \ œ ÐE EÑ E ] ] œ
, #+ !
"
%
” •Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø
> " >
\ œ ÒÐUVÑ ÐUVÑÓ ÐUVÑ ] œ V U ]> " > " >
\ œ œ œ"
!
" " " ""# %' #Þ$! ## "Þ"%
" "% #!
"
&#
&
" " $ $
& & & &
Ô ×Õ Ø– —
Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ Ø ” • ” •ÈÈ È È È È
finalmente: C œ "Þ"B #Þ$
b) puede ser cualquiera de los vectores generadores de . [Þ
c) con " ! !œ :<9C ß œ Ê# $ " 
a) De inmediato se tiene
Ô ×Ô × Ô ×Õ ØÕ Ø Õ Ø
) # * # !' % ) " !% ! % # !
œ Ê ? − O/<E
Para ver si se resuelve:? − M7Eß
Ô ×Õ Ø
Ô ×Ö ÙÕ Ø ) # * ã #
' % ) ã "% ! % ã #
µ Ê ? − M7E
" ! " ã
! " ã "
! ! ! ã !
"#
"#
Analogamente se determina que: y que @ Â O/<E @ Â M7E
b) Como < E œ # Ê [ œ M7E œ Ö ß × œ Ö ß ×% ' " $! % ! #% ) " %
a b ¡ ¡Ô × Ô × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø Õ Ø>
Así: donde con :<9C ? œ E Bà B œ ÐE E Ñ E ?ß E œ" $! #" %
[ " " "> " >" "
Ô ×Õ Ø
efectuando cálculos se obtiene: B œ œ Ê :<9C ? œ!!
!!!
""!” • Ô ×
Õ Ø[
Este resultado nos indica que el vector director del plano que representa es[
el vector .? œ#"
#
Ô ×Õ Ø
Problema 112
Sea una transformación lineal definida porX À Ä ß‘ ‘$ $
X "ß "ß " œ "ß #ß "a b a b X !ß "ß " œ #ß $ß !a b a b XÐ!ß !ß "Ñ œ "ß &ß "a ba) Determine la matriz representativa de con respecto a la base canónica de X Þ‘$
b) Resuelva para y la ecuaciónB ß C D À
# X B "ß Cß D " $X Cß Dß B œ ÐX ‰ X Ñ #ß #ß #a b a b a b Solución.
a) X "ß !ß ! œ "ß #ß " #ß $ß ! œ "ß &ß "a b a b a b a b X !ß "ß ! œ #ß $ß ! "ß &ß " œ "ß #ß "a b a b a b a b XÐ!ß !ß "Ñ œ "ß &ß "a b
De donde se obtiene la matriz representativa pedida, que es:
E œ " " "
& # & " " "
Ô ×Õ Ø
b) # X B "ß Cß D " $X Cß Dß B œ ÐX ‰ X Ñ #ß #ß # Ía b a b a b X #B $C #ß #C $Dß $B #D # œ XÐ#ß %ß #Ñ Ía b 4
Ô ×Ô × Ô ×Ô ×Õ ØÕ Ø Õ ØÕ Ø
" " " #B $C # " " " #& # & #C $D & # &
" " " $B #D # " " " #œ
lo que conduce al sistema:
&B &C D œ %
#&B ""C "'D œ %)
&B C &D œ "#
Resolviendo resultta: parámetro. B œ Dà C œ # Dß D"% "$ $& "! #
Problema 113.
Sea E œ% $# "” •
a) Determine los valores y vectores propios de EÞ
b) Resuelva X Ð Ñ œ X Ð Ñ X Ð ÑB " $C " #
#! #" ""” • ” • ” •c) Si es la matriz representativa de una T. L. de con respecto aE Ä‘ ‘# #
. Determine fórmulas para y para W œ Ö ß × X Ð Ñ X Ð ÑÞ" $ B +" # C ,"
"” • ” • ” • ” •Solución. a) Valores propios:
T > œ l>M El œ œ > $> # œ ! Ê > œ "à > œ #> % $ # > "E # " #
#a b º º Vectores propios:
> œ " Ê µ Ê œ $ $ ã ! " " ã ! # # ã ! ! ! ã !" "” • ” • ! ” •""
> œ # Ê œ Þ$## #! ” •
b) Note que existe X Ê X Ð Ñ œ X Ð Ñ X Ð Ñ ÍB " $C " #
" %! " *” • ” • ” • E Ð Ñ œ E E Í TH T œ TH T TH T
B " $C " #
%! " * %! " " " * "” • ” • ” • donde; y H œ ß T œ T œ à \ œ
" ! " $ # $ B! # " # " " C” • ” • ” • ” •"
Problema 114.
La matriz asociada a una T.L. con respecto a las bases X À Ä Ö ß ß ×‘ ‘ ! ! !$ #" # $
y esÖ ß ×" "" #
E œ# " "$ # $” •
Encuentre la matriz de con respecto a las bases: X Ö ß ß × Ä Ö ß ×! ! ! " "w w w w w" # $ " #
donde ! ! ! ! ! ! ! ! !" # $w w w
" # " $ $ #œ à œ à œ
# œ à # œ " " " " " "w w" #" # " #
Solución. Sean W œ" Ö ß ß × Ä W œ Ö ß ×! ! ! " "" # $ # " #
W œ$ Ö ß ß × Ä W œ Ö ß ×! ! ! " "w w w w w" # $ " #%
E
W W" #Ò
T Å Å U Ê F œ U ET à U œ" ""
" "#” •
W W$ %Ò
F
Problema 115.