lista exercicios valente
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-
6
IA527 - Programac~ao Multiob jetivo
Exerccios
01. Seja f : R
n
! R uma func~ao convexa denida sobre um conjunto
convexo e g : R ! R uma func~ao quasi-convexa n~ao-decrescente sobre
R. Mostre que g ( f ( x)) e convexa sobre .
02. Seja um conjunto convexo e f
1
; f
2
; : : : ; f
m
func~oes convexas denidas
sobre . Mostre que a func~ao
f ( x) = max ff
1
( x) ; f
2
( x) ; : : : ; f
m
( x) g
tambem e convexa sobre
a) a partir da denic~ao de func~ao convexa;
b) vericando que o epgrafo de f e convexo.
03. Diz-se que uma func~ao f : R
n
! R e uma norma se para quaisquer
x; y 2 R
n
a) f ( x) = 0 , x = 0
b) f ( x + y ) f ( x) + f ( y )
c) f ( x) = j j f ( x) ; escalar
Mostre que qualquer norma e uma func~ao convexa sobre o R
n
.
04. Seja o problema de otimizac~ao
minimizar
x
1
2
( x
1
)
2
x
1
x
2
s.a x
1
+ x
2
2
0
x
2
1
+ x
2
2
2
-
7
a) Esboce a regi~ao factvel do problema e determine os pontos em que
ambas as restric~oes est~ao ativas;
b) Selecione o ponto com componentes positivas e determine os valores de
para os quais o ponto selecionado satisfaz as condic~oes necessarias
de Kuhn-Tucker;
c) Para os valores de determinados em b), o ponto selecionado e um
mnimo local (global) do problema ? Justique.
05. Seja o problema de otimizac~ao
minimizar
x
3 x
1
+ x
2
s.a x
2
1
+ x
2
2
5
x
1
x
2
1
a) Verique que x
= ( 3
p
2 =2 ;
p
2 =2) satisfaz as condic~oes necessarias
de Kuhn-Tucker do problema;
b) Interprete gracamente as condic~oes de Kuhn-Tucker no ponto x
;
c) Mostre que x
e a unica soluc~ao global do problema.
06. Considere as seguintes alternativas, associadas a tres diferentes objeti-
vos que devem ser minimizados:
f
1
f
2
f
3
A 35 40 25
B 50 30 10
C 25 20 20
D 20 80 60
E 20 90 75
Quais das alternativas acima s~ao ecientes ?
07. Uma maneira de se testar eciencia de uma dada alternativa x
e
resolver o problema escalar
-
8
minimizar
x2
m
X
i=1
f
i
( x)
s.a f
i
( x) f
i
( x
) ; i = 1 ; 2 ; : : : ;m
Mostre que x
e eciente se e somente se x
resolve o problema es-
calar acima. Resolva novamente o Exerccio 06 ( e representado pelas
alternativas A,B,. . . ,E) usando o problema escalar.
08. Seja o problema multiobjetivo
minimizar
x2
f ( x)
onde f = ( f
1
; f
2
; : : : ; f
m
) . Adote a seguinte estrategia: obtenha inicial-
mente
1
:= fx : x = arg min
x2
f
1
( x) g
Em seguida obtenha
2
:= fx : x = arg min
x2
1
f
2
( x) g
prosseguindo no mesmo esquema ate obter
m
. Mostre que se x
2
m
,
ent~ao x
e eciente. Interprete gracamente este resultado.
09. Seja o problema bi-objetivo
minimizar
x2
( f
1
( x) ; f
2
( x))
onde
f
1
( x) = 6 x
1
+ 4 x
2
5 x
3
f
2
( x) = x
1
2 x
2
+ 8 x
3
= fx : x
1
+ x
2
+ x
3
2 ; x
i
2 f0; 1 g; i = 1 ; 2 ; 3 g
-
9
a) Determine Y = f () ;
b) Determine e () e e ( Y ) .
10. Seja o problema bi-objetivo
minimizar
x2
( f
1
( x) ; f
2
( x))
onde
f
1
( x) = 6 x
1
+ 4 x
2
f
2
( x) = x
1
2 x
2
= fx : g ( x) 0 ; x 0 g
g
1
( x) = x
1
+ x
2
2
g
2
( x) = 2 x
1
x
2
10
g
3
( x) = x
1
+ x
2
8
a) Esboce a regi~ao factvel e determine e () ;
b) Esboce Y = f () e determine e ( Y ) ;
c) Determine os valores de 0 w 1 a serem utilizados no problema
ponderado
minimizar
x2
wf
1
( x) + (1 w ) f
2
( x)
de forma a gerar e () completamente;
d) Considere o problema -restrito
minimizar
x2
f
1
( x) s.a f
2
( x)
2
Determine os valores de
2
que permitem gerar e () completamente.
11. Seja o problema bi-objetivo
minimizar
x2
( f
1
( x) ; f
2
( x))
-
10
Dena x
i
:= arg min
x2
f
i
( x) e
y
i
:= f
i
( x
i
) ; i = 1 ; 2
y
i
:= f
i
( x
j
) ; i = 1 ; 2 ; j 6= i
Mostre que se y 2 e ( Y ) , ent~ao y 2 fy : y y yg.
12. Considere o problema ponderado
minimizar
x2
w
T
f ( x)
e dena x( w ) := arg min
x2
w
T
f ( x) sobre
W
+
:= fw : w > 0 ;
m
X
i=1
w
i
= 1 g
Mostre ent~ao que
y
i
f
i
( x( w ))
X
j 6=i
(
j
=
i
)( y
p
j
y
j
) ; i = 1 ; 2 ; : : : ;m
onde y
p
j
:= max
1km
ff
j
( x
k
) g.
13. Seja o problema bi-objetivo
minimizar
x2
( f
1
( x) ; f
2
( x))
onde
f
1
( x) = 6 x
1
4 x
2
f
2
( x) = x
1
= fx : g ( x) 0 ; x 0 g
g
1
( x) = x
1
+ x
2
100
g
2
( x) = 2 x
1
+ x
2
150
-
11
a) Encontre a soluc~ao utopica y;
b) Considere o criterio global
m
X
i=1
( f
i
( x) y
i
)
p
!
1=p
e determine a soluc~ao do problema para p = 1 ; p = 2 e p = 1;
c) Esboce Y = f () e indique as soluc~oes encontradas em b).
14. Assuma que x
e uma soluc~ao otima para
minimizar
x2
f
1
( x) s.a f
j
( x) f
j
( x
) ; j = 2 ; 3 ; : : : ;m
Seja
j
o multiplicador otimo de Kuhn-Tucker associado a j-esima res-
tric~ao. Assuma que x
0
e uma soluc~ao otima alternativa n~ao-degenerada
para o mesmo problema, isto e,
0
j
= 0 , f
j
( x
0
) f
j
( x
) < 0
Mostre que se
0
j
= 0 para algum j, ent~ao x
n~ao e uma soluc~ao
eciente do problema.
15. Seja o problema -restrito
P
: minimizar
x2
f
1
( x) s.a f
j
( x)
j
; j = 2 ; 3 ; : : : ;m
Assuma que
j
; j = 2 ; 3 ; : : : ;m s~ao os multiplicadores otimos de Kuhn-
Tucker associados as -restric~oes. Mostre que o problema ponderado
P
w
: minimizar
x2
m
X
i=1
w
i
f
i
( x)
com w := (1 ;
2
;
3
; : : : ;
m
) fornece a mesma soluc~ao otima de P
. Su-
gest~ao: obtenha o problema dual de P
.
-
12
16. Discuta as modicac~oes a serem introduzidas no metodo Simplex de
Zeleny caso se deseje considerar explicitamente problemas de maximizac~ao.
Redena o Problema Auxiliar nestes termos e encontre a base inicial factvel
correspondente.
17. Seja o problema bi-objetivo linear
minimizar
x2
( f
1
( x) ; f
2
( x))
onde
f
1
( x) = 2 x
1
3 x
2
f
2
( x) = 2 x
1
x
2
= fx : g ( x) 0 ; x 0 g
g
1
( x) = x
1
+ x
2
10
g
2
( x) = x
1
6
g
3
( x) = x
2
6
Encontre todas as soluc~oes basicas ecientes do problema atraves do
metodo Simplex de Zeleny.
18. Considere o problema multiobjetivo linear
minimizar
x2
( c
1
x; c
2
x; : : : ; c
m
x)
onde c
i
2 R
n
; i = 1 ; 2 ; : : : ;m, e dena
w :=
m
X
i=1
i
c
i
;
i
> 0
Mostre que se x
resolve
minimizar
x2
n
X
i=j
w
j
x
j
ent~ao x
e eciente.