MATEMATICA I ESCALA

LÍMITES ALGEBRAICOS Y TRIGONOMETRICOS

Introducción

Definición no formal de límite:

Si f ( x ) se aproxima al valor L cuando x se aproxima, en

cualquier dirección, al valor a, entonces: Limx→a

f ( x )=L

El límite de una función f ( x ) es L si y sólo sí f ( x ) se aproxima al valor L cuando x se aproxima al valor a por la izquierda como cuando x se aproxima al valor a por la derecha.

En forma matemática:

Limx→a

f ( x )=L si y sólo si

Limx→a−

f ( x )=L y Limx→a−

f ( x )=L

Donde:Limx→a−

f ( x )=L es el límite lateral por la izquierda f ( x )

Limx→a+

f ( x )=L Es el límite lateral por la derechaf ( x )

“En otras palabras el límite de una función es L si los límites laterales de la función existen y son iguales.”

Ejemplos

f ( x ) = { −x si x<032x si 0≤x<2

3 si x≥2

f ( x ) = {2 si x≠34 si x=3

f ( x ) = {( x−1)2+2 si x≥1 1-x si x<1

Limites algebraicos

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Limites directos

Si limx→af ( x )=f (a )=b

, donde b∈R , → el límite es un límite directo

Limites polinomiales

Si p( x )=an xn+an−1 x

n−1+an−2 xn−2+. ..+a1 x

1+a0 es un Polinomio,→ limx→a

p( x )es un límite

directo, es decir:limx→a

p( x )=p (a )

Limites racionales

Si r(x) es una función racional, es decir, donde p(x) y q(x) son dos funciones

polinomiales, se tiene: limx→ar ( x )=r (a )

si q (a )x→a

≠0

Límites trigonométricos

a) Limx→0

senxx

=1b) Limx→0

1−cos x

x2=1

2

Propiedades de los límites

Si: limx→af ( x )=L

y limx→ag( x )=M

, entonces se cumple:

a) limx→ak f ( x )=k Lim

x→af ( x )=k .L ,k∈ℜ

b) limx→a

( f ( x )+g( x ) )=Limx→a

f (x )+ Limx→a

g( x )=L+M

c) limx→af ( x ). g( x )=Lim

x→af ( x ) .Lim

x→ag( x )=L . M

d)

Limx→a

f ( x )g( x )

=Limx→a

f ( x )

Limx→a

g ( x )=LM

, M≠0

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Problemas dirigidos

1.

2.

3.

Limx→4

x-4

x2 -x-12

4.

Limx→a

x2 -axx2−a2

5.

Limx→1

√x-1 + √x+1√x+1 - √ x-1

6.Limx→0

√5+x ¿√5x

¿

7.límx→0

( 2

Sen2 x−1− 1Cosx

)

8.

9.Limx→0

tg x - sen x

x3

10.Limx→0

sen (a+x ) - sen ( a-x )x

Problemas propuestos

1. limx→4

3 x2+17 x+45 x2−3 x+10

2. limx→−2

x3−2x2−4 x+83 x2+3x−6

3. limx→a

x2−(a−1 ) x−ax2−(a−2 ) x−2a

`

4. limx→ 4

3 x2+17 x+45 x2−3 x+10

5. limx→1

1−x2

(1+ax )2−(a+x)2

6. Hallar los valores de m de tal manera que

limx→m

x2−mx+3 x−3mx−m

=m2−27

7. limx→1

4√ x+ 3√x+√ x−3x−1

8. limx→64

√ x−83√x−4

9. limx→4

3−√5+x1−√5−x

10. limx→a

3√ x−3√ax2−a2

11. limx→0

3√ x2+3x−3−3√4 x2+5 x−8

√x2+9 x+6−√x2+5 x+10

12. limx→0

x−sen2 xx+sen3 x

13. limx→0

1−2cosx+cos2 x

x2

14. limx→0

1−cosxsen2 x

15. limx→1

(1−x ) tg πx2

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UNI FIM – M6

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