libros de colegios en dvds trilce, pamer.. (988961526) —lima - provincias

7/25/2019 Libros de colegios en DVDs Trilce, Pamer.. (988961526) Lima - Provincias

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22

La car ula puede ser Doble Ringcon Tapa Dura para una mejormanipulacin de los nios oempastado.

IMPRESIONES LSER: INICIAL

.

IMPRESIONES LSER: PRIMARIA (s/.0.04 x pgina)

Cursos 1 Primaria 2 Primaria 3 Primaria 4 Primaria 5 Primaria 6 Primaria

# Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo

Lgico Matemt

co142 5.68 314 12.56 302 12.08 382 15.28 410 16.40 368 14.72

Comunicacin Integral 184 7.36 344 13.76 330 13.20 304 12.16 348 13.92 368 14.72

Persona Social 96 3.84 166 6.64 184 7.36 148 5.92 144 5.76 142 5.68

Ciencia y Ambiente 116 4.64 134 5.36 234 9.36 148 5.92 108 4.32 208 8.32

Razonamiento Matemtco 314 12.56 158 6.32 122 4.88 162 6.48 148 5.92 160 6.40

Razonamiento Verbal 354 14.16 200 8.00 298 11.92 302 12.08 324 12.96 364 14.56

Ingls 122 4.88 106 4.24 108 4.32 110 4.40 116 4.64 136 5.44

Valores y Liderazgo 70 2.80 62 2.48 88 3.52 92 3.68 107 4.28 105 4.20

55.92 59.36 66.64 65.92 68.2 74.04

Cursos 3 Aos 4 Aos 5 Aos

# Pginas Costo # Pginas Costo # Pginas Costo

Lgico Matemtico 152 6.84 228 10.26 275 12.38

Comunicacin Integral 140 6.30 173 7.79 179 8.06

Personal Social 81 3.65 99 4.46 128 5.76

Ciencia y Ambiente 66 2.97 106 4.77 125 5.63

Motor Fino 236 10.62 175 7.88 148 6.66

Aprestamiento - - 132 5.94 143 6.44

Ingls 68 3.06 105 4.73 110 4.95

Razonamiento Matemtico - - - - 124 5.58

Razonamiento Verbal - - - - 110 4.95

Valores y Liderazgo 58 2.61 60 2.70 70 3.15

36.05 48.53 63.56

Nota: El costo de impresin, parainicial, por cara es a S/0.045 cntimos,son hojas de aplicacin.Tenemos tambin en fondo de color,consultar precio al correo paramandarle un modelo.

Telf. 511 988961526 Movistar

Email: [email protected] / [email protected]

Direccin: Jr. Washington 1255 Cercado de Lima

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2/76

LGEBRA

Secundaria5

PrimerBimestre


3/76

Pg

Captulo 7

Captulo 13

Captulo 19

Captulo 25

Captulo 30

Captulo 35

1. Leyes de Exponentes y Radicales

2. Polinomios

3. Productos Notables

4. Divisin Algebraica

5. Factorizacin I

6. Factorizacin II

ndice


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Colegio SANTIAGO ANTNEZ DE MAYOLO

7lgebra - 5to. Secundaria

lgebraCAPTULO

1Leyes de Exponentes

3-2= =

-2-3= = -

(Observa que el exponente (-3) afecta a 2)

a : base a R n : exponente n Z P : potencia P R

Potenciacin

Exponente natural:Si a R y n +.

42= 16

Exponente

Base

Potencia

Exponente cero: Si a R ; a 0.an= P

Ejemplo:

DEFINICIN 1

an= a . a . a . ... . an factores

Ejemplos:

x . x . x = x3

(-3)2= (-3)(-3) = 9

-32= -(3)(3) = -9 (Observa que el exponente afecta

a 3)

(-3)3= (-3)(-3)(-3) = -27

DEFINICIN 2

Ejemplos:

30 = 1

a0= 1

(- 2)0

= 1

-50= -1 (Observa que el cero afecta a 5)

530= 51= 5

Exponente negativo: Si a R; a 0.

DEFINICIN 3

a-n=1

an

Ejemplos:

132

19

18

-123


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8


lgebra - 5to. Secundaria

CMO CONTAR LOS GRANOS DEARENA QUE CABEN EN EL UNIVERSO?

Arqumedes (287 -212 a.C.) naci y muri en Siracusa,

actual Italia. Fue sin duda el mayor matemtico de la

antigedad. En una obra titulada Psammites (El Clculo

de los Granos de Arena, ms conocida en espaol como

El Arenario) se jactaba que poda enumerar los granos

de arena necesarios para llenar el universo, utilizando

para ello nmeros gigantescos expresados mediante

exponentes. Arqumedes comienza, basndose en los

trabajos del astrnomo Aristarco (310 - 230 a.C.),

con ciertas estimaciones relativas a los tamaos de la

Tierra, la Luna y el Sol, y a las distancias de la Luna,

el Sol y las estrellas fijas; demostrando que el dimetro

del universo usual hasta la distancia del Sol es menorque 1010estadios (un estadio es igual a 147,8 metros).

A continuacin supuso que 10 000 granos de arena ya

superaban a una semilla de adormidera, que el dimetro

de una de ellas era menor o igual que 1/40 del ancho

de un dedo, y a su vez un estadio es menor que 10 000

dedos. Con estas desigualdades, Arqumedes lleg a la

conclusin que se necesitaban 1051granos de arena para

llenar la esfera del universo, generalmente aceptada

aquel tiempo.

Recreacin de la Muerte de Arqumedes durante la IIGuerra Pnica. No tanger circues meos (No toques

mis crculos), exclam Arqumedes en su mal latn cu-ando uno de los soldados pis sus figuras. En respuesta,el soldado traspas con su espada el cuerpo del anciano

Arqumedes (De la vida del general romano Marcelo,segn Plutarco).

Exponente fraccionario: Si m/n Q.

DEFINICIN 4

Ejemplos:

34/5 = 5 34

1. am. an= am+n

2. = am-n; a 0

3. (a . b)n= an. bn

am/n= nam

Teoremas

am

an

Elementos:

Ecuaciones Exponenciales

A. BASES IGUALES

am= an m = n

Ejemplo:

Resuelve: 23x+1= 2103x + 1 = 10 x = 3

B. FORMAS ANLOGAS

xx= aa x = a

Ejemplo:

xx= 27 xx= 33 x = 3

an

bnab(

n

(

ab

nn an b

4. = ; a 0

5. (am)n= am.n

6. n ab = na . n b

7. = ; a 0

8. cn acm = n am

9. m n a = mn a

Exceptuando: 1 12 41 1

2 4

=


6/76



1. Reduce:

S =

a) x10 b) x5 c) 1

d) x-5 e) x-10

Resolucin:

S = =

extraemos:

S = = x10

x3. x3. x3. ... . x33 x2. 3 x2. 3 x2. ... . 3 x2

30 veces

20 veces

( x3)20

(3 x2)30 x603 x60

x30

x20

3. Si 9x+ 3x+3= 28, calcula x.

a) 3 b) 1 c) 0d) 2 e) 6

Resolucin:

(32)x+ 3x+3= 28

32x+ 3x+3= 28

3x(3x+ 33) = 28

3x(3x+ 33) = 28

3x(3x+ 27) = 1(1 + 27)

\ 3x= 1 x = 0

Rpta.: c

Rpta.: a

Rpta.: c

4. Simplifica:

a) a+b+cb) ab + ac + bcc) abcd) a-1+ b-1+ c-1

e) an+ bn+ cn

Resolucin:

ancn+ anbn+ bncn

a-n+ b-n+ c-nn

anbncn(b-n+ c-n+ a-n)a-n+ b-n+ c-n

n

Factorizando an+ bn+ cnen el numerador:

n anbncn= abc

Resolucin:

5. El exponente de x que resulta al simplificar:

E = 1+1/2 1+1/3 1+1/4 1+1/5... 1+1/n xnes:

a) n2/2 b) n/2 c) 2/nd) 2 e) 2n/n+1

Rpta.: d

2. Calcula:

E =

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

Resolucin:

E =

E = 641/2+ 271/3+ 6251/4

E = 64 + 3 27 + 4 625

E = 8 + 3 + 5

E = 16

164( (+ 127( (+ 1625( (

-2-1 -3-1 -4-1

164( (+ 127( (+ 1625( (

-2-1 -3-1 -4-1

Operando las fracciones tenemos:

E = 3/2 4/3 5/4 6/5 ... (n+1)/n x

E = 3/24/35/46/5...(n+1)/n xn

E = (n+1)/2 xn

E = xn/[(n+1)/2]

E = x2n/(n+1)

Rpta.: c

EJERCICIOS RESUELTOS


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10



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3

esolviendo en claseR

Si xy= 2, calcula: (xy)xy. (x3)-y. (4y2)y-2

Resolucin:

Simplifica:

Resolucin:

104. 303. 423

54 . 250 . 602. 702

Efecta:

a) 2 . 3 2 . 6 2

b)

Resolucin:

6 9 . 4 9 . 3 920 9 . 5 9

Si el exponente final de x es 7/4 en:

xn. x x ; x > 0.

calcula n.

Resolucin:


8/76



Rpta:

6

Rpta:

5

hora en tu cuadernoA

Halla x si:

Resolucin:

62x-4

144x-21

16=

Simplifica:

W =

Resolucin:

5 . 2x+2-2x+4+ 6 . 2x-1

2x+5-15 . 2x-2 . 2x+3

7. Sabiendo que:

2x-3= 3, halla 21-x

8. Despus de simplificar:

se obtiene:

n-2 32n+5-9 . 32n+1

24 . 3n+4

9. Si:

3x= 7y, calcula el valor de:

P = 3x+1-7y+1+ 3x

7y-7 . 3x+ 3 . 7y

10. Halla el exponente final de x:

; x 0(xa)bc. (xbc)a. xac. xac... xac. x

((x3a)b)c

b veces

11. Halla x en:

8x+3= 4 323x+1

12. Calcula el exponente final de x en:

F(x) = 3 x 3 x 3 x 3 x ... (n radicales)


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12



ara reforzarP

1. Calcula el valor de x en:

2x. 2 = 3 4x

a) 2 b) -3/2 c) 1/2d) 1/4 e) 5/3

2. Simplifica:

a) 287 b) 281 c) 235d) 123 e) 435

12( (

-(1/2)-1

+13( (

-(1/3)-1

+14( (

-(1/4)-1

3. Calcula A + B, siendo:

A = {(1/2)-3+ (2/5)-2+ (4/7)-1}0,5

B = {8(4/5)-2-(2/3)-3-(8/9)-1}(1/3)

a) 20 b) 9 c) 4d) 6 e) 5

4. Resuelve: 1632

x-2= 22

x+2

a) 2/5 b) 3/2 c) 5/2d) 2 e) 5

5. Reduce:

P =

a) 1 b) 5 c) 25d) 3 5 e) 5 5

5 253. 15 5 . 3 253 5 . 5 125

6. Efecta:

E =

a) 1 b) x c) x32

d) x-32 e) x-1

(x3)-2. x-210

. (x-4)2

(x-5)-1. x(-3)2. (x-1)-2

7. Halla x si: (0,01)x

27-3-1= 0,0001

a) 1 b) 2 c) 4d) 6 e) 8

8. Luego de resolver la ecuacin:

94x+1

= 383

indica el valor de R = x-1x + 1

a) 2 b) 3 c) 4d) 1 e) 0

9. Si ab = 1, calcula el valor de:

M = (ab)a(ba)b((aa)b)a((bb)a)a

a) 1 b) a c) bd) ab e) a/b

10. Reduce:

R = 3 642-1

+ 162-2

-83-1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11. Despus simplificar la expresin:

E =

resulta:

a) 5 b) 2,5 c) 2d) 1,25 e) 0,5

252n-402

n

202n-322

n2-n

4n2+ 16n

2

16n2+ 64n

2n

12. Despus de simplificar:

E =

se obtiene:

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

32x/(x-y)+ 6 . 32y/(x-y)x-y 3x+y


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lgebraCAPTULO

2Polinomios

Monomio

M(x, y) = x3y4 Monomio M(x, y, z) = x5y3z5 Monomio M(x, y, z) = x4y3z6 Monomio

x2/y3 No es monomio x4y1/2 No es monomio x6y2/3z No es monomio

Trmino algebraico de exponentes enteros y positivos paratodas sus variables (expresion racional entera).

Ejemplos:

Polinomio

P(x,y) = 6x4y2-5x2+ 3xy3+ y4

Polinomio de 4 trminos

P(x,y,z) = 3x2y3z -5x3y5+ 3y4


P(x,y,z) = 2xy -5xy2z4


Expresin algebraica entera de uno o ms trminos.

Ejemplos:

Est dado por el exponente de la variable indicada.

M(x, y, z) = 4x2y4z5

GR(x) = 2; GR(y) = 4; GR(z) = 5

1. GRADO RELATIVO DE UN MONOMIO (G.R.)

Grados

Es el mayor grado de uno de los trminos.

M(x, y, z) = 32x4y5z7

G.A. = 4 + 5 + 7 = 16

2. GRADO ABSOLUTO DE UN MONOMIO (G.A.)

Est dado por el mayor exponente de la variable referida.

P(x, y) = 2x4y2+ 6x3y5+ 7x7

GR(x) = 7 ; GR(y) = 5

Q(x, y) = 6x4y5-2x5y3-y6 GR(x) = 5 ; GR(y) = 6

3. GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (G.R.)

Est dado por el monomio de mayor grado.

P(x, y) = 4x3y2 - 2x2y5 + 6x4y6

5 7 10

G. A. (P) = 10

4. GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO

Es aqul donde los exponentes de la variable vanaumentando o disminuyendo.

Polinomios EspecialesTrmino algebraico de exponentes enteros y positivos paratodas sus variables (expresion racional entera).

1. POLINOMIO ORDENADO

P(x)

= x16-2x10+ x2+ 1Polinomio Ordenado Descendente.

Q(x)= 2 + x4+ 5x7+ x10

Polinomio Ordenado Ascendente.

Ejemplos:


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14



Es aqul donde aparecen todos los exponentes de lavariable, desde el mayor hasta el trmino independiente(exponente cero).

2. POLINOMIO COMPLETO

P(x) = 6x2+ 2x + 3x3+ 5 tiene 4 trminos

Q(x) = 2 + x + 3x2+ 5x3+ 4x4

tiene 5 trminos

Ejemplos:

Sea:P(x) = 2x2+ 5x + 1

tiene 3 trminos 3 = 2 + 1

En todo polinomio completo se cumple:

# Trminos = Grado + 1

Es aqul donde todos sus trminos tienen el mismogrado absoluto.

3. POLINOMIO HOMOGNEO

2.1. Propiedad

Ejemplos:

P(x,y) = 6x2 + xy - y2

2. 2. 2.

P(x,y) = 6x2 + xy - y2

2. 2. 2. Q(x,y) = 2x4y2 + 3x3y3 + y6

6. 6. 6.

Son aqullos que tienen el mismo valor nmerico paraun mismo valor de variable. Es decir, tienen los mismoscoeficientes en trminos homlogos.

4. POLINOMIOS IDNTICOS

2x + 3 3 + 2x

5x3+ 2x -1 + 4x24x2-1 + 2x + 5x3

Ejemplos:

Es aqul donde para cualquier valor asignado a suvariable, el resultado es siempre cero. Es decir, suscoeficientes son todos ceros.

5. POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO

P(x) 0x3+ 0x2+ 0x + 0 P(x) 0

Ejemplo:

1. Halla el coeficiente deM(x, y) = (1/2)n9mx3m+2ny5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo de x es 14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8

Resolucin:

GA = 3m + 2n + 5m -n = 20GR(x) = 3m + 2n = 14 8m + n = 20 3m + 2n = 14

\ 16m + 2n = 40 -3m -2n = -14 13m = 26

Rpta.: b

m = 2 n = 4

\ coeficiente = (1/2)492= 81/16

2. Si P(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1 calcula el valor deP(5) + P(1).

a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

Resolucin:

En P(x + 2) = x + P(x)

\ x = 1 P(3) = 1 + P(1)

1 P(1) = 0\ x = 3 P(5) = 3 + P(3)

P(5) = 3 + 1P(5) = 4

\ P(5) + P(1) = 4 + 0 = 4

Rpta.: e



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3. Si el trmino independiente del polinomio:P(x) = 2(x-3)2(x-2)3(x-m)2(x+1)3es -576, halla elvalor de m2.

a) 1 b) 4 c) 9

d) 16 e) 25

Resolucin:

Sabemos que P(0) = trmino independiente

P(0) = 2(-3)2(-2)3(-m)2(1)3= -576

= 2 . 9 . (-8)(m2) = -576

m2= 4

Rpta.: b

4. En el polinomio homogneo:P(x, y) = xm+ yn+p+ xnyp+ xpyn+ xqyr+ xryqla suma de todos sus exponentes es 54. Halla el valorde:

E = m + n + p + q + r

a) 12 b) 15 c) 18d) 27 e) 36

Resolucin:

Por homogeneidadm = n + p = q + r = k\ 6k = 54 k = 9

\ m = 9 , n + p = 9 , q + r = 9

E = 9 + 9 + 9 = 27

Rpta.: d

5. Si el polinomio: P(x) = a(x -3)(x + 1) + (b -2) (x + 1) (x -2) + (c + 3)

(x -3)(x - 2) es idnticamente nulo. Halla a + b + c.

a) 0 b) -1 c) 2d) 3 e) -3

Resolucin:

Evaluamos:P(3) = (b -2)(4)(1) = 0 b = 2P(2) = a(-1)(3) = 0 a = 0P(-1) = (c+3)(-4)(-3) = 0c = -3

a = 0 , b = 2 , c = -3

a + b + c = -1Rpta.: b

Nota

El trmino independiente es un trmino de grado cero, as:

4 = 4x0

ObservacinPolinomio Completo y Ordenado

P(x) = x3-2x2+ 5x -4

Observa que cumple con las dos condicionesanteriores.

El smbolo significa que los polinomios son idnticos.

cMO EVITAR ERRORES?

Para elegir los mate-riales ade-cuados, en cuanto a calidad

y cantidad, para constru irun puente, los ingenierosanalizan las variables queintervienen antes de llevara la prctica su proyecto,como la geologa del terreno,resistencia al viento, cambiode temperatura y fluidez del trfico automovilstico.Estas variables son expresadas matemticamentemediante polinomios para as poder hacer los clculosrespectivos y no cometer errores imprevistos.

UN TREN DE MONOMIOSUn polinomio est conformado por monomios dela misma forma que un tren lo est por vagones.Por ejemplo: si sumas los monomios x3, x2, x, 7,lo que se obtiene es x3+ x2+ x + 7; un polinomio.


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16



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


SiP(x) = ax2+ 2x -1 y P(-2) = 7, el valor de

a es:

Resolucin:

Calcula el grado de:

P(x, y, z) = 8xaybzc, sabiendo que: GA -GR(x) = 11,

GA -GR(y) = 12

GA -GR(z) = 13.

Resolucin:

Calcula m . n siP(x, y) = 2xm+1yn-2-5xm+2yn-1+ 7xm+3yn-3

es de GA = 20 y de GR(y) = 8.

Resolucin:

Halla el valor de A + B si:

15 -4x A(2 -x) + B(1 + x)

Resolucin:


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Rpta:

6

Rpta:

5


Dado el polinomio:

P(x) = 2xc+d-1-3xb-c+1+ 5xa+b-4+ 2xa-3

completo y ordenado descendentemente, halla

el valor de a + b + c + d.

Resolucin:

Si:

Hallar:

Resolucin:

7. Dado el polinomio: P(x) = (x + 1)n+ (3x + 1)n+ (5x -1)n+ b

con trmino independiente 5 y suma de coefi-cientes 38. Halla P(-1).

(n es par)

8. Siendo: P(x, y, z) = 3axa+2yb+2+ 2bya+1zc+3+ 5cxb+4zc

un polinomio homogneo de grado m + 2,calcula:

9. Calcula A + B + C si:

(x + 1)[A(x + 2) + B(x -2) -3x] + 15x =(x -2)[3x + c(x + 2)]

se verifica para todo x.

10. Si:P(2x+3) = 7-6x

Hallar: P(x + 1)

12. Si: P x x x x3 2 25=^ h es de tercer grado paraun valor de "n". Deicho valor es:

11. Calcula A + B + C + D, para que el polinomio

P(x) = Ax3+ 2x2-3x3+ 2Cx2+ 8 -3Bx + D + 9x,sea idnticamente nulo.

( )3X+1P = =9X+2

(5X-1)

( )( )P 2 5 2 5 + -

n

n n n

(a+b+c)n+1

a +b +c


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18



ara reforzarP

1. Halla la suma de los siguientes trminos se-mejantes: A = (a + 3b + c)xa-5yb+c+8

B = (2b + 4c + 3)x3y10

a) 15x3y10 b) 18x3y10c) 20x3y10

d) 16x3y10 e) 21x3y10

2. SiP(x) = 2x2+ 5x + 2 y

Q(x) = 6x + 1,halla P(Q(1)).

a) 125 b) 63 c) 117d) 135 e) 119

3. Halla a . b en: P(x, y) = 5x2aya+b+1+ 12xa-by2b-1si GR(y) = 9

y GA = 19.

a) 15 b) 6 c) 72d) 18 e) 12

4. Si P(x, y) = xm+2y5+ 7x10yn + 2xm+3yp es

homogneo, con grado de homogeneidad 11,halla m + n + p.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

5. SiP(x + 2) = x + P(x) y P(3) = 1, calcula el

valor de P(5) + P(1).a) -4 b) 0 c) 1d) 2 e) 4

6. Si la suma de coeficientes del polinomio: P(x) = (4x3+ 3) . (5x7-7)n-4+ (8x -9)10

es 449, entonces el valor de n es:

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

7. Halla el coeficiente de M(x, y) = . 9mx3m+2n. y5m-n

cuyo grado es 20 y el grado relativo a x es14.

a) 16/81 b) 81/16 c) 9/16d) 16/9 e) 81/8

12( (

n

8. Dada la expresin algebraica: R(x, y) = 6xm-2yn+5+ 3xm-3yn-8xm-1yn+6,

halla mn si su grado absoluto es 17 y el grado

relativo de x es 6.

a) 30 b) 35 c) 36d) 42 e) 45

10. Encuentra el valor de a + b en la siguienteigualdad:

13 -4x a(x +2) + b(x - 1)

a) -8 b) -6 c ) -4d) -2 e) 0

9. Si el polinomio:P(x) = 3xn+3-xn+2+ xn+1+ ... + 3

completo, ordenado y tiene 38 trminos; elvalor de n es:

a) 33 b) 34 c) 37d) 39 e) 40

11. Cul es el valor de a para que la expresin:

M =

sea de grado 64? (a > 2)

a) 6 b) 3 c) 2d) 5 e) N.A.

(xa+5+ xa+3+ 5)a(xa+1-xa-2+ 1)a-1

(xa-x2+ 3)2

12. Si. P(x) = x2- 1 Calcular:

a) 9 b) 80 c) 81d) 8 e) 27

( )2P 3P P


16/76



lgebraCAPTULO

3Productos Notables

Mientras nosotros representamos las magnitudes porletras que se sobrentiende son nmeros (conocidoso desconocidos) con los cuales operamos usandolas reglas del lgebra, hace ms de 2000 aos losgriegos representaban las magnitudes como segmentosde lnea recta y las operaban segn las reglas de lageometra.

Tenan el Libro II de los Elementos de Euclides(matemtico griego que vivi en el siglo IV a.C.) quees un lgebra geomtrica que les serva ms o menos

para los mismos fines que nuestra lgebra simblica.La proposicin 4 del Libro II, si una lnea recta secorta de una manera arbitraria, entonces el cuadradoconstruido sobre el total es igual a los cuadrados sobrelos segmentos y dos veces el rectngulo contenido porambos segmentos, es una manera larga de decir que(a +b)2= a2+ 2ab + b2, pero su evidencia visuales mucho ms impactante que su contrapartidaalgebraica moderna. He aqu la demostracin:

El rea del cuadrado mayor es (a + b)2. Esta reatambin se puede calcular adicionando las reas delos cuadrados y rectngulos interiores.Luego:

(a + b)2= a2+ 2ab + b2

Son los productos que se obtienen en funcin directasin necesidad de multiplicar.

Trinomio Cuadrado Perfecto

(x + 3)2= x2+ 2(3)x + 32

(x -4)2 = x2-2(4)x + 42

(5x + y)2 = (5x)2+ 2(5x)(y) + y2

Ejemplos:

1. CONCEPTO

(a + b)2= a2+ 2ab + b2

(a -b)2= a2-2ab + b2

Identidades de Legendre

(x + 3)2+ (x -3)2= 2(x2+ 32)

(x + 2)2-(x -2)2= 4(x)(2)

Ejemplos:

(a + b)2+ (a -b)2= 2(a2+ b2)(a + b)2-(a -b)2= 4ab

Nota

Desarrollando:x2-2xy + y2= y2-2yx + x2

(x -y)2= (y -x)2

a ba

b ab b2

a2 ab

= a2

ab

ab

b2+ +


17/76

20



Reduce:

N =

Solucin.-

Por Legendre:

(a+ b)2-(a -b)2= 4ab

= 4 = 2

(a + b)2-(a -b)2

ab

4(ab)

ab

Diferencia de Cuadrados

Calcula : M = 46 . 44 -452

Solucin.-

Haciendo x = 45

(a + b)(a -b)= a2-b2

Ejemplo:

Ejemplo:

La operacin se convierte en:M = (x + 1) (x -1) -x2

Aplicando productos notables: M = x2-1 -x2

Reduciendo trminos semejantes:

M = -1

(x + 3)(x + 4)= x2+ 7x + 12

(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab

(x + y + 3)2= x2+ y2+ 32+2(x)(y) + 2(y)(3) + 2(x)(3)

(x + y + 3)2= x2+ y2+ 9 +2xy + 6y + 6x

Identidad de Stevin

Desarrollo de un Trinomio al Cuadrado

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Ejemplo:


(

1. Si : x2+ 1 = 3 , x2 calcula:

x6+ 1 x6

a) 0 b) 3 c) 2 3d) 3 3 e) 3

Resolucin:

Rpta.: a

x2+1 3

x2( (= 33

x6 + +3x2.1x6

1x2

x2+1x2( = 3 3

x6 + = 01x6

x6 + +3( 3)1x6

= 3 3

2. Si : M = 2 + 3 ; N = 2 - 3

calcula (M+N)2

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

Geomtricamente la identidad de Stevin se demuestra as:

Segn sus reas:(x + a)(x + b) = x2+ bx + ax + ab

= x2+ (a + b)x + ab

x a

x

b= x2 + bx + ax + ab

bx ab

x2 ax


18/76



Si :

(x+y)2=4xy x2+2xy+y2=4xy x2 - 2xy+y2= 0 (x -y)2= 0 x=y

Remplazando en "E"

Resolucin:

3. Si :

calcula:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

x+y 2

2( (=xy ,

E= 6 x - 2 y4 xy

Resolucin:

(x+y)2

4=xy

E= 6 x - 2 x4 x2

E= 4 xx

E= 2

Rpta.: b

K = ( 2+ 3+ 2 - 3)2

K = 2+ 32

+2( 2+ 3 )(2- 3 ) + 2 - 3

2

K = 2+ 3+2( 2+ 3 )( 2-3 )+2- 3K = 4+2 22- 32

K = 4+2 1

K = 6

Rpta.: d

x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2- xy-xz-yz)

0 -3xyz=(x+y+z)(x2

+y2

+z2

-x2

-y2

-z2

-3) -3xyz = -3(x+y+z) xyz = x+y+z

Elevando al cubo: x3y3z3=x3+y3+z3+3(x+y)(y+z)(z+x)

Reemplazando: x3y3z3=3(x+y)(y+z)(z+x)

\ x3y3z3 (x+y)(x+z)(y+z) = 3

4. Si : (x -y)2+(x - z)2+(y - z)2= 0

calcula:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

E=3

x + 2y +4

x2

+z2

2x +y 2xz

Resolucin:

Si (x -y)2+(x - z)2+(y - z)2= 0

x -y= x - z= y - z= 0

\ x = y = z

Remplazando en "E"

E= 3 x + 2x + 4 x2+x2

2x +x 2x2

E= 3 1 + 4 1

E= 2

Rpta.: e

5. Si : x3+y3+z3=0;

x2+y2+z2+3=xy+xz+yz

Calcula:x3y3z3

(x+y)(x+z)(y+z)

a) 1 b) 4 c) 2d) 5 e) 3

Resolucin:

Rpta.: e


19/76

22



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Si:R = ( 2 +1)2+( 2 - 1)2

M = ( 3 +2)2+( 3 - 2)2

calcula R+M.

Resolucin:

Si:

x+x-1=3 calcula x2+x-2.

Resolucin:

Si: x2- 5x + 1 = 0Calcular:

xx

122

+

Resolucin:

Si m+1/m=4 calcula m3+1/m3.

Resolucin:


20/76



Rpta:

6

Rpta:

5


Si:

x -y = 4, xy =3; halla x3-y3

Resolucin:

Si x+x-1=3 calcula x4+x-4.

Resolucin:

7. Reducir:

8. Efecta:

E=4 1+(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)

9. Efecta:

R = 24 1+26.(33+1).(36+1).(312+1)

10. Si:

1

a

b

c

5 3 2

3 2

1 5

= +

=

-

- -

= -

Calcular:

Mbc

a

ac

b

ab

c2 2 2

= + +

11. Si x2+ = 18 calcula E=x -1x

1x2

12. Si: x3= 1; x 1 Calcular: x2+ x

( ) ( )( )( )( )2

22 5 1 2 3 4x x x x x x+ - - - - + +


21/76

24



ara reforzarP

1. Si: (a+b)2= 2(a2+b2)Calcula el valor de:

a) 13 b) 14 c) 15d) 16 e) 17

a2+13b2 23a - 17b ab 2a

E= +

2. Si: a2+b2+c2=50 y a+b+c= 12 Halla P =(a+b)2+(b+c)2+ (a+c)2.

a) 132 b) 146 c) 145

d) 164 e) 194

3. Sabiendo que:

[6+ 36 -a2].[6- 36 -a2]=8

halla a4.

a) 4 b) 8 c) 16d) 32 e) 64

4. Simplifica:

E = +2

+ -2

2

- 42

-2

2

a) 36 b) 24 c) 15d) 16 e) 72

( (ab[

ba(

ab (] [(

ab( ]

ba

ba ((

5. Si + +

calcula:

J = +

a) 3/2 b) 1/2 c) 5/2

d) 7/2 e) 9/2

1m

1n

4m+n

4m+n4m-2n

m2+n2mn

6. Si (a+b)3=a3+b3, adems a, b 0; seala elvalor de .

a) -2 b) -1 c) 0

d) 1 e) 2

ab

7. Efecta: R = ( x + 3 ) ( x2- 3x + 9) ( x- 3 )(x2+ 3x + 9 ) + 729

a) x3

b) x6

c) x8

d) x10 e) x12

8. Reduce a su mnima expresin: [(a+2)4. (a2 - 2a + 4)4 . (a3+8) . (a3-8)5] 0.2+64

a) a b) a2 c) a3

d) a4 e) a6

9. Calcula el valor de: a+b+c, si: a2+b2+c2=2 (a+b+c)(1+ab+bc+ac)=32

a) 2 b) 4 c) 8

d) 32 e) 64

10. Dada la siguiente igualdad:

4 = + + ,

calcula el valor mumrico de:

R =

a) 9 b) 7 c) 5d) 8 e) 6

xyz

yxz

zxy

x( x+yz)+y(y+xz)+z(z+xy)x(x -yz)+y(y - xz)+z(z - xy)

11. Si se sabe que:

calcula el valor de:

E= +

a) 18 b) 17 c) 16d) 15 e) 14

2xy

1 +xy1 - xy

=

2x+y2x -y

2x -y2x+y ()

12. Si a3+b3+c3=0 y (a - b)2+(a - c)2 +(b -c)2=12, a; b; c 0.calcula:

A = + +

a) 1/2 b) -2 c) 3/2

d) 2/3 e) -1/2

1bc

1ac

1ab


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lgebraCAPTULO

4Divisin Algebraica

Monomio Entre Monomio

Ejemplos:Nos remitimos a la Ley de Exponentes.

15x7y4z5

3x2yz3

1001x9w15

91x3w12

= x7-2y4-1z5-3

= 5x5y3z2

= x9-3w15-12

= 11x6w3

( )15

3

( )100191

Polinomio Entre MonomioNos remitimos a separar el polinomio trmino por trmino

y utilizar lo visto anteriormente.

ResiduoCocienteDivisorDividendo

D(x) = d(x) q(x) + r(x)

Ejemplos:

15x7w8+ 21x6w3-3x5w2entre 3x3w

5x4w7+ 7x3w2-x2w

15x7w8

3x3w

21x6w3

3x3w

3x5w2

3x3w-+

Polinomio Entre Polinomio

Slo coeficientes.

Polinomio completo y ordenado.

1. MTODO DE HORNER

i

v

i

s

o

r

d

Cociente

Coeficiente principal

del divisor

Coeficientes

restantes del

divisor con signo

cambiado Residuo

Coeficientes

del Dividendo

Lnea

DivisoriaEjemplos:

q(x) = 3x2+ x -5 r(x) = 4x + 12

2. MTODO DE RUFFINI

DIVIDENDO

(RAZ DEL

DIVISOR)

COCIENTE RESIDUO

q(x) = x3+ 2x2-x -2

r(x) = 0

El resto que resulta de dividir un polinomio determinado,por el binomio x - a, es igual al valor numrico delpolinomio dividendo, en el cual se ha efectuado lasustitucin de x por a.Veamos: D(x) = (x -a)q(x) + R

Evaluemos en x = a D(a) = (a -a)q(a) + R

cero

Teorema del Resto

D(a)= R

Halla el resto de dividir: 4x4-3x3+ 5x2-6x + 4 entre x -2

x -2 = 0

x = 2 R = 4(2)4-3(2)3+ 5(2)2-6(2) + 4

R = 52

Se utiliza para casos en que el divisor es de primer grado.

D(a) = V.N. del dividendo cuando x = a

Identidad fundamental de una divisin polinomial.


23/76

26



Resolucin:

6x4+ 5x3-x2+ Ax + B

2x2+ 3x + 1

1. Determina A + B, en la siguiente divisin exacta.

Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizar esel de W. Horner.

Haciendo el esquema :

del esquema :A -1 = 0 A = 1B -1 = 0 B = 1 A + B = 2

2 5 -1 A B6

-3

-1 2-3 -1

-3

6

-9

1-2 0

divisinexacta

03

Resolucin:

Resolucin:

2. En la siguiente divisin :

Determina el valor de AB si tiene como residuo:3x + 10.

Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizar esel de W. Horner.

Haciendo el esquema :

4x4+ 23x3+ 24x2+ Ax + B

x2+ 5x + 2

Por las caractersticas del divisor, el mtodo a utilizares el de P. Ruffini.

Haciendo el esquema :Cociente: Q(x) = x3-2x2+ x -3

de coeficientes = Q(1) = -3

3. Divide:

e indica la suma de coeficientes del cociente.

2x4-5x3+ 4x2-7x + 9

2x -1

Divisor2x -1

diferentede launidad

1/22 -5 4 -7 9

1 -2 1 -32 -4 2 -6 6

21 -2 1 -3

del esquema : A -11 = 3 A = 14B -2 = 10 B = 12 AB = 168

1 23 24 A B4

-5

-2 -6-5 -2

-8

-15

-20

13 10

residuo

4 3

4. Halla el residuo de la siguiente divisin :

Como el grado del dividendo es muy elevado y slo nospiden el residuo, entonces utilizaremos el Teoremadel resto.

Regla prctica : x + 6 = 0 x = -6

Reemplazando en el dividendo : R = (-6 -3) (-6 + 7)60+ 7

R = -2

Resolucin:

Resolucin:

(x -3) (x + 7)60+ 7

x + 6

5. Halla el residuo de la divisin :

Como en el dividendo los trminos son potencia

del trmino del divisor (x

10

), haremos un cambio devariable.

Sea : x10= y

Como slo nos interesa el residuo, entonces aplicamosel Teorema del resto.

Regla prctica : y + 1 = 0 y = -1

Reemplazando en el dividendo :

R = (-1)9+ (-1)8+ (-1)6+ (-1)2+ 4 R = 6

x90+ x80+ x60+ x20+ 4

x10+ 1

y9+ y8+ y6+ y2+ 4

y + 1


24/76



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


4x4+ 13x3+ 28x2+ 25x + 12

4x2+ 5x + 6

Halla el cociente de la siguiente divisin:

Resolucin:

x3+ 5x2-7x + 5

x2+ 2x -3

Al efectuar la siguiente divisin:

indica su cociente.

Resolucin:

x5-3x2+ x + 1

x2+ x -1

Luego de dividir

halla el residuo de la divisin.

Resolucin:

3x3+ 2x2+ x + 1

x + 1

Divide e indica el cociente de:

Resolucin:


25/76

28



Rpta:

6

Rpta:

5


Calcular la suma de los coeficientes del

cociente de:

x

x x x

1

3 2 8 7202 201

-

+ + +

Resolucin:

La divisin:

x x

ax bx cx c

3 2 1

9 33 2

5 4 3

- +

- + - +

exacta:

Calcular el valor de: a + b - c

Resolucin:

7. Si: P(x) = x3- 0,111x2- 0,999x + 2012 Evaluar:

P(0, 999)

8. Si: P(x) = 12x4- ax3+ bx2- 31x - 15 es dividendo por Q(x) = 4x2- 5x - 3 Calcular: a - b

2x3+ 3x2-5x + 6

x + 2

10. Halla el resto al dividir:

abaa

cb cb

b

cbb

b a

cc c2

d e

9. Halla el divisor del esquema de Horner en funcinde x.

2x3+ x2-6x + 4

2x -3

11. Halla el cociente al dividir:

12. Hallar el resto de:

( )

x x

x x

2 2

1 6

2

2013

+ +

+ + +


26/76



ara reforzarP

3x6+ 2x5+ x4+ 2x + 3x3-x + 1

1. Luego de efectuar:

indica el cociente.

a) 3x3+ 2x2+ 4x -1 b) 3x2+ 2x -1c) 3x2+ 4x -1d) x3+ 2x2+ 1 e) x3-3x -1

5421

a-1 -4b

-2

d22

c 7

-41 23 9

2. En la siguiente divisin por Horner

halla la suma de a + b + c + d

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 12

3x4+ 2x2-3x -3

x -2

3. Divide y calcula la suma de coeficientes delcociente:

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 48

4. Divide y calcula la suma de coeficientes delcociente:

a) 3 b) 4 c) 5d) 21 e) 7

3x4-2x3+ 9x2+3x + 6

3x -2

2x8- 3x6+ 3x4+ 2

x2+ 2


a) 50 b) 60 c) 70d) 80 e) 90

x4- 2x3+ 3x2-x + 1

x -2


a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

(x3+x2+4)2m+(x3+x2+3)n+ x3+ x2+ 6

x3+ x2+ 3

3x4-4x3+ 3x2+ ax2+ 2x -2

x2-x + b

8. Calcula a -b si el resto de

es 8x -2; adems a b R+.

a) 13 b) 18 c) 5d) 10 e) 16

2x4+ 5x3+ ax + a

x2-x + 1

9. La divisin:

da como resto un polinomio de grado cero. Cul es?

a) -1 b) -3 c) 2d) 8 e) 4

mx4+ nx3+ px2+ 6x + 6

2x2-5x + 2

10. Calcula (m + p)n si el resto de la divisin

es -5x + 8 y la suma de los coeficientes delcociente es 4.

a) 34 b) 35 c) 36d) 37 e) 38

11. Si: ( )P x x x x2 2 2 3 34 3

= + - + Calcular: P 3 2-^

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 3

12. Si la divisin:

es exacta el valor de: a - b es

a) 20 b) 25 c) 10

d) 5 e) 1

x x

ax bx x x

4 1

2 3 22

4 3 2

+ -

+ - - -


27/76

30



lgebraCAPTULO

5Factorizacin I

Ejemplo:

P(x; y) = xy2

Sus divisores son:* P1(x; y) = 1* P2(x; y) = x* P3(x; y) = y* P4(x; y) = xy* P5(x; y) = y

2

* P6(x; y) = xy2

No es un factor algebraico

nicos factoresprimos

Consiste en transformar unpolinomio en otro equivalente,expresado como una multiplicacinde factores primos sobre undeterminado campo numrico.

Factor Comn

Agrupacin de Trminos

Identidades

Mtodo del Aspa Simple

FACTORIZACIN Criterios de Factorizacin

Se seleccionan convenientementelos trminos, de tal manera quegeneren un factor comn.

CRITERIOSDEFACTORIZACIN

FactorComn

Agrupacin

Se el igen las basescomunes afectadas porel menor exponente.

P(x; y) = 3x4y6+ 2x3y4

Factor Comn: x3y4

P(x; y) = x3y4(3xy2+ 2)

Identidades

Es la aplicacin inmediatade algunos ProductosNotables.

* a2-b2= (a + b)(a -b)

* a3+b3=(a+b)(a2 - ab+b2)

* a3-b3= (a -b)(a2+ab+b2)

* a2+ 2ab + b2= (a + b)2

* a2-2ab + b2= (a -b)2

P(a;b;c;d)= ab+cd+ad+cbAgrupando 1. con 3. y 2.

con 4.

a(b + d) + c(b + d)(a + c)(b + d)

Factor oDivisor

Factor

Algebraico

Factor

Primo

Todo polinomio que divide enforma exacta a otro polinomio.

Todo polinomio de grado nonulo que divide en formaexacta a otro polinomio.

CONCEPTOSPREVIOS

Admite por divisores a 1 y as mismo.


28/76




Resolucin:

Resolucin:

2. Factoriza :

P(x, y) = (x2 -y)2 -(x -y2)2

Reconocemos que se trata de una "Diferencia decuadrados".

P(x,y) = (x2-y+x-y2)(x2-y-x+y2)

Agrupamos convenientemente el primer parntesis.

P(x,y)=[(x+y)(x-y)+(x-y)](x2-x-y +y2)

Extraemos el factor comn:

P(x,y)=(x-y)(x+y+1)(x2-x-y+ y2)

1. Factoriza :

P(x, y) = x3y2 + x2y + x2y3+ xy2

Extraemos las letras comunes con menor exponente decada trmino.

P(x,y) = xy (x2y + x + xy2+ y)

Agrupamos convenientemente los trminos delparntesis.

P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)]

Extraemos el factor comn:

P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy)

Resolucin:

3. Factoriza :

P(x) = x4y -2x3y2+ x2y3

Extraemos el factor comn de cada trmino.

Resolucin:

4. Factoriza :

P(x) = xm+3 +xm+ x5+ x2- x3 -1

Agrupamos convenientemente por parejas, ya que ladivisin en los tres grupos da x3.

P(x) = (xm+3+xm)+(x5+x2)-(x3+1)

Extraemos el factor comn en cada parntesis.

P(x) = xm(x3+1)+x2(x3+1)-(x3+1)

al extraer el factor comn se obtiene:

P(x) = (x3 + 1) (xm+ x2 - 1)

Por suma de cubos, tenemos:

P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1)

Resolucin:

5. Factoriza :

P(x,y) = x2 -y2-8x + 16

Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto:

P(x,y) = (x2 - 8x + 16) -y2

Obtenindose una expresin de la forma:

P(x,y) = (x - 4)2 -y2

Aplicando la diferencia de cuadrados.

P(x,y) = (x-4 + y)(x -4-y)

P(x,y) = x2y (x2-2xy + y2)

Reconocemos en el parntesis un "Trinomio cuadradoperfecto".

P(x,y) = x2y (x -y)2

de donde, los factores primos son:

x ; y ; (x -y)


29/76

32



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Factoriza:F(a, b) = a3+ a2b + ab2+ b3

Resolucin:

Factoriza:

P(x, y) = (x + 1)2-(y -2)2

y halla un factor primo.

Resolucin:

Luego de factoriza:F(a) = a2+ 2a + ab + b + 1

indica un factor.

Resolucin:

Factoriza:

S(n) = (n+3)(n+2)(n+1)+(n+2)(n+1)+(n+1)

e indica el factor que ms se repite.

Resolucin:


30/76



Rpta:

6

Rpta:

5


Factoriza:

P(a) = (8a3-27) (8a3+ 27)

e indica el nmero de factores primos.

Resolucin:

Factoriza:

P(x;y)=xm+n+ym+n+(xy)m+ (xy)n

e indica un factor primo.

Resolucin:

7. Halla uno de los factores primos de:

ac(a+c)+ab(a - b) -bc(b+c)

8. Factoriza:

P(x)= (x-1)(x+1)(x-2)(x-4)-112

e indica un trmino de un factor primo.

9. Factoriza e indica como respuesta el nmero de

factores primos de:

P(x) = x32-1

10. Factoriza:

R(a, b, c) = a3b2+ b3c2-a3c2-b5


11. Indica un factor primo de:

P(a, b, c, d) = a

2

+ b

2

+ 2ab -c

2

-d

2

-2cd

12. Factoriza:

P(x) = 1 + x (x+1) (x+2) (x+3);



31/76

34



ara reforzarP

1. Factoriza 8x3+ 27; e indica el factor primo demayor suma de coeficientes.

a) 2x -3 b) 3x + 2c) 2x + 3d) 9x2-6x + 4 e) 4x2-6x + 9

2. Factoriza: F(x, y) = x5y5-2x6y4+ x7y3; e indica un factor primo.

a) x + y b) x -y c) x -2yd) x + 2y e) x5

3. Factoriza: P(x) = x6-x2+2x(x4-1) + (x4-1) e indica el factor primo que ms se repite.

a) x2 + 1 b) x -1 c) x + 1d) x + 2 e) x + 7

4. Factoriza: P(x; y) = x7 + x4y3 + x3y4 + y7


a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8

5. Factoriza: P(x) = 9x4-9x2+ 6x -1

e indica un trmino de un factor primo.

a) 2x b) 3x c) -2xd) -6x e) 10x

6. Factoriza: ab(x2-y2) + xy(a2-b2) e indica el nmero de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

7. Halla la suma de los trminos independientes delos factores primos de:

x2- 2x -xy + y + 1

a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5

8. Factoriza: 2ab + b2+ c2+ 2ac + 2bc e indica la suma de los factores primos.

a) a + b + c b) 2a+2b+c

c) a + b -cd) 2b+2c+2a e) 3a+3b+3c

9. Factoriza: P(x; y; z) = (x3+y3+z3)3-x9-y9-z9


a) 1 b) 2 c) 3d) 6 e) 8

10. Factoriza: 4x2-1 + 12xy + 9y2


a) 2x + 3y b) 2x + 3y - 1c) 2x + 3y + 5d) 2x + 3y + 2 e) 2x + 3y + 4

11. Factoriza: (m + n)(m - n) + 4(m + 1)

e indica un factor.

a) m + n + 2 b) m + 2 c) m -2d) n + 2 e) n -1

12. Factoriza: P(a, b, c) = (a+b+c) (a-b+c) -(a + b) (a -b)


a) a b) c c) 2a -cd) 2a + b e) a + c


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lgebraCAPTULO

6Factorizacin II

Aspa simple

Aplicable a polinomios de la forma:

P(x;y)

= ax2m+bxmyn+cy2n

(m;n Z+)Caso particular: Para trinomios de una sola variable.

P(x)

= ax2n+bxn+c

Ejemplos:

1. Factoriza: P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2

Se descomponen los trminos extremos, tal que lasuma de los productos cruzados d el trmino central:

P(x,y)= 10x2 - 7xy - 12y2 5x +4y +8xy 2x - 3y -15xy - 7xy Los factores se generan en forma horizontal: P(x,y)= (5x+4y)(2x -3y)

2. Factoriza: P(x)= 2x4 - 5x2+3

Se descomponen los trminos extremos:

P(x)= 2x4 - 5x2 + 3 2x2 - 3 -3x2

x2 - 1 -2x2

-5x2

Generamos los factores as: P(x;y)= (2x2- 3)(x2-1)

El 2do factor an es factorizable: P(x)= (2x2- 3)(x+1)(x -1)

Se utiliza para factorizar polinomios de grado mayor o iguala 3.

Factoriza:P(x) = x3+ 2x2-x -2

1) Determina los posibles valores que anulan al polinomio.

a) Si el polinomio es mnico se trabaja con:

(divisores del trmino independiente)

b) Si el polinomio no es mnico se trabaja con:

Divisores del Trmino IndependienteDivisores Coeficiente Principal( )

Divisores Binmicos

Ejemplo:

Ejemplo:+1; -1; +2; -2

2) En base a estos valores se realiza evaluaciones en elpolinomio, hasta conseguir el valor que logre anularlo;este valor genera un factor de 1.ergrado.

P(1) = 13+ 2(1)2-1 -2 = 0

como x=1 factor: (x -1)

3) Para conseguir otro factor se repite el proceso las vecesque sea necesario.

Ejemplo:

Ejemplo:

P(-1) =(-1)3+2(-1)2-(-1) -2 = 0

P(-2) =(-2)

3

+2(-2)

2

-(-2) -2 = 0 P(x) =(x + 1) (x -1) (x + 2)


33/76

36




1. Factoriza:

P(x) = (x2+3x)2+6x(x+3)+8

Resolucin:

Introduciendo el factor "x" en el segundo parntesis setiene: P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8

Aplicando "aspa simple":

P(x) = (x2+3x)2+6(x2+3x)+8

(x2+3x) 4

(x2+3x) 2

P(x) = (x2+3x+4)(x2+3x+2)

Aplicando "aspa simple" en el segundo parntesis:

P(x) = (x2+3x+4) (x2+3x+2)

x 2

x 1

P(x)

= (x2+3x+4)(x+2)(x+1)

3. Factoriza:

P(x)

= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

Resolucin:

Aplicando "aspa simple", tenemos:

P(x)

= (x+3)4 - 7(x+3)2+6

(x+3)2 -6

(x+3)2 -1

P(x;y)

=[(x+3)2- 6][(x+3)2- 1]

Aplicando "diferencia de cuadrados" en el segundocorchete:

P(x)=(x2+6x+9-6)(x+3+1)(x+3-1) P(x)=(x

2+6x+3)(x+4)(x+2)

Resolucin:

Aplicando convenientemente leyes de exponentes y laley distributiva:

P(x;y)

=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4

Por "aspa simple", obtenemos:

P(x;y)

=(x2+xy)2- 8(x2+xy)y2+12y4

(x2+xy) -2y2 (x2+xy) -6y2

P(x;y)

=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2)

Aplicando "aspa simple" en cada parntesis:

P(x;y)

=(x2+xy- 2y2)(x2+xy- 6y2)

x +2y x +3y

x -y x -2y

P(x;y)

=(x+2y)(x-y)(x+3y)(x- 2y)

4. Factoriza:

P(x,y)= x3 + 2x2 -5x -6

Resolucin:

Dividendo por el mtodo de Ruffini

Esquema:

P(x) = (x + 1) (x2+ x -6)P(x) = (x + 1) (x + 3) (x -2)

x3

+ 2x2

-5x -6x + 1

R = 0

1 2 -5 -6-1 -1 -1 6 1 1 -6 0

2. Factoriza: P(x;y)=x2(x+y)2 - 8xy2(x+y)+12y4

Determinemos los posibles ceros del polinomio:

x = 1, 2, 3, 6

Si x = -1 P(-1) = 0

De donde, (x + 1) es divisor de P(x).


34/76



Determinemos los posibles ceros del polinomio:

x = 1 , , , , ,

Si x = - P(- ) = 0

de donde (x + ) es divisor de P(x).

Dividimos:

Por Ruffini:

5. Factoriza:

P(x,y)= 12x3 + 16x2 + 7x + 1

Resolucin:

12

13

14

16

112

12 12

12

12x3 + 16x2 + 7x + 1x + .1

2

12

12 16 7 1

- -6 -5 -1

12 10 2 0

P(x)=(x + ) (12x2+10x + 2)

P(x)=(2x + 1)2 (6x2+ 5x + 1)

2

P(x)=(2x +1) (2x + 1) (3x + 1)

P(x) = (2x + 1)2(3x + 1)

12

OJO POR OJO DIENTE POR DI-ENTE

Las leyes son un conjunto de normas establecidasque se deben obedecer obligatoriamente.

Actualmente en todos los pases existen leyesque reglamentan a la sociedad para as evitar elcaos. En las matemticas, particularmente enel lgebra, existen muchas leyes que nos indicancmo debemos proceder ante algn problema;por ejemplo las leyes de exponentes nos indicancmo debemos operar los exponentes, para ello seutilizan dos operaciones: LA POTENCIACIN

y LA RADICACIN.

Estela donde se hal lan grabad as las 282 leyes del Cd igo deHammurabi. En la parte superior, el rey Hammurabi (en pie) recibelas leyes de manos del dios Shamash. La estela fue encontrada enSusa, de donde fue llevada como botn de guerra en el ao 1200 a.C. por el rey de Elam ShutrukNakhunte. Actualmente se conservaen el Museo del Louvre (Pars).

Durante el gobierno del Rey Hammurabi de Babilonia seelabor el primer cdigo de leyes escritas que se conoceen la historia de la humanidad. El cdigo de Hammurabi,conocido por la clebre sentencia Ojo por ojo, dientepor diente,est conformado por 282 leyes y decretos.Algunas de las sentencias de este cdigo son:

* Si un ciudadano acusa a otro de homicidio, pero no puededemostrarlo, entonces el que lo acus ser muerto.

* Si un nio ha pegado a su padre, a ese nio se le cortarnlas manos.

* Si un hombre ha destruido el ojo a un hombre libre, a ltambin se le destruir un ojo.

* Si ha roto un hueso al otro, a l se le romper un hueso.


35/76

38



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Luego de factorizar, seala el factor primo demayor suma de coeficientes.

P(x)=12x2- 29x+15

Resolucin:

Halla la suma de los factores primos de:

x4- 26x2+25

Resolucin:

Factoriza: M(x) = (x -1)4+(x - 1)2- 6

e indica la suma de coeficientes de un factor

primo.

Resolucin:

Halla un factor lineal de:

x6+ 28x3+ 27

Resolucin:


36/76



Rpta:

6

Rpta:

5


Calcular el nmero de las facturas primas

lineales de:

P(x) = x4- 6x3+ 19x2- 38x + 24

Resolucin:

Factoriza:

a2x2+ (a3+ a2b + 1)x + a +b


Resolucin:

7. Factoriza:

x3-2x2-5x + 6

e indica la suma de factores primos.

8. Dado el siguiente polinomio:

x2

+ (2a + 7)x + a2

+ 7a + 10 seala uno de los factores.

9. Factoriza:

x8+ x4+ 1


10. Cuntos factores primos se obtiene al facto-

rizar P(x)?

P(x) = x8+ x4-2

11. Factoriza:

P(x) = 6x2n+1

+5xn+1

-6x e indica un factor primo.

12. Factoriza:

M(x)= x(x +2)(x-1)+ 4(x2-6)



37/76

40



ara reforzarP

1. Factoriza:

x3-8x2+ 13x -6

e indica un factor primo

a) x + 6 b) x -6 c) x -3

d) x + 5 e) x -10

2. Factoriza:

P(x;y)=(x -y)3-(x -y)2-2(x -y)


a) x-y+3 b) x-y+2 c) x-y+1

d) x-y-8 e) x

3. Factoriza:

P(x) = (x+1)4-5(x +1)2+4


a) x b) x + 7 c) x + 8

d) x + 9 e) x + 12

4. Factoriza:

x3+6x + 14x+15


a) x + 2 b) x -21 c) 3 -x

d) x + 3 e) x -3

5. Factoriza y seala un factor primo de:

F(x) =x3- 4x2-13x - 8

a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3

d) x + 4 e) x + 5

6. Factoriza:

2x3+ x2+x -1

e indica el factor lineal.

a) x-1/2 b) 2x+1 c) x+1/2

d) 2x - 1 e) x+2

7. Factoriza:

P(x,y)=25x4 - 109x2y2 +36y4,

indicando la suma de sus factores primos.

a) 10x b) 12x+10y c) 12x

d) 10y e) 5x-3y

8. Factoriza:

mnx2+ (m2+ n2)x + mn

y halla un factor primo.

a) mx + m b) x + 1 c) nx + n

d) mx+n e) x+2

9. Factoriza:

3(x2+ 2xy + y2) -4x -4y + 1


a) 3x+3y+1 b) x + y + 1 c) x + y -1

d) 3x + 3y e) x + y

10. Factoriza:

P(x)= x4+2x3- 2x2+ x + 6

y seala la suma de los factores primos lineales.

a) 2x -1 b) 2x+1 c) 3x -2

d) 3x +2 e) 4x+3

11. Seala la suma de los factores primos de: M(a;b;c)= a4- 2(b2+c2)a2+(b2- c2)2

a) 2a b) 4a c) 2b

d) 3c e) 5b

12. Hallar un factor primo de:

x4+ 7x3+ 9x2- 7x - 10

a) x - 1 b) x- 5 c) x + 5

d) x - 2 e) x2+ x + 5


38/76

LGEBRA

Secundaria5

SegundoBimestre


39/76

Pg

Captulo 43

Captulo 51

Captulo 57

Captulo 63

Captulo 69

Captulo 74

7. Matrices I

8. Matrices II

9. Determinantes

10. Sistema de Ecuaciones Lineales

11. Sistemas No Lineales

12. Inecuaciones Fraccionarias y de Grado Superior

ndice


40/76



lgebraCAPTULO

7 Matrices I

ORDEN DE LA MATRIZ

DEFINICINSe define una matriz como un arreglo rectangular deelementos ordenados en filas y columnas.

As una matriz tiene la siguiente forma general:

Donde: a11

, a12

, ..., a21

, ..., am1

, am2

, ..., amn

se llaman

elementos de la matriz A. Adems aij es el elemento

Ejemplo:

Escribe explcitamente la matriz:A = (a

ij)

2x3/ a

ij= 2i -j

ubicado en la fila i, columna j.

Si una matriz tiene m filas y n columnas, entonces sedice que esta matriz es de dimensin u orden m x n (nose efecta).

As la matriz A, se puede denotar:

A = (aij)mxn

donde: m, n Z+

i = {1; 2; 3; ... ; m} j = {1; 2; 3; ... ; n}

TIPOS DE MATRICES

Es aquella matriz que tiene una sola fila, es decir, es deorden 1 x n.

2. MATRIZ FILA

Ejemplo:

B = (2 -4 6)1x3

Es aquella matriz cuyos elementos son iguales a cero yse denota por .

3. MATRIZ NULA

Ejemplo:

=0 0 0

0 0 0

Es aquella matriz que tiene una sola columna, es decir,es de orden m x 1.

1. MATRIZ COLUMNA

Ejemplo:

A =

3x1

53-1

A =

a11

a12

... a1j

... a1n

a21

a22

... a2j

... a2n

ai1

ai2

... aij ... a

in

am1

am2

... amj

... amn

Filas

Columnas

Es aquella matriz cuyo nmero de filas es igual al nmerode columnas. Se denota: A = (a

ij)

nxno A = (a

ij)

n.

4. MATRIZ CUADRADA

Ejemplo:

A =3 4 -15 2

-6

7 3 1

Diagonal secundaria

Diagonal principal


41/76

44



Traza de una matriz cuadrada

Es la suma de los elementos de su diagonal principal.

Sea la matriz:

nA = (a

ij) Traz(A) = a

ii i=1

As, en el ejemplo anterior: Traz(A) = 3 + 2 + 1 = 6

Casos particulares de una matriz cuadrada

a. Matriz triangular superior

Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentrandebajo de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a

ij)

nes una matriz triangular superior si

aij= 0; i > j.

Ejemplos:

A = ; B =-4 0 30 6 20 0 1

3 70 5

b. Matriz triangular inferior

Es aquella matriz cuyos elementos que se encuentranencima de la diagonal principal son iguales a cero, esdecir, A = (a

ij)

nes una matriz triangular inferior si a

ij

= 0; i < j.

Ejemplos:

A = ; B =5 0 00 2 07 1 6

1 02 4

c. Matriz diagonal

Es aquella matriz que simultneamente es triangularsuperior e inferior, es decir, todos los elementos fuerade la diagonal principal son ceros.

A = (aij)

nes una matriz diagonal si a

ij= 0; i j.

Ejemplos:

A = ; B =2 0 00 6 00 0 8

7 00 5

d. Matriz escalar

Ejemplos:

A = ; B =3 0 00 3 00 0 3

6 00 6

Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de ladiagonal principal son iguales, es decir:

A = (aij)

nes una matriz escalar si a

ij=

k; i = j

0; i j

e. Matriz identidad

Ejemplos:

I2= ; I3=

1 0 0

0 1 00 0 1

1 0

0 1

Es aquella matriz escalar, cuyos elementos de la diagonalprincipal son iguales a la unidad y se denota por I

n.

In= (a

ij) / a

ij=

1; i = j

0; i j

Dos matrices son iguales s y slo s son del mismo ordeny todos sus respectivos elementos son iguales.As, dadas las matrices:

RELACIONES ENTRE MATRICES

1. IGUALDAD DE MATRICES

A = (aij

)mxn

; B = (bij

)mxn A = B a

ij= b

ij: i; j

Calcula x -y si las matrices son iguales.

A = ; B =x -3y x 1 y

Ejemplo:

2 6 -y1 6 -x

La transpuesta de una matriz A (de orden m x n) es unamatriz denotada por At( de orden n x m) que se obtienecambiando las filas por las columnas de la matriz A.

2. TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ


42/76



Ejemplo:

A = At=2 35 4-

1 6

2 5 -13 4 6

Dos matrices son opuestas si son del mismo orden yadems sus respectivos elementos son opuestos.

3. MATRICES OPUESTAS

Ejemplo:

A = su opuesta es:

-A =

2 -1 30 6 -11 4 1

-2 1 -30 -6 1-1 -4 -1

Si una matriz es igual a su transpuesta, se llama matrizsimtrica.

4. MATRIZ SIMTRICA

Ejemplo:

A = At=

como: A = AtA es simtrica.

7 3 23 -1 42 4 -5

7 3 23 -1 42 4 -5

Si una matriz es igual al negativo de su transpuesta, se

llama antisimtrica.

5. MATRIZ ANTISIMTRICA

Ejemplo:

A = AT=

-AT=

como: A = -AtA es antisimtrica.

0 2 -3-2 0 43 -4 0

0 -2 32 0 -4-3 4 0

0 -2 32 0 -4-3 4 0

OPERACIONES CON MATRICES

Sean las matrices:

A = (aij)mxn; B = (bij)mxn

luego la matriz suma de A y B es:

A + B = (aij+ b

ij)

mxn

1. ADICIN DE MATRICES

Ejemplo:

A = ; B =

A + B = =

4 -11 5

3 2

-5 63 2

2-4

-1 54 75 -2

4-5 -1+61+3 5+23+2 2-4

Observacin

* A -B = A + (-B)

* A + = + A = A* A + B = B + A

* (A + B) + C = A + (B + C)

Las matrices se utilizan en el clculo numrico en la

resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de lasecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Adems de su utilidad para el estudio de sistemas

de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de

forma natural en geometra, estadstica, economa,

informtica, etc.

La utilizacin de matrices (arrays) constituye

actualmente una parte esencial de los lenguajes

de programacin, y que la mayora de los datos se

introducen en los ordenadores como tablas organizadas

en filas y columnas; hojas de clculo, bases de datos,

entre otros.


43/76

46




1 32 14 -1

Reemplazando las matrices:

3 -2 +

efectuando:

+ +

+

Resolucin:

1. Dadas las matrices:

A = ; B = ;

C =

calcula 3A -2B + C.

1 4

0 3

-1 0

1 22 1-1 0

1 40 3

-1 01 2

2 1-1 0

3 120 9

2 0-2 -4

2 1-1 0

5 12-2 5

2 1-1 0

7 13-3 5

2. Dado el polinomio:f(x)

= 3x2-5x -2 y adems

A = . Halla f(A)

.1 2

3 1

Reemplazando el valor x = A, en el polinomio y laidentidad 1 del polinomio por I (matriz identidad),obtenemos:f(A)

= 3A2-5A -2I

Calculamos:

A2= A . A =

=

Luego:

f(A)

= 3 -5 -2

f(A)

= + +

Resolucin:

1 23 1

1 23 1

7 46 7

7 46 7

1 23 1

1 00 1

21 1218 21

-5 -10-15 -5

-2 00 -2

14 23 14

sumando las matrices obtenemos:

f(A)

=

Resolucin:

3. Construye la matriz:A = (a

ij)

2x3/

aij= i + j ; i j

aij= i . j ; i < j

A =

A =

A =

a11

a12

a13

a21

a22

a23

1+1 1x2 1x32+1 2+2 2x3

2 2 3

3 4 6

Resolucin:

3A =

2I =

3A -2I =

4. Sea la matriz:

A = , calcula 3A -2I.-1 2 13 2 11 -2 0

-3 6 3

9 6 3

3 -6 0

2 0 0

0 2 0

0 0 2

-5 6 3

9 4 3

3 -6 -2

5. Si:

x + y = x -y =

calcula xT.

Resolucin:

3 -1-4 -12 3

x + y =

x -y =

1 32 1

4-

1

3 -1-4 -12 3

2 -1 3

1 0 1

(2x) = .

x =

xT=

12

4 2-2 06 2

12

2 1-1 03 1


44/76



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Construir la matriz: A = [aij]

2 3/

Resolucin:

Dada:

A =

Calcular: 3A 2I

Resolucin:

Si: X + Y = X Y =

Hallar: Xt

Resolucin:

Si:

Hallar la traza de (A2).

Resolucin:

ji:si;ijaji:si;jia

ij

ij


45/76

48



Rpta:

6

Rpta:

5


Dada la matriz:

Adems: P(x) = x2 5x +2Dar la suma de elementos de P

(A).

Resolucin:

Hallar la inversa de la matriz:

Resolucin:

9. Si la matriz:

es simtrica. Hallar x - y + z

10. Dada la matriz:

A =

Hallar la suma de los elementos de la matriz

conmutable con A, cuya determinante sea 35 y

cuya traza sea 12.

7. Hallar la suma de los elementos de X, tal que:

X . =

8. Sean las matrices:

Hallar A + C, si: A = B

=

10

12A

=

93

21A

12

12-

04-

52-

y21x

x2y5B;

2y3

y1x2A

+

=

=

.14

52C

=

65x

z1-2

3y-1

11

02


46/76



ara reforzarP

11. Dada la matriz:

Calcular la suma de elementos de "An".

12. Dada la matriz:

A =

Calcular la suma de los elementos de: A40.

1. Hallar:

(x y)(z w)

si:

a) 1 b) 2 c) 4

d) 6 e) 3

2. Dados:

A = B =

Si:

P(x, y)

= 2x y + 3

Determinar: P(A, B)

a) b) c)

d) e)

3. Dados:

A = B =

Determinar AB

a) b) c)

d) e)

4. Hallar la matriz inversa de:

A =

sealar la traza de dicha matriz inversa.

a) 1 b) 2 c) 7

d) 5 e) 10

=

21

03A

003

200

010

=

+ 62

21

ywx-z

y-wz-2x

1-3-

44

14

33

11-

44

44

2-2

33

1-1-

01-

21

21-

01

42-3

3-12

21

32

11

42

10

52

21-

63

1-1

53

1-1

51

2-2

27

28


47/76

50



9. Hallar los valores de "a", "b", "c" y "d", tal que:

Dar como respuesta "a + b + c + d".

a) 0 b) 1 c) 2

d) 2 e) 3


Si: A = B, hallar 3A + 2C

a) b) c)

d) e)


Calcular: At+ B

a) b) c)

d) e)

12. Dada la matriz A, calcular: A3 6A.

A =

a) A b) 2 A c) 2 I

d) 3 I e) 4 I

5. Hallar la matriz "X" que resuelve:

Dar como respuesta la suma de sus elementos.

a) 2 b) 1 c) 3

d) 7 e) N. A.

6. Si:

y F(x)

= x2 3x + 2

Hallar la suma de elementos de la diagonal prin-cipal de F

(A).

a) 2 b) 14 c) 16

d) 18 e) N. A.

7. Si:

Hallar x + y + z

a) 1 b) 2 c) 3

d) 6 e) N. A.

8. Resolver el sistema:

x 2y = A

2x + 3y = B

Donde: x, y K2x2 Adems:

Hallar "x".

a) b) c)

d) e) N. A.

=

37

411X.

12

31

=21

21A

=

3

5

8

z

y

x

011

102

210

=

=

87

812B

47

36A

41

16

63

20

16

41

03

02

+

=2

1d34c2

4b2a

AA 2t

=

31

12A

yx61

y62B;

y1

xy3xA

=

=

=

32

84C

97

11

96

92

67

12

98

12

97

12

ji1b

ji0b)b(B

ji2aji1aji0a

)a(A

ij

ij

2x3ij

ij

ij

ij

3x2ij

=

===

>=


48/76



lgebraCAPTULO

8Matrices II

MULTIPLICACIN DE MATRICES

Ejemplo:

Definamos el producto de multiplicar un escalar(cualquiera) por una matriz de un cierto orden, comoaquella matriz del mismo orden cuyos elementos seencuentran multiplicando por ese escalar. Sea:

1. MULTIPLICACIN DE UN ESCALAR POR UNAMATRIZ

A = (aij)mxn

kA = (kAij)mxn

/ kR

Sea A =

(-6)A =

=

1 3

0-2

4 2

-6(1) -6(3)-6(0) -6(-2)-6(4) -6(2)

-6 -180 12-24 -12

Definimos el producto de multiplicar la matriz A =(a

ij)

mxrpor la matriz B = (b

jk)

rxn(en ese orden),

a la matriz denotada por AB = C = (cik)mxn. Donde elelemento c

ikse calcula multiplicando la i-sima fila de

A por la k-sima columna de B.

Es decir:

2. MULTIPLICACIN DE DOS MATRICES

nAB = C = (c

ik)mxn

/ cik= a

ij. b

jk j=1

Ejemplo:

Sean A =2x2

;

B =

2x3

C = AB =

2 -36 4

-1 0 1

5-

2 3c

11 c

12 c

13c

21 c

22 c

23

-17 6 -714 -8 18

POTENCIACIN DE MATRICES

* Dado una matriz cuadrada A y n N / n 2; definimos:

DEFINICIONES

An= A A ... An veces

Sean A y B matrices del mismo orden.

* Si AB = BA se dice que A y B son conmutativas.

* Si AB =-BA entonces A y B son anticonmutativas.

* matriz AA1= A

c11

= 2(-1) + (-3)(5) = -17

c12

= 2(0) + (-3)(-2) = 6

c13

= 2(1) + (-3)(3) = -7

c21

= 6(-1) + 4(5) = 14

c22

= 6(0) + 4(-2) = -8

c23

= 6(1) + 4(3) = 18

\ C =

Sean A, B y C matrices del mismo orden y {; }escalares para los cuales estn definidas las operaciones demultiplicacin con una matriz.Entonces se verifican:

I. A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) (A + B) = A + B (+ )A = A + A -A = (-1)A

II. A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC

A(B + C) = AB + AC AB = 0 no implica que A = 0 B = 0 AB = AC no implica que B = C

PROPIEDADES


49/76

52



Como A y B son conformes a la multiplicacin, sea:C = AB = [a

ib

j]

3x3donde a

ies la i-sima fila de A y

bjes la j-sima columna de B.

Entonces:traza(AB) = a

1b

1+ a

2b

2+ a

3b

3

traza(AB) = (8 -2) + (-8 -2) +(0 + 3) = -1

\ traza(AB) = -1

Resolucin:

1. Si A = y B = halla traza(AB).2 -1-1 20 1

4 8 12 -1 3


Resolucin:

2. Siendo A = y B = , calcula

AB y BA.

1 -1 1

-3 2

-1

-2 1 0

1 2 3

2 4 61 2 3

* AB =

= = 0 (Matriz nula)

Ntese que AB = 0 no implica que necesariamente A = 0 B = 0.

* BA =

=

De donde AB BA, en forma general.

1 -1 1-3 2 -1-2 1 0

1 2 32 4 61 2 3

0 0 00 0 00 0 0

1 -1 1-3 2 -1-2 1 0

1 2 32 4 61 2 3

11 6 -1-22 12 -2-11 6 -1

3. Demuestra que las matrices son

permutables; a; b; c y d.

Resolucin:

Siendo P = y Q =

deseamos demostrar que PQ = QP

PQ =

=

QP =

=

a bb a

c dd c

a bb a

c dd c

a bb a

c dd c

ac+bd ad+bcbc+ad bd+ac

c dd c

a bb a

ac+bd bc+adad+bc bd+ac

a bb a

c dd c

Resolucin:

Calculemos previamente A2y B2.

A2=

=

= A A2= A

B2=

=

= B B2

= B

Adems, observa que A + B = I.

Luego (A + B)2= I2= I A2+ B2= A + B = I

4. Dadas las matrices

A = ; B =

calcula (A + B)2y A2+ B2.

2 -3 -5-1 4 51 -3 -4

-1 3 51 -3 -5-1 3 5

2 -3 -5-1 4 51 -3 -4

-1 3 51 -3 -5-1 3 5

2 -3 -5-1 4 51 -3 -4

2 -3 -5-1 4 51 -3 -4

-1 3 51 -3 -5-1 3 5

-1 3 51 -3 -5-1 3 5

Los ordenadores analgicos comenzaron a construirse

a principios del siglo XX. Los primeros modelos

realizaban los clculos mediante ejes y engranajes

giratorios. Con estas mquinas se evaluaban las

aproximaciones numricas de ecuaciones demasiado

difciles como para poder ser resueltas mediante

otros mtodos. Durante las dos guerras mundiales se

utilizaron sistemas informticos analgicos, primero

mecnicos y ms tarde elctricos, para predecir la

trayectoria de los torpedos en los submarinos y para el

manejo a distancia de las bombas en la aviacin.

Luego PQ = QP P y Q son conmutables opermutables,

y son conmutables o permutables.


50/76



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Si A = ; B = ;

C =

Halla X, si: 2(X -3A) = (B -C) + 4(X -A-B)

Resolucin:

Sea la matriz A = (aij)

2x2 definida de la

siguiente forma:

aij

Halla la traza de A.

Resolucin:

Si: A = (aij)4x3/ aij=

Calcula la suma de los elementos de A.

Resolucin:

Escribe explcitamente la matriz:

A = (aij)2x3

/ aij=

Resolucin:

1 23 4 4 32 1

2 34 5

i -j ; i < j ij ; i = ji + j ; i > j

2 ; i = j-1 ; i j

3i-j ; i j i -j ; i < j


51/76

54



Rpta:

6

Rpta:

5


Sea: A = , B =

y C = ;

Halla (ABC)

Resolucin:

Sea P(x) = x2+ 2x + 1

Halla P(A) si: A =

Resolucin:

9. Sea A = , B =

y C = ;

donde A3+ B3= C, halla a + b + c + d

10. Dado P(x) = x2-6x + 7, halla n sabiendo que

P(A) = nI, donde:

A =

7. Sea P(x) = x2+ 3, halla P(A)

Si:

A =

8. Dado A =

y P(x) = x2+ 2x + 1, halla: P(A) + A2

1 01 1

2 01 1

2 13 1

1 20 0

1 13 1

3 02 1

1 10 0

1 00 0

a bc d

5 m0 1


52/76



ara reforzarP

11. Calcula la traza de (A . B) si:

A =

B =

12. Halla la matriz X que resuelve:

. X =

Da como respuesta la suma de sus elementos.

1. Si:

A =

Halla f(A) sabiendo que f(x) = x3-x2+ x + 3.

a) b) c)

d) e)

2. Dada la matriz A, calcula A3-6A.

A =

a) A b) 2A c) 2I

d) 3I e) 4I

3. Sea:

A = , B =

y C = ;

Halla ABC.

a) b) c)

d) e)

4. Sea:

A = , B =

y C = ;

Halla xy + zw si A3+ B3= C.

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

senq cosq-cosq senq

senq -cosqcosq senq

1 32 1

11 47 3

5 -73 -4

11 -146 -7

10 -146 8

-11 -14-6 -7

3 00 3

5 -73 -4

2 21 0

1 12 3

1 00 2

3 02 1

3 00 6

7 20 8

7 218 6

7 28 6

6 27 9

1 00 1

2 01 0

x yz w


53/76

56



9. Calcula a + b + c + d si:

A = , B =

C = , AB = C

a) 5 b) 10 c) 15

d) 20 e) 25

10. Calcula la matriz X, tal que A31+XB32=XA33;

donde:

A = ; B =

a) d) b)

e) c)

11. Si X + Y = ,

X -Y = , halla XT.

a) b)

c)

d) e)

12. Se tiene la matriz M = ;

entonces el valor de M1003es:

a) a1003 b) a1003

c) a1003

d) a1003 e) a1003

5. Dadas las matrices:

C = y D =

entonces puedes afirmar que (C8. D9) es:

a) b) c)

e) e)

6. Si:

A =

Halla la suma de los elementos de la matriz A15.

a) 915+ 815 b) 2 . 915 c) 915-815

d) 2 . 815 e) 0

7. Si: A2

= , B2

= ,

AB = y BA = ;

Calcula (A -B)2.

a) b) c)

d) e)

8. Dada la matriz:

A =

y la funcin f(x) = x2-x -1, halla traz(f(A)).

a) 5 b) 7 c) 10

d) 14 e) 17

9 10 8

3 -2

1 3

-3 2

1-3

0 11 0

1 01 -1

-1 -11 0

-1 01 -1

-1 11 0

-1 -10 1

-1 -11 0

4 31 2

2 5

5 13

a b

c d1 00 1

1 01 0

1 10 0

0 1-1 1

0 10 1

0 -11 1

1 11 0

0 -11 1

1 2 43 1 -1

1 32 1

4-1

3 -1-4 -12 3

-1 3 12 1 -2

2 -1 31 0 1

-1 -1 33 0 2

1 1 22 -1 0

0 -aa 0

1 00 1

0 1

-1 0

-1 00 -1

0 -11 0

1 -1

0 1

1 0

1 1

1 1

0 1

1 98 73

71 89 1

72 89 1

73 98 1

71 98 1


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lgebraCAPTULO

9 Determinantes

Sea B = (bij)

3

B =

=b11

-b21

+b31

DEFINICIN DEL DETERMINANTE PARA UNA:

DEFINICINEl determinante viene a ser una funcin que aplicada a unamatriz cuadrada lo transforma en un escalar. Usualmenteel determinante de una matriz cuadrada A lo denotamospor |A| o det(A).

Ejemplo:

Sea A = (-4) |A| = -4

Se llama determinante de una matriz de primer orden,formada por el elemento a, al propio elemento a.

1. MATRIZ DE ORDEN UNO

Ejemplo:

2. MATRIZ DE ORDEN DOS

Sea M = |M| =

= 3(7) -(5)(-4) = 41

3 -45 7

3 -45 7

3. MATRIZ DE ORDEN TRES

b11

b12

b13

b21

b22

b23

b31

b32

b33

b22 b23b

32 b

33

Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden:

1. det(A + B) det(A) + det(B)

2. det(AB) = det(A) det(B)

3. det(A) = det(At)

4. Un determinante en el que los elementos de dos

columnas (o filas) son respectivamente proporcionales,

es igual a cero.

5. Cuando se permutan dos columnas (o filas) el

determinante cambia de signo.

6. Un determinante en el cual todos los elementos de una

fila o columna son ceros; es igual a cero.

7. Si se multiplican todos los elementos de una fila (o

columna) del determinante por un escalar, el mismo

determinante queda multiplicado por dicho escalar.

8. El determinante no vara si a todos los elementos de una

fila (o columna) se le aade el mltiplo de otra fila (o

columna).

9. Si a todos los elementos del determinante se le multiplica

por un escalar a, el determinante de la matriz queda

multiplicado por andonde n es el orden de la matriz.

PROPIEDADES

Sea A = (aij)

2

|A| = = a11

a22

-a21

a12

a

11 a

12

a21

a22

b12 b13b

32 b

33

b12 b13b

22 b

23


55/76

58



Efectuando las siguientes transformaciones: c1 - c

2 ;

c2-c

3; c

3-c

4y c

4-c

5, se obtiene:

|A| =

= 1 . 2 . 3 . 4 . 5

|A| = 5! = 120

Resolucin:

1. Calcula |A| =

5 4 3 2 18 8 6 4 29 9 9 6 3

8 8 8 8 45 5 5 5 5

1 1 1 1 10 2 2 2 20 0 3 3 30 0 0 4 4

0 0 0 0 5

Sumando todas las columnas en la primera y luego,sacando factor comn, se tiene:

|A| =

= 10 .

Resolucin:

2. Calcula |A| =

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

10 2 3 410 3 4 110 4 1 210 1 2 3

1 2 3 41 3 4 11 4 1 21 1 2 3

Restando la primera fila de las dems y luego f3-2f2yf4+ f

2, resulta:

|A| = 10 .

= 10 .

Luego:|A| = 10 . 1 . 1 . (-4)(-4)

\ |A| = 160

1 2 3 40 1 1 -30 2 -2 -20 -1 -1 -1

1 2 3 40 1 1 -30 0 -4 40 0 0 -4

Sumando todas las filas a la primera y luego sacandofactor comn de sta, se tiene:

|A| =

= (a+b+c)

Restando la primera columna de las otras:

|A| = (a+b+c)

Luego:|A| = (a+b+c)(-a-b-c)(-a-b-c)

|A| = (a + b + c)3

Resolucin:

3. Halla |A| =a-b-c 2a 2a 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b

a+b+c a+b+c a+b+c 2b b-c-a 2b 2c 2c c-a-b

1 1 12b b-c-a 2b2c 2c c-a-b

1 0 02b -a-b-c 02c 0 -a-b-c

4. Halla x.

= 0

1 1 1 1x a 0 0x 0 b 0x 0 0 c

Resolucin:

Efectuando f4-cf

1, se tiene:

= 0

1 1 1 1 x a 0 0

x 0 b 0x-c -c -c 0

Desarrollando por la regla de Sarrus:ab(x -c) + bcx + acx = 0

Luego: x =

abcab + bc + ac

x a 0x 0 bx-c -c -c

- = 0



56/76



Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3


Hallar el determinante de la matriz:

Resolucin:

Si:

= 0

Calcular:

Resolucin:

Si A es de orden 4 y |A| = 2. Calcular elvalor de |2A|.

Resolucin:

Calcular el determinante:

Resolucin:

=

987

654

321

A

dc

ba

dcc

baa

ddc

bba

++

+++

1004925

1075

111


57/76

60



Rpta:

6

Rpta:

5


Si:

Obtener "x + 1".

Resolucin:

Si:

Calcular: |X|

Resolucin:

9. Hallar la solucin de la ecuacin:

10. Resolver:

7. Resolver:

8. Calcular x si se cumple lo siguiente:

425

271

6x3

128

=

=

04-

52-X.

1-1

23

6

1110x

312

xx3

=+

senx cosx 1; x y

seny cosy 2 3

= + =

x 1 x x

x x 2 x 0

x x x 3

+ =+

3 2 1

1 x 2 2

1 2 1

=


58/76



ara reforzarP

11. Hallar: 12. Hallar los valores de "k" para los cuales:

1. Calcular:

a) a3+ b3+ c3

b) a3bc + b3ca + c3ab

c) a2+ b2 + c2

d) a3 + b3 + c3 - 3abc

e) a3 + b3 + c3 + 3abc

2. Hallar el valor de x:

= 0

a) 1 b) 2 c) 3

d) 1 e) 2

3. Calcular:

a) 8 b) 6 c) 7

d) 14 e) 16

4. Calcular el valor de:

a) - 2 b) 6 c) 15

d) 12 e) 30

7313

5636

2828

1545

0

8k4

2k2kk

721

=+

acb

bac

cba

231

110

12x

252623

343735

111

8321

0342

1211

3321


59/76

62



9. Calcular:

a) m b) n c) m+n

d) mn e) mn

10. Calcular:

a) m b) n c) m+n

d) m n e) 2m

11. Si x cumple la igualdad:

halle y de la siguiente igualdad:

a) 1 b) 0 c) 1

d) 2 e) 3

12. Calcular:

a) 120 b) 110 c) 100

d) 90 e) 80

5. A que es igual:

a) (b c) (c a) (a b)

b) abc (a + b + c)

c) a2+ b2+ c2

d) ab + ac + bc

e) abc (ab + ac + bc)

6. Calcular:

a) x + y + z

b) (x + y + z)

c) x2+ y2+ z2+ 1

d) x2+ y2+ z2

e) x2+ y2+ z2 1

7. Resolver:

a) 5 b) 3 c) 4

d) 6 e) 2

8. Calcular el valor de la determinante:

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

2

2

2

cc1

bb1

aa1

1xy

x1z

yz1

0

1314x7

1617x311

1011x215

=

812

278

543

|A|

=

1 1 1

1 1 m 1

1 1 1 m+

+

m n 2n m n 2nQ

2m m n 2m m n

+=

+

( )2

2 3 1

x 1 1 x 2

1 x 2

=

x 1 1

2 1 x x

y x 2

=

50000

x4000

xx300

xxx20

xxxx1

|B| =


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lgebraCAPTULO

10 Sistema de Ecuaciones Lineales

SOLUCIN DE UN SISTEMA

Conjunto de valores de todas sus incgnitas que al sersustituido en las ecuaciones las convierten en identidades.

SISTEMAS

Es el conjunto de ecuaciones que verifican simultneamentepara los mismo valores de sus incgnitas.

Conjunto Solucin (C.S.)

Es la unin de todas las soluciones de un sistema.

Ejemplo:

* x + y = 9x -y = 3

Solucin: (6; 3) C.S. = {(6; 3)}

* x2+ y2= 13x . y = -6

Solucin: (3; -2)(-3; 2)(2; -3) (-2; 3)

C.S. = {(3; -2)(-3; 2)(2; -3)

(-2; 3)}

Sistema de Ecuaciones Lineales

Es el sistema en el cual cada una de sus ecuaciones es deprimer grado.

Ejemplo:

* a1x

1+ b

1x

2+ c

1x

3= d

1

a2x

1+ b

2x

2+ c

2x

3= d

2

a3x1+ b3x2+ c3x3= d3 Solucin: (r, s, t)

Incgnitas: x1, x

2, x

3

Coeficientes: a1, a

2, a

3, ..., d

1, d

2, d

3

Para resolver estos sistemas se utilizan generalmente los

siguientes mtodos:

1. Reduccin (Gauss)

2. Sustitucin

3. Igualacin

4. Determinantes (regla de Cramer)

5. Matricial

6. Por grfico

Sistema de dos Ecuaciones con dos incgnitas

Regla de Cramer:

Sea el sistema :

a1x + b

1y = c

1 a

2x + b

2y = c

2

El conjunto solucin es:

donde:Dsistema = Determinante del sistema Dx = Determinante de x Dy = Determinante de y

Dsistema = = a1b

2-a

2b

1

Dx = = c1b

2-c

2b

1

Dy = = a1c

2-a

2c

1

a1 b

1

a2 b

2

x = DxDsistema

y = DyDsistema

;

c1 b

1

c2 b

2

a1 c

1

a2 c

2


61/76

64



Ejemplo:

Resuelve: 5x + 3y = 5

4x + 7y = 27

x = =

= = -2

y = =

= = 5

5 x 7 -27 x 35 x 7 -4 x 3

5 327 7

5 3

4 7

35 -8135 -12

5 x 27 -5 x 45 x 7 -4 x 3

5 5

4 27

5 3

4 7

135 -2035 -12

CLASIFICACIN DE LOS SISTEMAS

1. Sistema Compatible

Es aquel sistema que admite por lo menos una solucin.Estos sistemas pueden ser:

a. Sistema Compatible Determinado

Se conoce as cuando el nmero de soluciones eslimitado, generalmente un sistema es de este tipocuando el nmero de ecuaciones es mayor o igual alnmero de incgnitas.

Ejemplo:

2x + 10y = 12

8x -7y = 5

b. Sistema Compatible Indeterminado

Es cuando el nmero de soluciones es ilimitado;generalmente un sistema es de este tipo cuando elnmero de ecuaciones es menor que el nmero deincgnitas.

Ejemplo:

x + y + z = 1 0

2 x + 3 y + 5 z = 2 0

2. Sistema Incompatible

Es aquel sistema que no admite solucin.

Ejemplo:

x + y + z = 9 y -z + 2x = 9

2x -y = 1

ANLISIS GRFICO DEL SISTEMA

a1x + b

1y = c

1

a2x + b

2y = c

2

1. Determinado

Si:

y

x

(x0, y

0)

[2] [1]

a1

a2

b1

b2

Solucin nica

2. Incompatible Si:

a1

a2

b1

b2

=c

1

c2

y

x

[2]

[1]

Las rectasson paralelas

3.Indeterminado

Si:

a1

a2

b1

b2

=c

1c

2=y

x

[2]

[1]

Las rectas estnsuperpuestas

Si multiplicamos la ecuac

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