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MATEMÁTICAS

Matemáticas 3. Libro de recursos para el profesor es una herramienta de gran utilidad para propiciar el aprendizaje tanto dentro como fuera del aula. Además de contener los fundamentos teóricos más importantes para adquirir los aprendizajes esperados, la obra incluye estrategias didácticas que facilitan el desarrollo de las habilidades y actitudes necesarias para construir las competencias. De esta manera, los alumnos descubrirán que estudiar Matemáticas puede ser tan apasionante como sencillo, y que gracias al conocimiento podrán participar de manera informada y reflexiva en el conocimiento del mundo donde viven.

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e Arte y Diseño Humberto Ayala Santiago

La presentación y disposición en conjunto y de cada páginade Matemáticas 3. Libro de recursos para el profesorson propiedad del editor. Queda estrictamente prohibidala reproducción parcial o total de esta obra por cualquiersistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2014 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México.

ISBN: 978-607-01-2123-4Primera edi ción: febrero de 2014Tercera reimpresión: octubre de 2016

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. Núm. 802

Impreso en México /Printed in Mexico

Direcció

n General d

e Contenidos Antonio Moreno Paniagua

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3. Lib

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ursos para el

profesor fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Autores del libro del alumnoMaría Trigueros Gaisman, María de los Dolores

Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney,

María de las Mercedes Cortés LascurainAutoras del libro de recursos para el profesor

Karla Ayala SánchezCoordinación de MatemáticasMa. del Pilar Vergara Ríos

Colaboración en evaluaciones tipo PISA Karla Ayala Sánchez

Edición Rubén García Madero, Leticia Martínez Ruiz,

Zoraida Reyes González y Laura Martínez Jurado Asistencia editorial

Enrique Martínez Sánchez y Ana Victoria Moreno AyapantecatlCorrección de estilo

Pablo Mijares Muñoz, Ramona Enciso Centeno, Ana Linda Sesma Castro y Mónica Méndez García

Edición de RealizaciónHaydée Jaramillo Barona

Edición digitalMiguel Ángel Flores Medina

Diseño de portadaRaymundo Ríos Vázquez

Diseño de interiores Beatriz Alatriste del Castillo y Gil G. Reyes Ortiz

Diagramación Héctor Ovando Jarquín

Iconografía Miguel Bucio

Fotografía Olivia Vivanco, Thinkstock.com, Shutterstock.com, Durga Archivo Digital,Photostock.com, Latinstock, NASA, Juan José Morín García, Procesofoto

Ilustración Héctor Ovando, Héctor Medina, Gerardo Sánchez, Gustavo del Valle,

Margarita Palacios, Marcelo Gómez, Kathia Recio, Ricardo Ríos DelgadoDigitalización

María Eugenia Guevara, Gerardo Hernández

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Presentación

Estimado profesor:

Editorial Santillana pone en sus manos el libro Matemáticas 3. Libro de recursos para el profesor, que le proporciona los si-guientes apartados para apoyar su trabajo con el texto del alum-no de la serie Horizontes Santillana:

La Articulación de la Educación Básica. Argumenta los propósi-tos de la reforma curricular de la educación básica.

Una educación basada en competencias. Contextualiza y explica la necesidad de esta nueva forma de enseñanza.

El perfil de egreso de la educación básica. Presenta los rasgos que los estudiantes deberán mostrar al término de la educación básica.

Mapa curricular de la educación básica. En él aparecen las asig-naturas organizadas por nivel y grado, y agrupadas por campo de formación.

El papel del docente. Explica los nuevos retos que tiene ante sí el profesor en una enseñanza basada en competencias.

La evaluación, una propuesta integral. Ofrece una guía para evaluar de manera continua los avances de los estudiantes en las competencias.

Didáctica de las Matemáticas. Desarrolla una propuesta actual sobre la manera de abordar conocimientos, habilidades, actitu-des y valores en una secuencia didáctica propia de la asignatura.

Una secuencia de trabajo para los docentes. Se sugieren pautas para desarrollar el trabajo en el aula.

Estructura del libro del alumno. Se reproducen los apartados del libro del alumno en los que se describe nuestra propuesta didác-tica para trabajar competencias, plasmada en esta nueva serie.

Para el desarrollo didáctico en el aula, le ofrece los siguientes recursos:

Conexiones trabajadas durante el bimestre con otras áreas del currículo.Planeación por secuencia didácticaReproducción del libro del alumno con sugerencias y respuestas.

Acompañamiento didáctico:

Recomendaciones procedimentales. Ofrece información pro-pia de la asignatura para desarrollar actividades. Además, especifica el propósito de aprendizaje de las actividades y propone cómo realizarlas.Respuestas. Sugerencias de respuestas a las actividades del libro

Deseamos que nuestra propuesta educativa lo acompañe en su im-portante labor como formador de individuos competentes para la so-ciedad que buscamos construir.

LOS EDITORES

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Contenido

1Bloque22 86

2Bloque

Planeaciones didácticas 23Reproducción del libro del alumno 30

La Articulación de la Educación Básica 6

La naturaleza y los propósitos de la Articulación 6Una educación basada en competencias 7El perfil de egreso de la educación básica 8Mapa curricular de la educación básica 9El papel del docente 10La evaluación, una propuesta integral 11Didáctica de las Matemáticas 12

Una secuencia de trabajopara los docentes 13Estructura del libro del alumno 14Contenido del libro del alumno 19Desarrollo didáctico 21



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ue3 4Bloque Bloque5

136 198 262Planeaciones didácticas 137Reproducción del libro del alumno 144


Planeaciones didácticas 263Reproducción del librodel alumno 270Solucionario 316Fuentes de información 326


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La Articulación de la Educación Básica

La naturaleza y los propósitos de la Articulación

Mejorar la calidad educativa y responder a las demandas del nue-vo milenio son los propósitos principales de la puesta en marcha de las reformas curriculares de la educación preescolar en 2004, de secundaria en 2006 y de primaria en 2009.

Las reformas curriculares, implementadas de manera indepen-diente, introducen una visión del aprendizaje de los alumnos, de la función de la escuela y de la práctica docente, distinta de la que se sostenía en la educación básica mexicana. En estas refor-mas se reconocen las capacidades de los niños y los adolescen-tes y sus potencialidades para aprender, de tal manera que en los planteamientos curriculares los alumnos son el centro de las pro-puestas formativas y las escuelas se conciben como espacios ge-neradores de experiencias de aprendizaje interesantes y retadoras para los alumnos, que los hacen pensar, cuestionarse, elaborar explicaciones, comunicarse cada vez mejor y aplicar de manera evidente lo que estudian y aprenden en la escuela.

El año 2011 representa la fase de integración de los diferentes momentos de la articulación de la educación básica en México. La Reforma Integral de la Educación Básica (RIEB) es una políti-ca pública que impulsa la formación integral de todos los alumnos de preescolar, primaria y secundaria con el objetivo de favorecer el desarrollo de competencias para la vida y el logro del perfil de egreso, a partir de aprendizajes esperados y del establecimiento de estándares curriculares, de desempeño docente y de gestión.

Implica concebir los niveles de preescolar, primaria y secundaria como un solo trayecto formativo en el que se da continuidad a las competencias que se pretende que los estudiantes desarrollen y, por tanto, a los conocimientos específicos, las habilidades, las actitudes y los valores que se proponen como parte del currículo.

El documento Acuerdo por el que se establece la Articulación de la Educación Básica (2011), organiza en un plan de estudios, los programas de las diferentes asignaturas y los estándares curri-culares correspondientes a los niveles de preescolar, primaria y secundaria.

Tras el proceso de reforma, la educación básica tiene elementos comunes que hacen posible su articulación:

Perfil de egresoEnfoque por competenciasEnfoques didácticos de las disciplinasOrganización curricularAprendizajes esperadosEstándares curricularesEvaluación de los aprendizajes

La Articulación de la Educación Básica es el inicio de una trans-formación que generará una escuela centrada en el logro educati-vo al atender las necesidades específicas de aprendizaje de cada uno de sus estudiantes, para que adquieran las competencias que permitan su desarrollo personal; una escuela que al recibir asesoría y acompañamiento pertinentes a las necesidades de la práctica docente cotidiana genere acciones para atender y preve-nir el rezago, y constituya redes académicas de aprendizaje don-de todos los integrantes de la comunidad escolar participen.


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Actitudes y valores

Una educación basada en competencias Una competencia implica un saber hacer (habilidades) con sa-ber (conocimiento), así como la valoración de las consecuencias de ese hacer (valores y actitudes). En otras palabras, la manifes-tación de una competencia revela la puesta en juego de manera integrada de conocimientos, habilidades, actitudes y valores para el logro de propósitos en contextos y situaciones diversas, de ahí que se utilice la idea de movilizar conocimientos. Lograr que la educación básica contribuya a la formación de ciudadanos con estas características implica plantear el desarrollo de competen-cias como propósito educativo central.

La competencia, entonces, puede ser definida como un tipo de aprendizaje caracterizado por la forma en que cualquier perso-na logra combinar sus múltiples recursos personales (saberes, actitudes, valores, emociones, etc.) para lograr una respuesta sa-tisfactoria a una tarea planteada en un contexto definido. Esta conceptualización del término permite suponer que habrá múl-tiples formas de competencia dependiendo, claro está, de las si-tuaciones que se presenten y de los contextos, así como de los variados niveles dentro de cada una de ellas. Así pues, la variabi-lidad de las competencias introduce un problema suplementario: la identificación y selección de las más adecuadas.

La movilización de saberes se manifiesta tanto en situaciones comunes como complejas de la vida diaria y ayuda a visualizar un problema, poner en práctica los conocimientos pertinentes para resolverlo, reestructurarlos en función de la situación, así como extrapolar o prever lo que hace falta. Por ejemplo: escribir un cuen-to o un poema, editar un periódico, diseñar y aplicar una encues-ta, o desarrollar un proyecto de reducción de desechos sólidos. A partir de estas experiencias se puede esperar una toma de con-ciencia de ciertas prácticas sociales y comprender, por ejemplo, que escribir un cuento no solo es cuestión de inspiración, porque demanda trabajo, perseverancia y método.

Relación entre los conocimientos y las competencias

No hay una sola línea escrita por parte de pensadores o co-lectivos innovadores en contra de la memoria. Lo que sí se

ha planteado es en qué condiciones y en qué momento es ne-cesaria su activación. Por ejemplo, es absolutamente indispen-sable para interiorizar conocimientos factuales (por ejemplo, los momentos clave del proceso de la Revolución Mexicana), pero completamente inútil cuando se trata de aprender conceptos abs-tractos o redes conceptuales que obligan a una gran actividad intelectual.

Las competencias no se contraponen con el conocimiento, más bien, se complementan. La competencia, es la capacidad o habi-lidad para efectuar tareas o enfrentarse con eficacia a situaciones diversas en un contexto determinado. Sin conocimiento no hay manera de ser competente.

Relación entre competencias y habilidades

Las habilidades pueden ser consideradas como unidades integradas de comportamientos y vinculadas a una misma respuesta. Las habi-lidades tanto mecánicas como cognitivas, sociales o afectivas satisfa-cen esta condición y también otra: el proceso de adquisición puede ser un proceso de entrenamiento sin la participación relevante del pensamiento (ya sea en forma de pensamiento reflexivo o crítico). Las habilidades se consolidan como respuestas dadas a contextos definidos y generalmente ante tareas sencillas.

Transmite la

información

Por tanto, hay un desarrollo desvinculado:

Competencia: vincula, integra y pone en marcha los tres componentes.

Conocimientos

Habilidades

Recibe la

información

Enfoques tradicionalesEl profesor El alumno Enfoques por competencia

Conocimientos

Habilidades

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El perfil de egreso de la educación básica El perfil de egreso define el tipo de alumno que se espera formar en el transcurso de la escolaridad básica y tiene un papel prepon-derante en el proceso de articulación de los tres niveles (prees-colar, primaria y secundaria). Se expresa en términos de rasgos individuales y sus razones de ser son:

a) Definir el tipo de ciudadano que se espera formar a lo largo de la educación básica.

b) Ser un referente común para la definición de los componentes curriculares.

c) Ser un indicador para valorar la eficacia del proceso educativo.

El perfil de egreso plantea rasgos deseables que los estudiantes deberán mostrar al término de la educación básica, como garan-tía de que podrán desenvolverse satisfactoriamente en cualquier ámbito en el que decidan continuar su desarrollo.

Dichos rasgos son el resultado de una formación que destaca la necesidad de desarrollar competencias para la vida que, además de conocimientos y habilidades, incluyen actitudes y valores para enfrentar con éxito diversas tareas.

Como resultado del proceso de formación a lo largo de la educa-ción básica, el alumno mostrará los siguientes rasgos:

a) Utiliza el lenguaje materno, oral y escrito para comunicarse con claridad y fluidez, e interactuar en distintos contextos sociales y culturales; además, posee herramientas básicas para comu-nicarse en inglés.

b) Argumenta y razona al analizar situaciones, identifica proble-mas, formula preguntas, emite juicios, propone soluciones, aplica estrategias y toma decisiones. Valora los razonamientos y la evidencia proporcionados por otros y puede modificar, en consecuencia, los propios puntos de vista.

c) Busca, selecciona, analiza, evalúa y utiliza la información pro-veniente de diversas fuentes.

d) Interpreta y explica procesos sociales, económicos, financie-ros, culturales y naturales para tomar decisiones individuales o colectivas que favorezcan a todos.

e) Conoce y ejerce los derechos humanos y los valores que favo-recen la vida democrática; actúa con responsabilidad social y apego a la ley.

f) Asume y practica la interculturalidad como riqueza y forma de convivencia en la diversidad social, cultural y lingüística.

g) Conoce y valora sus características y potencialidades como ser humano; sabe trabajar de manera colaborativa; reconoce, respeta y aprecia la diversidad de capacidades en los otros, y emprende y se esfuerza por lograr proyectos personales o colectivos.

h) Promueve y asume el cuidado de la salud y del ambiente como condiciones que favorecen un estilo de vida activo y saludable.

i) Aprovecha los recursos tecnológicos a su alcance como me-dios para comunicarse, obtener información y construir conocimiento.

j) Reconoce diversas manifestaciones del arte, aprecia la dimen-sión estética y es capaz de expresarse artísticamente.

La escuela en su conjunto, y en particular los maestros y las ma-dres, los padres y los tutores deben contribuir a la formación de las niñas, los niños y los adolescentes mediante el planteamiento de desafíos intelectuales, afectivos y físicos, el análisis y la socializa-ción de lo que estos producen, la consolidación de lo que se apren-de y su utilización en nuevos desafíos para seguir aprendiendo.

El logro del perfil de egreso podrá manifestarse al alcanzar de for-ma paulatina y sistemática los aprendizajes esperados y los están-dares curriculares.

La articulación de la educación básica se conseguirá en la medi-da en que los docentes trabajen para los mismos fines, a partir del conocimiento y de la comprensión del sentido formativo de cada uno de los niveles.


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Mapa curricular de la educación básica El trayecto de la educación básica consta de los siguientes campos formativos y las asignaturas que les corresponden:

EstándaresCurriculares

1.er Periodo escolar 2.° Periodo escolar 3.er Periodo escolar 4.° Periodo escolar

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Campos de formación para la educación

básica

Preescolar Primaria Secundaria

1.° 2.° 3.° 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 1.° 2.° 3.°

Lenguaje y comunicación

Lenguaje y comunicación Español I, II y III

Segunda lengua: Inglés

Segunda lengua: Inglés I, II y III

Pensamiento matemático

Pensamiento matemático Matemáticas I, II y III

Exploración y comprensión del mundo

natural y social

Exploración y conocimiento del mundo

Exploración de la Naturaleza y la Sociedad

Ciencias NaturalesCiencias I (énfasis en Biología)

Ciencias II (énfasis en

Física)

Ciencias III (énfasis en Química)

Desarrollo físico y saludLa entidad donde vivo

Geografía

Tecnología I, II y III

Geografía de México y del

mundoHistoria I y II

HistoriaAsignatura

estatal

Desarrollo personal y para la convivencia

Desarrollo personal y social

Formación Cívica y Ética I y II

Tutoría

Educación Física I, II y III

Expresión y apreciación artísticasArtes I, II y III (Música, Danza, Teatro o

Artes visuales)

Español

Educación Física

Educación Artística

Matemáticas

Segunda lengua: Inglés

Formación Cívica y Ética


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El papel del docente Algunas de las principales responsabilidades de los docentes:

Dar cumplimiento a los programas de estudio.Promover diversas formas de interacción dentro del aula.Organizar la distribución del tiempo y el uso de materiales.

Para asumir estas responsabilidades, se recomienda planificar el trabajo considerando el qué (los contenidos) de la lección, el cómo (las tareas), el cuándo, es decir, los tiempos, y el con qué (los materiales).

Además, se deben evaluar de manera permanente las actividades realizadas. Con el propósito de que el docente aproveche mejor los programas de su asignatura, se le proporcionan las siguientes orientaciones didácticas.

a) Incorporar los intereses, las necesidades y los conocimientos previos de los alumnos. Para ello será indispensable conocer a los alumnos, sus intereses, motivaciones y conocimientos previos.

b) Atender la diversidad. La heterogeneidad de los estudiantes en los aspectos étnico, cultural y lingüístico, debe tomarse como una oportunidad para enriquecer la calidad de la educación. Deben considerarse aquí los aspectos académicos, individua-les, interpersonales y afectivos.

c) Promover el trabajo grupal y la construcción colectiva del conocimiento.

d) Diversificar las estrategias didácticas. El trabajo por proyectos

es una de las estrategias más provechosas en la enseñanza por competencias. Se recomienda particularmente en las asig-naturas de Ciencias, Español y Formación Cívica y Ética, aun-que en cada una adopta formas particulares.

e) Optimizar el uso del tiempo y del espacio. Resulta fundamental la organización del docente para aprovechar mejor el tiempo en las actividades del aula. Con esta idea, es importante redu- cir la carga del trabajo externo a la clase, como la administración, las ceremonias, los festivales y los concursos. También es esencial disponer el mobiliario del salón de la manera que per-mita la interacción y el desarrollo de las actividades.

f) Seleccionar los materiales adecuados. Los materiales didácti-cos constituyen un valioso auxilar en el aula. Además del libro de texto, deben considerarse otros materiales de lectura e in-corporarse desde la planificación misma del trabajo semanal, mensual, bimestral y anual.

g) Impulsar la autonomía de los estudiantes. Nos referimos a la capacidad de los alumnos para aprender por su cuenta. Pero esto no significa que deban aislarse para hacerlo, sino gestionar su propio aprendizaje y buscar a otras personas para lograrlo. Esto puede lograrse si el docente:

Permite que los alumnos apliquen lo aprendido de maneras distintas.Promueve el debate dentro del aula.Propicia la exposición de las propias ideas de los estudiantes.Promueve las experiencias de investigación.Estimula la reflexión sobre lo que han aprendido y cómo lo han aprendido (metacognición).Genera desafíos en el aprendizaje.

h) Evaluar. La evaluación es un proceso continuo de obtención de información que permite al docente emitir juicios sobre el de- sempeño de los alumnos y tomar las acciones pertinentes que ayuden a mejorarlo. En este sentido, evaluar no es sinónimo de calificar o examinar, aunque los exámenes pueden ser una manera de obtener esa información.


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La evaluación, una propuesta integral La evaluación se concibe como parte integral del proceso de aprendizaje y del desarrollo de competencias, ya que en este en-foque es necesario que el alumnado sea responsable de su pro-ceso de aprendizaje como un practicante reflexivo que se enfrenta con una situación problema, planifica cómo resolverla, reflexiona sobre su proceso y finalmente valora sus logros.

Por su parte, el docente no solo se fija en los conocimientos, ha-bilidades o destrezas adquiridas, sino en el desempeño total de la persona; es decir, cómo pone en práctica lo aprendido con una actitud propicia en contextos diferenciados. Asimismo, el docente obtiene de la evaluación la información necesaria para tomar de-cisiones sobre la mejor manera de apoyar al alumnado en el logro de los propósitos y los aprendizajes esperados.

La propuesta de evaluación es integral, tanto por los instrumentos que emplea como por los propósitos que persigue:

La evaluación se realiza en tres momentos, cumpliendo en cada caso propósitos específicos para el logro de los aprendizajes esperados.

Evaluación diagnóstica: al inicio de cada secuencia didácti-ca el alumnado hace un balance de sus saberes, habilidades y actitudes previas. Este es el punto de partida en el proceso de aprendizaje y en el desarrollo de competencias. Es recomenda-ble aprovechar este momento para identificar las necesidades de orientación y apoyo del alumnado.

Evaluación formativa: se realiza durante el desarrollo de la se-cuencia didáctica con el propósito de observar los avances en el logro de los aprendizajes esperados e identificar las dificultades y aspectos que requiere fortalecer cada estudiante. La evaluación formativa fortalece la responsabilidad del alumnado en su proce-so de aprendizaje, ya que la reflexión continua sobre él mismo le ayuda a comprender si está aprendiendo y cómo lo está logran-do. También favorece la toma de conciencia de sus estrategias de aprendizaje y le ayuda a encontrar pistas para construir modelos de acción personal y técnicas para la resolución de problemas

Evaluación sumativa: se realiza al cierre de cada secuencia di-dáctica y al final del bloque con el propósito de observar el desem-peño final del alumnado en el logro de los aprendizajes esperados. Puede ser de utilidad para tomar decisiones sobre la manera de apoyar a los escolares en su proceso o bien aportar elementos para asignar una calificación.

¿Para qué evaluar?Propósitos

Evaluación diagnóstica

Evaluación formativa

Evaluación sumativa

¿Qué evaluar? Los aprendizajes

esperados

Conocimientos

Habilidades

Actitudes

Capacidad de aplicar lo aprendido

¿Cómo evaluar?

Inventario de recursos

Rúbricas

Exámenes

Proyectos y actividades integradoras


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Didáctica de las Matemáticas Propósitos de la asignatura

Ayudar a los alumnos a estudiar matemáticas implica un cambio en el papel del maestro que ha trabajado con la idea de que su fun-ción es transmitir información. El nuevo planteamiento permite ex-perimentar en el ambiente del salón de clases: ahora se busca que los alumnos piensen, comenten, discutan con interés y aprendan.

Ante esta situación, es necesario trabajar para lograr:

a) Que los alumnos se interesen en resolver los problemas que se les plantean; de esta manera compartirán sus ideas, tendrán acuerdos y desacuerdos, se expresarán con libertad y reflexio-narán en torno al problema que tratan de resolver.

b) Que los estudiantes lean con cuidado la información que hay en los problemas, pues con frecuencia los errores en la reso-lución de estos se deben a las malas interpretaciones de los enunciados.

c) Que muestren una actitud adecuada para trabajar en equipo; el maestro debe insistir en que todos los integrantes asuman la responsabilidad de la tarea que se trata de resolver de ma-nera colectiva.

d) Que manejen de modo adecuado el tiempo para concluir las actividades. Más vale dedicar el tiempo necesario para que los alumnos adquieran conocimientos con significado, desarrollen habilidades y sigan aprendiendo, en lugar de repetirles infor-mación que pronto olvidarán. Tampoco es suficiente con plan-tearles problemas y esperar a que los resuelvan sin ninguna ayuda; se deben analizar, junto con ellos, sus producciones, aclarar ideas y, siempre que sea pertinente, aportar la informa-ción necesaria para su avance.

e) Que los maestros busquen espacios para compartir experien-cias. La escuela en su conjunto debe dar a los docentes opor-tunidades para el aprendizaje significativo. Para ello será de gran ayuda que los profesores compartan sus experiencias, aunque no siempre sean exitosas; hablar de ellas y escuchar a sus pares les permitirá mejorar su trabajo.

El enfoque de enseñanza

Los conocimientos adquiridos y las habilidades y actitudes desa-rrolladas durante la educación básica determinarán en gran parte la formación matemática que permita a las personas enfrentar y responder a determinados problemas de la vida moderna.Por eso, la experiencia que vivan los jóvenes al estudiar matemáti-cas en la escuela puede tener consecuencias opuestas:

-tar las de otros.

aceptación de los que imponga el maestro.

La metodología didáctica que proponen los programas oficiales pone el énfasis en llevar a las aulas actividades de estudio que des-pierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a buscar formas de resolver los problemas y a esgrimir argumentos para va-lidar los resultados. El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmu-las y definiciones solo es importante si los alumnos lo puedan usar, de manera flexible, para solucionar problemas. Por ello, la cons-trucción de ese conocimiento requiere procesos de estudio pro-longados, que transitan de lo informal a lo convencional, tanto en términos de lenguaje como de representaciones y procedimientos.

La actividad intelectual en estos procesos se apoya más en el ra-zonamiento que en la memorización. Sin embargo, también son necesarios los ejercicios de práctica o el uso de la memoria para conservar ciertos datos; de este modo, los alumnos podrán avan-zar hacia la solución de problemas más complejos.

De acuerdo con este enfoque, es determinante el papel que des-empeña el medio, entendido como el conjunto de las situaciones problemáticas que hacen pertinente el uso de las herramientas matemáticas que se pretende estudiar, así como los procesos que siguen los alumnos para construir nuevos conocimientos y supe-rar los obstáculos que surgen en el proceso de aprendizaje.

En esta propuesta didáctica, tanto los alumnos como el maestro se enfrentan a nuevos retos que reclaman actitudes distintas fren-te al conocimiento matemático e ideas diferentes sobre lo que sig-nifica enseñar y aprender.


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Una secuencia de trabajo para los docentes

Antes de la clase

Durante la clase

Después de la clase

Sin duda, la experiencia del docente, sumada a estas recomendaciones, harán de su trabajo un logro de enseñanza y de aprendizaje.

Al inicio del bimestre, conocer el enfoque didáctico y los contenidos del programa oficial de la asignatura.

Leer con una semana de anticipación la secuencia que se va a trabajar. Estudiar los apartados que acompañan a las páginas en reducción.

Revisar la dosificación del bimestre propuesta en las planeaciones didácticas.

Anotar en el formato de planeación de secuencia las fechas, de acuerdo con el calendario escolar.

Leer las Conexiones con otras asignaturas.

Conocer la planeación de cada una de las secuencias del bloque, incluida también en este libro.

Tratar de ceñirse a los tiempos de avance propuestos en la planeación de las secuencias.

Al final del bimestre, aplicar las evaluaciones sugeridas en el libro del alumno y calificarlas.

Cerciorarse de que los alumnos entienden con toda claridad qué trabajo desarrollarán en la secuencia. Para ello, se puede leer en voz alta las instrucciones.

Observar activamente las autoevalua-ciones de los alumnos y preguntarles en qué se basan para responder.

Apoyar a los equipos en todo momento aclarándoles sus dudas y proporcionándoles la información necesaria para que avancen.

Moderar las sesiones plenarias y recordar a los alumnos la necesidad de una escucha respetuosa.

Reflexionar sobre la dinámica de la clase. Anotar las observaciones más importantes sobre el proceso y las conductas de los estudiantes.

Si es la última clase de la secuencia, repasar el producto que deben lograr los jóvenes al final.

Repasar la planificación de la clase siguiente. Definir estrategias de trabajo.

Repasar los conceptos definidos en este libro para explicarlos al grupo en la siguiente clase.

Preparar materiales didácticos. Revisar los ejercicios que requieran una solución y buscar esta en su libro de Recursos.

Explorar las páginas web que se sugieren en este libro.

El libro del alumno está organizado por secuencias didácticas, en las cuales se trabajan las habilidades y los conocimientos científicos que establece el programa oficial. A continuación sugerimos estas pautas para desarrollar el trabajo en el aula.


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Estructura del libro del alumno

Panorama del periodo

Tu libro, de principio a fin

Estas páginas se ilustran con una imagen y un texto breve que describe la relación que esta guarda con alguno de los contenidos que trabajarás en el bloque. Aquí encontrarás los aprendizajes esperados, que exponen los conocimientos que desarrollarás al realizar las actividades que se proponen en los temas.Estas páginas se ilustran con una imagen y un texto breve que

Entrada de bloque

Te invitamos a que, después de trabajar cada bloque, regreses a estas páginas:

PPanorama del periodo

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Bloque 5

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

Cúpulas cónicas, Alberobello, ItaliaEn la región de Puglia, en Italia, se localiza el pueblo de Alberobello,

famoso por sus casas construidas con piedra calcárea, de techo cónico, llamadas trulli, las más antiguas datan del siglo XV. Este lugar fue

declarado patrimonio de la humanidad por la Unesco en 1996 .


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Planeación

Desarrollo

InicioAl inicio encontrarás una situación, ya sea un problema, un juego o una actividad, que deberás analizar a fin de proponer diversas estrategias de solución. La situación inicial se complementa con

o aplicar; al mismo tiempo, los cuestionamientos planteados te introducirán en los contenidos que estudiarás en la secuencia.

Durante esta etapa, realizarás actividades individuales y colectivas, que te ayudarán a adquirir nuevos conocimientos

y a desarrollar tus competencias matemáticas.

Los temas que estudiarás en cada secuencia se desarrollan en cuatro etapas:

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Aplicaciones del teorema de Pitágoras

Reúnete con un compañero, lean la información y resuelvan los problemas.

Para cualquier triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, si a y b son las longitudes de los catetos y c es la longitud de la hipotenusa, entonces a 2 + b 2 = c 2. A esta igualdad se le conoce como el teorema de Pitágoras.

Una cancha de futbol mide 100 metros de largo y 75 metros de ancho. ¿Cuánto mide su diagonal?

Describan el procedimiento que siguieron para encontrar el resultado anterior.

Un arquitecto calcula las dimensiones de una escalera para subir de la planta baja al primer piso de una casa. La altura entre pisos será de 2.72 metros, la base de la escalera es recta y mide 4.16 metros. ¿Cuál será la longitud del barandal que se

colocará junto a la escalera?

Mercedes quiere nadar al otro lado de un río que tiene un ancho de 216 metros. Empieza nadando en dirección perpendicular a la ribera del río, pero la corriente la arrastra de manera que al llegar al otro lado del río se encuentra 63 metros río abajo

de donde quería llegar. ¿Cuántos metros nadó?

¿Cuál debe ser la longitud de una rampa para discapacitados, si la altura de la banqueta es de 17 centímetros? La norma establece que por cada centímetro de altura se debe tener una distancia horizontal de 16 centímetros.

Comparen sus respuestas con las de sus compañeros. En caso de que haya diferen-cias busquen los posibles errores y corrijan en grupo.

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a2 +=c c2

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9Bloque 2

Los mosaicos

Lee la información, observa las imágenes y anota tus respuestas en tu cuaderno.

Los recubrimientos de superfi cies planas con fi guras que no se superponen han sido usados por varias culturas (como la musulmana) para elaborar adornos. En segundo de secundaria construiste mosaicos; ahora observa las siguientes imágenes.

¿Cuántas figuras diferentes se emplearon en cada mosaico?¿Qué movimientos geométricos puedes identificar?Partiendo de una figura base, ¿cómo podrías reproducir los mosaicos anteriores mediante el uso de la geometría? ¿Qué entiendes por trasladar o rotar una figura? ¿En qué mosaicos observas estas transformaciones?

Comenta tus respuestas con tus compañeros y tu profesor.

A lo largo de las actividades regresarás a revisar este problema. Antes, lean en equipo la información del proyecto que realizarán durante la secuencia.

Contenido

Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de fi guras.

Rotación y traslación de fi guras

En equipo, elaborarán un cartel en el que explicarán las propiedades de la rota-ción y la traslación.

Sigan las instrucciones del profesor y formen su equipo de trabajo.En el cartel deberán describir cómo identificar una traslación o una rotación de una figura plana.Cada descripción deberá ilustrar paso a paso el movimiento de la figura.

A lo largo de la secuencia diseñarán el cartel y al fi nal lo expondrán al resto del grupo. Durante la secuencia encontrarán más información en los apartados “¿Cómo vamos?”.

Nuestro trabajo

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Sigue las instrucciones del profesor y forma un equipo. Intercambien sus medi-ciones y registren en la tabla los resultados de cada compañero. ¿Qué invariantes encuentran? Compartan sus conjeturas y elaboren una nue va que incluya las ideas consensuadas del equipo.

En equipo lean la información y compárenla con su conjetura fi nal. Discutan en qué se parecen y en qué difi eren. Con ayuda de su profesor, replanteen su conjetura uti-lizando los términos matemáticos adecuados.

Teorema de Tales. Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas trans-versales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas (una transversal) es igual a la razón de sus segmentos correspondientes de la otra (transversal). Es decir, los segmentos determinados por estas transversales son proporcionales. Y viceversa, si los segmentos determinados por dos transversales a más de dos rectas son propor-cionales, entonces las rectas son paralelas.

¿Cómo vamos?

Reúnanse en sus equipos para hacer su juego de mesa.

Decidan cuántas casillas incluirán en su tablero; el número de retos que colocarán (preguntas de contenido, de ejercicios y de aplicaciones de lo estudiado hasta ahora, y que se relacionen con el teorema de Tales) y, por último, si habrá premios y penalizaciones dentro de las casillas y cuántos.Las instrucciones del juego deben incluir cuál será el número de jugadores, cómo se avanzará dentro del tablero, quién ganará y cómo se darán los tur-nos entre los que participen.

Tales nació en la ciudad de Mileto (en la actual Turquía) aproximada-mente en 624 a. de C. y murió en 548 a. de C. Fue considerado uno de los siete sabios de Grecia. Fue el primer pensador en demostrar sus afi rmaciones y, por ello, muchos historiadores lo llaman el padre de las matemáticas. Entre sus aportaciones están:

Todo diámetro biseca a la circunferencia. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales. Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamen-

te iguales son iguales.

Un grupo de música argentino llamado Les Luthiers tiene una canción que se titula El teorema de Tales, puedes escucharla en www.youtube.com/watch?v=czzj2C4wdxY. (consulta: 8 de mayo de 2013).

Si tres o más paralelas,si tres o más parale-le-le-lasson cortadas, son cortadas

por dos transversales, dos transversales.Comenten con todo el grupo y el profesor el signifi cado de este teorema. Identifi quen las condiciones que se deben dar y la conclusión que se puede obtener.

Historias de vidaEstos recuadros contienen relatos sobre personas

asociados con el contenido de las actividades.

¿Cómo vamos?

los temas encontrarás este apartado, que

aprendido y del desarrollo del producto.

Cierre

exposición en el salón, un periódico mural, un dibujo o una construcción geométrica, entre otros.

41

¿Cómo nos fue?

¿Cuáles estrategias fueron más efectivas en el diseño de su equipo?¿Notaron que la simetría crea figuras congruentes? ¿Aplicaron esto en su diseño?Pregúntate, reflexiona y piensa en una estrategia para mejorar el diseño de su logotipo.De los diferentes criterios para determinar la congruencia de triángulos, selec-ciona dos de ellos y descríbelos. Imagina que otro estudiante de segundo de secundaria en otro estado de la República Mexicana va a leer tu texto y debe entenderlo.

3. A continuación se presentan cuatro casos. Señala aquellos en los que puedes garantizar, por la información dada, la semejanza entre los triángulos. Menciona el criterio de semejanza utilizado y, si es posible, calcula la razón de semejanza.

Revisa tus respuestas en clase y, con ayuda del profesor, corrige los errores.

Presentación de nuestro trabajo

Reúnete con tu equipo. Expongan su logotipo a los demás compañeros del salón.

Comenten cómo aplicaron los criterios de congruencia de triángulos en la elabora-ción del logotipo.Comenten las estrategias que utilizaron, así como las ventajas y desventajas que encontraron al elaborar su diseño. Valídenlas con argumentos geométricos y con ayuda de su profesor.Organicen una votación para determinar cuál logotipo le gustó más al grupo.

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oblicuo. Dicho de un plano o de una línea: que corta a otro u otra, formando un án-gulo que no es recto.

Cortes en un cilindro

Haz esta actividad con un compañero. Con plastilina, construyan dos cilindros que midan alrededor de 10 cm de altura y 5 cm de diámetro y hagan lo siguiente.

A un cilindro, háganle cortes paralelos a la base, con una separación de 1 cm, aproximadamente. ¿Qué figuras se obtienen en las bases de los cortes? Descrí-

banlas y mencionen si todas son iguales.

Al otro cilindro, háganle tres cortes oblicuos a la base, procurando que las sec-ciones tengan igual grosor. ¿Qué figuras se obtienen? Mencionen sus caracterís-

ticas y si todas son iguales.

En el cilindro anterior, hagan otros tres cortes oblicuos, pero cambiando el án-gulo de inclinación. Describan cómo son las secciones en comparación con las

anteriores.

En grupo, discutan lo siguiente. Anota las conclusiones en tu cuaderno.

¿Qué características tienen las secciones obtenidas al hacer cortes al cilindro? ¿Las figuras que obtuvieron en los casos anteriores son todas las que se pueden lograr al hacer cortes al cilindro? ¿Qué otras pueden obtenerse?

Cortes en el cono

Hagan esta actividad en equipos. Con plastilina, construyan cuatro conos con una altura aproximada de 8 cm y cuya base mida 6 cm de radio.

Tomen un cono y háganle tres cortes horizontales paralelos a la base y equidistantes entre sí, de tal manera que la distancia vertical entre cada corte sea de 2 cm. Ob-serven el contorno de los cortes. Describan las figuras geométricas que resultaron.

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¿Cómo vamos?

Reúnete con tu compañero de equipo para trabajar en su proyecto.

Busquen objetos con forma cilíndrica (latas, velas). Reflexionen: ¿pueden descubrir todas las posibles figuras que se generan al hacerles diferentes cortes? ¿Serán todas iguales? ¿En qué se parecen y en qué son diferentes? Escriban sus respuestas en el borrador de su informe.Al presentar su trabajo deberán usar modelos para explicar qué secciones se forman. Hagan sus modelos de cilindros y practiquen los cortes.

123

¿Cómo nos fue?

¿Cuántos métodos conoces para resolver ecuaciones cuadráticas?¿Cómo decides qué método utilizar para resolver una ecuación cuadrática?¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación cuadrática?Cuando una ecuación cuadrática se usa para resolver una situación problemá-tica, ¿todas las soluciones a la ecuación son soluciones al problema? ¿De qué depende?¿Qué fortalezas tiene la fórmula general para ecuaciones cuadráticas compara-da con otros métodos?¿Por qué es útil conocer el discriminante al resolver ecuaciones cuadráticas?

Imagina un álbum de 200 estampas deportivas. El número de estampas que hay en cada página es 8 veces mayor que el número de páginas.

¿Cuántas páginas tiene el álbum?

¿Cuántas estampas tiene cada página?

La suma de dos números es 11 y la suma de sus cuadrados es 61.

Encuentra los dos números.

Si a un número le sumo 5, resulta lo mismo que si divido 84 entre ese número, ¿de

qué número se trata?

Reúnanse en grupo, comparen los resultados y procedimientos de cada problema y respondan:

¿Todos tuvieron los mismos resultados?¿Hay más de una respuesta correcta a los problemas?¿Todos usaron los mismos procedimientos?En cada uno tuvieron que resolver ecuaciones cuadráticas. ¿Todas las solucio-nes a la ecuación fueron soluciones al problema?

Reúnete de nuevo con tu pareja y comenten si el método que utilizaron para resolver cada problema fue o no el correcto. Expliquen por qué.


Cada equipo presente al grupo su proyecto antes de entregarlo al maestro.

Muestren los croquis de cada opción de terreno y, apoyándose en el pizarrón, si es necesario, muestren los procedimientos de solución de las ecuaciones.¿Hubo distintos resultados entre un equipo y otro?¿Las ecuaciones y soluciones fueron las mismas?¿En algunos equipos se usaron distintos procedimientos para llegar a la solución?¿Algunas soluciones de las ecuaciones no fueron solución al problema del terreno y los caminos? ¿Por qué?

Visita el sitio de Internet:www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuaciones-cuadraticas.html (consulta: 14 de noviembre de 2013). Ahí podrás complementar la información dada acerca de ecuaciones cuadráticas, la fórmula general y el discriminante.

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Espacio tecnológico En este apartado te recomendamos actividades complementarias

a las que realizas en el libro. Dichas actividades se basan en el uso de recursos tecnológicos: Internet, calculadora, programa de

geometría dinámica, entre otros.

Presentación de nuestro trabajo En este apartado encontrarás recomendaciones para compartir los resultados de tu trabajo. Y para que puedas evaluar lo que aprendiste, el resultado de tu producto, las dificultades a las que te enfrentaste y la forma en que las resolviste, tanto en lo individual como en lo colectivo, el apartado “¿Cómo nos fue?” te ofrece una útil guía.

Glosario Te ofrece la definición de palabras o expresiones importantes, relacionadas con el tema que se aborda en la secuencia.

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¿Cómo nos fue?

¿De cuántas maneras sabes resolver ecuaciones de segundo grado?¿En qué casos conviene utilizar el método de factorización para resolver ecuaciones de segundo grado?¿Te parece sencillo este método? ¿Por qué?¿Crees que el método de factorización es el más adecuado para resolver el caso de los cojines?


Presenten su cartel a sus compañeros y comparen las explicaciones que cada uno dio para verifi car que sean correctas.

Determinen a cuál de las ecuaciones que aparecen en la sección “Historias de vida” corresponden las ecuaciones de su trabajo.¿El trabajo de su equipo fue distinto a los otros? ¿Por qué?¿Consideran que alguna forma de resolución fue más eficaz que otra? Justifiquen su respuesta.¿Cualquier ecuación cuadrática puede ser resuelta por factorización? ¿Por qué?

Escriban en grupo sus conclusiones sobre lo trabajado en la secuencia y resuelvan las dudas con ayuda del profesor.

Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.

1. El rectángulo de la derecha tiene las medidas que se indican.

a) ¿Cuánto mide de ancho?

b) Si conservara el largo y midiera 96 cm2 de área, ¿cuál sería el valor de x?

2. En el grupo 3.° A, la cantidad de niños excede a la de niñas en 7, y se debe elegir un niño y una niña para representar al grupo.

a) Si en el salón hay x niños, ¿cuántas posibles combinaciones de parejas de un niño y una niña pueden formarse? Escribe la respuesta en términos de x.

b) Si en total se pueden formar 120 parejas distintas, ¿cuántos niños y cuántas niñas hay en el salón?

3. Resuelve las siguientes ecuaciones con factorización para encontrar el o los valores de la variable x que las satisfacen. Simplifi ca cuando sea posible.

a) x 2 – 3x – 10 = 0 b) x 2 – 25x = 0

c) –4x 2 + 4x = 0 d) –8x 2 – 16x = 8

e) 2x 2 + 4x = –2 f) x 2 = 5x

Comenta tus respuestas con el grupo y resuelve tus dudas con ayuda del profesor.

Resuelve en tu cuaderno

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TareasEn este apartado te proponemos diferentes actividades

para que ejercites tus habilidades, desarrolles nuevas estrategias y refuerces los procedimientos de resolución de

problemas que trabajaste en la secuencia.

Evaluación tipo PISA En esta sección al final de cada bloque, encontrarás una evaluación escrita que fue diseñada con el modelo PISA (Programa Internacional de Evaluación de Estudiantes). Aquí se plantean situaciones en contextos muy cercanos a tu vida cotidiana para que puedas poner en práctica tus conocimientos, habilidades y actitudes.

¿Cómo nos fue? En esta sección, al final de cada lección, se plantean preguntas para reflexionar acerca de los temas cubiertos para que confirmes la adquisición de los conocimientos descritos en el contenido de la lección y pongas en práctica los aprendizajes esperados.

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Evaluación tipo PISA UNIDAD: El recorridoJosé maneja un tráiler y hace recorridos entre distintas ciudades llevando carga. La última entrega la hizo de la ciudad A a la ciudad B. En unos días, llevará una carga a la ciudad E y quiere saber la distancia que recorrerá. La imagen ilustra la distancia entre las ciudades.

Pregunta 1: EL RECORRIDO Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier fi gura.

¿Qué distancia recorrerá José de la ciudad B a la E? Justifi ca tu respuesta.

Pregunta 2: EL RECORRIDO Contexto: LaboralAprendizaje esperado: Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier fi gura.

Analiza el procedimiento que siguió Jacobo para calcular la distancia BE.

Para responder la pregunta anterior, Jacobo propuso el siguiente procedimiento.

Dado que los triángulos son semejantes: i. Establezco la relación entre los lados para encontrar el valor de x:

x

211=

119418

ii. Obtengo el valor de x. iii. Sumo el valor de los segmentos BC y CE para obtener el valor de BE.

¿El procedimiento de Jacobo es correcto? Escribe tus operaciones y justifi ca tu respuesta.

Pregunta 1: EL DESPEJE Contexto: Científi coAprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

¿Qué altura alcanza el balón un segundo después de haber sido pateado?

a) 19.6 m b) 14.7 m c) 9.8 m d) 4.9 m


Cuando t = 0, h también es igual a cero. ¿Qué signifi ca lo anterior?

Respuesta:


¿Cuánto tiempo tarda ese balón en caer nuevamente al suelo? Escribe todas las operaciones que realizaste.

Respuesta:


¿Cuánto tiempo transcurre desde que el futbolista despeja el balón hasta que este alcanza una altura de 18.375 m?

Respuesta:

Una fórmula asociada con la caída libre es la altura (h) que alcanza un objeto t segundos después de haber sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de vo me-tros por segundo. La altura aproximada se obtiene con la fórmula

h = vot – 12

gt 2, donde g = 9.8 m/s2.

Considera que un futbolista patea un balón que está dete-nido en el campo de juego y este sale con una velocidad de 19.6 m/s.

UNIDAD: El despeje

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Presentación 3

Palabras al alumno 4

Palabras al docente 5

Dosificación 8

Tu libro, de principio a fin 12

1. Ecuaciones no lineales 18

2. Figuras semejantes 24

3. Criterios de congruencia y semejanza de triángulos 32

4. Representaciones de proporcionalidad 42

5. Tablas y expresiones algebraicas de variación cuadrática 50

6. Características de los eventos de un experimento aleatorio 58

7. Estudio estadístico 64

Evaluación tipo PISA 70

8. Factorización 74

9. Rotación y traslación de figuras 82

10. Diseños con transformaciones geométricas 88

11. El teorema de Pitágoras 94

12. Explicitación y uso del teorema de Pitágoras 98

13. Eventos complementarios y mutuamente excluyentes 106


14. La fórmula general 116

15. Cálculo de distancias y alturas inaccesibles 124

16. El teorema de Tales y sus aplicaciones 130

17. Semejanza y figuras homotéticas 138

18. Gráficas de funciones cuadráticas 146

19. Gráficas con secciones de curvas y rectas 154

Contenido del libro del alumno

La nutrición

Cajas cuadradas

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Barco de vela 72

2Bloque Plaza Rufino Tamayo 114

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Cúpulas cónicas, Alberobello, Italia 224Bl

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20. Probabilidad de eventos independientes 160


21. Sucesiones numéricas y figurativas 170

22. Cilindros, conos y esferas 176

23. Pendiente y ángulo de inclinación de una recta 184

24. Relación entre ángulos y lados de triángulos rectángulos 192

25. Razones trigonométricas 200

26. Razón de cambio 206

27. Desviación media 216


28. Ecuaciones 226

29. Cortes de un cilindro y un cono 232

30. Volumen de cilindros y conos 236

31. Cálculo de volúmenes 242

32. Variación lineal o cuadrática 248

33. Juegos de azar 260


Fuentes de información Para el estudiante 270

Para el profesor 271

Bibliografía consultada 272

Pendiente de una montaña 168

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Desarrollo didáctico

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Bloque 1

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Planeaciones didácticas

Secuencia 1. Ecuaciones no lineales

Bloque 1 Eje temático: Sentido numérico y pensamiento algebraico

Tema: Patrones y ecuacionesDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenidos

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas.

Desarrollo de la secuencia

Etapa Sesiones Actividades Páginas

Inicio

1

En la situación problemática inicial “El huerto de la señora Hernández”, los estudiantes escriben expresiones algebraicas que representen el perímetro y el área de un terreno con forma rectangular. Establecen una ecuación y la factorizan para determinar la solución. 18

PlaneaciónEn la sección “Nuestro trabajo” se organizan en equipos de tres para diseñar y armar tres cajas sin tapas. Revisan las actividades que deberán hacer con sus cajas.

Desarrollo 3

En la actividad “Ecuaciones de segundo grado” los estudiantes representan algebraicamente distintos enunciados, con el propósito de que se percaten de la diferencia entre ecuaciones de segundo grado y de primer grado.Escriben situaciones problemáticas para tres ecuaciones de segundo grado, una para cada ecuación.Plantean las ecuaciones que representen una situación problemática.

19

En la actividad “En distintos contextos”, de manera individual, escriben las ecuaciones que representan dos situaciones y encuentran las soluciones.Leen el texto que explica el porqué una ecuación cuya variable está elevada al cuadrado puede tener dos soluciones.En la sección “Tareas” plantean la ecuación que resuelve cada situación problemática que se propone y la resuelven.

20

En la sección “¿Cómo vamos?”, leen las instrucciones para elaborar su proyecto.En la actividad “Soluciones de ecuaciones” analizan tres expresiones algebraicas, determinan si son ecuaciones, cuántas incógnitas tienen y cuántas soluciones.

21

Leen y comprenden el texto que explica el significado de una ecuación cuadrática.Retoman el problema inicial y lo resuelven con base en lo que han estudiado.Resuelven, mediante el planteamiento de ecuaciones, dos situaciones problemáticas.

22

En la sección “Tareas” encuentran las soluciones de dos ecuaciones y resuelven una situación problemática mediante una ecuación de segundo grado.

23

Socialización y cierre

1Presentan al grupo las cajas que diseñaron y elaboraron. Comparan sus procedimientos y ecuaciones empleadas.En la sección “¿Cómo nos fue?” responden distintas preguntas relacionadas con el tema. Analizan la colaboración de cada uno en el equipo.

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Observaciones

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Inicio

1

En la situación inicial “Tecnología y semejanza” caracterizan imágenes parecidas e imágenes semejantes. Reflexionan sobre un hecho cotidiano para observar cómo se emplea la semejanza en imágenes.Analizan cómo pueden saber si dos figuras son o no semejantes (por medio de la medida de los lados o calculando la razón de semejanza). 24

PlaneaciónEn el apartado “Nuestro trabajo” planean en parejas cómo realizar el cartel que contenga figuras y objetos semejantes y seleccionan los materiales necesarios para concretarlo.

Desarrollo 3

En las actividades de “Comparación de rectángulos”, comparan la semejanza de rectángulos con estrategias libres y analizan dos estrategias de tipo gráfico para verificar la semejanza de rectángulos. Completan dos tablas con las medidas de los rectángulos y los cocientes de los lados homólogos para verificar la semejanza de algunos rectángulos.En el apartado “¿Cómo vamos?” definen cuáles figuras eligen y la estrategia que emplearon para elaborar las figuras semejantes.

25 a 27

En las actividades de “Rectángulos semejantes” grafican los rectángulos en un plano cartesiano y obtienen la razón largo/ancho para verificar cuáles son semejantes.Descubren la proporción de figuras semejantes.

28

En la actividad “Construcción de triángulos semejantes: ¿Cuáles son sus características?” trazan distintos triángulos con base en ciertas características. Analizan y comprenden la congruencia como caso particular de la semejanza.En el apartado “Espacio tecnológico” profundizan los conocimientos de la semejanza de figuras interactuando en algunos sitios de Internet. En “Historias de vida”, comentan la aportación del Dr. Solomon W. Golomb en el estudio de figuras semejantes.En las actividades de “Rompecabezas y semejanza” analizan figuras semejantes, en donde una figura, junto con sus copias, genera otra semejante a la original. Leen, comentan e ilustran las propiedades de la relación de semejanza.

29 y 30


1

Presentan al grupo y justifican procedimientos mostrados en el cartel. Intercambian trabajos y descubren figuras que no sean semejantes. Votan por el trabajo más creativo. En el apartado “¿Cómo nos fue?” recuperan y describen qué es la semejanza. Aplican la semejanza en una fotografía para obtener las medidas reales de los fotografiados. Comparten las dificultades al realizar el proyecto y cómo las superaron.

31

Observaciones

Secuencia 2. Figuras semejantes

Bloque 1 Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Figuras y cuerposDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades.

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Secuencia 3. Criterios de congruencia y semejanza de triángulos

Bloque 1 Eje temático: Forma, espacio y medida

Tema: Figuras y cuerposDuración: 2 semanas Número de sesiones: 10

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada.



Inicio

1

En la actividad “Relaciones entre triángulos” analizan distintos triángulos dentro de una cuadrícula y escriben las estrategias que emplearon para determinar cuáles son congruentes y cuáles son semejantes a un determinado triángulo.

32

PlaneaciónEn el apartado “Nuestro trabajo” planean la elaboración del diseño de un logotipo para un campeonato escolar. Leen las características que deberá cumplir.

Desarrollo 8

Analizan y comprenden una estrategia para determinar si dos triángulos son semejantes.En la actividad “Construir triángulos congruentes” construyen con regla y compás un triángulo congruente a uno dado. Analizan si el triángulo que construyeron es congruente con el que hicieron los demás estudiantes.

33

Determinan las características que deben cumplir dos triángulos para ser congruentes.34Identifican si dos triángulos son congruentes y trazan un tercer triángulo congruente.

Leen la información sobre la notación de los segmentos y ángulos de los triángulos congruentes.

En la sección “¿Cómo vamos?”, establecen cómo aplicar lo que han aprendido en la elaboración de su logotipo.En la actividad “¿Cuántos datos es suficiente conocer?”, determinan los datos necesarios para trazar triángulos congruentes a uno dado. Comentan sus respuestas con su compañeros.

35

En “Criterios de congruencia de triángulos” reconocen los criterios que garantizan la congruencia de triángulos.En la sección “Tareas” analizan diversas parejas de triángulos y determinan el criterio de congruencia que se emplea para determinar la congruencia entre ellos.

36 y 37

En “Triángulos semejantes” identifican y comprenden los criterios de semejanza de triángulos.Resuelven las actividades de la sección “Tareas”.

38 a 40


1Presentan su logotipo al grupo y comentan cómo aplicaron los criterios de congruencia de triángulos en su elaboración. Votan por el logotipo más creativo.En la sección “¿Cómo nos fue?” Definen las estrategias más efectivas en el diseño de su logotipo.

41

Observaciones

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Inicio

1

En “Pulsaciones por minuto” los estudiantes calculan las razones del número de pulsaciones por minuto y las comparan. Exploran la relación que hay entre el tiempo de medición y el número de pulsaciones. Comentan cómo pueden representar la información obtenida. 42

PlaneaciónEn la sección “Nuestro trabajo”, en equipos planean cómo medir y registrar la frecuencia cardiaca (en reposo y con esfuerzo) de los integrantes del equipo. Revisan las condiciones del tipo de información que recopilarán y graficarán.

Desarrollo 3

En las actividades de “Pulsaciones” completan una tabla considerando los datos del problema inicial. Contestan las preguntas de análisis relacionadas con la tabla. En parejas modelan algebraicamente la relación del número de pulsaciones y tiempo de cada alumno del problema inicial y las utilizan para completar la tabla comparativa de pulsaciones. Contestan las preguntas de análisis de esta tabla.Leen y comprenden la definición de relación funcional.Escriben una expresión algebraica que represente la relación entre las pulsaciones y el tiempo. Completan una tabla con base en esta expresión.

43

En “¿Cómo vamos?” leen indicaciones de cómo medir el pulso en reposo y con esfuerzo.En “Gráficas de pulso” elaboran las gráficas de Número de pulsaciones contra tiempo (en minutos) con los datos del problema inicial para Alfonso, Fernanda, Paola y Luis. Comparan las gráficas y argumentan las diferencias o semejanzas.

44

En la sección “Otras situaciones” expresan algebraicamente la relación distancia-tiempo de la carrera de un maratonista. Identifican el tipo de relación que hay entre estas dos variables. Elaboran la gráfica que relaciona el tiempo con los kilómetros recorridos.

45

Analizan la relación entre el número de películas que se renta anualmente y el costo total. Elaboran una tabla de datos y escriben una expresión algebraica que relacione el número de películas con el gasto anual por la renta. Elaboran la gráfica correspondiente.En “¿Cómo vamos?” leen instrucciones sobre su proyecto. Realizan las actividades de la sección “Tareas”.

46 a 49


1Presentan al grupo los resultados de las mediciones. Comentan el proceso de elaboración y análisis de los datos.En “¿Cómo nos fue?” describen de cuántas formas pueden representar una relación lineal y de qué manera la apoya cada representación.

49

Observaciones

Secuencia 4. Representaciones de proporcionalidad

Bloque 1 Eje temático: Manejo de la información

Tema: Proporcionalidad y funcionesDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas) que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad.

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Secuencia 5. Tablas y expresiones algebraicas de variación cuadrática


Tema: Proporcionalidad y funcionesDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas.



Inicio1

En la actividad “Fábrica de electrodomésticos” se reúnen en parejas para analizar los datos de una tabla y determinan si la relación entre ellos es proporcional. Comentan sus respuestas con sus compañeros. 50

Planeación En “Nuestro trabajo” leen las características de su proyecto y se organizan para trabajarlo.

Desarrollo 3

En “Funciones cuadráticas” retoman el problema inicial y reflexionan cómo determinar los ingresos para cualquier cantidad de productos.Analizan una tabla de datos y determinan el comportamiento de las variables. Escriben una expresión algebraica que los relacione.

51

Leen y comprenden el concepto de función cuadrática. Identifican la forma que puede tener una ecuación cuadrática. Revisan una tabla de datos y determinan los valores que faltan conociendo la expresión algebraica que las relaciona.

52

En la sección “¿Cómo vamos?” leen indicaciones para continuar con el planteamiento de la función cuadrática.En “Los electrodomésticos” regresan a la situación inicial y establecen si la relación entre los datos se puede representar mediante una ecuación lineal. Seleccionan de un conjunto de ecuaciones la que modela el problema. Analizan la expresión general para las ecuaciones cuadráticas.

53 y 54

En la actividad “Un proyectil en movimiento” analizan el movimiento de un proyectil que se lanza (dos veces) desde cierta altura. Identifican la función que representa los datos que se muestran en cada una de las tablas de los lanzamientos.

55

En “¿Cómo vamos?” leen instrucciones para continuar con el trabajo de su proyecto.En la actividad “Las bacterias” analizan el comportamiento de bacterias en un plato de comida refrigerada. Completan una tabla de datos y determinan el tipo de relación entre ellos.

56

Resuelven un problema en la actividad “Los corrales” y comparan sus respuestas y estrategias con las del resto de sus compañeros.

57


1

En “Presentación de nuestro trabajo” prueban varios valores de x para obtener los de y. Corrigen si hay errores. Analizan si son equivalentes.En “¿Cómo nos fue?” responden varias preguntas según la dificultad de su proyecto. Buscan aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas en la vida cotidiana.

57

Observaciones

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Inicio1

En la actividad “Los valores de la probabilidad” responden varias preguntas relacionadas con el experimento de lanzar dos monedas al aire.

58

Planeación En “Nuestro trabajo” leen las características de su proyecto e instrucciones para elaborarlo.

Desarrollo 3

En “La escala de la probabilidad”, retoman la actividad inicial y seleccionan la mejor forma de representar los datos.Leen y comprenden los conceptos de espacio muestral y probabilidad de un evento. Escriben el espacio muestral del problema de la actividad de inicio y determinan la probabilidad de ciertos eventos.Leen y comprenden los conceptos de evento o suceso imposible y suceso seguro.

59

Resuelven las actividades de la sección “Tareas”. En la actividad “Eventos” mutuamente excluyentes analizan dos experimentos, determinan el espacio muestral de cada uno. Leen y comprenden el concepto de eventos mutuamente excluyentes.Escriben las características de dos eventos mutuamente excluyentes.

60

En la sección “¿Cómo vamos?” leen la instrucción para continuar con su proyecto.En la actividad “Eventos complementarios” retoman la actividad de inicio y analizan y comprenden el concepto de eventos complementarios.

61

Resuelven dos problemas en los que calculan probabilidades.Resuelven un problema que los conduce al concepto de eventos independientes.En “¿Cómo vamos?” leen instrucciones para la elaboración de su proyecto.

62 y 63


1Presentan su trabajo al grupo y lo explican. Responden preguntas relacionadas con este.En “¿Cómo nos fue?” responden preguntas relacionadas con los conceptos estudiados en clase.

63

Observaciones

Secuencia 6. Características de los eventos de un experimento aleatorio


Tema: Nociones de probabilidadDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes e independientes.

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Secuencia 7. Estudio estadístico


Tema: Análisis y representación de datosDuración: 1 semana Número de sesiones: 5

Periodo: del __________ al ________ de _______________________

Contenido

Diseño de una encuesta o de un experimento e identificación de la población en estudio. Discusión sobre las formas de elegir el muestreo. Obtención de datos de una muestra y búsqueda de herramientas convenientes para su presentación.



Inicio

1

En el problema inicial “Las mochilas y la salud” reflexionan sobre la información que necesitan investigar para hacer un estudio acerca de este tema.Reflexionan sobre cómo realizar un estudio basado en el análisis de la información (recopilación, organización y presentación). 64 y 65

PlaneaciónEn el apartado “Nuestro trabajo” planean, en equipos, la elaboración de un estudio estadístico sobre la violencia escolar. Consideran lo necesario para realizarlo.

Desarrollo 3

En las actividades “Pasos para realizar un estudio estadístico” comentan, en equipos, la lectura y análisis del proceso de elaboración de un estudio: delimitación y definición del problema y determinación de las variables de estudio y elaboración de la encuesta. En “¿Cómo vamos?” leen indicaciones para realizar su proyecto.Resuelven la actividad de la sección “Tareas”. En “Muestra estadística” analizan cómo determinar la muestra.

66

En “¿Cómo vamos?” retoman su proyecto, identifican las variables estadísticas que investigarán, elaboran las preguntas que realizarán y determinan cuál será la población que van a estudiar.En “Pasos a seguir, tercera parte”, organizan la información en tablas y la representan gráficamente. Interpretan y analizan las gráficas de la información recopilada sobre el estudio del peso de las mochilas. Observan ventajas y desventajas de un tipo de gráfica sobre otro. Realizan la gráfica más conveniente para representar tablas de doble entrada y argumentan por qué es la adecuada.En “¿Cómo vamos?” recopilan, organizan y analizan la información.

66 a 69

En el apartado “Espacio tecnológico” analizan y comentan cómo emplear una hoja de cálculo electrónica para procesar información mediante tablas y gráficas.

69


1

En equipos exponen el estudio estadístico que realizaron y argumentan por qué eligieron ese tema, cómo recopilaron, organizaron y analizaron la información y qué conclusiones obtuvieron.En el apartado “¿Cómo nos fue?” qué utilidad tiene el estudio estadístico y las experiencias obtenidas. Reflexionan sobre su uso en la vida cotidiana o en la comunidad en donde viven.

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Observaciones

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16

SECMAT3HZO LA p1 indd 16 03/02/14 09:30

Que los alumnos relacionen la imagen con alguno de los apren-dizajes que se espera adquieran con el estudio de este bloque.

1. Sugiera que observen la imagen y que, antes de que lean la in-formación al respecto, comenten sobre lo que muestra.

2. Solicite que lean en silencio la información sobre esa imagen, la cual aparece en la siguiente página.

3. Pida que comenten dónde han visto que se acomoden los reci-pientes de esa manera y si consideran que las figuras que tie-nen los recipientes son semejantes.

4. Es probable que algunos alumnos afirmen que si una caja de base rectangular cabe en una caja cuadrada, harían que las fi-guras de sus bases fueran semejantes. No descalifique esta afirmación y pida que la recuerden para validarla en el trans-curso del trabajo en el presente bloque.

Recomendaciones procedimentales

Intención pedagógica

Reproducción dell ibro del alumno

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Bloque 1

17

012

Cajas cuadradas Estas cajas representan un ejemplo de fi guras semejantes. Debido a

esta característica las cajas pueden guardarse una dentro de otra, lo que permite economizar espacio cuando no se usan.

Como resultado del estudio de este bloque temático se espera que:

SECMAT3HZORESPp2 indd 17 03/02/14 09:31

5. Solicite a tres alumnos que lean en voz alta los aprendizajes que se espera desarrollen durante este primer bloque de estudio.

6. Pida que voluntariamente expliquen lo que consideran van a estudiar en el bloque. Sugiérales que revisen los contenidos que se encuentran en la dosificación.

7. Se espera que comenten lo siguiente (en caso de que ellos no lo digan, propóngalo usted):

a) Que las ecuaciones se pueden resolver mediante varios procedimientos.

b) Que es posible que las figuras semejantes no sean exactamen-te iguales, pero algunas características comunes deben tener.

c) Que simular, en matemáticas, es representar algo que no es posible realizar.


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1Bloque 1

El huerto de la señora Hernández

Reúnete con un compañero, lean la situación que se plantea y respondan en su cuaderno. Justifi quen sus respuestas.

La señora Hernández decidió hacer un huerto rectangular en su jardín y, aprovechan-do los 50 m que tiene de malla de gallinero, quiere cercarlo. Quiere que el huerto tenga un área de 144 m2 para poder plantar sus hortalizas, pero necesita saber cuáles deben ser las dimensiones del rectángulo, es decir, su largo y su ancho de tal manera que satisfagan ambas condiciones. Ayúdenle a resolver el problema.

Si llamamos x al largo del rectángulo y y al ancho, ¿qué expresiones algebraicas permiten representar el perímetro y el área del huerto?

En la expresión para el perímetro, escriban el valor de y en términos de x.Si sustituyen la expresión anterior, ¿cuál es la expresión para el área del huerto?

Utilicen lo que saben para obtener una ecuación. ¿Cuál es la incógnita de la ecuación?

¿Qué diferencia hay entre la ecuación que encontraron y las ecuaciones con las que trabajaron en grados anteriores?

Utilizando la factorización, ¿es posible escribir la ecuación que encontraron como (x – 9)(x – 16) = 0?¿Qué se puede decir de los factores de un producto si se sabe que este es cero?¿Cuánto deben medir el largo y el ancho del huerto de la señora Hernández?

Comparen sus respuestas con las de otras parejas. En grupo comenten las diferen-cias entre las ecuaciones 0 = –2x + 50 y (x – 9)(x – 16) = 0. Anoten sus acuerdos en su cuaderno.

A lo largo de las actividades, encontrarán formas de resolver ecuaciones como la anterior. Antes, lean la información del proyecto que realizarán durante la secuencia.

Contenido

Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedi-mientos personales u operaciones inversas.

Ecuaciones no lineales

En equipo de tres integrantes diseñarán y armarán tres cajas, sin tapa.

Las cajas serán elaboradas con cartón o cartulina pintadas de distinto color.Deberán indicar la medida de ancho, largo, altura, área de la base y volumen.Decidirán para qué podrían utilizarse según sus dimensiones, por ejemplo, para lápices en el escritorio, pañuelos desechables, cuadernos, etcétera.Al terminarlas, realizarán una exposición dentro del salón de clases.

Más adelante encontrarán indicaciones adicionales para elaborar su proyecto.

Nuestro trabajo

Inic

ioP

laneació

n

2) A = x(25 − x). A = 25x − x2

3) R. M. (Respuesta modelo) Que alguno o los dos factores son igual a cero.

4) R. M. Largo = 16 m, ancho = 9 m

1) 2x + 2y = 50,

y = (50 – 2x)2

= 25 − x 1)

2)

3) 4)

Perímetro: 2x + 2y. Área: xy

25x − x2 = 144; 25x − x2. La incógnita de la ecuación es el largo del rectángulo.

R. L. (Respuesta libre)

Sí

SECMAT3HZORESPp2 indd 18 03/02/14 09:31

Se espera que los alumnos resuelvan ecuaciones no lineales por medio del planteamiento y la resolución de diversos problemas; para ello, se promueve el uso de procedimientos personales, así como de las operaciones inversas.

Algunas operaciones inversas son la suma y la resta, la multipli-cación y la división, y la potenciación y la radicación. Estas se emplean para resolver ecuaciones al traspasar términos de un miembro a otro de la igualdad.

En la obra Álgebra con aplicaciones de Difanis Elizabeth, Thomas Butts y Michael Shaughnessy de Oxford University, 2008, pp. 356-362, encontrará problemas que se solucionan planteando y resolviendo ecuaciones cuadráticas.

Para activar conocimientos previos, pregunte a los alumnos qué recuerdan sobre las ecuaciones que resolvieron en grados escola-res anteriores y permita que algunos voluntarios pasen al pizarrón a ejemplificar sus aportaciones.

Solicite que lean en silencio la situación inicial y la comenten en grupo. Después, pregunte si creen que es posible encontrar las dimensiones de un rectángulo que satisfaga ambas condiciones.

Organice las parejas y permita que trabajen en las actividades y preguntas por quince minutos. Luego organice equipos de tres parejas para que lleguen a acuerdos sobre las respuestas correc-tas y la estrategia más eficiente para encontrarlas.

Solicite que lean las características del producto que elaborarán, según se señala en “Nuestro trabajo”. Si los alumnos cuestionan la relación de este trabajo con el tema, pídales que avancen en la secuencia para que ellos encuentren esa relación.


Intención pedagógica

Sugerencia de contenido

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Desa

rrollo

Ecuaciones de segundo grado

Antes de trabajar en las cajas, realiza con un compañero las actividades:

Representen los enunciados mediante una ecuación e identifiquen el valor de la incógnita.

El número x tiene la propiedad de que el producto del número que le precede

y el número que le sigue, es igual a 24. x =

Si al cuadrado de un número x se le resta el mismo número se obtiene 12.

x =

El doble del área de un cuadrado de lado x es igual a 32.

x = ¿En qué se diferencian estas ecuaciones de las que han resuelto anteriormente?

Si consideramos que y representa un número desconocido, planteen una situación similar a las anteriores, para cada una de las ecuaciones.

y 2 + 5 = 6y :

(y – 5)(y – 4) = 3y :

2y 3 – 9y 2 = 2y – 9:

Si saben que el área de un cuadrado es de 36 cm2, escriban una ecuación que re-presente esta situación y utilícenla para encontrar la información.

¿Cuánto vale cada uno de sus lados?

¿Cuántas soluciones tiene la ecuación?

¿Todas esas soluciones s

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