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92 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 1.6 Otros resultados sobre sistema

EJERCICIOS DE LA SECCION 1.6 En los e jerc ic ios del 16al 19, encontrar condiciones que deben sat is facer las b par a que e lsistema sea consistente.En los ejercicios del I al 8, resolver el sistema invirtiendo la matriz de coeficientes yaplicando el teorema 1.6.2.I. XI + X2 = = 25x. + 6x 2 = = 9 2. 4xI - 3X2 = = - 32x. - 5x2 = = 9 3. x, + 3X 2 + X3 = = 42x, + 2X 2 + X3 = = -12x. + 3X 2 +X3 = = 3

- x - 2y - 3z== 0w + x + 4y + 4z = = 7w + 3x + 7y + 9z = = 4- w - 2x - 4y - 6z = = 6

16. 6Xl - 4x2 == b, n. .\, - 2..t2 -r- 5.\) =b,3x, - 2X2 == b2 4xI - 5x2 + 8x3 = = b2-3x. + 3x 2 - 3x, = = b,18. x, - 2X2- X3 = = b, 19. x,- x2 + 3X 3 + 2x, = = b.-4x, + 5X2 + 2X 3 = = b2 -2x. + X2 + 5X3 + x. =bs

-4x. + 7X2 +4X 3 =b3 -3xI + 2X2 + 2x 3- XI =b-;4x. - 3x2 + X3 + 3x. =b420. Considerar las matrices

A~ [: 2 - n y X ~ [ ~ ]4. 5x, + 3x 2 + 2X3 =43x, + 3x 2 + 2X3 =2x2 + X3 =5

5. X+y+ z== 5x+y-4z= 10-4x +y+ z= 0

6.

7. 3x. + 5X2 =b,X, + 2X2 = = b2 8. Xl + 2X2 + 3X 3 =b,2x, + 5X2 + 5X 3 =b23x. + 5X2 + 8x) =b3

9. Resolver el siguiente sistema general invirtiendo la matriz de coeficientes y aplicandoel teorema 1.6.2. a) Demostrar que la ecuaci6n Ax = x s epuede vol ver a e sc ri bi r c omo (A - 1)x = 0 yusar este resultado para resolver Ax = x para x.b) Resolver Ax = 4x., . : t " . + 2X2 +X3 =b,

x r - X2 +x) =b2x .1- X2 == b)

,,' ,{J sando . l~ formulas resul tantes , encontrar la soluc ion s if -: a) b. = = : . _ 1, b2 = = 3, b3 = = 4r

c) b, = = -1, b2 = - 1,

21. Resolver la siguiente ecuacion matricial paraX.

[ : -I ~ ] x ~[ ! -1 5 73 0 -3 02 -I 3 5 -7 222. En cada i nc is o, d et ermina r s i el si st ema homogeneo t ie ne una sol uc i6n no t ri vi al ( si n

u a; ar l ap~x~ ~a ;: ;)~ l! ;~ : : ~~ ei er si l am l~t ri z1 da~ tvertt]le.X3 + 2X4 =0 0 0 23X4 =0 0 0 0 3

5X.+X2+~;:~ ;::~ l~~~~]3 + X4 =0 0 0 17X4 =0 0 0 0 7

Sea Ax = 0 un s ist ema homogeneo de n ecuaciones lineales en n incogni tas que solotiene la solucion t rivial . Demostrar que s i k es cualquier entero positivo, entonces elsistemaAkx =0 tambien tiene s610 la solucion trivial.

b)

, IO~' .Resolver los t res s is temas del e jerc ic io 9 apl icando el metodo del e jemplo 2.En l os e je rci ci os d el II a l 14, u sa r e l me todo del e jemp lo 2 para r esol ver s imu lt an ea -mente los s is temas en todos los inc isos .

X . ~ :5 X2 = = b.3 x. + '2 X2 == b2a)'h;;= I, b2 = 4b) b~'= - 2, b2 = 5

12. -x. +4X 2 + X3 = = b.x. + 9x 2 - 2X3 =b26x. + 4X2 - 8X3 =b3a) b, = 0, b2 = 1, b,= 0b)b.=-3, b2==4, b3=- 5

,,' 13. 4xi',:'_'7x2 =b..'" x.' , if.:2X2 =b2

a) b. == 0, b2 =1b) b. = -4, b2 == 6c) bl = - I, b2 =3d) b. =- 5, b2 == I

14. x. + 3x 2 + 5X3 =bl-x. - 2X2 =b22x. + 5x 2 + 4x) == b3a) b. = I, b2 == 0, b3==-1b) b. = 0, b2 = I, b3 == 1c) b. = = - I, b2 == - I, b3 =0

23.

24. Sean Ax ""0 un s is tema homogeneo de n ecuaciones lineales con n inc6gnitas y Q unamatriz invertible n x n. Demostrar que Ax = 0 t iene s610la soluc i6n t rivial s i y s610 si(QA)x = 0 s610tiene la solucion trivial.

15. E l met odo del e jemplo 2 se puede us sr p ar a r esol ve r s ist emas l in ea le s que t ie nenInf ln idad de soluc iones. Usando ese metodo, resolver a l mismo t iempo los s is temas deambos incisos. 25. Sea Ax = b cualquier s is tema de ecuaciones l inea les consistente , y sea Xl una soluc i6nf ij a. Demost ra r que toda solu ci on del si st ema s epuede e scr ib ir en l a f o~a x = Xl + xodonde x es una soluci6n de Ax = O. Tambien demostrar que toda matriz de esta formaoes una solucion.a) Xl - 2X2 + X3 =-22x. - 5x2 + x) = 13 x. -7 x2 + 2X3 =-I

b) x, - 2X2 + X3 = =2x. - 5X2 + X) = = -I3x. - 7X2 + 2X 3 = = 0 26. Usar e l inc iso a) del teorema 1.6.3 para demostrar el inciso b).

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102 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices21. Con base en la experiencia adquirida en el ejercicio 20, instrumentar una pruebageneral que se pueda apl ic ar a una f6nnu la para a.. a fm de detenninar si A = a.. essimetrica, lJ lJ22. Una matriz cuadrada A se denomina antisimetrica si AT = -A. Demostrar 10 siguiente:

a) Si A es una matriz antisimetrica invertible, entonces A-I es antisimetrica,b) Si A y B son antisimetricas, entonces tambien 10 son AT, A +B, A -+ B y kA para

cualquier escalar k.. c) Toda matriz cuadrada se puede expresar como l a suma de una matriz simetrica yuna matriz antisimetrica,2~ . En e l t exto se demost r6 que el producto de ma tr ices simet ri cas es simet ri co si y 0010 si

l as mat ri ces c onmutan . E l producto de mat ri ces ant is imet ri ca s que conmutan, " esantisimetrico? Explicar la respuesta.24. S i lama triz A n X n se puede expresa r como A = LU, donde L es una matriz triangular

inferio r y U es un a mat ri z t ri angular super ior , en tonces el si st ema l in eal Ax = b sepuede expresar como LUx = b y se puede resolve r en dos pasos :Paso 1. Sea Us: = y, de modo qu e LUx = b se puede expresa r como Ly = b. Resolvereste sistema.Paso 2. Reso lver el si st ema Us:=y para x .En cada inc iso, apl icar e l metodo anterio r de dos pasos para resolve r e l s is tema dado.

H 0 m -1 m ~ ] + ~ ]) 3 14 0[ - : 0 m : -5 m}[-~]) 4-2 0

I EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.71 . Usa r e liminaci6n de Gauss -jordan para resolve r para x yyen terminos de x y y.

x =ix' -!y'y =!x' +b'

2 . Usa r e liminaci6n de Gauss -Jordan para resolve r para x yyen terminos de x yy.x = x' cos e - y 's en ey =x' sen e +y' cos 8

3 . Encon trar un s is tema linea l homogeneo con dos ecuac iones que no sean multiplos entres iy tales que

1.7Matrices diagonales, triangul

y

sean soluciones del sistema.4 . Una caja con tiene en total 13monedas d is tintas de 1 ,5 Y 10centavos , cuyo valor tote s de 83 cen tavos. "Cuan tas monedas de cada denominac i6n hay en la caja?5. Encontrar enteros positivos que cumplan

x+ y+ z= 9x + 5y + IOz =4

6. "Para que valor (es ) de a e l s iguien te s is tema no tiene soluc i6n, t iene exactamente usoluci6n y tiene una infmidad de soluciones?X +X2 +x3 =

X3=(a2 - 4)X3 =a - 2

7. Sea

[a 0 b 2 ]a a 4 4o a 2 b

la matriz aumentada de un s is tema linea l. "Pa ra que valo res de a y b el sistemaa) tiene una soluci6n unica? b) tiene una soluci6n de u n parametro?c) t iene una so luci6n de dos p aramet re s? d) no t iene soluci6n ?8. Resolver para x, y y z.

xy - 20+ 3zy=2xy - 30+2zy=- xy + 02zy=

9. Encontrar una matriz K tal que AKB =C dado que

A = [ - ~ ; ] ,1 -2 C = [ . . .-4 6-1oB= [~

10. "C6mo se debe elegir los coeficientes a, bye de modo que e1 sistemaax + by - 3z = - 3- 2x - by + cz = - 1ax + 3y - cz=-3

tenga la soluci6nx = l,y = -1 YZ= 2?11. En cada inc iso, resolve r la ecuac i6n matricial para X.

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104 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices[ - 1 0 ~][- : b)XG ~ ] = [ -! ~]) X ~ 2 0 ] -1 -11 5 0 -3-1c) [ _ ~ ~ ] x - x G ~ ] = G -~]

1.7Matrices diagonales, triangul23. Demostrar : Si A es una matriz m X n y B es la matriz n X 1 integrada completamente

pot e lementos iguales a lin, entonces

12. a) Expresar las ecuacionesYI = XI - X2+ X3Y2= 3x I+ X2 - 4X3Y3=-2xI - 2X2+ 3X3en las formas matriciales Y = AX y Z = BY. Luego , u sa r e st as f orma s par a obt ener unarelacion directa Z = exentre Z y X.

b ) Usa r l a e cuac i6n Z = ex obt en id a en el i nc is o a ) p ar a exp re sa r z i y z2 en terminosdexl, x2 y x3 .c) Comprobar e l resul tado del inc iso b) sus ti tuyendo direc tamente las ecuaciones paraY1, Y2 Y Y3 en l as e cuac ione s par a z i y z2 y luego simplificando.

ydonde r; e s l amedi a de l os e lement os en e l i .. es imo r eng16n deA.

24. (Para lectores que ya estudiaron C6lculo.) Si los e lementos de la matriz

[

CII(X) cdx)C21(X) C22(X)C=. .. .. .CmIx) Cm2(X)

Cln(X)]C2n(X)

cmn(x)son funciones diferenciables de x, entonces se define

13. Si A es m X n y B es n X p, l .cuantas operaeiones de mul tipl icac i6n y cuantasoperaeiones de adici6n son necesar ias para calcular e l producto matricial AB?

14. SeaA una matriz cuadrada, [

Ci I(X) ciix)dC = C~I(X) C~2(X)dx : :. .

C,;,Ix ) C '; '2 (X )a) Demostrar que (I - A) -I =1 + A + A2 + A3 si A4 =O.b)Demost rar que (/-A)-I =I+A +A2 + ... +Ansi An+1 = .

15. Encontrar valores de a, bye de modo que l a g ra fi ca del pol inomio p (x ) = ax? + bx + epase por los puntos (1, 2), (-1,6) Y(2,3).

Cin(X)]c~n(x)

c';'n(x)Demostrar que si los elementos de A y B son funciones diferenciables de x y lot amaf io s d e l as mat ri ce s s on t al es que e s pos ib le e je cu ta r l as ope ra ei ones i nd ic adas ,entonces

16. (Para lectores queya estudiaron C6lculo.) Encontrar valores de a, bye de modo quela grafica del polinomio P(X) = ax? + bx + e pase par el punta (-1, 0) y tenga unatangente horizontal en (2, -9).

d dAa) -(kA)=k-dx dxd dA dB(b) - (A +B)=- +-dx dx dx

d dA dB(c) -(AB)=-B+A-dx dx dx25. (Para lectores que ya estudiaron C6lculo.) Usar el inciso c) del ejercicio 24 parademostrar que

dA-I dA--= -A-I-A-Idx dxEscribi r todas las hip6tes is establecidas para obtener esta formula .

26. Encontrar los valores de A, B Y C que haeen la ecuaci6nx2+x-2 A Bx+C-----:c---= -- + ---(3x - 1(x2 + 1) 3x - 1 x2 + 1

una identidad. [Sugerencia. Multipl icar todo par (3x - lXx2 + 1) e igua1ar los coeficientes correspondientes de los po1inomios en cada miembro de"la ecuaci6n resultante].

27. Si P es una matriz n x 1 t a l que pTp = 1, entonces H = I - 2PpT se denomina matrizde Householder correspondiente (en honor del matemat ico estadunidense A. SHouseholder).a ) Comprobar que pTp = 1 si pT = 3/4 1/6 114 5 11 2 5 1 12 y calcu1ar la matriz d

Householder correspondiente.

17. Sea In la matriz n x n integrada comp1etamente par elementos iguales 1. DemostrarqueI' 1(/-J)- =---Jn n _ 1 n

18. Demos tr ar que s i una mat ri z cuadr ada A satisfaee A3 + 4A2 - 2A + 7/, entoncestambien AT cumple esta ecuaci6n.

19. Demostrar: Si B es invertible, entonces AB-1 = B-1A s i y s610 s iAB = BA.20. Demos tr ar : S i A es inver tible, entonces ambas A + Bel + BA-I son invertib1es 0

ambas no son invertib1es.21. Demos tr ar que s iA yB son matrices n x n, entonces

a) tr(A +B) =tr(A) + tr(B) c) tr(A T) =tr(A) d) tr(AB) =r(BA)) tr(kA) = tr(A)22. Usar e1ejerc ic io 21 para demostrar que no existen matrices cuadradasA y B tales que

AB-BA=1.

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106 / Sistemas de ecuaciones linealesy matricesb) Demostrar que siH es cualquier matriz de Householder, entonces H = HT y HT H = 1.c) Demostrar que la matriz de Householder determinada en el inciso a) satisface lascondiciones demostradas en el inciso b).

28. Suponiendo que las inversas indicadas existen, demostrar las siguientes igualdades.(a) (C-l +D-1)-1 =C(C+D)-ID (b) (I +CD)-IC =C(I +DC)-l(c) (C+DDT)-ID =C-1D(1 +DTC-1D)-1

29. a) Demostrar que si a ;I!: b, entonces

b) Usar el resultado del inciso a) para encontrar

[a 0 0 ]A= 0 b 01 0 c

[Nota. Este ejercicio se basa en un problema de John M. Johnson, The MathematicsTeacher, Vol. 85, No.9, 1992.]

cAPfrULo2

DETERMINANTES

2.1 LAFUNCION DETERMINANTE

El lector esta familiarizado con funciones comofix)asocian un numero real fix) a un valor real de la vaasumen s610valores reales, tales funciones se describvalores reales de una variable real". En esta secci6ndeterminante, que es una "funcion con valores reales den el sentido de que asocia un numero realfiX) con unase efectuard sobrefunciones determinantes tendra impoteoria de sistemas de ecuaciones lineales y tambien cexplicita para calcular la inversa de unamatriz invertibl

De acuerdo con el teorema l.4.5, la matr iz

A = [: ~ Jes invertible- si a71- bc;t!:O. La expresion ad - be apaen materruit icas que t iene un nombre; se l lama determinay se denota por e l simbolo det(A). Con esta notacion,expresar como

1 [ dA-1 - - - - det(A) -c

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26 / Sistemas de ecuaciones lineales y matricesOPERACIONESELEMENTALESEN LOSRENGLONES

Las tres operaciones anteriores se denominan operaciones elementales en los ren-glones. En el siguiente e jemplo se i lust ra como se pueden usar estas operacionespara resolver si stemas de ecuaciones li nea les . Como en la s igui ente seccion seobtendra un procedimiento sistematico para determinar soluciones, no es necesariopreocuparse sobre como se eligieron los pasos en este e jemplo. EI esfuerzo prin-cipal en este caso debe dedicarse a comprender los caleulos y el analisis.Ej emplo 3 En la columna izqui erda que se mues tra a conti nuacion se resuelve unsistema de ecuaciones l inea les operando sobre las ecuaciones del sistema, y en lacolumna de la derecha el mismo sistema se resuelve operando sobre los renglonesde la matriz aumentada.

x + y+ 2z = 92x +4y - 3z = I3x +6y - 5z=0

Sumar -2 veces l a p rimer a ecuaci6n a l asegunda para obtener

x + y+ 2z = 92y- 7z= -17

3x+6y-5z= 0Sumar -3veces la pr imera ecuaci6n a latercera para obtener

x + Y + 2z = 92y- 7z= -173y - l Iz = -27

Multiplicar la segunda ecuaci6n por 112 paraobtener

x+ Y + 2z = 9y- iz= -lj3y - lIz=-27

Sumar -3 veces l a segunda ecuaci6n a latercera para obtener

x+ Y + 2z = 9y-iz=-lj- iz = -!

Multiplicar !a tercera ecuaci6n por -2paraobtener

x+ Y + 2z= 9y-iz=-lj

z = 3

[~ 2 ~]-36 -5Sumar -2 veces el primer rengl6n al se-gundo para obtener[~ 1 2 - l ~ ]-76 -5Sumar - 3 veces e l primer rengl6n a l te rceropara obtener

G2 - l ~ ]-73 -11 -27

Multiplicar el segundo rengl6n por 112 paraobtener

[ ~ 2 9 ]i -lj3 -11 -27Sumar - 3 veces elsegundo rengl6n alterceropara obtener

1.1Introduccion a los sistemas deSumar -1eces la segunda ecuacion a l aprimera para obtener

x + z = y-iz=-lj

z = 3Sumar -1112 veces la t erce ra ecuaci6n a laprimera y 71 2 veces la t erce ra ecuaci6n a lasegunda para obtener

X = 1Y =2

z='3

Sumar -1vprimero para ob

Sumar - 1112primero y 71 2 vpara obtener

EJERCICIOS DELA SECCION 1.11. De las siguientes ecuaciones, l,cmiles son lineales en xl' X2 y X3?

a) Xl + 5x2 - -v2X3 = 1 b) Xl + 3X2 +X1X3 = 2 c) Xl = -7X2 + 3X3d) xi2 +X2 + 8X3 =5 e) x{ls - 2X2 +X3 = = 4 f) 7TX - -v2X2 + tx3 =

2. Dado qu e k es una constante, l,cuitles de las siguientes ecuaciones son lineales?

[ ~La solucion

x= 1, y=2, z=3

- ~ - ~ J-t -iSumar eltercer rengl6n por -2para obtener

21o

es evidente ahora. d

3. Encontrar el conjunto solucion de cada una de las siguientes ecuaciones lineales.a) 7x - 5y =3 b) 3xl - 5x2 + 4X3 =7c) - 8Xl + 2X2 - 5x3 + 6x4 = 1 d) 3v - 8w + 2x - y +4z = 0

4. Hallar lamatriz aumentada de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales.a) 3Xl - 2X2 = - 1 b) 2Xl + 2X 3 = 1 c) Xl + 2X2 - X4 +xs =

4Xl + 5x2 = 3 3xl - X2 + 4X3 = 7 3 X2 + x3 -xs =7Xl + 3X2 = 2 6Xl +X2:- X3 = 0 X3 + 7X4 =

5. Detenninar un sistema de ecuaciones lineales correspondiente a la matriz aumentada

U 0 ~] b) [~ 0 -2 - ~ ]) -4 4-2d) r ~

0 0 0

- ~ ]) [~ 2 -3 ~ J 1 0 02 4 0 0 00 06 . a ) Encon trar una ecuac ion linea l en las variables X y Y que tenga la solucion genera=5 +2t,y= t.

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28 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 1.2Elimb) Demostrar que x =t,Y =+t-- tambien es la solucion general de la ecuaci6n del

inciso a).7. La curvay =a X 2 + bx + e de lafigura 2 pasa por los puntos (xl' Yj)' (x2, Y2) y (x3, y3).Demostrar que los coeficientes a, bye son una solucion del sistema de ecuacioneslineales cuya matriz aumentada es

1.2 ELiMINACION GAUSSIANAEn esta seccion se dara un procedimiento sistematico pecuaciones lineales; el metoda se basa en la idea de reda unaforma suficientemente simple para que el sistemaresolver por inspecci6n.

x--I----------..~ Figura 2FORMAESCALONADAREDUCIDA

En el ejemplo 3 de la secci6n precedente, el sistema linematriz aumentada a

8. l,Para que valor(es) de la constante k e1 siguiente sistema de ecuaciones lineales notiene soluciones? l,exactamente una solucion? l,infmidad de soluciones? [~ 01 0o ~]

x- y= 32x - 2y =k

a partir de 10 cual la soluci6n del sistema era evidente. Ematriz que esta en forma escalonada reducida. Para qforma, debe tener las siguientes propiedades.9. Considerar el sistema de ecuaciones

ax + by =kex+dy=lex+fy= m

Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = k, ex + dy = I y ex + .f Y = mcuando el sistemaa) no tiene soluciones.b) tiene exactamente una soluci6n.c) tiene infmidad de soluciones.

1. Si unrenglon no consta completamente de ceros, endiferente de cero en el renglon es un 1. (Que se den

2. Si hay renglones que'constan completamente departe inferior de la matriz.

3. En dos renglones consecutivos cualesquiera que node ceros, el 1principal del renglon inferior aparece1principal en el renglon superior.

4. Cada columna que contenga un 1principal tiene cposiciones.

10. Demostrar que si el sistema de ecuaciones del ejercicio 9 es consistente, entonces delsistema es posible eliminar por 10 menos una ecuacion sin modificar e1 conjuntosoluci6n. Sedice que una matriz con las propiedades 1, 2Y3(peropropiedad 4) esta euforma escalonada.

11. Sean k = I = m = 0 en e1 ejercicio 9; demostrar que el sistema debe ser consistente.l,Que se puede decir del punto de intersecci6n de las tres rectas si el sistema tieneexactamente una soluci6n?

x+y+2z=ax + z=2x +y + 3z =e

Ejemplo 1 Las siguientes matrices estan enforma escalo

[~ [~ n [ ~ 1 -20 ~l 0 01 0 00 -I 0 0 0Las siguientes matrices estan enforma escalonada.

[~ 3 n [~ n [~ 16 1 00 0 012. Considerar el sistema de ecuaciones

Demostrar que para que este sistema sea consistente, a, bye deben satisfacer e =a + b.13. Demostrar 10 siguiente: Si las ecuaciones lineales x I + kx2 = e y x + Ix = d tienen el

mismo conjunto solucion, entonces las ecuaciones son identicas. I 2

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42 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices

o o 3 -3oo o 45o

1.2Elim6. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminacion de Gauss-Jordan.

a) Xl+ X2 + 2X3 = 8 'b) 2Xl+ 2X2 + 2X3 = 0-xl-2x2+3x3= I --2XI+5x2+2x3=3xl - 7X2 + 4X3 = 10 8xl + x2 + 4X3 = - I

c) X - Y + 2z - w =-I2x + y - 2z - 2w = - 2-x+2y-4z+ w= I3x - 3w= -3

7. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 6 aplicando eliminacion gaussiana.

d) - 2b + 3c =3a + 6b - 3c = - 26a + 6b + 3c = 5

8. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminacion de Gauss-Jordan.a) 2Xl - 3X2 = -2 b) 3xl + 2X2 - X3 = -IS2Xl+ X2 = I 5xl + 3x2 + 2X3 = 03xl + 2X2 = 3xl + X2 + 3X3 = II

-6X- 4X2 + 2X3 = 30lOy - 4z + w = I

X + 4y - z + w = 23x + 2y + z +2w = 5

-2x- 8y+2z-2w=-4x - 6y + 3z I

9. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 8 aplicando eliminacion gaussiana.

c) 4Xl - 8x2 = 123xl - 6X2 = 9

-2xl + 4X2 =-6

2. De las siguientes matrices 3 x 3, c',cmilesestan en forma escalonada?[ i 0 ~] b) [ i 2 ~] [ i 0 ~ ]) [ i 3 ~]) c) I 00 0 2 00) [~

5 - n [ i 2 ~]f) 00 03. En cada inciso, determinar si la matriz esta en forma escalonada, en forma escalonadareducida, en ambas formas 0en ninguna.

a) [~

2 0 3 f ] b) [ i 0 0 n c) [~ ~ J30 0 0 0 20 0 0 0{0 2 f ] f) [~ ~]d) [~ -7 5 ~ J 0 2 23 0 0 00 0 0o o

d)

10. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando eliminacion de Gauss-Jordan.c) w

w2u + 4u +w11. Resolver cada uno de los sistemas del ejercicio 10aplicando eliminacion gaussiana.12. Sin usar lapiz y papel, determinar cuales de los siguientes sistemas homogeneos tien

soluciones no triviales.a) 2Xl - 3x2 + 4X3 - X4 = 0 b) Xl+ 3X2 - X3 = 07Xl+ X2 - 8X3 + 9X4 =0 X2 - 8X3 =02Xl + 8X2 + X3 -X4 =0 4X3 = 0

a) 5xl - 2X2 + 6X3 = 0- 2Xl+ X2 + 3X3 = I

o o4. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones linealesha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada re-ducida dada. Resolver el sistema.

a) [ i ~ ~ - ~ ]0) [~ -~

Io

o -73

o ~] c) allxl + al2x2 + al3x3 =0a2lxl + a22x2 + a23x3 =o o

5. En cada inciso, suponer que la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones linealesha sido reducida mediante operaciones en los renglones a la forma escalonada dada.Resolver el sistema.

b) XI- 2X2 + X3 - 4X4 =1Xl+ 3x2 + 7X3 + 2X4 =2Xl - 12x2 - IIx3 - 16x4 = 5

d) 3xl - 2X2 =06Xl - 4X2 = 0

13. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogeneos aplicando cuquier metodo,

[ i -3 4 ~] b) r : 0 8 -5 ~] a) 2Xl+ x2 + 3X3 = 0 b) 3Xl +x2 +X3 +X4 = 0 c) 2x + 2y+ 4za) 2 I 4 -9 Xl+ 2X2 =0 5xl - X2 +X3 - X4 = 0 W - y- 3z0 0 X2 + X3 = 0 2w+ 3x+ y+ z0) [~

7 -2 0 -8 - ~ ] -2w + X + 3y - 2z0 I 6 d) [: -3 7 ~ ]0 I 3 I 4 14. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogeneos aplicando cua0 0 0 0 0 0 quier metodo.

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44 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 1.2Eltma) 2x - y - 3z =0

-X+ 2y- 3z =0X+ y+4z=O

b) v + 3w - 2x =02u + v - 4w + 3x := 02u + 3v + 2w - x =0

- 4u - 3v + 5w - 4x =0

c) XI + 3x2 +X4 =0X I+ 4X2 + 2X3 =

- 2X2 - 2X3 - X4 =02XI-4x2+ X3+X4=O

XI - 2X2 - X3 +X4 =0

22. Demostrar que elsiguiente sistema no l ineal t iene 18soluciones si0 Sa S 2 n:, 0 S{3 S 2 n:, yO S Y < 2 n,

15. Resolver los siguientes sistemas aplicando cualquier metodo,

sena + 2cos{3 + 3tan-y = 02sena + 5cos{3 + 3tan-y = 0-sena - 5cos{3 + 5tan-y= 0

a) 211- 12+ 313+ 414=9II - 2/3 + 714=11311- 312 + 13+ 514= 8211+ 12+413+ 414=10

b) Z3 + Z4 + Z5 =0-ZI - Z2 + 2Z3 - 3Z4 + Z5:= 0

ZI + Z2 - 2Z3 - Z5 =02Z1 + 2Z2 - Z3 + Z5 =0

23. l.Para que valor(es) de y el siguiente sistema de ecuaciones tiene soluciones ntriviales?

(11.- 3)x + y=O

a) 2x + y =a3x + 6y= b b) XI + X2 + X3 =a2xI + 2X3=

3X2 + 3X3 =e

X + (11.- 3)y =24. Considerar el sistema de ecuaciones

ax+by=Oex + dy=0ex + fy =0

Analizar las posiciones relativas de las rectas ax + by = 0, ex + dy = 0 y ex + jj; =cuandoa) el sistema tiene s610la solucion trivial, b) el sistema tiene soluciones no triviales.

16. Resolver los siguientes sistemas, donde a,bye son constantes.

17. l .Para que valores de a el siguiente sistema no tiene solucion? l.exactamente unasolucion? l.infinidad de soluciones?

X + 2y - 3z =43x - y + 5z =24x + y + (a2 - 14)z=a + 2

18. Expresar

25. En la figura 2 se muestra la grafica de una ecuacion cubica y = ~ + bx2 + ex +Encontrar los coeficientes a, b, c y d.

-24

x

en forma escalonada reducida sin introducir ninguna fracci6n. Figura 219. Encontrar dos formas escalonadas diferentes de 26. Recordar que en geometria plana tres puntos no colineales determinan una circunfe

rencia de manera unica, En geometria analitica se demuestra que la ecuacion de uncircunferencia en el plano .lJ' es de la forma

20. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales para los angulos descono-cidos a, y {3 , donde 0 Sa s2: n:,0 S {3 S 2 n:, yO S y

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46 / Sistemas de ecuaciones lineales y matrices 1.3Matrices y operab) El sistema de ecuaciones numerado con (2) es un caso especifico de (3). lQue vatiene r eneste caso? lCuales son xk ' xk ' ... , xk en este caso? Escribir las sumdenotadas por ~ ( )en (3). 1 2 r

27. Describir las posibles formas escalonadas reducidas de

34. Encontrar un sistema lineal inconsistente que tenga mas inc6gnitas que ecuaciones.

28. Demostrar que si ad - be 0, entonces la forma escalonada reducida dees 1.3MATRICES Y OPERACIONES CON MATRICES

29. Usar elejercicio 28 para demostrar que si ad - be =0, entonces el sistemaax + by =kex+dy=!

tiene exactamente una soluci6n.

Los arreglos rectangulares de numeros reales surgedistintos a las matrices aumentadas de sistemas de ecuseccion estos arreglos se consideraran como objetosalgunas de suspropiedades para aplicarlas mas tarde.

30. Resolver el sistema

Lx, - X2 =AX,2x, + X2 + X3 =AX2

-2x, + 2X2 + X3 =AX3

NOTACIONYTERMINOLOGIADE MATRICES

Definicion. Una matriz es un arreglo rectangular de nel arreglo se denominan elementos de la matriz.

Ejemplo 1 Algunos ejemplos de matrices sonpara xI' x2 y x3 sia) A = 1 b) A = 2 [ ~ ~ ] ,-I 4 [2 o -3],31. Considerar el sistema de ecuacionesax + by = 0

ex+a:v=Oa) Demostrar que si X == xo' Y == Yo es cualquier solucion del sistema y k es cualquierconstante, entonces x = kxo' Y = kyo tambien es una solucion,b) Demostrar que si x == xo' Y = Yo Yx = XI' Y = YI son dos soluciones cualesquiera,entonces x = Xo +x I'Y = Yo +YItambien es una soluci6n.

o

(1) ax + by = kex + dy= (II) ax + by =0ex + dy =0

EI tamaiio de una matriz se describe en terminos(lineas horizontales) y de columnas (lineas verticales) qla primera matriz del ejemplo 1 tiene tres renglones y dosu tamafio es 3 por 2 (que se escribe 3 x 2). En la dprimer numero siempre denota el numero de rengloncolumnas. Las demas matrices del ejemplo 1sondetama1 x 1,respectivamente. Una matriz con una sola columnlumna (0 vector columna), y una matriz con un solo renrenglon (0 vector rengLOn).Asi, en el ejemplo 1, la macolumna, la matriz 1 x 4 es una matriz renglon y la mmatriz renglon como una matriz columna. (EI terminoficado que sera analizado en capitulos ulteriores.

32. Considerar el sistema de ecuaciones

a) Demostrar que si x = xI' Y = Y1 YX == x2' Y == Y2 son soluciones de I, entonces x = Xl- x2,Y =YI - Y2 es una soluci6n de II.b) Demostrar que si x = xl'Y =YI es una solucion deI y x = xo'Y = Yo es una soluci6nde II, entonces x =Xl +xo'Y =YI +Yo es una soiuci6n deI. OBSERVACI6N. Seacostumbra omitir los corchetes enpodria escribir 4 envez de 4 . Aunque 10anterior impos

numero "cuatro" 0 la matriz 1 x I cuyo elemento es "ccausa problemas, ya que casi siempre es posible inferircontexte en que aparece el simbolo.

33. a) En e1 sistema de ecuaciones numerado con (3), explicar por que seria incorrectodenotar a ~asvariables principaies por xl' X2' ... , Xr envez de por xk ' xk ' ... , xkcomo se hizo. 1 2 r