lógica de proposiciones y de predicado

Franco D. Menendez

LABIA

FACET - UNT

Universidad Nacional de Tucumán Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Lógica de Proposiciones

y de Predicado

Contenido de la Materia UNIDAD TEMÁTICA 1: SINTAXIS Y SEMANTICA DEL LENGUAJE FORMAL »SEMÁNTICA: Noción General. Definición Algebraica. Distribución de Valores de Verdad. Evaluación de EBF. Funciones de Verdad. Proposiciones Atómicas, simples y compuestas. Tablas de Verdad. Negación. Conjunción. Disyunción. Condicional. Bicondicional o Equivalencia. Fórmulas Proposicionales. Funciones M. Satisfacción de una fórmula, Validez y Consecuencia. Interpretaciones Booleanas. Tautologías, Contradicción e Indefinición (Contingencia). Propiedades de los Conectivos. Funciones de Verdad Lógica Trivalente. Definición. Lógicas Multivalentes. Lógicas Fuzzy


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) Definición por Recurrencia de la Semántica de las EBF Sea δ una distribución de verdad que posee las variables proposicionales p1,p2,…. Pn cuyos valores tomados del conjunto son {0,1}donde su notación será de la forma δ (p1). Definimos una aplicación Fδ del conjunto F de las EBF sobre el conjunto Z={0,1}.

Fδ = F { 0,1 } La Función por recurrencia se define de la siguiente manera:

1.Fδ (p) = δ (p) : " p V

2.Fδ ( A) = ’ δ (A) = 1 - Fδ ( A)

3.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A ), Fδ ( B))

4.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ (A ), Fδ ( B))

5.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MAX ((Fδ ( A ), Fδ ( B))

6.Fδ (A B) = ’ (Fδ (A ), Fδ ( B))= MIN ((Fδ (A B ), Fδ ( B A))


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD Esta tabla se compone de dos partes. Una, ubicada a la izquierda, es la columna de referencia. Se coloca allí todos los valores posibles que puede asumir una o mas proposiciones.


p

V

F

p q

V V

V F

F V

F F

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD


p p

V F

F V

p q p q p q

V V V V

V F V F

F V V F

F F F F

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD El conector Condicional presenta dificultades ya que su equivalencia gramatical «Si ..... Entonces…» es solo parcial. Ejemplo: »Si es mamífero, es vertebrado. »Si el peso supera los mil kilogramos, la balanza se estropea. »Si estuviera muerto no respiraría.


p q q p q p q) p q

V V F F V V

V F V V F F

F V F F V V

F F V F V V

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) TABLAS DE VERDAD El conector Bicondicional afirma que p es condición necesaria y suficiente para q, del mismo modo que q es necesaria y suficiente para p. Ejemplo: »Si y solo si un sistema está aislado, entonces su energía tal es constante.

»Si y solo si los vegetales vuelan, entonces Socrates vive.

»Si y solo si la leche alimenta, la tierra se mueve.


p q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) INTERPRETACIÓN BOOLEANA Ejemplo:

(p q) ( q p) Se utiliza la siguiente interpretación: v(p)= F, v(q)=V »v (p q) = V »v ( q) = F »v ( p) = V »v ( q p) = V Por lo que la formula A obtiene el siguiente valor:

»v((p q) ( q p)) = V


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica)

TAUTOLOGIA, CONTRADICCION E INDEFINICION

Los otros usos mas que realizaremos de la tabla de verdad es:

1.Para determinar el valor de verdad de las proposiciones.

2.Para determinar el carácter de las proposiciones.

3.Para descubrir relaciones entre proposiciones dadas.

4.Para determinar la validez de razonamientos.


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) 1.) Para determinar el valor de verdad de las proposiciones.

Cualquier esquema proposicional que enlace sus proposiciones componentes con una o más conectivos lógicos, tienen un valor de verdad determinado. Aunque aumente la complejidad de la formula, la tabla nos permitirá en forma mecánica establecer los valores de la misma.


UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) 2.) Para determinar el carácter de las proposiciones.

Ejemplo: (p q) ; (p q) ( p q) ; p ( p q)


p q (p q) (p q) ( p q) p ( p q)

V V V V V V F F

V F V F V F F F

F V V V V V F V

F F F V V V F F

Los enunciados o fórmulas del primer tipo, aquellos que a veces son falsos y otras verdaderos, reciben el

nombre de INDEFINIDOS. Los del segundo tipo, siempre verdaderos, se denominan TAUTOLOGÍAS; los

del tercer tipo, siempre falsos, son denominados CONTRADICCIONES

UT1: Lenguaje Formal (Sintaxis y Semántica) 3.) Para descubrir relaciones entre las proposiciones dadas.

Ejemplo: (p q) y ( p q)


p q (p q) ( p q)

V V V F V

V F F V F

F V V F V

F F V F V

Este caso observamos que las formulas son contradictorias entre si. Es decir, la

relación entre ambas es la contradicción.




p q (p q) ( p q)

V V F F

V F V V

F V V V

F F V V

Este caso observamos que las formulas son equivalentes entre si. Es decir, si

colocamos el conectivo de bicondicional obtendremos una tautología.




p q (p q) ( p q)

V V F F

V F F F

F V F F

F F V V

Este caso observamos que las formulas son equivalentes entre si. Ambas

tautologías, son teoremas de la lógica proposicional. Más precisamente, recibe

el nombre de Teoremas de De Morgan.

EQUIVALENCIAS LÓGICAS »(1) (p q) [(p q) (q p)] Bicondicional »(2) (p q ) [(p q) ( p q)] Bicondicional »(3) (p q) (q p) Conmutación de »(4) (p q) (q p) Conmutación de »(5) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de »(6) [p (q r)] [(p q) r] Asociación de »(7) ( p) p Doble Negación »(8) (p q) ( q p) Transposición »(9) p (p p) Tautología »(10) [(p q) r] [p (q r)] Exportación »(11) [p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de »(12) [p (q r)] [(p q) (p r)] Distributiva de



4). Para determinar la validez de razonamientos (validez y consecuencia). »Definición: Una fórmula proposicional A es satisfactoria si su valor es verdadero en alguna interpretación. Una interpretación satisfactoria es denominada como un modelo para A. Una fórmula A es válida si su valor es verdadero para todas interpretaciones, a lo cual lo denotamos como: A

»Definición: Una fórmula proposicional A es no satisfactoria o contradictoria si no es satisfactoria, o sea que, su valor es falso para todas interpretaciones. Es no válida o falsa si no es válida, o sea que, es falsa para algunas interpretaciones.



LOGICA TRIVALENTE (LUKA SIEWICZ) »Esta lógica se basa con tres valores de verdad, los cuales son ‘V’, ‘F’, ‘I’ (Verdadero, Falso, Indeterminado), respetando siempre los conectores lógicos bivalentes.



Ejemplos a desarrollar

1.((p q) p)

2.(((p q) q ) p)

3.(p ( (p q) q))


BIBLIOGRAFIA »ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby & Sharon Ross. – 2003.

»MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC. – 2005.

»LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman – 2001.


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