lectura y escritura de nÚmeros...
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GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN FINAL MATEMÁTICAS PRIMER GRADO
2013-2014
Recomendaciones generales: Procura prepararte para tu examen con anticipación, resuelve los ejercicios que se te presentan en esta guía los cuales vienen acompañados de una pequeña explicación, si ésta no es suficiente, auxíliate de tus apuntes y de tu libro de texto. Cuando tengas alguna duda pide ayuda a tu maestro, a algún compañero o bien un familiar que pueda apoyarte para aclararla, como recurso extra te sugiero algunas direcciones electrónicas donde puedes ampliar la información e incluso practicar los contenidos. Es de suma importancia que entregues esta guía resuelta el día del examen.
LECTURA Y ESCRITURA DE NÚMEROS NATURALES
La escritura del número es: siete billones, sesenta mil millones, nueve mil noventa, y está formado por
7 unidades de billón, 6 decenas de millar de millón, 9 unidades de millar y 9 decenas.
Tabla 1.
Escritura con letra Escritura con números
Doce millones once mil uno.
502 005 000 020
Nueve millones tres mil noventa.
3 000 030 300
Siete billones veintiún mil
Tabla 2.
Numeral de acuerdo con el orden Numeral
2 decenas de millar, 1 decena de millón y dos centenas,
400 007 001 001
5 decenas, 1 unidad de millón y 1 centena de millar
100 010
9 unidades de billón, 9 decenas y. 9 decenas de millón
3er. Periodo 2do. Periodo 1er. Periodo
Billones Millares
de millón Millones Millares Unidades
Cen
tenas
de
bil
lón
Dec
enas
de
bil
lón
Unid
ades
de
bil
lón
Cen
tenas
de
mil
lar
de
mil
lón
Dec
enas
de
mil
lar
de
mil
lón
Unid
ades
de
mil
lar
de
mil
lón
Cen
tenas
de
mil
lón
Dec
enas
de
mil
lón
Unid
ades
de
mil
lón
Cen
tenas
de
mil
lar
Dec
enas
de
mil
lar
Unid
ades
de
mil
lar
Cen
tenas
Dec
enas
Unid
ades
7 0 6 0 0 0 0 0 0 9 0 9 0
Ahora tú completa los siguientes ejercicios
Recuerda que el sistema de numeración emplea la base 10; por tanto,
es un sistema decimal: Al agrupar 10 unidades de un orden inferior se
obtiene una de un orden superior: Al agrupar diez unidades se obtiene
una decena; al agrupar 10 decenas se obtiene una centena, 10 centenas
conforman una unidad de millar, 10 unidades de millar una decena de
millar y así sucesivamente.
Analiza el cuadro que te presenta cada orden, clase y periodo con sus
respectivos nombres.
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Letra Número
Siete millones seis mil cinco 7 006 005
Anota el de menor y mayor valor:
Menor valor: ____________________________
Mayor valor: ____________________________
Número Letra
04178 Cuatro mil ciento setenta y ocho
Encuentra el número de menor y mayor valor que se puede formar con esos cinco dígitos:
Menor valor:_______________________
Mayor valor: _______________________
Encuentra todos los números que puedan obtenerse, combinando las
cinco tarjetas que se encuentran abajo de la página, recórtalas y a
buscar. Anótalos como se indica en el ejemplo.
Ahora encuentra las combinaciones posibles que pueden obtener con
los números 8, 0, 4, 7, y 1. No olvides usar los cinco dígitos y anota los
números que encontraste con letra y número. Observa el ejemplo
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SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Sistema Egipcio.
SISTEMA EGIPCIO SISTEMA DECIMAL SISTEMA EGIPCIO SISTEMA DECIMAL
100 230
1 053
1 000 234
30 012
340
2 010 100
21 305
6000
4012
4 078
¿Encontraste el valor de los símbolos? ¡Anótalos!
Símbolo Valor Símbolo Valor Símbolo Valor Símbolo Valor
Dedo
Cuerda
enrollada
Dedo
apuntando
Hombre
sorprendido
Talón
Flor de loto
Pez
Conclusiones.
Podían repetir hasta nueve veces un símbolo
Carece de un símbolo para representar a cero
La base de su sistema fue, decimal.
El principio aditivo les permitía ir combinando los distintos símbolos para formar numerales de
diversa magnitud.
Sistema Romano
A continuación se presentan algunos números escritos en el sistema romano, con base en ellos anota en la
tabla el valor que representa cada símbolo.
III = 3 VII = 7 XXVI = 26 LXX = 70
CCXXX = 230 DCII = 602 MMCIII = 2 103
¿Encontraste el valor de los símbolos? ¡Anótalos!
Símbolo I V X L C D M
Valor
Para cada uno de los sistemas que veremos, te daremos algunos
ejemplos resueltos para que deduzcas el valor de los símbolos; al final
de cada sistema vendrán las conclusiones o principios que maneja cada
sistema.
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Observa cómo se escriben los siguientes números y a la derecha anota las operaciones correspondientes como
en los ejemplos:
a) II = 2 1 + 1 = 2_____________
b) IV = 4 ____________________________________
c) VIII = 8 ____________________________________
d) XIX = 19 ________10 + (10 – 1) = 10 + 9 = 19
e) XXIV = 24 ____________________________________
f) XL = 40 _______________50 – 10 = 40
g) LXXII = 72 ____________________________________
h) XC = 90 ____________________________________
i) CCX1 = 211 ____________________________________
J) CD = 400 ____________________________________
k) CDXLI = 441 ____________________________________
l) CM = 900 ____________________________________
m) XIII = 13 000 (10 + 1 + 1 + 1) (1 000) = (13) (1 000) = 13 000
n) VII DII = 7 502 ____________________________________
ñ) IX = 9000 ____________________________________
Conclusiones.
Emplea los principios: aditivo, sustractivo y multiplicativo.
Los símbolos fundamentales (I, X, C y M) pueden repetirse consecutivamente hasta tres veces.
No maneja el principio posicional.
No tiene un símbolo para representar a cero.
Sistema Maya
= 3 = 6 = ___ = 10
= 11 = ____ = 17 = ___
20 23 ____ 25
400 440 501 ____
¿ Encontraste el valor de los símbolos ? !Anótalos!
Símbolo Valor Símbolo Valor Símbolo Valor
Concha
Punto
Barra
5 de 27
Conclusiones.
Emplea los principios: aditivo multiplicativo y posicional.
La base de su sistema es vigesimal (20)
Tiene un símbolo para representar a cero.
Escribían los números de abajo hacia arriba.
Al ser posicional multiplicaban la primera posición por 1, la segunda posición por 20, la tercera
posición por 400 y así sucesivamente.
Sistema Binario
Observa como se construye el sistema binario y completa los valores faltantes.
1 = 1
10 = 2
11 = 3
100 = 4
101= 5
___ = 6
111 = 7
1 000 = 8
1 001 = ____
_______ = ____
_______ = 11
_______ = 12
Conclusiones.
Sólo usa dos símbolos fundamentales: cero (0) y uno (1)
Utiliza potencias de base dos para representar distintos órdenes de magnitud.
Emplea los principios aditivo, multiplicativo y posicional.
Ejercicio: Encuentra los valores faltantes. Es importante que recuerdes que el sistema binario se construye
por potencias de base dos.
Número
en base
diez
Número en base dos
2n 26 25 24 23 22 21 20
(2)(2).... 64 32 16 8 4 2 1
8 1 0 0 0 = 8
9 = 9
13 1 1 0 1 = 13
1 0 0 1 1 =
22 1 0 1 1 0 = 22
1 1 0 1 0 1 1 0 =
1 0 1 0 1 0 1 =
57 = 57
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REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES EN LA RECTA
NUMÉRICA A PARTIR DE DISTINTAS INFORMACIONES.
Observa la siguiente recta numérica, vamos a localizar
en ella a: 2
1, 2,
2
1 y 4
1. No olvides que al haber dos
valores ubicados en la recta numérica está definida la
posición de cero.
Observa que de 1 a 4
3, existen
4
3, por lo que se divide
nuestro segmento en tres partes cada parte será 4
1, y con
esta medida ya puedes ubicar al cero así como los demás
valores, como te mostramos a continuación.
6
1
Observa otro ejemplo, donde sólo se localiza 6
1 y se pide
localizar: 6
4, 1,
3
2 y 1.5.
1
1 4
3 1
1
1 4
3
0 2
1 2
2
1
4
1
1
1
6
1
6
4
0
1
2
3
2
1.5
En la recta no está definida la posición del cero, lo puedes ubicar donde creas conveniente, pero de manera que haya espacio suficiente para localizar las fracciones pedidas.
7 de 27
a) Localiza: 2
1, 0.8,
5
8 y
10
3
b) Localiza: 1.5, 0, 6
1 y 2.
c) Ubica los siguientes números: 1.250, 2
3, 5
4, 1.80 y
4
5.
d) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha:
_________
En otro caso donde los valores son números decimales
trata de localizar: 1.50, 2.25, 1.8, 1.65, 0.7, 1.45 y1:
Esta vez se te ubica el 0.
Ahora encuentra los números que te indican
en cada caso. ¡Tú puedes!
5
3
1
3
2
1.700 2.2
1
1
1
1.300 2.1 Aquí está cero
4
5
3
1.300 2.1 Aquí está cero
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SUCESIONES NUMÉRICAS Y DE FIGURAS.
El conjunto de varios números ordenados con base a una determinada regla constituye una serie numérica.
Por ejemplo: múltiplos de 3 menores de 30 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27
Para descubrir la regla o patrón de una secuencia se tienen que calcular las diferencias que hay entre las
cantidades, ésta se escribirá como el factor constante de la expresión, posteriormente se revisa si falta o sobra
multiplicando en cualquiera de las posiciones de la secuencia, este número se escribe en la expresión como
suma o resta.
Por ejemplo: 3, 8. 13, 18, 23, 28, ____ , _____ 3 8 13 18 23 28
a) Se observa el incremento de posición a posición +5 +5 +5 +5 +5
b) Se integra el incremento como factor con “n” 5n
c) Se prueba en cualquiera de las posiciones Si “n” es 1 entonces 5(1) = 5
d) Como en la primera posición hay 3 sobran 2 entonces el patrón será 5n – 2
e) Si se va a calcular otra posición que no esté si “n” es 25 entonces 5(25) – 2 = 50 – 2 = 48
en la secuencia se sustituye en el patrón dicho valor
a) 5, 12, 19, 26, 33, 40, …
Regla: _______________________________________________________________________________
Generalización:________________________________________________________________________
Posición 82:____________
b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …
Regla: _______________________________________________________________________________
Generalización: _______________________________________________________________________
Posición 100: ___________
c) 11, 15, 19, 23, 27, 31, …
Regla: _______________________________________________________________________________
Fórmula: _____________________________________________________________________________
Posición 250: ___________
d) 3, 9, 15, 21, 27, 33, …
Regla: _______________________________________________________________________________
Fórmula: _____________________________________________________________________________
Posición 75: ___________
¿Qué procedimiento seguirías para encontrar
cualquier término de cada una de las siguientes
sucesiones?
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PROPORCIONALIDAD
Problema: Si Laura pagó $ 52.50 por tres kilogramos de jabón. ¿Cuánto se pagará por 12 kilogramos iguales
a los anteriores?
Solución 1: Calculando el valor unitario.
17.50 Cantidad que se pagará por un kilogramo de jabón.
3 52.50
22
15
00
12 X $ 17.50 = $ 210 Multiplicamos lo que cuesta 1 kg por la cantidad pedida.
R = Por 12 kg de jabón se pagarán $210.00
Solución 2: Construyendo una tabla.
kg de jabón 3 kg 6 kg 12 kg
$ $ 52.50 $ 105 $ 210
R = Se pagarán $ 210.00 por 12 kg de jabón
Solución 3: Por proporciones
kg12
a
kg3
50.52$ Se plantea la proporción
kg3
)kg12)(50.52$(a
3
630a Realizando operaciones
210a
R = $ 210.00 se pagará por 12 kg de jabón.
Razón.- Es la comparación por cociente entre dos números
naturales (el divisor debe ser diferente de cero)
b
a
Proporción.- Si se comparan dos razones equivalentes, entonces la
igualdad obtenida recibe el nombre de proporción.
d
c
b
a
Para resolver un problema es importante que lo leas
detenidamente, te familiarices con los datos y busques una
estrategia para abordarlo. A continuación se te muestra cómo
un problema lo podemos resolver de distintas maneras.
Encontramos el valor faltante (Propiedad
fundamental de las proporciones)
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1. Un resorte sufre un alargamiento de 5 mm cuando soporta un peso de 30 kg. ¿Cuál será su alargamiento
cuando soporta un peso de 48 kg?
2. Por 2
1 kg de queso se paga $ 60.00. ¿Cuánto se pagará por
4
3 kg?
3. Si 14 m de tela pesan 4.2 kg, ¿cuánto pesan 10 m de esa tela?
4. En una escuela hay 3 niñas por cada 4 niños. Si en total hay 260 niños, ¿cuántas niñas son?. ¿Cuántos
alumnos en total tiene la escuela?
5. Héctor, Antonia y Verónica compraron un paquete de 100 hojas tamaño carta. Héctor aportó $ 12.00 de
los $ 30.00 que costó el paquete; Antonia aportó $ 9.00 y Verónica el resto: Si se reparten el paquete en
partes proporcionales, ¿cuántas hojas le tocan a cada uno?
REPARTO PROPORCIONAL
Los problemas de reparto proporcional se pueden plantear de diferentes maneras, se pueden aplicar
directamente reglas de tres, utilizando razones con respecto al total o determinando el factor de
proporcionalidad directa, por ejemplo:
Se va a repartir una herencia de $140 000.00 en forma proporcional entre 3 personas, la primera recibirá el
doble de la segunda y la tercera el doble de la primera.
Planteamiento:
$140 000.00 se repartirán 1ª persona = 2 (el doble de la segunda)
proporcionalmente así 2ª persona = 1
3ª persona = 4 ( el doble de la primera)
Por tanto se requiere repartir en 7 partes iguales
140 000 = 20 000
7
Entonces la 1ª persona recibirá 2(20 000) = $ 40 000.00
2ª persona recibirá = $ 20 000.00
3ª persona recibirá 4(20 000) = $ 80 000.00
$ 140 000.00
Resuelve los siguientes problemas.
a) Tres personas compraron un billete de lotería que resultó premiado con $ 60 000. La primera aportó
$ 6.00 para la compra del boleto, la segunda $ 4.00 y la tercera $ 10.00 .Si se reparten en esa proporción
¿cuánto dinero le corresponderá a cada persona?
b) Tienes que repartir proporcionalmente $ 240.00 entre Pablo, Andrea y Gaby de acuerdo con sus edades
que son 4, 8 y 12 años respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno de ellos?
c) Tres trabajadores hicieron una obra por las que se les pagó $ 11 480.00 ¿cuánto se dará a cada uno si el
primero trabajó 3 días, el segundo 5 días y el tercero el doble del primero?
d) Se tiene una pecera de dimensiones 30cm de ancho, 60cm de largo y 45cm de altura, se construirá otra
pecera proporcional a la primera. ¿Cuáles serán las nuevas medidas si el largo deberá ser 150cm
Resuelve los siguientes problemas, recuerda que existen
diferentes maneras de resolverlos, sé que elegirás la mejor
1 2
11 de 27
PORCENTAJES
FRACCIONES Y DECIMALES
Adición y sustracción con igual denominador.- Sólo se suman o restan según sea el caso los numeradores y
se anota el mismo denominador.
Porcentaje es el tanto por ciento, cantidad o proporción que en cada
cien unidades se fija o resulta en cómputos económicos, estadísticos,
etc.
Ejemplo:
8 % = 08.0100
8
35 % = 35.0100
35
15.8 % = 158.0100
8.15
En una escuela que tiene una población de 30 alumnos el 30 % fue de
visita al museo, ¿cuántos alumnos no fueron al museo?
Considera:
Fueron al museo 30 %
No fueron al museo: 70 %
¡Inténtalo!
En un almacén de ropa, hay un descuento del 30 % en los artículos
para caballero. Calcula el descuento que hacen por un artículo cuyo
precio normal es de $150.00.
Considera:
Descuento: 30 %
Lo que pagará: 70 %
Resuélvelo
Una fracción es la parte de un todo .Observa el siguiente dibujo
Todo = 1
8
1
2
1
8
1
4
1
12 de 27
NOTA: Saca enteros si la fracción es impropia, simplificar. Ejemplo:
15
25
15
14
15
11 15
10 =
3
2
Obtención de enteros
5
4
10
8
10
15
10
23
Simplificación
Adición y sustracción con diferente denominador.- Se obtiene el m.c.m. de los denominadores, el número
obtenido será el denominador común, el m.c.m. se divide entre el denominador de la primera fracción y el
cociente obtenido se multiplica por el numerador de esa fracción. El número obtenido se coloca como
sumando en el numerador de la fracción resultante y se procede igual para el resto de las fracciones; en la
sustracción se siguen los mismos pasos, sólo que los números obtenidos se restan. Ejemplo:
30
57
30
272010
10
9
3
2
15
5 30
27 =
10
9
15 3 10 2
15 3 5 3 m.c.m. (15, 3, 10) = 2 x 3 x 5 = 30
5 1 5 5
1 1 1
40
9
40
3544
8
7
10
11
10 8 2
5 4 2 m.c.m. (10,8) = 23 x 5 = 40
5 2 2
5 1 5
1 1
Adición y sustracción con números mixtos,- Se reducen los números mixtos a fracciones impropias
(multiplicando el denominador de la fracción por el entero y al producto obtenido se le suma el numerador),
y se deja el mismo denominador del número mixto. Ejemplo:
3
2 +
8
4 +
6
1 = 3
17 + 8
52 + 6
19 =
24
76156136 = 24
368 =
24
8 =
3
1
4
3 –
2
1 = 4
27 – 2
7 =
4
13
4
1427
=
4
1
Recuerda que para obtener los enteros necesitas realizar la división
y para simplificar una fracción a su mínima expresión, se dividirán
sus dos términos sucesivamente por los divisores comunes que
tengan, hasta que resulte una fracción irreducible.
5
1
15 3 6
1
15
6 3 3
1 1
13 de 27
Multiplicación de fracciones.- Para multiplicar las fracciones generalizamos como sigue:
bd
ac
db
ca
d
c
b
a
Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.
Ejemplos:
7
3
35
15
7
5
5
3
4
1 x
3
2 =
4
13 x 3
8 =
12
8 =
3
2
División de fracciones.- Para efectuar una división lo que hacemos es multiplicar el dividendo por el inverso
multiplicativo del divisor.
Ejemplo:
20
72
2
8
10
9
8
2
10
9 20
12 =
5
3
Inverso
multiplicativo
O bien para dividir una fracción generalizamos de la siguiente forma:
bc
ad
cb
da
d
c
b
a
Se multiplica el numerador de la primer fracción por el denominador de la segunda y
el denominador de la primera por el numerador de la segunda
Ejemplo:
3
2 ÷
4
3 = 3
11 ÷ 4
11 =
113
411
= 33
44 =
33
11 =
3
1
1) 14
10
14
6 11) 8.0
4
1
2) 15
13
15
2 12)
7
1 x
9
2 =
3) 8
7
10
11 13)
8
4
5
9
4) )4
1
3
2(6
5 14)
5
7
11
33
Realiza los siguientes ejercicios:
3 2 8 8
3 3
3 2 1 1
3
4 8
14 de 27
5) 8
2
10
9 15)
6
2 +
8
3 +
12
1 =
6) 3
2 –
5
1 = 16) ( )
4
2
3
1 =
7) 5
8
12
6 17) 5.0
5
1
8) 15
2
3
4
5
2 18) 3
2
7
9) 16
3
12
4 19)
5
4
9
7
10) 3
2 ÷
6
4 = 20)
6
5 10
9 =
Problemas:
1. El maestro de electricidad tenía 2
1m de cable eléctrico. Lo usó para mostrar cómo se hace una
conexión y le ha quedado 4
3m, ¿cuánto cable utilizó en la conexión ?
2. Con un bote de aceite completamente lleno, cuya capacidad es de 2
1 litros, se llenarán botellas de
4
3 de litro. ¿Cuántas botellas podrán llenarse ?
8 3 9
7 3 4
4
6
4 1
10 7
4
Para sumar o restar decimales, escribimos los números en columna, alineando el punto
(quedando enteros con enteros, décimos con décimos centésimos con centésimos etc.);
realizando la operación como en los números naturales. En la sustracción cuando el
minuendo no tiene el mismo número de dígitos que el sustraendo se sugiere agregar
ceros para igualarlos evitando errores al hacer el algoritmo.
a) 45.2 + 26 + 3.872 + 1.3=
45.2
26
+ 3.872
1.3
76.372
b) 43.75 – 17.4854=
43.7500
17.4854
26.2646
7
15 de 27
1) 37
945.91 2.485
2) 75.0
24
75
.2400 32
3) 64.0
608.4
64
8.4607.2
2.485
37 91.945
179
314
185
00
Se divide igual que los
números naturales y el
punto se coloca en el
cociente tantas cifras como
tenga el dividendo
El divisor se convierte en un
número natural (recorriendo
el punto a la derecha tantos
lugares como sea necesario),
al dividendo se le agregan
tantos ceros como lugares se
recorrió el punto
7.2
64 460.8
0128
000
32.
75 2400.
150
00
Al igual que el caso anterior
se convierte el divisor en un
número natural entero por lo
que se recorre el punto hacia
la derecha tantas cifras
como sea necesario, el
número de cifras que se
recorrió en el divisor, se
recorre en el dividendo, si se
requiere de cifras se utilizan
ceros.
Para multiplicar dos decimales o un entero por un decimal, se multiplican
como los números naturales, separando en el producto (resultado) de derecha a
izquierda, tantas cifras decimales como haya en ambos factores. Observa el
ejemplo:
45.9
X 0.25
2295
918
11.475
+
El punto se recorre tres lugares a la izquierda por
que los factores reúnen tres cifras decimales.
Recuerda que en la división de números decimales se pueden
presentar tres casos:
1) División de un decimal entre un número natural
2) División de un número natural entre un número decimal
3) División de un número decimal entre un número decimal
Se te muestra un ejemplo de cada caso:
16 de 27
1. Ramón tiene $ 425.50, Antonio $ 120.00 más que Ramón y Luis $ 45.50 más que Antonio, ¿cuánto
tienen en total ?
2. Si una docena de tazas cuesta $ 507.60, ¿Cuál es el valor de una taza ?
3. Las calificaciones de los exámenes de Felipillo para el tercer periodo de evaluaciones fueron:
7.5, 9, 6.5, 7, 8.5 y 8, si el promedio de Manuelito fue de 8, qué diferencia hay en sus promedios.
4. Un rectángulo tiene 4.9 cm de ancho, si su área es 42.875 cm2 ¿ cuál es el largo de dicho rectángulo ?.
5. Se tienen 1 054.5 m de cable, ¿ cuántas porciones de 2.85 m se pueden obtener de él ?
OPERACIONES DE NÚMEROS CON SIGNO
Los números con signo se utilizan para expresar diferentes cantidades, es común encontrar estos números
en conceptos como la temperatura, la medición de las alturas y las depresiones, las pérdidas y las ganancias
etc.
Siempre que se utilizan números con signo debe tomarse en cuenta que el signo antecede al número y que
si éste no está escrito es que es positivo, el signo negativo no debe omitirse en ninguna de las situaciones.
El simétrico de un número es el mismo número pero de signo contrario, su símbolo es – ( ), por ejemplo:
el simétrico de – 3 se indica – ( – 3) = + 3
El valor absoluto de un número es el valor del número sin importar su signo su símbolo es l l, por ejemplo:
el valor absoluto de – 3 se indica l – 3 l = + 3
a) En la adición de números con signos iguales se suman los valores absolutos y se conserva el signo
por ejemplo:
( + 2 ) + ( + 6 ) = + 8
( – 3 ) + ( – 2 ) + ( – 4) = – 9
b) En la adición de números con signos diferentes se restan los valores absolutos y el resultado se
escribe con el signo del mayor valor absoluto, por ejemplo:
( + 7 ) + ( – 5 ) = + 2 ; ( – 12 ) + ( + 2 ) = – 10
c) Si en la expresión se presentan más de un valor positivo y
negativo, se deben agrupar los positivos y los negativos por
separado y sumarlos, posteriormente deberá compararse los
dos resultados obtenidos para obtener el valor final, por
ejemplo:
( + 5 ) + ( + 6 ) + ( – 3 ) + (– 8 ) + ( + 9 ) + ( + 2 ) =
La suma de los positivos es: + 5 + 6 + 9 + 2 = + 22
La suma de los negativos es: – 3 – 8 = – 11
Entonces + 22 – 11 = + 11
El resultado de la operación es 11
Te toca aplicar lo aprendido.
¡Tú puedes!
17 de 27
1) 7 + 9 = 5) – 5 + 8 + 7 – 4 – 3 – 2 =
2) – 9 – 8 = 6) – 12 – 10 – 4 – 4 – 9 =
3) – 7 + 2 = 7) – 8 + 9 – 2 – 6 – 3 – 6 =
4) – 5 + 9 = 8) 45 – 18 + 3 – 60 + 17 =
Para resolver sustracciones de números con signo se deben aplicar las reglas de la
adición algebraica después de cambiar todo lo que comprenda el sustraendo (lo que
esté escrito dentro del paréntesis) por su simétrico, recuerda que el simétrico se
representa con el símbolo – ( ), por ejemplo:
+ 23 – ( – 15) = 23 + 15 = + 38
– 18 – ( 2 + 4 – 3 ) = – 18 – ( + 6 – 3 ) = – 18 – ( + 3 ) = – 18 – 3 = – 21
1) + 18 – ( 45 ) = 5) 120 – ( 3 – 18 ) =
2) – 12 – ( – 6 ) = 6) 12 – ( 8 + 8 ) =
3) 18 – ( – 7 ) = 7) – 18 – ( 11 + 5 – 7 ) + 9 =
4) – 4 – ( 20 ) = 8) – 12 + 6 – ( 23 – 18 ) =
USO DE LITERALES EN FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
Las matemáticas, como cualquier ciencia, tiene su lenguaje propio; éste se le llama
lenguaje algebraico, el cual utilizamos para escribir las fórmulas que conocemos y
establecer los procesos de resolución de los problemas.
Las fórmulas utilizan literales que indican las operaciones a realizar y que pueden
sustituirse por valores específicos. Un ejemplo es la fórmula que utilizamos para calcular
el área de un triángulo.
A = b h La “b” representa la base del triángulo
2 “h” representa la altura
2 es la constante del proceso
A es el área
Para escribir expresiones cotidianas en lenguaje algebraico es necesario ir
leyendo paso a paso e ir expresando las operaciones que se describen con
los valores que se indican.
Por ejemplo: Un número cualquiera x
El triple de un número 3x
La edad de Juan más 3 años x + 3
Encuentra el resultado de las siguientes operaciones
¡ Ve que es muy fácil ¡
¡Recuerda que tu puedes!
Realiza los siguientes ejercicios
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1) El consecutivo de un número
2) La semisuma de dos números cualesquiera
3) El doble del cuadrado de un número
4) La diferencia entre dos números
5) El cociente de dos números cualesquiera
6) Un número elevado al cubo
7) La mitad del cuadrado de a
8) El producto de tres números cualesquiera
9) La diferencia entre un número cualquiera y cinco
10) El cociente del triple de un número y el doble de otro
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Se denomina ecuación a la igualdad condicionada por el valor de una incógnita. La incógnita es la literal que
representa una cantidad desconocida. Toda ecuación de primer grado se representa gráficamente mediante
una recta. Toda ecuación consta: 3x + 1 = 12
3x + 1 = 12
Primer miembro signo de igual segundo miembro
Para resolver una ecuación de primer grado es necesario aplicar las propiedades de la igualdad, a este
procedimiento se le conoce con otros nombres como operaciones inversas o despeje, el cual consiste en que
todo número o expresión que cambie de miembro cambia por la operación contraria a la que esté planteada,
por ejemplo:
1) Para dejar sola a la incógnita (despejarla) 8 + x – 8 = 5
x = 5 – 8
x = – 3
Para comprobar si el resultado es correcto se sustituye por Si 8 + x = 5
el valor encontrado. Si resulta una igualdad se puede afirmar entonces 8 + ( – 3 ) = 5
que la solución es correcta. 8 – 3 = 5
5 = 5
2) Si la ecuación es más grande se simplifica antes de despejar 2x + 3x – 10 = 90
es decir se suman los términos semejantes. 5x – 10 = 90
Se debe quitar primero el término independiente por operación inversa 5x – 10 + 10 = 90 + 10
5x = 100
Se despeja la variable con la operación inversa del factor 5
x5 =
5
100
x = 20
La comprobación siempre se realiza en el ejercicio original 2(20) + 3(20) – 10 = 90
40 + 60 – 10 = 90
100 – 10 = 90
90 = 90
Escribe la expresión algebraica que corresponda
a cada enunciado ¡Recuerda que tú puedes!
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1) 3x + 1 = 7 2) 3.5 x – 2 = 12 3) 5 + 4y – 7 = 4y – 2 – y
4) x + 6 =
5) 3x + 15 = 75 6) 6x – 18 = 2x – 6
7) x – 4 = 7 8) 2x + 5 = 35 9) 8x – 11 = 5x + 19
EXPRESIONES EQUIVALENTES
Cuando en una expresión aritmética ó algebraica se presentan valores que realizan la
misma operación y son iguales, se pueden simplificar o cambiar por expresiones
equivalentes, por ejemplo:
a) Si se suma el mismo número se expresa como factor 5 + 5 + 5 = 3 (5)
abc + abc = 2abc
b) Si se multiplica el mismo número se expresa como 2 x 2 x 2 x 2 = 24
potencia ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) = x5
c) Se los términos tienen la misma letra pero tienen 2p + 5p – p = 6p
diferente número (coeficiente) se pueden sumar 3ab – 6ab – 8ab = – 11ab
o restar dependiendo de su signo. – 7m – 8m – 3m – m = – 19m
1) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =
2) 3 x 3 x 3 x 3 =
3) mn + mn =
4) r + r + r + r + r + r + r + r =
5) 2c + c + 3c + 2c =
6) ( a ) ( a ) ( a ) =
7) 5d + d – 2d + 5d – d =
Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones
¡Nunca olvides que tú eres excelente!
Escribe una expresión equivalente a las siguientes
¡Recuerda que tú puedes!
2
20
20 de 27
PLANTEAMIENTO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para resolver problemas que involucran expresiones algebraicas como las
ecuaciones te propongo el siguiente procedimiento, aunque posiblemente a
ti se te pueda ocurrir alguna otra estrategia, recuerda que lo importante es
que justifiques los procesos que realizas y argumentes tus respuestas.
1) Lee detenidamente el problema, si es necesario vuelve a realizarlo.
2) Identifica los datos y variables del planteamiento
3) Establece las relaciones existentes entre las operaciones y las
variables
4) Plantea la ecuación de primer grado
5) Resuelve la ecuación
6) Comprueba que se cumplan las condiciones del problema
7) Responde la pregunta que se elaboró al principio
Ejemplo:
Ricardo tiene el doble de dinero que Jaime. Si entre ambos tienen $ 135.00, ¿cuánto dinero tienen cada uno?
Datos Ecuación
Ricardo = 2x (el doble de dinero de Jaime) 2x + x = 135 lo que tiene Ricardo más lo de Jaime
Jaime = x (cantidad de dinero de Jaime) 3x = 135 sumamos los términos semejantes
Total de ambos = $ 135.00 x = 135 despejamos x
3
x = 45
Comprobación: 2( 45 ) + 45 = 135
90 + 45 = 135
135 = 135
Resultado: Ricardo tiene $ 90.00 y Juan tiene $ 45.00
a) Guadalupe fue al mercado y compró 4
1 de calabazas,
5
2 de ejotes y
2
1 de jitomate. Si en
promedio cada kilogramo de verdura le costó $ 4.70
¿Cuántos kilogramos compró?
¿Cuánto pagó por ello?
3 2 3
Resuelve los siguientes problemas ¡Nota que son
muy fáciles!
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b) Ricardo compró un refrigerador por $ 4 800.00 y una lavadora por $ 6 200.00. Si por pagar en efectivo le
descuentan el 15% , ¿cuánto pagará por cada artículo?
c) Si Elena gana $ 12 500.00 mensuales y recibe un aumento del 8% ¿cuál será su nuevo salario?
d) La suma de dos números enteros consecutivos es 183. ¿Cuáles son esos números?
e) La suma de tres números consecutivos es 162 ¿qué números son éstos?
f) Un vendedor de flores compra cada docena de flores en $ 15.00. ¿Cuánto gastará en la compra de las
siguientes docenas de flores?
Gasto por la compra
Número de docenas compradas 2 4 6 7 9 10 12
Constante de proporcionalidad k = ______
g) El monte Everest tiene una altura de 9 899m sobre el nivel del mar y las fosas Marianas tienen una
profundidad de 11 785m. ¿Encuentra la diferencia que hay entre estas dos magnitudes?
h) En el año 2 530a.c. se construyó la Esfinge, en Egipto. ¿Cuántos años tiene su construcción?
FÓRMULAS GEOMÉTRICAS
El área del marco es: _________cm2
¿Cuánto tendrá de perímetro el
marco exterior de la fotografía?
Para ayudarla se tiene que conocer las medidas del marco exterior, como puedes
observar se trata de un cuadrado. Si tiene por medida 45 cm suma sus cuatro
lados, o bien multiplica por cuatro la medida de uno de los lados por tratarse de
un cuadrado. Dando un perímetro de 180 cm.
Ahora calcula el área del mismo marco. Para obtenerla multiplica la
medida del lado por el mismo lado, ayúdale a obtener el valor. ¡Tú
puedes!
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Para resolver los siguientes ejercicios consulta tu
libro de texto o tu cuaderno de notas, ya que
aplicarás las fórmulas geométricas para calcular
lo que te piden.
a) Observa el siguiente marco. Obtén el perímetro del marco
exterior e interior, y calcula el área de todo el marco. 24 cm
28 cm
16 cm
20 cm
b) Considerando las medidas que presenta nuestra figura, ¿qué tipo de
triángulo es?; y ¿cuál es su perímetro y su área?
16 dm
6 dm
10 dm
c) ¿Cuál es el perímetro y área de un pentágono regular que mide 5 cm
por lado y su apotema es de 3.44 cm?
Lado
Apotema
d) Si la rueda de una bicicleta recorrió 250 m de distancia y su radio es de
0.22 m, ¿cuántas vueltas completas dio la rueda aproximadamente?
23 de 27
a) Encuentra el perímetro y área de las siguientes figuras:
P = ________ P = __________ P = ____________
A = ________ A = __________ A = ____________ A = _____u2
b) Calcula el área sombreada de las siguientes figuras:
PROPIEDADES DE LA SIMETRÍA AXIAL.
2 u
2 u 2 u
8 u
4 u
24 dm
32 dm
20 dm
10 cm
7 cm
4 cm 4.3 cm
La reflexión de una figura respecto a un eje (axial) es
conocida como simetría.
Te pedimos repasar las diferentes reflexiones efectuadas en
clases, las traslaciones y giros, a efecto de que seas capaz de
hacer observaciones adecuadas de los resultados obtenidos al
reflejar sucesivamente una figura respecto a ejes paralelos,
respecto a ejes perpendiculares.
Cuando se construye la simétrica de una figura dada se conservan propiedades como:
Igualdad de lados.
Igualdad de ángulos.
Colinealidad.
Paralelismo y perpendicularidad.
r= 1.5 cm
3 cm
2.5
cm
Área sombreada = __________________ Área sombreada = __________________
r = 1.4 cm
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De acuerdo con lo anterior:
AB = A’B’
AA’ es paralelo al BB’
Ahora tú completa los siguientes enunciados:
El segmento ______ es igual al segmento AC,
El segmento CC’ es _________________ al eje m .
El ángulo B es igual al ángulo: _______
La distancia de C al eje de simetría es ____________
que la distancia del eje al punto C’.
Traza la imagen simétrica a la figura:
Dibuja la simetría axial de la siguiente figura
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La recta que pasa por el vértice de un ángulo y
lo divide en dos ángulos iguales se llama
bisectriz del ángulo. Los lados de un ángulo son
simétricos respecto de la bisectriz.
bisectriz
Eje de simetría
P
Q
R
C’
A
B
C
A’
B’ m
C
B
B
A
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MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
CONTEO
Para resolver problemas de conteo en ocasiones se utiliza el diagrama
de árbol. Este tipo de ordenamiento se puede emplear para conocer
exactamente las combinaciones de un evento y se puede verificar con la
regla de producto.
Por ejemplo: Fernando tiene 2 pares de zapatos, 3 pantalones y 3 camisas. ¿De cuántas formas puede
combinarlos?
Fernando
Z1 Z2
P1 P2 P3 P1 P2 P3
C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3
Esto indica que Fernando tiene 18 formas de combinar su ropa.
Equivale a 2(pares de zapatos) X 3 (pantalones) X 3 (camisas) = 18 combinaciones
Es decir, la regla de producto es 2 x 3 x 3 = 18 combinaciones
La mediatriz de un segmento es la
perpendicular al segmento que
pasa por el punto medio de dicho
segmento. La mediatriz de un
segmento es el eje de simetría del
segmento. A B
C
D
med
iatr
iz
b) Traza las bisectrices de los ángulos.
Las bisectrices que resultaron que tienen de
característico:
a) Traza las mediatrices de los segmentos
AB y BC.
A
B
C
Para el siguiente ejercicio necesitarás de un
compás y una regla,
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Resuelve los siguientes problemas
¿ Cuántas formas diferentes hay para elegir dos sabores de un helado, si hay cinco sabores distintos ?
Un pequeño restaurante ofrece 2 sopas, 3 guisados y 4 postres. ¿Cuántos menús diferentes pueden ofrecer a
sus clientes?
En el grupo de 1º “B” se formaron 5 equipos de 6 integrantes cada uno. Si cada integrante realizó 2 dibujos
¿Cuántos dibujos hicieron en total?
Dolores tiene 3 pares de zapatos, 4 faldas y 5 blusas. ¿De cuántas maneras puede combinar su ropa?
Si se lanza una moneda al aire tres veces, ¿cuántos resultados será posible obtener?
Para ir de una ciudad A a la D se requiere pasar por las ciudades B y C. Si de A a B hay 2 caminos; de B a
C hay 4 y de C a D hay 3. ¿ De cuántas formas distintas se puede ir de A a D ?
Si tienes dos pantalones de mezclilla (uno negro y otro azul) y dos playeras (una banca y otra gris) ¿ De
cuántas maneras puedes vestirte ?
INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS Y TABLAS:
Las gráficas son medios que sirven para representar información ordenada y de fácil consulta, en ellas se
puede leer el dato que se desea siguiendo las proyecciones de la abscisa y la ordenada según sea necesario,
en las tablas los datos faltantes se pueden obtener por proporción, relacionando los datos registrados de
previamente en ellas.
Interpreta los datos de las siguientes gráficas y contesta las preguntas.
1) La gráfica muestra los goles anotados en las primeras diez jornadas de un torneo de fútbol
¿Qué equipo anotó más goles en promedio?
a) ¿En qué jornada anotaron ambos equipos los mismos goles?
b) ¿Qué equipo anotó más goles en una jornada?
c) ¿Y la que anotó menos?
d) ¿En qué jornada la diferencia de goles entre ambos equipos es mayor?
e) ¿En qué jornada el equipo de italiano anotó menos goles que el equipo de español?
f) ¿Cuál es el equipo que anotó menos goles?
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2) Relacionada con las actividades favoritas de los jóvenes realizadas en su tiempo libre:
¿A qué dedican los jóvenes la mayor parte del tiempo libre
¿A qué actividades dedican el mismo tiempo?
4
1ve T.V. o cine
16
7 juegan deportes
8
1 escucha música
16
1 otras
8
1 lee
La siguiente gráfica representa los resultados de una encuesta a un grupo de alumnos respecto al número de
hermanos. Analízala.
Con base en la información contenida en la gráfica, contesta lo siguiente:
a) ¿Cuántos alumnos no tienen hermanos?
b) ¿Cuál es el mayor número de hermanos entre los estudiantes?
c) En promedio, ¿cuántos hermanos tiene cada alumno?
d) ¿Cuál es la mediana en el total de respuestas?
e) ¿Cuál es el número de hermanos más frecuente? ¿Cuántas veces se repite?
Recuerda que eres EXCELENTE y tú puedes ser
mejor solamente estudia, administra tu tiempo y
triunfarás.
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
Número de hermanos