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Lección 10: División de Polinomios

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo

2009 ©

Objetivos de la lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

• Dividirán polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.

• Aplicarán el método de la división larga al dividir por un binomio.

• Aplicarán el método de la división sintética al dividir por un binomio del tipo (x- a).

Introducción

• La división de polinomios es muy útil en muchas aplicaciones relativas a la economía, física e ingeniería, entre otras.

• Entre estas aplicaciones se encuentran la teoría de números, el análisis numérico, la teoría de operadores, la teoría de representación de grupos y la mecánica cuántica, por citar algunas.

Introducción• Para dividir polinomios podemos aplicar varios

métodos.

• En esta lección estudiaremos cómo se dividen polinomios de dos o más términos por polinomios de uno y dos términos.

• Estudiaremos el método de la división larga y el método de la división sintética.

• La división larga aplica a todo tipo de polinomio. La división sintética aplica solo a unos casos particulares que discutiremos más adelante.

Comprendiendo la División

Comprendiendo la División

• La división es una operación matemática que consiste en saber cuántas veces un número (el divisor) está contenido en otro número (el dividendo).

• Ejemplo:– Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2),

queremos determinar cuántas veces está contenido el 2 dentro de 6.

– En este ejemplo, el 2 es el divisor y el 6 es el dividendo.

DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO

Componentes de la División• Los componentes de la división son los siguientes:

– Dividendo

– Divisor

– Cociente

– Residuo

• Se le llama cociente al resultado de la división y residuo al sobrante que se obtiene luego de restar el producto del cociente por el divisor.

• La relación existente entre estos componentes es la siguiente:

) Dividendo- (cociente x divisor)

Residuo

DivisorCociente

Relación entre los Componentes de la División

• A veces es conveniente expresar la relación de división anterior de otra manera.

• Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor,


DIVISOR DIVISOR DIVISOR

• Obtenemos la siguiente expresión:

• Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.


DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUODIVISOR DIVISOR

1

1

Relación entre los Grados de los Componentes de la División

• Al dividir polinomios encontramos que el grado del residuo debe ser menor que el grado del divisor. • Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del

divisor.

• Así también, la división de polinomios asume que el grado del dividendo será mayor o igual que el grado del divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría exponentes negativos y entonces no sería un polinomio.

• Esta relación nos permite comparar con facilidad los grados de todos los componentes involucrados en la operación.

Gradoresiduo < Gradodivisor ≤ Gradodivdendo

Formas de Expresar la División

• Existen tres formas de expresar la división:

– Forma 1: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.

– Forma 2: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.

– Forma 3: , donde “a” es el dividendo y “b” es el divisor.

ab

b

a

• La forma 2 se conoce como la forma de la “casita de división”.

• La forma 3 se conoce como la forma de “fracción”.

Formas de Expresar la División• Es necesario que podamos intercambiar entre una

expresión y otra para poder entender mejor y llevar a cabo el proceso de división.

• Por ejemplo: -En la expresión (x2 + 2x + 1) ÷ (x + 1) debemos saber que la expresión a la izquierda del signo de división (x2 + 2x + 1) es el dividendo y la que aparece a la derecha del mismo (x + 1) es el divisor.-Podemos expresar esa división de esta otra forma, en la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de división y el divisor se coloca fuera de la misma:

-También, podemos expresar esa división de la siguiente manera:

121 2 xxx

1

122

x

xx

Ejemplo 1• Exprese la siguiente división usando la forma 2

(casita de división):

• Cuando tenemos la forma de fracción, el polinomio que está en el numerador es el dividendo y el que está en el denominador esel divisor.

• En la forma 2 el dividendo es el término queva dentro de la casita de división y el divisor el que va fuera:

3

1272

x

xx

1273 2 xxx

Ejemplo 2 • Exprese la siguiente división usando la forma 3

(forma de fracción):

• En la forma 1 el dividendo es el término que que está a la izquierda del símbolo de división y el divisor es el que está a la derecha:

• En la forma 3 el dividendo es el término que va en el numerador y el divisor el que va en el denominador:

2

652

x

xx

)2()65( 2 xxx

División de Polinomios por un Monomio

División por un Monomio

Ejemplo 1: (16x5 – 8x4 + 5x3 – 2x2) ÷ 4x

• Para dividir por un monomio es conveniente expresar la división de esta forma:

• Observa que esto es una expresión racional, es decir, una fracción con numerador y denominador.

• En una expresión racional, el denominador es común a todos los términos del numerador, por lo tanto podemos re-escribir la expresión de la siguiente forma:

x

xxxx

4

25816 2345

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

5

4

8

4

16 2345

Continúa en la próxima pantalla.

División por un Monomio• En una expresión como la anterior, donde tenemos

varios monomios divididos por otro monomio, aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada expresión:

• Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se puedan dividir y se restan los exponentes de las variables que tienen bases iguales.

– Siempre se resta el exponente de la variable que está en el numerador menos el exponente de la variable que está en el denominador.

– Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan expresados tal como están o se simplifican si tienen algún factor común entre sí.

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

5

4

8

4

16 2345

División por un Monomio• Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio

anterior tenemos:

xxxxx

x

x

x

x

x

x

x

2

1

4

524

4

2

4

5

4

8

4

16 2342345

Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,

dividimos cada término del polinomio por el monomio, en

forma individual. Luego aplicamos las leyes de exponentes.

Ejemplo 2

Divide ( ) por 4x.

• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio 4x. Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

4812 23 xxx

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

4

4

44

8

4

12

4

4812 2323

xxx

1

4

123 2

Ejemplo 3

Divide ( ) por

• Escribimos en forma de fracción y dividimos cada término del polinomio por el monomio . Luego aplicamos leyes de exponentes y simplificamos:

324354 538 yxyxyx

32

32

32

43

32

54

32

324354 538538

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yxyxyx

538 22 xyyx

32 yx

32 yx

División de Polinomios por un Binomio:

Método de la División Larga

División por un binomio

Divide ( ) por ( ).

• Cuando tenemos un polinomio dividido por un binomio aplicamos el método de la división larga.

• El método de división larga es similar al proceso que utilizamos para dividir dos números cardinales cualesquiera.

• En la próxima pantalla repasaremos la división de números cardinales.

852 xx 3x

Repaso de División de Cardinales• Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de

división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente manera:

• Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.

Cociente

DividendoDivisor

Residuo

456525

182

-25

206

-200

65

-50

15


• Divide ( ) por ( ) .852 xx 3x

853 2 xxx1. Se divide x2 y el resultado es x.

x

2. Se coloca el resultado x en el

cociente.

x

3. Se multiplica el cociente x por todo

el divisor (x+ 3) y se coloca debajo

del dividendo.

x2 + 3x

4. Ahora tendríamos que restar:

(x2 + 5x) – (x2 +3x). Veremos en la

próxima pantalla.


• Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxx

x

6. Se efectúa la suma del opuesto y se

baja el próximo término del

dividendo. Observa que el primer

término x2 y -x2 se eliminan.

-x2 + -3x

5. Recuerda que la resta de polinomios se

convierte en la suma del opuesto de

cada término del segundo polinomio:

(x2 + 5x) – (x2 +3x) =

(x2 + 5x) + (-x2 + -3x)

Observa que los signos del segundo

polinomio cambian al opuesto de lo que

eran y ahora se suma, y no se resta.

2x + 8

7. Se repite el proceso (pasos 1-6).

Veamos en la próxima pantalla.


• Divide por .)85( 2 xx )3(x

853 2 xxx

x

11. Se efectúa la suma del opuesto.

Observa que el primer término 2x

se elimina.

-x2 + -3x

2x + 8

8. Se divide 2x y el resultado es 2.

x

9. Se coloca el resultado + 2 en el

cociente.

10. Se multiplica el cociente +2 por todo el

divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se

coloca este resultado debajo del

anterior. Ahora tendríamos que restar y

como restar equivale a sumar el

opuesto tendríamos:

(2x + 8) – (2x +6) =

(2x + 8) + (-2x + -6)

+ 2

-2x + -6

12. Hemos finalizado el proceso ya que

no tenemos ningún otro término en el

dividendo que tengamos que bajar. El

resultado es (x + 2) con residuo 2.

2


• Divide por .852 xx 3x

Podemos expresar esta división de la

siguiente manera:853 2 xxx

x

-x2 + -3x

2x + 8

+ 2

-2x + -6

23

2)2(

3

852

xx

x

xx

Observa que el residuo 2 es una parte

fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Ejemplo 2

• Divide por .)8635( 234 xxxx )1(x

86351 234 xxxxx1. Se divide 5x4 y el resultado es 5x3.

x

2. Se coloca el resultado 5x3 en el

cociente.

5x3

3. Se multiplica el cociente 5x3 por todo

el divisor (x - 1) y se coloca debajo

del dividendo.

5x4 - 5x3

4. Ahora tendríamos que restar:

(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3). Veremos en

la próxima pantalla.

Continuación de Ejemplo 2

• Divide por .8635 234 xxxx 1x

86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6. Se efectúa la suma del opuesto y se

baja el próximo término del

dividendo. Observa que el primer

término 5x4 y -5x4 se eliminan.

5. Recuerda que la resta de polinomios se

convierte en la suma del opuesto de cada

término del segundo polinomio:

(5x4 + x3) – (5x4 – 5x3) =

(5x4 + x3) + (-5x4 + 5x3)

7. Se repite el proceso (pasos 1-6).

Veamos en la próxima pantalla.

6x3 – 3x2



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

8. Se divide 6x3 y el resultado es 6x2.

x

9. Se coloca el resultado + 6x2 en el

cociente.

10.Se multiplica el cociente + 6x2 por todo el

divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2. Se

coloca este resultado debajo del anterior.

Ahora tendríamos que restar y como restar

equivale a sumar el opuesto tendríamos:

(6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2) =

(6x3 – 3x2) + (-6x3 + 6x2)

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

11. Se eliminan los primeros términos

6x3 y -6x3 y el resultado es 3x2 .

12. Se baja el próximo término -6x.



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

13. Se repite el proceso de dividir,

luego multiplicar, luego restar,

finalmente bajar el próximo y

último término.

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Observa que cuando se ha

bajado el último término del

dividendo y se ha obtenido el

residuo correspondiente a éste,

el proceso de división finaliza.

Este será el resultado final.



86351 234 xxxxx

5x3

-5x4 + 5x3

6x3 – 3x2

-6x3 + 6x2

3x2 - 6x

+ 6x2

-3x2 + 3x

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Podemos expresar esta división de la

siguiente manera:

1

11)3365(

1

8635 23234

xxxx

x

xxxx

Observa que el residuo -11 es una

parte fraccionaria del divisor.

Cociente Residuo

Reflexión

• Cuando se aplica la división larga hay dos reglas que hay que considerar antes de proceder a dividir.

– El dividendo y el divisor tienen que estar ordenados en forma descendente de acuerdo al grado mayor de una de las variables.

– Si faltara alguna potencia de la variable en el dividendo, hay que reservar este espacio con un cero. Esto significa que hay 0x ó 0x2 ó 0x3, dependiende de la potencia que falte.

Ejemplo 3:

• En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo faltan las potencias de x2 y x1 por tanto, tenemos que reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.

• Dividimos 125x3 por 5x y tenemos 25x2.

80012525 23 xxxx

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2


Continuación Ejemplo 3:

• Luego multiplicamos 25x2 por todo el divisor (5x -2) y tenemos:

• Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y tenemos:

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

125x3 – 50x2

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x


Observa que si no

hubiéramos reservado el

espacio de la potencia

de x2 , no hubiéramos

podido sumar ya que los

términos no hubieran

sido semejantes.


• Volvemos a dividir, esta vez, 50x2 por 5x que nos da 10x. Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente sumamos el opuesto y bajamos el próximo término.

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x


+ 10x

-50x2 + 20x

20x – 8


• No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el último término, todavía no hemos obtenido el residuo.

• Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto. El resultado obtenido es el residuo.

25

8125 3

x

x

80012525 23 xxxx

25x2

-125x3 + 50x2

50x2 + 0x

+ 10x

-50x2 + 20x

20x – 8

+ 4

-20x + 8

0 Residuo

Ejemplo 4:

• Se ilustra el proceso para dividir:

• El resultado es:

2

59 24

x

xx

50902 234 xxxxx-x4 + 2x3

2x3 – 9x2

-2x3 + 4x2

-5x2 + 0x

5x2 – 10x

-10x – 5

Residuo

10x – 20

x3 + 2x2 – 5x – 10

– 25

2

251052 23

xxxx

División de Polinomios por Binomios de la forma (x – a):

Método de la División Sintética

División Sintética

• La división sintética es un proceso de división sintetizado o resumido.

• Esto implica que es un proceso más corto, lo único que solo aplica cuando el divisor tiene la forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1.

• La división sintética se conoce también por el Método de Ruffini.

• Para entender mejor este método observa la próxima pantalla.

División Sintética

• Compara la columna de la izquierda con la de la derecha. ¿Qué observas?

• La columna a la izquierda ilustra el método de división larga. La columna a la derecha ilustra el mismo proceso, excepto que solo aparecen los coeficientes, no aparecen las variables.

853 2 xxx

x

-x2 + -3x

2x + 8

+ 2

-2x + -6

2

85131

1

-1 + -3

2 + 8

+ 2

-2 + -6

2

División Sintética• Veamos otro ejemplo

• Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo, excepto por el signo opuesto.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

1 – 2


• Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros términos cuando se van a sumar.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

1 – 2 7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

4


• Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener también si en vez de sumar el opuesto se divide por el opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en vez de restar.

7342 23 xxxx

4x2

-4x3 + 8x2

5x2 + x

+ 5x + 11

-5x2 + 10x

11x + 7

-11x + 22

29

7134

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

29

1 – 2

Reflexión

• En la división sintética se sintetiza el proceso de división larga al tomar en consideración las observaciones anteriores.

• Ilustraremos el proceso de división sintética usando el mismo ejercicio anterior.

• Veamos en la próxima pantalla:

2

734 23

x

xxx

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

Aquí se colocan los coeficientes del

dividendo en orden descendente. Si falta

alguna potencia de la variable, se reserva el

espacio con un cero

Este es el símbolo que se usa para representar la

división sintética


Se coloca esta línea para separar los coeficientes de

la suma

Aquí se escribe el opuesto del segundo

coeficiente del divisor.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

1 El proceso comienza

siempre bajando el

primer término.

2. Luego se multiplica el

primer coeficiente por el

coeficiente que

representa el divisor y se

coloca debajo del

segundo término del

dividendo.

3. Se suman los

segundos coeficientes.

4. Se repite el paso 2 y 3

pero con el nuevo

coeficiente hallado.

4 5 11 29

8 10 22

5. Colocamos una línea

para separar el residuo

del cociente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

4 5 11 29

8 10 22

RESIDUO

COCIENTE

Observa que al dividir por un divisor de

grado 1 (x-a), se producirá un cociente de

grado uno menos que el grado del

dividendo. Esto es, si el dividendo es de

grado 3, el cociente será de grado 2.

Grado 3

Grado 1

Es por esto que podemos

construir el cociente

asignando a los

coeficientes encontrados,

comenzando con la

variable en un grado

menos que el grado del

dividendo. Las demás

potencias de las variables

quedarán en forma

descendente.

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

734 23

x

xxx

4 5 11 29

8 10 22

2

29)1154(

2

734 223

xxx

x

xxx

4x2 + 5x+ 11Grado 1

Grado 2

Grado 0

Como el residuo es parte

fraccionaria del divisor tenemos que

29 representa: 29

x - 2

Grado 3

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

306 23

x

xxx

+ 2

Colocamos el opuesto del

coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer

coeficiente.

1

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del

segundo coeficiente.

2

8

Sumamos los

segundos

coeficientes

Repetimos el

proceso de

multiplicar y sumar

hasta obtener el

residuo.

16

15

30

0

RESIDUOCOCIENTE

Comenzamos colocando

los coeficientes del

dividendo asegurándonos

que las variables están

en orden descendente.

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

306 23

x

xxx

+ 2

1

2

8

16

15

30

0

x2 + 8x+ 15Grado 1

Grado 2

Grado 0

RESIDUO

1580)158(2

306 2223

xxxxx

xxx

Cociente + Residuo

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

572 23

x

xx

-3

Colocamos el opuesto del

coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer

coeficiente.

2

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y

lo colocamos debajo del

segundo coeficiente.

-6

1

Sumamos los

segundos

coeficientes

Repetimos el

proceso de

multiplicar y sumar

hasta obtener el

residuo.

-3

-3

9

4

RESIDUOCOCIENTE

Colocamos los

coeficientes del dividendo

en orden descendente.

Como falta la potencia x,

reservamos el espacio

con un cero

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

572 23

x

xx

-3

2

-6

1

-3

-3

9

4

COCIENTE

32 2 xx

RESIDUO

3

4

x

3

4)32(

3

572 223

xxx

x

xx

Ejemplo 4:

1 0 0 0 -1

1

14

x

x

+1

1

1

1

-1

1

1

1

1

0

COCIENTE

123 xxx

RESIDUO

1

0

x

)1(1

1 234

xxxx

x

Ejercicios de Práctica

Instrucciones

• En tu libreta, realiza los ejercicios a continuación.

• Luego, haz clic para ver resultados.


• Divide los polinomios a continuación.

2

256

6

361824

x

xxx 634 34 xx

2

247

5

152045

y

yyy

)2()221432( 222334 babababa

349 25 yy

11716 22 abba



7x)3()2110( 2 xxx

)4()168( 2 aaa

)42()1464( 23 yyy

)2()652( 2234 xxxxx

4

32)2(

aa

42

6)22( 2

yyy

2

123)92(

2

2

x

xxx



1

4)1( 2

xxx)1()522( 23 xxxx

)4()1911( 2 aaa

)3()18253( 24 xxx

)2()16( 4 yy

4

47)7(

aa

)6293( 23 xxx

)842( 23 yyy

lección 10: división de polinomios - math 118 · pdf fileintroducción...

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