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Las operaciones aritméticas básicas y sus implicaciones didácticas
Cuaderno para el asesor
Asesoría especializada
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Mtro. Aurelio Nuño Mayer Secretario de Educación Pública
Lic. Mauricio López Velázquez Director General del INEA ______________________________________
Créditos de la presente edición Coordinación general Celia del Socorro Solís Sánchez Coordinación técnico-pedagógica María del Rocío Guzmán Miranda Autoría María del Rocío Guzmán Miranda Colaboración Lucina Solís Barrera
Coordinación gráfica y cuidado de la edición Greta Sánchez Muñoz Adriana Barraza Hernández Apoyo al cuidado de la edición Hugo Fernández Alonso Seguimiento editorial María del Carmen Cano Aguilar Revisión editorial Gabriel Nieblas Sainz Alicia Naves Merlín Eliseo Brena Becerril
Diseño Ricardo Figueroa Cisneros Diagramación Ricardo Pérez Rovira Fotografía e ilustración Banco de imágenes del INEA
Asesoría especializada. Eje de Metemáticas. Cuaderno para el asesor. Curso 2. Las operaciones aritméticas básicas y sus implicaciones didácticas. D. R. 2017 ©Instituto Nacional para la Educación de los Adultos, INEA. Francisco Márquez 160, Col. Condesa, Ciudad de México, C. P. 06140. Esta obra es propiedad intelectual de sus autores, y los derechos de publicación han sido legalmente transferidos al INEA. Prohibida su reproducción parcial o total por cualquier medio, sin autorización escrita de su legítimo titular de derechos. Algunas veces no fue posible encontrar la propiedad de los derechos de algunos textos y/o imágenes aquí reproducidos. La intención nunca ha sido la de dañar el patrimonio de persona u organización alguna, simplemente el de ayudar a personas sin educación básica y sin fines de lucro. Si usted conoce la fuente de alguna referencia sin crédito, agradeceremos establecer contacto con nosotros para otorgar el crédito correspondiente. ISBN Modelo Educación para la Vida y el Trabajo. Obra completa: 970-23-0274-9 ISBN Asesoría especializada. Eje de Metemáticas. Cuaderno para el asesor. Curso 2. Las operaciones aritméticas básicas y sus implicaciones didácticas: 978-607-710-389-9 Impreso en México
Índice
Introducción 4
Ficha 1 Resolucióndeproblemas 6
Ficha 2 Losproblemasaditivosylasuma 17
Ficha 3 Laresta 29
Ficha 4 Problemasmultiplicativos 42
Ficha 5 Ladivisión 57
Ficha 6 Múltiplosydivisores 70
Ficha 7 CompetenciasquepromueveelEjedeMatemáticas 75
TablerojuegodeLaoca 83
Billetesymonedasdejuego 85
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IntroducciónEstimadoasesoroasesora:
Estecuadernohasidoelaboradoparaquereflexionesycompren-dasaspectosfundamentalesdelaenseñanzadelasmatemáticas.
Enelcontextodelaeducaciónparaadultos,losconocimientosmatemáticos informalesquelaspersonas jóvenesyadultashanconstruidoalolargodesuvidacotidianaylaboralsonelpuntodepartidadeunaintervencióneducativaadecuada,laqueteper-mitirápropiciareldesarrollodelrazonamientomatemáticodelosparticipantesenelCírculodeestudio.
Elaprendizajedenocionesnuméricas,espacialesytemporalesdelaspersonasestápresentesiemprecomoconsecuenciadelasexperien-ciasquevivenalinteractuarconsuentorno,lascualeslespermitenavanzarenlaconstruccióndenocionesmatemáticasmáscomplejas.Elconocimientodereglas,algoritmos,fórmulasydefinicionessóloesimportanteenlamedidaenquelopuedanusardemaneraflexibleparasolucionarproblemas.
Elcontenidodeestecuadernoestábasadoenelenfoqueactualdeenseñanzayaprendizajedelasmatemáticas,porloqueabor-daelcontenidomatemáticoaenseñarylasdificultadesalasqueseenfrentan laspersonascuandoaprendendichocontenido, y
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teofrecealgunasalternativasysituacionesdidácticasquehacenposibleelaprendizaje.
Eneldesarrollodelasactividades,encontrarásproblemasaresol-ver, informaciónpedagógicaeinvitacionesaldiálogoylarefle-xióncontuscompañerosasesoresparaabordareltemadelen-foquedelaenseñanzadelasmatemáticasapartirdelasolucióndeproblemas,esdecir,noseaprendematemáticasparadespuésaplicareseconocimientoalaresolucióndeproblemas,sinoqueseaprendematemáticasalresolverproblemas.Tambiénanaliza-rásdiferentesproblemasqueparasuresoluciónrequierendelasuma,resta,multiplicaciónydivisión,parafinalizarconlarevisiónde las competencias matemáticas que requieren desarrollar laspersonasjóvenesyadultasqueestudianlosmódulosdelEjedeMatemáticas.
Esperamosqueestematerialconstituyaunaherramientavaliosaparatuformaciónyteseaútilparaapoyartuenseñanzadelasmatemáticas,enbeneficiodelaspersonasjóvenesyadultasqueestudianenelINEA.
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Ficha 1 Resolucióndeproblemas
1 Organícenseenequiposyresuelvanelsiguienteproblema.Enunahojaregistraloquehacesparaencontrarlasolución.
Enelmismoequipocontestenlassiguientespreguntasyanotensusconclusiones.
Describanalgunosprocedimientosquehayanutilizadopararesolverelproblema.
UnartesanodelEstadodeMéxicofabricaca-jonerasde4y6cajones,talcomosemuestraenlailustración.Silepiden17cajonerasconuntotalde88cajones,¿dequémanerapuedesatisfacerestepedido?
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¿Haydiferenciasosimilitudesentreellos?Escribanlasprincipales.
¿Quéconocimientosmatemáticosutilizaronpararesolverelproblema?
¿Qué“errores”cometieron?Describanlosprincipales.
Enreunióngeneralquecadaequipoexpliquealgrupocómoobtuvoelresultadodelproblemaylarespuestadecadapregunta.
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2 Enequipoleanelsiguientetexto.
La enseñanza de las matemáticas
Tradicionalmente,laresolucióndelosproblemasdematemáticashasidovistacomounaactivi-dadenlacualdebenaplicarselosconocimientosdelasoperacionesolasfórmulaspreviamenteenseñadas,esdecir, seseparaartificialmenteelmomentodedicadoaadquirirconocimientos delosalgoritmosdelasoperaciones(sumecánicaderesolución)delmomentodedicadoare-solverproblemas.
Existeunaposiciónoenfoquetotalmentediferenteenlaquesepretendepromoveraprendi-zajessignificativos,construidosporelsujetocomoresultadodelaactividaddesplegadaenlabúsquedadelaresolucióndeunproblema,lacualhademostradoquelosproblemasnosólosonellugardondeseaplicanlosconocimientos,sinoquesonlafuentemismadelosconocimientos.
Para aprender matemáticas, las personas necesitan hacer matemáticas, es decir, precisan en-frentarmuchassituacionesdonderequieranresolverunproblemaverdadero,delmundoreal,comprensible,atendible,significativo.Asualcance,peronocomoalgoquepuedetomarsesóloestirandounbrazo.
Desdeesteenfoque,unproblemaesaquelqueretaintelectualmentealapersonadetalma-neraque,apartirdesushabilidadesyconocimientosprevios,puedaconstruirsuspropiasestrategiasdesolución.Estasestrategiaspuedenevolucionarsilapersonarecibeestímulosyapoyosadecuadosqueseconstituyanensaberesformalesyconvencionales.
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Cuandonosreferimosa“problema”nonosestamosrefiriendosolamenteaunproblemaarit-mético, sino a cualquier situación de aprendizaje que sea significativa para la persona, quepermitalabúsquedainicialdesusoluciónapartirdesusconocimientospreviosyque,alavez,estosconocimientosinicialesseaninsuficientesparasusoluciónylallevenaconstruirnuevosconocimientos.
Enconsecuencia,losconocimientosmatemáticosylosproblemasnopuedensepararse.Nosepuedeaprendermatemáticasparadespuésaplicareseconocimientoalaresolucióndeproble-mas,sinoqueseaprendematemáticasalresolverproblemas.
Estaideasignificarecuperarlossignificadosdelosconocimientosycontextualizarlosnuevamen-te,esdecir,ponerlosensituacionesenlasquecobrensentidoparaelqueaprende,alpermitirleresolverlosproblemasqueseleplantean.
Cuandolaspersonasresuelvenproblemassignificativosdesdesucontexto,utilizanlabúsquedayconstruccióndeestrategiaspararesolverlosapartirdeloqueyasaben,ynodeaplicarconoci-mientosmatemáticossofisticados.Losensayos,loserroresylasrectificacionessonparteesen-cialdelprocesodeconstruccióndeconocimientosmatemáticos,ysiserealizanconlibertadyconfianza,sepuedenvolverexperienciasagradables.
Laspersonas,antesdeingresaraestudiarmatemáticasdemaneraformal,tienenmuchasexpe-rienciasmatemáticas:cuentanyoperanconcantidadesdedinero;ven,usane interpretan losnúmerosenactividadescotidianas;hacendibujosycroquisenlatierraoenelpapel;conocencaminosquelosconducenadistintoslugaresdentroyfueradelacomunidad;ymidenlongi-tudes,áreasycapacidades.Conestasexperienciashanadquiridoconocimientosyconstruidosuposicionessobrealgunosaspectosmatemáticosquesonlabasesobrelaquesedesarrollanconocimientosmásavanzados.
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Confrecuencia,lamaneraenqueseplanteanlosproblemasenunsistemaescolarizadonoper-mitequelosestudiantesseenfrentenrealmenteaellos.Selesdicecómoresolverlososelesproponenproblemasmodeloenlosquedebenaplicarelconocimientoquesehaenseñadoprevia-mente.Esdecir,noseestimulalabúsquedapersonalnilacreacióndeprocedimientospropios.Siantesdeplantearelproblemaselesenseñala“fórmula”u“operación”queloresuelvedemanerasistemática,selesquitalaoportunidaddehacermatemáticas,esdecir,deconstruirporsímis-mosherramientaspararesolverproblemas.
Cuandolosestudiantestienenlibertadparabuscarlamaneraderesolverunproblema,porloge-neral,encuentranalmenosunaformadeaproximarsealresultado.Esto,asuvez,puedegenerarenungrupomásampliounavaliosadiversidaddeprocedimientos.
Queelestudianteconozcaycomparelasdiferentesformasdesolucióndesuscompañerosparaunmismoproblema,tieneungranvalordidáctico,yaqueselepermitedarsecuentaquepararesolverunproblemaexistenvarioscaminos,algunosmáslargosycomplicadosqueotros,peroqueloimportanteesacercarsealasolución.Tambiénlepermitepercatarsedesuserroresyfavorecerqueporsímismovaloresusresultados.
Cuandolosestudianteslograncomprenderelprocedimientoqueotrossiguieronpararesolveralgúnproblema,puedenprobarloenotrassituaciones.Probar,equivocarseyvolveraprobarhas-talograrlasolución,propiciaqueavancenensuaprendizaje,adquieranconfianzaenelmanejodesusconocimientos,reconozcansuvalidezylosutilicenpararesolverlasdiversassituacionesalasqueseenfrentan.
Tomadode:sep.La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Taller para maestros,México,sep-pronap,1995.
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Conbaseenlalecturaanterior,contestenlassiguientespreguntas.
Tradicionalmente,¿paraquésehausadolaresolucióndeproblemas?
¿Quésignificacuandosedicequelaspersonas“necesitanhacermatemáticas”?
¿Quéesunproblema?
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¿Cuálessonlosconocimientosmatemáticospreviosquelaspersonastienenaliniciarelaprendizajedelasmatemáticas?
¿Porquésedicequesiseleenseñala“fórmula”u“operación”pararesolverunproblema,selequitalaoportunidaddehacermatemáticas?
¿Porquéesimportantequelosestudiantesdenaconocersusdiferentesestrategiasparasolucionarunmismoproblema?
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3 Tambiénenequipos,leanelsiguientetextoyresuelvanloquesepide.
¿Qué implica la resolución de un problema?
“Unproblemageneralmentesedefinecomounasituacióninicialconunobjetivoporalcanzar,quelepidealsujetorealizarunaseriedeaccionesodeoperacionesparaalcanzareseobjetivo.Sólohayunproblemaenlarelaciónsujeto-situacióncuandolasoluciónalasituaciónnoestádisponibledegolpe,peroesposibleconstruirla”(J.Brun).
Elprocesoderesolucióndeproblemaspuededescribirseapartirdeloselementosconsideradosacontinuación.
1. Unasituaciónenlacualsequierehaceralgo,perosedesconocenlospasosprecisosparaal-canzarloquesedesea.
2.Unconjuntodeelementosquerepresentanelconocimientorelacionadoconelproblema.3. Elsolucionadordeproblemasosujetoqueanalizaelproblema,susmetasydatos,elcualse
formaunarepresentacióndelproblemaensusistemadememoria.4.Elsolucionadordeproblemasqueoperasobrelarepresentaciónparareducirladiferenciao
discrepanciaentrelosdatosylasmetas.Lasolucióndeunproblemaestáconstituidaporlasecuenciadeoperacionesquepuedentransformarlosdatosenmetas.
5. Aloperarsobrelosdatosylasmetas,elsolucionadordeproblemasutilizaopuedeutilizarlossiguientestiposdeinformación:
• Informaciónalmacenadaensumemoria.• Procedimientosheurísticos(investiga,deduce,busca,ensaya).
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• Algoritmos(procedimientosmecánicosqueyaconoce).• Relacionesconotrasrepresentaciones.
6.Elprocesodeoperarsobreunarepresentacióninicialconelfindeencontrarunasoluciónalproblema,sedenominabúsqueda.Comopartedelprocesodebúsquedade lasolución, larepresentaciónpuedetransformarseenotrasrepresentaciones.
7. Labúsquedacontinúahastaqueseencuentraunasoluciónoelsolucionadordeproblemassedaporvencido.
Etapas en la resolución de un problema
• Comprenderelproblema.• Diseñarunaestrategia.• Ejecutarlaestrategia.• Comprobarlosresultados.
Comprenderoentenderelproblema.Ustednopuederesolverunproblemasinoentiendeloqueselepideencontrar.Elproblemadebeserleídoyanalizadocuidadosamente;esprobablequenecesiteleerlovariasveces.Despuésdequeasílohayahecho,pregúntese:“¿Quédeboen-contrar?”.
Diseñarunaestrategiaoformularunplan.Haymuchasformasdeatacarunproblema,porelloesnecesarioconcebirodecidircuáleselplanmásapropiadoquelollevaráalasolución.
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Ejecutarlaestrategiaollevaracaboelplan.Unavezquesepacómoenfocarelproblema,realicesuplan.Ustedpuedecorrerhaciauncallejónsinsalidaoporcaminosconobstáculosimprevistos,peroseapersistente.
Comprobarlosresultados.Compruebesurespuestaparaverqueéstasearazonable.¿Satisfacelascondicionesdelproblema?¿Harespondidoustedatodaslaspreguntasquesehacenenelproblema?¿Puederesolverelproblemadeunamaneradiferenteyalcanzarlamismarespuesta?
GeorgePólya.Estrategias para la resolución de problemas.
Resuelvanelproblemaqueseplanteaacontinuación,siguiendolasetapasseñaladasarriba.Regis-trenloqueevidenciacadaetapa.
Supongamosque sevaapremiar aunodedosgruposdeunaescuela.Elcriteriodeelecciónsebasaráenelmejordesempeñodeaprobacióndelosestudiantesqueconformancadagrupo.
ElgrupoAtiene18alumnosyreprobaron7alum-nos.DelgrupoBreprobaron11alumnosdeunto-talde40estudiantes.
¿A qué grupo debe otorgarse el premio? ¿Porqué?
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Comprenderelproblema
Diseñarunaestrategia
Ejecutarlaestrategia
Comprobarlosresultados
4 Enreunióngeneraldenaconocerelresultadodelproblemaydiscutansilospasosquesiguieronpararesolverlocoincidenonoconlasetapasplanteadas.
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Ficha 2 Losproblemasaditivosylasuma
1 Demaneraindividual,resuelvelossiguientesproblemas.
a) El señor Gómez gana mensualmente $ 11 360.50. Si este mes le dieron un bono de $ 7 358.75, ¿cuánto dinero recibió este mes?
b) Javier paga de renta $ 1 162.00 y Raquel $ 888.00. ¿Cuánto pagan de renta entre los dos?
c) Toribio gana $ 13 775.00 al mes, pero necesita $ 9 050.00 más para ganar lo mis-mo que Humber-to. ¿Cuánto gana Humberto?
d) Para iniciar un negocio, Carlos recibió un présta-mo de $ 20 309.00 y Teodoro recibió $ 1 965.00 más que Carlos. ¿A cuánto ascendió el prés-tamo que recibió Teodoro?
¿Quéoperaciónutilizastepararesolverlos?
Desdetupuntodevista,¿cuálocuálesproblemassonmásdifíciles?
Explicaporquéconsiderasquesonmásdifíciles.
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Enreunióngrupalexponganlosresultadosdelosproblemasylasrespuestasalaspreguntasplan-teadas.
Sedenominanproblemasverbales,aditivos,simplesaquellosqueseresuelvenatravésdeunasuma(oresta),yapesardequetodosseresuelvanporesaoperación,puedentenerdiferentedificultad.Veamoscuálessonlosfactoresquecondicionanlacomplejidaddeestosproblemas.
Laadiciónosumaesunaoperaciónfundamentalquepermiteentenderlasdemásoperaciones,comolaresta,lamultiplicaciónyladivisión,indispensablespararesolverproblemasdelavidaco-tidiana;deahílarelevanciadesuenseñanzaenlaescuelaprimaria.
Existencuatrotiposdeproblemasverbales,aditivos,simples:
DecambioSebastiánteníadiezpelotasyUliseslediocincopelotasmás.¿CuántaspelotastieneahoraSebastián?Siobservamos,enesteproblemahayunacantidadinicialqueseincrementaalañadirotra.
DecombinaciónSebastiántienediezpelotasyUlisestienecincopelotas.¿Cuántaspelotastienenentrelosdos?Enesteproblemahaycantidadesquenosealteranalresolverlo,sinosimplementesecombinan.
DecomparaciónSebastiántienediezpelotasyUlisestienecincopelotasmásqueSebastián.¿CuántaspelotastieneUlises?
Enestetipodeproblemassedalacomparaciónentrelascantidadespresentadas.
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DeigualaciónSebastiántienediezpelotas,peronecesitacincopelotasmásparatenerlasmismasqueUlises.¿CuántaspelotastieneUlises?
Enesteproblemahayqueañadirunacantidadparaigualarotracantidad.
Apesardequetodoslosproblemasanterioresseresuelvenconlamismasuma,algunossonmásdifícilesparaalgunaspersonasqueparaotras.
Losproblemasdecambioydeigualacióndescribenunarelacióndinámica,puespararesolverloshayquehacertransformacionesdeincrementoodecrementoenlascantidades.Losproblemasdecomparaciónydecombinaciónsóloplanteanunarelaciónestáticaensuscantidades.
Porotraparte,losproblemascuyaincógnitaselocalizaenelresultado,a+b=?sonmássen-cillosqueaquéllosenlosquelaincógnitaestáenelsegundosumando,a+?=c,oenelprimersumando,?+b=c.
Otrosfactoresquecomplejizanlosproblemassonlossiguientes:
• Elcontextodelproblema.Unproblemaresultamásfácildecomprendersiseredactaconloselementoscotidianosyconcretosdelaspersonas.
• Eltamañodelosnúmerosempleados.Esmásfácilresolverproblemasconnúmerospequeñosqueconcantidadesgrandes;connúmerosnaturalesqueconnúmerosdecimales.
• Laformacomoseplanteaelproblema.Sedebecuidarlaredaccióndelosproblemasparaquehayaclaridadenlarelacióndelosdatos.
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Enequiposydeacuerdoconlalecturaanterior,identifiquenquétipodeproblemaaditivoover-balescadaunodelosproblemasquesolucionaronenelpunto1deestaficha.Asimismo,indiquendóndeselocalizalaincógnitayanotensihayotrosaspectosqueloshaganmáscomplejosunosqueotros.
Problema Tipodeproblema
a)
b)
c)
d)
Enelmismoequipo,planteencuatroproblemas,unodecadatipodelosproblemasverbales,adi-tivos,simples,considerandocontextoscotidianosdelaspersonasjóvenesyadultas;enalgunosusennúmerosenteros,yenotros,númerosdecimales;ubiquenlasincógnitasendiferentesluga-res.Redactenlosproblemasconclaridady,alfinal,sugieranparaquénivel,inicial,intermediooavanzado,sonadecuados.
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Tipodeproblema Problemaverbal,aditivo,simple
De cambio
De combinación
De comparación
De igualación
Enreunióngrupalexpongansutrabajoycomentencuáleslaimportanciadeconocerlostiposdeproblemasaditivosquehayylosaspectosqueloshacencomplejos.
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2 Organícenseporparejasyrealicenlosiguiente.
Unodelosintegrantesescribeenunpapelelalgoritmoconvencionalpararealizarunasumayseloentregaalotrointegrantequien,siguiendolasreglasdelalgoritmo,resuelvelaoperaciónsi-guiente.
Sielalgoritmodescritonoesclaro,debesercorregidohastaquequedesuficientementeexplícito.
Busquenenlaactividad3,Los almacenistas de la ferretería,delmóduloLos números,3aed.,elde-sarrollodelalgoritmodelasuma.Resúmanloenelsiguienteespacio.
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¿EnquéotrosmódulosdelEjedeMatemáticasseabordalasuma?Anotenenelsiguientecuadroelnombredelmóduloreferidoylaactividad.
Módulo Actividad(es)
Leanelsiguientetextoyrealicenloquesepideacontinuación.
El algoritmo de la suma*
Pensemosquelasituaciónqueprovocalautilizacióndelasiguientetablaesregistrareldineroganadoporunapersonaentresdías.
Alejandraganaensuprimerdía65pesos(6monedasdediezpesosy5monedasdeunpeso);175pesos(1billetedecienpesos,7monedasdediezpesosy5monedasdeunpeso)enelsegundodíay,eneltercerdía,190pesos(1billetedecienpesosy9monedasdediezpesos).¿Cuántodi-neroganóentotal?
* Unalgoritmoesunmétodoqueserealiza,pasoapaso,parasolucionarlaoperación.
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Enlaprimerafila,Alejandraregistraeldineroganadoenelprimerdía;enlasegundafila,lodelsegundodía;yenlatercerafila,loqueganóeneltercerdía.
Alsumarlasmonedasdeunpesoresulta10,comolaregladeljuego(oreglaalgorítmica)dicequealtenerdiezmonedasdeunpesohayquecambiarlaporunamonedadediezpesos(querepresentaunadecena),haceelcambioycolocaladecenaconlasotrasdecenas,ycomonolesobrónin-gunamonedadeunpeso,colocaunceroenlacolumnadelasmonedasdeunpeso(0unidades).
Ahorasuma1,6,7y9monedasdediezpesos,elresultadoes23.Lareglaalgorítmicadicequeporcadadiezmonedasdediezpesoshayquecambiarporunbilletedecienpesos,cambiayobtiene2billetesdecienpesos,yloscolocaenlacolumnadelosbilletesdecienpesos(centenas)yre-gistraenellugardelasdecenaslas3monedasdediezpesosquelequedaron.Sumalosbilletesdecienpesosylosregistraenlacolumnadelascentenas:4.
Deestemodo,elresultadoes430(o4billetesdecienpesos,3monedasdediezpesosy0mo-nedasdeunpeso;o4centenas,3decenasy0unidades).
$100 $10 $1
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Ensulabordeasesores,¿cuálseríalaimportanciadeproponerelusodebilletesymonedasparaentenderelalgoritmodelasuma?
Comentenlosresultadosdelasoperacionesquesepresentanacontinuaciónytratendeexplicarlascausasporlascualeslaspersonaslasresolvierondeesamanera.
Operación¿Qué“error”cometió
lapersona?¿Aquécreesquesedebe
ese“error”?
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Enreunióngeneral,expongansusconclusionesprincipalesydiscutandequémanerasepodríanusarlosbilletesparaayudaralaspersonasasuperarsusdificultades.
3 Organizadosenequiposanalicenlosprocedimientosutilizadosporlaspersonaspararesolverunproblemadesuma.Después,contestenlaspreguntasqueseplantean.
Laurateníaunbilletede200pesosycompróunjuguetede100pesos,uncuadernode25pesos,unacajadecoloresde35pesosyunagomade3pesos.¿CuántogastóLaura?
Manuelanotaensucuadernoyresuelveasí:200+100+25+35+3=363
Rosadice:“100 más 25, más 35 y 3 son... (hace cálculomental)360”.
¿Alguienresolviócorrectamenteelproblema?¿Quién?
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ExpliquenenquéseequivocóManuelyenquéRosaalresolverelproblema.
¿Quiénrealizóunacorrectarelacióndedatos(cálculorelacional),peronouncorrectocálculoconlosnúmeros(cálculonumérico)?
¿Quiénrealizóuncálculocorrectoconlosnúmeros(cálculonumérico),peronounacorrectarela-cióndedatos(cálculorelacional)?
¿Consideranque losestudiantesque saben resolveroperacionesde suma resolverán sinningunadificultadlosproblemasaditivos?
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Leanelsiguientetexto,elcuallesproporcionaráelementosnuevosparacomplementarsusres-puestas.
Elcálculoesunadelasopcionesquesurgenluegodelanálisisdeunproblema.Sepuedendistin-guirdiversasformasdecálculo:cálculonumérico,cálculorelacionalycálculoinstrumental.Elcálculonuméricosueleidentificarseconlastécnicasoperatorias,escritas,quesedesarrollanmediantealgoritmos,ydurantemuchotiempohasidoelcentrodelaenseñanzaescolar.
Elcálculorelacionaleselcaminoenlabúsquedaderespuestasanteunproblema,yhacerefe-renciaalasoperacionesdepensamientonecesariasparaevidenciarlasrelacionesquehayentreloselementosdelasituación-problema.
Teniendoencuentaelcadavezmayoraccesoalosmediostecnológicos,comocomputadoras,calculadoras,etcétera,esrelevantelaincorporacióndelcálculoinstrumentalalapropuestadi-dáctica.
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Ficha 3 Laresta
1 Engrupodiscutansilosproblemasdesumasonmássencillosderesolverquelosderesta.Anotenlasconclusionesmásimportantesquehayansurgidoenladiscusiónylasreflexionessobreloexpuestoenelsiguientepárrafo.
Unaideamuyarraigadaesquelosproblemasdesumasonmásfácilesquelosproblemasderes-ta.Tambiénsepiensaquelosproblemasdemultiplicaciónsonmásfácilesquelosdedivisión.Siconsideramosquetalesideassoncorrectas,podemosentoncesafirmarque:
• Lasoperaciones(enelsentidotradicionaldeltérmino:adición,sustracción...)sonlasquedife-rencianlosproblemas.
• Dosproblemasqueimplicanlamismaoperacióntienenelmismoniveldedificultad.• Sidosproblemasimplicandosoperacionesdiferentes,sondeniveldedificultaddiferente.
2 Demaneraindividual,resuelvelossiguientesproblemas.
a) Enlacooperativaescolarhabía19518pesosantesdelrecreo,ahorahay87625pesos.¿Cuántosevendióenelrecreo?
b) En lacooperativaescolarhabía94780pesosy sedieron35945pesosparaelDíadelNiño.¿Cuántodineroquedóenlacooperativa?
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¿Algunosetedificultómásqueelotro?¿Cuál?
¿Cuálcreesqueseamásdifícilderesolverporpartedelaspersonasjóvenesyadultas?
Leeelsiguientetextosobrelosresultadosobtenidosconpersonasjóvenesyadultasalsolicitarleslaresolucióndelosdosproblemasanteriores.
Problemas fáciles y problemas difíciles
Desdeelpuntodevistadelcálculoqueimplican,estasrestastienenunadificultadmuysimilar.Apesardeesto,ladificultaddelosproblemasresultómuydiferente:casitodaslaspersonasjó-venesyadultaspudieronresolverelproblemab).
Encambio,menosdelamitadpudieronresolverelproblemaa).
Despuésderesolverelproblemab),muchaspersonasjóvenesyadultasdieronjustificacionesparecidasalassiguientes:
“Es muy fácil saber que este problema es de resta porque se trata de ver cuánto queda.”
“Es que tú ya sabes cuánto tiene, te lo están diciendo, a eso le quitas la cantidad que dice y ya ves lo que queda.”
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Estaideaderesta(quitarciertacantidadaotracantidadquesetiene,paracalcularloquequeda)esmuynatural,hastasiniralaescuelaseconstruye.
Escucharalosjóvenesyadultosnospermitióentenderladificultadparaescogerlaoperacióncorrecta.
Entrevistadora(dirigiéndoseaPerla):En este problema… sumaste 19 518 más 87 625. ¿Tú crees que tu resultado está bien o está mal?Perla:Bien.Entrevistadora:¿Y por qué crees que este problema es de suma?Perla:Porque la pregunta dice cuánto se vendió en el recreo.Entrevistadora:¿Y esta pregunta te dice que es de suma?Perla:Sí, o sea… la segunda vez se tiene que poner la otra cantidad, o sea, cuánto vendieron… 107 000 es lo que vendió.Entrevistadora:Oye, algunos restaron, ¿quién estará bien, ellos o tú?Perla(despuésdevariosrodeos):Yo estoy bien.Entrevistadora:¿Por qué?Perla:Porque es de suma.Entrevistadora:¿Entonces por qué crees que los otros restarían?Perla:Porque no se f ijaron…
Otrosjóvenesyadultosmuestrantalprogresoalexplicarsurazonamientoyjustificarsusres-puestas,porejemplo:
Alejandro:En este problema lo que hago es una resta… para saber cuál es la diferencia.Entrevistadora:Algunos lo que hicieron fue sumar, ¿quién está bien, ellos o tú?
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Alejandro:Pues yo digo que yo… podría ser si te dicen: “Esto había y esto se vendió en el recreo, ¿cuánto hay en total?”, pero no si te dicen: “¿cuánto vendiste en el recreo?”.Entrevistadora:Entonces, ¿cómo está bien el problema, con suma o con resta?Alejandro(enfático):¡Pues con resta!Entrevistadora:Y tú, ¿en qué les dirías que se f ijen para no cometer ese error?Alejandro:Pues en la pregunta, ¿no? Porque por la operación que pusieron, la pregunta que esta-ría bien es “¿Cuánto tenemos en total en la cooperativa?”.
Hagamosahoraunrecuentodelasrespuestas.
Laspersonasjóvenesyadultasquellegaronala“respuestabuena”enestetipodeproblemaspercibieronque:
• Seconocelacantidadquesetienealinicioylaquesetienealfinal.• Eldatodesconocidoeseldineroqueseganóenelrecreo;esdecir,hayquebuscarunadife-
renciaentreloqueseteníaalprincipioyloquesetienealfinal.• Esacantidad,ladiferencia,nopuedesermayorqueeltotalqueyasetiene.
Laideaquesehicierondelproblemalapodemosrepresentarconelsiguienteesquema:
Seimaginaronelproblemacomouna“adiciónconhueco”.
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Porsupuesto,unsegundopasoquetendránquedarparallegaralasoluciónseráconvertirestaadiciónensustracción.
Encambio,losquenollegaronala“representaciónbuena”,porquerealizaronunasuma,entendie-ronqueteníandoscantidadesyquehabíaquesumarlasparabuscaruntotal,¡nosepercatarondequeyateníaneltotal!
Laformacomoellosinterpretaronelproblemapuederepresentarsedelasiguientemanera:
Ellosnovieronelproblemacomouna“adición con hueco”,sinocomounaadicióncomúnyco-rriente,dondesetienenlossumandosyhayquebuscareltotal.
• Vemos,entonces,quenoesladiferenciaentrelasoperaciones(enelsentidodecálculo),sinoelestablecimientodelasrelacionesentrelosdatosloquepermiteexplicarlasdiferenciasdedificultadenlosdistintosproblemas.
• Para que las personas puedan resolver problemas como el que aquí analizamos, necesitanconstruirotrosignificadoparalaresta:laoperaciónquepermiteencontrarladiferencia.
• Podemosdecir,entonces,queelsignificadode“encontrarunadiferencia”esmenossimplequeelsignificadode“quitar,disminuir”elcualconstruyenlaspersonasaunsiniralaescuela.
TomadodeAliciaÁvila,“Problemasfácilesyproblemasdifíciles”,
enhttp://mecaep.edu.uy/pdf/matematicas/mat1/5-%20Avila%20Problemas%20faciles%20y%20dificiles.pdf
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Enreunióngrupalexponganlasideasmásimportantesdeltextoanterior.
3 Resuelvedemaneraindividuallassiguientesoperacionesderesta.
¿Cuálesfuerontusprincipalesdificultades?Descríbelas.
Enuncialasprincipalesdificultadesquetienenlaspersonasjóvenesyadultasalresolverrestasconcerosintermedios.
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4 Enequiposanalicendosalgoritmosquesonusadosporlaspersonaspararesolverrestas.
a)Algoritmo“dellevar,pagandoabajo”
Lapropiedadenqueestealgoritmobasasueficaciaesladecompensación,detalmaneraquealagregarunacantidadalminuendodebeagregarselamismacantidadalsustraendoparaqueelresultadonosealtere.
Enelejemploinicial,las10unidadesqueseleagreganal5delminuendosecompensanconotras10unidadesenel7delsustraendo.
b)Algoritmo“dellevar,pidiendoprestadoarriba”
c d u15
3 9 5 minuendo8 7 8 sustraendo3 1 7
c d u2 15 17
3 6 7 minuendo 8 8 sustraendo2 7 9
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Comonosepuedequitar8a7,enlacolumnadelasunidades,sedesagrupaunadecenaperte-necientealas6decenasdelminuendo.Detalmaneraqueahorayanohay6decenassino5(poresolosalumnostachanel6yanotanel5arriba)yse“laprestan”alas7unidadesdelminuendo.Ahorasí,a17unidadesselepuedenquitar8yquedan9.
Secontinúaenlacolumnadelasdecenas;comonosepuedequitar8a5,entoncessedesagrupaunacentenadelas3delminuendo,quedando2centenas(tachanlas3quehabíayseponeel2arribadelascentenas)yse“leprestan”alas5decenasdelminuendo.
Ahorasí,selepuedenquitar8decenasa15decenasyquedan7decenas.Sebajanlasdoscente-nasquequedaronenelminuendo,yresultan279.
Deacuerdoconloleído,¿cuáleselalgoritmoqueutilizaspararesolverunaresta?¿Conocíasam-bosalgoritmos?
Analizatambiénelsiguientealgoritmo.
22251835
David ganó esta quincena $2225 y gastó$1835encomidaytransporte.¿Cuántodine-rolequedó?
Restolascifrasdederechaaizquierdaempe-zandoporlasunidades.
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UMUnidadesdemillar
CCentenas
DDecenas
UUnidades
1210
11
1283
12
239
550
Cuarto
Restolasunidadesdemillar:Tenía2unidadesdemillar,perocambiéunaunidaddemi-llarpor10centenas;sóloquedaunaunidaddemillar.
A1leresto1ymequeda0,escribo“0”enlacolumnadelaunidadesdemillar.
Tercero
Restolascentenas:Tenía2centenas,perocomocambiéunacentenapordecenas,sólomequedaunacentena,nopuedorestar8de1,cambiounaunidaddemillarpor10centenas.
10centenasmás1centenason11cen-tenas,de11resto8ymequedan3,escri-bo“3”enlacolum-nadelascentenas.
Segundo
Restolasdecenas:Comonopuedorestar3de2,cam-biounacentenapor10decenas.
10decenasy2de-cenasquehabíason12decenas.
Ahoraa12leres-to3ymequedan9,escribo“9”enlacolumnadelasdecenas.
Primero
Restolasunidades:5menos5son0,escribo“0”enlacolumnadelasuni-dades.
dineroganadodinerogastado
lequeda
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BusquenenlosmódulosdelEjedeMatemáticaseldesarrollodelalgoritmodelaresta.Resúmanloenelsiguienteespacio.
¿Enquéotrosmódulosseabordalaresta?Anótenlos.
Módulo Actividad(es)
¿Entusaccionescomoasesorhasobservadodificultadesdelosadultosalresolveralgunaactivi-daddelosmódulosrelacionadaconeltemadelaresta?Descríbelas.
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Analicencómoresolvieronlasoperacionesderestalaspersonasjóvenesyadultas,escribanloquecreenquehicieronylasrazonesporlasqueconsiderenquelohicieron.
Producción¿Qué“error”cometiólapersonajovenoadulta?
¿Aquécreesquesedebeese“error”?
762485323
576302204
856443419
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Enreunióngeneralcomentenlasopinionesqueescribieronenlatablaanterioryrespondanlosiguiente.
¿ParaquélesirvealasesorconocerlasestrategiasqueusanlosjóvenesyadultosqueestudianestetemaenlosmódulosdelEjedeMatemáticas?
Revisenelejercicio3delaactividad23,Lacooperativa,delmóduloMatemáticas para empezar,3ªedición,yexpliquencómosepuederesolverunarestausandolosbilletesymonedas.
Planteenunproblemaqueseresuelvaconlasiguienteresta.ExpliquensuresoluciónutilizandolosbilletesymonedasdelmóduloMatemáticas para empezar,3ªedición.
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Problema
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Procedimientodesolución
¿Quéactividadesdeaprendizajepodríallevaracabounasesorparaquelosjóvenesyadultosapren-dieranarestarcuandoelminuendotieneceros?
Planteenunproblemaqueseresuelvaatravésdeunarestaconcerosintermedios.ExpliquensuresoluciónutilizandolosbilletesymonedasdelmóduloMatemáticas para empezar,3aedición.
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Ficha 4 Problemasmultiplicativos
1 Formenequiposydesarrollenlassiguientesactividades.
Analicenlossiguientesproblemas.
Problema1 Seformanequiposcon6personascadauno.¿Cuántaspersonassenecesitanparaformar5equipos?
Problema2 Parahacerelvestuariodeunequipodedeportes,tenemos6camisetasdediferen-tecolory5pantalonesdedistintotipo.¿Cuántosvestuariosdiferentessepuedenarmar?
Problema3 Unalbañilvaacolarunpisodecementodeunahabitaciónquemide6metrosdelargoy5metrosdeancho.¿Cuántosmetroscuadradostienelasuperficiedelaha-bitación?
Problema4 Valeriatiene6pesosyFernandatiene5vecesmásdineroqueValeria.¿Cuántodi-nerotieneFernanda?
Escribanlacuentaqueresuelvecadaunodelosproblemasplanteadosyrespondanlaspreguntasquesiguen.
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Problema1 Problema2 Problema3 Problema4
¿Eslamismacuentaparatodos?
¿Elsigno“×”tieneunsignificadodiferenteencadaproblema?Revisenconcuidadocadaunodeellosyargumentensiestoocurreonoyporqué.
Analicenahoralossiguientesproblemasdedivisión.
Problema1 Con30personasseforman5equiposconlamismacantidaddeintegrantes.¿Concuántaspersonasseformaunequipo?
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Problema2 ElseñorMiguelvende30naranjaspeladas,lasvendeenbolsas.Élpone5naranjasencadabolsa.¿Cuántasbolsasnecesita?
Problema3 Paraelvestuariodelequipodelaescuelatenemoscamisetasypantalonesdedife-rentestipos.Sipodemoshacer30combinacionesdevestuarioyhay5pantalonesdiferentes,¿cuántascamisetashay?
Problema4 Unahabitacióntiene30metroscuadradosdesuperficie.Simide5metrosdean-cho,¿cuántosmetrosmidedelargo?
Escribanlacuentaqueresuelvecadaunadelosproblemasdedivisión.
Problema1 Problema2 Problema3 Problema4
Respondanlassiguientescuestiones.
¿Eslamismacuentaparatodos?
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¿Elsigno“÷”tieneunsignificadodiferenteencadaproblema?Revisenconcuidadocadaunodeellosyargumentensiestoocurreonoyporqué.
Realicenlalecturadelsiguientetexto,deténganseacomentardondetengandudasoloquelesparezcamásinteresante.
La enseñanza de la multiplicación
¿Cuálessonlosproblemasdemultiplicaciónconlosqueseinicialaenseñanzadeestetema?¿Cuálessonlosaspectosvinculadosconelfuncionamientodelamultiplicaciónquelosestu-diantespuedenaprender:cuentas,propiedades,cálculosmentales,etcétera?
Losaprendizajesqueinvolucranalamultiplicaciónsondiversos.Abarcanelconjuntodeproblemasqueseresuelvenpormediodemultiplicaciones:problemasdeproporcionalidad(“Calcular cuán-tas galletitas hay en 5 paquetes si en cada paquete hay 4 galletitas.”);problemasdecombinatoria(“¿Cuántos equipos de ropa diferentes pueden hacerse combinando 4 pantalones y 3 camisas?”);ylaspropiedades,elalgoritmo,cálculosmentales,multiplicaciónpor launidadseguidadeceros,etcétera.
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Lamultiplicaciónesuncontenidoquerequiereunaprendizajealargoplazo.Laspersonaspodránirampliandosusconocimientossobreestaoperaciónapartirdelassituacionesqueenfrentenydeunaorganizacióndelaenseñanzaquefavorezcalareflexiónsobreéstas.
Setratadequeaprovechenlosconocimientosqueyahanconstruidoyfortalezcanestaopera-ción,tantoenloreferentealosproblemasquepuedenresolvercomoalaestrategiadecálculo.Laconstruccióndelsentidodelamultiplicaciónnoselogracuandoseabordalaenseñanzadelalgoritmo;muchaspersonas“sabenhacercuentas”,peronoreconocencuáleselconjuntodeproblemasqueseresuelvecondichaoperación.
Habitualmente,losproblemasdemultiplicaciónremitenaunmismotipodeproblemas:losdeproporcionalidad.Porejemplo:
Tengo 5 bolsas de caramelos. Hay 5 caramelos en cada bolsa. ¿Cuántos caramelos hay en total?
Esteproblemainvolucraunarelacióndeproporcionalidadentrebolsasycaramelos.Esposiblerepresentardicharelaciónpormediodeunatablaparaanalizarsuspropiedades:
Bolsas Caramelos
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Lamayoríadelosproblemasqueseresuelvenenlavidacotidianapertenecenaestacategoría.Esnecesarioampliarelanálisisdelcampodelosproblemasmultiplicativos,elcualsedefinecomo
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el conjunto de situaciones que se resuelven por medio de multiplicaciones o divisiones. Porejemplo,aquellassituacionesqueinvolucranorganizacionesrectangularesutilizandobaldosasocuadritos,comolasiguiente:
¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir todo el piso de este baño?
Untipodeproblemasmultiplicativosquelosestudiantespuedenempezararesolversonaqué-llosenlosquehayquecombinarelementosdediferentescolecciones.Porejemplo:
¿Cuántos juegos de ropa diferentes pueden hacerse combinando 4 faldas y 3 blusas?
Loseducandosnoutilizaránlasmismasestrategiasparaunoyotrotipodesituaciones.Enlassituacionesque involucranseriesproporcionalesoen losproblemasdecuadriculado,podránfinalmenteescribirelproductoycalcularlo;encambio,paralassituacionesdecombinacióndeelementosdedoscolecciones,necesitaránapelaralconteoolasuma,ylamultiplicaciónpodráserreconocidaposteriormentealaresolución.
Noesnecesariotampococonocerlautilizacióndelsigno“×”antesdelaresolucióndeproble-mas.Unaprematurainclusióndelarepresentaciónsimbólicahacequelosestudiantesutilicenelsignodesprovistodesignificado.Sehasubrayadoquelosestudiantespuedenresolverlospro-
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blemasutilizandovariasestrategias.Noesenelprimermomentoqueprecisanlautilizacióndeunaexpresiónnueva,deunarepresentaciónsimbólicaconvencional.
Aprendersobreladivisiónsignificaráirprogresivamenteaproximándoseasuspropiedades.Ladivisiónpuedesignificarunaparticiónenpartesiguales:
Laura tiene 25 caramelos y quiere repartirlos en partes iguales entre sus 3 amigos. ¿Cuántos le dará a cada uno?
Sinembargo,esinteresanteproponeralosestudiantesqueresuelvandiversosproblemasenlosquenoseasiempreunrequisitoquelaspartesseaniguales.Porejemplo:
Laura tiene 25 caramelos y quiere darle 3 caramelos a cada uno de sus amigos. ¿A cuántos amigos puede darles?
Estosdosproblemassonmatemáticamenteequivalentes,seresuelvenconlaoperación25÷3.Enamboscasos,elresultadoseráochoysobraráuno.Losestudiantesquereconocenladivisiónlautilizaránenambosproblemas.Peroestonosiempresucede.Desdeelpuntodevistadealgunosestudiantes,nosoniguales.¿Enquéconsistenlasdiferencias?
Enelprimeroseconocelacantidaddepartes(tresamigos)ysepideaveriguarelvalordecadaparte(cuántoscaramelosacadauno).Losestudiantespodránutilizarprocedimientosderepartirdeunoenuno.
Enelsegundo,encambio,seconoceelvalordecadaparte(cuántoscaramelosacadauno)yesnecesarioaveriguarencuántaspartes(cuántosamigos)sepuededividirlacolecciónde25carame-
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los.Pararesolverlonoesposiblerepartirdeunoenuno,porquenosesabe“entrecuántosamigosrepartir”.Seránecesariopartirlacolecciónrestándole3a25tantasvecescomoseaposible.
Porlotanto,noessuficienteconconocerelalgoritmoparasabercuándoutilizarlo.Elobjetivoesfavorecerlaconstruccióndediferentessignificadosposiblesdeladivisión.Paraelloesnecesarioquelosestudiantesresuelvanyconozcandiferentestiposdeproblemas,yaqueestaoperaciónnosirveexclusivamentepararesolverlosdeunsolotipo.Laspersonasreconocenmásfácilmen-teladivisiónenunosqueenotrosproblemasyseránecesarioprecisamenteabordarenlaense-ñanzaaquellassituacionesdondeexperimentenmásdificultad.
Tomadode:ClaudiaBroitman.“Laenseñanzadelamultiplicaciónenlosprimerosaños”,
enLas operaciones en el primer ciclo,BuenosAires,Argentina,NovedadesEducativas,1999.
Sinteticenlasideasprincipalesdeltextoyescríbanlasenunahojaderotafolioparaexponerlasanteelgrupo.Consideren,además,lassiguientesinterrogantesparasupresentación:
¿Cuálessonalgunosdelossignificadosdelamultiplicaciónydeladivisión?
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¿Cuálessonmássencillosycuálesmáscomplejosparalosestudiantes?
¿Cuáleslafuncióndelalgoritmodelamultiplicaciónydeladivisiónenesteprocesodeconstruc-cióndesignificadodelasoperacionesporpartedelosestudiantes?
2 Analicenenequiposlossiguientesalgoritmospararesolverlamultiplicaciónyense-guidadesarrollenlascuestionesqueseproponen.
a) 35 ×24 140 70 840
b) CDU 35 ×24 20 120 100 600 840
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c)35×24esigualque
30+5 ×20+4
30 5600 100120 20720 120 =840
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Describanlosalgoritmosqueseutilizaronpararesolverlasoperacionesdelosdistintosincisos.
a)
b)
c)
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¿Porqué,siseutilizantresalgoritmosdiferentes,seobtieneelmismoresultado?
Enelejemploa),almultiplicarel2delmultiplicadorporel3delmultiplicando,nosda60.¿Quéor-denrepresentaesaúltimacantidad?
¿Porquéseescribe70?
¿Porqué,enelejemploa),serecorren(“sedejaunhueco”)losproductosparcialesunlugaralaiz-quierda?
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Analicenelalgoritmoenelqueseutilizanrectángulosyelalgoritmoconvencional,eidentifiquenlasrelacionesentrelosdos.Reflexionensobresusventajasydesventajasenelcuadrosiguiente.
Algoritmoconrectángulos AlgoritmoconvencionalVentajas Desventajas Ventajas Desventajas
¿Creenqueparalaspersonasadultasessuficienteelconocimientodelastablasdemultiplicarparacomprenderelalgoritmodelamultiplicaciónyresolverproblemas?¿Sí?¿No?¿Porqué?
30 5600 100120 20720 120 =840
35 ×24 140 70 840
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Enreunióngeneralcomentensusdudasyopinionessobrelosaspectosabordados.Utilicenloqueescribieronparafortalecersusreflexiones.
3 Organizadosenequiposanalicenlasoperacionesresueltasporalgunaspersonasadul-tas,ydescribanloserroresylasprobablescausasdeellas.
Producción ¿Quéhizoeladulto? Probablescausas83
× 6 18 48 498
54 ×16 304 54 844
38 ×14 152
38 190
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25 ×12
50 25 200
Enreunióngeneralcomparensusrespuestasconlasdesuscompañeros.
4 Delamismamanerayatendiendoalaspreguntassubsiguientes,analiceneltratamien-todidácticoparalamultiplicaciónyladivisión,enlossiguientesmódulosdelEjedeMatemáticas.
MóduloActividad
Tema
AspectosmásimportantesTipo de problemas, procedimientos para su
resolución, algoritmo convencional, etcétera.
Los números
Cuentas útiles
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¿Encuálmóduloseconcentraelestudiodelamultiplicación?
¿Encuálmóduloseconcentraelestudiodeladivisión?
¿Enquépartedelasactividadesseformalizanloscontenidos?
¿Quéconceptos,relacionadosconlamultiplicación,seformalizanenlasactividadesrevisadas?
¿CuálessonlasdificultadesquepresentanlosjóvenesyadultosqueestudianestostemasenlosmódulosdelEjedeMatemáticas?
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Ficha 5 Ladivisión
1 Demaneraindividual,resuelveelsiguienteproblema.Puedesusarcalculadoraolápizypapel,laúnicarestricciónesquenopuedesutilizarlaoperacióndedivisión.
Enunafábricaderopa,solamentequedan257botones.Sicadacamisarequiere8botones,¿paracuántascamisasalcanzaránlosbotones?
Comentatuprocedimientocontuscompañeros.
2 Enequipoanalicenycomentenlaestrategiaqueutilizaunaasesoraparaenseñarladivisión.
LaasesoraRositaatiendeaungrupodeadultos.Elladicequeparaenseñarladivisiónhacelosi-guiente:
“Primero escribo una división, por ejemplo, 8 257
Y les explico más o menos así. El 8 vale más que el 2, es como si tuviéramos 2 man-zanas para 8 niños, no nos alcanza para darle una a cada uno de ellos. Así que tomamos hasta el 5, porque ahora tenemos 25 manzanas. Las repartimos entre 8 niños y a cada uno de ellos le tocan 3 manzanas, y nos sobra una. Luego bajamos el 7, se forma el 17. Repartimos 17 manzanas entre 8 niños y les toca a 2 manzanas, y nos sobra una manzana sin repartir.”
328 257 17 1
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ComentenlaestrategiaqueutilizaRosita,conbaseenlassiguientespreguntas,yanotensusres-puestas.
¿QuéopinanrespectoalaexplicaciónsobreladivisiónquelaasesoraRositadaasusestudiantes?
¿Esverdadqueel2valemenosqueel8,segúnindicalaasesora?¿Sí?¿No?¿Porqué?
¿Esciertoqueel25vale25manzanas?¿Sí?¿No?¿Porqué?
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Eje
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¿Cuántovaleel2de257?¿Entoncesesmayoromenorqueeldivisor8?
¿Cuántovaleel25de257?
Siel2de257vale200,¿porquéentoncesdecimosquenosepuedeytenemosquetomardoscifras,esdecir,hastael25?
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¿Quéinformacióntienelaasesoraparadarsuclase?¿Dequéinformacióncarece?
3 Organizadosenequipoleanelsiguientetexto.
El algoritmo de la división
Pensemosenelsiguienteproblema:
Se van a repartir $ 487 entre 5 hijos. ¿Cuánto dinero le toca a cada hijo?
El4de$487vale4billetesde100pesos.Decimosquenosepuede(repartir)porquenosealcan-zaadaracadahijounbilletede100pesos.Loquehayquehacerescambiarloscuatrobilletesdecienpesospor40monedasde10pesos,másotras8monedasde10pesosqueyasetenían,ahorason48monedasde10pesos.Lacantidadoriginal,$487,estáahoracompuestapor48monedasde10pesosy7monedasdeunpeso.Siserepartenlas48monedasde10pesosentre5hijos,letocaacadaquién9monedasde10pesos,yquedantresmonedasde10pesos.Secambianpormonedasdeunpeso,yconlas7monedasdeunpesoqueyasetenían,ahorasetienen37mone-dasdeunpeso.Sehaceelrepartoentre5hijosyletocaacadaquién7pesos,ysobrandospesos.
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Eje
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Paraqueunapersonapuedaentenderclaramentecómofunciona ladivisión, se requierequecomprendaelvalordelaposicióndelascifras(suvalorsegúnellugarqueocupaenlasunidades,decenas,centenas,etcétera.)yque,además,comprendaqueenlascentenastambiénestánin-cluidaslasdecenas(cuandocambiamoslosbilletesde100pesospormonedasde10pesos)yenlasdecenasestánincluidaslasunidades(cuandocambiamoslamonedade10pesosporpesos).
ComparenenequipolaexplicacióndeltextoconlaempleadaporlaasesoraRositay,conbaseenello,contestenlassiguientespreguntas.
¿Cuálessonlasdiferenciasentreambasexplicaciones?
¿Quérecursosdidácticosseempleanenambasactividades?
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¿Cómopodríasutilizarlosbilletesymonedasparaapoyarestaúltimaestrategiadeenseñanza?
4 Resuelvanenequipoelsiguienteproblema,utilizandolosbilletesymonedasqueseanexanalfinaldeestecuaderno.Enlacolumnadelaizquierdadescribanloquevayanhaciendo,yenladeladerecha,registrenlosnúmerosenlaoperación.
Seobtuvounpremiode$7275,queserepartiráentre5personas.¿Cuántodineroletocaráacadapersona?
Sedividen$7275entre5personas.
Primero,serepartenlosbilletesde .
Letoca billeteacadaunoysobran billetesde .
1 5 7275 2
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Eje
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Después,secambianlosbilletesde porbilletesde .
Setienenahora billetesde .
(Este último dato se observa cuando se “baja” el 2 de las centenas y se colo-ca al lado del 2, que representa los dos billetes de a $1000 que sobraron.)
1 5 7275 22
Ahorahayquerepartirlos billetesde entrelas5personas.Letocan billetesacadaunoysobran billetesde . 1
5 7275 22
5 Demaneraindividual,leeelpárraforeferidoalostérminosdeladivisión.
Laspartesdeladivisiónsoncuatro:
Dividendo.Eselnúmeroquesedeseadividir.
Divisor.Esencuántaspartessequieredividireldividendo.
Cociente.Escuántasvecessehadividido,ocuántasvecescabeeldivisoreneldividendo.
Restooresiduo.Esloquesobradeladivisión.
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Engeneraltenemoslaexperienciaderesolveroperacionesdedivisiónenlasqueseescribeneldi-videndoyeldivisorparacalcularelcocienteyelresiduo.
Deformaindividual,resuelvelasiguientedivisióndondesedaelcocienteyelresiduo.Encuentraeldividendoyeldivisor.Noolvidesregistrartusprocedimientos.
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Comparenenequiposusresultadosycompartanlosprocedimientosqueutilizaronparaencon-trarloqueselespedía.
Enreunióngeneralcomentenlassiguientespreguntasyanotenloqueseanecesario.
¿Seprodujounúnicoresultado?¿Sí?¿No?¿Cuántasrespuestasencontraron?
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Eje
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¿Cuántasrespuestascorrectasposiblescreenqueexisten?¿Porqué?
Enreunióngeneralleanelsiguientetexto.
Existeunnúmeroinfinitodesolucionescorrectasparadarvaloresaldividendoyaldivisor,sólohayqueencontrarlarelación:cociente×divisor+resto=dividendo.Eldivisornotieneningúnproble-maenencontrarsepuestoqueelresiduoes12,entonceseldivisorescualquiercantidadmayorque12,esdecir,de13enadelante.
6 Enequiporesuelvanlossiguientesproblemas.
Problema1 Unacosturerausatresmetrosdetelaparahacerunvestido.¿Cuántosvestidospue-dehacercon13metrosdetela?
Problema2 Esthertiene13metrosdelistón.Necesitahacertresmoñosusandotodoellistón,¿cuántolistónusaráencadamoño?
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Problema3 Unostrabajadoresdelacompañíadeteléfonostienenquetransportar13postes.Lacargamáximaquepuedellevarelcamiónesdetrespostesporviaje.¿Cuántosviajescomomínimotienenquehacerseparallevartodoslospostes?
Registrenlasoperacionesyresuélvanlas.
Problema1 Problema2 Problema3
Resultado Resultado Resultado
Sisehacelamismaoperación,¿porquésetienentresresultadosdiferentes?
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Eje
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Enelcasoparticulardelproblema3,¿enquépartedeladivisiónseencuentraelresultado?
Enreunióngeneralleanelsiguientefragmento.
Eselcontextodelproblemaelquedeterminalostresresultadosdiferentes.Paraelproblema1,elresiduoesunmetro,ynosepuedehacerotrovestidomás,elproblemayahasidoresuelto.Paraelproblema2,tienesentidohacerunadivisiónhastanúmerosdecimales,pueslaideaesusartodoellistón.Enelproblema3,elresiduo(unposte)estanimportantequecambiaelresultadoenelcociente(4).Esdecir,comonosepuededejarunposte,serequierehacercincoviajes.
Enreunióngeneralcomentenlassiguientescuestiones.
¿Cómoaprendieronadividirensuescuela?
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¿Consideranquedominanelconocimientocompletodeladivisión?
7 Individualmenteanalicenlasactividades6y7delmóduloCuentasútiles,3ªedición.
Nombredelaactividad:
Propósito:
Resuelvelosproblemas1y2yanotalosresultados.
Problema1: Problema2:
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Eje
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Comparalosprocedimientosqueutilizastepararesolverlosproblemasanterioresconelquedesarro-llanFedericoyHumbertopararesolverunproblemadereparto.¿Enquésondiferentesoparecidos?
AnalizalaformaenqueSusanayDanielresuelvenunproblemadereparto.¿Separeceaalgúnprocedimientoquesehayadesarrolladoenestafichadetrabajo?
¿Quéaspectosdeladivisiónseformalizan?
Engrupo,resuelvanlosproblemas4,5,6,7y8delasactividades.
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Ficha 6 Múltiplosydivisores
1 Porparejas,useneltablerodeLaOca(seencuentraalfinaldeestecuaderno)paraju-gareljuego“Quiéncazaalconejo”.
Reglasdeljuego
• Juegaconuncompañero.• Decidanquiénseráelconejoyquiénseráelcazador.• Elqueseaelcazadordebecolocar5trampas(puedenserfichasrojas)encimadelosnúmeros
quequieraeneltablerodeLaOca.• Quienseaelconejodebeelegirdarsaltosigualesde2en2,3en3…hasta9en9.• Jueguenvariasveces,intercambiandolospapeles.
Respondelassiguientespreguntas.
¿Cuálessaltoshacenqueelconejocaigaenelnúmero3?,¿enel12?,¿enel18?,¿enel42?
¿Cuálessaltoshacenqueelconejocaigaenelnúmero10?,¿enel20?,¿enel30?
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Eje
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Sielconejovaadarsaltosde7en7,¿enquénúmerossedebencolocarlas5trampasparacazaralconejo?
Sielconejovaadarsaltosde9en9,¿enquénúmerossedebencolocarlas5trampasparacazaralconejo?
Comoconejo,¿lograstediseñarunaestrategiaparaquenotecazaran?Sifueasí,descríbela.
Comocazador,¿lograstediseñarunaestrategiaparacazaralconejo?Sifueasí,descríbela.
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2 Demaneraindividual,registraenlasiguientetablalosnúmerosenlosquecaeelcone-jo,deacuerdoconlossaltosqueelija.
Tipodesalto Númerosdecasillaenquecaeelconejo
Saltosde2en2
Saltosde3en3
Saltosde4en4
Saltosde5en5
Saltosde6en6
Saltosde7en7
Saltosde8en8
Saltosde9en9
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Eje
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¿Quécontenidosmatemáticosconsiderasqueseestántrabajandoeneljuego?
3 Demaneraindividual,analizalaactividad9delmóduloCuentasútiles,3aedición.
Propósitodelaactividad:
AnalizacómoresuelvenMíriamyLucíaunasituaciónparecida.
¿Laestrategiadeellasesparecidaalaqueimplementaroneneljuego?
Deacuerdoconlaformalizaciónquesedesarrollaenlaactividad,escribeladefinicióndelosmúltiplosdeunnúmero.
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Resuelvelosproblemas3y4,yanotalosresultados.
Problema3: Problema4:
AnalizalaformacomoUrielobtienedivisoresdeunnúmero.Sintetízala.
Deacuerdoconlaformalizaciónquesedesarrollaenlaactividad,escribecómosedefinenlosdivisoresdeunnúmero.
Enesteespacioescribelosresultadosdelejercicio6.
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Eje
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Ficha7 CompetenciasquepromueveelEjedeMatemáticas
1 Demaneraindividual,realizaloquesesolicitaacontinuación.
SubrayalascompetenciasquesepromuevenenelEjedeMatemáticas.
Comunicarse(escuchar,hablar,leeryescribir)
Asumirelliderazgo Participación
Razonamientomatemático Utilizarunacomputadora Trabajarenequipo
Tomardecisiones Resolucióndeproblemas Comunicacióndeideasmatemáticas
Relacionarseconlosdemás Entenderotrasculturas Aprenderaaprender
Delmismomodo,reflexionasobrelascompetenciasqueelegisteydefínelasporescrito.Tratadehacerlodeformasencillayclara.
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Competencia Definición
2 Organizadosenequiposcomentensusrespuestasyrealicenlosiguiente.
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EspecifiquencuálessonlascompetenciasquesepromuevenenelEjedeMatemáticasyescríban-lasenlosrenglones.
Delamismamanera,póngansedeacuerdoenladefinicióndelascompetenciasquepromueveelEjedeMatemáticasyescríbanlas.
Competencia Definición77
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Enlosmismosequipos,leanlassiguientessituacionesyanotenaquétipodecompetenciaserefieren.
Situación Competencia
Unasesorhaplanteadovariosproblemasmatemáticosque,hastalafecha,nosehanpodidoresolverensugrupo.Paraencontrarunarespuestaalosmismos,organizaunareuniónconotraPlazacomu-nitariadondetampocosehanpodidoresolverdichosproblemas.
Comoformadetrabajo,enlasituaciónarribadescrita,elequipodeunaPlazacomunitariaplantea,escribeyutilizadiferentesargu-mentosmatemáticosparaexponercómohatratadodeencontrarlasolucióndeunproblema.
Laasesoradalasinstruccionesquedebenseguirlosjóvenesyadultosparaconstruiruntriángulo:
• Tracenunalíneahorizontaldecincocentímetros.• Abransucompásaesamismalongitud.• Coloquenunextremodelcompáseneliniciodelalíneayconel
otroextremomarquenunapequeñalíneacurvaarribadelalínea.• Haganlomismoenelotroladodelalínea.• Unanconunareglaelpuntodondesecruzanlaspequeñaslíneas
curvasconeliniciodelalínea.• Haganlomismoenelotrolado.
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Eje
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Elsuelodeunahabitaciónalaquesequiereponermosaico,tie-ne5metrosdelargoy3metrosdeancho.Calculaeltamañoyelnúmerodemosaicos,detalmaneraqueelnúmerodemosaicosquesecoloquenseamínimoynoseanecesariocortarningunodeellos.
¿Cómodaríasporescritoaunalbañillasmedidas,elmaterialylascaracterísticasqueserequierenparacolocarelmosaicodelpro-blemaplanteadoanteriormente?
3 Enunareunióngeneralrealicenlosiguiente.
Lleguenaunaconclusiónacercadelostiposdecompetenciaaqueserefierenlassituacionesanteriores.
4 Organizadosenequipos leanycomentenelcontenidodel siguientecuadroy,en laterceracolumna,escribandossituacionesquesepuedenrealizarenlaasesoríaconungrupodeadultosyqueejemplifiquencadacompetencia.
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Competencia Definición* EjemploResolucióndeproblemas
LaresolucióndeproblemasesunacompetenciaquepromueveelEjedeMatemáticas.Apartirdesudesarrollo,laspersonasaprendenlosconte-nidosmatemáticos.Paraquelacompetenciasedesarrolle,esnecesarioquelosproblemasqueseplanteanseansignificativos,quenoseanproble-masdemasiadofácilescuyarespuestayasesabedeantemanoynoconstituyanunreto,otandifíci-lesquenohayaposibilidadesinmediatasdebuscarlamaneradesolucionarlo.Laspersonasutilizandiferentesestrategiaspararesolverunproblema.
Comunicacióndeideasmate-máticas
Lacomunicacióndeideasmatemáticasrequierequelaspersonasusenellenguajematemáticoparacomprender,emitireinterpretarlainforma-ciónquelespermitatomardecisionesadecuadas;asimismo,queinterpreteninformaciónmatemá-ticadadaenlistas,dibujos,tablas,gráficas,perió-dicos,etcétera.Parafavorecerlacomunicacióndelasideasmatemáticas,laspersonasdebencomen-tarconsuscompañerosloqueentiendendeunproblemaycómoloresuelven,asícomoutilizarlaspalabrasrequeridasenellenguajematemático.
* Definicionestomadasde:INEA.Para asesorar los módulos del Eje de Matemáticas.Manualparaelasesor,México,2006.
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Eje
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Razonamientomatemático
Sebuscaquelaspersonasplanteen,escribanyutilicenargumentosypruebasmatemáticosparaapoyarsusideasalproponerlasolucióndeunproblema.Parafavorecerelrazonamientomate-mático,serequiereleerelproblema,comentaraotraspersonas,conpalabraspropias,loqueentiendendelproblemayquéselesestápregun-tando;proponerunprocedimientodesolución;analizarlasestrategiasdesoluciónqueotrasper-sonasproponen;argumentarporquédecidenutilizarunadelasestrategiaspropuestas.
Participación Sebuscaquelaspersonasactúencoordinada-mentepararesolverproblemasmatemáticos;queasumanunaactitudcríticayreflexivaantelosdis-tintosprocedimientosdesolucióndeunproble-mamatemático;queanalicenyconfrontendiver-sospuntosdevistayargumentenlospropios;quevalorensupotencialyeldeotraspersonasylasaportacionesmatemáticasdelosdistintosgrupossociales,talescomodiseñadoresartesanales,oprocedimientosdemedidalocales.
Enreunióngeneralpresentenlosproductosdecadaequipoydiscutansilosejemplosplanteadossecorresponden,efectivamente,conlascompetenciasdescritas.
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Has concluido el curso.¡Felicidades!
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JuegodelaOcaInstrucciones
PorturnostirarlosdosdadosyavanzarenlaOcatantascasillascomopuntoshayancaídoenlosdados.GanaelprimeroquelleguealaMeta.
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Eje
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DISTRIBUCIÓN GRATUITA
Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido su uso para fines distintos a los establecidos en el programa.
Las operaciones aritméticas básicas y sus implicaciones didácticas
Cuaderno para el asesor
Asesoría especializada
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