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$: Las matemáticas de los fractales - fejer.ucol.mxFractales Fractalesautosimilares Fractalesnolineales Estecurso Las matemáticas de los fractales RicardoA.Sáenz UniversidaddeColima$
FractalesFractales autosimilares

Fractales no linealesEste curso

Las matemáticas de los fractales

Ricardo A. Sáenz

Universidad de Colima

Taller Internacional de Ciencia para JóvenesCIMAT

16 - 21 de mayo de 2012

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FamososArtísticosNaturales

Fractales: objetos famosos

Conjunto de MandelbrotBenoît Mandelbrot, 1924 - 2010

Triángulo de SierpinskiWacław Sierpiński, 1882 - 1969

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Fractales: objetos famosos

Conjunto de MandelbrotBenoît Mandelbrot, 1924 - 2010 Triángulo de Sierpinski

Wacław Sierpiński, 1882 - 1969

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Fractales: objetos artísticos

Generado con Sterling.

Generado con Vision of Chaos.

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Fractales: objetos de la naturaleza

Patrones formados en cristalescongelados.

Romanescu, una variedad debrócoli.

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Fractales: objetos de la naturaleza

Patrones formados en cristalescongelados. Romanescu, una variedad de

brócoli.

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Vectores en el planoTeorema de HausdorffEjemplos

Fractales autosimilares

Triángulo de Sierpinski.

Formado por la unión detres imágenes de sí mismo.S = S1 ∪ S2 ∪ S3

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El plano cartesiano

El plano cartesiano

Cada punto se denota porun par de coordenadas(a, b)

Los puntos se pueden vercomo vectores.Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),

x + y = (a + c, b + d)

Multiplicación escalar:

λx = (λa, λb)

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El plano cartesiano

El plano cartesiano


Los puntos se pueden vercomo vectores.

Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),

x + y = (a + c, b + d)


λx = (λa, λb)

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El plano cartesiano

El plano cartesiano


Los puntos se pueden vercomo vectores.Suma:Si x = (a, b) y y = (c, d),

x + y = (a + c, b + d)


λx = (λa, λb)

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Suma vectorial

Suma vectorial

Multiplicación escalar(si λ < 0, cambia sentido)

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Suma vectorial

Suma vectorialMultiplicación escalar

(si λ < 0, cambia sentido)

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Triángulo de Sierpinski

Definimos las siguientes contracciones:

F1(x) =12(x− p1) + p1

F2(x) =12(x− p2) + p2

F3(x) =12(x− p3) + p3

donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.

Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,

S = S1 ∪ S2 ∪ S3.

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F1(x) =12(x− p1) + p1

F2(x) =12(x− p2) + p2

F3(x) =12(x− p3) + p3

donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .

Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,

S = S1 ∪ S2 ∪ S3.

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F1(x) =12(x− p1) + p1

F2(x) =12(x− p2) + p2

F3(x) =12(x− p3) + p3

donde p1,p2,p3 son los vértices de un triángulo equilátero.Cada Fi contrae a los puntos del plano hacia pi .Entonces, si Si = Fi(S), donde S es el triángulo de Sierpinski,

S = S1 ∪ S2 ∪ S3.

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La curva de Koch (Niels F. Helge von Koch, 1870 - 1924)

F1(x) =12(x1,−x2) +

12√3(x2, x1),

F2(x) =12(x1,−x2)−

12√3(x2, x1) +

(12 ,

12√3

)donde x = (x1, x2)

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Existencia y unicidad

Teorema (Felix Hausdorff, 1868 - 1942)Dada una familia de contracciones F1,F2, . . . ,FN , existe un únicoconjunto no vacío y compacto K tal que

K = F1(K ) ∪ F2(K ) ∪ . . .FN(K ).

Demostración.Idea: Mostrar que la iteraciones⋃

i1,i2,...Fi1(Fi2(· · · (A) · · · )),

para cualquier conjunto no vacío A, tienen un límite.

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Ejemplo: curva de Koch

Iniciamos con los puntos (0, 0) y (1, 0):

Aplicamos las funciones F1 y F2:

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Una nueva iteracón de F1 y F2:

Después de tres iteraciones:

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Cuatro:

Cinco:

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Seis:

Ocho:

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Después de 16 iteraciones, tenemos una muy buena aproximaciónde nuestro fractal verdadero:

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Otros fractales autosimilares

El pentakun

Copo de nieve

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El pentakunCopo de nieve

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Árbol de HataMasayoshi Hata, Univ. Kyoto

Tetrahedro de Sierpinski(en el espacio tridimensional)

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Llega MandelbrotLos conjuntos de JuliaEl conjunto de Mandelbrot

La observación de Mandelbrot

Benoît Mandelbrot(1924 - 2010)

Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractos

Servían comocontraejemplos en cálculoMandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967

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Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractosServían comocontraejemplos en cálculo

Mandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967

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Hasta los 60’s, losfractales solo eranconjuntos “patológicos”abstractosServían comocontraejemplos en cálculoMandelbrot: ¿cuál es lalongitud de la costabritánica?, Science, 1967

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La observación de MandelbrotMandelbrot observó que la longitud de la costa británica dependede la unidad con la que se mide.

Figura: Tomando unidades de 200km, 100km, 50km, obtenemos 2400km,2800km y 3450km, respectivamente.

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Conclusiones de Mandelbrot:

La mejor aproximación a una costa no es una curva suave

La curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento

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La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”

Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento

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La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas

(autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento

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La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)

Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento

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La mejor aproximación a una costa no es una curva suaveLa curva que mejor la aproxima debe tener una “infinidad depicos”Los “picos” se repiten en todas las escalas (autosimilaridad)Mandelbrot acuñó el término “fractal” para describir talcomportamiento

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Los números complejosMandelbrot estudió procesos iterativos en el plano complejo.

Los números complejos son los números de la formados

a + bi , a, b ∈ R

donde i2 = −1.

Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .

(Sí, igual que a los vectores.)También podemos multiplicarlos:

(a + bi)× (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .

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a + bi , a, b ∈ R

donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.

Podemos sumarlos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .



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a + bi , a, b ∈ R

donde i2 = −1.Se denotan por la letra C.Podemos sumarlos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .



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a + bi , a, b ∈ R


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .

(Sí, igual que a los vectores.)

También podemos multiplicarlos:


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a + bi , a, b ∈ R


(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .



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Multiplicación compleja

La multiplicación compleja requiere explicación:

(a + bi)× (c + di) = ac + adi + bci + bdi2

= ac + bdi2 + (ad + bc)i= (ac − bd) + (ad + bc)i ,

donde hemos usado el hecho i2 = −1.El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!

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donde hemos usado el hecho i2 = −1.

El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!

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donde hemos usado el hecho i2 = −1.El número es equivalente a la ¡raíz cuadrada de −1!

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w =

3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i ,

zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw =

4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w =

2, zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2,

zw = 2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw =

2.

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Ejemplos

z = 2 + 3i , w = 1− i

z + w = 3 + 2i , zw = 5 + i .

z = 1− 2i , w = 2 + i

z + w = 3− i , zw = 4− 3i .

z = 1− i , w = 1 + i

z + w = 2, zw = 2.

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El plano complejoA los números complejos los acomodamos en un plano:

La distancia del origen al punto z es su valor absoluto:

|z | =√

a2 + b2

(teorema de Pitágoras).

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El plano complejoA los números complejos los acomodamos en un plano:

La distancia del origen al punto z es su valor absoluto:

|z | =√

a2 + b2

(teorema de Pitágoras).24 / 37




El proceso zn+1 = z2n + c

Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,

zn+1 = z2n + c,

con valor inicial z0 y c ∈ C.

Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?

Ejemplo: c = 0, z0 = 2:

z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .

Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).

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Mandelbrot estudió el proceso, con números complejos,

zn+1 = z2n + c,

con valor inicial z0 y c ∈ C.Pregunta: ¿Cómo se comporta la sucesión zn cuando n crece?

Ejemplo: c = 0, z0 = 2:

z1 = 4, z2 = 16, z3 = 256, z4 = 65536, . . .

Vemos que zn →∞ (crece indefinidamente).

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c = 0, z0 = 1/2:

z1 =14 , z2 =

116 , z3 =

1256 , z4 =

165536 , . . .

En este caso zn → 0.c = 0, z0 = 1:

z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .

En este caso zn = 1 para todo n.c = 0, z0 = 1/2 + i/3:

z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i

En este caso también zn → 0

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c = 0, z0 = 1/2:

z1 =14 , z2 =

116 , z3 =

1256 , z4 =

165536 , . . .

En este caso zn → 0.

c = 0, z0 = 1:

z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .


z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i


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c = 0, z0 = 1/2:

z1 =14 , z2 =

116 , z3 =

1256 , z4 =

165536 , . . .


z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .


z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i


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c = 0, z0 = 1/2:

z1 =14 , z2 =

116 , z3 =

1256 , z4 =

165536 , . . .


z1 = 1, z2 = 1, z3 = 1, . . .


z1 ≈ 0.14−0.33i , z2 ≈ −0.092−0.093i , z3 ≈ −0.0001+0.017i

En este caso también zn → 026 / 37





Podemos ver que, en el caso c = 0, el proceso zn+1 = z2n satisface:zn → 0 si |z0| < 1;|zn| = 1 si |z0| = 1; y|zn| → ∞ si |z0| > 1.

zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1, o sea, en el conjunto

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zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1,

o sea, en el conjunto

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zn se mantiene acotado si |z0| ≤ 1, o sea, en el conjunto

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Conjuntos de Julia (Gaston M. Julia, 1893 - 1978)

Para otros c, el conjunto de z0 donde zn se mantiene acotado esmucho más interesante:

c = 0.285 c = 0.45 + 0.1428i

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c = 0.285

c = 0.45 + 0.1428i

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c = 0.285 c = 0.45 + 0.1428i

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Conjuntos de Julia

La frontera de estos conjuntos es llamada conjunto de Julia.

c = 0.4 + 0.6i c = −0.8 + 0.156i

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Conjuntos de Julia


c = 0.4 + 0.6i

c = −0.8 + 0.156i

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Conjuntos de Julia


c = 0.4 + 0.6i c = −0.8 + 0.156i

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Conjuntos de Julia

Los conjuntos de Julia presentan la misma complejidad a distintasescalas:

¡Julia no los vio! No había computadoras en ese entonces.

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Conjunto de Mandelbrot

Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;

En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;

DefiniciónAl conjunto de todos los números c tales que el conjunto de Juliaes conexo se le llama el conjunto de Mandelbrot. Lo denotaremospor M.

Teorema (Julia - Fatou)M es el conjunto de c tales que, si z0 = 0, la sucesión zn esacotada.

(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)

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Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;



(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)

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Los conjuntos de Julia son muy distintos para distintos c;En particular, para algunos c, el conjunto de Julia es conexo,y para otros es disconexo;



(Pierre Joseph Louis Fatou, 1878 - 1929)31 / 37





El conjunto de Mandelbrot también es un fractal:

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Contenido

Resumen

En este curso nos enfocaremos al estudio de los fractalesautosimilares. Veremos el problema de cómo medirlos (curvas delongitud infinita, figuras de área cero) y la aparición de ladimensión fraccionaria.Al final, discutiremos cómo construir fractales autosimilares con lacomputadora.

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Contenido

Día dos

La curva de Koch: “longitud infinita”El conjunto de Cantor: “longitud cero”El triángulo de Sierpinski: “área cero”¿Por qué ocurre lo anterior?

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Contenido

Día tres

La medida de HausdorffPropiedadesLa dimensión de HausdorffAlgunos ejemplos

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Contenido

Día cuatro

Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff?

Teorema de HutchinsonEjemplos

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Contenido

Día cuatro

Pregunta: ¿Cómo calculamos la dimensión de Hausdorff?Teorema de HutchinsonEjemplos

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Contenido

Día cinco

Introducción a MathematicaImplementación de recursividadDibujaremos algunos de los fractales autosimilares vistos aquí

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