NA PARTE FUNDAMENTAL de la matemtica, la geome-tra, estudia las propiedades de las formas y del espacio.En ella, la concepcin geomtrica ms moderna, la geo-metra fractal se ha convertido en herramienta imprescin-dible para la descripcin de objetos irregulares y el anli-sis de numerosos fenmenos complejos, aportando mode-los matemticos a muchas estructuras naturales.

Desarrollada a partir de la propuesta de B. Mandelbrot enlos aos setenta, los fractales lineales forman un grupofundamental en esta geometra. Se describen mediantealgoritmos de construccin o reglas de sustitucin, queslo cuando se aplican iterativamente a un objeto geom-trico dan lugar al desarrollo de estructuras fractales. Unfractal lineal puede definirse con un conjunto de transfor-maciones lineales afines: reducciones, desplazamientos,rotaciones, reflexiones, y combinaciones de stas.

Los fractales lineales son autosimilares, es decir, un peque-o fragmento cualquiera de ellos contiene una figura que,con el adecuado cambio de escala, es idntica a la figuracompleta. Esto supone que cualquier parte de un fractal,por pequea que sea, contiene toda la informacin relati-va al mismo. Esa interrelacin a distintas escalas se descri-be matemticamente con el concepto de dimensin fractal.

Se presenta en este artculo una nueva propuesta para elaprendizaje de la geometra en la educacin secundaria.Con esta experiencia se quiere contribuir a la enseanzade las matemticas, y en particular de la geometra, par-tiendo de motivaciones intuitivas y relaciones con lo con-creto. Participando de muchas de las reflexiones renova-doras sobre la enseanza de la geometra (SnchezVzquez, 1997; Figueiras, 2000), se propone aqu un con-junto amplio de actividades para el estudio de los fracta-les lineales, aportando ideas enriquecedoras con recursosdidcticos al alcance de todos.

La introduccin de losfractales lineales en las

matemticas de secundaria atravs de una experiencia

como sta resulta sencillo ymuy interesante. El diseo, laconstruccin y el estudio de

figuras fractales planasconstituyen el ncleo de la

propuesta. En este trabajo seordenan, describen y

comentan muchas de lasactividades realizadas conlos estudiantes durante la

experiencia.

91

Experiencia didcticaen Matemticas: construiry estudiar fractales

Juan C. Moreno-Marn

IDEASY

RECURSOS

U

40

junio 2002, pp. 91-104

Esta propuesta quiere participar en el movimiento de recu-peracin de la enseanza de la geometra, renovando sudidctica con motivaciones concretas mediante una apli-cacin de total actualidad. La incorporacin de los fracta-les a las matemticas escolares es muy interesante, puescombinando curiosidad, sencillez y belleza, permite enfo-car la actividad en el aula como de bsqueda e investiga-cin. Ms an, en la educacin secundaria obligatoria porser el momento en el que se inicia el desarrollo de la capa-cidad de formalizar y se hace posible algn grado signifi-cativo de abstraccin.

Se pretende en este caso reforzar la introduccin a la geo-metra utilizando las transformaciones lineales afines en elplano para definir formas fractales. La utilizacin de estetema novedoso contradice la concepcin de las matemti-cas como una ciencia completa desde hace tiempo.

La experiencia de construiry estudiar fractales

Se trata de elaborar figuras planas de grandes dimensio-nes, hasta de 2 m2, en las que utilizando la propiedad desimilaridad formadas por partes semejantes entre s, seha conseguido representar un fractal conexo. Las figuraspresentan una etapa intermedia en la formacin del frac-tal, mientras que tambin son una representacin de lafigura lmite o atractor del fractal, con una determinadaresolucin, y por lo tanto propiamente autosimilares.

Estas estructuras tan complejas anan la sencillez y preci-sin de quedar descritas matemticamente mediante unpequeo nmero de transformaciones lineales, y la belle-za del resultado cuando estas transformaciones se aplicannumerosas veces sobre un objeto inicial. Los fractales exis-ten slo en su estado infinito, pero en la prctica nos con-formamos con visualizarlos en alguna etapa finita de suconstruccin.

Los objetivos de esta experiencia son conocer las propie-dades bsicas de los fractales y utilizarlos para el trabajomatemtico. Se introducen las transformaciones de formaprctica, por el movimiento de las figuras sobre el papel,y a partir de las figuras obtenidas se han podido desarro-llar muchos contenidos geomtricos y algebraicos propiosdel currculo de matemticas de secundaria. Son numero-sas las actividades y ejercicios interesantes, desde el cl-culo numrico en los primeros cursos, a la expresin alge-braica en los ltimos. El nmero de elementos geomtri-cos que constituyen la figura en cada etapa de la forma-cin del fractal vrtices, lados, tringulos, cuadrados, dalugar a sucesiones geomtricas, y las caractersticas deestos elementos longitudes de los lados y de las reaspueden expresarse algebraicamente. Se revisan los lmitesde estas sucesiones para un nmero muy grande de eta-

pas y su relacin con la dimensin frac-tal de cada figura.

Para la aplicacin de esta propuesta sehan preparado y utilizado numerosasactividades adaptables a diferentes nive-les educativos. En su realizacin, estasactividades se secuencian en tres etapasque se exponen a continuacin:

1. Las transformaciones geomtricas yel diseo de patrones.

2. Taller de construccin de las figuras.

3. Caractersticas de las figuras: expre-siones algebraicas y representacio-nes grficas.

Primera etapa.Las transformacionesgeomtricas y el diseode patrones

La expresin matemtica ms sencillade un fractal lineal corresponde a lo queMichael Barnsley (1993) introdujo conel nombre de sistemas de funcin itera-da o IFS (Iterated Function Systems). UnIFS es un conjunto de transformacionesafines contractivas. Cada conjunto deestas transformaciones define una ima-gen fractal denominada atractor del IFS,que siempre existe y es nica.

La transformacin afn general en elplano se compone de una transforma-cin lineal, que deforma el plano res-

La incorporacinde los fractales

a las matemticasescolares es

muy interesante,pues combinando

curiosidad,sencillez y belleza,

permite enfocarla actividad

en el aula comode bsqueda

e investigacin.

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Figura 1. Estudiantes de bachillerato posandocon el resultado de su trabajo, un tringulo de Sierpinski

pecto al origen, y de una traslacin. Unatransformacin se llama contractiva sireduce la distancia entre un par de pun-tos cualesquiera.

Una transformacin lineal afn bidimen-sional W se representa algebraicamentecomo W(x, y) = (ax + by + e, cx + dy + f),donde a, b, c, d, e y f son nmeros rea-les. Esta transformacin gira, desplaza ycambia la escala de un objeto en lasdirecciones X e Y del plano euclideo. Enesta experiencia se utilizan las transfor-maciones afines ms sencillas, las trans-formaciones de similaridad, que se carac-terizan porque tanto el factor de escalacomo los ngulos de rotacin son igua-les para cualquier direccin en el plano,conservando los ngulos, adems detransformar rectas en rectas.

Para el diseo de fractales con estastransformaciones, se buscaron como ini-ciadores o figuras de partida las formasplanas ms elementales que pudierandividirse en copias reducidas de s mis-mas, y produjeran una teselacin delplano, seleccionando el tringulo y elrectngulo. Como adems la variedadde fractales aumentaba con aquellos ini-ciadores que presentaran simetras degiro que permitieran aplicar rotacionesa las figuras, se han elegido el cuadradoy el tringulo equiltero.

El generador es la figura que se obtieneal aplicar por primera vez las reglas desustitucin o algoritmo fractal sobre el

iniciador, y describe las transformaciones que definen elfractal. Para el diseo de los generadores se han buscadolas reglas de sustitucin ms sencillas. Se han utilizadohojas de papel con malla triangular y cuadrada para obte-ner generadores.

La malla es una herramienta geomtrica cotidiana ademsde un valioso instrumento para la enseanza y el aprendi-zaje en geometra. En ella se seleccionan aquellas trans-formaciones que puedan representarse con algunos de suselementos. El conjunto de transformaciones representadoprovoca la eleccin del tamao del iniciador para que elresultado de la menor de las transformaciones coincidacon un elemento de la malla.

Aprovechando que se pueden definir sobre la malla trin-gulos equilteros o cuadrados subdivididos en otros seme-jantes, se seleccionan algunos de sus elementos que defi-nirn las transformaciones de similaridad: las contraccio-nes con factor de escala 2, 3 o 4, y las traslaciones se des-criben dividiendo el iniciador cuadrado o triangular en 22,32 o 42 partes iguales. Otras transformaciones que fcil-mente pueden incorporarse son las rotaciones de mlti-plos de 90 sobre los cuadrados, o de 120, 180 y 240sobre los tringulos equilteros. Al dividir un cuadrado ensubcuadrados iguales de lados paralelos, o un tringuloequiltero en subtringulos iguales, hay diferentes mane-ras de seleccionar un subconjunto de entre ellos quepueda definir un algoritmo fractal, pero las posibilidadesse multiplican si extendemos la seleccin de elementosfuera del polgono original. La actividad que se les propo-ne a los estudiantes es la del diseo de algoritmos fracta-les distintos con este tipo de transformaciones.

Si el generador del fractal es una figura conexa, de una solapieza, la iteracin posterior de esas mismas transformacio-nes da lugar a que la figura, en cualquier etapa que serepresente, lo siga siendo. Mientras que si el generador esdisconexo, las etapas posteriores tambin lo son y el frac-tal consiste en un conjunto cantoriano de puntos pulvuru-lento. En esta experiencia, y para alcanzar los objetivos quese pretenden, se han utilizado solamente formas conexas.

En la figura 3 se presentan algunos resultados de esta acti-vidad de diseo, los iniciadores, generadores y la segundaetapa de formacin de algunos de los fractales que poste-riormente se han utilizado. En la parte superior se mues-tra la formacin del fractal Belinda; en la segunda fila, laalfombra de Sierpinski; en la tercera, el copo de estrellas;y en la parte inferior las aspas de Vicsek. Muchos de losgeneradores, al no incluir rotaciones en sus transforma-ciones, se obtienen tambin eliminando algunas partes deliniciador, por lo que el algoritmo fractal se puede descri-bir como un proceso de eliminacin de rea.

Una actividad en clase consiste en proponer a los estu-diantes que describan de esta manera algunos de los algo-ritmos diseados que se utilizarn en el taller, en particu-

La malla esuna herramienta

geomtricacotidianaadems deun valioso

instrumentopara

la enseanzay el aprendizajeen geometra.

93

Figura 2. Las Aspas de Vicsek montadaspor los estudiantes de bachillerato

lar los de los fractales triseccin, punta de flecha, tringu-lo de Sierpinski, aspas y alfombra, es decir, aquellos cuyastransformaciones consisten slo en contracciones y trasla-ciones. La descripcin de los generadores de fractales esconveniente como ejercicio de geometra y de rigor en laexpresin. Se utiliza aqu la expresin verbal de las expe-riencias como uno de los contenidos procedimentalesbsicos de la geometra y de las matemticas, porque inci-de de manera importante en el objetivo educativo generaldel uso adecuado del lenguaje y la mejora en el dominiode la expresin.

Definir correctamente el algoritmo de generacin consistebsicamente en mencionar el nmero de transformacionesque lo componen y sus caractersticas: la relacin desemejanza o factor de escala con el iniciador, y sus posi-ciones relativas respecto a l, su traslacin y/o rotacin.Con estos datos es suficiente en casos como el actual, enlos que se utilizan transformaciones de similaridad, aun-que no en general. La descripcin de las transformacionesser a menudo oral, y a veces tambin escrita. En ambaslos estudiantes aprenden a utilizar con precisin el len-guaje geomtrico adecuado.

El teorema de la composicin de Barnsley permite plantearotro problema: dada una forma geomtrica L en el plano,buscar el conjunto de transformaciones, o IFS, para el cualL sea el atractor. El teorema dice que el IFS correspondien-

te a un atractor es el conjunto de trans-formaciones cuya composicin de lasimgenes de ese atractor bajo las trans-formaciones coincida consigo mismo.

Una vez que los estudiantes han disea-do generadores, en una nueva actividadse propone la realizacin del trabajomatemtico en sentido inverso: se lespresentan varios atractores fractalesmuy sencillos y se les pide que, inter-pretando sus caractersticas y utilizandoel teorema, describan las transformacio-nes de similaridad que los han genera-do. Este ejercicio ya presenta algunosde los resultados que se obtienen con laconstruccin de las figuras, adems dereforzar en los estudiantes la manera dedescribir correctamente las transforma-ciones geomtricas. El modelo para rea-lizarlo se presenta en la figura 6. Se tratade una actividad de reconocimiento,frente a la actividad anterior de diseargeneradores de fractales. El hecho detrabajar alternando actividades de reco-nocer y de disear transformaciones, noslo es una garanta para la adquisicin

Se utiliza aqula expresin verbalde las experiencias

como unode los contenidosprocedimentales

bsicosde la geometra

y de lasmatemticas,porque incide

de maneraimportante

en el objetivoeducativogeneral

del uso adecuadodel lenguajey la mejora

en el dominiode la expresin.

94

Figura 3. Diseo de cuatro algoritmos fractales

Figura 4. Estudiantes de la Universidadde Alicante durante la construccin de

figuras fractales

Figura 5. Los estudiantes posan conalgunas de las figuras realizadas

llegar a describir las transformaciones lineales en su nota-cin matricial. Se expresan como W(P) = AP + t, donde Aes una matriz real bidimensional 2 x 2 y t es un vectorcolumna 2 x 1.

Su representacin matricial es:

95

Generacin de fractales

Explica cmo se ha generado cada una de las siguientes imgenes frac-tales. Para describir las transformaciones lineales te basta con obtener elnmero de copias, el factor de escala y las rotaciones si las hubiera.

N. transf. Escala Rotaciones N. transf. Escala Rotaciones

N. transf. Escala Rotaciones N. transf. Escala Rotaciones

N. transf. Escala Rotaciones N. transf. Escala Rotaciones

Figura 6. Modelo de la actividad de reconocimientode algoritmos fractales

del conocimiento, sino que ademsequivale a practicar una evaluacinconstante dentro del mismo proceso deaprendizaje.

Los estudiantes de bachillerato, que yatienen algunas nociones de clculomatricial, y estudian en su primer cursola geometra analtica del plano, pueden

Wx

y

a

c

b

d

x

y

e

f

ax by e

cx dy f

=

+

=

+ ++ +

Alternativamente A puede escribirse de la forma

Ar s

r s=

-

cos( ) ( )

( ) cos( )

f yf y

sen

sen

donde (r, f) y (s, y + p/2) son las coordenadas polares delos puntos (a, c) y (b, d) en las que pueden reconocerselas componentes de la transformacin: el escalado deparmetros r y s, la rotacin de los ejes cartesianos, dengulos f y y, y la traslacin dada por las coordenadas ey f (Barnsley, 1993).

Como ejemplo consideremos el sistema compuesto por lastres transformaciones W1, W2, W3 que definen el tringulode Sierpinski, y cuyo cdigo IFS se representa de lasiguiente forma:

a b c d e f

W1 0,5 0 0 0,5 0 0

W2 0,5 0 0 0,5 1 0

W3 0,5 0 0 0,5 1/2 3 2

Est formado por tres copias de mitad de tamao que supredecesora (coeficientes 0,5 en a y d), no hay giros(ceros en b y c), e incluye el desplazamiento a los vrticesde un tringulo (coeficientes e y f). La transformacin W1crea el tringulo de la izquierda, W2 el de la derecha, y W3el superior del centro, resultando una manera muy com-pacta con un cdigo muy pequeo de describir unafigura tan detallada como el tringulo fractal.

Segunda etapa. Construccinde las figuras

Taller de fractales

Se propone una actividad de taller, basada en la utilizacinde materiales geomtricos muy sencillos. Con estos mate-riales se construyen modelos, es decir, realizaciones visi-bles que ponen de manifiesto las transformaciones y todaslas propiedades geomtricas de cada figura. Los modelosson el lenguaje de la geometra. La manipulacin de losmateriales es la ocasin para experimentar y despusexpresar propiedades geomtricas, alcanzando los con-ceptos abstractos a partir de situaciones concretas.

En el aula, la tarea de construccin que parece concep-tualmente compleja se ha traducido en un ejercicio manualnada complicado. Con los generadores definidos, la elabo-racin de las figuras en papel es inmediata. Para esta etapaprctica se utilizan las mallas de papel, donde se seleccio-nan los elementos que definen el generador. Sobre unahoja A4 de papel se forma la primera etapa, la segunda yhasta la tercera etapa de la figura fractal, con slo selec-cionar ms elementos en la disposicin adecuada. El relle-nado de los elementos de la malla se ha hecho con pega-tinas de color de forma triangular o cuadrada como las quese utilizan en actividades propias de educacin infantil.

Esta hoja de papel ser el objeto generador de las etapassiguientes con un proceso de multiplicacin tan sencillocomo su reproduccin con fotocopias. La similaridad deestos fractales lineales hace que fotocopiando los patronespodamos montar las siguientes etapas del objeto, al mismotiempo que la figura total aumenta su tamao. Con trescopias del tringulo colocadas convenientemente obtene-mos la etapa siguiente a doble tamao que el patrn. Connueve, una etapa ms y otra vez duplicamos tamao, y ashemos llegado a la etapa sptima de construccin deltringulo fractal. De forma parecida, con cinco copias delpatrn de las aspas adecuadamente colocadas se obtienela etapa siguiente y aumenta su tamao al triple. Con vein-ticinco copias aumentamos una etapa ms y volvemos atriplicar el tamao, y en esta ocasin hemos llegado a laquinta etapa en la formacin de las aspas fractales.

Una vez obtenidas en nmero y tamao adecuado lascopias necesarias de una determinada etapa de cada figu-ra, la construccin termina con el recorte de estos patro-nes de papel, generalmente en hojas de tamao A3, y supegado en la posicin precisa sobre el soporte definitivo,que a veces ha sido el cartn-pluma y otras veces delga-das planchas de conglomerado chapadas en blanco. Lasfiguras fractales siempre van acompaadas de una breveleyenda explicativa que describe el conjunto de transfor-maciones que la forman y muestra las primeras etapas desu formacin.

En algunos casos se ha aprovechado que la fotocopiadorapermite reducir el tamao de las copias, con lo que seobtienen numerosas etapas de la formacin de un fractalsin que el tamao total de la figura crezca, o por lo menossin que resulte desorbitado. Las posibilidades experimen-tales de este procedimiento en la construccin de figurasfractales es enorme.

Es conveniente realizar estas actividades de taller en otrosmomentos que no sean los de la clase de matemticas,preferentemente en el taller de plstica o en el marco decualquier actividad cultural, como ocurri en nuestro IES.En este sentido se considera que la expresin plstica esun lenguaje idneo para la geometra. Quedan sin dudalas otras dos etapas de la experiencia con sus actividades

para realizar en la clase de matemticas,e incluso se necesita ayuda informticapara la representacin grfica de lascaractersticas de las figuras. Esto permi-te relacionar la geometra con otrasmaterias presentando a las matemticascomo un conjunto de reas de conoci-miento estrechamente entrelazadasentre s y con otras diversas.

Descripcin de las figuras

El Tringulo de Sierpinski (figura 7)

Es una de las figuras obtenidas, querecibe su nombre del matemtico pola-co Waclaw Sierpinski, quien lo propusoen 1915 para poner de manifiesto carac-tersticas geomtricas extraas, en estecaso para demostrar que una curvapuede cruzarse consigo misma en todossus puntos. El tringulo de Sierpinskiqueda definido por un conjunto de trestransformaciones, que sobre cualquierobjeto lo reducen a la mitad de su tama-o y colocan las copias en los tres vr-tices de un tringulo equiltero. Tam-bin se genera conectando los puntosmedios de los tres lados de un tringu-lo equiltero, seleccionando slo lostres subtringulos que se forman en lasesquinas, y suprimiendo la cuarta partecentral del mismo. Repitiendo este pro-ceso de construccin, quitando frag-mentos cada vez ms pequeos una yotra vez, infinitas veces, se obtiene estefractal tan conocido.

permiterelacionar

la geometra conotras materiaspresentando

a las matemticascomo un conjunto

de reasde conocimientoestrechamenteentrelazadas

entre sy con

otras diversas.

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Figura 7. El tringulo de Sierpinski

La Punta de Flecha (figura 8)

Se describe con cinco transformacionesque reducen a un tercio de tamao, ycolocan las copias alineadas sobre dosrectas perpendiculares. La figura seobtiene descomponiendo un cuadradoen nueve subcuadrados iguales, divi-diendo los lados en tres partes iguales yseleccionando slo cinco subcuadradosdispuestos perpendicularmente, y elimi-nando los cuatro restantes.

Las Aspas de Vicsek (figura 8)

Es otro de los fractales construidos, querecibe su nombre de Tams Vicsek, mate-mtico hngaro que propuso esta confi-guracin fractal. La figura est definidapor cinco transformaciones geomtricasque reducen el objeto a la tercera partede su tamao y colocan las copias en loscuatro vrtices y en el centro de un cua-drado. Experimentalmente la hemos con-seguido descomponiendo un cuadradoen nueve subcuadrados iguales, seleccio-nando slo los cinco subcuadrados quese forman en las esquinas y el central, ysuprimiendo los cuatro restantes.

a la mitad de su tamao, colocan las copias en los vrticesde un tringulo equiltero (hasta aqu como para el trin-gulo fractal), y las gira 180.

La alfombra de Sierpinski (figura 10)

Se genera con ocho transformaciones que reducen la figu-ra a un tercio de su tamao y las coloca en todos los sub-cuadrados exteriores que resultan al dividir un cuadradopor los tercios de sus lados con segmentos paralelos aellos. La alfombra se obtiene descomponiendo un cuadra-do en nueve subcuadrados iguales, y seleccionando slolos ocho subcuadrados exteriores.

La alfombra [de Sierpinski]

se obtienedescomponiendo

un cuadradoen nueve

subcuadradosiguales,

y seleccionandoslo los ocho

subcuadradosexteriores.

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Figura 8. La punta de flechay las aspas de Vicsek

El copo de estrellas (figura 9)

Esta figura se obtiene con tres transfor-maciones lineales que reducen el objeto

Figura 9. El Copo de Estrellas

Figura 10. La alfombra de Sierpinski

Las Columnas (figura 11)

Se describen con tres transformaciones similares a las ante-riores. Son reducciones a mitad de tamao, traslaciones alos vrtices de un tringulo rectngulo y rotacin de 180

de la copia colocada en el vrtice superior. Este fractal seobtiene descomponiendo un cuadrado en cuatro subcua-drados iguales de mitad de tamao, seleccionando tres deellos y suprimiendo el cuarto. El subcuadrado superiorsufre una rotacin de 180.

Belinda (figura 12)

Esta figura queda definida por tres transformaciones quereducen el objeto a mitad de tamao, trasladan las copiasa tres vrtices consecutivos de un cuadrado, y gira 90 lacopia del vrtice superior. La figura se obtiene descompo-niendo un cuadrado en cuatro subcuadrados iguales demitad de tamao y seleccionando slo tres de ellos. Elsubcuadrado superior sufre adems una rotacin de 90 ensentido opuesto al de las agujas del reloj.

segmentos paralelos a los mismos. Seobtiene dividiendo el tringulo ennueve subtringulos iguales y eliminan-do los tres interiores cuyos lados nocoinciden con los del tringulo.

Fractal tridimensional

El trabajo geomtrico sobre fractales, quehabitualmente es bidimensional, convie-ne completarlo con la manipulacin dealgn objeto tridimensional que ayude asu comprensin. El poliedro ms simplees el tetraedro, y otro muy interesante eloctaedro. Con un octaedro y cuatro te-traedros de la misma arista se forma untetraedro de doble arista, y de esta mane-ra se puede manipular el generador deltetraedro fractal de Sierpinski.

La regla de generacin consiste en cor-tar un tetraedro regular con planos para-lelos a las caras que pasen por los pun-tos medios de las aristas, seleccionandolos cuatro nuevos tetraedros de mitadde tamao formados en los vrtices yeliminando el resto del slido, un octae-dro regular. Con este algoritmo se gene-ran cuatro nuevos tetraedros, y aplicn-doles de nuevo la regla a cada uno seobtienen 16 tetraedros, todos del mismotamao. La aplicacin recursiva de estaregla, quitando octaedros cada vez mspequeos una y otra vez, da lugar a laforma fractal.

Muchos estudiantes habrn construidoalguna vez un poliedro a partir de sudesarrollo plano, y algunos de ellos untetraedro. Resulta interesante que com-

El trabajogeomtrico

sobre fractales,que habitualmentees bidimensional,

convienecompletarlo conla manipulacinde algn objetotridimensional

que ayudea su comprensin.

98

Figura 11. Las columnas

Figura 12. Belinda

La Triseccin (figura 13)

Se genera con seis transformaciones, combinaciones dereduccin a un tercio de tamao y traslacin de las copiasa todos los subtringulos externos, que resultan al dividirun tringulo equiltero por los tercios de sus lados con

Figura 13. La triseccin

prueben que puede obtenerse a partirde dos desarrollos distintos, en unainvestigacin para buscar sobre lamalla triangular todos los distintostetra-diamantes, y entre ellos los dosque al plegarse forman el tetraedro(Bolt, 1998).

En la construccin del fractal se ha utili-zado la malla triangular para recortar eldesarrollo plano de un tetraedro cuyasaristas midan 2n veces la arista de la cel-dilla unidad. Antes de doblar y pegar laspestaas del cuerpo geomtrico se hanmarcado sobre sus caras, recubriendocon un adhesivo de color, los tringulosque permanecern en ella hasta la etapan de la generacin del tringulo deSierpinski. Se obtiene as una imagen dela pirmide fractal hasta esa etapa n desu formacin, si se imagina que el papelblanco desaparece y slo permanecenlos pequeos tetraedros coloreados.Con aristas de 16 celdillas se obtiene lacuarta etapa de la formacin del fractal,pero la colocacin de cuatro de estostetraedros da lugar a la etapa siguientecon un tetraedro de doble arista, comose muestra en la figura 14, y as sucesi-vamente.

Como todos los fractales lineales, eltetraedro de Sierpinski queda totalmen-te definido mediante un conjunto detransformaciones. Las cuatro transforma-ciones tridimensionales que reducen lafigura a mitad de tamao y colocan lascopias en los vrtices del tetraedro, quetambin se pueden expresar matricial-mente constituyendo un IFS, en el que

cada una se representa por una relacin lineal entre lascoordenadas euclideas de cada punto del espacio (x, y, z)con otras (x, y, z):

Las figurasformadas

nos permitirnutilizar

su autosimilaridady las regularidades

que muestranpara la bsqueda

de reglasnumricas

que evidencienlas relaciones

entre los modelosgeomtricos

y los modelosnumricos.

99

Figura 14. Tetraedros de Sierpinski en cartulinarealizados por los estudiantes

x

y

z

a b c

d e f

g h i

x

y

z

j

k

l

=

+

De esta manera, el tetraedro fractal queda descrito por los12 x 4 = 48 parmetros de las cuatro transformaciones tri-dimensionales:

a b c d e f g h i j k l

W1 0,50 0 0 0 0,50 0 0 0 0,50 0,00 0,00 1,00

W2 0,50 0 0 0 0,50 0 0 0 0,50 0,00 0,87 0,50

W3 0,50 0 0 0 0,50 0 0 0 0,50 0,87 0,50 0,50

W4 0,50 0 0 0 0,50 0 0 0 0,50 0,87 0,50 0,50

Con objetos como ste se pueden proponer numerosasactividades didcticas que muestran una dinmica interco-nexin entre geometra y lgebra, as como interesantesaspectos de la autosimilaridad.

Tercera etapa. Caractersticasde las figuras: expresiones algebraicasy representaciones grficas

Pero esta experiencia didctica no termina con la forma-cin de algunas de las innumerables figuras distintas posi-bles. Si su diseo y construccin han resultado tareas inte-resantes y enriquecedoras, la utilidad posterior hace de losfractales lineales una herramienta formativa muy eficaz.

Las figuras formadas nos permitirn utilizar su autosimila-ridad y las regularidades que muestran para la bsquedade reglas numricas que evidencien las relaciones entrelos modelos geomtricos y los modelos numricos. Losresultados ms significativos para estas figuras son lasexpresiones que se recogen en la tabla 1.

En primer lugar se determinan los parmetros r y s quedescriben estos modelos: r es el nmero de copias de lafigura que conforman la etapa siguiente, y s es el factor deescala entre el elemento de una etapa y el de la siguiente.

Reconociendo la autosimilaridad de las figuras, y obser-vando una parte lo ms pequea posible que contenga elgenerador, se cuenta el nmero de elementos que lo com-ponen. Se hace el mismo recuento con una parte que con-tenga la segunda etapa y las siguientes de la construccindel fractal, comprobando la progresin geomtrica queaparece en el nmero de elementos que forman estas figu-ras. En los primeros cursos de secundaria es conveniente

recoger los resultados en una pequea tabla que facilite laobtencin de la regla general (Figueiras, 2000). El ejerciciode formalizacin que da lugar a estas expresiones no estrivial para los estudiantes de estos cursos, aunque resultemuy aconsejable.

En cada etapa, mientras que una potencia de r muestra elnmero de elementos que componen la figura, con el fac-tor de escala s se expresa la longitud del lado de un ele-mento en funcin del lado de la figura inicial. Por tratarsede transformaciones contractivas, la longitud del lado seruna potencia de base menor que la unidad. La combina-cin de ambos resultados permite obtener la expresin delpermetro de las figuras.

Consecuencia tambin de las reglas de construccin, delcambio de escala y del nmero de copias o elementos, apa-rece la secuencia de reas para las diferentes etapas quepuede expresarse mediante una ley potencial. Por simplici-dad, es conveniente referirlas siempre al rea del iniciador.

Pero si se interpreta la formacin de las figuras como con-secuencia de un proceso sencillo de eliminacin de partesde la figura inicial, se obtiene el rea que permanece encada etapa, pudiendo generalizarse a la etapa n. Los resul-tados que se muestran en la tabla 1 mantienen la formaobtenida directamente en el proceso de eliminacin para

facilitar su interpretacin. Tambin sepuede expresar porcentualmente lafraccin del rea inicial eliminada encada iteracin, y su acumulacin.

Algunos estudiantes al acceder a secun-daria an confunden los conceptos derea y permetro, con lo que el debatecon estos modelos les ayuda a superaresa dificultad. Una vez obtenidas lassecuencias numricas que describen elrea y el permetro de cada figura, suanlisis debe permitir de manera sencillala obtencin de la regla potencial quelas generan y su expresin algebraica. Laocasin es excelente para revisar el cre-cimiento producido por una dependen-cia potencial segn sea la base de lapotencia mayor o menor que la unidad.

Cules son el permetro y el rea delatractor, son cuestiones interesantespara sugerir la idea de lmite de estassucesiones. El estudio de las sucesiones,y el clculo de su lmite cuando exis-te, se aborda normalmente en el bachi-

Algunosestudiantesal acceder

a secundariaan confunden

los conceptosde rea

y permetro,con lo queel debate

con estos modelosles ayudaa superar

esa dificultad.

100

Nmero de Longitud rea Figura en la etapa n elementos rn del lado s-n Permetro figura rea eliminada Dimensin fractal

Tringulo de Sierpinski 3n 2n

Triseccin 6n 3n

Aspas de Vicsek 5n 3-n

Belinda 3n 2n

Punta de flecha 5n 3n

Columnas 3n 2n

Alfombra de Sierpinski 8n 3n

Copo de estrellas 3n 2n

32

1n

n

+ 14

1 341

+

nn3

4

n

d = =loglog

,32

1585

63 1

n

n-

13

1 231

+

nn5

6

nd = =log

log,6

31631

4 53 nn

49

1 591

+

nn5

9

nd = =log

log,5

31 465

1 32 1+

-

n

n

14

1 341

+

nn3

4

nd = =log

log,3

21585

21 5

3

+( )nn

49

1 591

+

nn5

9

nd = =log

log,5

31 465

32

1n

n

+ 14

1 341

+

nn3

4

nd = =log

log,3

21585

45

4 83

+

n

n19

1 891

+

nn8

9

nd = =log

log,8

31893

32

1n

n

+ 14

1 341

+

nn3

4

nd = =log

log,3

21585

Tabla 1

llerato desde un enfoque exclusivamen-te algebraico-analtico. En este trabajose propone aprovechar la interpretacingeomtrica de las figuras fractales paraanalizar sucesiones geomtricas y, enalgn caso, calcular su lmite. En estosejemplos, a partir de una expresinrecurrente se ha obtenido la frmulaexplcita para la sucesin. La interpreta-cin geomtrica proporciona una apro-ximacin ms intuitiva al concepto delmite y permite establecer una cone-xin natural entre dos partes de la mate-mtica que usualmente presentamos anuestros estudiantes de manera disco-nexa: el anlisis y la geometra (Corts,2000).

Pero adems se puede estudiar en lasfiguras la evolucin con las sucesivas ite-raciones de estos conceptos geomtricoscomparando las razones geomtricas, esdecir, si se comparan algoritmos diferen-tes y se revisan los ritmos distintos conlos que decrece el rea, se reduce ellado, o crece el permetro. Este resulta-do conectar con el valor de dimensinque asignemos a los fractales.

El estudio de los lmites de las expresio-nes obtenidas para la etapa n-sima,cuando n tiende a infinito, permite demanera intuitiva a los estudiantes de ESOy de manera formal a los de bachillerato,concluir que las figuras finales sern frac-tales de permetro infinito y de rea nula.En el lmite, la suma de las reas elimi-nadas se reduce a la suma infinita de lostrminos de una serie geomtrica derazn menor que la unidad, con lo quela fraccin eliminada es uno. Sin duda,estas dos conceptos no son idneos paradescribir las figuras fractales.

En lugar de ellos, los fractales se carac-terizan por su dimensin fractal d, gene-ralizacin de la dimensin eucldea. Apartir de la definicin de medida deHausdorff, que coincide con la longitudo el rea para objetos euclideos dedimensin 1 o 2, se define la dimensinfractal o de Hausdorff-Besicovitch de unobjeto como el valor de d para el quecon valores inferiores a l la medida delobjeto es , y con valores superiores lamedida es 0 (Mandelbrot, 1997).

Todas las figuras construidas tienen longitud o permetroinfinito (medida infinita cuando d = 1) y rea nula (medi-da nula cuando d = 2), lo que determina que la dimensinde estos objetos es un valor no entero comprendido entre1 y 2, siendo objetos intermedios entre las lneas y lassuperficies de la geometra clsica. Ocupan ms espacioque una lnea, pero menos que una superficie. La dimen-sin es adems una medida de la irregularidad del fractal.

Como los fractales lineales son autosimilares, en ellos ladimensin fractal coincide con la dimensin de homotecia,mucho ms sencilla, que se puede presentar a los estu-diantes de bachillerato para analizar la dimensin fractalde nuestras figuras, como propone Figueiras (2000). Losparmetros r y s, de cada figura, mediante la definicin dedimensin de homotecia como d = log s / log r, dan lugara las dimensiones fractales obtenidas en la ltima colum-na de la tabla 1.

En el tetraedro de Sierpinski, donde r = 2 es el factor deescala, y s = 4 es el nmero de partes generadas, se obtiene

La interpretacingeomtrica

proporcionauna aproximacin

ms intuitivaal concepto

de lmitey permiteestablecer

una conexinnatural entre

dos partesde la matemticaque usualmente

presentamosa nuestrosestudiantesde maneradisconexa:el anlisis

y la geometra.

101

d = =loglog

4

22

por lo que tiene la misma dimensin que una superficieeucldea.

La tabla 2 muestra algunas de las relaciones numricas quese encuentran el tetraedro de Sierpinski. Desde el nmerode tetraedros generados en cada etapa, sus vrtices, aris-tas y superficie, hasta el volumen de la figura total sernelementos geomtricos a estudiar, concluyendo que eltetraedro de Sierpinski es un objeto lmite cuya rea totalpermanece constante en todas las etapas de su generacincoincidente con el valor de d = 2, pero con un volumenfinal nulo.

Para la interpretacin de los resultados de ambas tablas seconstruyen algunas representaciones grficas de las suce-siones obtenidas entendidas como funciones de variableentera. Con los estudiantes de ESO la actividad consiste enrepresentar la evolucin de las reas, como aparecen en lafigura 15, comparando las potencias de diferentes bases.Tambin se representa el crecimiento de los permetros delos distintos modelos fractales justificando su evolucincon diferentes reglas potenciales.

La figura 15 presenta el rea de las figuras obtenidas endiferentes etapas. Al igual que en la tabla 1, se normalizaa la unidad el rea del iniciador. Los decrecimientos poten-ciales pueden compararse atendiendo a la base de cadapotencia. Por otra parte, en la figura 16 se muestra elpermetro de las formas desarrolladas en sucesivas etapas.En todos los casos se normaliza a la unidad el lado del ini-ciador, con lo que resultan progresiones geomtricas derazn mayor que la unidad. Los diferentes comportamien-tos son funcin de la razn de cada una de las sucesiones.Al buscar el permetro y el rea de la figura lmite, estas

grficas pueden favorecer la comprensin del concepto delmite de una sucesin.

Con estudiantes de bachillerato, con los que el anlisis pre-vio resulta muy pobre en contenidos, se propone comoactividad la confeccin de la grfica adecuada para conocerla relacin potencial entre dos variables. Esta es la que apa-rece en la figura 17, donde se representan logartmicamen-te el rea y el permetro respecto a la etapa de la figura, ydonde las progresiones geomtricas se muestran como

dependencias lineales. Su anlisis permi-te identificar el significado de la pen-diente de cada recta e interpretar elorden relativo entre rectas. Aparecen dospares de figuras con crecimientos delpermetro de la misma pendiente, quecoinciden en la evolucin de sus reas.

Posteriormente se les pide que revisenla relacin entre la dimensin fractal cal-culada para cada modelo y los creci-mientos potenciales del permetro, eincluso con la disminucin del rea, conlo que el debate sobre la irregularidadest garantizado. Se pueden aprovecharlas representaciones grficas para revi-sar las ideas de crecimiento y decreci-miento, continuidad y discrecin, y lmi-te de una sucesin geomtrica.

La figura 18, de formato similar a laanterior, muestra la evolucin de lascaractersticas del tetraedro deSierpinski en sus primeras etapas. Conun anlisis parecido se deduce el creci-miento potencial del nmero de tetrae-dros que componen el objeto, y eldecrecimiento de su volumen, que coin-cide con la longitud de la arista del ele-mento, ambos normalizados a la unidaden el iniciador. El rea total de la estruc-tura permanece invariable en cualquier

102

Nmero Nmero Long. Octaedros Volumen eliminado Volumen eliminado Porcentaje Iteracin de elementos de aristas arista rea eliminados en la iteracin acumulado acumulado

0 1 6 a 0 0 0 0

1 4 24 a/2 1 1/2 50,00

2 16 96 a/4 4 75,00

3 64 384 a/8 16 87,50

4 256 1536 a/16 64 93,75

n 4n 6 4n a/2n 4n-1

volumen eliminado acumulado: :

a2 34

a2 34

224

3a

a2 34

248

3a12

12

342

+ =

a2 34

296

3a12

12

12

782 3

+ + =

a2 34

2192

3a12

12

12

12

15162 3 4

+ + + =

4 23

4

2

nn

a

4

23 2

13

nn

a-

V an n= -

+

23

14

12

32

fn nn

=

= -

12

1 12

1

2 12

100n

n-

Tabla 2. Tetaedro de Sierpinski

Tringulo, Belinda, copo, columnasTriseccinAlfombraAspas, punta de flecha

0 5 10 15 20 25 300,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,2

rea

nmero de iteraciones n

Figura 15. Evolucin del rea de las figuras

etapa, mientras que el volumen elimina-do crece rpidamente convergiendoasintticamente al 100 %.

Diferentes entornos parasu realizacin

La elaboracin de estas figuras fractalesde gran formato por los estudiantes deprimer curso de bachillerato tecnolgi-co, fue una de las actividades realizadasdurante la II Setmana de les Arts i lesCincies que se celebr en el IESLeonardo da Vinci de Alicante para con-memorar el 2000 como Ao Mundial delas Matemticas. El hecho fue recogido

103

Tringulo, copo, columnasTriseccinAspasAlfombraBelindaPunta de flecha

0 1 2 3 4 5 6 7 80

100

200

300

400

500

600

070

800

perm

etro

nmero de iteraciones n

Figura 16. Evolucin del permetro de las figuras

Tringulo, copo, columnasTriseccinAspasAlfombraBelindaPunta de flecha

0 5 10 15 20105

104

103

102

101

100

101

102

103

104

105

perm

etro

rea

nmero de iteraciones n

Figura 17. Representacin logartmica del permetroy el rea de las figuras

nmero de tetaedroslongitud arista, volumenreavolumen eliminado %

0 1 2 3 4 5 6 70,001

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

cara

cter

stic

as

Figura 18. Evolucin de las caractersticasdel tetraedro de Sierpinski

nmero de iteraciones n

en las pginas dedicadas a educacin en la prensa regio-nal, como aparece en la figura 19.

Los estudiantes universitarios tambin han desarrollado yestudiado estas figuras en uno de los talleres del curso deverano titulado La Geometra Fractal, que celebr laUniversidad de Alicante en su sede de Cocentaina en juliode 2000, como muestran las figuras 4 y 5.

Por otra parte, algunas de estas figuras construidas en elaula fueron expuestas en la Facultad de Ciencias de laUniversidad de Alicante durante la celebracin de las IVJornades dEducaci Matemtica, desarrolladas por laSocietat dEducaci Matemtica de la ComunitatValenciana Al-Khwarizmi, bajo el ttulo conjunto de Seisexposiciones de Centros de Secundaria (figura 20).

Resumen

Como muchas veces se ha referido (Peitgen, Moreno-Marn)el estudio de los fractales es una herramienta muy intere-

sante para el trabajo matemtico en laenseanza. En este artculo se muestranactividades muy variadas y fciles detrasladar a la clase de matemticas. Losdistintos grados de dificultad, niveles deabstraccin, y complejidad con que sepueden abordar estas tareas garantizansu versatilidad y sus posibilidades deaplicacin en los distintos niveles educa-tivos de la etapa secundaria.

La diversidad y las peculiaridades per-sonales de los estudiantes, sus gustos ycapacidades, se atienden en esta expe-riencia mediante actividades con dife-rentes grados posibles de implicacinen las mismas, obteniendo unos resulta-dos menos uniformes, pero ms efica-ces para cada uno de ellos.

Resulta especialmente interesante refor-zar el trabajo en geometra durante loscursos de ESO, con la construccin ydescripcin de estas figuras. La activi-dad manual, junto con lo novedoso deltema despierta el inters de los estu-diantes que, adems de reforzar susconocimientos geomtricos y matemti-cos, difcilmente olvidarn que estudia-ron fractales en secundaria.

Referencias bibliogrficasBARNSLEY, M.F. (1993): Fractals Everywhere,

Academic Press, Londres.

BOLT, B. (1998): Qu es la geometra?,Suma, n. 29, 5-16.

CORTS LPEZ, J.C. y J.A. ALEDO SNCHEZ(2000): Clculo geomtrico del lmite desucesiones trigonomtricas, Suma, n.34, 53-58.

FIGUEIRAS, L., M. MOLERO, A. SALVADOR,y N. ZUASTI (2000): Una propuestametodolgica para la enseanza de laGeometra a travs de los fractales,Suma, n. 35, 45-54.

MANDELBROT, B. (1977): La GeometraFractal de la Naturaleza, Tusquets.

MORENO-MARN, J. C. (2001): El Juego delCaos en la calculadora grfica:Construccin de fractales, Enseanza delas Ciencias (en prensa).

PEITGEN, H.O., H. JRGENS y D. SAUPE(1992): Fractals for the Classroom,Springer-Verlag, Nueva York.

SNCHEZ VZQUEZ, G. (1997): La ense-anza de la geometra en el momentoactual y en el futuro inmediato, Suma,n. 25, 17-22.

Juan Carlos MorenoIES Leonardo da Vinci

AlicanteDpto. Fsica Aplicada,

Fac. CienciasUniversidad de Alicante

Societat dEducaciMatemtica de la ComunitatValenciana Al-Khwarizmi

104

Figura 19. Hoja del diario Informacin de Alicante(12/04/2000)

Figura 20. Exposicin en la Facultad de Cienciasde la Universidad de Alicante

Los distintosgrados

de dificultad,niveles

de abstraccin,y complejidad

con que se puedenabordar

estas tareasgarantizan

su versatilidady sus posibilidades

de aplicacinen los distintos

niveles educativosde la etapasecundaria.