proyecto tfg copia matemáticas fractales

7/24/2019 Proyecto TFG Copia Matemticas fractales

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NOMBRE DEL PROYECTO 1

NOMBRE DEL PROYECTO 2

Autores: Alejandro MarcanoDr. Raul Jimenez


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Encabezado

Indice

1. Introduccion 3

2. Estimacion no parametrica de integrales de superficie 42.1. El Metodo de Costuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Propiedades Asintoticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3. Caso Bidimiensional del MdC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4. Efecto Frontera sobre la Costura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Comprobacion de propiedades del Metodo de Costuras 133.1. Estimacion de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2. Convergencia de E(Ln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3. Comportamiento del sesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4. Comportamiento asintotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Problemas Numericos 184.1. Figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2. Curva de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Tecnica de remuestreo 215.1. Experimentos con curva de Koch 6 y 7 . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2. Comportamiento del sesgo relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3. Comportamiento asintotico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6. Estimador Bayesiano 24

7. Conclusion 25

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Indice de figuras

1. Triangulacion de Delaunay y costuras para el cardiode. . . . . . . . 72. Convergencia para el segmento de recta. . . . . . . . . . . . . . . . 143. Convergencia para el disco.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154. QQ-plot: Segmento de recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5. QQ-plot: Disco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176. Logaritmo de las longitudes estimadas . . . . . . . . . . . . . . . . 207. Curva de Koch 6 y 7 con Remuestreo.. . . . . . . . . . . . . . . . . 218. QQ-plot: Koch 6, Iter 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229. QQ-plot: Koch 6, Iter 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310. QQ-plot: Koch 6, Iter 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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1. Introduccion

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2. Estimacion no parametrica de integrales desuperficie

En esta seccion presentaremos el metodo de costuras (MdC) en su versiongeneral cuyo enfoque es la estimacion no parametrica de integrales de superficie

sobre la frontera de un conjunto desconocido G [?]. Luego de este punto,representaremos e interpretaremos el MdC para el caso bidimensional, recordemosque nuestro objetivo es estimar la longitud de una costa mediante su representaciondigital. La mayora de los conceptos que presentaremos como generales y complejosen la version general del MdC tienen una interpretacion o definicion sencilla yequivalente, siempre que sea posible se hara dicha simplificacion. El otro punto atratar en esta seccion es la introduccion de una regla heurstica para el MdC paradescartar elementos problematicos para las costuras (concepto que presentaremosen esta seccion) que afectan de manera negativa la estimacion.

2.1. El Metodo de CosturasDenotemos por la medida de Lebesgue y por Q un rectangulo abierto y

acotado d-dimensional en Rn. En dicho rectangulo estara contenido el conjunto alcual se le quiere estimar la integral de superficie sobre la frontera. Supongamos queGes un subconjunto compacto deQ. AdemasG es tal que la clausura del interiorde G tenga -medida positiva, esto se puede interpretar como que G contengasuficiente contenido de manera tal que G no sea simplemente una coleccion depuntos aislados. Un concepto importante que siempre tendremos en cuenta en estetrabajo es:

Definicon 1. Lafrontera de G la denotaremos por y se define como ={xQ : >0, B(x) G= yB(x) GC =},

dondeB(x) es la bola cerrada de radio centrada enx yGC es el complemento

deG.

Es decir, son los elementos del rectangulo Q tal que todos sus entornoscontienen al menos a un elementos de Gy a uno de GC. La nocion de frontera sepuede extender considerando la medida de la siguiente manera:

Definicon 2. La-frontera de G se define como

={xQ : >0, (B(x) G)> 0 y

B(x) GC

>0}.

Es decir, que esta definicion es mas exigente que la anterior ya que ademasde requerir que los entornos de cada x contengan al menos un elemento de G yotro GC, es necesario que tanto la intersaccion del entorno de x con el conjunto encuestion y con su complemento tengan -medida mayor que cero.

Asumiremos que coincide con . Esta suposicion excluye los casos en queGtenga-medida nula ya que el conjunto B(x) GG tiene -medida positiva.Por lo tanto, si realizamos un muestreo aleatorio de puntos en Q lo suficientemente

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grande en Q, tendremos algunos puntos caeran en G, garantizando que se tenganpuntos tanto afuera como dentro de la frontera .

Finalmente, para la ultima suposicion que se realizara sobre se debenintroducir dos ideas mas.

Definicon 3. La medida de Hausdorff m-dimensional [?] se denota por

Hm

() y se define como Hm(S) = lm0

Hm (S),donde

Hm (S) = nf i=1

(diamUi)m :

i=1

UiS, diamUi<

,

dondeS X conXun espacio metrico, conm, R+ y diamUes el diametrodel conjunto U.

Realicemos un diseccion de esta definicion:Ses al conjunto al cual le queremoscalcular la m-medida de Hausdorff, los conjuntos Ui, i = 1, 2,.., no son mas

que un cubrimiento numerable de S con diametro menor que y el termino

i=1(diam Ui)m es la aproximacion de la medida. Por ejemplo, si d= 2 entonces

la serie anterior se puede interpretar como la suma del area de rectangulos Ri conlongitud de lado diamUi respectivamente. El lmite deHm (S) cuando 0 vaexistir ya que Hm (S) es monotonamente decreciente en, aunque este lmite puedeser infinito. Por lo tanto como 0, de los posible nfimosHm (S), estaremoscogiendo el supremo.

Note ademas que sid= 0 la medida de Hausdorff simplemente cuenta el numerode elementos en el conjuntoS, sid = 1 entonces la medida de Hausdorff representauna longitud, si d = 2 entonces la medida de Hausdorff representa un area y as

sucesivamente.La otra idea es la siguiente

Definicon 4. Un subconjunto S deRn esm-rectificable si existe un conjuntonumerable de funciones continuamente diferenciables{fi} confi: Rm Rn talesque

Hm

S\i=1

fi(Rm)

= 0.

Esto se puede interpretar como que podemos aproximar muy bien a S concon una coleccion numerable de variedades suaves. La definicon de rectificabilidad

tambien implica que los espacios tangentes aSestan definidos en casi todas partes.Asumiremos entonces que la frontera es un conjunto (d1)-rectificable y

que tiene medida de Hausdorff finita.

Antes de seguir con mas conceptos previos al MdC, recordemos que el objetivode dicho metodo es estimar integrales de superficies, cuya definicion formal es

d =

Hd1(d). (1)Como hemos dicho que es rectificable podemos aproximarnos a ella,

especficamente a su medida de Hausdorff, con un conjunto numerable de objetos

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geometricos suaves. Proseguimos ahora con la construcion de dicha aproximacionque sera estocastica. Consideremos el modelo de muestreo que consiste en nvariables aleatorias X1,...,Xn identicamente distribuidas sobre el rectangulo Qcon una distribucion uniforme. Ademas consideraremos n variables de Bernoulli1,...,n tales que

k =

1, si XkG,0, si Xk /G. (2)

Por lo tanto, aunque no conozcamos a G, podemos saber si un punto demuestreo Xk esta dentro o fuera del cuerpo G, es decir, podemos saber en cualladode la frontera se encuentra. Denotemos al conjunto de n puntos de muestreoporXn. Lo siguiente es considerar la triangulacion de Delaunay deXn que estaformada por los smplices que sastifacen la siguiente propiedad: que ningun puntodeXn este dentro de la esfera circumcrista de otro smplice del cual dicho puntono sea vertice. Cada smplices estara representado pord + 1 vertices, cada verticees un punto de

Xn.

Denotaremos porD(Xn) a la triangulacion de Delaunay para el conjunto depuntosXn. Dicha triangulacion es unica, casi siempre, paraXn provenientes deuna muestra i.i.d. con distribucion absolutamente continua [?], el cual es nuestrocaso. A partir de la triangulacion de Delaunay se construye el siguiente objeto:

Definicon 5. Lacostura de se define como

S(Xn, ):=

s D(Xn) : 1 d+1k=1

s(k)d

.

Donde s(k) la variable de Bernoulli definida en la ecuacion2para el smplices y su vertice k. La condicion garantiza que los smpleces de la costuraS tenganal menos un vertice en G y al menos un vertice fuera de G. La costura es laestructura fundamental de la que se construyen los objetos con los que se realizarala estimacion de la integral de superficie de la ecuaci on1.

Recordemos que un smplex de dimension d esta formado por d+ 1 facetas(o caras) que a su vez son smplices de dimension d 1. Por lo tanto, podemosrepresentar una faceta f por el conjunto de vertices que la conformanV(f) ={Xf(1),...,Xf(d)} De estas facetas extraemos dos grupos que son de interes, sirepresentamos porF(s) a las facetas del smplex s

Definicon 6. La costura interna de se define como

S (Xn, ):={f F(s) :s S(Xn, ) yV(f)G} .

Definicon 7. La costura externa de se define como

S+ (Xn, ):=

f F(s) :s S(Xn, ) yV(f)GC

.

La interpretacion es simple: la costura interna son las facetas de los smplicesdeS(Xn, ) que tienen todos sus vetices en G, es decir, dentro de G. Note queesto no implica que la faceta como tal este contenida en G, solo se refiere a sus

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vertices. De manera analoga, la costura externa son las facetas de los smplices deS(Xn, ) que tienen todos sus vetices en GC, es decir, fuera de G.

(a) Triangulacion de Delaunay (gris) ycostura (magenta).

(b) Costura interna (roja) y costuraexterna (azul).

Figura1: Triangulacion de Delaunay y costuras para el cardiode.

Observamos en la imagen1ala costura en magenta y en la imagen1bla costurainterna y la costura externa en rojo y en azul respectivamente. Vemos que estas dosultimas costuras son un ajuste a la frontera por lo tanto son una herramienta utilpara la estimacion de la integral de la ecuacion1. Dicha aproximacion da origen ados distintos estadsticos segun la costura utilizada:

In ():=

fS(Xn,)

Hd1(f) (3)

y

I+n ():=

fS+(Xn,)

Hd1(f) (4)

Entonces, podemos resumir al MdC el los siguientes pasos: dado un cuerpogeometrico G en un rectangulo abierto Q, se prosigue de la siguiente manera

1. Realizar un muestreo uniforme de npuntos sobre Q.

2. Construir la triangulacion de Delaunay de los npuntos.

3. Determinar el valor de i para cada punto xi.

4. Determinar la costura, la costura interna y la costura externa.

5. Calcular el estadstico In y el estadstico I+n.

Antes de utilizar estos estadstico como estimadores de la ecuacion 1, esnecesario estudiar sus propiedades asintoticas, es decir, si son consistentes, comose comporta el sesgo, como se comporta la varianza, si se cumple alguna forma deun TCL, entre otras. Estas importantes propiedades se presentan en la siguienteseccion.

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2.2. Propiedades Asintoticas

El estudio del comportamiento asintotico de un estadstico y de sus propiedadesasintoticas es un tema de estudio sumamente importante para el correcto usode un estadstico en aplicaciones a problemas con datos reales. Sin la validezde propiedades asintoticas, como la verificacion de alguna forma de TCL o con

un comportamiento asintotico no favorable por parte del sesgo, los estimadoresestadstico pueden llevar a conclusiones erroneas. Esta seccion estara enfocadoen la presentacion e interpretacion de los resultados asintoticos para In y de I

+n

obtenidos en [?] y proponer una version del TLC para dichos estimadores.Los resultados asintoticos presentados en [?] han sido probados para una

Poissonizacion deIn y deI+n, que denotaremos por,I y deI+. Para comprender

estos estimadores es necesario primero introducir la idea y el concepto de unproceso puntual de Poisson.

Ahora bien, en el teorema 2, en lugar de utilizar el estimador In () definidoen la ecuacion3, utiliza el estimadorIn () que tiene una diferencia importante:en lugar de considerar n puntos aleatorios

Xn con distribucion uniforme en Q, en

este caso se consideranPoisson() puntos generados por un proceso de Poissonhomogeneo de intensidad en Q. Dicho conjunto de puntos lo denotaremos porP. Explcitamente se tiene que:

I():=

fS(P,)

Hd1(f) (5)

Teorema 1. Sea la frontera de un conjunto compacto G Rd. Supongamos que es un conjunto (d 1)-rectificable, que tiene medida de Hausdorff finita y quecoincide con la-frontera deG. Entonces

lm

EI () = lmnE In () =d

d

y

lm

I () = lmn I

n () =d

d casi seguro,

con d una constante que depende de la dimension de G, pero no de sumorfologa. El mismo resultado es valido paraI+ eI+n.Teorema 2. Sea la frontera de un conjunto compacto G

Rd. Supongamos que

es un conjunto (d 1)-rectificable, que tiene medida de Hausdorff finita y quecoincide con la-frontera deG. Entonces

lm

d1

d VI () =Vd

d,

con Vd una constante que depende de la dimension de G, pero no de sumorfologa. El mismo resultado es valido paraI+ eI+n.

Hay varias observaciones que hacer sobre estos resultados. El teorema 1 nosproporciona dos estimadores consistentes para la integral de superficie de la

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ecuacion1 a partir de las expresiones de In y deI+n, de los cuales se puede definir

un tercer estimador. Estos estimadores consistentes vienen dados por:

Ln ():= 1

dIn () . (6)

L+n

():= 1

dI+n

() . (7)

Ln():= 1

2d

In () +I

+n ()

. (8)

Los denominaremos como el estimador de la costura interna, el estimador dela costura externa y el estimador de la semisuma, respectivamente. El estimadorde la semisuma suele tener ventajas sobre los dos primeros en la mayora de lasocasiones, como veremos en el siguiente captulo.

El teorema1 es valido para tanto paraI como para In, pero el teorema2 esvalido solo paraI. Sin embargo, como se sugiere en [?], se espera que al utilizarla poissonizacion

P se introduzca mayor varianza al metodo en comparacion a

utilizar aXn ya que, en el caso de la poissonizacionP, el numero de puntos esaleatorio. De esto se propone la siguiente conjetura

Conjetura 1. Tanto V [In ()] como V [I+n ()] sonO

n

d1

d

.

Es decir, se espera que, en el lmite, la varianza tenga el mismo comportamientoque en el caso poissonizado para ambos estimadores. Recordemos que el objetivode esta seccion es sugerir alguna forma del TLC para los estimadores propuestos. Apartir de la conjetura1se propone la siguiente convergencia para los estimadoresIn e I

+n:

Conjetura 2. Se tiene la siguiente convergencia en distribucion

nd1

2d

In () E

In ()

D N0, Vd

d

.

De igual forma paraI+n.

La idea es obtener una posible distribucion asintotica que relacione losestimadores con el valor de la integral a estimar. Consideremos lo siguiente

nd1

2d

In () E

In ()

=n

d1

2d

In () E

In ()

+d

d d

d

=nd1

2d

In () d

d

E

In () d

d

Sumando 1

Por el teorema 1 sabemos que el sumando 1 converge a cero. Este termino

representa el sesgo (y si lo dividimos por el valor de la integral representa al sesgorelativo). Para que la convergencia propuesta en la conjetura 2 sea valida comodistribucion asintotica al sustituir a E [In ()] por el valor real de la integral, esnecesario que la convergencia a cero del sesgo sea mas rapida que la convergenciade la varianza. Por lo tanto se propone la siguiente conjetura sobre la convergencia

del sesgo:

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Conjetura 3. El sesgo relativo n () := E[In()]d

d

dd

es o

n(d1

2d +)

para

algun >0.De igual forma paraI+n.

Es decir, tenemos normalidad asintotica para los estimadores siempre y cuandoel sesgo tenga una convergencia a cero mas rapida que la de la varianza. En funcionde las conjeturas anteriores, en caso de que se verificarsen, se puede extraer elsiguiente resultado:


nd1

2d

In () d

d

D N

0, Vd

d

.


A partir de aqu se pueden determinar intervalos de confianza para la estimacion

de la integral de superficie. Sin embargo, la varianza es desconocida y depende delvalor real de la integral que queremos estimar, es decir, depende de

d. Sisustitumos dicha integral por su valor estimado podemos considerar la siguienteaproximacion para los intervalos de confianza:

In t/2()

Vd

d. (9)

Valores que deben ser corregidos dividiendo por d y donde se ha sustitudo ala distribucion normal por la t-student para compensar el hecho de que la varianzaes desconocida.

Las conjeturas presentadas en esta seccion se comprobaran experimentalmenteen el siguiente captulo, sin embargo, no para el caso general, sino para el casobidimensional. En la siguiente seccion exploraremos con profundidad el casobidimensional.

2.3. Caso Bidimiensional del MdC

Nuestro enfoque se limitara a la estimacion de longitudes, especficamente depermetros de figuras como puede ser la longitud de una costa o el permetro de

una galaxia. Recordando la notacion de las secciones anteriores, consideraremosque la dimension es d = 2. Por lo tanto, muchos de los conceptos y resultadospresentados pueden interpretarse de una manera mas intuitiva.

Comencemos por la interpretacion de las hipotesis y de los objetos fundamendel MdC para el caso bidimensional. Por ejemplo, la regi on Q es un rectangulobidimensional de la forma (a1, b1)(a2, b2) R2 y el objeto G es un cuerpogeometrico bidimensional contenido en Q. La medida de HausdorffHd1 parad = 2 es equivalente a la longitud de una curva. Por lo tanto, la integral de laecuacion1no es mas que la longitud de la frontera de G denotada por .

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Por otro lado, el concepto de rectificabilidad parad1 = 1 simplemente implicaque la curva tiene longitud finita. Los smplices para este caso seran triangulos ylas facetas seran los lados de cada triangulo. Las costura estara formada entoncespor el conjunto de triangulos que tengan al menos un vertice fuera y un verticedentro de G.

Se sigue entonces que la costura interna estara conformada por los lados de los

triangulos de la costura que tengan ambos vertices dentro de G y, analogamente,la costura externa estara conformada por los lados de los triangulos de la costuraque tengan ambos vertices fuera de G.

Para clarificar la notacion, expresaremos los resultados asintoticos de la seccionanterior para el caso bidimensional en funcion del estimadorLn y considerando lasiguiente notacion L=

d, 2=yV2=V.La conjetura1sugiere que

lmn

n1

2V Ln () =V L1

2 ,

donde V es una constante. Intuitivamente esperamos que la varianza de laestimacion de L dependa del area de muestreo, es decir, del area del rectanguloQ. Esta dependencia debera ser creciente en el sentido que si consideramos uncuerpo G dentro de un rectangulo Q de mayor area, dado que la muestra estaramas dispersa, se espera mayor varianza en la estimacion. ComoL y no dependendel area de muestreo, proponemos que la constante V cargara con este efecto, esdecir:

Conjetura 5. La constanteV tiene la formaV =area(Q) 2 para una ciertaconstante que no depende de la morfologa deG.

Ahora bien, podemos reinterpretar las conjetura de la seccion anterior de lasiguiente manera. Si Zes una variable normal estandar:


n1

4

Ln () E

Ln ()

D Z12 area(Q)L.De igual forma paraL+n .

Conjetura 3. El sesgo relativo

n ():= E

[L

n ()] LLeso

n(

1

4+)

para algun >0.


Conjetura 4. Dada la convergencia de la conjetura 3, se tiene la siguienteconvergencia en distribucion

n1

4

Ln () L

D Z12 area(Q)L.De igual forma paraL

+

n .

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Por tanto, el siguiente objetivo sera la comprobacion experimental de lasconjetura presentadas en esta seccion, que queda reservado para el siguientecaptulo. Se discutira ahora el efecto frontera que experimenta la triangulaci onde Delaunay en un rectangulo en R2.

2.4. Efecto Frontera sobre la CosturaLa triangulacion de Delaunay

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3. Comprobacion de propiedades del Metodo deCosturas

En esta seccion comprobaremos los siguientes puntos de manera experiemental:

Estimar la constante para Ln

, L+n

yLn.

Verificar la convergencia ?? para Ln , L+n y Ln.

Verificar el comportamiento del sesgo ??.

Verificar el comportamiento asintotico de Ln sugerido en ??

3.1. Estimacion de

En [?] se ha estimado el valor de al realizando 1000 mediciones de lalongitud de una circunferencia con una muestra de n = 106 puntos distribudos

uniformemente en el rectangulo. Se ha realizado el mismo experimento, pero paranuestro caso hemos elegido como ob jeto a medir un segmento de recta de longitud 1por lo tanto la valor obtenido como longitud del segmento de recta es directamente.

L

nL+n

Ln

Media 1,1824 1,1824 1,1824

Des. Est. 0,0056 0,0055 0,0042

Tabla1: Estimacion de mediante L

n , L+n yLn.

En la tabla1se presentan la media y la desviacion estandar de las estimacionesde la longitud del segmento de recta obtenidas. Hay dos importante observacionesque hacer sobre estos resultados: por un lado nuestro difiere a partir de lacuarta cifra decimal con el presentado en [?], lo cual refuerza la estimacion dedicho paper. Por otro lado, la desviacion estandar de la semisuma es menor queAdemas se observa la independencia de de la morfologa de G y que es elmismo independientemente del estimador utilizado. Para los posteriores calculosrealizado en este trabajo se utilizara = 1, 1824.

3.2. Convergencia de E(Ln)

El experimento del segmento de recta se ha realizado para distintos tamanosde muestra n = 103, 104, 105, 106. Se observa la convergencia de E(Ln ), E(L

+n ) y

E(Ln) hacia la longitud real. Por otro lado, se observa que el sesgo de estimacionva tambien decreciendo segun mayor es la muestra. Ademas, la varianza de Ln esmenor que las de los otros dos estimadores.

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(a) Convergencia de E(Ln ). (b) Convergencia de E(L+n ).

(c) Convergencia de E(Ln).

Figura2: Convergencia para el segmento de recta.

Observamos que el sesgo es positivo en los tres casos. Esto puede deberse aque al estimar un segmento de recta mediante una costura, la costura para nuestro

caso d = 2 es simplemente una poligonal cercana a segmento de recta, pero lapoligonal usualmente tendra mayor longitud que el segmento. Tanto la internacomo la externa y por lo tanto tambien la media.

Imaginemos ahora el caso de estimar la longitud de una circunferencia. Laintuicion nos dice que la costura interna tendra una longitud menor que la longitudreal que a su vez sera menor que longitud de la costura externa. Por lo tantointumos que:

La costura interna tendra un sesgo negativo.

La costura externa tendra un sesgo positivo.

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La costura media tendra un sesgo cercano a cero.

Realizando un experimento analogo al del segmento de recta, pero para uncircunferencia de longitud 10 unidades, observamos que se cumple la intuicion. Deesto conclumos dos cosas: que el sesgo depende de la morfologa de G, pero quesin embargo decrece a mayor tamano de la muestra. Por lo tanto el problema que

el sesgo dependa de Gse soluciona simplemente tomando una mayor muestra.

(a) Convergencia de E(Ln ). (b) Convergencia de E(L+n ).

(c) Convergencia de E(Ln).

Figura 3: Convergencia para el disco.

3.3. Comportamiento del sesgo

El sesgo juega un papel importante en la estimacion. Aunque este decrece paramayor tamano de la muestra, es interesante determinar cual es el orden de este

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comportamiento para saber cual es el tamano de nnecesario para que el sesgo nosea relevante en la estimacion.

Por experimentacion el sesgo parece ser del siguiente orden de convergencia

ELn LL

=Olog2n3

n2 1

, (10)con = 0, 05. El la tabla2se observa que el cociente entre el sesgo relativo y

el orden estimado parece ser constante para intermedios de n, esto sugiere que larelacion10sea valida.

103 104 105 106

Segmento 0,037 0,028 0,029 0,011

Disco 0,119 0,091 0,090 0,070

Tabla 2: Cociente entre sesgo relativo y orden de convergencia estimado paradistintosn.

Sin embargo, la constante que aparece para los valores intermedios de n esdistintas para ambas figuras por lo que parece ser que dependera de la morfologade G. Por lo tanto, el orden de convergencia no parece depender de la morfologade G, pero la constante respectiva s.

3.4. Comportamiento asintotico

La normalidad asintotica del estimador sugerida se verifica como podemoscomprobar en los QQ-plots 4, 5 y sus p-valores (Shapiro-Wilk) respectivos paralas estimaciones del segmento de recta y del disco. Sin embargo, la constante propuesta parece depender de la morfologa de G.

Figura 4: QQ-plot: Segmento de recta.

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Figura 5: QQ-plot: Disco.

Este prueba se ha hecho tambien para otros cuerpos como el cardiode y elastroide, as como para la curva de Koch de 1 a 7. Para todos estos casos seha verificado la normalidad, sin embargo el valor de vara segun la figura

considerada.

p-valor

Segmento 0,3436 0.20

Disco 0,2005 0.36

Astroide 0,2292 0.08

Cardiode 0,2055 0.25

Koch 1 0,3597 0.19

Koch 2 0,3558 0.11Koch 3 0,4140 0.53

Koch 4 0,4511 0.51

Koch 5 0,6160 0.78

Koch 6 0,7112 0.11

Koch 7 0,6647 0.92

Tabla3: y p-valor de distribucion asintotica.

Por lo tanto, s se cumple la normalidad asintotica del estimador, aunque el dependera de la morfologa de G.

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4. Problemas Numericos

La idea de aproximar la longitud de costas implica ciertas dificultades, comose comentado anteriormente, por lo que hemos limitado el problema a medir lalongitud de la representacion virtual de una costa. Sin embargo, esta simplificaciondel problema no libera de todas las dificultades al momento de estimar la longitud.

Por la propia naturaleza de las costas, la representacion virtual de pueden presentarsecciones suaves, que presentan mayor facilidad al momento de estimar su longitud,pero tambien pueden presentar puntos en cuyo entorno la representacion virtualde la costa sea muy irregular. El otro problema fundamental e inevitable es lalimitacion de la resolucion: al tener que fijar una resolucion de la representacionvirtual, siempre habra informacion que deba ser descartada. Por lo tanto, los casosde estudios que se consideran consisten en curvas a las cuales se les puede calcularsu longitud de manera analitica.

Para presentar los resultados obtenidos con el metodo de costuras, se realizarauna comparativa entre dicho metodo y la funcion contourc de Matlab. Esta

funcion detecta las curvas de nivel de una superficie fijado un nivel z. Una vezcon los puntos que definen la curva de nivel se puede calcular la longitud dedicha curva directamente como la suma de la distancia entre puntos consecutivoso interpolando dichos puntos y luego calculando la longitud de la curva deinterpolacion. La interpolacion se puede aplicar a ambos metodos, es decir, enel metodo de costuras tambien podramos ajustar una curva sobre la costuraobtenida. Por simplicidad, consideraremos para ambos metodos la distanciaeucldea entre los puntos consecutivos como nuestra longitud de la costa.

Para el metodo contourc se tomara un mallado regular en el cual para cadanodo del mallado se indica si esta en el interior o en el exterior de la curva. Porlo tanto, dicho mallado regular se puede interpretar como una imagen binaria,simplemente interesa saber si un punto esta de un lado u otro de las costa. Parael metodo de costuras se tendra la misma informacion, pero para el mallado deDelauny.

Los casos de estudios que se consideran consisten en curvas a las cuales se lespuede calcular su longitud de manera analitica. Para el metodocontourcse tomaraun mallado regular en el cual para cada nodo del mallado se indica si esta en elinterior o en el exterior de la curva. Por lo tanto, dicho mallado regular se puedeinterpretar como una imagen binaria, simplemente interesa saber si un punto estade un lado u otro de las costa. Para el metodo de costuras se tendra la mismainformacion, pero para el mallado de Delauny.

4.1. Figuras

Se han aplicado ambos metodos a los siguientes cuerpos: segmento de recta,disco, astroide y cardiode. La longitud del segmento es de 1 unidad y la longitudpara las figuras es de 10 unidades. El metodo contourc a medido con completaexactitud la longitud del segmento, esto es debido a que el segmento estabaposicionados exactamente sobre el mallado regular. Por otro lado, el metodo decosturas ha tenido un error relativo del orden de 104. Si consideramos un segmentoque no este posicionado de la manera anterior, el metodocontourcpresenta un error

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del orden de 103.

Metodo Error Metodo Error

Figura Costuras Rel ( %) contourc Rel ( %)

Segmento 1,0001 0,01 1,0000 0,00

Disco 9,9978 0,02 10,5009 5,01

Astroide 9,9782 0,22 9,9834 0,17

Cardiode 9,8386 1,61 10,4562 4,56

Tabla4: Errores relativos para figuras.

Como se observa en la tabla 4, para el resto de los casos se han obtenidoresultados en donde el metodo de costuras esta a la par o es mejor que el metodocontourc, incluso para el caso del cardiode que es el peor caso para el metodo

de costuras. Tanto el astroide como el cardiode presentan puntos cuspide, sinembargo el punto cuspide del cardiode es el que mas dificultades ha presentadopara el metodo de costuras. En la siguiente seccion se presentara una extensionde dicho metodo para que, en parte, dar mayor precision cuando se mide en lapresencia de puntos cuspide.

4.2. Curva de Koch

La naturaleza fractal para las costas propuesta por Mandelbrot [?] implica quela longitud de estas dependeran de la resolucion elegida para realizar la medicion.Como ejemplo utilizaremos la conocida curva de Koch hasta una cierta iteracion.

En la grafica 6 se representa en el eje horizontal la iteracion en la curva deKoch a considerar y en el eje vertical se representa el logaritmo en base 4

3 de

la longitud obtenida. En el caso ideal, la grafica debera ser la recta identidad yaque recordemos que la longitud de la curva de Koch viene dada por l = (4

3)k donde

de k es la iteracion considerada.Se puede observar que el metodo de contourcse queda estancado para k = 4,

a partir de este punto dicho metodo no aprecia diferencia entre las sucesivasiteraciones. Por otro lado, el metodo de costuras llega a apreciar diferencias hastak= 5.

Aunque ambos metodos no tienen un buen rendimiento para iteraciones

posteriores ak = 5, la longitud estimada por el metodo de costuras sigue al menosaumentando lo que significa que podra recoger al menos un poco de informacionde las siguientes iteraciones cosa que el metodo contourcno hace.

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Figura 6: Logaritmo de las longitudes estimadas

Curva de Longitud Metodo Error Metodo Error

Koch Real Costuras Rel ( %) contourc Rel ( %)

Koch 0 1,0000 1,0001 0,01 0,9968 0,32

Koch 1 1,3333 1,3320 0,10 1,3725 2,94

Koch 2 1,7778 1,7721 0,32 1,8399 3,49

Koch 3 2,3704 2,3471 0,98 2,4172 1,97

Koch 4 3,1605 3,0707 2,84 2,9901 5,39Koch 5 4,2140 3,8540 8,54 3,3805 19,78

Koch 6 5,6187 4,3283 22,97 3,3939 39,60

Koch 7 7,4915 4,4528 40,56 3,3699 55,02

Tabla5: Errores relativos para curva de Koch.

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5. Tecnica de remuestreo

En la seccion anterior observamos que el metodo de costuras no recoge suficienteinformacion de la curva de Koch para k mayores que 5 para dar una estimacioncercana al valor real de la longitud. Una manera de mejorar la estimacion es realizarun remuestreo en un engordamiento de la costura, este engordamiento consiste en

dada una costuraS(Xn, ) incluir los triangulos adjacentes a la costura para luegoconstruir una nuevaS(Xn, ) y reestimar la longitud.

5.1. Experimentos con curva de Koch 6 y 7

Se han realizado tres iteraciones de remuestreo con una muestra de n = 106

y vemos que con una iteracion del remuestreo la estimacion mejora notablementetanto para la curva de Koch 6 como para la curva de Koch 7, incluso la segundamejora un poco mas, aunque ya para la tercera no parece mejorar.

(a) Koch 6. (b) Koch 7.

Figura 7: Curva de Koch 6 y 7 con Remuestreo.

Esto se puede interpretar como que el metodo de costura con remuestreoaprovecha practicamente toda la informacion y realiza un muy buena aproximacion

a la longitud real de la virtualizacion de la costa.

Iteriacion 0 1 2 3

Koch 6 22,97 3,12 1,44 1,35

Koch 7 40,56 9,36 4,14 3,65

Tabla6: Errores relativos para curva de Koch.

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5.2. Comportamiento del sesgo relativo

Recordemos que en el analisis del comportamiento del sesgo de la seccionanterior, el area de muestreo no se tomo en consideracion ya que al ser una unicaiteracion del metodo dicha area no variaba. Sin embargo ahora s se debe tomar encuenta. Tomaremos como base el comportamiento del sesgo dado por la relacion

10. Se ha realizado un analisis exploratorio para la curva de Koch 6 con tresiteraciones. Este analisis indica que en el orden de convergencia para el sesgorelativo hay un factor que depende de la raz cuadrada del area de muestreo,obteniendo la siguiente relacion

ELn LL

=

area(Qm) O

log2n3

n2

1, (11)

con = 0, 05 y area(Qm) es el area de muestreo para la iteriacion m. El latabla7se observa que el cociente entre el sesgo relativo y el orden estimado parece

ser constante para intermedios de n, esto sugiere que la relacion11sea valida.

Koch 6 103 104 105 106

Iter. 1 1,91 3,42 3,33 3,90

Iter. 2 2,29 4,04 4,20 4,11

Iter. 3 2,44 4,25 4,36 5,61

Tabla 7: Cociente entre sesgo relativo y orden de convergencia estimado paradistintosn.

5.3. Comportamiento asintotico

La normalidad asintotica del sugerida en la ecuacion??tambien se verifica parael estimador con la tecnica del remuestreo, pero actualizando el valor de area(Q)por el valor de al area de remuestreo para cada iteracion. En los QQ-plots8,9,10se representan las distintas iteraciones para la curva Koch 6 con una muestra den= 105.

Figura 8: QQ-plot: Koch 6, Iter 1.

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Sin embargo, se vuelve a verificar que el factor propuesto no es constante.

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6. Estimador Bayesiano

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7. Conclusion

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Referencias

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proyecto tfg copia matemáticas fractales

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