Junio/1994

a)

Enunciar las tres leyes de Kepler del movimiento planetario.b)

Si el período de revolución de Júpiter es de 12 años, aproximadamente, ¿cuántas veces máslejos que la Tierra se encuentra tal planeta del Sol.

c)

Un cometa se mueve en una órbita hiperbólica ¿Es válida para él la 3a ley de Kepler?Explicarlo .

a l

Las Eres leyes de lfepler son :

bl

Apli'cacioT7 de .¿~ 3G ~y de kepler:

cI

La interacción gravitatoria : Problemas propuestos en la PA Ude Asturias

1 á

Todos los planefas se mueven en órbitas eWotrcas con el S,{en un loco.

2-°.

La recta ?ue une un lvlane~a con el Sd barre áreas ~juaíesen hemloos ~Yuales

34.

Los cuadrados de los periodos de revoluctó"n son proporuánales a los cubos de las dístanclcts mec&izs al S¿.

2 zT, __ TT3 3RJ RT

TT

3 rr z

~a2 añosR -r ^

TTZ

^

Baño5,24

Júpiier está situado 5,24 veces más lejos del Sol que la Terra

lVewlon jenerali; o la /á ,ley de lleloler: cual~¿uer cuerna delSistema Solar se ,mueve según una cómica, y ~a 3 -5 ley: dcuadrado del per¿odo de revolucro?7 es Proporezómal al cubadel semiye mayor de la canica . lo 7ue ocurre es re La.hfPerbda es una orbita aóierfay no

eríocllca

lenienc(oun ~ertodo .r17/a'ni*~o y una di's ~arrcio mediQ al so-1 larn¿1réninün ifa .

Septiembre/1994

Un astronauta lleva un péndulo matemático y un reloj de pulsera de cuarzo . Se acerca a un planeta,del cual determina su radio desde el espacio y luego se posa en su superficie .a)

¿Cómo puede determinar la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta?b)

¿Cómo puede determinar la masa del planeta una vez en su superficie?c)

Aplicación numérica : longitud del péndulo = 40 cm; radio del planeta = 3.800 km; período delpéndulo en la superficie del planeta = 2,0 s .

M

La interacción gravitatoria: Problemaspropuestos en la PAUde Asturias

a) Para un ?éndulo malemálrco de lanyt'.~ud

docía, elloei-ióclodepende de la aceleract'ó7n de lajraveclacl, puesto que el ~oéndulo(si la amplitud es pejueña) poseerá un movim~e

lnfo osciValorcóarmón.t'co scm?le de Periodo :

T^ 2 rr

,61

eonoc.ido el radt'o R del planeta trnedt'clo desde d espació)la aceleración de la gravedad con el ibénduloy el reló~~

arCccactón de .la ,Le~ (/che Graut~auon GIrrtversa¿ conduce a:

rn 9F= P

GM

Fr. G Mm

~^ Rx

Rz

c)

- 4rr' . 1 = 4rT 2 (0,4m) ^ 395 rnls z1" 2(2,0s)2

9 R 2 - (3,95m/s2-)(3,8 .406m)2G

(6,61 - 10-" Nm 2IKj2 )

M^WG

8155 .A023 K

Junio/1995

a)

Obtener la velocidad de escape de un cuerpo en un campo gravitatorio .b)

Nuestro Sol, que está en la periferia de nuestra Galaxia, la cual tiene una masa de 100.000millones de veces la del Sol, tarda 230 millones de años en dar una vuelta al centro de lamisma . Determinar aproximadamente la distancia del Sol al centro de la Galaxia en años-luz .

c)

Determinar la velocidad de escape de nuestra Galaxia desde la posición del Sol .

al

Lo velocidad de escape de ur1 campogravc.~a~orto corresponde a unaen ery¡a íofai nula :

e)

La interacción gravitatoria : Problemaspropuestos en la PA Ude Asturias

y `

2 rrrT

~5 u?anienelo , que el ,S¿ posee una orvila cr'rcular a,~rededor del cen~rode .!a Ga.~ax.~a

fue ésta l-iene su masa concenr'rada hacía su cenEro(,lo qu e es c.eer¿ alvroxtmadcrmeri~e ), planeando (a záJy de A1éwto»

eomo F es ¡a. fuerza gravifaCoriá se ~t'ene :

GMm _mVYr~ r

mv z - G Mm = o

ve ,

2GMz

r

r

~Líe es, preci'samenle, ,laTeniendo en cuenío re un año -Zuz en un año

1 ae = v-é = (3 - 10 8 mls)1 t4 año) (365 d/año) (86409sWá) = 9,46- 40 15 mT = (230-40`0105 )(365 d~os/año)(86400s/d6 ) _ 7,25-10455

de kewler.

z es la ob s ían c¿Q recorrida Por -/a.

M =

4o"Ms _(40")(2 .4 0°K9) = 2.404 1 K9r

3 GMT2 w 3 (6,6}d0-u (Vm2/KZ

.g )~2d04 ~Ke~)fi,25d0' 5 s) z4rrL

4 rrL

-- 2,63 - 40 201

27580 arnon-6z

ve ,

2GM

2(6,91.10 -"'íVm 2/1

Septiembre/1995

La interacción gravitatoria: Problemaspropuestos en la PAUde Asturias

a)

¿Son la misma magnitud el peso y la masa? Explicarlo ¿Qué relación existe entre ambas?b)

Comente la siguiente frase : "conociendo el potencial de un campo gravitatorio en un punto sepuede conocer sin más datos la intensidad del campo ".

a) El peso j ¡a masa son drlerenles majniludes 15sfcas. La masa esuna propiedad ¿nIrírnseca de la maleríai (con carcícler escalar/, rménirasque el peso es una

/aerza (con carácter veciorial), en concreto, -&

1luerzairavilaloriÁ que e-1erce un cuerpo como un planeta sobre oirocuerpo situado en su

1superlr'cie (Por ~emtaloJ.

La masa y el Peso sorr f'roporc.rónales a través de la intensidad de,¿campo

dravilalorio de l .lu ar.

1) la

rase citada es falsa .la íniensidad del campo jravilalorie luna majnilud veclortQll1 comopara lodo campo conservaíivo, se puede delerirunar a parl*r de unj,radienle de potenctál tuna mynilud escalar l, o sea, a parlír dediferenct'as de Mencial entre ?untos (Próximos), y nunca, a.parlr'r del poEencrQl de un solo ~Unio . (.fecordernos adernós queel potencial está delermti7ado en cada ~unfo de un carrrwo ex

TcePto

por una consianle adih.va arórirariá).

Junio/1996

La interacción gravitatoria: Problemas propuestos en la PA Ude Asturias

a)

¿Cómo se puede definir la intensidad de un campo gravitatorio?b)

¿Y el potencial gravitatorio de dicho campo?c)

Determina mediante la aplicación de estas definiciones, a partir de la ley de Newton de lagravitación universal, la intensidad y el potencial gravitatorios generados por dos cuerpospuntuales A y B de masa 1000 kg situados en dos vértices de un cuadrado de lado 20 km enuno de los otros vértices C.

Dato : Constante de la gravitación universal, G = 6,67 - 10 -11 N m2/kg2 .

a) ob/elívo principal de evaluact*Órr: canoctmienío del conceftlo ele t'rifensidadde un campo vec¡ort'al .Se delíne, la .c'rtEenst'duci de un cumpo gravir'Az~orco en un puni

la ley de la Grcwrfau'án llnt*versa~ es~a6iece que /-a ~uerzarcwi fa ~o rt'a !~ u e es de a ira cci'ón )

e;eru'" por1'una ~oar fríc~.~_

de masa M sobre otra de grasa ?n viene dada por

donde r es el vecr

Septiembre/1996

La interacción gravitatoria : Problemas propuestos en la PAU de Asturias

Se sitúa un satélite fotográfico en órbita polar (cuyo plano pasa por la línea que une los polos de laTierra) el cual debe "barrer" toda la superficie terrestre en un día mediante 8 revolucionesexactamente .a)

¿Qué longitud tiene el semieje mayor de la órbita?Interesa que la altura sobre el Polo Norte sea sólo de 1000km en el punto más bajo de la órbita(perigeo) y que tenga el punto más alejado sobre el Polo Sur (apogeo)

b)

Determinar el cociente de las velocidades del satélite en el perigeo y en el apogeo .c)

A partir del principio de conservación de la energía aplicado entre el perigeo y el apogeo,determinar la velocidad en el apogeo .

Datos: G = 6,67 - 10-11 N m2/kg2; RT = 6370 km; MT = 5,97 - 1024 kg.

a) la

tercera le j de Kepler establece que :

T 2= 4rT 2 a3 j

olo-rnde Tesel periodo orbt~faí, a el, semieje ma~or de te órb-i+á, G la c"sfanbede ~ra,ui~-ación universcd j M la rrt"a del cuerpo cenbra.¿ (aquí, La T-err4)

T~ 24h .. 3h ., 40 .80058

a, 4_qMT z

3,(6,67 .40-"Ñm'IK~xl(6,9~ . ,lOz4kg)(,108UUs)24rrz

=

4 rr z

� 1 056- 10 m

a = 40560 km

FI rnomen~o anj¿ar del, SaléUie en órbi La semanEiene carislanle debido a jue las tuerzas

Jrav.ifa~origs son centrales, es decir, es un.

vector constante :

L =mvn r

donde -rn es la masa del sa~éli~e, v es el vectorvelocidad del sa~éLi~e

r el vecEor de pos.tcióln desde el centro c)eta Tierra . En los punEos mas Próxima

mán alado- de la órW~o.el vector velocidad es perpenelícular aL vec~or de posición desde e£centro cle la Tierra y por }uni:o se tiene :

I L I

= 'rn Vp rp

_ 7n VA faEn la Hura : rp ~ OP, rA = OA ,

0. _ CP = CA .

Para aplican el prin-cipio de conservación ciado se debe de~ermínar prevíamenie rp Y Á :

rp = RT +h

6370 Km + AOoo Km = 1370 Km

2a = rp t rA

FA = 2a - rp = 2 (A0560 Km)-(7370 km) = A3740krn

Vp - rA � 43110 kmVA ~ rp

-43}0 Km

Fs~e aparcado puede resaiverse ~am~r'én ap.bcanrlo .¿(a ley che lasáreas, e?utvalenle al ~rr'ncip.iv de conservación de! momento .Gí?eaZ,~~en.r'enclo en cuenta que d área .óarri'cla en 1r untdací ole 4MP. Por

salé~'le es aproxtmaclamenie .lqua~ a Vp P en el perlgeo .y a.v rA en el aPUeo.

c)

Puesto que el campo jraui~a.torio es canservaWvo, aplicantío e.(.,

Principio cle conservación de ¡a ene~3í4 entre e¡ apojeo ~ e~.,Perneo, se Nene :

GMm +

rit"AzA

vz

vz _ 2&MP

A

~L ..-(P

rA )

GMm A+ 2 m vPrP

VP = &t8' VAvPz

3, 5 VÁ

VA

2GM 1 ±)2 5 ( rP

rA

V

2f6,6~ "10~"~fm 2lKgz~(5,9~-a0z`'Kg Í

~

~

4A

VA ^

448z m is

,

ti ,

Km ls

vP

4,81 VA(4,81)(4482mIs)

$382 LuIs

8,4 Kmls

Velocidal -

Perigeo :

v c 4, 5 kmls

Apogeo : V 8,~1 km)s

Septiembre/1997

La interacción gravitatoria : Problemas propuestos en la PA Ude Asturias

a)

Si el radio solar es de 696000 km y la aceleración de la gravedad en su superficie es 27,9 vecesla terrestre, determinar la masa del Sol en función de la terrestre .

b)

Nuestro Sol rota con un período de 25 días y 9 horas . Determinar el radio de la órbita circularque debería tener un planeta para que estuviera siempre en la vertical de un determinado puntodel ecuador solar.

c)

Determinar el módulo del momento angular de tal planeta en su revolución .NOTA. Resolver el problema sólo con los datos suministrado .Datos: 9T = 9,81 M/S2 ; RT = 6370 km

al

Para un cuerpo de st'meEriá es

'ca - como son el Sol

la Terra,lér.,

yde manera a?roxi'macla - e,¿ módu~o cle 14 aceleraci*0~n de Á2_jraveclad (o üzienst'clacl deí campo 7rarvt

.~aiorcol em ..¿a-

super1fcie viene darlo ~or:Gp

Vendo G la corls>!ari~e de ¡a gruvi~auón univerra~~ M .P,~mafia cle~ uterlou UeieneraU.r campo Jruvi~a.Éorto

19racuo . ~Gfitccindo lu,L expresion at soi C5)lTi je tiene :

GMrr 2Rr

GMs3

Fr

GMsrnr 2

MV z

->

Ms

^

9s .Rs z

Mr 9r R.2

M$ , 2

q (646000 Km 1 z_ 333 0

.6Mr ^

(63 lo KM)2

_

lri

Sobre un cuerpo de masa m el Sol eferce una /U erza jrav.,'faInriálen mócluloJ a una clisiunci'a r riada por;

F

G MS mr z

De auterdo con la Zá~~ de 1Vé"wtlon esa

uerza será .l' ua~ a--la masa dd caer o ~or la aceleraci'o~,n cen

pri eEa

de valor:z

ac ^ Vr

GMs m

myzrrz

v_ 2rrrT

GMs _ 4rrzr2r2

_Tar

r=3 GMiV

1

4 rr Z

Teniendo en cuenta ques

_

RM sJ s3% G 9 s R,s 2 T z

4 rr z G

T = (25dtm), 864005

(9h) x 36005 _ 2192400 54 día

! h

RS :: 696000 I

In%eracct'án Graví'ía~Orcá.PAU/Tuniolí99elBloque

un astronauta de '00 K9 de masa (,i~rrcluyei7do el Eraie) esEá en la suPerlt-cie de un asterot'de de /orma lbráclr'camer~~e es/éixéa, con 2, 4 Km de cbGme-tro ~y densidad ynecúá 2,29 cm -3. Deíermi~rar con ?ué velocidad debeimpulsarse el aslronaula fiara abandonar el osleror'cle . ciCo-no se denomina

urosamenfe W velocidad .? £l astronauta carga ahora con unce mochrla,e masa 40 191- ¿le será más fácil sohr clel planeta? ¿Por

que'?

El principió de carservación de la enerq,ia, mecán.t'ca establece

ue enEre

dos esfados ,la energtú iola.~ se conserva/ siernlvre que no há~Q,

uerzaf nocanservahvas Crozamiénlol :

EPt `t Fc 1

"EP2 t Ec2

puesto que no se proporcionan datos sobre la rolactórt clec asteroide sesupondrá gue no rola . Por fano el os lro?7a.ula no posee velocidad por esehecho

enl[Drices ~a ene

Ucacinética será:

FCI = Z ritVz

donde v es la velocidad ?ue se ha de tmpnmír al astronauta para jue sealele del asteroide . La eneycá po[encia l .rntceal' es:

Epl= , GMMR

El estado .ii2a~ es un punto a1PJ,'ado del asleroide hosla el inIMilo a dondellega con velocidad nula, siendo además tamói'en la eaeyta lboter7c.la.C~nUa, ,ya que está Tic/inilamen/e a~elcido clec asteroide .

Aor .unto, .reten dra :;

G Mm + .~ mV 2 = 0R 2

Por otro ~ado, ,& mana clel cis~ero.íde se oblrenemen J/ densidad

M _- P V

rrR'~ = 4 17 (11 2-/om ) 3 (21 2./0 3l«9lm si3

2!6,6l . lo -"Nrn 2/,~9 ZJU,6 . 10 1311(9 J

m/sr1, 2 .,/o 3 rrt i

2GMR

a parh'r de tu ",¿V-

Esta velocidad se cieno-mina comúnmente "velocidad de escape"

úon m =/40 11

en vez de m =,lao K9 es mas d.4~túl sa.~*r pues la d,41Y.CU41.-

lad no Ja. impone la veloudad ameno La ener cá nece4arr'a que es

mvz

ue de ancle ale la matea das~`ronc~uta ..2 77

Jnlera cc tanUgrau2laiorio..

PAUISEPTIEMBREI1998/8loyue Y

El ploneEa Mercurio lténe una masa de 3,3-1o 23 (11 se mueve alrededordel sol en una óríi~a casi circular de radió v;8-,lor0Áu . ca) áelermtharL~a ener cá mecoinrta de lyercurtó en su movimiento cle ~raslactórr al'reoleo%rdef So

fb) 'Cuánta ener tú ac~t~ónu-~ habrá ue sumti2is~ra~ a

ercurw

ara

d~de ,ru orisr~a has a 15- ,!o ""¿U ? ~%aumerrfzvZ ~ ra

r

~

,

.

DATOS : G-6,67-JO-"Nm211921 MSoL =2 0~o 3~lc% .(a 1la erre2.ia mecánica de tlercurró en su rnovriníen~o de CraslacíÓ71 vj'enedada por la suma ole Zas energcás cinética ~ polenc.rá~ :

E - Ep t Ec .

Por otro lucio La eneyta cine~~ca será : Ec = imvz

donde v es el módulo de la velocidad de Mercurró, que en una órtrt~a úr-cular con movirnienlo "un//orine "es constante.La ener9.cá Potetictal de Mercurio es: EP ,~

GMmr

¡Se debe de~errntirar v a partir de los claros que se proporcionan . Para ello

se ha de ulrltzor la 2á ley de lllewlvn:

F=Tma

El módulo de la /uerza de alracc an gra,V.l alort4 entre umhor cuerpos esF- G Nlmz

/La única componente de la Qceletr-actórl es ¡a cenfrtpe~a, pe en una crlrr'c,

Orcular es :

a _ vzr

.

mv 2

GMtn

E

_ GMm f L mv Z ^ , r, MM ~, GMm _

GHMr

r 2

/' 2r 2rSush'FuYendo :- (6,61 . d0 -

Inleraccian iravilalortaPAUíSEPTIEMBRE/1999/BLOQUE 6

%!n nectfrón Tiene una masa de 1,6 5 10"2f k.9 y puede consrcierarre una.esfera de radió aproximado de 1, 2 Im. Una esfreúa de neuEronestiene la misma densidad ale masa gue el »ecCCror1 .

Pevta una cvEreZía odeneuírorres con masa cíoble ríe ,l°a dJ So-¿, 4,0 ;10 3° l

ASTURIAS / JUNI099. LOGSE / FÍSICA / CAMPOGRAVITATORIO/PRA

Dibújense las líneas de campo gravitatorio producido por dos masas puntuales igualesseparadas una cierta distancia. ¿Existe algún punto donde la intensidad de campogravitatorio sea nula? En caso afirmativo indíquese dónde. ¿Existe algún punto donde elpotencial gravitatorio sea nulo? En caso afirmativo indíquese dónde.

El diagrama del campo gravitatorio es el de lafigura. Se puede apreciar que el campo tiene unazona donde es menor. De hecho será nulo en elpunto intennedio de las dos masas y en puntosinfinitamente alejados de las masas. Para elpotencial no existen puntos, aparte del infinito enlos que el potencial, con su definición usual, seanulo .

ASTURIAS / SEPTIEMBRE99 . LOGSE / FÍSICA / CAMPO GRAVITATORIO/PR.1

La distancia Tierra - Luna es 384 000 km y la relación de masas entre ambas es 0,0123.a) Determínese a qué distancia del centro de la Tierra la fuerza gravitatoria que ejercela Luna sobre un cuerpo con masa compensa a la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierrasobre el mismo cuerpo . b) Hállese la distancia mínima al centro de la Tierra para que seigualen el potencial gravitatorio terrestre y el lunar. c) Expónganse los argumentos quese esgrimieron históricamente en contra del modelo heliocéntrico .

a) En el punto en el que la fuerza que ejercen la Tierra y la Luna es la misma se cumple :-Gm.MT--G m

. MLdT

2

d L2

d

-d,r

d

3,84- 10 8mDespejando :

T

r =

L ~ d T =

T L

-

=3,45 - 10' mdT

MT

FM-,L l+0,0123MT

b) Si se mira el potencial gravitatorio se tiene : - G MT =-G

LdT d L

dTL -dT _ ML~d

-

dTL

= 3,84-l0m=379 10

m8d,r

M1',

T

1+ML

1+0,0123

,MT

c) El modelo heliocéntrico no se consideró ya que se suponía que el Sol, al igual que la Luna y lasestrellas, giraban entorno a la Tierra . Los argumentos, en muchos casos, eran más filosóficos quecientíficos, si bien desde una cierta perspectiva es muy similar el efecto de que todo gire alrededordel Sol o de la Tierra .

" modelo heltócénlrfco de co?érnlco:

' /~ iSol esla` lnmávli en el centro del Universo.~os ibloneias, dunlo a ias es,leras que los lrans~orían2 Jtran alrededoo-del &¿ según el sitúenle orden. íYercurí'o~ (Venus, T'erra, iYar1e, JuPl-ler

c/

,¿a ~ierrGZ Es~cédor de su ~ro~io ~e¡é~ 0Iro de IraSlaci~r7 en .torr7o al /SWY un Tercero~or el que e/~~ ~erres~re se cles~lazc/ con~ran lnhlud, c% 25Y70años de Perzado, descrlál'endo ba sU/~Cr//cle ,CGfer

de í1nlo Luna~ri-a ctrecleclorde la -Tierra .la es/era de las estrellas eshá i~movl^l

y

íada. ~reS 7no t/l77?l*ení07.' Llr70 de ro lau" a1rerle-

m7 aly.cono .

A é obra de Copérnr'co se le pusréron, entre otras, ías s,r

La Terra~c ira cidrecledor de su ele, ~'un C>ble~o gue se unce ver-J7L"ente, no _quedara rezagado .q caera desplazaclo del puntadelanzamiento?

¿Q Terra se mueve, ¿no perderid su alrno~jero y se desM~e9rana.?" ,?4 medída que .GCt tierra, se mueca. a~redejor clel S~, ¿no avarecerlan_/aj erlre`la

1.r cle,r~lazado.r cle iu luyarp

cuén~e.r oJéuanes:

írJyo cle eofrérnúo

ue ~u

'cago cle /arma ~cr~/uma, en l54 3, en J_¿¿-s~a defcr1pocró" Clel ~nrverfo

es con~rar¿Q eu ~enlsarnlénL¡ de í4 ~boca,, bar 4

ue

ue co7nbaAda mrlcoor ~u I le.r~á luterana como

oz la I lesrá ~ato.Gtccc,

¿le inclu o" el crtnCLO,c'6ro en e¡ índice de jióros 2~rohró-rc%~ .

Mro "Ze revo.lu~r'orl~'óus or¿7zcvm coeleshúm .

In~eracció-n Grav"IOIoriaPCllll.TUNlO/2000/8ZOQIIE 1Desde el suelo se dt'spara verl7kalmenfe un wryecñ¿cv-n e,vrta veloudarlinrct'at ele 5,0 Kmls . (a1 Represéntesej~ráyj'camenle en unctán de 14 oU~_,rancia at! centro de la Tt'erra las ener cas unelrcee ~ ~Pofenc¿ál grav.1'rzrcorlááe~ pro.yec~r'~ se' izo hale ~érc%das de energcá f%r rozcrmien~t, parca r mayor

yue e¡ raebo .lerresíre . Escálese el ele de/ener9,ías en I~IT~ e! cle c~cófamu

J~

i'en km . (6) isid rozamient eíd aire consume el 22'1 de la "erU.cc-. ..Ui7élr'c& sniuirí ccd ~ra.yectr~ruéa.(~ura máXíMa abanzarn ??

CLl

Ec¿

2 mvz -

(20 Kj ) (5000m/s ) z - 2 50000000

250 M J

Kg )G Mm

(6,6

(5,91 IJ0

Kg ) (20

=_11 25 .9p9JP¿ RT

6,31 .10 6m=-9250MT

lillura máxima --~> Ec = 0

=> EA

(250 MT)t(--1250 M J) _ -1000 M7

G MwRT+h

R T .+i7 � w G M m

(6,s V-40 "11 Nmz/K9 2)(5,91 . l0 24 1

Epf

Ern i - wR

G MmElf

_RT+h'

R +h~ . -GMm - -(6,6

0- i a Nm z ~~~9 2 )(59~ a02 " K9)(2DKg) _ 1548796,T

-E p(-9055X0 6 J

75 ,5 K

h' - ('1549 Kw ) - (6310 K,w ) =

3 4 l 1 )

Irtfera cc.t" 9rav.tla lortá.PAUISEPTIEMBRE'/2000/BLOQUE 1(a) Dedúzcase) a parle de consideraciones clr'nam.cr-as, ú 3 4 ,1'ey ate llepie~c-

(ara uncc ór6j'Ia circular.(b) F'obos es un saléb*le de Marle que posee un perióclo de 7ñoras, ,39 mínuc%

a4 s~gunch ~ una órh'ha cle 1378 km cle rací¿ó . ,De~errnrne.r e l ,cuaoe,1e I,arle a ~arlrr de es1-m claAu.

(c) Oazór7ese qué consecuenucv3 J ,ene (a ley cle.

área4 o ,2-' ley c% kePler

sobre .1a ., VVCIou'duc6 de un cuero celes~e en órbl.la

pI-t~a alrededor d&_¿

M.

M

T~ (1 hl x (3600 S) +(Ah )

Fuerzas centrales conservativas

Movimiento circularMovimiento circular

"uniforme"v 2r

GMmr

F = ?na o = myzr

G M

(2rrr ) z

_T2 :

rr 2r z

r T

¡-3

G M

PIanJas )

Tercera ley de Kepler : los cuadrados de Pm períodos del rnovimiento dePos planetas Jrededor ctel Sexi (o de los sa~é~ *tes

alrededor de Im ~(ane~as ) s" proporci"ude a_ .

¡vi cu6os de sus cl .is~anccm mecUaj J Sori (o a ~o7

(39 m in)

x

(60 s }()min) +

M _

4rrIr 3 =

~rr 2 (9378 . x.0 3 m)3

^

b,~t 3

1023 KqG~ Z (6,6i-J0-~'Nrn 2/Ki Z )(27554s1 2

Sejunda lej de Kepler o ¡el cle fas áreas :

-_ F, >

G Mm = my 2r2 r

tr= 2rrr

T

c~4 s }

27 55~ s

Durar4e el rnovirnien}o de los planetas el radio veclor, que va des-de e( po~ a %a ponicón d d ~lanei-a, Marre áreas iiuales en_%-iempos iqua.les

AFELIO . PERIHELIO

Cls~ Se exp~.tcct el

¿le

movimiento de ~os P1a77elas 770 sea uní1orme~csío,s' Van rr7a5 rcipl *doo en la parle de l cr~¡1a- gue esl'o más ÁroXlma,al ~¿que en .~. ,~ar.te más ai7~da cael mismo'

7

l.

CL ,l ~osi'ctón de un ~lane~a en su ór6z u mis próxjinct aC iSUi se /edenomina peribebó ,

a ~o más oleaáctcc alebo , ,En ~ caso cle .~c._Tiierra, ~ e~slanaa en el perc1re, co es ele 14 7 millones rJe km y en eZYch*o de /52 millones de km .

~uunclo

. ór.4iía es alrededor de za. ~ierrc

PAU-2001

Tema: ~

r " .a orerrJUN - B1

cn~a .

1.La masa de un planeta se puede calcular si, mediante observaciones astronómicas, se conoce elradio de la órbita y el período de rotación de alguno de sus satélites. Razonar físicamenteporqué (suponer órbitas circulares y utilizar las leyes de la mecánica)

2.Determinar la variación de la energía potencial de la Luna, correspondiente a su interaccióngravitatoria con el Sol y la Tierra, entre las posiciones de eclipse de Sol (figura 1) y eclipse deLuna (figura 2) . NOTA: Supónganse circulares tanto la órbita de la Tierra alrededor del Solcomo la de la Luna alrededor de la Tierra.DATOS: Radio de la órbita Luna-Tierra: 3,8-10gm; Radio de la órbita Tierra-Sol: 1,5-10 11m; Mde la Luna: 7,35-1022 kg; Masa del Sol: 1,99-1030 kg; G = 6,6710-11 Nm2/kg2 .

z Ep

Figura 1

Figura 2

popa que un ,50í Z¡e liie alredealor de ¿in 1ot'aneía la

uerza ale afracciórt,oravt>

l .-Una de las leyes de Kepler del movimiento planetario pude enunciarse de la siguiente manera:

"La recta que une cualquier planeta al Sol, barre áreas iguales en tiempos iguales" . Justificar esta

ley a partir de las leyes de la Mecánica.2.-Una de las lunas de Júpiter describe una órbita prácticamente circular con un radio de 4,22- 10 g m

y un período de 1,53105 s . Deducir a partir de las leyes de la Mecánica, los valores de:a) el radio de la órbita de otra de las lunas de Júpiter cuyo período es de 1,44-106 s.b) la masa de Júpiter.DATO: G = 6,67 - 10-11 Nm/kg2 .

PERIHELID

" Esla ley se conoce como "ley de las áreas ~~conduce a fue la veloc,rclacl ¿el planea e.r mayoren el ~erihelio que en el

ale-11b .

' ES» una cornsecuencicr de la eonservac~~-rr delmomenL c:n_qu.~att ~ea¿za una ~an~rúc~tC_some~cna a~

/una ~u/erza ^en7¡W ,

M~ dLL = rA F = o por ser -7j F de la misma,d t

-%dirección => L _ cons~anle

eo-mo L ha de ser c"s~anie en móduio~ cUrección

sen~'doycomo

L = r A mv

no puede camWar su cUreccion, ni la del plano del rnovi-mienio :

JA_

(iAdr I

_dAIr Ad~ I _ dlrAv12

d t

Z

JE

2

.: ti crea 6arricla por elen barrerla

2) Fc _9 > GM,zm

r

rea rz

3

l.. z -

T2.7'

_JA _ á I rn mv _ cons~an~e~t 2m

2m

radio vec%or es Proporciond al fi'empo empleado

GMJ

4rrzrz

r T z

(ti, z2~ 40 8 m1

j f 1,44~~10`s 1 1

= 11 88- ~o9mca,s3~aos)~

M J =4n 2 r 3 _

4rrz ( 4,22 . 4O 8 m ) 3= j 85

10 21

GTz

(6 1 6

4D-" Nm2/K52)(1,55-10Ss )z

PAU-2001 'ra eco Gra i» rSEP - B1

Tema:

PAU-2002 Tema: TNTERAcclól1/GRAVITATORIA

JUN - B1

1.-Enuncia la ley de la Gravitación de Newton y deduce a partir deella la tercera ley de

Kepler (de los períodos), suponiendo órbitas planetarias circulares .

2.-Un planeta gira alrededor del Sol según una órbita elíptica. Cuandose encuentra más

cerca del Sol, a una distancia de 2 - 105 m, su velocidad es de 3 - 104 m/ s.¿Cuál será la

velocidad del planeta cuando se encuentre en la posición más alejadadel Sol, a una

distancia de 4 - 105 m?

11 En ,/666 l11ew¡on Jeneralizó Za ,in~eracc.1ón~rW,'~a~ortá deducidaPara el movimiento pÍanelario a CualqucérParv.a de masas esiwJeccóque : "la "rrieracc."órt gravc~aiorca eníre dos cuerpos ~uecle expresarseTmedi'anfe una ,~uerza de aíracc.eón cenira,~ ~noportuónal Q

masas r%LI7 cuerpos e e'nver,samenje ~ro~orciórra .i cd cuadrado de .~a c%s,~anctc~gue loj oe

oria `~.

F = - G mrm2

Ur(G= 6 1 6 1 -10 -~ s Nm 2/K9a )

eons.¿clerando or.dllas circulares:

= F

l~ ~ m. mz _ m~ _V2

r 2 r

Grnl `

V Z ^ í2T r~ z -

17z r 2

^y

TI_T

G,cu,

Vz _ f-, V+ , (2-lo sm)(3 . 10 4 m1s) ^ A 1 5- 10 4 m/s(4 . lo s m )

Para ,~uerzas centrales_

M= rrt F = 0f~or ser ry _F de la_

m.1 *sma dti'ecctm2 -C'omo

M -

d L - 0

L

- consl'an~e .elt

7' z= kr 3

,oa 3 -5' Ze

de -', Jer esladlece que: "loy cuadradm de .1w~r percóc~rrrche revoC(,lcí'ó71 son hro orc.,~,nales a & G(dbo7 a~e .[as c`1-ncuásclló de los

!anegas a~

cri ("

ce 1~

ercó

Arome

V, = 3-JO'm1s

VA -_

?

luego, ' la ór.bLla es

lana, a~ no mocu i.,~arse íu dcreccI.jyt de L ~~ael eemaS,

f mV = r¿ m VZ, AÍ cons."deeramo7 cue r1. V

(en eL~erlgeo .y a,bogeo ,l san realmeníe l, se 1r'ene que :~/

U

cJ

r, Vi = fin

7

PAU-2002 Tema: rNTERACC10 GRAVITATORIASEP - B1

1.-En una galaxia lejana, se detecta un planeta que recorre una órbita de radio semejante alde Plutón en un tiempo equivalente a un año terrestre, por lo que los astrónomosdeducen que gira alrededor de una estrella más masiva que el Sol. ¿Es correcta estadeducción? Razona porqué.

2.-Sabiendo que el diámetro de la Tierra es cuatro veces el de la Luna y que la aceleraciónde la gravedad en la superficie terrestre es seis veces la de la superficie lunar, ¿cuántasveces es mayorla masa de la Tierra que la de la Luna?

2

Para un mov.imien[o Plane%ario someh'clo a una 4uerza centra.~ :

F - FG t

vL

G M m T_r 2

V _

2 rrr

T

m V2r

Terra :

T

-

K. dTIERRA SOL-TIERRA

PLu6n :

TZPLUTON

K - d 3

~ 2rrr i2 T2 4172_ . r3

SOL-PLUTÓN

Paro el hlane%a alrededor de La estrejua :4172

.

d3T 2 PLUTÓN

C, MSOL

SOL-PLUTÓN

ZT PLANETA

4 rr z

, d 3G M

ESTRELLA- PLANETA

ESTRELLA

TPLUTON > J año

TPLANETAN

1 año

G MT

RT

-

G M L

RzL

M ESTRELLA

>

SOL

_3T

^

_M

Rz

9LML .

RTz

M T =96ML

` SOL -PLUTÓN > dSOL-TIERRA

4~%

TPLUTON TIERRA

MESTRE LLA

M Sol,

Z6 9L ,

MT .

RL

JL ML (4 .RL)Z

á3SOL- PLuim,

á es1reUa- Plane¡o

Y r

d

(da[os )

6 MT

46 ML

PAU-2003 Tema:INTERACCIÓN GRAVITATORIA

JUN B1 ~

l

1.-¿A qué distancia del centro de la Tierra se compensaría elcampo gravitatorio terrestre

conel lunar?DATOS: MTierra = 5,97-1024 kg; MLuna = 7,35-1022 kg; DistanciaTi

Reiaclánartdo %s ~ercódos cle revo.~uc.tórl alecú'sionaás mecúás de ¡os sa~é .̀~fes a~ Planeíade IKepler ;

2s

( 2rrRAA

RA

`

yA

RA

RA2 VB2

RA3-1-2

^Ts

Ré

2rr Rs z

R 9

R z v z

2 aV~

Q A

B

VA - 2 ve

VA

ambm riane.~as can bwl£mecljáne .ea .Lercera

PAU-2003

Tema:

IN

ERACC IÓN GRAVITATORIASEP-B1

1.-¿A qué distancia, h, por encima de la superficie de la Tierra la aceleración de la

gravedad es la mitad de su valor a nivel del mar? Radio de la Tierra = 6.370 km.

2.-Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con

una velocidad inicial de 8 km/s. Determinar la altura máxima que alcanza,

despreciando la resistencia del aire .

9) A Pesar de jue el campo jrav,i~a~orio es un veci"or, se krabojo_ L0iLmódulos ja que el' caraci"er vectorial no mol-tca el resU~a.doGUM PLa 1001 ccii cuun .

cJo '

R

h -

V2

mV z - G Mm _ - G Mm2 R R+h

VRz + V 2h

_

GMh2

R+h ) 7- ~ ya--. +R

9

1

R _

30-1

R = (V72-1)(6370Krn) - 2639 Kut5,/2

.Z) Principio de C'anservació"n de la fne3tá :

Ep, + ECi -.

v2- GM

R+h-R

GMhR R+h

R(R+h) - Rz+Rh

( 8 . l. o 3,cu 1s ) 2

- V2

2(91 9M152)_

(8.103rn/5)z(6 1 37-¡0 6M)

Se supone jue se conoce 9

Pero no G 1 M .

Ep2+ E,-2

L. 0 (Para

2

2GM-V7-R

2Cr M- _ Vz R

61 y-d0cUt.

PAU-2004

Tema:

INTE RACC IOtY GRAV JATO RIAJUN - B1

~

I

1.¿Qué se entiende por velocidad de escape de la superficie de un planeta? Deducir suexpresión.

2.-Un satélite artificial gira alrededor de la Tierra a 3,6 - 107 m de su superficie. Calcular: (a)

la velocidad; (b) la aceleración y (c) el período de rotación del satélite alrededor de la

Tierra, expresado en días. ¿Quénombre reciben los satélites de este tipo?

9) La velocidad de escape, o segunda velocidad cósmica, es la veiocid.acLfue ha~ que imprimir a un saléG~e para que ligue al in finito j escapede la aEracción Eerres1re (o planeEaria), es decir :

Emecánic .a = 0

(fue es la máxima que puede fener)

Eco+ E Po = 0

mVe2 _ GMm _ 0

Ve _2 R

,2~

a)

Fc = FG .~

d mV 2 _ GMm

V _

GM2 r 2

r

V = (6,67 .10-~~Nm 11 19 2 )(5,97 . 40 z4 K9)(4, 231 . A0 1 .LU )

r = R+h = (6 1 37»A0`w)+(3 1 6 . Á0 7m) = 41237 .A07M)

b)

a n = vz =

(3066 m/s) z _

o, 22 mls2(4,231 . iovm)

c)

F9 _ F

GMm , m V2r 2

2rrrT

r GMm

~+rz

- _ f 2rzmrT

2GMR

T= 2n

(4,T ::

2rT

231-11 'Y"

_

86 $40

s

= 1 aá(6,61 . 10 - " Nrn 1 /K_9 2 1(5,97 . 1O z4 Ky)

_

Los saíéllEes cujo período de rolacíó~n es 1 cllcc se denominanGEOESTACIONARIOS .

PAU-2004

INTERACCION GRAVITATORIASEP - Bl

Tema:

1.-Demostrar que la energía total de un satélite que describe una órbita circular es igual ala mitad de su energía potencial.

2.La distancia media del Sol a Júpiter es 5,2 veces mayor que la distancia entre el Sol y laTierra. ¿Cuál es el período de la órbita de Júpiter alrededor del Sol?

Por oEro íQdo, para

Fo _FG =>

z

3T 7 ~ K ds_7

2

3T r

_

K d s-T

T 23

Js_T _ 5 1 2 ds-T

_ ¡ mVz _ G Mm

_

d3s_7 . TzT

E, _ Z rnV'

F GMmP___

r

que e( saEélile describa una órtiia circu .iarc:

r

mv2

G Mmr rz

2)

Tercera ley de Kepler:

T 2 = K r 3

2

3TJ

K d s -7z

3T r

K d s - T

ET

_

GMm _ G Mm

_ , d G MmE2r

r

Z

r ^ Z P

~ 35~ 2 ct s_r

T 2rC, s-r

(51 2) 3

( 3 6 5 di.m )

=

4 3 28 c(.ía .5

d s _T

GMmzr

1. ¿Por qué G es tan difícil de medir?

2. Desde la superficie de la Tierra se lanza un objeto con una velocidad doble de la de escape.Calcular la velocidad del objeto cuando está muy lejos de la Tierra. Dato: g = 9,8 m/seg2.

Respuesta modelo :

Apartado 1

La interacción gravitatoria es muy débil, es decir, el valor de G es muy pequeñoG = 6,67 - 10-I1 Nm21kg2

lo que exige la utilización de grandes masas o bien sistemas de detección de fuerzasextraordinariamente sensibles . Ésta fue la causa fundamental de que la Ley de la GravitaciónUniversal de Newton se enunciase en 1686 y el valor de G no se determinase experimentalmentehasta 1798 por Cavendish (112 años más tarde) .

Apartado 2

Determinación de la velocidad de escape :

La velocidad correspondiente a una energía cinética de valor igual a la energía potencial esindependiente de la masa de la partícula y recibe el nombre de velocidad de escape . Su valor seobtiene de:

2 m v, = G

RTZm

T

Ve =

2gRT =

2 (9,8M/S2 ) (6,67 . 10 6 m) = 11 .434m / s - 11,4 km / s

PAU/JUNIO DE 2005/BLOQUE 1

2GM

_

2(6,67 - 10-" Nm2 /kg 2 ) (5,98 .1024 kg)Ve

_

~

R

T

(6,37_106 m)

= 11.191m/s _= 11,2km/sEnT

lugar de utilizar los valores de G y MT, podemos escribir estas magnitudes en función de laaceleración de caída libre de la gravedad g = GMT/RT2, por lo que la ecuación anterior resulta(utilizando el valor de g dado):

"

Determinación de la velocidad "en el infinito " cuando se lanza con una velocidad doble de lade escape :

Puesto que se trata de un campo conservativo, la suma de las energías cinética y potencialdebe ser la misma en la superficie de la Tierra que en el infinito (donde la energía potencial es nulapor ser infinita la distancia) . Por tanto:

-G Rin + 1 M(2vé) V2)=0+ 1mv22T

-G Rin +-mT

2 2GM T ] = 1 mv 2RT

J2

°°

6GMT ~R

=,,r3 ve =

(11,2 km / s) = 19,4 km / sT

Opción 1

1 .-

Cuánto vale la filerza que acrila sobre tul satélite artificial de 2000 Kg que gira alrededor de la Tierra siguiendo hilaórbita circular de radio equivalente a dos veces el radio de la tierra?

(Datos : g = 10 in's ' ) (1,2 puntos) .2 .- Un sistema estelar binario está constituido por dos estrellas de igual inasa que se inueven describiendo una órbitacircular alrededor de tul punto que se encuentra a iuedio calluno entre ellas ( se mueven con la nllsina velocidad y entodo instante se encuentran en posiciones diainetralmente opuestas) . Si la distancia entre las estrellas es de 360 millonesde kilómetros y tardan el equivalente a { años terrestres en describir tma órbita coinpleta, calcular la masa de lasestrellas .

(Datos : G = 6.6?x10" 11 N¿;'Kg') ( 1,3 puiltos) .

Apartado 1

Apartado 2

Sistema formado por dos estrellas en órbita circular.Supongamos un sistema aislado formado por dos estrellas en órbita circular alrededor de su centrode masa. La posición del centro de masas se calculará de acuerdo con la siguiente relación

m1

m 1rl =m2r2c.m.

m2

F - G MTms - G MT ms -

ms

10 m/ sZ) (2000 kg)

4000 Nd2

_

(2RT ) 2- go

4

-_ (

5

_

r

r2

PAU.- Septiembre de 2005/Bloque 1

r=r1+r2

La posición del centro de masas está más cerca de la masa mayor .

El movimiento de las dos estrellas es equivalente al movimiento de una partícula de masa reducida,u , bajo la acción de la fuerza F que describe la interacción mutua, la fuerza de atracción entre dosmasas separadas una distanciar = rl + r2

Si dicha partícula describe un movimiento circular de radior, su aceleración es co2-r . La segunda ley de Newton seescribe .

PAU.- Septiembre de 2005/Bloque 1

La cantidad J.r3 es constante, lo que nos indica que el cuadrado del periodo P=2n /cg esproporcional al cubo del radio r (tercera le, dee Kepler para órbitas circulares)

Pa -

41r2r3

Una vez determinado el movimiento relativo, es decir, el radio r que describe la partícula de masareducida ,u, el movimiento de cada una de las estrellas es el siguiente :

"

La estrella de masa ml describe un movimiento circular de radio r1=m2-r/(mi+m2), alrededordel c.m de periodo P.

"

La estrella de masa m2 describe un movimiento circular de radio r2=m1 -r/(ml+m2), alrededordel c.m y'del mismo periodo .

Cuando la masa de una de las partículas es muy grande comparada con la de la otra, el centro demasas coincide aproximadamente con el centro de la primera partícula y podemos suponer que lasegunda se mueve alrededor de un centro fijo de fuerzas . Por ejemplo, un satélite artificial quedescribe una órbita alrededor de la Tierra .

Por tanto, en el caso que nos ocupa:

T = (5 años) (365 días/año) (86400 s/día) = 1,5768 - 10g s

r = 360 - 106 km = 3,6 - 109 m

MI = m2 = m

T2 =47r2 r3

m -27[2 r3

G (2m)

GT2

m- 2n2(360-109m)3=555 " 1029k

(6,6710-" Nm 2 /kg2 )(1,5768-10's) 2

INTERACCIÓN GRAVITATORIAPAUIJunio12006

OviedoOpción 1

1 . Deducir la expresión correspondiente a la velocidad mínima con la que tieneque lanzarse verticalmente un cuerpo desde la superficie de un planeta paraque escape de su atracción gravitatoria .

2 . Supongamos conocidas las siguientes magnitudes referentes a la Tierra :masa de la Tierra : 5,98x1024 Kg ; radio de la Tierra : 6,37x106 m; distanciaTierra-Sol : 1,5x10 1'm ; período de la órbita terrestre: 3,15x107 s ; g= 9,8 mls2 .Con estos datos, calcular la masa del Sol. (Nota : Suponer circular latrayectoria de la Tierra alrededor del Sol) .

1 . La velocidad de escape, ve , es ~a velocidad. ¡ue debe ad9u,írir un cuerpopara escapar de la atracción jravi~aforio del Planeta . ,Se c"sMera. jueun cuerpo escapa ciel campo jrav .i~alorio de un planeta usando JJ eia c-una distancta Án{ini~a de el

(Ep = 0 ) co-n velocidad nula ( Ec =0) . En~"-

ces, su ener ta mecánica clebe ser nula .

E= E~=0

E _ Ec .t. E p _

vive _

GMm _ oZ rp

M $

G

z

Ley cle la Groviloció^n Universce~ :

F_ G ~m..RT

9 RT

(9,8 MIS') (6,31 .40 6m) zmr

^

( siga .,(Oz4 k9 )

Se3unda Lel de l`í'ew{vn :

F _ mT .aÑ

G MS _ vrrs

Grz

zG Ms

~r Tr z rrs

rrsT

4rr z rrs

(4ri 2 )(d i S do " Yn )3

(6,65

10 _11 NiM2 /I

INTERACCIÓNGRAVITATORIA

SEPTIEMBRE2006

Bloque 1

1 . Suponiendo que la Tierra fuese una esfera perfectamente lisa de radio 6,37106 m,¿Con qué velocidad debería lanzarse un objeto, en las proximidades de susuperficie y horizontalmente, para que diese una vuelta completa a la Tierra sintocar el suelo, siguiendo una órbita circular paralela a la superficie terrestre? (g =9,8 MS 2) .

2 . Un cometa se mueve según una órbita elíptica alrededor del Sol. Determinar en quépunto de su órbita tiene mayor valor: (a) La velocidad del cometa; (b) la energíapotencial del sistema cometa-Sol ; (c) la energía cinética del cometa, y, (d) la energíatotal del sistema cometa-Sol (1,3 puntos).

b) GM s t11 cQde-S

dQ > dP

c )

Ec =

V z2

vp Va

> G Mrm _mV2RT RT

1J'=

R T =~(

9 1 8m/5z )(6,37 . d0 6 rn) _ 1901 m/s0

0.)

Por ¡a iej de Kepler (o conservación del inomerti-fl ciné% -icocc», en e

Va f~ _ Vp rP

Q = 4TelloVQ

PR PAU Asturias JJ Interacción Gravitatoria.pdfPR PAU Asturias Interacción Gravitatoria 01PR PAU Asturias Interacción Gravitatoria 02PR PAU Asturias Interacción Gravitatoria 03gravit-jun2007gravit-sep2007

J-Gravits-Gravit