UNIVERSIDAD DEL CAUCA

Departamento de Física

Laboratorio de Mecánica

I Periodo 2015

APARATOS DE MEDIDA

A.M. Arteaga Gudiño, P. Manzanares Ruiz, E.S. Romo Brando

Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería Civil, Universidad del Cauca, Tulcán, Popayán Colombia.

Recibido: 16 de marzo de 2015

1. OBJETIVOS1.1 Aprender a manejar el calibrador y el

tornillo micrométrico Como instrumen-tos de medida, permitiéndonos con los datos tomados conocer y calcular diver-sas características de objetos como el área, volume, etc.

2. RESULTADOS:

1.2 Poner en práctica diversos conceptos vistos en clase como determinar las cifras significativas de determinado número, la clasificación de los errores y calcular el error probable y error posible de una serie de medias.

TABLA I

N° de obs

Objeto medido Unidad Θ(int) Θ(ext) Largo Profundidad Ancho

1 Varilla Metálica cm ---- 0.66 8.05 ---- ----2 Aro De Madera cm 1.05 3.92 ---- 1.265 ----

3 Tubo Pvc cm 1.805 2.12 ---- 3.91 ----4 Paralelepípedo de

maderacm 2.757 1.61 1.95

Θ1.4275 Θ2.23 l 5.04 P 2.62 µ 1.95

Tabla

III3. DISCUSION DE LOS RESULTADOS

1

TABLA III

N° de obs

Objeto medido Unidad Θ(int) Θ(ext) Largo Profundidad Ancho

1 Varilla Metálica inch ---- 0,25 3,02 ---- ----2 Aro De Madera Inch 0.4 1.5 ---- 0,6 ----

3 Tubo Pvc Inch 0,71 0,83 ---- 1,08 ----4 Paralelepípedo de

maderainch 1,0015 0,76 0,51

Θ0,55 Θ0,86 l 2,01 P 0,63 µ 0,51No obs

1(inch)

2(inch)

3(inch)

4(inch)

5(inch)

x c.p c.p.p E.P E.P.P θ

Esfera 0.4751 0.4752 0.4752 0.4751 0.4753 0.47518 0.000205 0.04314105 0.00006048 0.01272881 ----

Aparatos de Medida

En el proceso de medición, se tienen en cuenta múl-tiples errores para encontrar la medida original de un objeto, tales como lo son: los errores sistemáticos y fortuitos; en el presente informe solo se tendrá en cuenta el error sistemático instrumental, debido a las características de la práctica.Luego la incertidumbre a tener en cuenta en el pre-sente informe es de 0.0025cm para las medidas del calibrador, y de 0.00005inch para el tornillo micro-métrico.El pie de rey o calibrador es instrumento de medi-ción muy preciso que tiene dos nonios, uno en el sistema Ingles y uno en el sistema cegesimal.Instrumento de gran precisión ya que permite medir fracciones de milímetro, y permite medir característi-cas relativamente pequeñas con una mejor precisión.

Del pie de rey se puede decir además que su nonio en el sistema ingles, es menos preciso que el nonio en el sistema cegesimal. Dado que 1 inch=2.54 cmY la menor medida que se puede tomar directamente

del nonio en el sitema ingles es de1inch128

luego por

regla de tres se tiene

0.0078125inch∗2.54 cm

1inch=0.01984375 cm

En la practica también se utilizò el tornillo micromé-trico que tiene un nonio con mayor precisión que la del pie de rey; es utilizado paramedir objetos con una longitud máxima de 1 inch. En el nonio del tornillo micrométrico se puede realizar una lectura directa únicamente en el sistema ingles.

Siguiendo con el proceso de medición, cada caracte-rística del objeto se encontrara en el intervalo [ x−∆ x , x+∆ x ] donde (x )es la medida observada.

Ej: La profundidad del aro de maderaDonde:

PA=profundidad del aro

PA=1.265 cm± ∆ xcm

(1)

De (1) tenemos que la profundidad del aro es:

1.265 cm ±0.0025 cm=[1.2526 cm, 1.2675 cm ]

Ahora se calcula el diámetro interno del tubo de Pvc

DITPvc= Diametro internotubo Pvc

DITPvc=0.7109375 inch± ∆ xinch

(2)

De (2) tenemos que el DITPvc:

0.7109375 inch± 0.0001 inch=[ 0.7108375,0 .7110375]

Después de considerar todas las medidas a criterio del observador, se procede a realizar el cálculo del área y volumen de cada objeto motivo de estudio en esta práctica. El cálculo del área también se verá afectado por un intervalo de incertidumbre [± ∆ z (∆ x , ∆ y )], el cual va a depender de cada una de las variables relacionadas en la fórmula para cal-cular el área y volumen de cada objeto; la fórmula para calcular ∆ zes la siguiente:

∆ z= dzdy

∗∆ y+ dzdx

∗∆ x …

(3)Un ejemplo de esto sería calcular el volumen del paralelepípedo de madera donde

PARALELEPIPEDO

2

Aparatos De Medida

Como la formula del volumen del paralelepípedo regular es:

V=L∗P∗A=8,068515 cm3 ≈ 8,07 cm3

Donde:

V=VOLUMEN

L=LARGO

P=PROFUNDIDAD

A=ANCHO

El volumen más aproximado vendría dado por:

V ± ∆ V(4)

Luego para calcular ∆ V se tiene dvdA

=L∗P=2.75cm∗1.61 cm=4.4275 cm3 ≈ 4.42cm3

dvdL

=P∗A=1.95 cm∗1.61 cm=3,1395 cm2 ≈ 3.14 cm2

dvdP

=L∗A=1.95 cm∗2.57 cm=5.0115cm2 ≈ 5.01 cm2

Luego de (3) podemos obtener

∆ V =dVdA

∗(∆ A )+ dVdL

∗(∆ L )+ dVdP

∗(∆ P)

∆ V =4.14 cm2∗0.0025 cm+3.14 cm2∗0.005 cm+5.01 cm2∗0.0025 cm=0.030725 cm3 ≈ 0.03 cm3

Luego el volumen del paralelepípedo por (4) viene dado por

8.07 cm3 ± 0.03cm3≈ [8.04 cm3, 8.1 cm3 ]Como área del paralelepípedo regular es igual aA=AREAL=LARGOP=PROFUNDIDAD

a=ANCHO

A=2 ( a∗P )+4 (L∗a)=27.7836 cm2≈ 27.8 cm2

El área más aproximada seria

A ± ∆ A(5)Luego para calcular ∆ Ase tiene

dAdL

=a∗P=1.95 cm∗1.61 cm=3.1395 cm2 ≈ 3.14 cm2

dAdP

=L∗a=2.757 cm∗1.95 cm=5.37615 cm2≈ 5.38 cm2

dAda

=L∗P=2.757 cm∗1.61 cm=4.43877 cm2≈ 4.44 cm2

Luego de (3) podemos obtener

∆ A=dAdL

∗(∆ L )+ dAdP

∗(∆ P )+ dAda

∗(∆ a)

∆ A=3.14 cm 2∗0.0025+5.38cm2∗0.0025+4.44cm2∗0.0025=0.0324 cm2

Luego el área del paralelepípedo por (5) viene dado por

27.8 cm2 ±0.0324 cm2≈ [27.77 cm2 , 27.83 cm2 ]Para las mediciones realizadas al paralelogramo no hubo mayor complicación, el pie de rey encajaba perfectamente dada la contextura del instrumento.

VARILLA METALICA

Como la formula del volumen de la varilla metálica es

V=π r2∗H=¿2.754061492 ≈ 2.76cm3

V=volumenr=radioH=alturaEl volumen más aproximado seria

3

Aparatos de Medida

V ± ∆ V(6)

Luego para calcular ∆ Ase tiene dVdR

=2 Rπh=¿16.69128177 ≈ 16.7

dVdH

=π r2=¿ 0.34211944≈ 0.34

∆ V =dVdR

∗(∆ R )+ dVdH

∗(∆ H )

Por (3)

∆ V =16.7 cm2∗0.0025 cm+0.34 cm2∗0.0025 cm=0.0426 ≈ 0.083 cm3

Luego el volumen del varilla metálica viene dado por

2.76 cm 3 ±0.083 cm3≈ [ 2.677 cm3,2.843 cm 3 ]

Por (4)

Como la formula del área de la varilla metálica es

A=2πr2+2πrh= 17.37552065≈17.4

El área más aproximada seria

A ±∆ A(7)Luego para calcular ∆ A se tiene

dAdR

= 4Πr+2Πh=54.72654403 ≈ 54.73

dAdH

= 2πR2+2πr= 2.757690031 ≈ 2.75

∆ A=dAdR

∗(∆ R )+ dAdH

*(∆ H )

Por (3)

∆ A=¿ 54.73*0.0025+2.75*0.0025= 0.1437 ≈0.14

Luego el área del varilla metálica viene dado por

17.4cm2±0.2874cm2 ≈ [17.1 cm2 , 17,7 cm2 ]

Por (7)

ARO DE MADERA

Como volumen del aro de madera viene dado por la siguiente formula

V=π R2∗h−π r2∗h=¿14.17159369≈14.17cm3

R=radio mayor r=radio menorh=alturaEl volumen más aproximado seria

V ± ∆ V(8)

Luego para calcular ∆ V se tiene dVdR

=2 Rπh=¿15.57852965≈ 15.58cm2

dVdh

=π R2−π r2=¿ 11.20284086≈11.20cm2

dVdr

= 2 πrh=4.172820442 ≈4.17cm2

Por (3) se tiene que:

∆ V =dVdR

∗(∆ R )+ dVdh

∗(∆ h )+ dVdr

∗(∆ r )

∆ V =15.58 cm2∗0.0025 cm+11.20 cm2∗0.0025 cm+4.17 cm2∗0.0025 cm=0.077375 cm3 ≈ 0.077 cm3

Luego el volumen del aro de madera viene dado por

14.17 cm3 ±0.0773756 cm3≈ [14.093,14,247 cm3 ]

Por (8)

4

Aparatos De Medida

Como la formula del área del aro de madera es

A= (2πR2+2πRh)-(2πr2+2πrh) = 33.8139094≈33.81

cm2

El área más aproximada seria

A ±∆ A(9)

Luego para calcular ∆ A se tiene

dAdR

= 4πR+2πh=40.52654523≈ 40.53 cm2

dAdH

= 2πR-2πr= 9.016370916 ≈9.02cm2

dAdr

= -4πr-2πh= -14.54557399 ≈ -14.55cm2

De (3) se obtiene lo siguiente:

∆ A=dAdR

∗(∆ R )+ dAd h

*(∆ h)dAdr

*(∆ r )

∆ A=( 40.53 cm2∗0.0025 )+( 9.02 cm2∗0.0025 )+(−14.55 cm2∗0.0025 )=0.0875 cm2

Luego el área del aro de madera por (8) viene dado por

33.81cm2± 0.175cm2= [33,64 cm2 , 33,99 cm2 ]

TUBO

Como la formula del volumen del tubo es

V=π R2∗h−π r2∗h=¿3.796792421≈3.8

El volumen más aproximado seria

V ± ∆ V

(9)

Luego para calcular ∆ V se tiene

dVdR

=2 Rπh=26.04128982 ≈ 26.1cm2

dVdh

=π R2−π r2=¿ 0.9710466543≈0.97cm2

dVdr

= 2 πrh=22.17194723 ≈22.2cm2

Luego de (3) se tiene

∆ V =dVdR

∗(∆ R )+ dVdh

∗(∆ h )+ dVdr

∗(∆ r )

∆ V =12.1 cm2∗0.0025 cm+0.97cm2∗0.0025 cm+22.2 cm2∗0.0025 cm=0.088175 cm3 ≈ 0.09cm3

Luego el volumen del tubo por (9) viene dado por

3.8 cm3 ±0.09 cm3 ≈ [3.71 cm3 , 3.89 cm3 ]

Como el área del tubo se calcula con la siguiente formula

A= (2πR2+2πRh)-(2πr2+2πrh) = 9.894249718 ≈9.9

cm2

El área más aproximada seriaA±∆ A

(10)Luego para calcular ∆ A se tiene

dAdR

= 4πR+2πh= 33.36371398≈ 33.4 cm2

dAdH

= 2πR-2πr= 0.9896016859 ≈0.99cm2

dAdr

= -4πr-2πh= -31.38451061 ≈ -31.4cm2

Luego por (3)

5

Aparatos de Medida

∆ A=dAdR

∗(∆ R )+ dAd h

*(∆ h)dAdr

*(∆ r )

∆ A=(33.4 cm2∗0.005 )+( 0.99cm2∗0.005 )+(−31.4 cm2∗0.005 )=0.007475 cm2 ≈ 0.0074 cm2

Por lo tanto el área del tubo por (10) viene dado por

9.9cm2 ±0.0074= 9.8926❑cm2 ≈9.89cm2

Para los objetos medidos anteriormente, al haber calculado sus áreas y volúmenes respectivos, con formulas aprendidas en clase.su intervalo de incerti-dumbre no es muy grande, pero a un falta mayor precisión, debe ser por la inexperiencia al usar los instrumentos, al hacer las lecturas en el nonio.

Los cálculos aunque no fueron perfectos, dado que se utilizo en ellos la aproximación, genereron un intervalo del cual podemos decir que saca el mayor provecha para llegar a los cálculos de áreas y volú-menes de los objetos en estudio, no obstante no se puede asegurar si fueron exactos, pero si generaron mayor precisión; ser exacto es muy complejo reque-riría una serie de análisis mas complejo, o por lo menos tener una base del área a la cual se desea lle-gar.

EsferaPara calcular el área y el volumen de un objeto que es medido en repetidas ocasiones se utiliza la ecua-ción del error probable

z± E . P

(11)

E.P=error probableDonde

Z=area de la esferan=Numero deObservaciones

E . P=0.8453∗∑ di

√n(n−1)(12)

di=x−xi

(13)Luego el área de la esfera viene dada por

Z=4 π r2

d 1=0.47518−0.4751=0.00008d 2=0.47518−0.4752=−0.00002d 3=0.47518−0.4752=−0.00002d 4=0.47518−0.4751=0.00008

d 5=0.47518−0.4753=−0.000012

∑di=1

5

¿0,00032

Luego reemplazando en (12)

E . P=0.8453∗0,00032

√5 (5−1 )=0,00006048

Z=4 π (0.47518)2=2,83743663

Area=2,83743663 ±0,00006048Por (11)

Volumenz± E . P

Donde Z=Volumen DelObjeto

n=Numero deObservaciones

E . P=0.8453∗∑ di

√n(n−1)

di=x−xi

Luego el Volumen de la esfera viene dada por

Z=43

π r3

∑di=1

5

¿0,00032

6

Aparatos De Medida

Por (12)

E . P=0.8453∗0,00032

√5 (5−1 )=0,00006048

Z=43

π (0.47518)3=0.44943105

Volumen=0.44943105−0,00006048≈ 0.45

Para calcular el área y volumen de un objeto al cual se mide en repetidas ocasiones también se podría utilizar utiliza la ecuación del error posible

z± c . p(13)Donde

Z=¿Area del objeton=Numero deObservaciones

c . p=0.8453∗∑ di

n√(n−1)(14)

di=x−xi

Luego el área de la esfera viene dada porZ=4 π r2

d 1=0.47518−0.4751=0.00008d 2=0.47518−0.4752=−0.00002d 3=0.47518−0.4752=−0.00002d 4=0.47518−0.4751=0.00008

d 5=0.47518−0.4753=−0.000012

∑di=1

5

¿0,00032

Por (14)

c . p=0.8453∗0,000325√(5−1 )

=0,00205

Z=4 π (0.47518)2=2,83743663

Luego por (13)Area=2,83743663 ±0,00205

Para calcular el volumen de la esfera

c.p=error posible

z± c . pDonde

Z=4 π r3

3

n=Numero deObservaciones

c . p=0.8453∗∑ di

n√(n−1)

di=x−xi

Luego el Volumen de la esfera por (13) viene dada por

Z=4 π (0.47518)3

3=0.44943105

∑di=1

5

¿0,00032

Por (14)

c . p=0.8453∗0,000325√(5−1 )

=0,00205

Volumen=0.44943105 ±0.00205Por (13)

CONCLUSIONES Al momento de tomar medidas con diversos

instrumentos siempre se debe tener en cuenta la precision del instrumento para posteriormente realizar los calculos corre-spondientes y obtener datos adecuados.

Las mediciones no son simples numeros exactos sino que llegan a ser intervalos den-

7

Aparatos de Medida

tro de los cuales se puede tener confianza de encontrar el valor preciso de las medi-ciones tomadas.

El pie de Rey y el tornillo micrometrico son instrumentos de muy alta precision, dado que los intervalos mostrados en los calculus son muy pequeños.

En instrumentos mas pequeños el por-centaje de error es muy grande, debido que cada milimetro representa en el un alto porcentaje, lo cual no pasa con objetos grandes, que se puede ignorer dicho milimetro.

Las lecturas deben realizarse con un alto grado de concentraciòn, debido a la preci-sion de los nonios, si no se tiene la concen-tracion necesaria, en los calculus ddeberia agregarse un error generado por el obser-vador.

El uso de instrumentos de mayor precision, facilitan los calculus para la propagacion de errores.

4. Solución Preguntas Planteadas

Solución Pregunta 1En el proceso se usó el calibrador “pie de rey”, del cual podemos calcular su aproximación a través de la siguiente formula

A=Rn

(15) Donde A=Aproximación del nonio R=Valor de una división de la regla principal n= divisiones del nonio.

R=1mm∗1 cm

10 mm=0.1cm

n=20Por lo tanto

A=0.1 cm20

=0.005 cm

Por lo tanto la aproximación del micrómetro en el sistema cegesimal es de

0.005cm

Para obtener este resultado en el sistema métrico se procede así:

A=0.005cm∗1m100 cm

=0.00005 m

Luego la aproximación del micrómetro en el sistema métrico es de:

0.00005 m

Luego el intervalo de incertidumbre a tener en cuen-ta viene dado por

∆ x= A2

Además decimos que:

∆=incertidumbre(16)De la ecuación (16) se deduce que el intervalo de incertidumbre a tener encuentra cuando se usa el micrómetro viene dado por:

∆ x=0.005 cm2

=0.0025 cm

Respuesta 1a: La aproximación del micrómetro es de 0.00005m en el sistema métrico

Como el micrómetro contiene otro nonio en el siste-ma ingles su aproximación se calcularía de la si-guiente manera:

R=1 inch16

=0,0625inch

n=8Por lo tanto de (1)

A=0,0625 inch8

=0,0078125 inch=1inch128

8

Aparatos De Medida

Luego la aproximación del micrómetro en el sistema inglés es de

1inch128

De la ecuación (2) se considera que el intervalo de incertidumbre para el micrométrico en el sistema inglés es de:

∆ x=0,0078125 inch2

=0,00390625 inch=1 inch256

Respuesta 1b: La aproximación del micrómetro

es de1inch128

en el sistema ingles

Solución Pregunta 2De igual manera se calcula la aproximación y el intervalo de incertidumbre para el tornillo micromé-trico

R 1=1inch10∗4

=0.025 inch

A 1=0.025 inch25

=0.001inch

A 2=0.001 inch10

=0.0001inch= 1 inch10000

Luego la aproximación del tronillo micrométrico es de:

0.0001 inchLuego el intervalo de incertidumbre para el tornillo micrométrico deducido de la ecuación (2) es

∆ x=0.0001 inch2

=0.00005inch

Respuesta 1a: La aproximación del tornillo mi-crómetro es de 0.0001inch

Solución pregunta 3Para determinar cuántas divisiones debe tener el nonio tenemos en cuenta que

R=1o

6=10 mins×

60 segs1min

=600 segs

Luego se desea que la aproximación del nonio sea 20 segundos

Luego A=20 segs

Aplicando la ecuación A=Rn

(17)

Donde

A=aproximación

R=menor medida regla principal

n=número de divisiones

Despejando

n= RA

=600 segs20 segs

=30 divisiones

Respuesta: Luego el nonio debería tener 30 divisio-nesPor lo tanto la aproximación en grados vendría dada por

A= 1o

6∗30= 1o

180

Solución pregunta 4

Se dese construir un nonio de aproximación igual a 0.02 mm, utilizando una regla cuyas divisiones son de 0.4 mm. ¿Cuantas divisiones debe tener la regli-lla?

R=0.4 mm

A=0.02 mm

n= 0.4 mm0.02mm

=20 divisiones

9

Aparatos de Medida

Respuesta: Luego la reglilla debe tener 20 divisio-nes

5. BIBLIOGRAFIA Experimentacion D.C. Baird, segunda edi-

cion

10