AREA DESARROLLO TECNOLOGICO PRODUCTIVOCARRERA INGENIERA ELECTRICAFORMATO REFERENCIAL DE GUIA LABORATORIO

ASIGNATURA:SISTEMAS DE CONTROL II Y LABORATORIO

CDIGO:

ELT 600

TEMA:

METODOS CONVENCIONALES DE DISEO

TITULO DEL LABORATORIO:DISEO DE CONTROLADORES CON MATLAB

INSTRUCCIONES.1- Las actividades de laboratorio y los informes debern ser desarrollados en grupos de hasta 2 (dos) alumnos.2- En caso que algn alumno no pueda hacer las actividades , en el da previsto de su laboratorio, el mismo deber entregar el informe individualmente siempre y cuando presente constancia que justifique su ausencia (fotocopia al final de su informe), por lo contrario la no constancia de su justificacin tendr como nota (0) cero para ese laboratorio.3- Los trabajos o informes debern ser entregados, nicamente, en la semana siguiente despus del laboratorio.4- Las soluciones debern ser de forma clara, simple y organizada. Si hay figuras, tablas y ecuaciones, esas debern ser numeradas y referenciadas. No deber ser utilizado en el informe, material ya presentado en las guas de cada laboratorio.5- La pgina inicial del informe ser la pgina que contiene los componentes del grupo y las actividades ejecutadas.6- Los ejercicios a ser solucionados sern suministrados en el laboratorio por el profesor.En el informe responda a las preguntas al final del presente.OBJETIVO.El presente laboratorio se abordar el tema del diseo de sistemas de control empleando el MATLAB. Especficamente se emplear herramientas como el SISOTOOL o el RLTOOL.BREVE TEORIA.Lugar de Races. Se define el Lugar Geomtrico de las Races (L.G.R.) como el conjunto de puntos del plano S en los que se verifica la condicin de ngulo. En otras palabras, un punto que pertenece al lugar geomtrico de las races es un posible polo del sistema en lazo cerrado; para ello nicamente es necesario validar la condicin de mdulo, y sta se cumplir para un valor determinado de la ganancia del sistema en lazo abierto. El lugar de las races sirve para estudiar cmo influye la ganancia en bucle abierto en el comportamiento dinmico de un sistema realimentado.Las reglas bsicas para la construccin de un Lugar Geomtrico de Races (L.G.R.) generalmente son:1. Trazar el diagrama polos-ceros en lazo abierto.2. Determinar puntos de inicio y final del L.G.R.3. Determinar el lugar geomtrico de las races sobre el eje real.4. Asntotas del L.G.R.5. Puntos de ruptura.6. Puntos de cruce del L.G.R. con el eje imaginario.7. ngulos de arranque y llegada.En un sistema definido en el domino del tiempo discreto pueden evaluarse las races de la ecuacin caracterstica mediante el L.G.R. trazado en el plano Z. Ello es posible debido a que la ecuacin caracterstica de un sistema discreto lineal invariante en el tiempo es una funcin racional de polinomios en Z. Por lo tanto, puede aplicarse el mismo conjunto de reglas de trazado del L.G.R. que en sistemas analgicos, con la salvedad de que, adems, deben obtenerse los puntos de cruce del L.G.R. con el crculo de radio unidad en el plano Z.

Respuesta en Frecuencia.

Lugar de Races con MATLAB. La herramienta de diseo interactivo rltool de MatLab proporciona una interfaz grfica de usuario que puede utilizarse para: Analizar el lugar de las races para los sistemas de control LTI (lineal e invariante en el tiempo) SISO (entrada simple y salida simple). Especificar los parmetros de un compensador de realimentacin: polos, ceros y ganancia. Examinar cmo cambiando los parmetros del compensador, cambia el lugar de las races y varias respuestas a lazo cerrado, como la respuesta al escaln unitario, respuesta al impulso unitario, diagramas de Bode y/o Nyquist entre otros.Ejercicio N1. Sea la funcin de transferencia de un sistema SISO en tiempo continuo:G(s) = 2(s+5) / [(s+1)(s+2)^2(s+3)]Realizar el anlisis mediante la herramienta rltool de MATLAB.Solucin. Si esta funcin la discretizamos con un periodo de muestreo, T = 0.1 s, tendremos en MATLAB:

G = zpk([-5],[-1 -2 -2 -3],2) % crea modelo tipo zero-polo-gananciaT = 0.1;Gz = c2d(G,T,'zoh') % c2d convierte un modelo continuo a discretorltool(Gz) % obtiene la ubicacin del lugar de races de la funcin Gz

Ahora bien en la ventana Analysis se debe seleccionar Response to step command. Con el ltimo comando aparece una ventana donde aparecer la respuesta del sistema a una entrada en escaln. En esta ltima figura aparecen dos figuras de las cuales se puede elegir una sola haciendo click derecho y luego en Systems.Con lo anterior es posible obtener las caractersticas de la respuesta transitoria, haciendo click derecho en Characteristics. Hecho esto, se puede visualizar: Sobreoscilacin (Peak Reponse), Tiempo de subida (Rise Time), Tiempo de establecimiento (Setting Time), Valor en rgimen permanente (Steady State). En el cuadro siguiente debe copiar lo siguiente:Sobreoscilacin (Peak Reponse)

Tiempo de subida (Rise Time)

Tiempo de establecimiento (Setting Time)

Valor en rgimen permanente (Steady State)

En la misma ventana de respuesta transitoria, nuevamente se debe hacer click derecho y seleccionar Design Requirements con lo que aparecer regiones sombreadas que son una aproximacin y sirven de ayuda para el diseo.Ejercico N 2. En el sistema de control del diagrama de bloque adjunto, Gc(s) es un controlador proporcional de valor K.

Empleando la herramienta SISOTOOL, encuentre:a) El Rango de K para que el sistema permanezca estable,b) El valor de K para una relacin de amortiguacin de polos complejos de 0.6. Para este valor obtenga la ganancia en fase y ngulo.Solucin. Primero en la ventana de comandos, debemos proporcionar a MATLAB, el modelo de la planta en forma discreta y luego iniciar la herramienta SISOTOOL. El cdigo a escribir es el siguiente:

>> Gp = tf(1, [1 7 10 0]) % Modelo contnuo>> Gpd = c2d(Gp,0.05) % Modelo en forma discreto con periodo de muestreo 0.05 s.>> sisotool

La ltima instruccin abre la ventana Control and Estimation Tool Manager desde donde se har el diseo del controlador que en este caso es proporcional. Primeramente, en System Data, debemos importar el modelo de la planta G, que en el presente caso le llamamos GPd.En la pestaa Analysis de de la ventana SISO Design, seleccionamos Response to step command, con lo que se abrir una nueva ventana con la respuesta discreta del sistema (retenedor de orden 0).a) Una vez hecho lo anterior, debemos ir a la pestaa Compensator Editor donde cambiaremos el valor de la ganancia del compensator que por defecto es 1; por ejemplo hacemos que sea 20. Inmediatamente se puede ver que la respuesta del sistema cambia y paralelamente la ubicacin de los polos. Tomando y deslizando estos polos hacia el lmite que es el crculo de radio igual a 1, tendremos que el valor mximo del valor K es aproximadamente 57.4.b) Para este caso se debe tomar y deslizar los polos complejos dominantes hasta que la parte inferior de la ventana indique Damping = 0.6. Para este valor, la ganancia K resulta 8.46. El margen de ganancia es de 17 dB y el margen de fase de 58.7 grados.Ejercico N 3. Sea el sistema:

Realizar el anlisis de bode del sistema discreto, emplear un periodo de muestreo de 0.1 s y un retenedor de orden 0.Solucin. El cdigo para modelar el sistema discreto es el siguiente:

>> num = 50;>> den = [1 9 30 40];>> G = tf(num,den);>> T = 0.1;>> Gz = c2d(G,T,'zoh')

Transfer function:0.006656 z^2 + 0.02126 z + 0.004244-----------------------------------z^3 - 2.199 z^2 + 1.631 z - 0.4066 Sampling time: 0.1

Ahora bien, una vez definido el modelo, se debe graficar el diagrama de bode, para esto anotamos:

>> bode(sys)

Tal como se ve en la figura, la frecuencia se presenta en escala logartmica y la fase est dada en grados, la magnitud en decibelios el cual est definido como 20log(10(G(jw))).Ejercico N 3. Sea el sistema:

Donde K es una constante que toma cualquier valor y sirve de compensador en el sistema en consideracin. Se define el margen de ganancia como el cambio en la ganancia de lazo abierto requerido para hacer el sistema inestable. El margen de fase es definido como el cambio en fase de lazo abierto requerido para hacer inestable un sistema de lazo cerrado Sistemas con grandes mrgenes de ganancia pueden soportar grandes cambios en los parmetros del sistema antes de que se convierta inestable en lazo cerrado.Para el anterior sistema:

El margen de fase es la diferencia en fase entre la curva de fase y -180 grados para un punto correspondiente a una frecuencia que da una ganancia de 0 dB (cruce de la curva de magnitud con 0 dB) El margen de ganancia es la diferencia entre la curva de magnitud y 0 dB en un punto correspondiente a una frecuencia que da una fase de -180 grados (cruce entre la curva de fase y -180)El comando para encontrar los mrgenes es:

>> margin(G)

Ejercicio 4.DISEO DE UN CONTROLADOR CON MATLAB BASADO EN EL LUGAR DE LAS RAICESEn el presente ejercicio se quiere mostrar como MATLAB puede ser empleado para disear un controlador utilizando la tcnica de lugar de races.Considere el sistema de control de lazo cerrado que se muestra en la figura 1. Disear un controlador tal que el sistema de lazo cerrado tiene error de rgimen permanente igual a cero para una entrada en escaln con un funcionamiento dinmico razonable. El error de velocidad constante debe ser al menos 5.

Figura 1: Sistema de control discreto

El script en MATLAB para es como sigue.

Figura 2: Lugar de races del sistema no compensadoEl lugar de races del sistema no compensado (sin controlador) se muestra en la figura 2 para el cual, el commando MATLAB es: >> rlocus(GhGp)

Figura 3: Mapa de polos para el sistema no compensadoEl mapa de polos y ceros del sistema no compensado se muestra en la figura 3, el cual puede ser generado utilizando el comando MATLAB: >> pzplot(GhGp) Uno de los criterios de diseo es que el sistema de lazo cerrado debe tener un error de estado estacionario igual a cero para una entrada en escaln unitario. Luego se requiere de un controlador PI el cual tiene la siguiente funcin de transferencia en el dominio de la variable z.

El parmetro Ki puede ser diseado utilizando el requerimiento de error de velocidad constante.

La condicin de arriba ser satisfecha si Ki 1. Tomemos Ki = 1. Con Ki = 1 , la ecuacin caracterstica ser:

O bien, Ahora podemos plotear el lugar de races del sistema compensado con Kp como un parmetro variable. El script en MATLAB para el grfico del lugar de raices es como sigue: >> z=tf('z',0.1); >> Gcomp=0.04528*(z-1)*(z+0.9048)/(z^3 - 2.724*z^2 + 2.469*z - 0.7367); >> zero(Gcomp); >> pole(Gcomp);>> rlocus(Gcomp) Los ceros del sistema son 1 y - 0.9048 y los polos del sistema son 1.0114 0.1663 i y 0.7013 respectivamente. El grfico de lugar de races se muestra en la figura 4.

Figura 4: Lugar de raices del sistema con controlador PIEst claro de la figura que el sistema es estable para un rango muy pequeo de Kp. La porcin estable del lugar de races es ampliada en la figura 5.

Figura 5: Lugar de raices del sistema con controlador PILa figura muestra que el rango estable de Kp es 0.239 < Kp < 6.31 . El sobrepico es 45.5% , para Kp = 1, el cual es muy alto para un sistema prctico. Para mejorar la estabilidad relativa, necesitamos introducir la accin derivativa D. Vamos a modificar el controlador al tipo PID cuya funcin de transferencia est dada por:

Para satisfacer un error de velocidad constant, Ki 1. Si asumimos 15% de sobrepico overshoot (correspondiente a ) y 2 s. de tiempo de establecimiento (correspondiente a ), los polos dominantes deseados pueden ser calculados como,

Luego los polos de lazo cerrado en el plano z sern:

El mapa de polos y ceros incluyendo los polos del controlador PID se muestran en la figura 6, donde la cruz roja denota los polos deseados.

Figura 6: Mapa de polos y ceros incluyendo polos del controlador PIDVamos a denotar las contribuciones de ngulo comenzando de cero hacia el polo que est ubicado ms a la derecha como 1, 2 , 3 , 4 y 5 respectivamente. Los ngulos pueden ser calculados como 1 = 9.5 , 2 = 20 , 3 = 99.9 , 4 = 115.7 y 5 = 129.4.

La contribucin neta es A = 9.5 - 20 - 99.9 - 115.7 - 129.4 = -355.5 . La deficiencia en ngulo es - 355.5 + 180 = - 175.5

Luego los dos ceros del controlador PID deben dar un angulo de 175.5. Vamos a colocar los dos ceros en la misma localizacin, zpid .

Puesto que el ngulo requerido por cero individual es 87.75, podemos fcilmente decir que los ceros deben residir en la izquierda de los polos de lazo cerrado.

El controlador es :

El lugar de races del sistema compensado (con controlador PID) se muestra en la figura 7. Esta figura muestra que el polo de lazo cerrado deseado corresponde a K = 4.33.

Figure 7: Root locus of compensated systemPor lo tanto el controlador requerido es:

Si comparamos la funcin de transferencia de arriba con la de un controlador PID en general, entonces podemos decir que, Kp y Kd pueden ser calculados como sigue:

Notese que Ki satisfice la restriccin de que Ki 1.

PREGUNTAS.

1) Realice un resumen y breve descripcin de las funciones principales empleadas en el presente laboratorio.2) Como se puede determinar el lmite de un compensador constante, empleando el diagrama de lugar de races?3) En pocas palabras seale para que se emplea un grfico de lugar de races.4) Halle la respuesta en frecuencia o diagrama de bode para el ejercicio 4.5) En pocas palabras seale para que se emplea un grfico de bode.