la resoluciÓn de problemas para el aprendizaje
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LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS PARA EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE
LAS MATEMÁTICAS
Caty María Henao Batista1
Edgardo Enrique Simancas Barrera2
Introducción
El presente artículo, tiene como propósito identificar y analizar las teorías
concernientes a la resolución de problemas y su relación con el aprendizaje
significativo en la enseñanza de las matemáticas, para ello se procede a realizar
un rastreo bibliográfico en diferentes fuentes de información, unas de naturaleza
investigativa, como tesis de maestría o de doctorado y artículos científicos; las
otras fuentes son más de naturaleza teórica en donde se presentan los aportes
conceptuales desarrollados por diferentes autores en materia de resolución de
problemas y aprendizaje significativo de las matemáticas; dicho rastreo se
organiza en fichas de lectura y en una matriz categorial , lo que permite identificar
el tipo de documento, el campo de aplicación, el problema y la perspectiva
disciplinar e investigativa de cada uno de los autores consultados.
Dentro de los hallazgos, se evidencia que la categoría emergente se
relaciona con la resolución de problemas como estrategia didáctica para lograr el
aprendizaje significativo en las matemáticas. Por otro lado, los autores más
citados en los documentos revisados son George Polya y Alan Schoenfeld por
resolución de problemas y Ausubel por aprendizaje significativo.
La resolución de problemas pone en evidencia el nivel de razonamiento
matemático y la creatividad de los estudiantes, es una parte importante dentro de
las matemáticas y la educación matemática. Además, mediante la resolución de
problemas el alumno logra adquirir aprendizajes significativos, indagando
diferentes contenidos matemáticos estableciendo relaciones entre los conceptos
1 Caty Henao: Licenciada en matemáticas y computación- Especialista en lúdica educativa.
2 Edgardo Simancas: Licenciado en matemáticas y física- Especialista en planeación educativa y
planes de desarrollo.
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matemáticos y sus representaciones y aplicaciones. De ahí que López (2014),
afirme que “el aprendizaje basado en problemas adoptado como elemento
pedagógico central, brinda al docente estrategias didáctico-pedagógicas
pertinentes, para que el estudiante logre construir su propio conocimiento” (p.61).
Se realizó un estudio documental que consistió en revisar bibliografía
relacionada con diversas investigaciones de tipo cualitativo, seleccionando un
número determinado de artículos, agrupándolos por el sentido de sus resultados y
discusión, según las características metodológicas de cada estudio para luego
proceder a describir sus conclusiones (Day, 2005). De igual forma, dentro de la
presente investigación se tomó en consideración el examen descriptivo referido al
artículo de revisión según Icart y Canela (1994), citado por Merino (2011), quienes
proporcionan diversos conceptos útiles en áreas específicas como la educación y
dan a conocer las etapas a considerar en el proceso de elaboración de dicho
artículo.
El trabajo presenta una estructura caracterizada por los antecedentes que
guardan relación con el problema, resolución de problema y aprendizaje
significativo. Adicionalmente, se describe la fundamentación teórica que señala las
conceptualizaciones de las matemáticas, problema, resolución de problemas, el
estado referencia de la resolución de problemas en Colombia, aprendizaje
significativo según la posición de los autores Ausbel, Novak , Hanesian (2002) y
Díaz (2002), aprendizaje significativo de las matemáticas, resolución de problemas
y aprendizaje significativo. Seguidamente, se muestran las conclusiones que
devienen de la revisión de los artículos analizados y las referencias bibliográficas.
Método
La presente revisión y exposición está enmarcada dentro de un enfoque
cualitativo, tomando en consideración las diversas fuentes bibliográficas, se
seleccionó un número específico de artículos científicos, tesis y libros, los cuales
se agruparon por el sentido de sus resultados y discusión y según las
características metodológicas de cada estudio.
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En cuanto a las etapas de la revisión descriptiva del artículo, se definieron
los objetivos de la revisión, luego se realizó una búsqueda bibliográfica, con
prioridad en el análisis de la variabilidad, fiabilidad y validez de los artículos; se
consideró pertinente el título, autores, resumen y resultados de cada artículo
revisado; de igual manera se tuvo en cuenta la experiencia en el tema, se analizó
si el resumen y los resultados se aplican al tema objeto de estudio, para luego
proceder a la lectura crítica de dichos documentos citados por Abad, et al (2003);
se consultaron bases de datos y fuentes documentales; se estableció la estrategia
de búsqueda, especificando los criterios de selección de documentos,
organización de la información para proceder a la redacción.
Desarrollo y discusión
Antecedentes
A continuación, se examinan los diferentes estudios que guardan relación
con las categorías problema, resolución de problema y aprendizaje significativo.
Ramírez y Pérez (2011) realizaron una investigación para analizar los
fundamentos teóricos y metodológicos tanto, de la resolución de problemas
matemáticos como de las estrategias para su enseñanza. El estudio se enmarca
dentro de la investigación documental, tuvo como referencias fuentes
bibliográficas y hemerográficas, basado en un análisis cualitativo, con el propósito
de identificar los aportes de los diversos autores que han propuestos diferentes
investigaciones en el área.
Los resultados del estudio demuestran que la enseñanza de la resolución
de problemas matemáticos tienen una gran importancia, por cuanto que todas
ellas han sido planteadas como producto de investigación y estudios de diferentes
autores y expertos en el área, lo que ha llevado a plantear métodos posibles de
resolución de problemas, con el uso de estrategias y técnicas, algunas más
generales y otras más específicas, que proporcionan diversos aportes, que
pueden ser usadas en la práctica docente diaria. De manera que, es de gran valor
que los docentes conozcan la representación de un problema, sus características,
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etapas de resolución, así como las estrategias para su enseñanza, con
enunciados creativos y originales, para que los estudiantes mezclen sus esfuerzos
cognoscitivo en la resolución de los problemas, que las mismas contribuyan en la
formación y actualización del docente en el área.
Nortes y Nortes (2011) propusieron una investigación para hacer una
revisión de los libros de texto y la resolución de problemas en la enseñanza-
aprendizaje de las matemáticas desde 1955 hasta el año 2011 y en especial del
tercer ciclo de Primaria, porque los alumnos entre 11 y 12 años se encuentran en
el paso de las operaciones concretas a las formales y analizan estrategias de
resolución de problemas.
Los resultados del estudio comprueban que los futuros maestros deben
conocer las diversas estrategias de resolución para poder comunicárselas a sus
alumnos, debido a que los estudiantes de primaria no tienen asumidas en su
totalidad dichas estrategias y en ocasiones las aplican pero cometen errores
importantes. Por tal razón, no se debe olvidar que con el bagaje de contenidos
matemáticos se logra producir lagunas de conocimientos necesarios; es pertinente
que matemáticos, educadores y profesores puedan trabajar de forma conjunta en
el diseño de planes y programas, que reflejen la significancia de aprender
matemáticas y a su vez se pueda evaluar el desarrollo de los diversos programas
para que estén acordes con las metas propuestas.
Romero (2012) propuso conocer la relación que existe entre la comprensión
lectora y la resolución de problemas matemáticos de los alumnos del segundo
grado de primaria en las instituciones educativas públicas del distrito Ventanilla –
Callao, el tipo de investigación utilizada fue la no experimental, con una población
escolar del segundo grado constituida por 384 estudiantes de instituciones
educativas públicas del distrito de Ventanilla–Callao, provenientes de familias
disfuncionales y de una condición económica baja.
Los resultados muestran que sí existe relación positiva y significativa, a
mayor comprensión lectora mejores resultados en la resolución de problemas
matemáticos, encontrándose “una correlación significativa entre la comprensión
lectora y la resolución de problemas matemáticos, siendo la primera variable
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básica para que los niños comprendan el enunciado de un problema matemático”
(p.62). Además, “existe relación entre la variable comprensión lectora y la
dimensión Resolución de problemas de adición en los estudiantes del segundo
grado de primaria pertenecientes a instituciones educativas del distrito Ventanilla
– Callao, existe relación aunque significativa moderada entre la variable
Comprensión lectora y la dimensión Resolución de problemas de sustracción en
los estudiantes del segundo grado de primaria” (p.62), también existe relación
significativa entre la variable Comprensión lectora y la dimensión Resolución de
problemas, sobre todo en los que incluyan interpretación de gráficos..
Iriarte (2011) propuso implementar estrategias didácticas con enfoque
metacognitivo en el desarrollo de la habilidad de resolución en problemas
matemáticos para estudiantes de básica primaria. El diseño metodológico utilizado
fue cuasi-experimental con una muestra de 135 estudiantes, con cuatro grupos; la
intervención se realizó en cuatro fases, poniendo en práctica la instrucción directa,
el modelado metacognitivo, la práctica guiada y el aprendizaje cooperativo.
Los resultados demuestran la existencia de comparaciones intragrupos e
intergrupos, lográndose establecer diferencias estadísticas significativas, que
corroboraron la efectividad de las estrategias aplicadas. Asimismo, las
conclusiones del estudio muestran que la preparación de los docentes en la
aplicación en estrategias didácticas con enfoque metacognitivo, contribuye al
desarrollo de competencias metacognitivas en el aula, lo cual se constituye en
una actividad integral que requiere de la formación de modos de actuación,
métodos de solución y procedimientos específicos, que incluyen conocimientos
tanto cognitivos como metacognitivos; caracterizada por la toma de conciencia
mental de las estrategias necesarias utilizadas al resolver un problema, para
planear, monitorear, regular o controlar el proceso mental de sí mismo. Por ello, el
conocimiento y uso adecuado de estrategias de solución de problemas deben
estar articulados con las estrategias cognitivas y metacognitivas y el contexto,
permitiendo que el estudiante desarrolle la competencia de resolver problemas
desde la matematización de sus realidades.
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Acuña et al., (2012) a través de su estudio estrategias de resolución de
problemas en el subsector de aprendizaje, demuestran que los principales actores
para lograr aprendizajes en la resolución de problemas son los docentes de aula,
quienes deben estar capacitados y tener conocimiento del ámbito disciplinar en su
totalidad para ejecutar las clases, mientras el docente no se perfeccione o
capacite en nuevas estrategias del ámbito matemático y no tenga conocimiento de
la matriz curricular nacional del sector de educación matemática, difícilmente se
podrán obtener avances en los resultados obtenidos en la resolución de
problemas y seguiremos parcelando conceptos y no desarrollaremos las
capacidades de razonamientos en los estudiantes.
Si bien es cierto, que la actualización pedagógica y disciplinaria del
maestro es importante para crear espacios más dinámicos de aprendizaje,
también prevalece la actitud del docente frente a los cambios que se han dado en
el proceso de enseñanza y aprendizaje, que le permitan renovar y contextualizar
su práctica pedagógica; si éste no los asume y por el contario sigue inmerso en
su zona de confort, de nada habrá servido dicha capacitación.
Por lo anterior, el aula se convierte en un espacio de interacción donde se
construye aprendizaje e intercambian ideas y conceptos, es por eso que un
docente de aula debe saber estructurar los componentes curriculares a modo de
abordar todo el marco curricular nacional para desarrollar las habilidades
correspondientes al nivel del niño, además debe implementar sus clases con una
variada gama de recursos didácticos, donde el alumno pueda usar y manipular
estos para que afiance sus aprendizajes, logrando aprendizajes colaborativos y
significativos.
Problema
El análisis de los diferentes documentos consultados nos muestra que para
hablar de resolución de problemas, se hace necesario explicitar lo que se entiende
por problema, en este apartado se presentan diferentes conceptualizaciones de lo
que es un problema ya sea de manera general o en el campo de las matemáticas
y su enseñanza, según Schoenfeld (1992), citado por Bueno (2012), “el problema
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es entendido como una herramienta para pensar matemáticamente, ello requiere
de la creación de ambientes de resolución de problemas en el aula” (p.10). De
igual manera, Schoenfeld (1985) establece que un problema no es una propiedad
inherente a una tarea matemática, más bien es una relación particular entre el
individuo y la tarea lo que hace que la tarea sea un problema para esa persona, la
cual es difícil para el individuo que está tratando de resolverla.
De acuerdo a lo expuesto por Mason et al., (1982), citados por Gómez
(2009) el pensar matemáticamente implica la reflexión y sistematización del
proceso que hace cada individuo en el momento de solucionar un problema en el
aula. El “pensar matemáticamente” y cómo ayudar al estudiante a pensar de esa
forma son los puntos de partida para Schoenfeld (1985) a la hora de resolver una
situación problema. Charnay (1994) citado por Boscán y Klever (2012), “dice que
un problema puede verse como una terna situación alumno-aula; es decir, el
problema se da solo si el alumno percibe una dificultad” (p.11), si el estudiante
encuentra la solución sin ningún inconveniente entonces no hay problema.
Existen diferentes concepciones sobre lo que es un problema, según
Schoenfeld (1985) un problema es un escenario que obliga a una solución para la
toma de decisiones que admitan acercarse más a la solución que se requiere.
Para Chi y Glaser (1986), citados por (Gros, (1990)) definen “un problema como
una situación en la que se intenta alcanzar un objetivo y se hace necesario
encontrar un medio para conseguirlo” (p. 416), cualquier situación en donde se
plantee un propósito o se definan metas a corto o largo plazo y las estrategias
para conseguir ese propósito o metas trae inmerso un problema.
En esta misma línea, Blanco et. al., (2015) definen un problema como la
relación que existe entre la tarea propuesta y la persona que trata de resolverla.
Por lo tanto, un problema se puede considerar como una tarea que presenta cierto
grado de dificultad para quien trata de darle solución.
Un problema para Villella (1998), citado por Astola, Salvador y Vera (2012)
es toda situación enfrentada por un estudiante que posee capacidades que le
permitan asimilarla y entenderla, que lo conllevará a ejecutar un plan de acción en
busca de la respuesta adecuada. Además, García (1994) sostiene que es
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importante que se considere el hecho de que un problema sólo conducirá a la
exploración de posibles soluciones, ya que un estudiante actúa sobre las ideas
que se le plantean, definiendo el problema y luego “verá los efectos de sus
actividades, podrá representarse el problema cuando, analizando las posibilidades
de error, función del objetivo del problema y vías para aclararlo” (p. 135).
Polya (1962), citado por Ayllón (2012) considera que “se encuentra frente a
un problema cuando se ha de buscar, mediante una acción adecuada, un objetivo
que no es inmediatamente alcanzable” (p. 27). Para alcanzar ese objetivo, Polya
(1989) asegura que se requiere de un problema auxiliar, el cual es un problema
que atendemos no por su “propio interés, sino porque esperamos que su estudio
nos ayude a resolver otro problema, el original. El problema original es un fin que
queremos alcanzar, el problema auxiliar es un medio por el cual tratamos de
alcanzarlo” (p.153). De ahí, que comúnmente el estudiante al solucionar un
problema tienda a recurrir a otro parecido que le puede servir de guía. Por su parte
Acuña (2010), define un problema como una situación a la que se enfrenta el
estudiante en la cual no se identifica un camino aparente u obvio que conduzca
hacia su solución.
De acuerdo con los planteamientos anteriores, se pueden identificar dos
subcategorías concernientes a la concepción de problema. Problemas en
contextos diversos y problemas en el contexto de la matemática y su enseñanza.
Se considera pertinente enfocar la importancia del problema dentro del currículo
escolar y la forma de direccionar los aprendizajes del área a la solución de
situaciones contextualizadas, lo cual permite en el estudiante el desarrollo de
competencias articuladas con la resolución de problemas. De igual forma, un
problema puede ser tomado como herramienta o estrategia para desarrollar las
habilidades de pensamiento, mantener la atención y la creatividad dentro de los
ambientes de aprendizajes y a su vez evitar las interferencias del aprendizaje
encontradas en el aula, en donde la intervención pedagógica del docente se
revertirá en aprendizaje significativo, por consiguiente, los alumnos serán capaces
de afrontar dificultades y resolverlas por sí mismos, sin detenerse solo en los
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aspectos intelectuales de los problemas, integrando conocimientos adquiridos en
todo su bagaje curricular y resolviéndolos de forma práctica.
Por tanto, resolver un problema consiste en el proceso de ataque, en el
abordaje del mismo por parte del sujeto. Aun cuando el sujeto resolvente no
disponga de la idea de solución, se entenderá que, si se encuentra enfocado en
hallar una respuesta, se encuentra resolviendo el problema. Cruz (2006)
“considera un problema como una situación que requiere una parada en el curso
de la vida de una persona y que es importante para la existencia de esa persona”
(p. 70).
Resolución de problemas
A continuación, se expondrá diferentes acepciones que guardan relación
con la resolución de problemas en la enseñanza de las matemáticas, la
enseñanza desde esta perspectiva intenta ubicarse en acciones direccionadas a
situaciones problemáticas que requieran resolución de los mismos en el aula, y a
su vez que los estudiantes puedan analizar, descubrir, elaborar hipótesis,
confrontar, reflexionar, argumentar y comunicar ideas.
Sepúlveda et. al., Medina y Sepúlveda (2009) afirman que a nivel educativo
los estudiantes no le encuentran aplicabilidad a la resolución de los problemas de
las matemáticas en las diversas situaciones de la escuela, ya que en el aula la
acción pedagógica se centra en la memorización de conceptos, al igual que en el
desarrollo de algoritmos y fórmulas, más que en analizar, interpretar, comprender
y predecir la solución a una situación problema contextualizada, que a su vez
permitirá que los estudiantes desarrollen las competencias en el área y
establezcan la relación con sus saberes previos. Por su parte, Cárdenas y Blanco
(2013) afirman que muchas veces la enseñanza para la resolución de problemas
se considera de manera tradicional, debido a que se toma como aplicación de la
teoría, previamente estudiada, lo que se evidencia en los textos al situar los
problemas al final de los capítulos o después del preámbulo de algún concepto o
algoritmo.
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Respecto al proceso de resolución de problemas, Polya (1989) plantea
cuatro pasos para dar solución a los problemas, basado en la comprensión del
problema, los cuales se muestran en la tabla 1.
Tabla 1. Proceso de resolución de problemas
Determinar ¿Cuál es la incógnita?, ¿Cuáles son los datos?, ¿Cuál es la condición?, ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita?, ¿Es insuficiente?, ¿Es redundante?, y ¿Es contradictoria?
Definiciones ¿Se ha encontrado con un problema semejante?, ¿Ha visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente?, ¿Conoce un problema relacionado?,¿Conoce algún teorema que le pueda ser útil?, ¿Podría enunciar el problema en otra forma?, ¿Podría plantearlo en forma diferente nuevamente?
Discusiones ¿Puede ver claramente que el paso es correcto? y ¿Puede demostrarlo?
Verificación ¿Puede verificar el resultado?, ¿Puede verificar el razonamiento?, ¿Puede obtener el resultado en forma diferente?, ¿Puede verlo de golpe? y ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?
Fuente: Tomado de Polya, G. (1989). Cómo plantear y resolver problemas.
Mexico: Trillas.
Lo expuesto por Polya (1989) demuestra que el estudiante para resolver
problemas debe inicialmente plantearse inquietudes en forma de preguntas,
basadas en la información presentada, de igual manera enfocar las preguntas
hacia la búsqueda de problemas similares que guarden relación con los temas
propuestos y el uso que se le dé a dichas preguntas y se habrá un abanico de
posibilidades, que permitan el análisis y la interpretación de la situación problema.
Se puede apreciar que en la propuesta de Polya para la resolución de
problemas, al inicio se logra determinar el momento donde el estudiante debe
entender el problema y el docente pueda asegurar que él mismo comprenda el
enunciado verbal y formular preguntas del problema; se define el plan según los
cálculos que determine la incógnita para que pueda comprender el problema y
concebir un plan de resolución; seguidamente se efectúan las discusiones donde
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el estudiante deberá aplicar sus conocimientos, habilidades de pensamiento y
concentración sobre el problema que debe resolver, y finalmente, se verifica la
solución obtenida con visión retrospectiva donde el estudiante reexamina el
problema para darle solución, permitiendo al docente aprovechar su comprensión
de la solución a la que llegó contrastando la solución resuelta con otras que
requirieron un razonamiento similar.
Según Schoenfeld “el reto en la enseñanza de las matemáticas puede
generar diversas circunstancias de aprendizaje para que los estudiantes logren
reflejar los valores que tienen relación con el desarrollo de la disciplina,
promoviendo dentro de cada aula de clase actividades y hábitos sólidos” (1992, p.
345).
En cuanto a resolución de problemas, Santos (1992) proyecta diversos
aportes que Schoenfeld plantea, como:
(a) Resolver problemas nuevos… en la clase con la finalidad de mostrar a los estudiantes las decisiones tomadas durante el proceso de resolver problemas; (b) mostrar vídeos de otros estudiantes resolviendo problemas a las clases. Esto con la finalidad de discutir las destrezas y debilidades mostradas por los estudiantes en el proceso de resolver problemas; (c) actuar como moderador mientras los estudiantes discuten problemas en la clase...; (d) dividir la clase en pequeños grupos los cuales discuten problemas matemáticos. El papel del coordinador es elaborar preguntas que ayuden a los estudiantes a reflexionar en los que están haciendo (p. 22).
Se puede observar como la enseñanza de las matemáticas a través de la
resolución de problemas procura no quedarse en disquisiciones de corte
absolutista, manteniendo un profundo espíritu crítico. La resolución de un
problema para Leal y Bong (2015) consiste en un acto de conocimiento en
contraste con otras actividades como la motivación, percepción, operaciones
sensoriomotoras y operaciones concretas que son indispensables para que el
estudiante se enfrente a la resolución de los mismos. Por tal razón el aprendizaje
de las matemáticas por medio de la resolución de problemas son fundamentales
para el desarrollo de la capacidad intelectual y de razonamiento, además del
pensamiento crítico del individuo, debido a que le enseñan a pensar en forma
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lógica y a desarrollar habilidades propias de la resolución de problemas y la toma
de decisiones. Con las matemáticas se pueden explicar y predecir diversas
situaciones de la naturaleza, lo económico, lo social y en cualquier otro ámbito del
conocimiento, puesto que están presentes en cada una de las actividades
cotidianas del hombre (Ramírez y Pérez, 2011). De acuerdo con este
pensamiento, se puede inferir que para que una persona se desarrolle en
cualquier ámbito de su vida, es necesaria la existencia de obstáculos que le
permitirán reflexionar sobre sus actuaciones y escoger la ruta adecuada para
vencerlos. Así lo ratifica Rodríguez (2012) cuando dice:
Bajo una pedagogía tradicional, se sigue la enseñanza de la matemática en un proceso cerrado de algoritmos matemáticos estrictos de definiciones, reglas, teoremas, ejemplos y ejercicios que dejan fuera la cotidianidad del discente, su afectividad, los estilos y ambientes de aprendizaje, entre otras subjetividades del individuo que intenten romper con la relación epistemología sujeto objeto impuesta en el aula, que castra la creatividad del estudiante y lo predispone al estudio de dicha ciencia formal.(p.55).
Se evidencia que la implementación de recursos pedagógicos dentro del
aula de clases logra generar en el alumno ventajas que le permiten captar su
atención, generar el deseo de participaren las diversas actividades que se
desarrollan. Por tal razón, los alumnos dentro del salón de clase pueden utilizar su
creatividad como función educativa provocando en ellos efectos positivos, donde
se pueden divertir y aprender generando aprendizaje significativo los cuales
podrán recordar con el paso del tiempo. Asimismo, el docente cumple su función
como mediador de dichos aprendizajes, manejando factores que logran influir en
el desarrollo de las actividades pautadas, metodología a utilizar y dominio de
grupo para alcanzar los objetivos planteados.
El papel de la Resolución de problemas en el aprendizaje en Colombia
Desde el ámbito colombiano, la enseñanza tradicional de las matemáticas
se ha orientado a la mecanización de algoritmos y a la realización de ejercicios de
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aplicación de los mismos en “problemas rutinarios”, lo cual es ratificado por el
MEN (1998) cuando afirma:
Tradicionalmente los alumnos aprenden matemáticas formales y abstractas, descontextualizadas, y luego aplican sus conocimientos a la resolución de problemas presentados en un contexto. Con frecuencia estos problemas de aplicación se dejan para el final de una unidad o para el final del programa, razón por la cual se suelen omitir por falta de tiempo. (p.23) Encontramos que cuando los estudiantes se enfrentan a situaciones
problemas sus desempeños no son los mejores lo que se puede evidenciar en las
pruebas saber 11-2017 donde se demuestra que los estudiantes presentan
dificultades en la solución de problemas; el 48% no valida procedimientos y
estrategias matemáticas utilizadas para dar solución a problemas y el 54% no
plantea, ni implementa estrategias que lleven a soluciones adecuadas frente a un
problema que involucre información cuantitativa. En el análisis del 2016 se
mantiene la misma constante (ICFES, 2017).
El Ministerio de Educación Nacional intenta desarrollar políticas educativas
que conlleven al fortalecimiento y estructuración de las competencias básicas de
aprendizaje en diferentes áreas del conocimiento, entre ellas las matemáticas.
Desde los Lineamientos Curriculares, el MEN (1998) ha propuesto dentro de los
procesos generales del pensamiento matemático, la resolución y planteamiento
de problemas matemáticos, orientado por los planteamientos de George Polya
(1969) y Alan Schoenfeld (1992). Atendiendo la concepción de competencias, el
MEN incorpora una visión pragmática e instrumental del conocimiento matemático,
donde se utilizan conceptos, proposiciones, sistemas y estructuras matemáticas
como instrumentos fuertes para que se generen nuevos conocimientos y prácticas
con las matemáticas, atendiendo las situaciones problemas y los contextos en
donde estos tengan sentido. Para el Ministerio de Educación Nacional (1998),
citando a Polya (1945):
Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, encontrar la forma de salir de una dificultad,
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encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no es conseguible de forma inmediata, utilizando los medios adecuados. Describió las siguientes cuatro fases para resolver problemas entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás (p.52). Por el contrario, Schoenfeld (1985) consideró que aplicar pasos para
resolver un problema no era suficiente, también era necesario tener en cuenta
otros aspectos como el dominio del conocimiento, estrategias cognoscitivas,
estrategias metacognitivas y el sistema de creencias. La Tabla 2 describe la
comparación por parte de Polya y Schoenfeld en cuanto a la resolución de
problemas en la enseñanza de las matemáticas, ya que desde cualquier contexto
la estrategia más adecuada es la alineación de las dos propuestas descritas
anteriormente.
Tabla 2. Comparación por parte de Polya y Schoenfeld
Polya (1945) Un profesor de matemáticas puede dedicar tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, incrementando el interés para el desarrollo intelectual, ayudando a resolver por medio de preguntas estimulantes para despertar el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles recursos para ello.
Schoenfeld (1985) Relaciona el conjunto de creencias de aquellos profesores que entienden que el problema es una herramienta didáctica para favorecer el pensamiento matemático del alumno, ya que puede ser flexible, usar el conocimiento propio eficientemente, comprender y aceptar las reglas tácitas de juego.
Fuente: Tomado de Ramírez, R y Pérez, Y. (2011). Estrategias de enseñanza de
la resolución de problemas matemáticos. Fundamentos teóricos y metodológicos.
Revista de Investigación, 73(35), 169-193.
Las propuestas elaboradas por Polya y Schoenfeld tienen correspondencia
con los elementos que conforman las competencias de los docentes al momento
de resolver problemas matemáticos, los cuales establecen diversas relaciones con
los factores cognitivos que actúan, y que de una u otra forma, actúan sobre las
sapiencias y destrezas que constituyen dichas competencias. Además, que la
resolución de problemas matemáticos elude a la construcción de interacciones
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diarias que revierten las problemáticas sucesivas, afianzadas a los conocimientos
para resolver los problemas planteados.
Aprendizaje Significativo
La práctica docente desde el enfoque del aprendizaje significativo hace
énfasis en lo que ocurre en el aula cuando los estudiantes aprenden; en la
naturaleza de ese aprendizaje; en las condiciones como quiere que éste se
produzca; en los resultados y su debida evaluación, tomando como base la
naturaleza del mismo aprendizaje desde los planteamientos cognitivos y
cognoscitivos. Novak (1988), citado por Guzmán (2014), nos habla de la
naturaleza, alcances y función del aprendizaje significativo que funge en el aula
como aprendizaje escolar con sentido, que permite la recepción, retención,
descubrimiento e influencia de los factores cognoscitivos, afectivos y sociales para
la adquisición de conocimientos. De manera que, la teoría de aprendizaje aborda
todos los elementos, factores, condiciones y tipos, garantizando la adquisición,
asimilación y retención del contenido que la escuela ofrece al alumnado para la
adquisición de un significado para él mismo (Álvarez, 2011).
La Teoría del Aprendizaje Significativo como teoría cognitiva, se trata de
una teoría psicológica constituida por un enfoque del individuo, que se centra en el
aprendizaje generado en el contexto escolar, es el propio individuo-organismo el
que genera y construye su aprendizaje. Además, la Teoría del Aprendizaje
Significativo tiene un interés para conocer y explicar las condiciones y propiedades
del aprendizaje relacionadas con las diversas formas efectivas y eficaces que
provocan cambios cognitivos estables y significado social (Álvarez et. al., 2008).
Por otra parte, Díaz y Hernández (2002) afirman que Ausubel quiere conseguir
que los aprendizajes producidos dentro de la escuela sean significativos,
entendiendo que una teoría del aprendizaje escolar debe ocuparse del carácter
complejo y significativo del aprendizaje verbal y simbólico con el propósito de
lograr resultados significativos.
El aprendizaje significativo, según Rodríguez(2004) es definido por la teoría
ausubeliana como una etiqueta que se encuentra presente en el diálogo de
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docentes, diseñadores del currículum e investigadores en educación, es
considerado como el proceso que se relaciona con un nuevo conocimiento dentro
de la estrategia cognitiva. En este sentido, la presencia de ideas, conceptos o
proposiciones inclusivas, claras y disponibles en la mente del estudiante tiene su
significado en los nuevos contenidos que adquieren significado para el sujeto
resultando ser más diferenciados, elaborados y estables. Por tanto, es el resultado
de la interacción entre un caso particular que es sometido por un principio o norma
general que están claros, estables y relevantes presentes dentro de la estrategia
cognitiva, por lo que se enriquecen y son modificados por nuevas ideas más
potentes y explicativas que tendrán su soporte en los futuros aprendizajes
(Gonzaga, 2005).
Según la teoría propuesta por Ausubel (1973) citado por Rodríguez, et al.,
(2008), para que se produzca un aprendizaje significativo han de darse dos
condiciones fundamentales, la primera es la actitud potencialmente significativa de
aprendizaje por parte del aprendiz que genera una predisposición de aprender de
manera significativa, y la segunda es la presentación de un material
potencialmente significativo, esto último requiere que el material tenga significado
lógico en base a la estrategia cognitiva del que aprende y además que exista un
anclaje de ideas adecuadas permitiendo al niño la interacción con el material
nuevo que se presenta, es decir que el nuevo material se relacione de manera
significativa con las estructuras conceptuales que ya tiene quien aprende. Por ello,
Pifarré y Sanuy (2001) sostienen que el aprendizaje significativo se puede
representar a través de conceptos, utilizando la jerarquización de los mismos, para
que el aprendizaje significativo logre estar subordinado, superordenado o
combinado.
Por lo planteado anteriormente, se requiere que las escuelas brinden
conocimientos y comprensión, con una visión abierta, eficiente y reflexiva para la
construcción de un aprendizaje significativo y productivo para los estudiantes. Se
necesita una escuela inteligente que esté lista para el cambio, para la mejora de
los docentes, directores, padres y comunidad escolar en aras de un cambio
educativo, social y cultural, que promueva diversos procesos participativos bajo
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una visión humanista, con objetivos concretos, adaptada a las exigencias del
medio y que los estudiantes logren formarse integralmente construyendo
aprendizajes con sentido para la comprensión y transformación del medio en el
que viven.
Aprendizaje Significativo de las Matemáticas
El aprendizaje significativo de las matemáticas según Andonegui (2004) se
considera como un desarrollo permanente, con variaciones que pueden dar lugar
a retrasos o aceleraciones que logran formar diversas estructuras mentales
dependientes de la experiencia directa del ser lógico o no, ya que el ser humano
en su diario vivir tiene su actuación de forma adecuada, se autocorrige, goza de su
propio estilo de razonamiento y pensar, vinculando a su propia satisfacción. Por
tanto, el estudiante investiga, relaciona, comprueba y descubre diferentes
aspectos objetos, situaciones, sujetos y conceptos entre otros, son capaces de
analizar y desarrollar operaciones lógicas para lograr alcanzar una independencia
y autonomía del pensamiento.
Por su parte, las aportaciones expuestas por Leal y Bong (2015)
demuestran que el aprendizaje activo de las matemáticas en los estudiantes se
basa en la experiencia y la reflexión personal apoyada en la práctica para el logro
de habilidades y destrezas, ya que el pensamiento establece las relaciones entre
objetos, sujetos, situaciones y propiedades, permitiendo elaborar ideas, juicios y
conceptos a través del razonamiento para la resolución de problemas,
combinando percepción y manipulación en este proceso cognoscitivo. González
(2000) afirma que el aprendizaje significativo de las matemáticas tiene su
implicación en la actividad global del sistema cognitivo, elementos tales como: la
memoria, comprensión, concentración y atención, poseen características que lo
diferencian de otros procesos, en el aprendizaje significativo se necesita la
presencia de los objetos que facilitan la resolución de problemas mediante el
razonamiento. Se vincula con argumentos, conceptos abstractos e interviene el
pensamiento inductivo-deductivo, guardando relación con patrones lógicos,
18
diversos enunciados, inferencias, agrupaciones, cálculo, juicios lógicos y se
establecen relaciones entre los diferentes conceptos.
Se destaca la labor del docente en el proceso de adecuación al ambiente
en el cual se educa al estudiante, la presentación, demostración de los diversos
conceptos en clase, las operaciones mentales como resultado de la actividad y
experiencia del niño para la comprensión de la realidad que lo circunda. Por ello,
Lovell (1986) señala que para los docentes enseñar el número, longitud o el
tiempo deben adecuar el ambiente donde se imparte la enseñanza. A
continuación, se describe algunos ejes para la iniciación del aprendizaje
significativo de las matemáticas, estipulados por el MEN (1998) en los
lineamientos curriculares del área.
Adquisición de un Concepto.
En este componente se dan los diversos procesos psíquicos del estudiante
como la abstracción y generalización, los cuales definen la generalización de
datos que guardan relación con los estímulos específicos, la labor del docente
está enfocado en brindar experiencias significativas permitiendo la abstracción de
información como representación base de los conceptos (Coronel y Curotto,
2008). En este sentido, todo este pensamiento surge de las diferentes acciones y
conceptos matemáticos que lleva a cabo el alumno en cuanto a la construcción de
sus propios objetos para la promoción de sus acciones y provecho de su
aprendizaje.
Clasificación.
La clasificación para Alonso y Martínez (2003) es una operación lógica
comprendida por relaciones mentales de los alumnos cuyo fin es la semejanza y
definición de la pertenencia del objeto dentro de la clase, por tanto es una noción
matemática básica donde el alumno irá formando de acuerdo a lo que vaya
aprendiendo. El alumno aprende a distinguir las formas de los objetos, las
compara, encuentra semejanzas, diferencias, reconoce los tamaños, superficies
de figuras.
19
Lo anterior, implica la utilización de material concreto en el desarrollo de
nuestra práctica pedagógica, lo cual le permitirá al estudiante hacer la transición
de lo abstracto a lo concreto, de lo general a lo particular, al adquirir un nuevo
concepto y que a su vez haga la relación con el contexto en que se desenvuelve.
Seriación.
Para Ballester (2002) la seriación establece un orden jerárquico en que los
alumnos logran identificar los ejercicios, consolidando el concepto de número;
realizan conteos de manera mecánica sin identificar la cantidad de elementos que
la integran, por lo que se ven apoyados en el conteo oral para obtener resultado.
Identificación de atributos.
La identificación de atributos para Sánchez (2006) está concebida por el
reconocimiento del color, tamaño y forma de los elementos, describiendo cada
objeto observado, mediante los sentidos y habilidades de cada estudiante, las
variaciones de acuerdo al tamaño y forma de los objetos y su posterior
reconocimiento de los diversos atributos y descripción de su configuración.
El Número
Es la capacidad numérica que según Cruz (2006) disponen los estudiantes
de agrupar por semejanzas y ordenar por diferencias, además disponen de la
noción de contar, igualar, agrupar y comparar, bajo el proceso de comprensión
numérica que les permite comprender las diferentes operaciones matemáticas
para la transformación y combinan de los números.
Resolución de Problemas y Aprendizaje Significativo
La evolución histórica de la didáctica de las matemáticas tiene su
importancia en la resolución de problemas, debido a que la enseñanza de la
misma no puede rechazar los distintos elementos concernientes al cerebro
humano como soporte material. Cruz (2006) sostiene que la enseñanza de la
20
resolución de problemas requiere de la activación de las diferentes funciones
psíquicas superiores, donde el estudiante posee la facultad de resolver problemas
matemáticos en condiciones normales. Se debe promover el estudio de las
matemáticas escolares tomando como referencia la solución de problemas, ya que
la misma constituye el centro de la Matemática, aunque generalmente dentro de
sus prácticas pedagógicas los docentes trabajan con diversos ejercicios rutinarios,
mecánicos que discrepan la estimulación en los procesos cognoscitivo entre los
estudiantes (Ramírez y Perez, 2011).
En esta propuesta de la enseñanza de las matemáticas y la resolución de
problemas, Ramírez y Pérez (2011) afirman que el conocimiento en matemáticas
cobra sentido a través de la resolución de problemas, la resolución de problemas
matemáticos aplicada como una acción de pensamiento que estimula el esfuerzo
cognitivo de los educandos, que el alumno logre alcanzar suposiciones e
inferencias, permitiendo discutir sus conjeturas, argumentar y equivocarse. El
individuo según Juidias y Rodríguez (2007) se ve expuesto a una dificultad que
implica su solución, requiriendo la utilización de procedimientos previamente
conocidos, suponiendo una demanda cognitiva de alto nivel, para una
determinación de la información con relación a la resolución del problema.
También los alumnos desarrollan estrategias para dicha resolución, partiendo de
la Identificación y definición del problema, la planificación de la solución, la
ejecución del plan y su verificación, como lo propone Polya.
En este sentido, Vilanova y otros (2009) mantienen una discusión vinculada
a las afirmaciones de Polya con respecto a las estrategias de resolución de
problemas en matemática, mostrando que comprender el problema se hace a
través de interrogantes como ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles son las condiciones? ¿Es posible satisfacerlas? ¿Son suficientes para
determinar la incógnita, o no lo son? ¿Son irrelevantes, o contradictorias?, entre
otros; diseñar un plan ¿Se conoce un problema relacionado? ¿Se puede
replantear el problema? ¿Se puede convertir en un problema más simple? ¿Se
pueden introducir elementos auxiliares? y otros; ponerlo en práctica: aplicar el
21
plan, controlar cada paso, comprobar que son correctos, probar que son correctos,
entre otros y examinar la solución ¿Se puede chequear el resultado? ¿El
argumento? ¿Podría haberse resuelto de otra manera? ¿Se pueden usar el
resultado o el método para otros problemas?, y otros.
Lo anterior enfatiza que la educación matemática debería proveer a los
estudiantes de una concepción de la matemática, de un sentido de la disciplina en
cuanto a su alcance, de su poder, usos e historia, y de una aproximación al hacer
matemático en el nivel adecuado a sus posibilidades, ya que la enseñanza debería
ser encarada como una comprensión conceptual, que desarrolle en los
estudiantes la habilidad de aplicar los contenidos que han aprendido con
flexibilidad y criterio. Además, debería proveer a los alumnos estrategias
heurísticas con el fin de darles la oportunidad de explicar un amplio rango de
problemas y situaciones problemáticas, que vayan desde los ejercicios hasta los
problemas abiertos y situaciones de exploración, ayudando a desarrollar un punto
de vista matemático, como lo señala Schoenfeld (1992), que está caracterizado
por las habilidades de analizar y comprender, percibir estructuras y relaciones
estructurales, expresarse oralmente y por escrito con argumentos claros y
coherentes, y así preparar a los estudiantes para convertirse en aprendices
independientes, intérpretes y usuarios de la matemática (Vilanova et al., 2009).
El uso de estrategias heurísticas según Bacigalupi (2014), mejora la
actuación, las capacidades y habilidades de los alumnos a la hora de resolver un
problema. El desempeño de los alumnos en la realización de las tareas puede
mejorar según el tiempo de duración, por lo que si se aplicase durante más tiempo
se puede suponer que los resultados serían mucho mejores. Ramírez (2015)
manifiesta que los niños construyen estrategias propias de modelización directa y
conteo, e incluso estrategias inventadas basadas el uso de los hechos numéricos
y el conocimiento del valor posicional, por lo que estas últimas incluyen
características formales, pero son estrategias de cálculo propias de los niños. De
igual forma, las estrategias de modelización directa y conteo son construcciones
de los niños hechas a partir de ideas intuitivas, son estrategias propias que
22
implican una apropiación de conocimientos matemáticos, consideradas como
actividad mental para la comprensión en los estudios previos.
La Resolución de Problemas es una habilidad de pensamiento superior que
no todos desarrollan al mismo tiempo, con las mismas destrezas ni con el mismo
potencial; los ritmos de aprendizajes son muy particulares a cada estudiante, no
podemos homogenizarlos, hacerlo es desconocer la singularidad y diversidad de
los estudiantes. Otro aspecto a destacar tiene que ver con la comprensión lectora,
en ocasiones el estudiante tiene los conocimientos matemáticos suficientes para
resolver el problema, pero su problemas en compresión lectora, en hacer análisis,
inferencias e interpretaciones de la información arrojada por el problema provoca
unos pobres resultados en la solución (Manoli y Jaume, 2001).
Por su parte, García (2014) plantea que mediante la resolución de
problemas el estudiante logra adquirir destrezas, experiencias,
sapiencias, valores que guardan relación con la toma de decisiones. De igual
forma, la resolución de problemas proyecta la creación de nexos entre perfiles
externos e internos, ofreciendo diversas contribuciones hacia el estudiante para
adquirir un aprendizaje significativo y poder construir fundamentos didácticos de
las matemáticas.
De lo anteriormente expuesto se puede inferir que, a través de la resolución
de problemas se logra construir la información que conduce a los estudiantes a
mantener una interacción con la información, poder construir una representación
mental del problema, donde logra extraer conceptos textuales del mismo,
esquematizar su conocimiento lingüístico, para que luego el estudiante examine el
problema para darle solución bajo un razonamiento similar (Solaz y Caballer,
2015), relacionándolo con aprendizajes y experiencias previas, es decir construir
un aprendizaje significativo de las matemáticas.
23
CONCLUSIONES
Cada una de las investigaciones encontradas durante el rastreo en cuanto a
la resolución de problemas y aprendizaje significativo de la matemáticas, nos
permitieron concluir que la resolución de problemas es una actividad conformada
por diferentes tipos de procesos y constituye una vía mediante la cual los alumnos
utilizan el conocimiento adquirido previamente-declarativo o procedimental con el
fin de satisfacer las demandas de una situación nueva, no familiar, además se
establece que la utilización de una estrategia de resolución de problemas influye
positivamente en el aprendizaje de las matemáticas en los alumnos, por lo que se
considera una forma de aprendizaje muy valiosa para la ruptura del método
tradicional de enseñanza-aprendizaje. Le permite al estudiante aumentar su
capacidad para el autoaprendizaje, su capacidad crítica para analizar la
información que les ofrece la búsqueda. Por consiguiente, la resolución de
problemas es una metodología de aprendizaje que favorece la construcción de
conocimiento a través de la interpretación de situaciones reales y
contextualizadas.
Las dificultades de los estudiantes en las competencias matemáticas sobre
resolución de problemas se dan en niveles tempranos de la enseñanza, en gran
medida por una carencia por parte de los docentes de estrategias de resolución de
problemas eficaces, en las que el alumno/a entienda el proceso que está
realizando con cada operación aritmética. La apropiación del docente de las
estrategias de resolución de problemas permite lograr un desarrollo de estas
competencias en sus estudiantes. Se ha constatado que la actualización
profesional del o la docente en las estrategias de resolución de problemas
matemáticos ha influido en un mejor rendimiento de los alumnos.
Los docentes deben modificar su enfoque metodológico, proponer
ambientes de aprendizaje acordes al contexto real de los estudiantes e
implementar el uso de recursos educativos adecuados, no solo en las
matemáticas, sino en todas las áreas que comprenden el currículo escolar, pues
se ha demostrado que la implementación de estos recursos incrementa el interés
24
del estudiante por el estudio, y su rendimiento se ve afectado positivamente,
convirtiéndose el aprendizaje en algo significativo para él.
Se considera además, que en la resolución de problemas en el área de
las matemáticas es importante tomar en consideración las interferencias del
aprendizaje que se puedan encontrar en el aula, revirtiendo la intervención
pedagógica del docente en un aprendizaje significativo, donde los alumnos
puedan afrontar dificultades y resolverlas por sí mismos. Por otro lado, la
implementación de recursos pedagógicos dentro del aula de clases por parte de
los docentes generará en el alumno diversas ventajas y su participación en
actividades que se desarrollan, utilizando la creatividad para la obtención de
efectos positivos y que les genere un aprendizaje significativo de forma
prospectiva, que puedan influir en el desarrollo de las actividades para el alcance
de los objetivos planteados.
De manera que, se requiere que las diversas escuelas ofrezcan
conocimientos con una visión abierta, eficiente y reflexiva, que logre construir un
aprendizaje significativo para los estudiantes, y un mejor desempeño de los
docentes, directores, padres y comunidad escolar con objetivos concretos, que los
estudiantes logren formarse integralmente para la transformación del medio en el
que habitan. Asimismo, se sostiene que mediante la resolución de problemas por
parte de los estudiantes, se logra mantener una interacción con la información
bajo una representación mental del problema, extrayendo conceptos textuales y
esquematizando su conocimiento lingüístico donde el alumno pueda examinar el
problema y la construcción de un aprendizaje significativo de las matemáticas.
25
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Abad, E., Monistrol, O., Altarribas, E., y Paredes Sidrach de Cardona, A. (2003). Lectura crítica de la literatura científica. Enferm Clin, 13(1), 32-40.
Acuña, C, Durán, F y Reyes, L. (2012). Estrategias de resolución de problemas en
el subsector de aprendizaje de tercer año básico en educación matemática: investigación diagnóstica y propuesta pedagógica desde un multicaso. Chile.
Acuña, V. (2010).Resolución de problemas matemáticos y el rendimiento académico en alumnos de cuarto de secundaria del callao. Lima. Perú.
Alonso, I. Martínez, N. (2003). La resolución de problemas matemáticos. Una caracterización histórica de su aplicación como vía eficaz para la enseñanza de la matemática. Revista Pedagogía Universitaria .8 (3), 81-88.
Álvarez, C. (2011). La relación teoría‐práctica en la enseñanza y el desarrollo profesional docente. Un estudio de caso en Educación Primaria. Disponible en: http://hdl.handle.net/10803/32139.
Álvarez, M., Alzamora, S., Delgado, V., Garayo, P., Moreno, V., Moretta, R. y Negrotto, A. (2008). Prácticas docentes y estrategias de enseñanza y de aprendizaje. Revista Educación, Lenguaje y Sociedad. 5(5), 81-106.
Andonegui, M. (2004). El desarrollo del pensamiento lógico, colección procesos educativos Fe y Alegría. Caracas.
Astola, P., Salvador, A., y Vera, G. (2012). Efectividad del programa “gpa-resol” en el incremento del nivel de logro en la resolución de problemas aritméticos aditivos y sustractivos en estudiantes de segundo grado de primaria. Lima, Peru.
Ausubel, D., Novak, J. y Hanesian, H. (2002). Psicología: un punto de vista cognoscitivo. México. Ed. Trillas.
Ayllón, M. (2012). Invención-resolución de problemas por alumnos de basica primaria. Granada: Universidad de Granada.
Bacigalupi, A. (2014). Resolución de problemas: una experiencia con alumnos de primero de primaria. Santander, España. Universidad de Cantabria.
Ballester, A. (2002). El aprendizaje significativo en la práctica. Cómo hacer el aprendizaje significativo en el aula. España.
Blanco, L., Cardena, J., y Caballero, A. (2015). La resolución de problemas de Matemáticas en la formación inicial de profesores de primaria. Extremadura: Colección manueales uex-98.
26
Boscán, M., y Karen, K. (2012). Metodología basada en el método heurístico de polya para el aprendizaje de la resolución de problemas. Ecenarios. 10(2), 7-19.
Bueno, D. (2012). Propuesta metdologica para mejorar la interpretacion, análisis y solución de ejercicios y problemas matemáticos en los estudiantes de 5º de la Institución Educativa Alejandro Velez Barrientos. Medellin, Colombia: Universidad Nacional de Colombia.
Calvo, M. (2008). Enseñanza eficaz de la resolución de problemas en matemáticas. Revista Educación. 123-138.
Cardenas, J., y Blanco, L. (2013). La resolución de problemas de matemáticas como contenido en el currículo de primaria. Cáceres. España: Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones
Coronel, M. y Curotto, M. (2008). La resolución de problemas como estrategia de enseñanza y aprendizaje. Revista Electrónica de Enseñanza de las Ciencias, 7(2), 463-479.
Cruz, M. (2006). La enseñanza de las matematicas a traves de la resolución de problemas. Habana: Educación cubana.
Day, R. (2005). Cómo escribir y publicar trabajos científicos (3ª ed.). Washington, DC: Organización Panamericana de Salud.
Díaz, F. y Hernández, G. (2002). Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Una interpretación constructivista. México: Editorial Mc Graw-Hill.
García, J. (1994). Resolución de problemas: de Piaget a otros autores. Rev. Filosofía, 32(77), 131-138.
García, O. (2014). Solución de problemas matemáticos de suma y resta en alumnos con dificultades para aprender. Atenas, 2(26), 38-53.
Gomez, J. (2009). La resolución de problemas en el pensamiento matemático avanzado: El caso de la elaboración de significados d ela defición de espacios topológicos. 10º Encuentro Colombiano de matemáticas educativas. Pasto. Colombia.
Gonzaga, W. (2005). Las estrategias didácticas en la formación de docentes de educación primaria. Actualidades investigativas en educación. Disponible en: http://redalyc.uaemex.mx/src/inicio/ArtPdfRed.jsp?¡Cve=44750103.
González, T. (2000), Metodología para la enseñanza de las matemáticas a través de la resolución de problemas: un estudio evaluativo. Revista de Investigación Educativa, 18(1), 175-199.
Gros, B. (1990). La enseñanza de estrategias de resolucion de problemas mal estructurados. Revista de Educación: Investigaciones y experiencias., (293), 415-433.
27
Guzmán, J. (2014). Pensamiento matemático mediante el aprendizaje significativo. Revista Del Programa De Matemáticas. 1(2), 64–77
ICFES (2017). Reporte de resultados saber 11 por aplicación. 2017-2. Establecimientos educativos. Colombia. Ministerio de Educación Nacional.
Iriarte, A. (2011). Estrategias metacognitivas en la resolución de problemas matemáticos en estudiantes de 5° de básica primaria. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 24. Capítulo 1. Análisis del discurso matemático escolar. Universidad de Sucre. Colombia.
Juidias, J y Rodríguez, I. (2007). Dificultades de aprendizaje e intervención psicopedagógica en la resolución de problemas matemáticos. Revista de Educación, 342, 257-286.
Leal, S. y Bong, S. (2015). La resolución de problemas matemáticos en el contexto de los proyectos de aprendizaje. Revista de Investigación, 39(84), 71-93.
López, G. (2014). La enseñanza de las matemáticas, un reto para los maestros del
siglo XXI. Revista Praxis Pedagógica, 15, 55-76.
Lovell, K. (1986). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Madrid, España: Editorial Morata.
Merino, A. (2011). Cómo escribir documentos científicos (Parte 3). Artículo de revisión. Revista Salud en Tabasco, 17 (1-2), 36-40.
Ministerio de Educación Nacional (1998). Lineamientos curriculares de matemáticas. Colombia.
Nortes, A. y Nortes, R. (2011). Los libros de texto y la resolución de problemas en la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. Educatio Siglo XXI, 29(2), 67-98.
Pifarré, M. y Sanuy, J. (2001). La enseñanza de estrategias de resolución de problemas matemáticos en la ESO: un ejemplo concreto. Enseñanza de las Ciencias, 19(2), 297-308.
Polya, G. (1989). Cómo plantear y resolver problemas. Mexico: Trillas.
Ramírez, M. (2015). Desarrollo de conocimientos matemáticos informales a través de resolución de problemas aritméticos verbales en primer curso de educación primaria Madrid, España.
Ramírez, R y Pérez, Y. (2011). Estrategias de enseñanza de la resolución de problemas matemáticos. Fundamentos teóricos y metodológicos. Revista de Investigación, 35(73), 169-193.
Rodriguez, M. (2012). La enseñanza de las matemáticas en la crisis de la modernidad. Revista Arbitrada: Orinoco, pensamiento y praxis. 2, 49-60.
28
Rodríguez, M., Moreira, M., Caballero, . y Greca, I. (2008). La teoría del aprendizaje significativo en la perspectiva de la psicología cognitiva. Ed. Octaedro.
Rodríguez, M. (2004). La teoría del aprendizaje significativo. Ponencia presentada en la First Intenational Conference on Concept Mapping. Pamplona. España. Disponible en http://cmc.ihmc.us/papers/cmc2004-290.pdf
Romero, A. (2012). Comprensión lectora y resolución de problemas matemáticos en alumnos de segundo grado de primaria del distrito Ventanilla – Callao. Lima. Perú.
Sánchez, H. (2006). Aprender por medio de la resolución de problemas. Colombia.
Santos, L. (1992). Resolución de Problemas; El Trabajo de Alan Schoenfeld: Una propuesta a considerar en el Aprendizaje de las Matemáticas. Educación Matemática, 4(2), 16-23.
Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense making in mathematics. Nueva York, Macmillan.
Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. California: Academic Press.
Sepúlveda, A., Medina, C. y Sepúlveda, D. (2009). La resolución de problemas y el uso de tareas en la enseñanza de las matemáticas. Educación Matemática, 21(2), 79-115.
Solaz, J. y Caballer, A. (2015). Contexto, estructura y analogías en la resolución de problemas verbales algebraicos por maestros de primaria en formación. Revista Electrónica de Investigación Educativa
Vilanova, S., Rocerau, M., Valdez, G., Olivr, M., Vecino, S., Medina, P., Astiz, M. y Álvarez, E. (2009). La educación matemática. El papel de la resolución de problemas en el aprendizaje. OEI – Revista Iberoamericana de Educación.