la plática del día de hoy forma parte de un esfuerzo conjunto que busca, principalmente, el...
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• La plática del día de hoy forma parte de un esfuerzo conjunto que busca, principalmente, el motivar y promover el estudio de las matemáticas.
• El tema a tratar está relacionado con los temas de ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales y el de la tranformada de Laplacetranformada de Laplace.
• Tu presencia el día de hoy nos motiva a seguir participando en este esfuerzo conjunto.
• Comité organizador
“Modelación y Estudio de las ecuaciones diferenciales l.c.c.c. en el dominio de Laplace (frecuencia)
utilizando MATLAB-SIMULINK”
Maestro: Francisco Palomera Palacios
Departamento de Mecatrónica y Automatización,
ITESM, Campus Monterrey
Motivación• Análisis y estudio intuitivo (no formal) de las
ecuaciones diferenciales lineales c.c.c. a través de la transformada de Laplace.
• Ilustrar el comportamiento de la respuesta de sistemas físicos con la ayuda del programa computacional MATLAB-SIMULINK.
El que haya personas interesadas en promoverpromover, motivarmotivar y escuchar sobre el tema de ecuaciones ecuaciones diferenciales y la Transformada de Laplacediferenciales y la Transformada de Laplace.
ModelaciónModelación de Sistemas Dinámicos utilizando Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
Sistema
Físico
Sistema (Físico)
a modelarFunción forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
-Sistema Mecánico (sistema de suspensión en los autos)
- Sistema Hidráulico (llenado de un tanque)
- Sistema térmico (temperatura en un horno)
-Sistema Eléctrico (velocidad de motores)
- Sistema Fisiológico (efecto de una dosis en el cuerpo h. )
- Sistema Económico ( inflación)
- Sistema de producción (producción entre máquinas)
Relación causalRelación causal
Para obtenerobtener una ecuación diferencial, podemos utilizar:
• Leyes físicasLeyes físicas: que de acuerdo a la naturaleza del sistema, rigen la relación causal entre las variables de interés.
• Pruebas experimentalesPruebas experimentales (análisis de la respuesta transitoria del sistema ante una función forzante conocida).
• Por analogíasanalogías de comportamientos entre sistemas que guardan un comportamiento similar, a pesar de ser de naturaleza diferente.
• Aplicación de algoritmos y recursos computacionales para procesar los datos obtenidos de pruebas experimentales.
……
Sistemas físico: Temperatura en un horno
Horno
Flujo de
Combustible:
qi(t)
Temperatura:
T(t)horno
Temperatura
Flujo de gas
Relación causal
Sistema Físico:Llenado de un tanque
qo(t): C a uda l de s a lida
q i(t): C a uda l de e ntra da
A :área d el tanq ue
p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.
h(t): altura d el tanq ue
R h : res is tenc ia H id ráulic a
TanqueCaudal de entrada
qi(t)
Nivel: h(t);
Caudal de
Salida, qo(t)
Relación causal
Análisis de una ecuación diferencial lineal c. c. c.
2 -3t
2d y(t) dy(t)
+ 0.4 + 0.03 y(t) = 1.5 + Sen10t dtdt e
Sistema (Físico)
a modelar
u(t): Comportamiento deseado
La respuesta y(t) de un sistema mecánico ante una función forzante u(t) está definida por la ecuación diferencial; y(0)= 2; y’(0) = 0
Función forzante
y(t)u(t)
Respuesta del sistema
)()(13.0)(
4.0)(
2
2
tutydt
tdy
d
ty
td
Función forzante: u(t)
deFun mación e gnituds calón 1.5;
multiplicada por Función una expoSenoid nenal cial
-3t= 1.5 + Senu(t) 10t e
Analogía de Sistemas de Primer OrdenR
Cv i(t): fuente d e vo ltaje
i(t):
vo(t)
v i(t): fuente d e vo ltaje
vo(t): vo ltaje d e s alid a
C : C ap ac ito r
R : R es is tenc ia
q o(t): C a uda l de s a lida
q i(t): C a uda l de e ntra da
A :área d el tanq ue
p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.
h(t): altura d el tanq ue
R h : res is tenc ia H id ráulic a
i
i
oo
oo
v (t)v (t)
v (t)
v (
d
dtd
dtv (t
)t) )
tv (
R.C
dc(t) + c(t) = .
dtτ K u(t) KK: Ganancia en estado estable
: Constante de tiempo
qi(t)
0(t)
dq0(t)
qdt
ddt
qi(t)+ q0(t) =
R.A
q0t
La transformada de LaplaceLa transformada de Laplace en la
modelación, estudio y soluciónmodelación, estudio y solución de
las ecuaciones diferencialesecuaciones diferenciales.
Relación entre f(t) y su equivalente F(s).
{ }f(t)L 0
-st df(t) te
{ }1
s 6
-6te
L
f(t)
tiempoj: Eje Imaginario
: Eje real
F(s)F(s)
Plano Complejo: s = + j
16 16
4 82
22 Se{ }
st =4
sn
2
L
26s 9 6s4 132
-3t 2 10 10
2 2 2(s+3) s
Sen2t5 =s
{ } 5e
L
EjemplosEjemplos
Principales funciones a obtener de una ecuación diferencial: G(s) y Y(s) Y(s)
Y(s)
U(s)c.i.=02) G(s)
Al aplicar la Transformada de Laplace a una ecuación diferencial, dos expresiones son de gran interés:
1) Y(S): 1) Y(S): La función respuestaLa función respuesta de un sistema. (incluye las c.i. y a la función forzante)
; Función de transferenciaFunción de transferencia del sistema (considera c.i.=0 y no se sustituye la función forzante.
n(s)
n(s) 0;ceros
K( K
K : ganancia
:
d
s a)...;
(s b)(s (s)
d(s) 0;p
c)...
olos
(o)
: (X)
jw
x
o o x
x
Tanto G(s) como Y(s) estan formadas por los términos:
G(s)G(s) y Y(s)Y(s)
0 ., . 2)(
; . . 8.0)0(
);(2.1)()(
10
tparaideutu
ideuy
tutydt
tdy
ciaTransferendeFunciónss
sGsU
sY
sUyssY
sUsYyssY
tutydt
tdy
ic :
1.0
12.0
110
2.1)(
)(
)(
);()0(10]110)[(
);()()0(10)(10
)}({)}()(
10{
| 0..
LL
jw
X
-0.1
Para la ecuación diferencial
Solución:
RespuestaFunción :)1.0(
)3.0(8.0
)110(
4.28)(
4.288
22.1]110)[(
;2
2.1)8.0(10]110)[(
);(2.1)()0(10)(10
)}(2.1{)}()(
10{
ss
s
ss
ssY
s
s
sssY
sssY
sUsYyssY
tutydt
tdyLL
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
Obtener: a) G(s)G(s) y, b) , b) Y(s)Y(s)
Obtención del valor inicial y final de Obtención del valor inicial y final de y(t)y(t)
RespuestaFunción :)1.0(
)3.0(8.0
)110(
4.28)(
ss
s
ss
ssY
1.0
6.14.2
1.0)(
sss
b
s
asY
0.8
1
8.0
)1.0(
)3.0(8.0
)1.0(
)3.0(8.0.)(.)0(
:
limlimlimlimssss s
s
ss
sssYsy
inicialvalordelTeorema
jw
o X X
-0.3 -0.1 0
4.1.0
)3.0)(8.0(
)1.0(
)3.0(8.0
)1.0(
)3.0(8.0.)(.)(
:final valor del Teorema
limlimlim000
2
s
s
ss
sssYsy
sss
2.4
0.8
t
Polo dominante
Gráfica aproximada de y(t) a partir de Y(s)Y(s)
1200
1600)(
1600]1200)[(
;0)()0(200)(200
80)0( ;0)()(
200
ssY
ssY
sYyssY
Cytydt
tdy
80200
1600
1200
1600)()0( limlim
ssssYy
ss
01200
1600)()( limlim
00
ssssYy
ss
Un horno que se encuentra a 80°C se apaga para su enfriamiento. Considere que la relación Temperatura-flujo combustible, es representada por la ecuación Diferencial: 200y´(t) + y(t) = K u(t). Obtenga, y(0) y y()
Teorema de valor inicial:
Teorema del valor final:
t
80 ºC
0 ºC
Programa MATLAB-SIMULINK (MATLAB-SIMULINK (basado en basado en la representación a bloquesla representación a bloques))
• Para modelar y analizarmodelar y analizar los elementos de una ecuación diferencial a partir de las ecuaciones de un sistema físico.
• Obtener la respuestaObtener la respuesta en el tiempo para una función Y(s).
• Obtener Obtener las gráficas de las diferentes variables dentro de mismo sistema físico, sin requerir obtener su representación en el tiempo.
• …
Modelación de una ecuación diferencial Modelación de una ecuación diferencial mediante Diagrama a bloquesmediante Diagrama a bloques.
1
As
o 0iH(s)
(s) H(s) (s , 0)s s)( ;) QQ QA (c. i.Rh
1
Rh
Caudal de salida
Caudal
Acumulado==
Qi(s) +
Qo(s)
H(s)H(s) QQoo(s)(s)Qi(s) – Qo(s)
qo(t): C a uda l de s a lida
q i(t): C a uda l de e ntra da
A :área d el tanq ue
p(t): s eñal q ue regula el c aud al hac ia el tanq ue.
h(t): altura d el tanq ue
R h : res is tenc ia H id ráulic a
Caudal de entrada
)1( ...... dt
dh(t)AAv(t) (t)(t)(t) qqq acum0i
(2) ..... Rh
h(t)(t)q0
Simulación del sistema hidráulico utilizando la herramienta computacional Matlab-SimulinkMatlab-Simulink
Dos Tanques
dt
tdhAtttt qqqq acumi
)()()()()(
0201
Rq
Rq
h
h
tht
tht
202
101
)()(
;)(
)(
As
1
)( )()()()(0201
sHsAssss QQQQ acumi
RQ
RQ
h
h
sHs
sHs
202
101
)()(
;)(
)(
Rh1
1
Rh2
1
H(s)H(s)Qi(s)Qi(s) – Q01(s) – Q02(s)
Q01(s)
Q02(s)
-
+
-
h(t)
q i(t)
R h 1R h 2
q 0 1 (t)
A
p (t)
q 0 2 (t)
V 1 V 2
Modelaciòn y simulación del sistema de dos tanques mediante SIMULINK.
Gráficas de Simulación (tanque_1entrada_2salidas)
Flujo de salida q02(t)
Flujo de salida q02(t)
h(t): Altura (nivel de llenado) del tanque
Qi(t): Flujo de entrada
Sistema: Masa-Resorte-Amortiguadoren la suspensión de un auto
Masa: m
AmortiguadorResorte
z(t): desplazamiento
o respuesta del sistema
f(t)entrada: fuerza de entrada
tdd
tzmmafuerzas
i2
2
1
)(
Aplicación del sistema básico: masa-resorte-amortiguador
Simulación mediante SIMULINKSIMULINK
t
dd
tzmmaFuerzas 2
2 )(
dt
dz(t)B
)(
)(
)(
)(
)()(
tf
tf
tftff
oramortiguad
resorte
oramortiguadresortei
tzk
tfuerzas
Z(s)
k
B s
sm 2
1Fi(s)
F(s)resorte
F(s)amortiguador
Fi(s) - F(s)resorte – F(s)amortiguador = m s2 Z(s)
-
+
-
)(
)(
)(
)(
ssZB
sZk
sF
sF
oramortiguad
resorte
fi(t)
z(t)
Masa-Resorte-Amortiguador con SIMULINK
Paso por un bache sencillo
Masa-Resorte-Amortiguador en terrenos con superficie rugosa.
Agradecimiento
• Agradezco la invitación a este evento y me uno al esfuerzo y al interés mostrado no
sólo de los profesoresprofesores del Departamento de Matemáticas, sino también el de los
alumnosalumnos de los cursos de ecuaciones diferenciales, y a los voluntarios proactivosvoluntarios proactivos
para la organización de este evento.
En lo personal: gracias gracias a los organizadores, y a la audiencia que nos acompaña, por su tiempo para permitirme compartir un poco sobre el tema de la Transformada de Laplace.
Quedo a sus órdenes
• MaestroMaestro Francisco Palomera Palacios
• Departamento de Mecatrónica y Automatización, Campus Monterrey
Parte 1: Actividad en equipo(modificar el archivo correspondiente)
• Para el caso del tanque con dos válvulas de descarga:
• 1. Justifique el efecto sobre los dos flujos de salida en ambas válvulas, si las dos válvulas están igualmente abiertas: Rh1 = Rh2 = 2
• 2. Considere que Rh1 =1.5 y Rh2 = 3 ¿Cómo se afecta la altura del llenado del tanque, h(t), si se disminuye el valor del área del tanque de un valor A = 4 m2, por el de A = 2 m2?
Parte 2: actividad
• Para la función )5)(2(
40210)(
2
sss
ssY s
Obtenga:1) Su expansión en fracciones parciales sin
calcular el valor de los coeficientes.2) ¿A qué función en el tiempo corresponde cada
uno de los término de la expansión realizada en el inciso anterior?
3) Obtenga el valor de y(0) y de y() a partir de la función Y(s).