LA EDUCACIN MATEMTICA UNA DISCIPLINA CIENTFICA?

Guillermina Waldegg Casanova*

Este artculo presenta un anlisis de la investigacin educativa en el campo de la enseanza yel aprendizaje de las matemticas (actividad conocida en los pases anglosajones comoinvestigacin en Educacin Matemtica y en otros pases europeos como investigacin enDidctica de las Matemticas); se revisa la especificidad de la actividad, su relacin con otrasreas del conocimiento y el debate mundial en torno a su estatuto cientfico. Concluye elartculo con la revisin de los grupos, tendencias y actividades de la Educacin Matemtica enMxico. La reflexin puede ser til para valorar los desarrollos relativos en otras reastemticas de la investigacin educativa. This article makes an analysis of educational research in the field of teaching and learningmathematics (activity known, in English speaking countries, as research in MathematicalEducation and, in other European countries, as research in Didactics of Mathematics).Thespecificity of the activity, its relation to other areas of learning, and the world debate aboutthe scientific statute are studied. The article concludes with a revision of the groups,tendencies and activities of Mathematical Education in Mxico. The reflection may be useful forevaluating related developments in other thematical areas of educational research.

1. La Educacin Matemtica como campo de investigacin

Cuando pensamos en la matemtica, no como el esplndido edificio terico construido a lolargo de los siglos con la participacin de los grandes matemticos como Euclides,Arqumedes, Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Weierstrass,Dedekind, Cantor, Hilbert y tantos otros ms, sino como la actividad humana cuyo resultado esprecisamente este gran edificio terico, si la pensamos as, entonces tiene sentido plantear ladisyuntiva que da ttulo al presente escrito: la matemtica como una actividad cientfica y lamatemtica como una empresa educativa. Siendo todava ms finos, diramos que lamatemtica como empresa educativa presenta a su vez dos facetas: la matemtica vinculadaa la actividad de ensear y la matemtica asociada a la tarea de aprender.

Vista as, la matemtica efectivamente presenta caractersticas diferentes. En primer lugar, losactores y sus propsitos en cada uno de los casos son distintos:

Si consideramos a la matemtica como el objeto de estudio del matemtico profesional, laactividad tiene el propsito de hacer crecer el edificio terico dentro de ciertas normas decoherencia, y presentarlo, si ese fuese el caso, para modelar el mundo fsico.Si la matemtica es el objeto de enseanza del profesor, la intencin de sus accionesconsiste en hacer partcipe a las nuevas generaciones de una parte, previamenteseleccionada, del edificio terico, eligiendo para ello los medios y procedimientosadecuados. Cuando la matemtica es el objeto de aprendizaje del estudiante, la meta es construiractivamente un significado propio para ciertas partes de este edificio que le permitan, enun momento dado, utilizarlo de manera adecuada en su formacin y en su vidaprofesional.

Cada uno de estos quehaceres es radicalmente distinto de los otros: lamateria prima con la que se trabaja es diferente, as como la preparacin ylas habilidades requeridas en cada caso, las normas de proceder y de validarson distintas, tanto como los mecanismos de comunicacin entre los actoresrespectivos y los resultados esperados.

Dicho de esta forma, la aseveracin anterior parecera obvia, sin embargo,nos ha llevado varios siglos el poder formularla as, para entonces estudiarsus consecuencias de manera adecuada. El camino que nos ha permitidoesta primera distincin tiene que ver con una cuarta actividad que surge deconsiderar las diferencias entre estos tres quehaceres: la EducacinMatemtica. Es sobre esta cuarta actividad y sus caractersticas que centrarmis comentarios.

A muchos de los lectores de seguro les parecer exagerado, o al menosprematuro, hablar de la investigacin en Educacin Matemtica como sifuera una disciplina cientfica, tal y como se sugiere en el ttulo de esteartculo. Coincido con este punto de vista; sin embargo, me gustara sealaralgunos sntomas que preludian este carcter de la Educacin Matemtica.

Al menos en el sentido sociolgico del trmino, la Educacin Matemticaexiste como una disciplina: cuenta con una comunidad internacional vigorosaque ha sabido abrirse espacios propios para comunicarse al interior de ellamisma y para difundir sus resultados al exterior; se agrupa en asociaciones,organiza reuniones peridicas regulares (congresos, coloquios, jornadas,encuentros), cuenta con publicaciones especializadas para someter susresultados a la crtica -y cuyas reglas de operacin no difieren de las deotras organizaciones cientficas (seleccin de trabajos, revisiones, arbitrajes,etc.)-; utiliza canales diversos para vulgarizar sus hallazgos; ha desarrolladoprogramas de formacin (capacitacin y posgrado) para sus miembros, etc.

La organizacin de los educadores de las matemticas no es, como se ve,diferente a la de otras comunidades cientficas.

Desde el punto de vista conceptual, la Educacin Matemtica, en principio,pretende construir explicaciones tericas, globales y coherentes quepermitan entender el fenmeno educativo en lo general y que, al mismotiempo, ayuden a resolver satisfactoriamente situaciones problemticasparticulares. Para lograr esto debe adaptar y desarrollar mtodos de estudioy de investigacin, as como encontrar formas propias de contrastar losresultados tericos con la realidad que stos pretenden modelar. LaEducacin Matemtica no diferira, en este sentido, de otras actividadescientficas ni en sus propsitos ni en sus mtodos y tendera a parecersems a las ciencias empricas que a las disciplinas especulativas.

Pero ciertamente es una rama joven del saber: comparada con otrasciencias, como la matemtica o la fsica que tienen siglos de desarrollo, laEducacin Matemtica est en su primera infancia; pero aun es joven si se lecompara con otras disciplinas ms recientes como la psicologa; esta ltimale lleva alrededor de un siglo de ventaja. A causa de esta juventud, elsistema de objetivos, metodologas y criterios para validar el conocimientode la Educacin Matemtica, presenta todava excesiva variabilidad y pococonsenso. Adicionalmente, el papel que juega con respecto a las otrasciencias "establecidas" est todava en discusin.

No obstante, la Educacin Matemtica, al cabo del tiempo, ha idoadquiriendo especificidad y, en buena medida, conciencia de s misma. Lasltimas tres dcadas han visto crecer y consolidarse grupos en todo elmundo dedicados a la investigacin de los problemas asociados a laenseanza y al aprendizaje de las matemticas, as como al desarrollo deproductos de "aplicacin" de los resultados de las investigaciones quepermiten coadyuvar en la solucin de estos problemas. Las asociacionesprofesionales, las reuniones peridicas, los congresos y otros eventos, ascomo la edicin de libros y revistas especializados aumentan da con dacomo una muestra del dinamismo del campo. Conforme ha avanzado eltiempo, los temas de discusin de estas manifestaciones comunitarias sehan ido modificando, pasando de la mera exposicin de resultados deestudios descriptivos a la consideracin y, en ocasiones, confrontacin deparadigmas, metodologas, nuevos acercamientos y marcos tericos quedeben dar a la Educacin Matemtica las caractersticas de una disciplinaque se desarrolla por los caminos de la "ciencia normal" en la bsqueda desu propia identidad.

Buena parte de estos intentos de establecer la identidad de la disciplinaestn encaminados a sealar los rasgos que la distinguen de aqullas quecontribuyen y alimentan sus estudios: la pedagoga, la psicologa, lalingstica, la sociologa, las ciencias de la comunicacin, las cienciascognitivas, la informtica y, desde luego, la matemtica. La EducacinMatemtica se reconoce como receptora de una gran cantidad de resultados

provenientes de todas estas ramas del conocimiento; claramente, es uncampo de experimentacin para poner a prueba muchas de las teorasgenerales que surgen del estudio de las otras ciencias recordamos cmo,durante los aos setenta, las teoras del aprendizaje provenientes de lapsicologa conductista (behavorista) marcaron la lnea de desarrollo demuchos trabajos de investigacin en Educacin Matemtica, o cmo elacercamiento estructuralista en matemticas dej una fuerte huella en lossalones de clase de la dcada de los sesenta.

Si bien una tarea de autoafirmacin de la disciplina consiste en sealar loque la hace diferente de las dems, en aras de definir una identidad propia,tambin debe especificar, de manera precisa, cules son las relaciones que,por su naturaleza, est obligada a desarrollar con las otras disciplinas.

El trmino Educacin Matemtica recuerda continuamente que estamostratando con una disciplina que, de suyo, tiene un pie puesto en el terrenode la educacin y el otro en el de la matemtica. Esto, que parece unaverdad de perogrullo, en realidad es lo que le da sentido a la actividad ycomo las cosas bsicas de la vida, resulta tan obvio que hay que recordarlode vez en cuando para tenerlo presente siempre.

Qu quiere decir que la Educacin Matemtica est simultneamenteasentada en la educacin y en las matemticas, dos campos de estudioaparentemente ajenos e independientes? En trminos de la propia actividad,lo anterior quiere decir que las preguntas (preguntas de investigacin) queplantea el educador de las matemticas acerca de la educacin estn, pornaturaleza, siempre preadas de contenidos matemticos, y que laspreguntas que elabora sobre la matemtica contienen, de manera inherente,un inters educativo. Esta caracterstica hace a los educadores de lamatemtica distintos a los matemticos y a los educadores, al tiempo quelos habilita como interlocutores de ambos.

Las dificultades que entraa el proceso de "cientifizacin" de la EducacinMatemtica pueden apreciarse en el quehacer mismo de los educadores dela matemtica, pero sobretodo, en las discusiones y reflexiones, formales einformales, que tienen lugar en el seno de esta comunidad. En lo que siguerevisaremos algunos de los principales programas de investigacin enEducacin Matemtica en donde, de manera ms o menos clara, ha surgidola discusin sobre el carcter cientfico de la disciplina.

2. Principales programas de investigacin en Educacin Matemtica

En esta seccin revisaremos con mayor detalle el "estado de la cuestin"sobre la discusin del estatuto cientfico de la Educacin Matemtica entre

los grupos ms significativos del mundo, centrndonos en la actividaddesarrollada por grandes ncleos de investigadores, en particular, los gruposTheory of Mathematics Education (TME), Psychology of MathematicsEducation(PME) y la Escuela Francesa de Didctica de las Matemticas.

2.1 El programa de investigacin del Grupo TME

En el V Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME) de 1984, ungrupo de investigadores preocupados por darle solidez a la disciplina,convocaron a la formacin de un rea temtica con el nombre de "Teora dela Educacin Matemtica" a la que dedicaron cuatro sesiones. Finalizando elCongreso se celebraron nuevas reuniones en las que qued constituido elgrupo de trabajo internacional Theory of Matematics Education (TME),encabezado por el profesor Hans-Georg Steiner del Institut fr Didaktik derMathematik (IDM) de la Universidad de Beilefeld (Alemania).

Las reuniones del grupo TME que se celebraron posteriormente mostraronque existe una comunidad interesada por constituir las bases tericas de laEducacin Matemtica, integrada por investigadores con formacin eintereses en campos diversificados: investigadores en EducacinMatemtica, matemticos, profesores de matemticas, psiclogoseducativos, socilogos educativos, formadores de profesores, etc. En laconfiguracin de esta comunidad cientfica, existen intereses profesionalesque han propiciado una orientacin acadmica a esta actividad. La tendenciaa academizar la Educacin Matemtica poda, en la opinin de los miembrosdel grupo TME, forzar esta disciplina hacia un dominio de especulacincientfica relativamente desconectado de la realidad social. Steiner (1985), alanalizar el papel de la Educacin Matemtica dentro de la universidad,propuso una funcin de vnculo entre las matemticas y la sociedad:

Esto es posible y necesarioespecialmente por medio de sucontribucin a la elaboracin yactualizacin de muchas dimensionesolvidadas de las matemticas: lasdimensiones filosfica, histrica,humana, social y, comprendiendo atodas, la dimensin didctica(Steiner, 1985: 12).

Podemos hacer una primera aproximacin al ncleo conceptual de la

Educacin Matemtica como disciplina cientfica, analizando las cuestionesplanteadas en el seno del grupo TME que, dado su carcter abierto, reunien las sucesivas conferencias a la mayora de los investigadores enEducacin Matemtica interesados por el fundamento terico de suactividad. De acuerdo con el programa de desarrollo trazado en la primerareunin (Steiner et al., 1984), la "Teora de la Educacin Matemtica" sedeba ocupar de su situacin actual y de las perspectivas para su desarrollofuturo como un campo acadmico y como un dominio de interaccin entre lainvestigacin, el desarrollo y la prctica. En este programa se distinguantres componentes interrelacionados:

a. La identificacin y formulacin de los "problemas bsicos" en laorientacin, fundamento, metodologa y organizacin de laEducacin Matemtica como disciplina, tales como:

La existencia de distintas definiciones, incluso discrepantes, de la Educacin MatemticaEl uso de modelos, paradigmas, teoras y mtodos en la investigacin y de herramientasapropiadas para el anlisis de sus resultadosEl papel que deben jugar los "macromodelos", esto es, marcos de referencia generalesque relacionan significativamente los mltiples aspectos de la Educacin Matemtica, ylos "micromodelos", que proporcionan informacin detallada sobre reas restringidas delaprendizaje matemticoEl debate entre "teoras especficas" frente a la interdisciplinariedad y latransdisciplinariedadLa relacin entre la Educacin Matemtica y sus campos referenciales como lamatemtica, la pedagoga, la psicologa, la sociologa, la epistemologa, etc.Las relaciones entre teora, desarrollo y prctica: las tareas integradoras y sintticas de laEducacin Matemtica frente a las tendencias recientes hacia una ciencia normal y lacreciente especializacinLos aspectos axiolgicos, ticos, sociales y polticos de la Educacin Matemtica

b. El desarrollo de una aproximacin comprensiva a la EducacinMatemtica, que debe ser vista en su totalidad como un sistemainteractivo que comprende investigacin, desarrollo y prctica. Estolleva a destacar la importancia de la teora de sistemas, especialmentede las teoras de los sistemas sociales, basadas en conceptos comointeraccin social, actividad cooperativa humana, diferenciacin,

subsistemas, autorreproduccin y sistemas auto-organizados,autorreferencia y reflexin en sistemas sociales, etc. Asimismo, interesala identificacin y el estudio de las mltiples interdependencias ymutuos condicionantes en la Educacin Matemtica, incluyendo elanlisis de las complementariedades fundamentales.

c. La organizacin de la investigacin sobre la propia Educacin Matemtica comodisciplina que, por una parte, proporcione informacin y datos sobre la situacin, losproblemas y las necesidades de la misma, teniendo en cuenta las diferencias nacionalesy regionales y que, por otra, contribuya al desarrollo de un metaconocimiento y unaactitud autorreflexiva como base para el establecimiento y la relacin de los programasde desarrollo del TME.

La segunda reunin del grupo TME, celebrada en 1985 en el Institut fr Didaktik derMathematik (IDM) de la Universidad de Bielefeld (Steiner, Vermandel, 1988), se centr en eltema genrico "Fundamento y metodologa de la disciplina Educacin Matemtica" y, portanto, la mayora de las contribuciones resaltaron el papel de "la teora y la teorizacin" endominios particulares. Los grupos de trabajo se dedicaron a los diferentes dominios de lainvestigacin con el fin de analizar el uso de modelos, mtodos, teoras, paradigmas, etc.

Si bien los temas tratados en las conferencias TME fueron de inters para distintos aspectos dela Educacin Matemtica, no es fcil apreciar en ellos un avance en la configuracin de unadisciplina acadmica, es decir, una teora de carcter fundamental que establezca los cimientosde una nueva ciencia por medio de la formulacin de conceptos bsicos y postuladoselementales. Se encontraron muchos resultados parciales, apoyados en supuestos tericosexternos (tomados de otras disciplinas) que trataron de orientar la accin en el aula, sinembargo, los progresos fueron escasos. El grupo TME, aunque continu sus reuniones anualesdurante varios aos ms, actualmente ha dejado de tener influencia y ha interrumpido susactividades peridicas, en parte quizs por el retiro laboral de su principal promotor, Hans-Georg Steiner. 2.2 El enfoque psicolgico en la Educacin Matemtica: el grupo PME En la comunidad internacional de investigadores en Educacin Matemtica se aprecia unafuerte presin de la perspectiva psicolgica en el estudio de los procesos de enseanza yaprendizaje matemtico. El predominio del enfoque psicolgico no ha tenido en cuenta elnecesario equilibrio y principio de complementariedad entre las disciplinas fundacionales de laEducacin Matemtica que sealan numerosos autores. Este predominio se manifiesta si seobserva la vitalidad del grupo Psychology of Matematics Education (PME), constituido en elSegundo Congreso Internacional de Educacin Matemtica (ICME-66) y que celebra, en 1998,su 22a. emisin anual.

Las cuestiones esenciales para la Educacin Matemtica que pueden ser resueltas medianteuna aproximacin psicolgica son, segn Vergnaud (1988), las siguientes:

El anlisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenmenosinconscientes que tienen lugar en sus mentes.Las conductas, representaciones y fenmenos inconscientes de los profesores, padres ydems participantes.

De modo especial, Vergnaud analiza cuatro tipos de fenmenos cuyo estudiopuede ser fecundo desde una aproximacin psicolgica:

La organizacin jerrquica de las competencias y concepciones de los estudiantesLa evolucin, a corto plazo, de las concepciones y competencias en el aulaLas interacciones sociales y los fenmenos inconscientesLa identificacin de "teoremas en acto", esquemas y smbolos

Sin embargo, el anlisis de las memorias de las reuniones anuales del grupoPME revela que los informes de investigacin aceptados incluyen tantoinvestigaciones empricas como tericas y que cubren mbitos noestrictamente psicolgicos. No es posible detallar, por su amplitud, los temastratados en las distintas reuniones del PME, pero puede ser de inters leer laclasificacin de los informes de investigacin que se presentan en la ltimareunin de este grupo (Sudfrica, julio de 1998):

La demostracinResolucin de problemasFormacin y desarrollo del maestroAprendizaje matemtico tempranoGeometraFactores afectivos y creenciaslgebraPensamiento matemtico avanzado y funcionesEstudios socioculturalesNmeros racionales y estocsticosLa evaluacin y el conocimiento del maestro sobre el pensamiento del estudiante

Como afirma Balacheff (1990), ms all de la problemtica psicolgica inicialdel grupo PME, el debate sobre la investigacin puso de manifiesto lanecesidad de tener en cuenta nuevos aspectos:

La especificidad del conocimiento matemtico. La investigacin sobre el aprendizaje dellgebra, la geometra o el clculo no se puede desarrollar sin un anlisis epistemolgicoprofundo de los conceptos matemticos. Tambin se reconoce que el significado de estosconceptos se apoya no slo en su definicin formal sino, de modo fundamental, en losprocesos implicados en su funcionamiento. Por esta razn se pone ms nfasis en elestudio de los "procesos cognitivos de los estudiantes" que en el de sus destrezas oproducciones.

La dimensin social. Tanto el estatuto social del conocimiento que se debe aprender comoel papel crucial de las interacciones sociales en el proceso de enseanza requieren unaconsideracin de la dimensin social en la investigacin. Uno de los principales pasos enel desarrollo de la investigacin en la psicologa de la Educacin Matemtica fue eldesplazamiento desde los estudios centrados en el nio (o el adolescente) hacia losestudios centrados en el estudiante como aprendiz en la clase. El estudiante es un nio (oun adolescente) implicado en los procesos de aprendizaje dentro de un entorno especficoen el que las interacciones sociales con otros estudiantes y con el profesor juegan un papelcrucial. Con esta evolucin de la problemtica se deben desarrollar ms investigacionesque utilicen observaciones sistemticas de la clase o que precisen de la organizacin deprocesos didcticos especficos. Tal investigacin requiere nuevos tiles tericos ymetodolgicos para producir resultados que sean slidos tanto tericamente como por susignificado para propsitos prcticos.

Posiblemente esta apertura del campo de inters del PME llev a Fischbein(1990) a afirmar que la psicologa de la Educacin Matemtica tiende aconvertirse en el paradigma de la Didctica de la Matemtica en general(como cuerpo de conocimiento cientfico). Adems, atribuye a esta lnea detrabajo una entidad especfica dentro de las reas del conocimiento, alconsiderar que la adopcin de cuestiones, conceptos, teoras y metodologasdel campo de la psicologa general no han dado los frutos esperados. Laexplicacin que sugiere Fischbein es que la psicologa no es una disciplinadeductiva y, por tanto, la mera aplicacin de los principios generales a undominio particular no conduce usualmente a descubrimientos significativos.Incluso aquellos dominios de la psicologa fuertemente relacionados con laEducacin Matemtica (como los estudios sobre resolucin de problemas, lamemoria, estrategias de razonamiento, creatividad, representacin eimaginacin) no pueden producir directamente sugerencias tiles y prcticasy no pueden representar por s mismas la fuente principal de los problemasen este campo. Inclusive la teora de los estadios de Piaget y susdescubrimientos sobre el desarrollo de conceptos matemticos (nmero,espacio, azar, funcin, etc.) no pueden ser directamente trasladados entrminos de currculo.

Esta observacin no significa que la Educacin Matemtica debiera vivir ydesarrollarse aisladamente, impermeable a influencias externas. Lascoordenadas psicolgicas y sociolgicas son prerrequisitos necesarios paradefinir problemas, trazar proyectos de investigacin e interpretar los datos.

No obstante, estos prerrequisitos son, en s mismos, totalmenteinsuficientes. La Educacin Matemtica contina Fischbein plantea suspropios problemas psicolgicos, que un psiclogo profesional no encuentraen su misma rea. Por ejemplo, normalmente un psiclogo no se interesapor los tipos especficos de problemas de representacin que aparecen enmatemticas, desde la representacin grfica de funciones y distintas clavesde morfismos a la dinmica del simbolismo matemtico. Es extrao que unpsiclogo cognitivo se interese y trate los problemas planteados por lacomprensin del infinito matemtico con todas sus distintas facetas ydificultades. Con el fin de poder afrontar estos problemas se necesita unsistema particular de conceptos, adems de los inspirados en la psicologa,pero incluso los conceptos psicolgicos usuales adquieren nuevo significadoa la luz de la matemtica y de la Educacin Matemtica.

3. La Escuela Francesa de Didctica de las Matemticas

Dentro de la comunidad de investigadores que desde diversas disciplinas seinteresan por los problemas de la Educacin Matemtica se ha idodestacando en los ltimos aos -principalmente en Francia- un grupo que seesfuerza en una reflexin terica sobre el objeto y los mtodos deinvestigacin especficos. Como fruto de este esfuerzo ha surgido unaconcepcin llamada "fundamental" de la Didctica de las Matemticas quepresenta caracteres diferenciales respecto a otros enfoques: concepcinglobal de la enseanza, estrechamente ligada a la matemtica y a teorasespecficas del aprendizaje, y bsqueda de paradigmas propios en unapostura integradora entre los mtodos cualitativos y los cuantitativos.

Como caracterstica de esta lnea puede citarse el inters por establecer unmarco terico original, desarrollando sus propios conceptos y mtodos yconsiderando las situaciones de enseanza y aprendizaje globalmente. Losmodelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemolgica, social ycognitiva y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interaccionesentre el saber, los alumnos y el profesor dentro del contexto particular delaula. El estudio de las relaciones complejas entre enseanza y aprendizaje,en aquellos aspectos especficos de la matemtica, queda concretado porLaborde (1989) en estas dos preguntas:

1. Cmo podemos caracterizar las condiciones que se debenimplementar en la enseanza para facilitar un aprendizaje querena ciertas caractersticas fijadas a priori?

2. Qu elementos debe poseer la descripcin de un proceso deenseanza para asegurar que pueda ser reproducido desde elpunto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos?

Un criterio bsico que gua la investigacin de estas cuestiones es ladeterminacin del significado del conocimiento matemtico que se desea, apriori, que construyan los alumnos y del que realmente alcanzan durante elproceso de enseanza. Como afirma Laborde (1989), existe un amplioconsenso sobre el requisito metodolgico de utilizar la experimentacin enuna interaccin dialctica con la teora. El paradigma experimental esconcebido dentro de un marco terico y las observaciones experimentalesson comparadas con el marco, pudiendo ser modificado ste a la luz de laconsistencia de los conceptos desarrollados y la exhaustividad con relacin alos fenmenos relevantes.

Brousseau (1989: 3) define la concepcin fundamental de la Didctica de lasMatemticas como "una ciencia que se interesa por la produccin ycomunicacin de los conocimientos matemticos, en lo que esta producciny esta comunicacin tienen de especficos", indicando como los objetosparticulares de estudio:

Las operaciones esenciales de la difusin de los conocimientos, las condiciones de estadifusin y las transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos como sobresus usuarios.Las instrucciones y las actividades que tienen por objeto facilitar estas operaciones.

Los investigadores que comparten esta concepcin de la EducacinMatemtica relacionan todos los aspectos de su actividad con la matemtica.Se argumenta, para basar este enfoque, que el estudio de lastransformaciones de las matemticas, bien sea desde el punto de vista de lainvestigacin o de la enseanza, siempre ha formado parte de la actividaddel matemtico, de igual modo que la bsqueda de problemas y situacionesque requiera para su solucin una nocin matemtica o un teorema.

Una caracterstica importante de esta teora, aunque no sea original niexclusiva, es su consideracin de los fenmenos de enseanza y aprendizajebajo el enfoque sistmico. Desde esta perspectiva, el funcionamiento globalde un hecho didctico no puede ser explicado por el estudio separado decada uno de sus componentes, de la misma manera que ocurre con otrosfenmenos sociales. Chevallard y Johsua (1982) describen el "sistemadidctico" en sentido estricto, formado esencialmente por tres subsistemas:"profesor", "alumno" y "saber enseado". Adems est el mundo exterior ala escuela, en el que se haya la sociedad en general, los padres, losmatemticos, etc. Pero entre los dos debe considerarse una zona intermedia,la "noosfera" que, integrada al anterior, constituye el sistema didctico ensentido amplio y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por lasque se realiza la articulacin entre el sistema y su entorno. La nosfera es,por tanto, "la capa exterior que contiene todas las personas que en la

sociedad piensan los contenidos y mtodos de la enseanza". Brousseau(1986) considera, adems, como componente al "medio" que est formadopor el subsistema sobre el cual acta el alumno (materiales, juegos,situaciones didcticas, etc.).

La Escuela Francesa de Didctica de las Matemticas, a partir de una seriede constructos tericos introducidos en los ltimos aos (como el de"situacin didctica", "contrato didctico", "transposicin de saberes","ingeniera didctica", "obstculo didctico", etc.), est en vas de constituirun ncleo duro de conceptos tericos que sirva de soporte a un programa deinvestigacin en el sentido de Lakatos. Su capacidad de plantear nuevosproblemas de investigacin y de enfocar los ya clsicos desde una nuevaperspectiva, se pone de manifiesto a travs de la produccin cientfica de uncolectivo de investigadores. Los conceptos introducidos por la EscuelaFrancesa se utilizan cada vez con mayor frecuencia como organizadores delas explicaciones producidas por otros grupos de investigacin en todo elmundo.

4. La Educacin Matemtica en Mxico

Para comprender mejor cmo se ha problematizado el estatuto de laEducacin Matemtica en Mxico conviene revisar brevemente cul ha sidosu historia y su desarrollo desde los aos setenta, fecha en la que se ubicanoficialmente sus orgenes institucionales.

Si bien el arranque de la investigacin en Educacin Matemtica en nuestropas se sita a finales de los setenta con la creacin de la Seccin deMatemtica Educativa en el Centro de Investigacin y Estudios Avanzados(Cinvestav), no es sino a partir de la dcada de los ochenta que se puedeapreciar avances significativos en el campo, segn los siguientesindicadores:

Al menos 16 grupos de investigacin consolidados laborando regularmente en diversasinstituciones en todo el pasMs de 300 egresados de programas de especializacin o posgrado en investigacineducativa5 publicaciones peridicas especializadas con ms de 8 aos de antigedad y 3 msiniciando

Organizacin y/o participacin regular en diversos eventos nacionales e internacionalesIntervencin en asociaciones y sociedades de educadores de la matemtica nacionales einternacionalesTemticas de investigacin, metodologas y marcos de referencia, a la vez, diversificadosy especializados

4.1 Las temticas de investigacin

En las temticas abordadas en la investigacin en Mxico, los marcos dereferencia dependen, en buena medida, del nivel escolar que se estudia engeneral, cada grupo de investigacin enfoca su atencin hacia un nivelescolar determinado. Por esta razn, y para apreciar mejor la dinmica delcampo, una primera clasificacin de los temas estudiados en nuestro pasresponde al nivel escolar que abordan, esto nos da tres grupos: (a) nivelesbsicos, (b) niveles medio superior y superior y (c) trabajos en los que elnivel escolar no es determinante. Resumimos a continuacin los rasgosesenciales de estos tres grupos.

4.2 La investigacin en los niveles bsicos

Los trabajos enfocados al estudio de los niveles bsicos de la educacin sedesarrollan esencialmente en cinco lneas que tienen que ver, sobre todo,con aspectos psicolgicos, cognitivos y de desarrollo de los distintos actoresdel proceso educativo :

Conocimientos, concepciones y habilidades del alumnoDidctica de las matemticasConocimientos, concepciones y prcticas del maestroFormacin de maestrosDesarrollo curricular

A principios de la dcada de los ochenta, la mayor parte de lasinvestigaciones sobre el nivel bsico se centraron en el estudio de losconocimientos y concepciones del alumno; los trabajos en esta lnea se handiversificado recientemente al contemplarse otras dimensiones, como lacultural; se empiezan a estudiar los conocimientos matemticos de adultosno alfabetizados.

Paulatinamente, tambin se ha ido reconociendo cada vez ms la necesidadde hacer estudios, empricos y tericos, sobre las condiciones didcticas delos procesos de aprendizaje en los niveles bsicos.

Los estudios sobre desarrollo curricular, cuyo propsito es ofreceralternativas curriculares para el sistema educativo, tienen inters por sucarcter integrador de los aportes de distintas lneas y campos deinvestigacin y porque constituyen, al menos idealmente, uno de losprincipales espacios de impacto de la investigacin.

En los ltimos aos se han empezado a realizar, aunque de manera an muyincipiente, estudios centrados en el maestro. Se han llevado a cabo algunasinvestigaciones sobre concepciones, conocimientos y prcticas deenseanza, y sobre formacin de maestros. Estas investigaciones abrencampos de estudio prcticamente vrgenes, incluso a nivel internacional, enlo que a enseanza de las matemticas se refiere, y dan cuenta, en ciertaforma, de una mayor conciencia entre los investigadores de la complejidadde los fenmenos de la enseanza escolar, de la incidencia de factores demuy diversa ndole. Puede decirse que reflejan tambin una tendencia,aunque incipiente an, hacia la interdisciplinariedad.

4.3 Investigacin en los niveles medios y superior

Una de las caractersticas de las investigaciones de los niveles medios ysuperior que se realizan en Mxico es que el nfasis se desplaza hacia ladivisin de los contenidos de acuerdo con las disciplinas tradicionales, almismo tiempo que se abandonan los aspectos sociolgicos, psicolgicos y deinteraccin en el aula propiamente dichos. Esta tendencia se nota mscuanto ms se avanza en los niveles escolares. As, en los estudioscorrespondientes al nivel de secundaria se empiezan a definir las disciplinaspero todava estn presentes algunos aspectos ms generales del desarrolloindividual, como son la resolucin de problemas, el razonamientomatemtico, el desarrollo de habilidades matemticas, etc., mientras que enlos estudios correspondientes al nivel superior, el trabajo est totalmentedeterminado por el contenido matemtico definido de acuerdo con la divisindisciplinaria clsica. As, para los niveles medios y superior, las temticasabordadas son las siguientes:

Disciplinas:

a. lgebrab. Geometrac. Clculoanlisis

d. Probabilidad

Otros campos temticos (principalmente en estudios del nivel medio bsico):

a. Razonamiento matemticob. Cultura y comunicacin en el aulac. Resolucin de problemasd. Habilidades matemticase. Desarrollo curricularf. Estudios diagnsticosg. Evaluacin de material didctico

En lo que se refiere a las disciplinas, los desarrollos ms importantes estnconcentrados, por una parte, en el lgebra (principalmente para los nivelesmedios) y, por la otra, en el clculo (en los niveles medio superior ysuperior), lo que no es del todo extrao ya que estas temticas son las quemayor peso tienen en el curriculum de estos niveles escolares. Los trabajosvaran en el tiempo, en lo que se refiere a los aspectos que atraen laatencin de los investigadores: hacia el inicio de la dcada de los ochenta seve un gran inters en el anlisis del curriculum, el diseo y el desarrollocurricular y el anlisis de textos en ambas disciplinas (lgebra y clculo).

El inters evoluciona en el lgebra hacia un enfoque conceptualista primero,despus hacia los estudios de errores, para desembocar en los estudiossobre la adquisicin del lenguaje algebraico y el uso de ambientescomputacionales, para finales de la dcada. No obstante, el inters por losestudios curriculares renace en el lgebra en los ltimos aos a causa de lasreformas educativas en el pas.

Por lo que respecta al clculo, se pueden identificar dos tendencias que hantomado forma a principios de la dcada de los noventa, abandonndose losintereses curriculares iniciales. Ambas tendencias se caracterizan por unenfoque conceptualista en la investigacin: la primera est centrada en elaprendizaje de conceptos y la segunda en su enseanza. Desde luego, losconceptos objeto de estudio son los conceptos bsicos del clculo: derivada,integral, funcin, variable, continuidad, nmero real e infinito.

Por su parte, los estudios que conciernen al desarrollo del individuo o a lacomunicacin en el aula se concentran principalmente en el desarrollo delrazonamiento matemtico y en la resolucin de problemas como va deaprendizaje. Sin embargo, estos estudios slo empiezan a prefigurarse alfinal de la dcada de los ochenta y estn concentrados en el nivel mediobsico.

4.4 Investigaciones sobre aspectos generales

Dentro del rubro de "aspectos generales" se renen estudios que no estndeterminados por los niveles escolares pero cuya abundancia e intersmerecen una clasificacin especial. Tenemos, en primer lugar, los estudiossobre el impacto de la microcomputadora en la educacin matemtica. Estatemtica merece la atencin de un buen nmero de investigadores y esteinters es creciente en el tiempo, pero con caractersticas distintas a las quele dieron origen: en un principio, la atencin de los investigadores estabadirigida hacia el diseo de software educativo, altamente influenciado por lasmquinas de enseanza de las teoras conductistas. Al paso de la dcada, elinters se ha desplazado hacia el estudio de la microcomputadora comoinstrumento de exploracin y experimentacin dentro del aula, con mayorinfluencia de las teoras constructivistas y de las ciencias cognitivas.

El siguiente grupo de investigaciones tiene un carcter ms metodolgico.Se trata de investigaciones que hacen uso de los estudios sobre el desarrollohistrico de la matemtica, ya sea con fines epistemolgicos, psicolgicos odidcticos. Este recurso metodolgico se encuentra en estudios de todos losniveles escolares y de todas las ramas matemticas. Desde luego, lasdiscusiones sobre el uso de la historia en la investigacin educativa hantenido una evolucin a lo largo de la dcada: del uso de la historia comofactor motivador o inspirador del desarrollo de la clase se ha pasado al usode la historia como un recurso metodolgico para establecer relacionestericas entre los distintos factores del fenmeno educativo y los contenidosdisciplinarios.

4.5 Los trabajos sobre el estatuto de la disciplina

Las discusiones sobre la naturaleza de la Educacin Matemtica se iniciaronen Mxico cuando la disciplina alcanz una cierta masa crtica deinvestigadores, de mtodos y de temticas. Correspondi a Carlos Imaz, unode los pioneros de la Educacin Matemtica en nuestro pas, abriroficialmente la discusin proponiendo una "primera concepcin global yesquemtica del rea de matemtica educativa ...[que pueda] servir decatalizador hacia otras ms amplias" (Imaz, 1987: 267)

Ya antes Filloy (1981) haba ubicado a la Educacin Matemtica en un puntointermedio entre las ciencias y las humanidades y, refirindose al casoespecfico de Mxico, sealaba dos influencias principales: laestadounidense, como el resto del desarrollo cientfico y tecnolgico del pas,y la europea, manifiesta en la delimitacin de la problemtica y lametodologa de la investigacin en ciencias sociales y humansticas denuestro pas.

Bonilla (1989) discute las posiciones y los cuestionamientos sobre de laposibilidad de considerar a la Educacin Matemtica una ciencia. En el centrode la controversia opina Bonilla se halla la discusin sobre la "objetividadcientfica", polarizada en dos posiciones: la que afirma que el conocimientoslo puede ser alcanzado a travs del "mtodo cientfico", que supone unadistancia entre el investigador y su objeto de estudio, y la corrienteantropolgica, que considera que el problema estudiado slo tiene sentido sise le analiza en trminos estructurales, y que su eleccin est determinadapor los intereses cognoscitivos del investigador. Los correspondientes tiposde investigacin a que dan lugar estos enfoques son las llamadasinvestigaciones cuantitativas y cualitativas, respectivamente.

En Waldegg (1989) se propone una definicin de la disciplina a partir de suobjeto de estudio, sealando como principal objetivo de la EducacinMatemtica el desarrollo de un cuerpo terico de conocimientos queexpliquen y, por lo tanto, permitan modificar los procesos educativos de lamatemtica. Se resalta el hecho de que, a pesar de que la EducacinMatemtica tiene una gran interseccin con las ciencias de la educacin, laenseanza y el aprendizaje de la matemtica, hereda la especificidad de estaltima.

Flores (1991) presenta otro intento de caracterizar la disciplina alrededor deuna serie de problemas que pueden hacerse corresponder con algunas de lasreas de inters de este campo: desarrollo cognitivo, aprendizaje dehabilidades, aprendizaje de conceptos, resolucin de problemas, diferenciasindividuales, actitudes, currculo, enseanza y formacin de profesores.Flores seala como una tarea necesaria la elaboracin de marcosconceptuales que reflejen sobre las reas mencionadas las caractersticaspropias de la matemtica. A diferencia de otras ciencias, la EducacinMatemtica no cuenta con teoras globales, sin embargo, existe una redinternacional de investigadores y publicaciones especializadas que por elmomento opina Flores son las que, en la prctica, la definen.

Mancera (1990) llama la atencin sobre la multiplicidad de definiciones yconcepciones de la Educacin Matemtica y concluye que, por el momento,es ms importante reconocer la complejidad inherente a sus problemas y lanecesidad de un trabajo interdisciplinario que intentar dar una definicinms de la disciplina.

Si bien la discusin sobre su naturaleza no ha sido particularmenteabundante en nuestro pas, no se puede soslayar su permanencia entre lacomunidad, como una preocupacin patente, que define y determina elrumbo que debe seguir esta actividad en su desarrollo futuro.

5. Conclusin

Una vez descritas las principales corrientes de investigacin dentro de lateora de la Educacin Matemtica, se impone una reflexin final acerca de lanaturaleza de este campo como rea de conocimiento. Se trata de un sabermeramente prctico, una tecnologa fundada y dependiente de otrasciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas caractersticasrequieren un nivel de anlisis terico y una metodologa propia de unverdadero saber cientfico?

Esta reflexin epistemolgica, esencial para orientar adecuadamente lainvestigacin, ha sido poco tratada en la literatura. Destaca, sin embargo, eltrabajo de Brousseau (1989) con el significativo ttulo de "La torre de Babel"y las ideas de Steiner.

Ante la complejidad de los problemas de la Educacin Matemtica, Steiner(1985) seala la emergencia de dos reacciones extremas:

Quienes afirman que la Educacin Matemtica no puede llegar a ser un campo confundamentacin cientfica y, por tanto, la enseanza de la matemtica es esencialmente unarte.Quienes, pensando que es posible que la Educacin Matemtica sea una ciencia, reducenla complejidad de los problemas seleccionando slo un aspecto parcial (anlisis delcontenido, construccin del currculo, mtodos de enseanza, desarrollo de destrezas, etc.)al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto.

De manera parecida se expresa Brousseau (1989), indicando una primeraacepcin de la Educacin Matemtica, que identifica con "el arte deensear", es decir, el conjunto de medios y procedimientos que tienden ahacer conocer la matemtica. Brousseau, sin embargo, distingue dosconcepciones de carcter cientfico: la "fundamental" y la "matemtica".Como bisagra entre estos dos grupos identifica la concepcin "tecnicista",para la que la didctica es el conjunto de tcnicas de enseanza.

El punto de vista que Brousseau llama fundamental coincide con la segundatendencia sealada por Steiner. La didctica, como rea de conocimientocientfico, sera el "campo de investigacin llevado a cabo sobre la enseanzaen el cuadro de las disciplinas cientficas clsicas", como la psicologa, lasemitica, la sociologa, la lingstica, la epistemologa, la lgica, laneuropsicologa, la pedagoga, etc. En este caso, la naturaleza delconocimiento didctico sera la de una tecnologa fundada en otras ciencias.

La concepcin que Brousseau llama "matemtica" tiende a integrar todos lossentidos precedentes y a asignarles un lugar con relacin a una teoraunificadora del hecho didctico, cuya fundamentacin y mtodos seran

especficos, pretendiendo una justificacin endgena. Dicha concepcinpudiera ser el comienzo de una respuesta a la necesidad sealada porSteiner:

... de una base terica que nospermita una mejor comprensin eidentifique las diversas posiciones,aspectos e intenciones que subrayanlas diferentes definiciones deEducacin Matemtica en uso, paraanalizar las relaciones entre estasposiciones y conjuntarlas en unacomprensin dialctica del campototal (Steiner, 1985: 11).

En la Escuela Francesa se observa una aspiracin a construir un rea de estudio cientficopropio que no sea dependiente del desarrollo de otros campos cientficos, no siempreconsistentes. Este objetivo contrasta con la postura de Steiner quien no es partidario deinsistir en la bsqueda de teoras internas que pueden encerrar el peligro de restriccionesinadecuadas. La naturaleza del tema y sus problemas reclaman una aproximacininterdisciplinaria y sera errneo no hacer un uso significativo del conocimiento que otrasdisciplinas han producido sobre aspectos especficos de aquellos problemas. Steiner afirmaque la Educacin Matemtica debe tender a la transdisciplinariedad, trmino que cubre no slolas interacciones y reciprocidades entre proyectos de investigacin especializada, sino quesita estas relaciones dentro de un sistema total, sin lmites entre disciplinas.

La bsqueda de una teora de carcter fundamental, con aceptacin general para explicar ypredecir el conjunto de fenmenos asociados a los procesos de enseanza y aprendizaje de lasmatemticas, ha sido hasta el momento infructuosa. El estado actual de la EducacinMatemtica puede definirse como un campo de investigacin cientficotecnolgico emergenteen el que se identifican un cmulo de teoras competitivas, expresadas generalmente de unmodo informal y dependientes, especialmente, de planteamientos psicolgicos. Sin embargo,el nmero y calidad creciente de investigaciones en el rea permiten ver con optimismo laconsolidacin de la disciplina como campo autnomo del conocimientos en un futuro no muylejano.

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