la educación matemática en las primeras...

La educación matemática en las primeras edades

MARÍA ANTONIA CANALS*

• Reflexión sobre el proceso de enseñanza de las Matemáticas, a partir del análisis deexperiencias de aprendizaje en las primeras edades.

• Características de las etapas de Infantil y Primaria. Adquisición de capacidades funda-mentales y de destrezas matemáticas básicas.

• Relación entre deficiencias en los aprendizajes infantiles y algunos fracasos escolaresposteriores.

Primeramente, quiero expresar mi satisfacción por estar entre vosotros como siempre ennuestras JAEM y, muy particularmente, quiero expresar mi agradecimiento a los organiza-dores por haberme proporcionado la ocasión de vivir juntos estos momentos. Cuando mepropusistéis esta charla, naturalmente, me sorprendí y hasta me asusté un poco, por un míni-mo sentido de las proporciones, pero luego enseguida me encantó que me pidieséis precisa-mente un tema que me permite compartir con todos vosotros algo tan importante para mícomo es la pasión por enseñar Matemáticas a los más pequeños.

En efecto, se trata de algo que me ha acompañado durante toda mi vida profesional, yque de tal forma ha sido el elemento más gratificante de ella que ha llegado a ser casi unaspecto definitorio de mi persona. Cómo enseñar Matemáticas en las primeras edades hasido para mí una aventura en el pleno sentido de la palabra, una aventura que me apasionóde joven y que me sigue apasionando, cada vez con nuevos matices.

Y hoy, precisamente en el inicio de una nueva etapa (ésta que solemos llamar «jubila-ción», porque hay que llamarla de alguna manera para entendernos), me pregunto cómopodríamos definir qué es enseñar Matemáticas a los niños y niñas pequeños y encuentrocomo respuesta que podríamos definirlo como una ciencia, y como un arte, el arte de iraprendiendo uno mismo, al paso de ir descubriendo un camino que posibilite y fomente quelos más pequeños maduren en el innato saber matemático del que la vida les ha dotado yque la vida les va ofreciendo día a día.

• Cuando yo empecé, recién salida de la Universidad hace 48 años (¡casi medio siglo,es impresionante!), puedo aseguraros que no lo veía así. Entonces ya me gustaban los alum-nos, cuanto más pequeños mejor (y no me preguntéis por qué; eso nunca puede saberse),pero mi punto de partida, por así decirlo, eran las Matemáticas, eran los contenidos quehabía que «enseñar». Así se configuró lo que podría llamar una primera etapa de mi expe-riencia docente. Creo que esto nos pasa un poco a todos, tenemos una sana preocupación

49X JAEM. Conferencia Plenaria CP2, pp. 49-60

por aquello que nos sentimos responsables de transmitir, y entre nosotros hoy seguimos dis-cutiendo sobre qué hemos de enseñar.

• Pero, precisamente, porque la docencia es una experiencia, y avanza en la medida enque aprovechamos para irla transformando lo mismo que ella nos va proporcionando, llegaun momento en que afortunadamente constatamos que a pesar nuestro no se enseñómucho, o no llegó a los alumnos gran cosa. Cuando nos sucede esto, hemos de pararnos apensar por qué fue así, y evidentemente caemos en la cuenta de que teníamos que haberledado más importancia al «cómo enseñar». A mí esto me sucedió no de golpe, sino poco apoco, pero precisamente esta transformación es la que podría definir como segunda etapa demi experiencia docente. Y también constato que entre nosotros hoy seguimos discutiendosobre cómo hemos de enseñar.

• Caminando siempre en ese mismo camino, escuchando las ideas nuevas y a las nue-vas generaciones y, sobre todo, observando más las reacciones de los niños (por esto decíaal principio que se trata de ir aprendiendo de la misma vida de enseñante), he ido llegandoa una tercera etapa, en la que creo que nuestro objetivo no es enseñar sino conseguir quelos chicos y chicas aprendan. Y así, nuevamente, se me ha desplazado el punto de partidade la enseñanza para situarme en el aprendizaje. Creo que también esto nos ha ido pasandoa todos: toma importancia no tanto el cómo nosotros enseñamos a los pequeños, sino elcómo ellos y ellas aprenden o mejor aún, el cómo viven e integran a su vida aquello que hanaprendido. Y, precisamente, de ello estamos hablando hoy entre nosotros.

No es que crea que ésta es la última etapa o la definitiva. Creo en la magia de los núme-ros, que tal como dicen los niños «no se terminan nunca», y por eso mismo las nuevasmaneras de enfocar la enseñanza de las Matemáticas tampoco se acabarán nunca, sino queirán avanzando por nuevos descubrimientos. Cada uno de nosotros no podremos verlostodos, pero como colectivo que somos, los veremos.

Yo hoy voy a hablar desde el último de los puntos de vista que he mencionado, el deponer la base y el acento en el análisis de qué es aquello de las Matemáticas que los alum-nos aprenden y que realmente hacen suyo, es decir, convierten en vivencia. Lo haré así por-que es mi punto de vista actual, pero también porque pienso que fue el de los grandes maes-tros como Puig Adam, como nuestro primer presidente Gonzalo Sánchez Vázquez, y tantosotros, y además porque pienso que en una u otra forma es el de todos nosotros, que tantasveces hemos proclamado juntos que las Matemáticas son inseparables de la vida cotidiana,son inseparables de la vida misma.

En esta línea pues, os invito a una incursión por el mundo de la enseñanza de los máspequeños para aprender de ellos algo referente a la enseñanza de las Matemàticas paratodos.

Lo haremos tratando tres puntos.

¿Por qué una reflexión sobre el aprendizaje en las primeras edades?Voy a nombrar tres razones para justificarla.

• La primera es que los niños y las niñas de todas las edades merecen el mismo respe-to y la misma atención por nuestra parte. Esto es tan evidente que ya se convirtiócasi en un tópico y no voy a comentarlo.

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• La segunda razón, que a mi me parece también evidente, es mucho más práctica, ypodríamos formularla así: a menudo reflexionamos sobre el aprendizaje de lasMatemáticas por parte de los chicos y chicas jóvenes, y es natural que nos preocu-pe. Hoy saltan a la vista de todos los graves problemas de nuestra Secundaria. Perocreo que nos detenemos poco en relacionarlos con los déficits de nuetra Primaria,que me atrevo a decir que son enormes… ¿Hemos caído en la cuenta de que prác-ticamente es imposible que nuestros alumnos aprendan bien en la Secundaria, sillegan a ella con mala preparación? Sin embargo, se trata de una idea tan simplecomo aquella de que un árbol difícilmente tendrá ramas frondosas si tiene pocodesarrolladas las raíces. Realmente podemos asegurar que la importancia de unaeducación rigurosa en Parvulario y Primaria repercute casi definitivamente en todala que seguirá después.

• Hay también otra razón para que nos detengamos a pensar en el aprendizaje en lasprimeras edades, y es la siguiente: La visión del acto de aprendizaje de los más peque-ños es como una visión privilegiada, que nos permite una mejor visión del aprendi-zaje en todas las edades, es decir del aprendizaje como tal, considerado globalmente.Podríamos compararlo con lo que sucede cuando en un partido de fútbol en la tele-visión después de un gol interesante nos lo pasan con detalle, en cámara lenta, paraque podamos verlo bien, prescindiendo de elementos que nos distraen, y analizarlo.Ello resulta incluso excelente para que alguien poco iniciado entienda bien qué esun gol, cuáles son sus límites y las normas que lo regulan. Muchas veces el aprendi-zaje de los más pequeños es esta cámara lenta que nos permite comprender mejor quées el aprendizaje, qué sucede dentro de nuestras cabezas, o dentro de las de nuestrosalumnos de cualquier edad, cuando de aprender Matemáticas se trata.

¿Qué es lo que aprenden realmente de Matemáticas los niños yniñas hasta los 12 años?Pienso que aprender Matemáticas en estas edades –y sospecho que en todas– consiste enuna tarea de capacitación diversificada esencialmente tres aspectos distintos e inseparables:

– forjar unas actitudes favorables;– sentar unas bases conceptuales sólidas;– adquirir unas destrezas o habilidades.Dejaré las actitudes sin comentar, porque son las mismas que las de los alumnos mayo-

res, más conocidas de todos nosotros, y por no alargarme. Empezaré y me detendré más enlas destrezas, seguidas de los conceptos, ya que pienso que uno de los aspectos mas positivosde nuestra última reforma de la enseñanza ha sido poner de manifiesto que en las primerasedades las destrezas son prioritarias. Y, precisamente, una de las maneras más interesantesde profundizar en el aprendizaje de las Matemáticas es el descubrimiento de hasta qué puntola adquisición de las destrezas va estrechamente ligada a la génesis de los conceptos.

Conviene contemplar las destrezas o habilidades como algo cuya adquisición va encami-nada a desarrollar capacidades de la persona, y así vemos que son algo que debe irse apren-diendo y perfeccionando en el tiempo. Son algo más directamente ligado a un «saber hacer»que a un saber teórico. Por esto podemos también llamarlas contenidos procedimentales.

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Puesto que las distintas capacidades de las personas son muy variadas, las destrezas tam-bién lo son, es decir, vemos que hay destrezas de muy distintos tipos: de expresión, técnicas,sensoriales, de movimiento… llegando a las mentales.

Entre las primeras destaca la de expresar verbalmente aquello que se observó; aunquepueda parecer que esto no es matemática, sí lo es en el sentido de que la expresión verbalayuda a concretar el pensamiento y favorece la construcción de una amplia gama de con-ceptos en todos los campos del saber, luego también de Matemáticas. En las del segundo tipose incluyen desde las destrezas manuales y las del uso correcto de instrumentos, hasta la deresolución de algoritmos.

Entre las de los otros tipos nombrados, y ahora ya refiriéndome a las primeras eda-des, la Psicología nos enseña que las primeras destrezas que aprenden los niños y niñasdesde que nacen son las sensoriales, es decir las que suponen adquirir un perfecciona-miento de la percepción sensorial, y las motóricas, o sea las que se refieren al dominio demovimientos; entre estas últimas podemos destacar dos tipos: unas que llamamos demotricidad gruesa, que se refieren a los grandes movimientos del cuerpo, principalmen-te el andar y todos los desplazamientos, y otras que se refieren a la que llamamos motri-cidad fina, o conjunto de movimientos pequeños utilizados en la manipulación demateriales e instrumentos.

Hay además las destrezas mentales, de las que hablaremos luego.

Educación Infantil (0-6 años)Entre 0 y 2 años casi podríamos decir que el aprendizaje de las Matemáticas no se da toda-vía como tal, pero sí se da en el sentido de que se sientan las bases precisamente de las dosúltimas destrezas que acabo de citar, las cuales serán la fuente de todas las demás. Este perio-do, que constituye el 1.er ciclo de Educación Infantil, podría definirse por el hecho de quelos pequeños no toman aún consciencia explícita de los resultados de sus experiencias.Piaget lo llama periodo sensomotor y, por ejemplo, refiriéndose al conocimiento del espa-cio, nos dice que los pequeños resuelven todas las situaciones a nivel práctico a partir de lapercepción sensorial y del moviemto, pero todavía no elaboran una representación o esque-ma mental del espacio.

A partir de los 2 años, ya en el inicio del 2.° ciclo de Educación Infantil, y precisamen-te apoyándose en las anteriores destrezas, los niños y niñas empiezan a interiorizar sus expe-riencias y van tomando conciencia de los resultados de sus exploraciones. Con ello empie-za a desarrollarse la gran capacidad de relacionarlos mentalmente, y de ese modo surge unanueva habilidad, que podríamos llamar relación mental consciente. De ella podemos ya decirque es una destreza de tipo intelectual o mental.

Las relaciones, aplicadas a cualquier ámbito de la realidad, son una verdadera actividadmatemática por las distintas formas o criterios con que se realizan: por similitud o igualdad,por orden y por contrastes y diferencias. Pero, además, desde el punto de vista de lasMatemáticas hemos de tener en cuenta los distintos ámbitos a que se aplican:

• Relaciones entre la posición de uno mismo y de las cosas en el espacio, que son elfundamento de la geometría.

• Relaciones entre cualidades de objetos (color, sonido, etc.), que son el fundamentodel futuro pensamiento lógico.

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• Relaciones entre magnitudes contables (muchos, pocos, más, menos, tantos), funda-mento de la comprensión numérica.

• Relaciones entre magnitudes continuas, base para las medidas.Existen además muchas otras relaciones, difícilmente catalogables, que los niños y niñas

realizan constantemente.Hemos de considerar todas estas relaciones como la base y como el fundamento del pen-

samiento matemático.La práctica, ampliación y diversificación de la habilidad mental de relación no es algo

exclusivo de la etapa educativa infantil, ya que naturalmente ha de seguir durante toda laPrimaria y siempre, pero sí podemos decir que es algo que la caracteriza, ya que constituyela casi totalidad de la actividad matemática necesaria a esa edad. Su consolidación al finalde la misma es, precisamente, lo que solemos llamar maduración del pensamiento lógico, y ami modo de ver es uno de los criterios que deberían regir para pasar a la etapa siguiente. Deello hablaremos enseguida.

Pero antes sería conveniente preguntarnos si realmente este trabajo matemático de rela-cionar, que es tan importante, se aprende prioritariamente en la escuela o no.

Yo me inclino por la respuesta negativa.Creo que los niños y niñas hasta los 7 años no aprenden a relacionar principalmente en

la escuela, sino que lo aprenden en las muy distintas situaciones en que transcurre su vidacotidiana, y en cada una de las actividades que ella conlleva (por tanto los que van a laescuela, también en ella, y quizás con mayor intensidad, pero no de forma exclusiva) Y situviera que priorizar alguna actividad que fomenta la relación, elegiría desde luego el juego.No sé si ésta es una razón remota para que la escuela obligatoria no empiece hasta los 6 años(aunque me temo que hay otras razones ocultas mucho menos confesables), pero en todocaso es consolador saber que los pequeños que no van a la escuela, que desgraciadamente enel mundo son muchos miles, no tienen la puerta cerrada. Porque los pequeños en estas eda-des tienen un potencial de aprendizaje extraordinario, y en la calle, en casa, y donde sea,aprenden precisamente lo más importante, ejercitando por sí mismos sus destrezas menta-les. Ciertamente puede faltarles un bagaje cultural, pero éste es recuperable.

Ahora bien, precisamente porque los alumnos traen de su vida un gran aprendizajehecho, la escuela tiene el deber de acogerlo, de tomarlo como eje de su programación ycomo punto de partida de sus actividades. Además la escuela ha de saber que todo lo quehaga en desacuerdo con la experiencia vital de los niños y niñas, o de forma tan alejada ydistante de ellos que no les permita integrarlo en ella, es completamente inútil porque nodesemboca en un auténtico aprendizaje.

Creo que esto es tan válido para todas las edades, que es una regla de oro de la enseñanzaque hemos de aplicar también en la Primaria, la Secundaria… y siempre. En la EducaciónInfantil toma un mayor relieve porque esto es casi exclusivamente todo lo que hay quehacer. Más adelante, ciertamente, tendremos que tener muy en cuenta la intervención delos adultos, pero será muy importante saber que nunca en la escuela podremos olvidar losaspectos matemáticos que los chicos y chicas aprenden fuera de ella.

En conclusión, podríamos decir que en los primeros años de la educación la actividadmatemática podría resumirse así: lo primero y más importante que hemos de hacer los adul-tos, sin excluir los maestros, es aprender a observar la actividad matemática que los pequeños


hacen espontáneamente, que es muchísima y acompañarla, o sea darle un empujoncito paraque vaya adelante… Naturalmente, para poder hacer esto, que nada tiene que ver con lascolecciones de fichas que todavía vemos en algunas Escuelas Infantiles, primeramente hayque ver la matemática que hacen los niños y las niñas Y esto, que es tan simple, es lo quemás cuesta.

Paso de Infantil a PrimariaVolvamos al momento que hemos citado antes, de maduración del pensamiento lógico, alfinal de la Etapa Infantil, aproximadamente a los 6 o 7 años. Quizás más que de un momen-to se trata de un corto periodo, a caballo entre las dos etapas, del cual no puede definirseexactamente la edad, ya que es muy distinta para cada persona.

A veces me gusta llamarle «el milagro de los 6 años», ya que en esta época se produceen los niños y niñas un cambio muy grande y muy complejo, desde el cambio de los prime-ros dientes, hasta progresos capitales en distintos campos del saber, entre los que destacanla lectura y escritura. En lo que a Matemáticas se refiere, hay que señalar la aparición denuevas destrezas y capacidades, evidentemente ligadas a las anteriores, que siguen perfec-cionándose.

Se perfeccionan destrezas de tipo técnico como el dominio del lápiz y la correcta distri-bución en el papel, y se adquieren otras nuevas, como el uso de la regla y de la calculadora,la construcción de modelos plásticos para representar configuraciones espaciales, el uso delos primeros instrumentos de medida, etc.

Al mismo tiempo merecen destacarse los progresos en la capacidad de observar conatención y en la memoria.

Pero lo que es extraordinario en este período, y que hemos definido ya como madura-ción del pensamiento lógico, es la eclosión de unas nuevas capacidades mentales importantí-simas, entre las cuales destacan:

– el discernimiento entre causas y efectos;– la inclusión de clases, sobre todo referentes a cantidades;– la comprensión de operaciones en el amplio sentido de la palabra (situación inicial,

cambio, situación final);– la reversibilidad del pensamiento;– la capacidad de clasificar y de ordenar por criterios no perceptibles visiblemente.Estas capacidades, aplicadas al campo de los números y operaciones, al de las formas y

fenómenos espaciales, y al de la medida dan lugar de forma definitiva a unas primeras nocio-nes, que tienen aún mucho de intuición, pero que son sin duda de tipo conceptual y, portanto, podemos considerarlas como los primeros conceptos matemáticos. Entre ellos desta-caremos los siguientes:

– noción de número natural como cantidad más allá de las apariencias perceptivas delos grupos de objetos;

– noción de suma y de resta;– noción de unidad en la práctica de la medida;– nociones topológicas de separación y de continuidad, noción de línea recta y curva,

de figura plana y de cuerpo.A ello se une el uso y significado de los primeros signos matemáticos.

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Educación Primaria (6-12 años)A partir del anterior periodo, que como hemos visto es clave para el aprendizaje de lasMatemáticas, tiene ya una gran incidencia la intervención del adulto, que observa los pasosdel niño o niña, le despierta interrogantes, le acompaña con propuestas para propiciar nue-vos avances… En estas edades, todos los adultos deberíamos actuar así con los pequeños, yes evidente que en ello la escuela tiene un papel muy destacado. A ella le correspondeintensificar esta presencia y esta labor, y encargarse de regular y sostener un trabajo serioque se hace necesario. Para ello creo que, en lo referente a Matemáticas, la escuela debesaber alternar la transmisión de la información que se precise con unas prácticas de adqui-sición de técnicas manuales y mentales, con actividades que conduzcan al descubrimientode las verdades y los misterios de los números, y con otras actividades libres que fomentenla iniciativa y la creatividad.

Veamos qué es lo que los niños y niñas pueden aprender de Matemáticas en esta etapa.El tiempo de la Educación Primaria, quizás por fundamental, es el más largo en la ense-

ñanza escolarizada. El primer curso, podríamos identificarlo con el periodo que hemos lla-mado «paso de Infantil a Primaria» y, a partir de ahí, el periodo que va desde los 7 hasta los12 años supone para la persona un progreso muy grande. Aunque a veces podemos ya con-templar notables avances en edades anteriores, es durante ese periodo cuando los niños yniñas van adquiriendo una serie de destrezas procedimentales que son definitivas para elaprendizaje de las Matemáticas, entre las cuales destacan las siguientes:

– planteamiento de interrogantes;– análisis y discusión de diversos casos posibles;– uso del material manipulable para investigar y descubrir relaciones numéricas;– uso correcto de instrumentos geométricos y de medida;– habilidad en el cálculo mental y en la estimación en general;– búsqueda de estrategias para resolver situaciones y problemas;– tanteo y comprobación en diversos tipos de actividades.Las llamo destrezas porque, tal como dijimos al principio, realmente son algo que no es

innato en los alumnos, sino algo que han de ir adquiriendo progresivamente; por tanto,nosotros hemos de encaminar nuestra actuación docente en el sentido de que ellos las aprendan.

Sin duda, son muchas más las habilidades que se trabajan a esta edad, y desde luegosiguen con total vigencia las ya iniciadas en la etapa Infantil, especialmente las de movi-miento, de manipulación de materiales, y de expresión verbal de las actividades y de losdescubrimientos en ellas realizados. Pero las que he citado, además de ser específicas de laetapa presente, me parecen muy características del espíritu de investigación y, por tanto,del saber matemático. Es increíble constatar hasta qué punto los chicos y chicas en edadesmuy tempranas son capaces de adquirir estas habilidades que a veces pensamos que estánreservadas a los mayores. Cuando empiezan, por ejemplo, a descubrirle el gusto a dominaruna técnica, o a resolver un pequeño enigma por un camino que ellos han encontrado, nohay quien los pare.

Inseparablemente a todas estas destrezas, y a los conceptos que se generan como conse-cuencia, que a continuación comentaré, la etapa de Primaria es el tiempo privilegiado en elque empiezan a consolidarse unas actitudes tan importantes como son la seguridad en unomismo, el gusto por descubrir cosas nuevas, la alegría en el trabajo… y, en definitiva, el inte-


rés por los temas matemáticos. Si sabemos acoger este momento y seguirlo acompañando,tal como decíamos al hablar del papel de la escuela, empezamos a sentar unas bases sólidas.

Refiriéndonos ahora a los conceptos, podemos decir que, a partir de la experimentacióny siempre en relación con las destrezas citadas, a lo largo de este periodo hemos de situar laadquisición de notables contenidos matemáticos de tipo conceptual:

• En el campo geométrico se consolidan nociones de distancia, de direccionalidad, deángulo, de perímetro y de superficie, de paralelismo y de perpendicularidad, de coor-denadas lineales en el plano. Se organizan las primeras familias de figuras de 2 y 3dimensiones, según las características de cada una. Se adquiere una primera idea detransformación geométrica, como cambio de posición, de forma o de ambas cosas, yse intuyen las leyes que regulan las transformaciones métricas.

• En el campo numérico se construyen las nociones empíricas de números negativos,fraccionarios y decimales con algunas de sus propiedades, también se construye elconcepto de cada una de las operaciones básicas con algunas de sus leyes, la nociónde potencia, y la de operación inversa de otra. Aparecen las primeras nociones dedivisibilidad, de proporcionalidad y de porcentaje, así como las más sencillas de laestadística y la noción de azar.

• En el campo de la medida se perfecciona la práctica de la misma y se amplía el cono-cimiento experimental de las magnitudes, especialmente de aquellas que son aúnpoco conocidas, como el tiempo, la capacidad, la amplitud de ángulos y la superficie.Se conocen las diversas unidades de un sistema, las relaciones entre ellas y los dis-tintos sistemas de unidades. Paralelamente se inician las nociones de error y de apro-ximación.

A todo ello se une un gran avance en la simbología, con la adquisición del significadode los signos que representan realidades de carácter abstracto.

Algunos de estos conceptos pueden quedar ya asumidos de una forma bastante sólida porlos alumnos, mientras que otros estarán tan sólo iniciados y requerirán ser retomados másadelante, como es el caso de las fracciones, los decimales, las nociones de divisibilidad y deaproximación, etc. En realidad todo el aprendizaje se va acumulando cíclicamente y, desdeluego, ahora sólo estamos en la edad de los primeros pasos.

En Primaria hemos de ocuparnos también de la preparación remota pero auténtica deotros contenidos conceptuales que no aparecerán en firme hasta la Secundaria, pero queconviene enfocar ya desde ahora, entre los que, aparte de la consolidación de los conceptosque tan sólo han sido iniciados, destacan como nuevos: las transformaciones geométricas ysus leyes, la noción de volumen y su medida, las relaciones entre longitudes y áreas, y entrelongitudes y volúmenes, las coordenadas tridimensionales, la naturaleza de los númerosdecimales, las propiedades de las potencias y la noción de raíz cuadrada, y la proporcionali-dad. Todo esto junto con el significado y uso correcto de simbologías abstractas favoreceráel inicio y la comprensión del álgebra al entrar en la etapa siguiente. Ahora hemos de pre-ocuparnos de sentar las bases necesarias para que eso sea posible.

Resumen y objetivo terminalSi bien es cierto, tal como acabamos de ver, que en la Primaria los chicos y chicas ya adquie-ren unas destrezas básicas y unos primeros conceptos, también es cierto que no es todavía la

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edad adecuada para los conocimientos abstractos. La Primaria es la gran etapa del conoci-miento experimental, en lenguaje de Piaget es la etapa de «las operaciones concretas», queno quiere decir operaciones con objetos reales como a veces se piensa, sino operacionesmentales desde luego, pero actuando siempre sobre números, figuras, elementos… que sehan concretado (ejemplo de cálculo con regletas).

No precisa que a los alumnos, por ser menores, les hagamos la vida más fácil. Ellos y ellastienen unas posibilidades seguramente más grandes de lo que nosotros creemos. Pueden ynecesitan trabajar con esfuerzo y resolver cosas difíciles precisamente para desarrollar lascapacidades que antes hemos citado y que les son propias, y así conseguir la maduración delpensamiento lógico-matemático correspondiente a su edad. Si así sucede, al final de estaetapa adquirirán la capacidad de generalizar las relaciones realizadas y las leyes descubiertasen casos concretos, es decir la capacidad de abstracción, que es precisamente la puerta paraentrar en el periodo siguiente con el bagaje necesario para poder sumergirse de lleno en elmundo de las Matemáticas.

Mirada a nuestra realidad escolar Hemos llegado al final de la Primaria. Analicemos ahora un poco nuestra realidad escolar:¿podemos decir que se cumplen los objetivos que acabamos de describir?

Hoy día nuestros alumnos «aprenden» (entre comillas) nuchísimas cosas: de números ycálculo aprenden, sobre todo, a resolver por escrito las mismas operaciones que ya resuelvenlas calculadoras, lo cual no está mal, pero desde luego no basta y ni siquiera es esencial. Degeometría aprenden a dibujar figuras siempre de la misma forma y en la misma posición (¡nofuese que nos despistásemos!), y a representar los cuerpos de tres dimensiones siempre sobreel papel. De problemas aprenden a decidir con prontitud, y sólo a partir de las apariencias,si se trata de multiplicar o de dividir. Y de medida pienso que no aprenden nada porque loque hacen no es medir sino calcular con las unidades de medida.

En cambio, ¿no pensáis que sería altamente rentable para la enseñanza de lasMatemáticas en edades posteriores que los alumnos llegasen con sólo los conceptos básicos,pocos pero sólidos, y con las habilidades fundamentales de que hemos hablado bien enrai-zadas en sus maneras de hacer y de estudiar? A los que hacéis Matemáticas en Secundaria,o, por qué no, los que tenemos alumnos en la Universidad, ¿no nos gustaría que el saberobservar y discernir, el buscar nuevas estrategias, y el afán de investigar fuesen ya hábitosadquiridos en los alumnos que nos llegan?

Pero, desgraciadamente, lo que suele suceder en nuestras escuelas primarias es que que-remos hacer demasiadas cosas y todavía no hemos aprendido a discernir cuáles son las real-mente importantes. Así, por ejemplo, todavía hay demasiadas discusiones estériles sobre siconviene o no la calculadora como medio, pero generalmente no tenemos ni idea de porqué (con qué objetivo) la queremos o la rechazamos. Tampoco hemos caído todavía en lacuenta de que las cosas esenciales no se aprenden resolviendo muchos algoritmos y dejan-do de lado la Geometría.

En cambio, las cosas esenciales más bien se aprenden tratando temas matemáticos querespondan a intereses reales, manipulando materiales que sirvan para hacer visibles las pro-piedades numéricas, realizando movimientos que expliciten las leyes del espacio, resolvien-


do juegos y problemas prioritariamente abiertos y discutiendo sus soluciones, practicando elcálculo mental, estimando resultados y medidas, equivocándose y volviendo a empezar…En definitiva optando no por aquello que es más sabido y por tanto más cómodo, sino poraquello que poco a poco vamos descubriendo que nuestros chicos y chicas necesitan.

Y, ¡atención! Los de Secundaria, tenéis que protestar, tenéis que gritar cuando laPrimaria no lo hace así. Porque resulta que el cerebro y la psicología de los niños y niñastienen sus leyes propias, y nosotros tenemos la obligación de respetarlas. Por su mismanaturaleza, ellos cuanto más pequeños son, más se dejan moldear por las actitudes de losadultos; su respuesta a los estímulos está muy condicionada por nuestra actuación, a tra-vés de la cual ellos y ellas siempre descubren nuestras intenciones profundas y nuestropensamiento.

Si lo que en el fondo deseamos es que aprendan las mecánicas ellos irán en este sentido,pero si lo que realmente deseamos es que aprendan a pensar, a descubrir, y a tener iniciati-va también irán en ese sentido. Por esto es relativamente fácil obtener resultados satisfac-torios a corto plazo; en cambio la tarea de educar nos pide algo mucho más difícil que escambiar nuestra visión de la enseñanza y, en función de ello, renovar constantemente nues-tra manera de hacer en el aula.

No podemos jugar con esto, porque nos estamos jugando el futuro de la enseñanza delas Matemáticas!

Algunas pistas para actuar hoyDespués de esta síntesis de lo que significa en profundidad la educación matemática hastalos 12 años, y de la constatación de que nuestra situación actual dista mucho de ello, pro-bablemente muchos nos estamos planteando qué podríamos hacer hoy.

Como respuesta a esta pregunta diría que es conveniente atacar el problema desde dis-tintos frentes, o sea a distintos niveles, y en este sentido quisiera dar tan sólo algunas pistas:

Un primer nivel podría ser el de la concepción que tenemos de la educación matemáti-ca, y para éste ya he dado mi pista, que es sin duda empezar por los cimientos, dando lamayor importancia y seriedad a la Educación Infantil y Primaria. Con esto no quiero decirque podamos darle la culpa a nuestra etapa y olvidar la Secundaria, ya que en ella tembiéntenemos muchas cosas para mejorar y para cambiar. Pero ya que hoy estamos hablando delas primeras edades, sólo quiero poner el acento en aquello de que si en los inicios se cogeun camino erróneo, después no hay quien lo arregle.

Un segundo nivel puede ser el que se refiere a la posición y actuación personal de cadauno de nosostros. Para este voy a sugerir tres pistas:

1. No vale quedarse en las lamentaciones echando la culpa a la falta de medios, sinoaguzar el ingenio y tomar las medidas que sean posibles en cada situación. No espe-rar a que las condiciones mejoren; quién sabe si todavía pueden empeorar y los chi-cos crecen año por año sin esperar…

2. Cuando vemos que una cosa está en la línea que consideramos buena para nuestrosalumnos, ¡hacerla ya! Aunque nos parezca poco, todo es válido. Andar en la buenalínea produce siempre buenos resultados, aunque sea más tarde, cuando los alumnosya no los tenemos en el aula. Hemos de perder el miedo a la innovación.

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3. Abrir los ojos, aprender a discernir qué es lo mejor, y priorizarlo, más allá de lasmodas, y cuando es necesario más allá de las leyes. No podemos ser esclavos de lasnormas, algunas de las cuales (de programación, de temporalización, y otras) sor-prenden por su absurdidad e incluso contradicen el espíritu de la ley de Educación.Hemos de ser libres para tomar lo que conviene y dejar lo que sabemos que hará mal.Optar por lo mejor para sus alumnos es en verdad el primer deber y, por tanto, dere-cho del maestro.

Un tercer nivel de respuesta es el de actuación colectiva. Sabemos que no podemos avan-zar solos. Como tantas veces hamos repetido desde aquí y desde otras instancias, necesita-mos una acción colectiva. Las pistas podrían ser:

1. Unirnos a otros maestros de los mismos niveles de enseñanza que nosotros, y con-tarnos mutuamente lo que nos cuesta, lo que vamos decubriendo, y lo que quisiéra-mos aprender. Yo a esto le llamo «grupos de maestros», y actualmente es mi activi-dad preferida.

2. Dialogar también con expertos de otras áreas del saber que inciden en la educación,especialmente la Psicología que estudia los fenómenos del aprendizaje. Creo que estopuede ayudarnos, a condición de tener claro al mismo tiempo, que la última palabraen educación matemática la tenemos los de Matemáticas.

3. Entablar todas las batallas que sean necesarias con la Administración, es decir, conlas respectivas autoridades de la enseñanza, sin perder la calma y con firmeza. Comocolectivo que somos los aquí presentes y otros muchos, hemos de aprovechar, o seguiraprovechando, la fuerza que suponen nuestra palabra y nuestro testimonio, paradenunciar obstáculos y para ir encontrando nuevos caminos.

4. Concretando a las edades de enseñanza Primaria y Secundaria, más que una pistaquisiera añadir la propuesta de continuar algo que ya se ha hecho desde laFederación: trabajar en comisiones de enseñantes de ambas etapas, rompiendo unpoco la excesiva separación que existe entre unos y otros, para poner en comúnresultados, confrontar metodologías y discutir y ajustar programas. Pienso que llegara algunos acuerdos concretos entre ambos colectivos, no sólo sería muy útil, sino quees necesario.

Para terminar, en un último nivel, el de nuestras actitudes y sentimientos, quisiera deciralgo que no es ya una pequeña pista sino que es la expresión de mi profunda convicción:

¡¡¡No podemos perder la esperanza!!!

Con los años, he ido viendo que demasiadas veces nos invade el desánimo individual ycolectivo, pero también he ido descubriendo infinidad de valores positivos (algunos de loscuales acabáis de escuchar). Por esto sé que más allá del desánimo, no podemos perder laesperanza.

No podemos, porque estamos seguros de que todos los niños y niñas, todos los chicos ychicas y todos los y las mayores, necesitan una manera racional y humana de aprenderMatemáticas, con unos objetivos de personalización y de solidaridad. Y nuestro mundonecesita que así lo proclamemos, no con palabras sino con hechos, con nuestra práctica, connuestra vida. Por esto no podemos perder la esperanza…

Sabemos que en esta tarea de educar no podemos andar a medias…


Sabemos que estamos unidos y fuertes en ella…Sabemos, hoy, aquí, que no perderemos la esperanza porque ¡enseñar Matemáticas nos

hace felices!

Notas* Universidad de Girona. Federació d’Entitats per l’Ensenyament de les Matemàtiques a Catalunya.

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M.a Antonia Canals durante su intervención

la educación matemática en las primeras...

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