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FES. Propiedades de transporte

La ecuación de Boltzmann

El movimiento de un portador en un metal o semiconductor está condicionado por un lado por

presencia de campos externos (eléctricos, magnéticos), gradientes de temperatura y por otro por la

colisiones que sufren los portadores con las impurezas, vibraciones reticulares, ect. Unos efectos actúan

acelerando el portador y otros frenándolo. Un balance de todos estos efectos conduce a establecer la

ecuación de transporte de Boltzmann para los sólidos.

La situación no es muy diferente a la que se establecer la estudiar los fenómenos de transporte en gases

. Hay dos diferencias principales.

1. En sólidos se usa la estadística de Fermi-Dirac en lugar de usar la de Maxwell-Boltzmann.

2. En sólidos las colisiones se dan entre partículas de diferente naturaleza: electrón-impureza y

electrón-fonón (vibración reticular).

Las aplicaciones de esta teoría son variadas. De nuevo se trabaja en el límite clásico de teoría cuántica

en la que los portadores vienen descritos por un paquete de ondas, y la evolución de las magnitudes

que describen este paquete (k) siguen ecuaciones clásicas.

En este idea consideraremos nuestra distribución de portadores caracterizado por las magnitudes

posición espacial (r) y por su estado descrito por el vector de ondas k.


Estudiaremos la función fk(r,t), definida como: probabilidad de que un electrón ocupe un

estado por unidad de volumen para un vector de onda k y una orientación de dada de spin

en las proximidades del punto r en el tiempo t.

En todos los problemas que estudiaremos consideraremos a los electrones partículas

(metales) y admitiremos que fk(r,t) tiene el mismo valor para las dos posibilidades de

orientación de spin.

En las situaciones de equilibrio termodinámico la función fk(r,t) tiende a la de Fermi Dirac

fk0 y para débiles desequilibrios (como los que vamos a considerar) difiere poco de la de

Fermi-Dirac


Deducción de la ecuación de Boltzmann en la aproximación tiempo de relajación

Aproximación tiempo

de relajación


Conductividad eléctrica en metales

Es obvio que en el metal en ausencia de campo eléctrico no hay flujo neto de portadores. Este hecho se debe a que por

cada electrón con una determinada cantidad de movimiento, existe otro con la misma cantidad de movimiento en

sentido opuesto. (simetría primera zona de Brillouin)

Si embargo cuando se aplica un campo eléctrico p ya no se anula. Bajo un campo de esta naturaleza, cada electrón

experimenta una fuerza en la misma dirección, acelerándose los electrones de valencia generándose una corriente.

Para determinar la conductividad eléctrica usaremos la ecuación de Boltzmann suponiendo campo magnético nulo y

situación estacionaria.

Notación

E�ε


�� ε� � ��

��

�

Desarrollo en serie de Taylor de fk

La aplicación del campo eléctrico desplaza la esfera de Fermi un cantidad dad por �

proporcional al campo. Además la distribución de Fermi-Dirac solo difiere de la de equilibrio

en la vecindad de la esfera de Fermi

Se usa � ��

2�� k


Ejemplo: conductividad eléctrica en un metal isótropo

Por tanto la integración en el espacio de las k la hemos transformado a una integral

sobre superficies de energía constante


Solo los electrones cercanos al nivel

de Fermi contribuyen en la

conducción del sólido

-�

��


Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Ley de Wiedemann-Franz

Donde E es la energía térmica asociada a cada electrón. Desde un punto de vista

atomístico la corriente eléctrica es un movimiento de partículas cargadas y la

“corriente” térmica un desplazamiento de la energías contenida en las partículas.

La conductividad térmica en los sólidos es debida al efecto combinado de electrones y

vibraciones reticulares . En aislantes y semiconductores la conductividad está dominada

por las vibraciones reticulares (fonones). Sin embargo en metales los electrones juegan un

papel muy importante. Calcularemos en esta sección la conductividad vinculada a los

electrones del sistema.


Particularizando al caso de

un gradiente de

temperatura en el eje x

Se calculan ahora los gradientes en r t k para espesarlos en función del campo

eléctrico y el gradiente de temperaturas y poder calcular los flujos de corriente t y

calor


Por tanto se iguala la corriente eléctrica a cero y el resultado se sustituye

en la ecuación para el flujo de calor

n

n3/2


Se demuestra la ley de Wiedemann- Franz que ya vimos en el caso

de los electrones libres

��


Conductividad Térmica (Ley de Fourier): Interpretación de los resultados


Efectos termoeléctricos: Efectos Seebeck, Peltier y Thomson

Son una consecuencia de las relaciones previamente establecidas entre la presencia de una

gradiente de temperatura y la conducción eléctrica.

Se utilizan en variadas aplicaciones:

• Termopares

• Estabilización de temperaturas (detectores Ge, PbS, PbSe, células CCD).

• Refrigeración de instrumentación científica.

• Equipamiento médico

• Refrigerados portátiles, sistemas aeroespaciales.

• Disipadores térmicos en informática (CPU, circuitos integrados).

Las principales ventajas de estos sistemas son:

Rápido intercambio térmico

Nulo ruido eléctrico

Espacio reducido del sistema (tamaño y peso)

Insonoro, no hay vibraciones


Efecto Seebeck


Para poder cuantificar estos efectos se parte de las ecuaciones deducidas

en el cálculo de la conductividad térmica y que relacionaban la corriente y

el flujo de calor

Donde E es el poder termoelécrico del metal


Efecto Peltier


Donde Π es el coeficiente Peltier del metal

En una sistema en el que hay dos metales unidos se establecerá

un flujo térmico (Πa- Πb)Jn que es emitido en una unión y

absorbido en la otra.


Efectos termomagnetoeléctricos:

Efectos que aparecen cuando una corriente

eléctrica y/o una corriente de origen térmico

circulan en dirección perpendicular a un campo

magnético aplicado.

Los coeficientes R. N, Et, y Lt son coeficientes

asociados a cada tipo de efecto. Su valor puede

deducirse del estudio de la ecuación de Boltzmann.

Estudiaremos el caso del efecto Hall suponiendo

bajos campos magnéticos (max 104 G) de forma

que tenemos una pequeña perturbación en la que

tiene validez la aproximación tiempo de relajación.


El efecto consiste en la aparición de una diferencial

de potencial en la dirección perpendicular a la de

la corriente y campo magnéticos aplicados.

Este efecto se utiliza por ejemplo para:

1. Medir a través de la constante Hall la concentración de portadores y su signo.

2. La determinación de la movilidad de los portadores y los mecanismos de colisión a

través de la medida de la constante de Hall y la conductividad eléctrica.

3. Medición de campos magnéticos en imanes permanentes.

4. Medidas de H y J.

Efecto Hall


Obtención de la tensión Hall y ángulo de Hall


Por tanto se obtiene el mismo resultado que para el caso de electrones libres, si bien se

obtiene que los tiempos de relajación están evaluados en las proximidades de la

superficie de Fermi y además se sabe que la masa debe ser sustituida por la masa

efectiva de los portadores.

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