descripción cuántica de las vibraciones reticulares descripción cuántica de las vibraciones...
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Descripción cuántica de las vibraciones reticularesDescripción cuántica de las vibraciones reticulares FononesFonones Propiedades Térmicas en SólidosPropiedades Térmicas en Sólidos Calor específicoCalor específico Modelo de EinsteinModelo de Einstein Modelo de DebyeModelo de Debye Efectos anarmónicos Efectos anarmónicos
MODELO CUÁNTICO PARA El CRISTAL MODELO CUÁNTICO PARA El CRISTAL ARMÓNICOARMÓNICO
En la aproximación adiabática y armónica para la red lineal, un cristal puede describirse como una suma de N osciladores armónicos desacoplados con frecuencias w(q) Oscilador armónico
Considerando l la aproximación armónica y adiabática para la red lineal:
Efectuando un cambio a coordenadas normales:
22 21
2 2
pH m x
m
22
11
( ) 2 2
Narm arm s
s ss
p KH T U x x
M
1 iqsa iqsa
s q q sq s
x X e X x eN
1 Piqsa iqsa
s q q sq s
p P e p eN
Ecuación de movimiento y valores propios de la Energía
1(1 cos )
2 q q q qq
H p p KX X qaM
21 1
2 2q q q q qq
H p p M X XM
4
2q
K qasen
M
..
2 0q qXqX
1( ) n 0,1,2,3,....
2q q q qE n
.
... .
2
,
1, ,
qq q
q q q q
Pi X X H i
M
i X X H P H iM
1( )
2q qq
E n
Es posible considerar la energía Eq como producida por adición de un quantum de energía al estado fundamental
0
1
2E
Una transición de un nivel de menor energía a uno de mayor energía estaría dado por
2 1
1 1
2 2E n n
2 1
unidad
E n n E
Absorción de un
Fonón
Energia, E
La transición inversa resulta en la emisión de un fonón con energía
Modos normales vs. fononesModos normales vs. fonones
Puede interpretarse como el número de ocupación de la vibración normal con vector q en la rama de dispersión r.Fonones son el cuanto del campo de desplazamientos en el cristal, a los cuales se les asigna un impulso p = ħq y una energía E = ħ El asignar un impulso a los fonones es practico cuando entran a ser considerados efectos de interacción con otras partículas tales cono fotones, electrones, neutrones, etc.
1( ) ( )
2qr rqr
E n q n 0,1,2,3,....qr
k. Ek
K’. E’k’
q, ђ '
'
k k qE E
k k q G
Las energías de vibración en un sólido que pueden sertratadas como osciladores armónicos cuánticos estáncuantizadas Los osciladores armónicos cuánticos poseen niveles deenergía igualmente espaciados con separación
Así los osciladores pueden ganar o perder energía
solamenteen unidades discretas de energía h
Esos “quantos”de energía se denominan FononesFonones
Igual que los fotones de energía electromagnética ellosobedecen la estadística de Bose-Einstein
Que es un Fonon?Que es un Fonon?
q qE
FononesFonones Cuantos de vibraciones
reticulares
Energías de los fonones está cuantizada
sfonon
hE
~a0=10-10m
fonon
hp
Fotones
Cuantos de radiación electromagnética
Energía de los fotones está cuantizada
foton
hcE
~10-6m
foton
hp
k Ek
K’ Ek’
q (q)
Fonones son “cuasiparticulascuasiparticulas’ (pueden ser creadas y/o
destruidas por “colisiones”) caracterizadas por
Los fonones no son partículas localizadas, el momentum esta bien definido pero su posición no puede ser determinada de acuerdo con el principio de incertidumbre de Heisemberg. Asumiendo que el fonón se dispersa en q π/10a el paquete de onda puede ser localizado dentro de 10 celdas unitarias.
( ) qq q
qE p q
q
Que es un Fonon?Que es un Fonon?
http://www.nims.go.jp/ldynamics/gif/DECP.gif
Determinación experimental de Determinación experimental de Fonones Espectroscopía RamanFonones Espectroscopía Raman
Es una técnica fotónica de alta resolución que proporciona información química y estructural de materiales. Su análisis se basa en el examen del cambio de frecuencia de un haz de luz, al ser dispersado ineslasticamente por el material.
INSTRUMENTAL Un espectrómetro Raman consta basicamente de:a) fuente de radiación monocromática (láser) b) monocromador c) detector d) sistema de registro y tratamiento de los espectros.
FUENTE
COLIMADOR MONOCROMADOR
ANALIZADOR
DETECT
MUESTRA
Chandrasekhra RamanNobel Prize Physics 1930
Determinación experimental de Fonones Determinación experimental de Fonones Espectroscopía RamanEspectroscopía Raman
Descripción del efecto RamanDescripción del efecto Raman
Energía térmica y vibraciones Energía térmica y vibraciones reticulares reticulares
Los átomos vibran alrededor de su posición de equilibrio lo cual produce ondas de vibración
Este movimiento se incrementa cuando sube la temperatura .
En un sólido la energía asociada con la vibración de los átomos y en algunos
casos su rotación y las moléculas es llamada energía térmica energía térmica
En un gas el movimiento traslacional de los átomos contribuye a la energía térmica del gas.
BPV Nk T
El concepto de Energía térmica es fundamental para entender muchas de las propiedades de los sólidos
Cual es valor de la energía térmica? Como la energía vibracional cambia con la temperatura para poder determinar cuanta energía calórica es necesaria para calentar un material?
Cual es al calor específico o la capacidad calorífica en un material lo que determina cual es la energía necesaria para subir la temperatura en un Kelvin un gramo o a un mol de una determinada sustancia? .
Como dispersa los electrones conducción dando lugar a la resistencia eléctrica?
como puede ser usada para activar transiciones cristalográficas y magnéticas
Energía térmica en sólidosEnergía térmica en sólidos
La energía dada por la vibraciones de la red es la contribución dominante a la capacidad calorífica en la mayoría de los sólidos. En aislantes no magnéticos es la única contribución.
Otras contribuciones:
En metales Electrones de conducción
En materiales magnéticos Orden magnético
Las vibraciones atómicas producen una banda de modos normales con frecuencias desde cero hasta un valor máximo
El calculo de la energía de la red y la capacidad calorífica de un sólido requiere dos etapas:
i) La evaluación de la contribución de un solo modo.
ii) La suma sobre toda la distribución de frecuencias de los modos.
Capacidad calorífica de vibraciones Capacidad calorífica de vibraciones reticulares reticulares
No podemos asumir que el oscilador este a un valor fijo y conocido de n con energíaNo podemos asumir que el oscilador este a un valor fijo y conocido de n con energía
Energía y capacidad calorífica de un Energía y capacidad calorífica de un oscilador armónico modelo de Einstein oscilador armónico modelo de Einstein
nn
nP _
1
2n n
Consideremos el oscilador en equilibrio con un baño térmico a TConsideremos el oscilador en equilibrio con un baño térmico a T
Sino que hay una cierta probabilidad Pn de encontrarlo en el nivel n
Sino que hay una cierta probabilidad Pn de encontrarlo en el nivel n
Energia, E
Energía promedio de un oscilador armónico o de un modo reticular con frecuencia la temperatura T
Energía promedio de un oscilador armónico o de un modo reticular con frecuencia la temperatura T
Energía y capacidad calorífica de un Energía y capacidad calorífica de un oscilador armónico modelo de Einstein oscilador armónico modelo de Einstein
nn
nP _
La probabilidad de que el oscilador este ocupando este nivel esta dado por el factor de Boltzmann
La probabilidad de que el oscilador este ocupando este nivel esta dado por el factor de Boltzmann
exp( / )n n BP k T
La constante de probabilidad está definida por la condición de que el oscilador debe estar en uno de los estados!
La constante de probabilidad está definida por la condición de que el oscilador debe estar en uno de los estados! 0
1nn
P
/ / 2 /
0 0
1/ 2 /1 1
n B B B
B B
nk T k T k T
n n
k T k T
Ae eA e
Ae e
1
2n n
0
1
1n
n
xx
Calculo de la energía promedio Calculo de la energía promedio
/ / 2 /
0 0
1/ 2 /
/ 2 /
1 1
1
n B B B
B B
B B
nk T k T k T
n n
k T k T
k T k T
Ae A e
Ae e
A e e
exp( / )n n BP k T
// 2 /
/ 2 / / 2 /
1
1
n BB B
B B B B
k Tk T k Tn
k T k T k T n k Tn
P e e e
P e e e e
/ /1B Bn k T k TnP e e
Por lo tanto:
_/ /
0
_/ /
0
11
2
11
2
B B
B B
n k T k T
n
nk T k T
n
e e n
e e n
nn
nP _
Cálculo de la energía promedio Cálculo de la energía promedio
/ /1B Bn k T k TnP e e
1
2n n
20 0
1, y derivándola:
1 1n n
n n
xx nx
x x
/_/
2 //
1 11
2 11
B
B
BB
k Tk T
k Tk T
ee
ee
_
/
1
2 1Bk Te
/_/
2 //
/ /_/
2 2/ /
/ /_
/ /
/_
/
1 11
2 11
11
1 2 1
1
1 2 1
1
B
B
BB
B B
B
B B
B B
B B
B
k Tk T
k Tk T
k T k Tk T
k T k T
k T k T
k T k T
k T
ee
ee
e ee
e e
e e
e e
e
e
1
2Bk T
Esta es la energía promedio de los fonones . El primer término de la energía de “ Punto Cero”. Aún a 0ºK Lo átomos vibran en el cristal con energía del punto cero, que corresponde a la mínima energía del sistema. El segundo término es la contribución de los fonones a la energía térmica!
La relación es similar a la de los niveles de energía de un oscilador individual:
En donde será el valor esperado para el número cuántico n para un oscilados a una temperatura T!
1
1k TBT
ne
Energía promedio Energía promedio _
/
1
2 1Bk Te
1
2n n
1
1k TBT
ne
Energía promedio Energía promedio _
/
1
2 1Bk Te
Es posible observar el movimiento ondulatorio de los átomos como partículas no interactuantes (fonones) cuyo estado se determina por el vector de onda q en la rama j.
/ /1B Bn k T k TnP e e
1
1k TBT
ne
Energía promedio Energía promedio _
/
1( , )
2 1Bk TT
e
El número n corresponde al número de partículas en el estado q, j n es el valor de espera de ese número.
Bosones:
Las estadísticas de las partículas no interactuantes cuando no hay límite en el numero de partículas en un estado dado es la estadistica de Bose, los cuantos de onda (fonones) por lo tanto se comportan como particulas de Bose (bosones).
/ /1B Bn k T k TnP e e
1
1k TBT
ne
Energía promedio Energía promedio _
/
1( , )
2 1Bk TT
e
Se debe notar que las dos distribuciones estadísticas Pn y nT es decir la de Boltzman y Bose resultan de dos maneras diferentes de examinar el problema:
•La de Boltzman da la probabilidad de que una sola partícula ocupe cierto estado
•La de Bose nos dice sobre el valor promedio de las partículas que no interactúan y se encuentran en determinado estado que puede ser ocupado por cualquier numero de partículas.
/ /1B Bn k T k TnP e e
Energía media de un oscilador armónico
como función de T
Bk T
12
1_
TBke
2
1_
Energía de punto cero
Limite a baja T
T
2
1
TkB
Energía promedio Energía promedio
• es independiente de la frecuencia de oscilación
• Este es el límite clásico, los niveles de energía son pequeños comparados con la energía del oscilador armónico
•Asi KBT es la energía térmica de un oscilador armónico clásico1D.
..........!2
12
x
xex
Tke
B
TBk
1
112
1_
TkB
_ 1
2 Bk T
Límite a alta Temperatura
Energía media de un oscilador armónico
como función de T
T
2
1
TkB
Bk T
Energía promedio Energía promedio
_
Bk T
_
/
1( , )
2 1Bk TT
e
Comportamiento clásico del calor Comportamiento clásico del calor específico en sólidos específico en sólidos
En un sólido, los átomos están enlazados unos con los otros a través de una fuerza armónica. Cuando el sólido se calienta los átomos vibran alrededor de su posición de equilibrio como un conjunto de osciladores armónicos La energía promedio para un oscilador 1D es kBT por lo tanto la energía promedio por átomo considerado como un oscilador 3D es 3kBT
3R
,T K
vC
N: Número de Avogadro, R la constante universal de los gases
Comportamiento clásico del Comportamiento clásico del CCvv 24.9
( )
JCv
K mole
3 3BNk T RT
v
dC
dT
23 233 3 6.02 10 ( / ) 1.38 10 ( / )vC R atoms mole J K
24.9 ;usando: 1 0.2388( )
6( )
JCv J Cal
K mole
CalCv
K mole
Diamante
Aprox. de Einstein
Bk T
Dulong-Petit
B
Tk
Límites a alta y baja temperatura Límites a alta y baja temperatura para para CCvv
Resultado válido si
A bajas T solamente modos de la red que tienen baja frecuencia pueden ser excitados desde su estado base!! ;
3 BNk T Cada uno de los 3N modos de la red conteniendo N átomos
v
dC
dT
3v BC Nk
q
a0
Baja frecuencia
Larga
Ondas sonoras
sv q svq
Bk T
Calor Calor Específico Específico
El calor específico se encuentra diferenciando la energía promedio de los fonones con respecto a T a volumen ( presión/volumen) constante
12
1_
TBke
2 2
2 2 2
1 1
k TB
k TB
k T k TB B
B
Bv B
V B
ke
k Td eC k
dT k Te e
k
2
2
1
T
T
v B
eC k
T e
Con
Modelo de Einstein para el calor Modelo de Einstein para el calor específico específico
La expresión derivada para el calor específico corresponde al modelo fue planteado por Einstein bajo la asunción de que se tiene 3N modos de vibración de un solido 3D de átomos que oscilan a la misma frecuencia, así que el sólido total tiene un
Cv (cada oscilador con energía ) :
Este modelo simple da el límite correcto dado por la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas
3 3BNk R
2
231
T
T
v B
eC Nk
T e
Modelo de Einstein para el calor Modelo de Einstein para el calor específico específico
Este modelo simple da el límite correcto dado por la ley de Dulong-Petit a altas temperaturas
Pero el modelo de Einstein da una dependencia exponencial de Cv con T a
temperaturas muy bajas que no coincide con las medidas experimentales.
Si se toma en cuenta la distribución en frecuencia de las vibraciones en un
sólido se hace corrección al comportamiento para baja temperatura (la
discrepancia fue levantada por Debye)
3 3BNk R
2
231
T
T
v B
eC Nk
T e
Densidad de estados DOS Densidad de estados DOS
Los valores permitidos de q correspondientes a una onda que se propaga en una cadena 1D de longitud L con N átomos
2 2 2NaL Na p q p q p
p q Na L
entero
Cadena 1D ondas de propagación
Estos valores permitidos están uniformemente distribuidos con un densidad .
La densidad de estados, DOS g(g()) es el número de estados discretos por unidad de intervalo de energía, asi que el número total de estados entre y +d es g() d
21/ . DOS es:
2
Lq q dq dq
L
2 4 6 8, , , ,...q
L L L L
0 2
L
2
L
4
L
4
L
6
L
q
Cadena 1D con extremos fijos:
Ondas estacionarias :
0L
2
L
6
L
4
L
5
L
2 2; y con
2 2
n n nL q q q
L L
3
L
7
L
q0
L
2
L
3
L
Únicamente valores positivos son permitidos
( ) DOS ondas estacionarias S
Lg q dq dq
DOS ondas de propagación2R
Lg q dq dq
2 sin2
K qa
m
Densidad de estados Densidad de estados g(g())
g()d : El número de modos con frecuencia y +d
dn : modos con vector de propagación q y q +dq
( ) ( )Sdn g q dq g d ( ) ( )S
dqg g q
d
Para una cadena lineal1D la relación de dispersión (q)
Luego:
2cos 1 sin2 2
qa qa
( )S
L Nag q dq dq dq
2 24
sin2
K qa
m
1( ) ( )
cos2
sg g qK qa
am
Densidad de estados Densidad de estados g(g())
2cos 1 sin2 2
qa qa
( )S
L Nag q dq dq dq
2 24sin
2
K qa
m
DOS cadena lineal 1D
1( ) ( )
cos2
sg g qK qa
am
2
2
2
2 2max
1( )
/ 1 / 2
1( )
/ 1 / 41
( )/ 4 / 4 / 4
2 1( )
Nag
a k m sen qa
Ng
K m m KN
gK m Km Km m K
Ng
2 e 2 eiqa iqam K e e 2cosiqa iqa qa
2 2cos 2
2 (1 cos )
m K qa
K qa
21 cos 2sin2
xx
22 4 sin2
qam K
242 sin2
K qa
m
4sin
2
K qa
m
Valor máximo 1 cuando
q=π/a
max min
42
Ka
m
Relación de dispersión Relación de dispersión (q)(q)Recordando…
N m
K
La DOS(density of states) tiende a infinito a ,
DOS es constante para un modelo continuo. >>a
max
4K
m
max/ 0gv d dq
max 2K
m
K
m
( )g Densidad de estados Densidad de estados g(g())
2 2max
2( )
Ng
/
s
s
v q
v Y
2 2max
2( )
Ng
La energía de las vibraciones reticulares se puede encontrar integrando la energía de un oscilador independiente por la distribución en frecuencias ( DOS).
Cadena 1D
la DOS para un cristal 3D
1/ 22 2max
2N
Energía media de un
oscilador armónico
/0
1
2 1kTg d
e
( )g
Energía de las vibracions reticularesEnergía de las vibracions reticulares
L
L
L
Par un octante del cristal:
qx,qy,qz (Toman valores positivos )
El número de ondas estacionarias ;
3
3 3 33s
L Vg q d q d q d q
/ en 1DL
q
dqzq
yq
xq
214
8q dq
3 23
14
8s
Vg q d q q dq
2
322s
Vqg q d q dq
Densidad de estados g(Densidad de estados g() en 3D ) en 3D
DOS-3D: g d g q dq dqg q
d
; 2
n nL q
L
2
22s
Vqg q
depende de la dirección y hay dos ramas transversales y una rama acústica longitudinal
2
22
Vq dqg
d
1
ss s
dqv q
q v d v
y
2
2
2
1
2s
s
Vv
gv
A bajas Temperaturas
sv
2 2
2 3 2 3 3
1 1 2
2 2s L T
V Vg g
v v v
Velocidades del sonido en las direcciones trasversales y longitudinales
g d g q dq
/0
1
2 1kTg d
e
33
3
/0 01 1
B
BkT x
k Tx
k Td dx
e e
Energía de punto cero 0
2
/ 2 3 30
1 1 2
2 1 2kTL T
Vd
e v v
3
0 2 3 3 /0
1 2
2 1kTL T
Vd
v v e
B
xk T
Bk Tx
Bk T
d dx
Energía Térmica Energía Térmica
4
43 3
/ 30 0
15
1 1B
kT x
k T xd dx
e e
4 4
0 2 3 3 3
1 2
2 15B
L T
k TV
v v
24 3
3 3 3
1 24
30v BL T
d VC k T
dT v v
32
3 3
2 1 2
15B
v BL T
k TdC V k
dT v v
Cv a bajas temperaturas
Energía Térmica y Energía Térmica y CCvv
3 vC T
El calor específico en sólidos varia como T3 a bajas temperaturas, esto es llamado la Ley de Debye.
DD
Bk
23
9( )
D
Ng
2 3 3 3 3
1 2 3 9( ) 3
2 L T D D
V N N
v v
Temperatura de Temperatura de DebyeDebye
Para asegurar el número correcto de modos se introduce una frecuencia de corte ( Frecuencia máxima) llamada Frecuencia de Debe por encima de la cual no hay modos permitidos. Y definida como.
0
( ) 3D
g d N
2
2 3 3
1 2( ) ( )
2 L T
Vg
v v
22 3 3
0
1 2( ) 3
2
D
L T
Vd N
v v
3
2 3 3
1 2( ) 3
6 DL T
VN
v v
D
La energía vibracional de la red
/0
1( ) ( )2 1Bk T
g de
3 32
/ /3 30 0 0
9 1 9( ) 2 1 2 1
D D D
B Bk T k TD D
N Nd d d
e e
3
/30
9 9
8 1
D
BD k TD
N dN
e
Energía Térmica Modelo de Energía Térmica Modelo de DebyeDebye
0 ( )T
Calor Específico Modelo de Calor Específico Modelo de DebyeDebye
VCT
/2 4
23 2 /0
9
1
D B
B
k T
Dk T
D B
d N eC d
dT k T e
3
/30
9 9
8 1
D
BD k TD
N dN
e
Cambiando a la variable
Se define la Temperatura de Debye
x
D K
B
xk T
DD
Bk
El Calor específico
d kT
dx
kTx
Solid Ar Na Cs Fe Cu Pb C KCl
93 158 38 457 343 105 2230 235
4 /2 4
23 20
9
1
D T xB B
Dx
D B
k T k Td N x eC dx
dT k T e
3 / 4
20
91
D T x
D Bx
D
T x eC Nk dx
e
DD
Bk
Calor Específico Modelo de DebyeCalor Específico Modelo de Debye
Alta Temperatura DT 2 3
12! 3!
x x xe x
4 4 42
2 2 2
(1 ) (1 )
1 11
x
x
x e x x x xx
xxe
3 /2
0
9 3D T
D B BD
TC Nk x dx Nk
DT Baja Temperatura Limite de la integral tiende a y la intregral toma el valor
44 /15
3 / 4
20
91
D T x
D D Bx
D
T x eT C Nk dx
e
3412
5B
DD
Nk TC
Dulong- Petit Dulong- Petit Ley de Debye Ley de Debye
Modelo Modelo Debye Debye Para el Para el CCvv
Debye asumió un medio no dispersivo para la determinación de Cv
La relación de dispersión es asumida ser lineal en cualquier rama que ajusta bien a q pequeños
sq Aproximación de Einstein
Approximación de Debye
( ) 3 ( )Eg N 2
3
9( )
D
Ng
Frecuencia de DebyeD Frecuencia de EinsteinE
/ para T<<E TEv Ec e 3( ) para T<<D
v ED
Tc
Ambos modelos dan el valor clásico a T>>E o T>>D temperatutras Altas cv= 3NkB
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/Solids/imgsol/sphtag.gif
Modelo de Debye Modelo de Debye
Efectos anarmónicos Efectos anarmónicos
La no consideración de los efectos anarmónicos tienen como
consecuencia:
No se presenta dilatación térmica en los sólidos
Constantes elásticas no dependen de P y T
No existe interacción entre las vibraciones de la red. Considerando términos anarmónicos los fonones interactúan uno con otros y estas colisiones limitan la conducción térmica la cual es debida al flujo de fonones.
En la aproximación armónica los fonones NO interactúan uno con los otros en la ausencia de fronteras, defectos en la red e impurezas ( que dispersan a los fonones) como consecuencia la conductividad térmica es infinita y la expansión térmica es cero.
2 3 42 3 4
0 2 3 4
1 1 1( ) ( ) ...
2 6 24xo xo xo xo
V V V VV x V x x x x x
x x x x
Terminos anarmónicos Terminos anarmónicos armónico armónico F=0 F=0 V equlibrio V equlibrio
Colisiones Fonón-Fonón Colisiones Fonón-Fonón El acoplamiento de los modos normales se da debido a los términos anarmónicos en el potencial y pueden tratarse como colisiones entre fonones asociados con los modos.
Fonón 1
Fonón 2
1 1,q
2 2,q
3 3,q
Después de la “colisión” se produce otro fonón
3 1 2q q q
3 1 2q q q
3 1 2
3 1 2
y
Conservación de la energía
conservacíon del momento
Fonón 3 tiene un qa
Fonón 3 tiene un
fonón 3=Fonón 3’ q
a
ProcesProceso o UmklappUmklapp
Proceso Proceso Normal Normal
1 2
k
a
0
a
3' 3
1 2
k
a
0
a
3Longitudinal
Transversal
0n 0n
Los fonones tienen vectores de onda q en la 1ZB
qa a
Si Esta fuera de la 1ZB puede traerse a los valores permitidos
3q
3 1 2
2nq q q
a
3 1 2q q q
Este fonón es indistingiuible de un fonón con vector de onda q3
Interacción Fonón-Fonón Interacción Fonón-Fonón
Procesos normales y procesos UmklappProcesos normales y procesos Umklapp
T < D T >> D
Gas de fonones Gas Real
La velocidad es aprox. constante
Tanto la densidad de fonones como la densidad de energía es mayor en el lado mas caliente
El flujo de calor es esencialmente debido al flujo de fonones que son creados en el lado mas caliente y destruidos en el lado mas frio.
No hay flujo neto de partículas
La energía cinética promedio por partícula es mayor en el lado más caliente, pero su densidad es mayor en el lado frio para tener una densidad de energía constante a una presión fija P
El flujo de calor es debido solamente a la transferencia de la energía cinética de una partícula a la otra por colisiones.
calie
nte
frío
calie
nte
frío
Conducción Térmica Conducción Térmica
Conductividad térmica calorJ T
[W/cm.K]
Teoría Cinetica para la conducción termica Teoría Cinetica para la conducción termica
• La dependencia de l de T es determinada por las colisiones fonón-fonón a bajas T
• Como el flujo de calor es asociado a fonones, las colisiones que mas efectivamente limitan este flujo calórico son aquellas en las que la velocidad del grupo se invierte es decir por procesos Umkapp.
_ _1 1
3 3calor
d d dTJ l l
dx dT dx
Camino libre medio
Velocidad promedio
= C Calor EspecíficoV
l
v
d
dT
_1
3 Vl C Cae como T3 a bajas T y tiende al valor clásico a altas T
Aprox. Igual a la velocidad del sonido e independiente de T
?? Funciona para un gas de fonones
1
T
5 10 20 50 100
10
0
10-1
( )T K( )T K
2 5 10 20 50 100
10
0
10-1
3T
Thermal Thermal conductivity of a quartz conductivity of a quartz Thermal conductivity of artificial Thermal conductivity of artificial sapphire rods sapphire rods
1A altas Temperatura
sigue este comporamiento T
3412
5B
DD
Nk TC
Conductividad Térmica Conductividad Térmica
T bajas la dependencia de viene de Cv que decae como T3
Expansión Térmica Expansión Térmica 1
El coeficiente de dilatación lineal LP
L
L T
( )/
( )/
B
B
V u k T
V u k T
u du
u
du
e
e
Desplazamiento promedio
2 3 42 3 4
0 2 3 4
1 1 1( ) ( ) ...
2 6 24xo xo xo xo
V V V VV x V x x x x x
x x x x
2 3 4( )V x cu gu fu
Con respecto a su valor de equilibrio el potencial puede ponerse como : c,g,f constantes positivas
2
3
4 B
gu k T
c
20 0
1 3
4B
L
P
u kg
R T c R
Ar Sólido Ar Sólido
( )L TPresenta un Presenta un comportamiento complejo.comportamiento complejo. Las constantes elásticas son Las constantes elásticas son función de la frecuencia !!!!función de la frecuencia !!!!