Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[1/89]

Límite de Funciones

January 17, 2006

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[2/89]

Introducción

Consideremos la función

f (x) =

{1 + x2 si x > 01− x2 si x < 0

Podemos ver de la figura que la función no estádefinida en x0 = 0. Sin embargo, se observaque cuando se consideran valores de x nonulos pero cercanos a cero, los valores de f (x)se aproximan a ` = 1. Nos gustaría decir quecuando x tiende a x0 = 0 los valores de f (x)tienden a ` = 1.Para formalizar el concepto de “aproximarse a”se hace uso de sucesiones. Sin embargo comoen el caso general x0 no pertenece al dominiode la función considerada, no siempre esposible encontrar sucesiones que converjan ax0 con valores en el dominio de la función.Paraencontrar estas sucesiones necesitamos ladefinición de Punto Adherente.

O X

Y

1

Definition (Definición (Punto de adherencia))Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera. x0 ∈ R se llama punto adherente de A, o bien, que x0 pertenece a laadherencia de A, sí y sólo sí existe alguna sucesión (xn) con valores en A, convergente a x0. Luego, lacondición necesaria y suficiente para encontrar sucesiones que converjan a x0, es que el punto x0 seencuentre en la adherencia del dominio de la función considerada.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[3/89]

Introducción

Consideremos la función

f (x) =

{1 + x2 si x > 01− x2 si x < 0

Podemos ver de la figura que la función no estádefinida en x0 = 0. Sin embargo, se observaque cuando se consideran valores de x nonulos pero cercanos a cero, los valores de f (x)se aproximan a ` = 1. Nos gustaría decir quecuando x tiende a x0 = 0 los valores de f (x)tienden a ` = 1.Para formalizar el concepto de “aproximarse a”se hace uso de sucesiones. Sin embargo comoen el caso general x0 no pertenece al dominiode la función considerada, no siempre esposible encontrar sucesiones que converjan ax0 con valores en el dominio de la función.Paraencontrar estas sucesiones necesitamos ladefinición de Punto Adherente.

O X

Y

1

Definition (Definición (Punto de adherencia))Sea A ⊆ R un conjunto cualquiera. x0 ∈ R se llama punto adherente de A, o bien, que x0 pertenece a laadherencia de A, sí y sólo sí existe alguna sucesión (xn) con valores en A, convergente a x0. Luego, lacondición necesaria y suficiente para encontrar sucesiones que converjan a x0, es que el punto x0 seencuentre en la adherencia del dominio de la función considerada.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[4/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[5/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[6/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[7/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[8/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[9/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[10/89]

Definición del límite de funciones

Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Diremos que f tiende a ` ∈ R cuando x tiende a x0 (f (x) → ` si x → x0),o bién que ` es el límite de f (x) cuando x → x0 (` = lim

x→x0

f (x)) ssi dada cualquier sucesión (xn) con valores en

A y convergente a x0 se cumple que la sucesión (f (xn)) es convergente a `.

Observaciones1 Si x0 6∈ Adh(A) entonces no existen sucesiones (xn) convergentes a x0 con valores en A, luego no puede

estudiarse el límite de la función cuando x → x0. En consecuencia en este caso se dice que tal límite noexiste.

2 Si x0 ∈ Adh(A) entonces está definido el concepto de límite de f (x) cuando x → x0, sin embargo, estelímite puede o no existir.

Ejemplos

1 limx→1

x2 − 1x − 1

= 2.

2 limx→−1

√x no existe, ya que−1 6∈ Adh(R+ ∪ {0}).

3 limx→0

1x

no existe ya que xn = 1n → 0 pero 1

xn= n no converge.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[11/89]

Unicidad del límite

Theorem (Proposición)Si una función f tiene límite cuando x → x0 entonces dicho límite es único.

Demostración.La demostración se hará por contradicción. Sean `1 y `2 límites de f (x) cuando x → x0. Sea entonces (xn)alguna sucesión con valores en el dominio de la función f y convergente a x0. Entonces por definición delímite se tiene que la sucesión (f (xn)) es convergente a `1 y a `2 simultaneamente. Sin embargo en virtud de launicidad del límite de sucesiones se tiene que `1 = `2.

ObservaciónSi x0 ∈ Dom(f ) y lim

x→x0

f (x) existe, entonces limx→x0

f (x) = f (x0) ya que basta considerar la sucesión xn = x0 con lo

cual f (xn) = f (x0) y luego ` = f (x0).

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[12/89]

Unicidad del límite

Theorem (Proposición)Si una función f tiene límite cuando x → x0 entonces dicho límite es único.

Demostración.La demostración se hará por contradicción. Sean `1 y `2 límites de f (x) cuando x → x0. Sea entonces (xn)alguna sucesión con valores en el dominio de la función f y convergente a x0. Entonces por definición delímite se tiene que la sucesión (f (xn)) es convergente a `1 y a `2 simultaneamente. Sin embargo en virtud de launicidad del límite de sucesiones se tiene que `1 = `2.

ObservaciónSi x0 ∈ Dom(f ) y lim

x→x0

f (x) existe, entonces limx→x0

f (x) = f (x0) ya que basta considerar la sucesión xn = x0 con lo

cual f (xn) = f (x0) y luego ` = f (x0).

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[13/89]

Unicidad del límite

Theorem (Proposición)Si una función f tiene límite cuando x → x0 entonces dicho límite es único.

Demostración.La demostración se hará por contradicción. Sean `1 y `2 límites de f (x) cuando x → x0. Sea entonces (xn)alguna sucesión con valores en el dominio de la función f y convergente a x0. Entonces por definición delímite se tiene que la sucesión (f (xn)) es convergente a `1 y a `2 simultaneamente. Sin embargo en virtud de launicidad del límite de sucesiones se tiene que `1 = `2.

ObservaciónSi x0 ∈ Dom(f ) y lim

x→x0

f (x) existe, entonces limx→x0

f (x) = f (x0) ya que basta considerar la sucesión xn = x0 con lo

cual f (xn) = f (x0) y luego ` = f (x0).

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[14/89]

Límite de funciones contínuas y álgebra de límites

Theorem (Teorema)Si f : A ⊆ R → R y x0 ∈ A entonces:f es continua en x0 ⇔ lim

x→x0

f (x) = f (x0).

Demostración.Por un lado:f continua en x0 ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge af (x0).Por otro lado:lim

x→x0

f (x) = ` = f (x0) ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge a

` = f (x0) con lo cual se ve la equivalencia.

Theorem (Teorema (Álgebra de límites))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ R tales que lim

x→x0

f (x) = `1 y limx→x0

g(x) = `2. Entonces:

1 si x0 ∈ Adh(Dom(f ) ∩ Dom(g)) se tiene que:lim

x→x0

(f + g)(x) = `1 + `2

limx→x0

(f − g)(x) = `1 − `2

limx→x0

(fg)(x) = `1`2

2 si x0 ∈ Adh(Dom(f/g)) y `2 6= 0 entonces:lim

x→x0

(f/g)(x) = `1/`2

3 limx→x0

(αf )(x) = α`1∀α ∈ R

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[15/89]

Límite de funciones contínuas y álgebra de límites

Theorem (Teorema)Si f : A ⊆ R → R y x0 ∈ A entonces:f es continua en x0 ⇔ lim

x→x0

f (x) = f (x0).

Demostración.Por un lado:f continua en x0 ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge af (x0).Por otro lado:lim

x→x0

f (x) = ` = f (x0) ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge a

` = f (x0) con lo cual se ve la equivalencia.

Theorem (Teorema (Álgebra de límites))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ R tales que lim

x→x0

f (x) = `1 y limx→x0

g(x) = `2. Entonces:

1 si x0 ∈ Adh(Dom(f ) ∩ Dom(g)) se tiene que:lim

x→x0

(f + g)(x) = `1 + `2

limx→x0

(f − g)(x) = `1 − `2

limx→x0

(fg)(x) = `1`2

2 si x0 ∈ Adh(Dom(f/g)) y `2 6= 0 entonces:lim

x→x0

(f/g)(x) = `1/`2

3 limx→x0

(αf )(x) = α`1∀α ∈ R

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[16/89]

Límite de funciones contínuas y álgebra de límites

Theorem (Teorema)Si f : A ⊆ R → R y x0 ∈ A entonces:f es continua en x0 ⇔ lim

x→x0

f (x) = f (x0).

Demostración.Por un lado:f continua en x0 ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge af (x0).Por otro lado:lim

x→x0

f (x) = ` = f (x0) ⇐⇒ Dada cualquier sucesión (xn) en A convergente a x0 se tiene que (f (xn)) converge a

` = f (x0) con lo cual se ve la equivalencia.

Theorem (Teorema (Álgebra de límites))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ R tales que lim

x→x0

f (x) = `1 y limx→x0

g(x) = `2. Entonces:

1 si x0 ∈ Adh(Dom(f ) ∩ Dom(g)) se tiene que:lim

x→x0

(f + g)(x) = `1 + `2

limx→x0

(f − g)(x) = `1 − `2

limx→x0

(fg)(x) = `1`2

2 si x0 ∈ Adh(Dom(f/g)) y `2 6= 0 entonces:lim

x→x0

(f/g)(x) = `1/`2

3 limx→x0

(αf )(x) = α`1∀α ∈ R

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[17/89]

Teorema del Sandwich

Theorem (Teorema (Sandwich de funciones))Sean f ,g y h tres funciones y sea x0 ∈ Adh(Dom(g)).Si (∃δ > 0) tal que (∀x ∈ Dom(g) ∩ Vδ(x0))f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y además lim

x→x0

f (x) = limx→x0

h(x) = ` entonces

limx→x0

g(x) = `.

ObservaciónEste último teorema nos será muy útil para el cálculo de límites.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[18/89]

Teorema del Sandwich

Theorem (Teorema (Sandwich de funciones))Sean f ,g y h tres funciones y sea x0 ∈ Adh(Dom(g)).Si (∃δ > 0) tal que (∀x ∈ Dom(g) ∩ Vδ(x0))f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) y además lim

x→x0

f (x) = limx→x0

h(x) = ` entonces

limx→x0

g(x) = `.

ObservaciónEste último teorema nos será muy útil para el cálculo de límites.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[19/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[20/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[21/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[22/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[23/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[24/89]

Aplicación del teorema del Sandwich

Ejemplo

f (x) = limx→0

sin xx

SoluciónEl dominio de f (x) es Dom(f ) = R \ {0}. Como 0 ∈ Adh(Dom(f )), pero f (0) no existe, se puede calcular a

través del siguiente límite: limx→0

sin xx

.

Para esto sea (xn) → 0, con (xn) ∈ R \ {0}. Por una desigualdad vista en el capítulo de trigonometría para|xn| < π

2 , tendremos los siguiente:

sin |xn| ≤ |xn| ≤sin |xn|cos |xn|

,

invirtiendo la última desigualdad y luego multiplicando por sin |xn| obtendremos

cos |xn| ≤sin |xn||xn|

≤ 1.

Como cos |xn| −→ 1. Y obviamente 1 tiende a 1. Por el teorema del Sandwich tendremos que limx→0

sin |xn||xn|

= 1,

con lo cual limx→0

sin xx

= 1.

Lo último motiva una reparación de la función f (x) en 0 de la siguiente manera

f (x) =

{sin x

x si x 6= 01 si x = 0

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[25/89]

Teorema para la composición de funciones

Theorem (Teorema (Límite de la composición de funciones o cambio de variable))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ Adh(Dom(gof )).Si lim

x→x0

f (x) = ` y limx→`

g(x) = L entonces limx→x0

(gof )(x) = L.

Demostración.Debemos demostrar que si (xn) → x0 , entonces (gof )(xn) → L.En efecto si (xn) → x0 con (xn) ∈ Dom(gof ),entonces si llamamos (yn) = f (xn), tendremos que (yn) → ` puessabemos que lim

x→x0

f (x) = `.

Con esto tendremos: (gof )(xn) = g(f (xn)) = g(yn)) → L. Pues sabíamos que limx→`

g(x) = L. Con lo cual queda

terminada la demostración.

ObservaciónEl resultado del teorema anterior se puede escribir como:

limx→x0

(gof )(x) = limy→ lim

x→x0

f (x)g(y) =

L.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[26/89]

Teorema para la composición de funciones

Theorem (Teorema (Límite de la composición de funciones o cambio de variable))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ Adh(Dom(gof )).Si lim

x→x0

f (x) = ` y limx→`

g(x) = L entonces limx→x0

(gof )(x) = L.

Demostración.Debemos demostrar que si (xn) → x0 , entonces (gof )(xn) → L.En efecto si (xn) → x0 con (xn) ∈ Dom(gof ),entonces si llamamos (yn) = f (xn), tendremos que (yn) → ` puessabemos que lim

x→x0

f (x) = `.

Con esto tendremos: (gof )(xn) = g(f (xn)) = g(yn)) → L. Pues sabíamos que limx→`

g(x) = L. Con lo cual queda

terminada la demostración.

ObservaciónEl resultado del teorema anterior se puede escribir como:

limx→x0

(gof )(x) = limy→ lim

x→x0

f (x)g(y) =

L.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[27/89]

Teorema para la composición de funciones

Theorem (Teorema (Límite de la composición de funciones o cambio de variable))Sean f y g dos funciones y x0 ∈ Adh(Dom(gof )).Si lim

x→x0

f (x) = ` y limx→`

g(x) = L entonces limx→x0

(gof )(x) = L.

Demostración.Debemos demostrar que si (xn) → x0 , entonces (gof )(xn) → L.En efecto si (xn) → x0 con (xn) ∈ Dom(gof ),entonces si llamamos (yn) = f (xn), tendremos que (yn) → ` puessabemos que lim

x→x0

f (x) = `.

Con esto tendremos: (gof )(xn) = g(f (xn)) = g(yn)) → L. Pues sabíamos que limx→`

g(x) = L. Con lo cual queda

terminada la demostración.

ObservaciónEl resultado del teorema anterior se puede escribir como:

limx→x0

(gof )(x) = limy→ lim

x→x0

f (x)g(y) =

L.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[28/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[29/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[30/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[31/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[32/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[33/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[34/89]

Ejemplo

limx→0

1− cos xx2

SoluciónPor propiedades trigonométricas tenemos cos x = cos2(x

2)− sin2(x2) = 1− 2 sin2(x

2),

con lo cual tendremos

1− cos xx2

=12

sin2(x2)(

x2

)2 =12

(sin(x

2)x2

)2

,

luego el límite que estábamos calculando quedaría

limx→0

1− cos xx2

=12

[limx→0

(sin(x

2)x2

)]2

.

Ahora definamos g(y) = sin yy y f (x) = x

2 . Con esto limx→0

f (x) = limx→0

x2

= 0. Además el otro límite ya lo habíamos

calculado: limx→`

g(y) = limx→0

sin yy

= 1.

Luego con el teorema ya visto

limx→0

(sin(x

2)x2

)= lim

x→0(gof )(x) = L = lim

y→0g(y) = 1.

Con esto el resultado final del ejercicio será:

limx→0

1− cos xx2

=12.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[35/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[36/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[37/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[38/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[39/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[40/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[41/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[42/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[43/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[44/89]

Límites en Funciones Contínuas

Si f es continua en x0 entonces limx→x0

f (x) = f (x0). Luego:

1 limx→x0

c = c

2 limx→x0

x = x0

3 limx→x0

(anxn + · · ·+ a1x + a0) = anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

4 limx→x0

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

anxn0 + · · ·+ a1x0 + a0

bmxm0 + · · ·+ b1x0 + b0

5 limx→x0

√x =

√x0

6 limx→x0

sin x = sin x0

7 limx→x0

cos x = cos x0

8 limx→x0

arcsin x = arcsin x0

9 limx→x0

ex = ex0

10 limx→x0

ln x = ln x0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[45/89]

Límites trigonométricos, logarítmicos y exponenciales

Límites trigonométricos

1 limx→0

sin xx

= 1

2 limx→0

1− cos xx2

=12

Límites logarítmicos y exponenciales

1 limx→0

ln xx − 1

= 1

2 limx→0

ex − 1x

= 1

Ejercicios propuestos

1 limx→0

sin axx

= a

2 limx→0

sin axsin bx

=ab

3 limx→0

1− cos xsin x

= 0

4 limx→0

eax − ebx

x= a− b

5 limx→π

3

1− 2 cos xsin(x − π

3 )=√

3

6 limx→1

(1− x) tan(πx2

) =2π

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[46/89]

Límites trigonométricos, logarítmicos y exponenciales

Límites trigonométricos

1 limx→0

sin xx

= 1

2 limx→0

1− cos xx2

=12

Límites logarítmicos y exponenciales

1 limx→0

ln xx − 1

= 1

2 limx→0

ex − 1x

= 1

Ejercicios propuestos

1 limx→0

sin axx

= a

2 limx→0

sin axsin bx

=ab

3 limx→0

1− cos xsin x

= 0

4 limx→0

eax − ebx

x= a− b

5 limx→π

3

1− 2 cos xsin(x − π

3 )=√

3

6 limx→1

(1− x) tan(πx2

) =2π

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[47/89]

Límites trigonométricos, logarítmicos y exponenciales

Límites trigonométricos

1 limx→0

sin xx

= 1

2 limx→0

1− cos xx2

=12

Límites logarítmicos y exponenciales

1 limx→0

ln xx − 1

= 1

2 limx→0

ex − 1x

= 1

Ejercicios propuestos

1 limx→0

sin axx

= a

2 limx→0

sin axsin bx

=ab

3 limx→0

1− cos xsin x

= 0

4 limx→0

eax − ebx

x= a− b

5 limx→π

3

1− 2 cos xsin(x − π

3 )=√

3

6 limx→1

(1− x) tan(πx2

) =2π

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[48/89]

Ejercicio resuelto

limx→0

ex − 1x

.

SoluciónSabemos que si an → a, entonces

(ean−ea

an−a

)→ ea, para a = 0 tendremos

(ean−1

an

)→ 1,luego para todo

(an) → 0 con an 6= 0, obtendremos(

ean−1an

)→ 1, lo cual implica que lim

x→0

ex − 1x

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[49/89]

Ejercicio resuelto

limx→0

ex − 1x

.

SoluciónSabemos que si an → a, entonces

(ean−ea

an−a

)→ ea, para a = 0 tendremos

(ean−1

an

)→ 1,luego para todo

(an) → 0 con an 6= 0, obtendremos(

ean−1an

)→ 1, lo cual implica que lim

x→0

ex − 1x

.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[50/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Ejemplo (Motivación)

Calcular limx→0

f (x) donde f (x) =

sin x

x six ∈ Iex−1

x six ∈ Q \ {0}α six = 0

Definition (Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio))Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Sea B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B). Diremos que ` ∈ R es el límite de lafunción f cuando x → x0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión (xn) convergente a x0 y con valores enB, se tiene que la sucesión (f (xn)) converge a `.

Notación` = lim

x→x0x∈B

f (x)

Ejemplos

1 limx→0x∈I

cos x = 1

limx→0x∈Q

cos x = 1

2 si f (x) =

{cos x six ∈ Qsin x six ∈ I entonces lim

x→0x∈Q

f (x) = 1 y limx→0x∈I

f (x) = 0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[51/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Ejemplo (Motivación)

Calcular limx→0

f (x) donde f (x) =

sin x

x six ∈ Iex−1

x six ∈ Q \ {0}α six = 0

Definition (Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio))Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Sea B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B). Diremos que ` ∈ R es el límite de lafunción f cuando x → x0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión (xn) convergente a x0 y con valores enB, se tiene que la sucesión (f (xn)) converge a `.

Notación` = lim

x→x0x∈B

f (x)

Ejemplos

1 limx→0x∈I

cos x = 1

limx→0x∈Q

cos x = 1

2 si f (x) =

{cos x six ∈ Qsin x six ∈ I entonces lim

x→0x∈Q

f (x) = 1 y limx→0x∈I

f (x) = 0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[52/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Ejemplo (Motivación)

Calcular limx→0

f (x) donde f (x) =

sin x

x six ∈ Iex−1

x six ∈ Q \ {0}α six = 0

Definition (Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio))Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Sea B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B). Diremos que ` ∈ R es el límite de lafunción f cuando x → x0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión (xn) convergente a x0 y con valores enB, se tiene que la sucesión (f (xn)) converge a `.

Notación` = lim

x→x0x∈B

f (x)

Ejemplos

1 limx→0x∈I

cos x = 1

limx→0x∈Q

cos x = 1

2 si f (x) =

{cos x six ∈ Qsin x six ∈ I entonces lim

x→0x∈Q

f (x) = 1 y limx→0x∈I

f (x) = 0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[53/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Ejemplo (Motivación)

Calcular limx→0

f (x) donde f (x) =

sin x

x six ∈ Iex−1

x six ∈ Q \ {0}α six = 0

Definition (Definición (Límite de una función por un subconjunto de su dominio))Sea f : A ⊆ R → R y sea x0 ∈ Adh(A). Sea B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B). Diremos que ` ∈ R es el límite de lafunción f cuando x → x0 por el conjunto B ssi dada cualquier sucesión (xn) convergente a x0 y con valores enB, se tiene que la sucesión (f (xn)) converge a `.

Notación` = lim

x→x0x∈B

f (x)

Ejemplos

1 limx→0x∈I

cos x = 1

limx→0x∈Q

cos x = 1

2 si f (x) =

{cos x six ∈ Qsin x six ∈ I entonces lim

x→0x∈Q

f (x) = 1 y limx→0x∈I

f (x) = 0

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[54/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Theorem (Proposición)Si f : A ⊆ R → R es tal que lim

x→x0

f (x) = ` entonces para cualquier subconjunto B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B) se

tiene que limx→x0x∈B

f (x) = `.

ObservaciónSi B, C ⊆ A y x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entoces:

1 limx→x0x∈B

f (x) no existe ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

2 limx→x0x∈B

f (x) = `1 6= `2 = limx→x0x∈C

f (x) ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean B, C ⊆ A tales que x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entonces:

limx→x0x∈B

f (x) = limx→x0x∈C

f (x) = ` ⇒ limx→x0

x∈B∪C

f (x) = `.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[55/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Theorem (Proposición)Si f : A ⊆ R → R es tal que lim

x→x0

f (x) = ` entonces para cualquier subconjunto B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B) se

tiene que limx→x0x∈B

f (x) = `.

ObservaciónSi B, C ⊆ A y x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entoces:

1 limx→x0x∈B

f (x) no existe ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

2 limx→x0x∈B

f (x) = `1 6= `2 = limx→x0x∈C

f (x) ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean B, C ⊆ A tales que x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entonces:

limx→x0x∈B

f (x) = limx→x0x∈C

f (x) = ` ⇒ limx→x0

x∈B∪C

f (x) = `.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[56/89]

Límite por un subconjunto del dominio de una función

Theorem (Proposición)Si f : A ⊆ R → R es tal que lim

x→x0

f (x) = ` entonces para cualquier subconjunto B ⊆ A tal que x0 ∈ Adh(B) se

tiene que limx→x0x∈B

f (x) = `.

ObservaciónSi B, C ⊆ A y x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entoces:

1 limx→x0x∈B

f (x) no existe ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

2 limx→x0x∈B

f (x) = `1 6= `2 = limx→x0x∈C

f (x) ⇒ limx→x0

f (x) no existe.

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean B, C ⊆ A tales que x0 ∈ Adh(B) y x0 ∈ Adh(C) entonces:

limx→x0x∈B

f (x) = limx→x0x∈C

f (x) = ` ⇒ limx→x0

x∈B∪C

f (x) = `.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[57/89]

Primera definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean además:

A1 = {x ∈ A/x > x0} = A ∩ (x0, +∞)

A2 = {x ∈ A/x < x0} = A ∩ (−∞, x0).

i) Si x0 ∈ Adh(A1) entonces, si existe el limx→x0x∈A1

f (x) , se le llama límite lateral por la derecha de la función f en

x0.

ii) Si x0 ∈ Adh(A2) entonces, de existir, al limx→x0x∈A2

f (x) se le llama límite lateral por la izquierda de la función f en

x0.

Notaciónlimx→x0x∈A1

f (x) se anota limx→x0x>x0

f (x) o bien limx→x+

0

f (x)

limx→x0x∈A2

f (x) se anota limx→x0x<x0

f (x) o bien limx→x−0

f (x)

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[58/89]

Primera definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean además:

A1 = {x ∈ A/x > x0} = A ∩ (x0, +∞)

A2 = {x ∈ A/x < x0} = A ∩ (−∞, x0).

i) Si x0 ∈ Adh(A1) entonces, si existe el limx→x0x∈A1

f (x) , se le llama límite lateral por la derecha de la función f en

x0.

ii) Si x0 ∈ Adh(A2) entonces, de existir, al limx→x0x∈A2

f (x) se le llama límite lateral por la izquierda de la función f en

x0.

Notaciónlimx→x0x∈A1

f (x) se anota limx→x0x>x0

f (x) o bien limx→x+

0

f (x)

limx→x0x∈A2

f (x) se anota limx→x0x<x0

f (x) o bien limx→x−0

f (x)

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[59/89]

Primera definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean además:

A1 = {x ∈ A/x > x0} = A ∩ (x0, +∞)

A2 = {x ∈ A/x < x0} = A ∩ (−∞, x0).

i) Si x0 ∈ Adh(A1) entonces, si existe el limx→x0x∈A1

f (x) , se le llama límite lateral por la derecha de la función f en

x0.

ii) Si x0 ∈ Adh(A2) entonces, de existir, al limx→x0x∈A2

f (x) se le llama límite lateral por la izquierda de la función f en

x0.

Notaciónlimx→x0x∈A1

f (x) se anota limx→x0x>x0

f (x) o bien limx→x+

0

f (x)

limx→x0x∈A2

f (x) se anota limx→x0x<x0

f (x) o bien limx→x−0

f (x)

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[60/89]

Primera definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). Sean además:

A1 = {x ∈ A/x > x0} = A ∩ (x0, +∞)

A2 = {x ∈ A/x < x0} = A ∩ (−∞, x0).

i) Si x0 ∈ Adh(A1) entonces, si existe el limx→x0x∈A1

f (x) , se le llama límite lateral por la derecha de la función f en

x0.

ii) Si x0 ∈ Adh(A2) entonces, de existir, al limx→x0x∈A2

f (x) se le llama límite lateral por la izquierda de la función f en

x0.

Notaciónlimx→x0x∈A1

f (x) se anota limx→x0x>x0

f (x) o bien limx→x+

0

f (x)

limx→x0x∈A2

f (x) se anota limx→x0x<x0

f (x) o bien limx→x−0

f (x)

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[61/89]

Segunda definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L1 será el límite lateral por la derecha de la función f en x0y se anotaráL1 = lim

x→x+0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) > x0, se tiene f (xn) → L1.

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L2 será el límite lateral por la izquierda de la función f en x0y se anotaráL2 = lim

x→x−0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) < x0, se tiene f (xn) → L2.

ObservaciónClaramente si existe el límite lim

x→x0

f (x) = L , entonces existen los límites laterales L1y L2 y estos coincides con

L. Es decir L1 = L2 = L.

Ejemplof (x) = |x |

x , x 6= 0.

Sea (xn) → 0 con (xn) > 0,esto implicará que f (xn) = xnxn

= 1 → 1.Por lo tanto limx→0+

f (x) = 1.

Sea (xn) → 0 con (xn) < 0,esto implicará que f (xn) = −xnxn

= −1 → −1.Por lo tanto limx→0−

f (x) = −1.

Luego no existe el limx→0

f (x), pues si existiese debería ser igual a 1 y a −1 a la vez, lo cual no puede ser.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[62/89]

Segunda definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L1 será el límite lateral por la derecha de la función f en x0y se anotaráL1 = lim

x→x+0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) > x0, se tiene f (xn) → L1.

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L2 será el límite lateral por la izquierda de la función f en x0y se anotaráL2 = lim

x→x−0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) < x0, se tiene f (xn) → L2.

ObservaciónClaramente si existe el límite lim

x→x0

f (x) = L , entonces existen los límites laterales L1y L2 y estos coincides con

L. Es decir L1 = L2 = L.

Ejemplof (x) = |x |

x , x 6= 0.

Sea (xn) → 0 con (xn) > 0,esto implicará que f (xn) = xnxn

= 1 → 1.Por lo tanto limx→0+

f (x) = 1.

Sea (xn) → 0 con (xn) < 0,esto implicará que f (xn) = −xnxn

= −1 → −1.Por lo tanto limx→0−

f (x) = −1.

Luego no existe el limx→0

f (x), pues si existiese debería ser igual a 1 y a −1 a la vez, lo cual no puede ser.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[63/89]

Segunda definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L1 será el límite lateral por la derecha de la función f en x0y se anotaráL1 = lim

x→x+0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) > x0, se tiene f (xn) → L1.

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L2 será el límite lateral por la izquierda de la función f en x0y se anotaráL2 = lim

x→x−0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) < x0, se tiene f (xn) → L2.

ObservaciónClaramente si existe el límite lim

x→x0

f (x) = L , entonces existen los límites laterales L1y L2 y estos coincides con

L. Es decir L1 = L2 = L.

Ejemplof (x) = |x |

x , x 6= 0.

Sea (xn) → 0 con (xn) > 0,esto implicará que f (xn) = xnxn

= 1 → 1.Por lo tanto limx→0+

f (x) = 1.

Sea (xn) → 0 con (xn) < 0,esto implicará que f (xn) = −xnxn

= −1 → −1.Por lo tanto limx→0−

f (x) = −1.

Luego no existe el limx→0

f (x), pues si existiese debería ser igual a 1 y a −1 a la vez, lo cual no puede ser.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[64/89]

Segunda definición de límites laterales

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L1 será el límite lateral por la derecha de la función f en x0y se anotaráL1 = lim

x→x+0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) > x0, se tiene f (xn) → L1.

Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A). L2 será el límite lateral por la izquierda de la función f en x0y se anotaráL2 = lim

x→x−0

f (x), sí y solamente sí, para toda sucesión (xn) → x0 con (xn) < x0, se tiene f (xn) → L2.

ObservaciónClaramente si existe el límite lim

x→x0

f (x) = L , entonces existen los límites laterales L1y L2 y estos coincides con

L. Es decir L1 = L2 = L.

Ejemplof (x) = |x |

x , x 6= 0.

Sea (xn) → 0 con (xn) > 0,esto implicará que f (xn) = xnxn

= 1 → 1.Por lo tanto limx→0+

f (x) = 1.

Sea (xn) → 0 con (xn) < 0,esto implicará que f (xn) = −xnxn

= −1 → −1.Por lo tanto limx→0−

f (x) = −1.

Luego no existe el limx→0

f (x), pues si existiese debería ser igual a 1 y a −1 a la vez, lo cual no puede ser.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[65/89]

Caracterización de límite sin uso de sucesiones

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → Ry x0 ∈ Adh(A). Si existen los límites laterales de f en x0 y coinciden, es decir silim

x→x+0

f (x) = limx→x−0

f (x) = L, entonces existe limx→x0

f (x) y vale L.

Theorem (Teorema (Caracterización de límite sin uso de sucesiones))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonceslim

x→x0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Observaciónlim

x→x+0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x − x0 ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

limx→x−0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x0 − x ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[66/89]

Caracterización de límite sin uso de sucesiones

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → Ry x0 ∈ Adh(A). Si existen los límites laterales de f en x0 y coinciden, es decir silim

x→x+0

f (x) = limx→x−0

f (x) = L, entonces existe limx→x0

f (x) y vale L.

Theorem (Teorema (Caracterización de límite sin uso de sucesiones))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonceslim

x→x0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Observaciónlim

x→x+0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x − x0 ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

limx→x−0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x0 − x ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[67/89]

Caracterización de límite sin uso de sucesiones

Theorem (Proposición)Sea f : A ⊆ R → Ry x0 ∈ Adh(A). Si existen los límites laterales de f en x0 y coinciden, es decir silim

x→x+0

f (x) = limx→x−0

f (x) = L, entonces existe limx→x0

f (x) y vale L.

Theorem (Teorema (Caracterización de límite sin uso de sucesiones))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonceslim

x→x0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Observaciónlim

x→x+0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x − x0 ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

limx→x−0

f (x) = ` ⇔ (∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[0 ≤ x0 − x ≤ δ ⇒ |f (x)− `| ≤ ε].

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[68/89]

Primera definición

Recordemos que (xn) diverge a +∞ y se anota (xn) → +∞ si (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.

Análogamente tendremos que (xn) → −∞ si (∀N ∈ R−) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≤ N.

Se define L = limx→+∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → +∞, la sucesión f (xn) → L.

Se define L = limx→−∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → −∞, la sucesión f (xn) → L.

Ejemplo

limx→+∞

1x

= 0

En efecto , sea (xn) → +∞, esto implica por el teorema de sucesiones recíprocas visto en el capítulo de

sucesiones, se tiene(

1xn

)→ 0. Por lo tanto f (xn) → 0, entonces , lim

x→+∞

1x

= 0.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[69/89]

Primera definición

Recordemos que (xn) diverge a +∞ y se anota (xn) → +∞ si (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.

Análogamente tendremos que (xn) → −∞ si (∀N ∈ R−) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≤ N.

Se define L = limx→+∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → +∞, la sucesión f (xn) → L.

Se define L = limx→−∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → −∞, la sucesión f (xn) → L.

Ejemplo

limx→+∞

1x

= 0

En efecto , sea (xn) → +∞, esto implica por el teorema de sucesiones recíprocas visto en el capítulo de

sucesiones, se tiene(

1xn

)→ 0. Por lo tanto f (xn) → 0, entonces , lim

x→+∞

1x

= 0.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[70/89]

Primera definición

Recordemos que (xn) diverge a +∞ y se anota (xn) → +∞ si (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.

Análogamente tendremos que (xn) → −∞ si (∀N ∈ R−) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≤ N.

Se define L = limx→+∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → +∞, la sucesión f (xn) → L.

Se define L = limx→−∞

f (x) si se cumple que para toda sucesión (xn) → −∞, la sucesión f (xn) → L.

Ejemplo

limx→+∞

1x

= 0

En efecto , sea (xn) → +∞, esto implica por el teorema de sucesiones recíprocas visto en el capítulo de

sucesiones, se tiene(

1xn

)→ 0. Por lo tanto f (xn) → 0, entonces , lim

x→+∞

1x

= 0.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[71/89]

Segunda definición

Sea f : A ⊆ R → R donde A es un subconjunto no acotado de R.

i) Si A no tiene supremo entonces diremos que limx→+∞

f (x) = L ssi

(∀ε > 0)(∃a ∈ R+)(∀x ∈ A)[x ≥ a ⇒ |f (x)− L| ≤ ε].

ii) Si A no tiene ínfimo entonces diremos que limx→−∞

f (x) = L ssi

(∀ε > 0)(∃b ∈ R−)(∀x ∈ A)[x ≤ b ⇒ |f (x)− L| ≤ ε].

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[72/89]

Segunda definición

Sea f : A ⊆ R → R donde A es un subconjunto no acotado de R.

i) Si A no tiene supremo entonces diremos que limx→+∞

f (x) = L ssi

(∀ε > 0)(∃a ∈ R+)(∀x ∈ A)[x ≥ a ⇒ |f (x)− L| ≤ ε].

ii) Si A no tiene ínfimo entonces diremos que limx→−∞

f (x) = L ssi

(∀ε > 0)(∃b ∈ R−)(∀x ∈ A)[x ≤ b ⇒ |f (x)− L| ≤ ε].

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[73/89]

Funciones que crecen o decrecen sin cota

Ejemplo

limx→±∞

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

0 sin < manbn

sin = m6 ∃ sin > m

En el tercer caso, es decir si n > m, la función crece sin cota.

Definition (Definición (Funciones que crecen o decrecen sin cota))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonces

1 limx→x0

f (x) = +∞⇔ (∀M ∈ R+)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≥ M].

2 limx→x0

f (x) = −∞⇔ (∀N ∈ R−)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≤ N].

ObservaciónEn forma análoga se definen las expresiones.lim

x→x+0

f (x) = +∞, limx→x+

0

f (x) = −∞, limx→x−0

f (x) = +∞, limx→x−0

f (x) = −∞

limx→x0x>x0

f (x) = +∞, limx→x0x>x0

f (x) = −∞, limx→x0x<x0

f (x) = +∞, limx→x0x<x0

f (x) = −∞

limx→+∞

f (x) = +∞, limx→+∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = +∞, limx→−∞

f (x) = −∞

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[74/89]

Funciones que crecen o decrecen sin cota

Ejemplo

limx→±∞

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

0 sin < manbn

sin = m6 ∃ sin > m

En el tercer caso, es decir si n > m, la función crece sin cota.

Definition (Definición (Funciones que crecen o decrecen sin cota))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonces

1 limx→x0

f (x) = +∞⇔ (∀M ∈ R+)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≥ M].

2 limx→x0

f (x) = −∞⇔ (∀N ∈ R−)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≤ N].

ObservaciónEn forma análoga se definen las expresiones.lim

x→x+0

f (x) = +∞, limx→x+

0

f (x) = −∞, limx→x−0

f (x) = +∞, limx→x−0

f (x) = −∞

limx→x0x>x0

f (x) = +∞, limx→x0x>x0

f (x) = −∞, limx→x0x<x0

f (x) = +∞, limx→x0x<x0

f (x) = −∞

limx→+∞

f (x) = +∞, limx→+∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = +∞, limx→−∞

f (x) = −∞

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[75/89]

Funciones que crecen o decrecen sin cota

Ejemplo

limx→±∞

anxn + · · ·+ a1x + a0

bmxm + · · ·+ b1x + b0=

0 sin < manbn

sin = m6 ∃ sin > m

En el tercer caso, es decir si n > m, la función crece sin cota.

Definition (Definición (Funciones que crecen o decrecen sin cota))Sea f : A ⊆ R → R y x0 ∈ Adh(A) entonces

1 limx→x0

f (x) = +∞⇔ (∀M ∈ R+)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≥ M].

2 limx→x0

f (x) = −∞⇔ (∀N ∈ R−)(∃δ > 0)(∀x ∈ A)[|x − x0| ≤ δ ⇒ f (x) ≤ N].

ObservaciónEn forma análoga se definen las expresiones.lim

x→x+0

f (x) = +∞, limx→x+

0

f (x) = −∞, limx→x−0

f (x) = +∞, limx→x−0

f (x) = −∞

limx→x0x>x0

f (x) = +∞, limx→x0x>x0

f (x) = −∞, limx→x0x<x0

f (x) = +∞, limx→x0x<x0

f (x) = −∞

limx→+∞

f (x) = +∞, limx→+∞

f (x) = −∞, limx→−∞

f (x) = +∞, limx→−∞

f (x) = −∞

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[76/89]

Ejemplo

limx→+∞

ex = +∞

En efecto sea (xn) → +∞. Hay que demostrar que exn → +∞.

Si (xn) → +∞⇒ (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.También por una desigualdad muy conocidatenemos:

exn ≥ 1 + xn ≥ 1 + M.

definiendo M ′ = 1 + M, se cumplirá que (∀M ′ ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal que sin ≥ n0 ⇒ exn ≥ M ′, lo cual implica queexn → +∞, o sea, lim

x→+∞ex = +∞.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[77/89]

Ejemplo

limx→+∞

ex = +∞

En efecto sea (xn) → +∞. Hay que demostrar que exn → +∞.

Si (xn) → +∞⇒ (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.También por una desigualdad muy conocidatenemos:

exn ≥ 1 + xn ≥ 1 + M.

definiendo M ′ = 1 + M, se cumplirá que (∀M ′ ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal que sin ≥ n0 ⇒ exn ≥ M ′, lo cual implica queexn → +∞, o sea, lim

x→+∞ex = +∞.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[78/89]

Ejemplo

limx→+∞

ex = +∞

En efecto sea (xn) → +∞. Hay que demostrar que exn → +∞.

Si (xn) → +∞⇒ (∀M ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal quen ≥ n0 ⇒ xn ≥ M.También por una desigualdad muy conocidatenemos:

exn ≥ 1 + xn ≥ 1 + M.

definiendo M ′ = 1 + M, se cumplirá que (∀M ′ ∈ R+) (∃n0 ∈ N) tal que sin ≥ n0 ⇒ exn ≥ M ′, lo cual implica queexn → +∞, o sea, lim

x→+∞ex = +∞.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[79/89]

Asíntotas

Definition (Definición (Asíntotas horizontales))1 Si lim

x→+∞f (x) = `1 entonces la recta y = `1 se llama asíntota horizontal de f .

2 Si limx→−∞

f (x) = `2 entonces la recta y = `2 es otra asíntota horizontal de f .

Definition (Definición (Asíntotas verticales))Si lim

x→x+0

f (x) = ±∞ o limx→x−0

f (x) = ±∞, se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical de f .

Definition (Definición (Asíntotas oblicuas))La recta y = mx + n, será una asíntota oblicua de la función f : A ⊆ R → R en +∞ ssi

m = limx→+∞

f (x)

xy n = lim

x→+∞(f (x)−mx).

De manera análoga se define una asíntota de f en −∞.

ObservaciónSi m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[80/89]

Asíntotas

Definition (Definición (Asíntotas horizontales))1 Si lim

x→+∞f (x) = `1 entonces la recta y = `1 se llama asíntota horizontal de f .

2 Si limx→−∞

f (x) = `2 entonces la recta y = `2 es otra asíntota horizontal de f .

Definition (Definición (Asíntotas verticales))Si lim

x→x+0

f (x) = ±∞ o limx→x−0

f (x) = ±∞, se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical de f .

Definition (Definición (Asíntotas oblicuas))La recta y = mx + n, será una asíntota oblicua de la función f : A ⊆ R → R en +∞ ssi

m = limx→+∞

f (x)

xy n = lim

x→+∞(f (x)−mx).

De manera análoga se define una asíntota de f en −∞.

ObservaciónSi m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[81/89]

Asíntotas

Definition (Definición (Asíntotas horizontales))1 Si lim

x→+∞f (x) = `1 entonces la recta y = `1 se llama asíntota horizontal de f .

2 Si limx→−∞

f (x) = `2 entonces la recta y = `2 es otra asíntota horizontal de f .

Definition (Definición (Asíntotas verticales))Si lim

x→x+0

f (x) = ±∞ o limx→x−0

f (x) = ±∞, se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical de f .

Definition (Definición (Asíntotas oblicuas))La recta y = mx + n, será una asíntota oblicua de la función f : A ⊆ R → R en +∞ ssi

m = limx→+∞

f (x)

xy n = lim

x→+∞(f (x)−mx).

De manera análoga se define una asíntota de f en −∞.

ObservaciónSi m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[82/89]

Asíntotas

Definition (Definición (Asíntotas horizontales))1 Si lim

x→+∞f (x) = `1 entonces la recta y = `1 se llama asíntota horizontal de f .

2 Si limx→−∞

f (x) = `2 entonces la recta y = `2 es otra asíntota horizontal de f .

Definition (Definición (Asíntotas verticales))Si lim

x→x+0

f (x) = ±∞ o limx→x−0

f (x) = ±∞, se dice que la recta x = x0 es una asíntota vertical de f .

Definition (Definición (Asíntotas oblicuas))La recta y = mx + n, será una asíntota oblicua de la función f : A ⊆ R → R en +∞ ssi

m = limx→+∞

f (x)

xy n = lim

x→+∞(f (x)−mx).

De manera análoga se define una asíntota de f en −∞.

ObservaciónSi m = 0, volvemos al caso de una asíntota horizontal.

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[83/89]

Ejemplo

f (x) =√

x4+1x2−1

SoluciónEl dominio de la función es R \ [−1, 1] . Como f (x) es par basta estudiar su comportamiento solamente en elintervalo (1,∞) .

Como limx→1+

f (x) = ∞, tenemos que x = 1, es una asíntota vertical y como f es par entonces la recta x = −1

tambien es una asíntota vertical.

Veamos ahora las asíntotas en ∞

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x4 + 1x4 − x2

= limx→∞

√1 + 1

x4

1− 1x2

= 1 = m.

Por otro lado tenemos

limx→∞

f (x)− x = limx→∞

√x4 + 1x2 − 1

− x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[84/89]

Ejemplo

f (x) =√

x4+1x2−1

SoluciónEl dominio de la función es R \ [−1, 1] . Como f (x) es par basta estudiar su comportamiento solamente en elintervalo (1,∞) .

Como limx→1+

f (x) = ∞, tenemos que x = 1, es una asíntota vertical y como f es par entonces la recta x = −1

tambien es una asíntota vertical.

Veamos ahora las asíntotas en ∞

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x4 + 1x4 − x2

= limx→∞

√1 + 1

x4

1− 1x2

= 1 = m.

Por otro lado tenemos

limx→∞

f (x)− x = limx→∞

√x4 + 1x2 − 1

− x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[85/89]

Ejemplo

f (x) =√

x4+1x2−1

SoluciónEl dominio de la función es R \ [−1, 1] . Como f (x) es par basta estudiar su comportamiento solamente en elintervalo (1,∞) .

Como limx→1+

f (x) = ∞, tenemos que x = 1, es una asíntota vertical y como f es par entonces la recta x = −1

tambien es una asíntota vertical.

Veamos ahora las asíntotas en ∞

limx→∞

f (x)

x= lim

x→∞

√x4 + 1x4 − x2

= limx→∞

√1 + 1

x4

1− 1x2

= 1 = m.

Por otro lado tenemos

limx→∞

f (x)− x = limx→∞

√x4 + 1x2 − 1

− x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[86/89]

Ejemplo

Desarrollemos un poco la última expresión√x4 + 1x2 − 1

− x =

√x4 + 1x2 − 1

−

√x2 (x2 − 1)

(x2 − 1)=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1).

Multipliquemos la última expresión por 1 =

√x4+1+

√x4−x2√

x4+1+√

x4−x2

=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1)·√

x4 + 1 +√

x4 − x2√

x4 + 1 +√

x4 − x2=

x4 + 1− x4 + x2√(x2 − 1) ·

(√x4 + 1 +

√x4 − x2

)

=1 + x2√

(x2 − 1) ·(√

x4 + 1 +√

x4 − x2) =

1x2 + 1√

(x2 − 1) ·(√

1 + 1x4 +

√1− 1

x2

) .

Si tomamos el límite cuando x →∞ a la última expresión obtendremos(

1∞·2

)→ 0. Por lo tanto n = 0.

Con esto la asíntota oblícua será y = x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[87/89]

Ejemplo

Desarrollemos un poco la última expresión√x4 + 1x2 − 1

− x =

√x4 + 1x2 − 1

−

√x2 (x2 − 1)

(x2 − 1)=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1).

Multipliquemos la última expresión por 1 =

√x4+1+

√x4−x2√

x4+1+√

x4−x2

=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1)·√

x4 + 1 +√

x4 − x2√

x4 + 1 +√

x4 − x2=

x4 + 1− x4 + x2√(x2 − 1) ·

(√x4 + 1 +

√x4 − x2

)

=1 + x2√

(x2 − 1) ·(√

x4 + 1 +√

x4 − x2) =

1x2 + 1√

(x2 − 1) ·(√

1 + 1x4 +

√1− 1

x2

) .

Si tomamos el límite cuando x →∞ a la última expresión obtendremos(

1∞·2

)→ 0. Por lo tanto n = 0.

Con esto la asíntota oblícua será y = x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[88/89]

Ejemplo

Desarrollemos un poco la última expresión√x4 + 1x2 − 1

− x =

√x4 + 1x2 − 1

−

√x2 (x2 − 1)

(x2 − 1)=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1).

Multipliquemos la última expresión por 1 =

√x4+1+

√x4−x2√

x4+1+√

x4−x2

=

√x4 + 1−

√x4 − x2√

(x2 − 1)·√

x4 + 1 +√

x4 − x2√

x4 + 1 +√

x4 − x2=

x4 + 1− x4 + x2√(x2 − 1) ·

(√x4 + 1 +

√x4 − x2

)

=1 + x2√

(x2 − 1) ·(√

x4 + 1 +√

x4 − x2) =

1x2 + 1√

(x2 − 1) ·(√

1 + 1x4 +

√1− 1

x2

) .

Si tomamos el límite cuando x →∞ a la última expresión obtendremos(

1∞·2

)→ 0. Por lo tanto n = 0.

Con esto la asíntota oblícua será y = x .

Límite de Funciones (Limite_funciones.lyx)[89/89]

Ejemplo

Gráficamente tendremos

f (x)

x−1 1