46

Unitatearen aurkezpena

•Aurreko ikasturteetan, neska-mutilek ikasi eta landu izan dituzte bai lehenengo mailako ekuazioak eta bai bigarren mailakoak ere sistema lineal gisa. Beraz, gehienek trebe erabiliko dituzte kon-tzeptuzko zein prozedurazko alderdiak. Ikasturte honetan, dena dela, komeni da indartzea ezagutza horiek, eta, horrela, metodo konplexuagoetan ia konturatu ere egin gabe erabiltzen amaituko dute.

•Hasiera orrialdeetan, ekuazioaren kontzeptua berrikusten da, ba-tez ere ekuazioak haztamuka joz ebatzita. Behin eta berriz azpi-marratuko dugu zein garrantzitsua den ikasleek mota guztietako ekuazioak haztamuka joz ebazten jakitea (buruz edo kalkulagai-luaren laguntzaz): ekuazioaren eta soluzioaren ideiak indartu egi-ten direlako (haztamuka jotzen dugunean, berdintza egiaztatzen duen zenbaki baten bila goaz beren beregi); ekuazioen ebazpe-na urrundu egiten delako algoritmo itxiak erabiltzetik (haztamuka jotzeko modua desberdina izan daiteke ekuazio bakoitzean); eta, batez ere, haztamuka jotzea darabilten ikasleek edozein ekuazio mota ebazteko gauza ikusten dutelako beraien burua eta solu-ziora modu zehatzean edo hurbilduan iristen direlako, berdin dio ekuazioa oso arraroa bada ere.

•Bigarren mailako ekuazioen ebazpena berrikustean, beste era bateko ekuazioak ikusten hasiko gara: bikarratuak, ezezaguna izendatzailean dutenak, erro koadratikoak dituztenak…

•Beste horrenbeste gertatuko da sistemekin ere: ekuazio-sistema bat zer den jakinda eta hainbat eratako ekuazioak nola ebatzi ja-kinda, arazorik gabe ebatziko ditugu antzeko sistemak. Ikasleak arreta jarri behar dio lortzen diren soluzio ugariei eta horietako bakoitza baliozkoa den (ala ez den).

•Unitatea osatzeko, ezezagun bateko inekuazioak eta inekuazio-sis-temak aurkeztuko eta ebatziko ditugu (grafikoki eta aljebraikoki).

Gutxieneko ezagutzak

Ezinbestekoa iruditzen zaigu ikasleek honako eduki hauek ondo landuta eta menderatuta izatea unitatea amaitzerako:

•Bigarren mailako ekuazioak: motak, ebazpena eta eztabaida.

•Ekuazio bikarratuak, ezezaguna izendatzailean dutenak, errodu-nak…

•Ekuazio-sistema linealak. Ebazpena.

3 Ekuazioak, inekuazioak eta sistemak

46

Unitatearen eskema

ADIERAZPEN ALJEBRAIKOAK

hauen bidez erlazionatzen dira

zenbait baliorekin betetzen direnean honela esaten zaie

mota batzuk hauek dira hainbat ezezaguneko zenbait

ekuazio izan eta soluzio komuna aurkitu nahi zaienean,

honela esaten zaie

hainbat direnean eta soluzio komuna aurkitu nahi

zaienean, honela esaten zaie

izan dezakete

ebazpen metodo hauek erabiltzen dira

soluzioa hau da

BERDINTZAK

EKUAZIOAK

2.mailako ekuazioak ax 2 + bx + c = 0

Ekuazio bikarratuak ax 4 + bx 2 + c = 0

x izendatzailean duten ekuazioak

Ekuazio errodunak

(…) ⋅ (…) ⋅ … ⋅ (…) = 0 erako ekuazioak

DESBERDINTZAK

INEKUAZIOAK

EZEZAGUN BAT

TARTE BATEKOPUNTUAK

EKUAZIO-SISTEMAK

INEKUAZIO- SISTEMAK

•Ordezkapena•Berdinketa•Laburpena

47

•Mota desberdinetako ekuazio-sistemen ebazpena.

•Ezezagun bateko inekuazioen ebazpen grafikoa eta aljebraikoa.

•Ezezagun bateko inekuazio-sistemak.

•Enuntziatu eta guztiko problemak ebazteko erabiltzea.

Osagarri garrantzitsuakGai horiez gainera, komeni da ikasleek beraien ikasketa beste edu-ki osagarri batzuekin biribiltzea. Adibidez, honako hauekin:

•Bigarren mailako ax 2 + bx + c = 0 erako ekuazioen erroek a, b eta c koefizienteekin zer erlazio duten.

•Soluzio jakin batzuk izango dituen ekuazio eraikitzen jakitea.

•2. mailako ekuazio bat ebazteko formula lortzea.

Lanakaurreratu•Ekuazio, identitate eta ekuazio baten soluzioaren kontzeptuak

gogoratzea.

•Desberdintzak erabiltzea.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

57. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*) 60. or. Ariketa ebatziak. P.D. honetan iradoki-tako ariketa (*)

67. or. 6. (*) ariketa

59. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*) 61. or. Ariketa ebatziak 68. or. 9. (*) ariketa

60., 61., 62., 64. eta 65. or. Pentsatu eta egin 62. or. Ariketa ebatziak 70. or. Ariketa eta problema ebatziak. P.D. ho-netan iradokitako ariketa

66. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*) 64. or. Ariketa ebatziak 75. or. 67. (*) ariketa

68. or. Pentsatu eta egin 65. or. Ariketa ebatziak

69. or. Pentsatu eta egin 69. or. Ariketa ebatzia

71. eta 72. or. 1 - 30 ariketak 70. or. Ariketa eta problema ebatziak (*)

73. or. P.D. honetan iradokitako ariketa (*)

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKTak EKIMENA PROBLEMAK EBATZI

56. or. P.D. honetan iradoki-tako ariketa (*)

56. or. P.D. honetan ira-dokitako ariketa (*)

61. or. 8. (*) ariketa Ikaslearen liburuan proposatutako problema guztiak atal honetan barneratuta daude. Hemen aparteko interesa duten batzuk nabarmentzen dira.

62. or. 14. (*) ariketa 70. or. Ariketa eta problema ebatziak (*)

67. or. 5. (*) ariketa 73., 74. eta 75. or. 39 - 67 ariketak

76. or. Ikertu (*) 76. or. Erabili hizkuntza aljebraikoa (*)

76. or. Erabili burua (*)

77. or. Trebatu problemak ebatziz (*)

Ondorengo taula honetan, lankidetzan ikastea, pentsamendu ulerkorra, pentsamendu kritikoa, diziplinartekotasuna, ekimena etaproblemenebazpenalantzekoetahorriguztiariarretajartzekoariketakbildutaageridira.Batzukikaslearenliburuan(I.L.)proposatuta daude, eta, hemen, zer orrialdetan dauden eta zer ariketa diren adierazi da. Beste batzuk, argi zehazten den mo-duan, Proposamen Didaktikoan (P.D.) iradokita daude.

Iradokizun hauetako batzuk ikur batekin markatuta daude ikaslearen liburuan; hemen, (*) ikurra erabiliz nabarmendu ditugu.

48

5756

3 Ekuazioak, inekuazioak eta sistemak

Problema babiloniar bat

4 000 urte baino gehiago dituen taulatxo babiloniar batean honako problema hau azaltzen da:

Zenbateko luzera du karratu baten aldeak, kontuan izanda karratu

horren azalera ken aldea dela.

ikurrak 10 adierazten du, eta ikurrak, 1. Ikurren lehen multzoak, beraz, 10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 adierazten du, eta bigarrenak, 10 + 10 + 10 = 30. Babiloniarrek 60ko oinarriko zenbaki-sistema posizionala erabiltzen zuten. Beraz, aurreko zenbaki hori 14 · 60 + 30 = 870 da.

(Adi! Azalera gainazal bati dagokio, eta aldea, luzera bati. Beraz, ezin da bien arteko kenke-tarik egin. Enuntziatua zuzena izateko, «gainazaleko u2 kopurua ken aldearen u kopurua 870 da» esan beharko genuke).

Bi problema txinatar

Orain 2 200 urte baino gehiagoko banbuzko zerrendatan idatzita:

■ Kalkulatu zenbateko sakonera izango duen 10π oin karratuko gainazala duen urmael zirkular batek, jakinda zentroan hazten den kanabera bat oin bat irteten dela ur gainetik; baina urmaelaren hormaren kontra etzanez gero, justu-justu ur azaleraino heltzen dela.

■ 10 oineko altuera duen banbu-kanabera bat apurtu, eta goi-ko muturra lurzoruaren kontra erori da, oinarritik 3 oinera. Zenbateko altueran apurtu da kanabera?

Zenbait mugarri ekuazioen ebazpenean… Aitzindaria: Diofantok (iii. mendea) problema aljebraiko konplexuak proposatu zituen, eta oso metodo originalak eta interesgarriak erabilita ebatzi zituen. Baina haren ekarpenak ez zuen metodorik eta oso balio pedagogiko eskasa izan zuen.Sistematizazioa: Al-Jwarizmi (ix. mendea) izan zen lehenengo eta biga-rren mailako ekuazioen ebazpen sistematiko eta osatua egiten lehenengoa. Hark idatziriko Al-jabr wa-l-muqabala lan oinarrizko, didaktiko eta zorrotza oso ezaguna eta ikasia izan zen, eta gerora hizkuntza guztietara itzuli zen.XVI. mendeko italiarrak: xvi. mendean, aljebrari italiar batzuek (Tar-taglia, Cardano…) eztabaida interesgarri, sutsu eta emankorrak izan zituzten hainbat ekuazio kubikoren (hirugarren mailakoak) ebazpena dela eta. Jarduera horrek guztiak goi mailako ekuazioen ebazpenari bultzada emateko balio izan zuen.

…eta ekuazio-sistemen ebazpeneanEkuazio-sistemen planteamendua eta ebazpena ekuazioene-kin batera garatu zen; izan ere, bi ezezaguneko bi ekuazioko sistema batetik ezezagun bakarreko ekuazio batera igaro-tzeak ez du aparteko zailtasunik.Historikoki, ekuazio linealen sistemak ez dira oso erronka zaila izan. K.a. ii. menderako txinatarrek ebazten zituzten ekuazio linealak adina ezezagun dituzten sistemak. Metodo dotore eta indartsua erabiltzen zuten horretarako, gaur egun erabiltzen denaren antzekoa.

Al-Jwarizmik Bagdageko Jakintzaren Etxean ikasi eta lan egin zuen. Alexan-driako Liburutegiaren pareko ikerketa zentroa zen.

Nabarmentzekoa da Txinako antzinako mate-

matika, oso praktikoa zelako eta metodo bikainak lortu zituelako, bai aritmetikan

bai aljebran.

Girolamo Cardano (1501-1576). Haren «Ars Magna» liburuan hirugarren mailako ekuazioetarako argitaraturiko lehenengo ebazpidea ageri da, Tartaglia eta Scipione del Ferroren ikerketatan oinarrituriko ebazpena.

10 oin

3 oin

Webgunean Berrikusi lehen mailako ekuazioen ebazpena.

Ebatzi

1. Kalkulatu karratu baten aldea, jakinda azaleraren metro karratuen kopurua ken al-dearen metro kopurua 870 dela. Ebatzi bigarren mailako ekuazio baten formula erabili gabe, kontuan izanda x 2 – x = x (x – 1) ondoz ondoko bi zenbakiren bi-derkadura dela. (Deskonposatu 870 faktoretan).

2. Kalkulatu lehenengo problema txinatarreko urmaelaren sakonera.

3. Kalkulatu apurketaren altuera bigarren problema txinatarrean.

Unitatearen hasiera• Ekuazioak ebazteko bideen bilaketa horretan, aipagarriak dira honako

hauek: Diofanto, oso prozedura burutsuak erabili zituelako; Al-Jwarizmi, haren metodoen ordena eta sistematikotasunagatik; eta XVI. mendeko aljebrari italiarren jeinutasuna.

Ikasleek zer dakiten argitzeko galderak• 57. orrialdeko ariketen helburua hau da: ikasleek idatz eta ebatz ditzate-

la, ekuazioen bidez, ukitu historiko nabarmena duten zenbait problema. Abiapuntu ona izango da ikasleek aurreko ikasturteetako edukietatik zer menderatzen duten eta zer daukaten finkatuta hautemateko

Lankidetzan ikasi Neska-mutilek talde txikietan banatuta ebatziko dituzte 57. orrialdeko pro-blemak. Taldeko kide bakoitzak problemetako bat ebatziko du eta, gero, gainerakoei azalduko die. Beste taldekideek azalpen hori ontzat emango dute edo, bestela, okerrak aipatu eta zuzendu egingo dute.

Diziplinartekotasuna Honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

Italiako Errenazimendua eta pentsamenduaren korronteak zientzia arloko aurrerapenekin erlazionatzea, batez ere matematikaren esparruan.

IKTak Honako ariketa hau egitea iradokitzen da:

XVI. mendeko Italian ekuazioen ebazpenari dagokionez egin ziren aurrera pausoen (irakurgaian aipatzen dira) inguruko informazioa sakontzea; baita Tartaglia eta Cardanoren arteko eztabaidei buruzkoa ere.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 30 unitate. Problema babilonikoaren soluzioa ere hori da.

2 29 oin.

3 4,55 oin.

OHARRAK

49

5958

Bigarren mailako ekuazioak

Bigarren mailako ekuazioek itxura hau dute:ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 izanik

•Ekuazio osatuak. b ≠ 0 eta c ≠ 0 badira, ekuazioa osatua dela esaten da eta honako formula honekin ebazten da:

x = ,

8ab b ac

b acb acb ac

24

4 04 04 0

– ± ––––

bada bi soluzio daudebada, soluzio bat dagobada, ez dago soluziorik

>

<

22

2

2=

Z

[

\

]]

]]

•Ekuazio osatugabeak. b = 0 edo c = 0 badira, ekuazioa osatugabea dela esaten da eta oso erraz ebatz daiteke aurreko formula erabili beharrik gabe:

b = 0 → ax 2 + c = 0 → x 2 = ,8ac x a

c x ac– – – –1 2= =

c = 0 → ax 2 + bx = 0 → x (ax + b ) = 0 → x1 = 0, x2 = – ab

1 Ekuazioak

1. Ebatzi:a) 2x 2 – 50 = 0 b) 3x 2 + 5 = 0 c) 7x 2 + 5x = 0

2. Ebatzi: a) 10x 2 – 3x – 1 = 0b) x 2 – 20x + 100 = 0 c) 3x 2 + 5x + 11 = 0

3. Triangelu angeluzuzen batean, alderik luzeena ertaina baino 3 cm luzeagoa da, eta ertaina, alde txikia baino 3 cm luze-agoa.Zer neurri dute aldeek?

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

1. Ebatzi honako ekuazio osa-tugabe hauek:

a) 5x 2 – 45 = 0

b) 5x 2 + 45 = 0

c) 3x 2 – 21x = 0

a) 5x 2 – 45 = 0 → x 2 = 545 = 9 → x = ± 9 = ±3

Soluzioak: x1 = 3, x2 = –3

b) 5x 2 + 45 = 0 → x 2 = – 545 = –9 Ez du soluziorik.

c) 3x 2 – 21x = 0 → x (3x – 21) = 0 → 8

xx x

03 21 0 7–

== =

*

Soluzioak: x1 = 0, x2 = 7

2. Ebatzi honako ekuazio osatu hauek:

a) x 2 + x – 6 = 0

b) 9x 2 + 6x + 1 = 0

c) 5x 2 – 7x + 3 = 0

a) x 2 + x – 6 = 0 → x = ± ±2

1 1 242

1 5– –+ =

Soluzioak: x1 = 2, x2 = –3

b) 9x 2 + 6x + 1 = 0 → x = ·± ±

2 96 36 36

186 0

186

31– – – – –= = =

Soluzio bakarra: x = – 31

c) 5x 2 – 7x + 3 = 0 → x = ± ±10

7 49 6010

7 11– –= Ez du soluziorik.

SOLUZIORIK EZ

BI SOLUZIOSOLUZIO BAT

Ekuazio birkarratuak: ax   4 + bx   2 + c = 0

Maila bakoitiko gairik ez duten 4. mailako ekuazioak dira. Ekuazio horiek ebaz-teko, x2 = z aldagai aldaketa egiten dugu eta, beraz, x4 = z2. Horrela, z eze-zaguna duen bigarren mailako ekuazio bat lortuko dugu:

az2 + bz + c = 0Ekuazio hori ebatzi ondoren, x-ri dagozkion balioak kalkulatu behar ditugu. Eta z-ren balio positibo bakoitzeko, x-ren bi balio egongo dira; izan ere, x2 = z → x = ± z .

Ebatzi x 4 – 13x 2 + 36 = 0 ekuazioa.

x 4 – 13x 2 + 36 = 0 x z2 = z 2 – 13z + 36 = 0

z = 888

z xz x2

13 169 1442

13 5 9 34 2

± – ± ±±

== == =

*

Soluzioak: x1 = 3, x2 = –3, x3 = 2, x4 = –2

Ariketa ebatzia

Izendatzailean x duten ekuazioak

Izendatzaile aljebraikoak, zenbakizkoen antzera, izendatzaile guztien biderka-durarekin biderkatuz ezabatzen dira; edo, hobeto, izendatzaile guztien multi-plo komunetako txikienarekin biderkatuz. Hori eginda lortzen dugun ekuazioa badakigu ebazten.Adierazpen polinomikoekin biderkatzeko prozesu horretan, soluzio faltsuak ager daitezke. Beraz, lortu ditugun soluzio guztiak egiaztatu behar ditugu.

Ebatzi x x1

31

103–

+= .

Bi atalak bider 10x (x + 3) egingo ditugu.10(x + 3) – 10x = 3x (x + 3) → 10x + 30 – 10x = 3x2 + 9x →

→ 3x2 + 9x – 30 = 0 → x2 + 3x – 10 = 0 → x = ± ±2

3 9 402

3 7– –+ =

Bi soluzio daude: x1 = 2, x2 = –5. Hasierako ekuazioan ordeztu eta biak balio-zkoak direla ikusten dugu:

21

51

105 2

103– –= = 5

12

151

21

103

– – – –= + =

Ariketa ebatzia

Ez ahaztu

Ekuazioetan, izendatzaileak ezaba-tzeko, bi atalak izendatzaileen mul-tiplo komunetako txikienarekin biderkatu behar dira.Gogoan izan amaieran soluzio guztiak egiaztatu behar direla.

4. Ebatzi.a) 3x 4 – 12x 2 = 0 b) 3x 4 + 75x 2 = 0

c) 7x 4 – 112 = 0 d) x 4 – 9x 2 + 20 = 0

e) 4x 4 + 19x 2 – 5 = 0 f ) x 4 + 9x 2 + 18 = 0

5. Ebatzi ekuazio hauek:

a) xx

xx

1 12 3– + + = b) x x

x2

53 2

3+ + + =

c) x x1 1

43

2+ = d) xx

xx

51

41

25

––

++ + =

Pentsatu eta egin

ax4 + bx2 + c = 0

x2 = z x4 = z2

az2 + bz + c = 0

x = ± z

• Nola lortzen da 2. mailako ekuazioak ebazteko formula?

• 2. mailako ekuazioak eta ebazpen mekanismoak indartzeko problemak.

Webgunean

Indartu ekuazio birkarratuen ebazpena.Webgunean

Indartu izendatzailean x duten ekuazioen ebazpena.

Webgunean

Webgunean Bigarren mailako ekuazioen ebazpena.

Iradokizunak•Unitate honi berez dagozkion edukiak lantzen hasteko, bigarren mailako

ekuazio bat zer den eta nola ebazten den gogoratuko dugu.

• Komeni da maila honetako ikasleek jakitea noiz erabili behar den biga-rren mailako ekuazioak ebazteko algoritmo orokorra (ekuazio osotuak), eta noiz ebatz daitezkeen ekuazio mota horiek beste metodo erasoago batzuen bidez (ekuazio osatugabeak). Bereizketa hori egiten badakite, denbora eta lana aurreztuko dute.

•Hemen ikasiko ditugun ekuazio mota berriak ebazten hasi baino lehen, ikasleek argi izan behar dute kasu horietako bakoitzean helburua zein den: aurrez aurre aurkituko dituzten adierazpen aljebraikoak egoki era-biltzea, ebazten badakizkiten lehen edo bigarren mailako ekuazioak lor-tu arte.

• Ekuazio bikarratuen kasu zehatzean, bigarren mailako ekuazio batera iristeko metodo egokiena aldagai aldaketa egitea da; x izendatzailean duten ekuazioen kasuan, berriz, aurreko unitatean zatiki aljebraikoei bu-ruz ikasitako edukiak erabili beharko dituzte.

• Irakasleak egoki baderitzo, gai hau gehiago sakondu daiteke, bestelako ekuazio mota batzuk landuz; adibidez ax 6 + bx 3 + c = 0 erakoak (esate-rako, 8x 6 – 63x 3 – 8 = 0 edo x 6 + 7x 3 – 8 = 0 proposatu daitezke), ekua-zio horiek ebazteko metodoak, oinarrian, ekuazio bikarratuak ebazteko metodo berak direla ikusaraziz ikasleei.

Lankidetzan ikasi Gaitasun operatiboa lantzeko eta hobetzeko helburua duten ariketetan, ikasleak talde txikietan banatuta lan egitea iradokitzen da. Hasieran, ikas-leek bakarka egingo dituzte ariketak. Gero, beraiek lortutako emaitzak ikaskideek lortutakoekin konparatuko dituzte, eta egon daitezkeen desa-dostasunak konponduko dituzte. Irakasleak zalantzak argitzeko eta blo-keoak gainditzeko baino ez du esku hartuko.

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 22. orrialdeko 1. ariketa. 23. orrialdeko 2. eta 3. ariketak. 25. orrialdeko 1. eta 2. ariketak, a) ataletik g) atalera. 28. orrialdeko 1. ariketa. 29. orrialdeko 2. ariketa.

Sakontzeko: 23. orrialdeko 4. eta 5. ariketak. 25. orrialdeko 2. ariketa, h) ataletik m) atalera. 29. orrialdeko 3. eta 4. ariketak.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 1., 2., 3. eta 4. ariketak.

Sakontzeko: B fitxako Erabili ataleko 2. ariketa. B fitxako Egin ataleko 1. ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) x1 = 5, x2 = –5 b) Ez du soluziorik.

c) x1 = 0, x2 = 75–

2 a) x1 = 21 , x2 = –

51 b) x = 10

c) Ez du soluziorik.

3 9 cm, 12 cm eta 15 cm.

4 a) 0, 2 eta –2 b) 0 c) 2 eta –2

d) ,5 5– , 2 eta –2 e) ±21 f ) Ez du soluziorik.

5 a) 3 b) 3 eta – 4

c) 2 d) 3 eta – 5

34

50

6160

Ekuazio errodunak

Batzuetan, x erro karratu baten barruan ageri zaigu ekuazioetan. Ekuazio mota horiek ebazteko, komeni da erroa ezabatzea. Horretarako, lehenengo atal batean bakanduko dugu eta, gero, bi atalak ber bi egingo ditugu. Baina, kontuz! Ber bi egiteko prozesu horretan, soluzio berriak ere sor daitezke, eta jakina, baztertu beharrekoak dira. Horregatik, ekuazio mota horietan funtsezkoa da soluzio guztiak egiaztatzea.

Ekuazio esponentzialak

Ezezaguna berretzailean duten ekuazioak dira. Ikus ditzagun ebazpen prozedura desberdinak behar dituzten zenbait ekuazio mota:

Ekuazio logaritmikoak

Ezezaguna logaritmoaren adierazpenaren barruan duten ekuazioak dira. Loga-ritmoen propietateak kontuan hartuz ebatzi behar dira.

Ez ahaztu

Ezinbestekoa da soluzio posible guztiak egiaztatzea.

6. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) x – x2 3– = 1 b) x x4 6 2– – –+ = c) x x x2 9 7 2–2 + + = d) x x20 8– –=

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

1. Ebatzi ekuazioa.

x x7 2 22 + + =

8x x x x7 2 2 7 2 2–2 2+ + = + =Bi atalak ber bi egingo ditugu:

x 2 + 7 = 4x 2 – 8x + 4 → 3x 2 – 8x – 3 = 0 → x = ± ±6

8 64 366

8 10+ =

Bi soluzio posible daude: x1 = 3, x2 = – 31 . Egiaztatu egingo ditugu:

• 3 7 2 16 2 62 + + = + = ; 2 · 3 = 6. Lehenengoa, x1 = 3, soluzioa da.

• 31 7 2 9

64 2 38 2 3

14

31

32

–

–

2+ + = + = + =

2 –=c

c

m

m

_

`

a

bbb

bb

Bigarrena, – 31 , ez da soluzioa.

Beraz, soluzioa x = 3 da.

2. Ebatzi ekuazioa.

x x4 6 2– –+ =

x6 – bigarren atalera igaroko dugu:

x x4 2 6 –+ = + . Bi atalak ber bi egingo ditugu:

x + 4 = 4 + (6 – x) + 4 x6 – → x + 4 = 10 – x + 4 x6 – →

→ 2x – 6 = 4 x6 – → x – 3 = 2 x6 –

Berriro jasoko ditugu bira:

x 2 – 6x + 9 = 4(6 – x) → x 2 – 6x + 9 = 24 – 4x → x 2 – 2x – 15 = 0 →

→ x = ± ±2

2 4 602

2 8+ = xx

53–

1

2

==

Bi soluzio posibleak egiaztatuko ditugu:

• 5 4 6 5 9 1– – –+ = = 3 – 1 = 2 → x1 = 5 soluzioa da.

• ( )3 4 6 3 1 9– – – – –+ = = 1 – 3 = –2 → –3 ez da soluzioa.

Beraz, soluzioa x = 5 da.

Ariketa ebatzia

Ebatzi honako ekuazioa hauek:

a) 5 x 2 – 4x = 125

1

b) 5 x + 1 = 183

c) 3 x + 3 x + 2 = 90

a) Lehenengo atala oinarria 5 duen berretura bat da. Eta bigarren atala ere oinarria 5 duen berretura baten bidez adieraz daiteke:

1251

51 53

3–= =

Ekuazioa honela geratzen da: 5x 2 – 4x = 5–3. Beraz: x 2 – 4x = –3

x 2 – 4x + 3 = 0 ekuazioaren soluzioak x1 = 1 eta x2 = 3 dira.

b) Bigarren atala ezin da adierazi oinarria 5 duen berretura baten bidez, lehe-nengo atala dagoen bezala. Beraz, ezin dugu aurreko ariketako metodoa era-bili. Bi ataletan logaritmoak hartuz ebatziko dugu:

log (5x + 1) = (x + 1) log 5 (berretura baten logaritmoa berretzailea bider oina-rriaren logaritmoa da).

(x + 1) log 5 = log 183 → x = log

log5

183 – 1 = 2,2368

c) Kontuan hartuko dugu 3x + 2 = 3x · 32 = 9 · 3x dela.

Beraz: 3x + 3x + 2 = 3x + 9 · 3x = 10 · 3x.

Ekuazioa honela geratzen da: 10 · 3x = 90 → 3x = 9 → x = 2

Ariketa ebatzia

Ebatzi ekuazio hauek:

a) log3 (5x – 7) = 2

b) log5 (x 2 – 8) = 0

a) Logaritmoaren definizioa kontuan izanda: 32 = 5x – 7

5x – 7 = 9 → 5x = 16 → x = 516

b) 50 = x 2 – 8. Eta 50 = 1 denez, ekuazioa honela gelditzen da:x 2 – 8 = 1 → x 2 = 9 → x1 = 3, x2 = –3

7. Ebatzi honako ekuazio esponentzial hauek:

a) 3x 2 – 5 = 81 b) 2x + 1 = 43

c) 4x + 4x + 2 = 272 d) 2x + 2x + 3 = 36

e) 5x = 193 f ) 2x 2 – 2 = 835

8. Erabili logaritmoaren definizioa kasu haue-tako bakoitzean x kalkulatzeko:

a) log2 (2x – 1) = 3 b) log2 (x + 3) = –1c) log 4x = 2 d) log (x – 2) = 2,5e) log (3x + 1) = –1 f ) log2 (x 2 – 8) = 0

Pentsatu eta egin

Indartu ekuazio errodunen ebazpena.Webgunean

Webgunean Ekuazio errodunen ebazpena.

Ekuazio esponentzialen ebazpena.

Webgunean

Ekuazio logaritmikoen ebazpena.

Webgunean

Iradokizunak• Ekuazio errodunak lehen edo bigarren mailako ekuazio bihurtzeko meto-

doa hau da: erroa ataletako batean bakantzea eta karratura jasotzea. Horretarako, beraz, funtsezkoa izango da neska-mutilek oso ondo men-deratzea dagoeneko landuta dituzten identitate nabarmenak. Horrez gain, oso garrantzitsua da ikasleek kontuan hartzea, izendatzailean x du-ten ekuazioetan bezala, ekuazio mota hauetan ere soluzio faltsuak agertu daitezkeela eta, ondorioz, beharrezkoa dela lortutako soluzio guztiak egiaztatzea. Argi ikusiko dute hori soluzio faltsuak dituzten hainbat adibi-de erraz eginda; oso estrategia egokia da ikasleen aurrerabideari begira.

• Ekuazio esponentzialak ebazteko bi modu ageri dira:

—Lehenengokasuan,zenbakibatenberreturazenbakiberarenbestebe-rretura batekin berdinduta ageri da. Ebazpen hori oso intuitiboa da eta soluzioak osoak dira. Dena dela, orokorrean, ekuazio esponentzialak ez dira egoten soluzioak hain modu errazean lortzeko moduan prestatuta.

— Bigarren kasuan, logaritmoak erabili behar dira. Honako hau da ikas-leek ekuazio esponentzialen kasu gehienak ebazteko erabiliko duten metodoa, eta, beraz, eskura izan behar dutena.

•Unitate honetan landuko ditugun ekuazio logaritmikoak oso errazak di-ra. Horiek ebazteko, logaritmoaren definizioa argi izatea, besterik ez da egin behar.

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 26. orrialdeko 1. ariketa. 27. orrialdeko 3. ariketa. 29. orrial-deko 1., 3. eta 4. ariketak. 30. orrialdeko 1. ariketa.

Sakontzeko: 30. orrialdeko 6. ariketa. 31. orrialdeko 2. eta 3. ariketa.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 5. ariketa. B fitxako Egin ataleko 1. e) eta 1.f) ariketak.

Pentsamendu ulerkorra Ikasleak, hasieran, "dagoeneko badakitenarekin" ebazten saia daitezke orrialde honetako ariketa ebatziak eta hurrengo orrialdeetakoak, zailtasunak eta blokeoak non dituzten hautemateko. Gero, testuan ematen diren proze-suak aztertuko dituzte, ondorio bateratuetara iritsiko dira eta izan ditzaketen dudak argituko dituzte.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

6 a) x = 2 b) x = –3

c) x = –2 d) x = 11

7 a) x = ±3 b) x = –31

c) x = 2 d) x = 2

e) x = 3,27 f ) x = ±3,42

8 a) x = 29 b) x = –

25

c) x = 25 d) x = 2 + 100 10

e) x = 103– f ) x = ±3

OHARRAK

51

6362

(…) · (…) · (…) = 0 motako ekuazioak

Biderkadura 0 izateko, nahikoa da biderkagaietako bat zero izatea. Beraz, era honetako ekuazioak oso erraz ebatz daitezke, baldin eta parentesi bakoitzean ebazten dakigun ekuazioa lortzen badugu.Adibidez, (x – 2) · (x 2 – 36) · (x 2 + 5x) = 0. Parentesi bakoitza zerorekin ber-dinduko dugu: x – 2 = 0 → x1 = 2

x 2 – 36 = 0 → x 2 = 36 → x = ±6 xx

66–2

3

==

x 2 + 5x = 0 → x (x + 5) = 0 8xx x

05 0 5–

4

5

=+ = =

9. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) 7x 4 = 63x 2 b) x 4 – 10x 2 + 9 = 0c) 4x 4 – 5x 2 + 1 = 0 d) x 4 + 5x 2 + 4 = 0

10. Ebatzi.a) x4 5+ = x + 2 b) x + 2 = xc) x x x x2 3 3 0– –+ + =` ` `j j j

11. Ebatzi ekuazio hauek:a) 3x 2 – 48 = 0 b) 3x 2 + 48 = 0c) 5x 2 – 7x = 0 d) 6x 2 – x – 1 = 0e) 10x 2 + 9x = 5,2 f ) 7x 2 – 3x + 4 = 0

12. Ebatzi.

a) 41024

1 x x2 8– –2 = b) 32x – 1 = 27

c) 2x + 1 + 2x + 3 = 320 d) 2,5x = 49

13. Ebatzi.

a) xx

x xx x

37

2 33 6 1

––

2

2

++ +

++ =

b) x x

xx

x21 1 2

––

2+ + =

14. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) x 4 – 10x 3 + 5x 2 + 40x – 36 = 0

b) (x 4 – 13x 2 + 36) x x1 1

910–2+c m = 0

15. Ebatzi.a) x 4+ + 7 = 2x b) x13 – 2 + x = 5c) x x2 12 2– – – = d) x x5 5– + =

16. Ebatzi.a) log7 (5x + 6) = 2 b) log3 (2 – 3x) = 0c) log x 3–` j = –1 d) log2 (x 2 – 3x) = 2

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

1. Ebatzi ekuazio hau.

x 3 – 5x 2 + 4x = 0

Lehenengo atalean x biderkagai komun aterako dugu:

x3 – 5x2 + 4x = 0 → (x2 – 5x + 4)x = 0 → x xx

5 4 00

–2 + ==

*

Goiko ekuazioak bi soluzio ditu: x1 = 1, x2 = 4Soluzioak: x1 = 1, x2 = 4, x3 = 0

2. Ebatzi ekuazio hau:

(x 2 – 2x – 15)(3 x – 1 – 27) = 0

Parentesi bakoitza zerorekin berdindu eta bi ekuazio lortzen ditugu:x 2 – 2x – 15 = 0 → x1 = –3, x2 = 53x – 1 – 27 = 0 → 3x – 1 = 33 → x – 1 = 3 → x = 4Soluzioak: x1 = –3, x2 = 5, x3 = 4

Ekuazio-sistemak zer diren eta nola ebazten diren gogoratuko dugu.

Bi ekuaziok ekuazio-sistema bat eratzen dute bi ekuazio horiena izango den soluzioa aurkitu nahi dugunean.Bi ekuazioak linealak badira, sistema lineala dela esaten dugu.

' ' 'ax by ca x b y c

+ =+ =

*

Ekuazio-sistemak ebazteko hiru metodo daude: ordezpena, berdinketa eta labur-keta. Gogora ditzagun, adibide batzuk ebatzita.

2 Ekuazio linealen sistemak

Ariketa ebatziak

1. Ebatzi sistema hau:

x y

x y

3 2 7

5 16–

+ =

=*

a) Ordezkapen-metodoa era-biliz.

b) Berdinketa-metodoa era-biliz.

(3, –1)

5x – y = 16

3x + 2y = 7

a) y askatuko dugu 2. ekuazioan: y = 5x – 16

1. ekuazioan ordeztuko dugu: 3x + 2(5x – 16) = 7

Ekuazioa ebatziko dugu: 3x + 10x – 32 = 7 → 13x = 39 → x = 3

Goian ordeztuko dugu: y = 5 · 3 – 16 = 15 – 16 = –1

Soluzioa: x = 3, y = –1. Edo bestela, (3, –1).

b) Bi ekuazioetan ezezagun bera askatuko dugu.

8

8x y

x y

y x

y x

3 2 7

5 162

7 3

5 16–

–

–

+ =

=

=

=

_

`

a

bb

b4 → Berdinduz: 8x x x2

7 3 5 16 3– –= =

Goian ordeztuko dugu: y = 5 · 3 – 16 = –1 → Soluzioa: (3, –1)

2. Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz.

x y

x y

6 5 3

3 2 12

– –=

+ =*

2. ekuazioa bider 2 egingo dugu x -ren koefizienteak berdintzeko:

x yx y

6 5 36 4 24

– –=+ =

4 2.a – 1.a kenketa eginez: 9y = 27 → y = 3

Hasierako ekuazioetako batean ordeztuko dugu: 6x – 5 · 3 = –3 → x = 2Soluzioa: x = 2, y = 3. Edo bestela, (2, 3).

ax + by = c

a'x + b'y = c'

(x0, y0)SOLUZIOA

1. Ebatzi ordezpen-metodoa erabiliz:

a) x yx y

5 73 5 11–

+ ==

* b) x yx y

5 83 11–

+ ==

* c) x yx y

3 10 62 1

+ =+ =

*

Ebatzi berriro, oraingoan berdinketa-metodoa erabiliz.

2. Ebatzi laburketa-metodoaren bidez:

a) x yx y

5 73 5 11–

+ ==

* b) x yx y

3 5 264 10 32

– –=+ =

*

3. Ebatzi laburketa-metodoa erabiliz:

x yx y

22 17 4931 26 119–

+ ==

*

Pentsatu eta egin

• Indartu ekuazioen ebazpena faktoriza-zioaren bidez.

• Indartu ekuazioak dituzten problemen ebazpena.

Webgunean

Ebatzi sistema linealak grafikoen bidez.Webgunean

• Indartu: ekuazio-sistemen ebazpena.• Indartu: sistemen bidez ebazteko problemak.

Webgunean

Webgunean Berrikusi ekuazio-sistema baten soluzio-kopuruari buruz lehendik zenekiena.

Webgunean • Laburketa-metodoa.• Ordezpen-metodoa.

Iradokizunak•Mota honetako ekuazioen ebazpena ax2 + bx = 0 motako ekuazioak

ebazteko erabili izan den metodoaren zabalkunde moduan aurkez dai-teke.

•Horrez gain, soluzioak aldez aurretik ezagunak dituen ekuazio baten adierazpena mota honetako ekuazioak erabiliz idaztea zein azkar eta eroso egiten den ere erakuts dakieke ikasleei.

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 26. orrialdeko 1. ariketa.

Sakontzeko: 27. orrialdeko 2., 3. eta 4. ariketak.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

9 a) 0, 3 eta –3 b) 3, –3, 1 eta –1

c) 1, –1, 1/2 eta –1/2 d) Ez du soluziorik.

10 a) 1 eta –1 b) 4 c) 4 eta 9

11 a) 4 eta – 4 b) Ez du soluziorik.

c) 0 eta 7/5 d) 1/2 eta –1/3

e) 2/5 eta –13/10 f ) Ez du soluzio errealik.

12 a) 3 eta –1 b) 5/4 c) 5 d) 4,25

13 a) Ez du soluziorik. b) 3 eta –1

14 a) 1, 2, 9 eta –2 b) 3, –3, 2, –2, –3/5 eta –3/2

15 a) 5 b) 2 eta 3 c) 11 d) 9

16 a) 43/5 b) 1/3 c) 961/100 d) –1 eta 4

Iradokizunak• Atal honetako ariketa ebatzien bidez, ekuazio-sistema linealak ebazteko hi-

ru metodo klasikoak berrikusiko ditugu.

• x eta y bi ezezagun dituzten bi ekuazio linealeko sistemak ebazteari buruz hitz egiten dugunean, komeni da azpimarratzea x-ren balioa eta horri da-gokion y-ren balioa lortu nahi ditugula, biek elkarrekin sistemaren soluzioa osa dezaten. Hau da, sistemaren soluzioa izango den (x, y) bikotearen bila ari garela.

• Irakasleak egoki baderitzo, sistema baten soluzioen ikasketa biribiltzeko in-finitu soluzio dituzten edo soluziorik ez duten sistema linealen adibideak landu daitezke. Horrez gainera, interesgarria izan daiteke neska-mutilek koefiziente moduan erroak dituzten sistemak ebatzi beharra eskatzen duten problemak lantzea. Adibidez, honelakoak:

( )x yx y

3 1 5

3 3

+ =

+ =*

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 37. orrialdeko 1. eta 4. ariketak

Sakontzeko: 38. orrialdeko 10. ariketa. 40. orrialdeko 18. ariketa.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Sakontzeko: A fitxako Egin ataleko 3. ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) x = 29 , y =

21 b) x =

819 , y = –

831 c) x = –

21 , y =

43

2 a) x = 29 , y =

21 b) x = –2, y = 4

3 x = 3, y = –1

52

6564

Ekuazio linealen sistemak ebazteko dakizkigun metodoek, ekuazio ez-linealak ebazteko dakizkigunekin batera, hainbat ekuazio-sistema mota erraz ebazteko modua ematen digute.Sistema bat ebazteko prozesuan erro karratu bat ezabatu behar dugunean (ber bi eginez) edo izendatzaile batzuk ezabatu behar ditugunean (horien multi-plo komunetako txikienarekin biderkatuz), beharbada soluzio faltsuren bat ere sartuko zaigu tartean. Horregatik, horrelakoetan, soluzio guztiak egiaztatu behar dira hasierako ekuazio-sisteman.

3 Ekuazio ez-linealen sistemak

1. Ebatzi sistema hauek: a) x yxy

15100

– ==

* b) x yx y

419–

2 2

2 2+ =

=* c)

x xy yx y

211

2 2+ + =+ =

*

Pentsatu eta egin

2. Ebatzi: a) x y

x y2 1 0

7 2– ––2

== +

* b) x yxy y x

186 4

+ == + +

* c) y xy x

82 0–

2+ ==

* d) x xyx y

y2 3 6 1

5

–+ =

+ =

Z

[

\

]]

] e)

x y xx y

25 4

– – ==

*

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatziak

1. Ebatzi metodorik egokiena erabiliz.

y x

x y

1

5

–2 2

=

+ =*

y xx y

15

–2 2

=+ =

* Ordezkapen-metodoa erabiliko dugu.

1. ekuazioan y askatu: y = x + 12. ekuazioan ordeztu: x2 + (x + 1)2 = 5Parentesia garatu: x2 + x2 + 2x + 1 – 5 = 0Taldeka antolatu: 2x2 + 2x – 4 = 0

Ebatzi: x = ± ±4

2 4 324

2 6– –+ = → x1 = 1, x2 = –2

x = 1 bada, orduan y = 1 + 1 = 2.x = –2 bada, orduan y = –2 + 1 = –1.

Soluzioak: ,

,x yx y

1 22 1– –

1 1

2 2

= == =

*

2. Ebatzi honako sistema hau:

x y

x y

58

40–

2 2

2 2

+ =

=*

x yx y

5840–

2 2

2 2+ =

=* Laburketa-metodoa erabiliko dugu.

Bi ekuazioen batuketa eginez, hau lortzen dugu: 2x2 = 98 → x2 = 49 → x = 7, x = –7x = 7 bada, orduan y2 = 58 – 72 = 9 → y = 3, y = –3x = –7 bada, orduan y2 = 58 – (–7)2 = 9 → y = 3, y = –3

Soluzioak:

,,

,,

x yx yx yx y

7 37 3

7 37 3

––– –

1 1

2 2

3 3

4 4

= == == == =

Z

[

\

]]]

]]]

3. Ebatzi sistema hau:

x y

x y x y

2 1

2– –

= +

+ =*

Ordezpen-metodoa erabiliko dugu, x-k lehenengo ekuazioan duen balioa biga-rrenean jarriz:

( ) ( )y y y y2 1 2 1 2––+ + + =

Sinplifikatu: y y3 1 1 2–+ + =

Bakandu erro bat: y y3 1 2 1+ = + +

Jaso karratura: 3y + 1 = 4 + ( y + 1) + 4 y 1+

Sinplifikatu eta bakandu erroa: 2y – 4 = 4 y 1+

Sinplifikatu: y – 2 = 2 y 1+

Jaso karratura: y 2 – 4y + 4 = 4( y + 1)

Sinplifikatu: y 2 – 8y = 0 → y1 = 0, y2 = 8

Bilatu x -ri dagozkion balioak:

y1 = 0 bada, orduan x1 = 2 · 0 + 1 = 1

y2 = 8 bada, orduan x2 = 2 · 8 + 1 = 17

Soluzio posibleak: ,,

x yx y

1 017 8

= == =

Orain, soluzio posible horiek hasierako ekuazio-sisteman ordeztu eta egiaztatu behar ditugu:

— x = 1, y = 0 denean, 1. ekuazioa betetzen du, baina 2.a ez. Ez da soluzioa.— x = 17, y = 8 denean, bi ekuazioak betetzen ditu. Soluzioa da.Soluzioa: Sistemaren soluzio bakarra x = 17, y = 8.

4. Ebatzi.

x y xyxy

1 1 1 1

6

–+ =

=

Z

[

\

]]

]

Aurrena, lehenengo ekuazioa sinplifikatuko dugu:

xyy x

xyxy 1–+

= → y + x = xy – 1

Beraz, sistema honela geratuko da: y x xyxy

16

+ = +=

*

2. ekuazioko xy-ren balioa 1.an ordeztu: y + x = 6 – 1 → y = 5 – x

Orain, balio hori 2.ean ordeztu:

x (5 – x) = 6 → –x 2 + 5x = 6 → x 2 – 5x + 6 = 0 xx

23

2

1

==

x1 = 3 bada → y1 = 5 – 3 = 2 → Soluzioa: x1 = 3, y1 = 2

x2 = 2 bada → y2 = 5 – 2 = 3 → Soluzioa: x2 = 2, y2 = 3

Bi soluzioek balio dutela egiaztatu dugu.

Webgunean Indartu sistema ez-linealen ebazpena.

Iradokizunak• Atal hau lantzeko, sistema ez-lineal baten ebazpena emango duen ari-

keta bat planteatu daiteke.

Adibidez:

Bi karraturen aldeen arteko kendura 1 cm da, eta karratuen azaleren ar-teko batura, 5 cm2. Zer luzera dute karratuetako bakoitzaren aldeek?

Aurreko problema horren planteamenduak honako sistema ez-lineal ho-netara garamatza:

y x

x y

1

5

–2 2

=

+ =)

Sistema hori ebatzita dago testuan, eta horren ebazpena oinarri hartuta, honako hauek landuko ditugu ikasleekin:

— Ekuazio-sistema bat ez-lineala da ekuazioetako bat edo biak ez-linea-lak direnean.

— Sistema egoera jakin bati buruzkoa bada, soluzioen artean zeinek du-ten zentzua eta zeinek ez balioetsi behar da. Gure adibidean, argi ikusten da soluzio negatiboak ez duela zentzurik, luzerak lantzen ari gara eta.

• Horrez gain, sistemako ekuazioren batek izendatzailean x badu edo x erro barruan ageri bada, lortutako soluzio guztiak egiaztatu beharra da-goela ere azpimarratuko dugu.

• Matematika arloa ikasketaren ezaugarrietako bat ariketak behin eta berriz lantzea izanda, ikasleei adieraziko diegu oso lagungarria dela ariketa edo problema ebatziak berriro egitea, liburuan proposatutakoak, irakasleak emandakoak zein beraiek asmaturikoak, eta, batez ere, buruhauste han-dienak eman dizkietenak.

Ariketak behin eta berriz landuta, ikasleek jarraituriko prozesuari buruz-ko gogoeta egin eta sendotu egingo dute, soluzioa lortzeko metodo eraginkorrena zein den azkarrago identifikatzen ikasiko dute eta ebazpi-dean gero eta trebetasun handiagoa lortuko dute.

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 34. orrialdeko 1. ariketa, a) ataletik e) atalera. 35. orrialdeko 2. ariketa, a) ataletik d) atalera. 36. orrialdeko 3. ariketa, a) ataletik d) ata-lera.

Sakontzeko: 34. orrialdeko 1.f ) ariketa. 35. orrialdeko 2.e) ariketatik 2.j ) ariketara. 36. orrialdeko 3.e) ariketatik 3.h)-ra. 38. orrialdeko 6. ariketatik 9.enera.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 6. ariketa.

Sakontzeko: A fitxako Egin ataleko 1. ariketa. B fitxako Egin ataleko 2. ariketa. B fitxako Egin ataleko 1. ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 a) x1 = 20, y1 = 5; x2 = –5, y2 = –20

b) x1 = 5, y1 = 4; x2 = 5, y2 =– 4

x3 = –5, y3 = 4; x4 = –5, y4 = – 4

c) x1 = – 4, y1 = 5; x2 = 5, y2 = – 4

2 a) x1 = 4, y1 = 7; x2 = –2, y2 = –5

b) x1 = 11, y1 = 7; x2 = 2, y2 = 16

c) x1 = 4, y1 = 8; x2 = –2, y2 = – 4

d) x = 2, y = 3

e) x = 16, y = 20

53

6766

Batzuetan, adierazpen aljebraikoak emateko enuntziatuetan, «berdin» agertu beha-rrean bestelako esapideak agertzen dira: «baino handiagoa da», «baino txikiagoa da», «baino handiagoa edo berdina da» edo «baino txikiagoa edo berdina da». Adibidez: Mahai batek 141 cm-ko luzera du. Arrak erabiliz neurtu dut eta 6rekin

ezin izan dut mahai osoa neurtu. Zer esan dezaket arraren luzerari buruz?Enuntziatua hizkuntza aljebraikoan adieraziko dugu: Ezezaguna nire arraren luzera izango da. x esango diogu. Sei bider nire arra ez da 141 cm-ra heltzen ↔ 6x < 141Adierazpen mota horri inekuazio esaten zaio.Esandako horren arabera, inekuazioa desberdintza baten bidez adierazitako proposamen bat da:

x-ren zer baliorekin betetzen da gauza bat beste bat baino txikiagoa (edo handiagoa) izatea?

Galdera horren erantzunak inekuazioaren soluzioak izango dira.Inekuazioek infinitu soluzio izaten dituzte (zenbaki baten berdina bat baino ez dago; baina zenbaki bat baino txikiagoak direnak infinitu daude). Gure adibidean, soluzioak honela lortzen dira:

x < 6

141 = 23,5 ↔ Nire arrak 23,5 cm baino txikiagoa den edozein luzera izan dezake.

Inekuazioa desberdintza aljebraiko bat da. Bi atal ditu eta atalen artean zeinu hauetako bat ageri da: <, ≤, >, ≥.

Adibidez, honako adierazpen hauek inekuazioak dira:a) 2x + 4 > 0 b) –2x + 7 ≤ x

2 – 3 c) –x 2 + 4x > 2x – 3

Inekuazio baten soluzioa desberdintza betetzen duen ezezagunaren balioa da. Inekuazio bat ebaztea horren soluzio guztiak ematea da.

Adibidez, a) inekuazioaren soluzio bat x = 5 da, 2 · 5 + 4 = 14 handiagoa baita 0 baino. Egiaztatu dezakezunez, b) inekuazioaren soluzio ere bada x = 5; ez, ordea, c) inekuazioarena.

4 Ezezagun bateko inekuazioak

1. Eman honako inekuazio hauetako bakoitzaren bi soluzio oso:

a) 3x < 50 b) 2x + 5 ≥ 25

c) 7x + 4 < 19 d) x 2 + x < 50

2. Honako balio hauetako zein dira x 2 – 8x < 12 inekuazioaren soluzioak?

a) –5 b) 0 c) 1,1 d) 2

e) 25 f ) 3,2 g) 5,3 h) 10

3. Jarri hizkuntza aljebraikoan:a) Zenbaki baten hirukoitza gehi zortzi unitate

20 baino txikiagoa da.b) Nire ikasgelan 35 neska-mutil baino gutxiago gau-

de guztira.c) Daukadana baino bi bider diru gehiago banu eta

20 € tokatuko balitzaizkit, 110 € izango nituzke gutxienez.

d) Oraindik hileko 20 kuota ordaindu behar ditut hi-poteka kitatzeko. Hau da, 6 000 € gutxienez.

Pentsatu eta egin

Inekuazioen ebazpen grafikoa

Ikus dezagun nola ebazten diren grafikoki aurreko orrialdeko a), b) eta c) inekuazioak.

a) 2x + 4 > 0

x-ren zer baliorekin izango da 2x + 4 adierazpena 0 baino handiagoa? Hau da: x-ren zer baliorekin geratuko da y = 2x + 4 zuzenaren ordenatua X ardatza-ren gainetik? Zuzenaren adierazpen grafikoari erreparatzen badiogu, erantzuna argi dago: x > –2 denean.

Hau da, –2 baino handiagoak diren zenbaki guztiak izango dira soluzioak. Beraz, soluzioen multzoa (–2, +∞) da.

b) –2x + 7 ≤ x2

– 3

y = –2x + 7 zuzena y = x2 – 3 zuzenaren azpitik geratzen da edo zuzen horrekin

bat dator x-ren balioa 4 edo 4 baino handiagoa denean.

Inekuazio honen soluzioa x ≥ 4 betetzen duen zenbaki oro da.

Soluzio guztien multzoa [4, +∞) tartea da.

c) –x 2 + 4x > 2x – 3

y = –x2 + 4x parabola y = 2x – 3 zuzenaren gainetik geratzen da x-k –1 eta 3 arteko balioak hartzen dituenean.

Inekuazio horren soluzioen multzoa (–1, 3) tartea da.

f (x) ≤ g (x) edo f (x) ≥ g (x), ezezagun bakarra duten inekuazioak grafikoki ebazteko:1. y = f (x) eta y = g (x) grafikoak adierazi eta horien ebaki puntuak lortu

behar dira.2. Desberdintza zer tartetan betetzen den aztertu behar da.

4. Ebatzi inekuazio hauek grafikoen bidez:a) 3x > 9 b) 3x ≥ 9c) 3x + 2 < 11 d) 3x + 2 ≥ 11e) 2x – 3 < 5 f ) 2x – 3 ≤ 5

5. Aztertu elkarrizketa hau:— Zenbat bider joan zara futbol-partida bat ikustera?— Joandako aldien hirukoitza gehi 2 ez da 10era heltzen.Adierazi erantzuna hizkuntza aljebraikoan, ebatzi eta, gero, eman soluzioak, zenbaki oso ez negatiboak izan behar direla kontuan hartuz.

6. Ebatzi ondorengo inekuazioak grafikoki, y = x 2 – 5x + 4 funtzioaren adierazpena kontuan har-tuz:

a) x + 4 ≤ x 2 – 5x + 4

b) –x + 4 < x 2 – 5x + 4

c) x 2 – 5x + 4 < x – 1

d) x 2 – 5x + 4 ≥ x + 1

e) x 2 – 5x + 4 < – 6 + 2x

f ) x 2 – 5x + 4 ≤ –2

Pentsatu eta egin

y = 2x + 4

x > –2

y = –2x + 7

x2

y = — – 3

x Ó 4

y = 2x – 3

y = –x 2 + 4x

–1 < x < 3

y = 2x + 4

x > –2

y = –2x + 7

x2

y = — – 3

x Ó 4

y = 2x – 3

y = –x 2 + 4x

–1 < x < 3

y = 2x + 4

x > –2

y = –2x + 7

x2

y = — – 3

x Ó 4

y = 2x – 3

y = –x 2 + 4x

–1 < x < 3

Inekuazio baten soluzioen adieraz-pena.

Webgunean

Iradokizunak•Atal honen helburua da ikasleak inekuazioaren kontzeptua ikusten has-

tea, errealitateko egoeren bitartez.

• Inekuazioak haztamuka joz nola ebazten diren ikusi ondoren, orain, ine-kuazioen soluzioak lortzeko zer metodo erabil ditzaketen erakutsiko die-gu ikasleei.

• Lehenengoetabehin,ebazpengrafikoaikusikodugu.Gaihauastiroetaurratsez urrats lantzea iradokitzen dugu, honelako prozedura bati jarrai-tuz, adibidez:

— Inekuazioaren bi atalak grafiko batean adierazi. Orokorrean, maila ho-netan, zuzenak eta parabolak izango dira.

— Adierazi diren grafikoek dituzten ebaki-puntuak aurkitzea. Puntu ho-riek inekuazioan ordezkatuz gero, berdintza bete egiten dela egiazta-tuko dute ikasleek.

— Ebaki-puntuetatik abiatuta lortu den eremu (tarte) bakoitzeko x = a balio bat inekuazioan ordeztu. Horrela, inekuazioa eremu horretan egia den ala ez ikusiko dugu.

— Soluzioa tarte moduan eman.

Lankidetzan ikasi Orrialde hauetako «Pentsatu eta egin» atalak eta ikasi berri diren ezagu-tzak indartzeko ariketa guztiak elkarlanean egin daitezke, ikasleak talde txikietan banatuta, berdinen arteko ikasketa bultzatzeko.

Indartzeko eta sakontzekoAriketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 43. orrialdeko 9. eta 10. ariketak.

Sakontzeko: 47. orrialdeko 6. eta 7. ariketak.

INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko: A fitxako Egin ataleko 7. ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1 Adibidez:

a) x = 2, x = 10 b) x = 10, x = 20

c) x = 0, x = 2 d) x = 0, x = 5

2 a) Ez. b) Bai. c) Bai. d) Bai.

e) Bai. f ) Bai. g) Bai. h) Ez.

3 a) 3x + 8 < 20 b) 1 ≤ x ≤ 35

c) 3x + 20 ≥ 110 d) 20x ≥ 6 000

4 a) x > 3 b) x ≥ 3 c) x < 3

d) x ≥ 3 e) x < 4 f ) x ≤ 4

5 Birritan edo behin eta behin ere ez.

6 a) x ≤ 0, x ≥ 6 b) x < 0, x > 4

c) 1 < x < 4 d) x ≤ 3 – 6 , x ≥ 3 + 6

e) 2 < x < 5 f ) 2 ≤ x ≤ 3

OHARRAK

54

6968

Inekuazioen ebazpen aljebraikoa

Aurreko orrialdeko a), b) eta c) inekuazioen ebazpen grafikoa landu ondoren, orain era aljebraikoan ebatziko ditugu.

a) 2x + 4 > 0 ken 4⎯⎯⎯→ 2x > – 4 zati 2⎯⎯⎯→ x > –2

Soluzioak: x > –2. (–2, +∞) tartea.

Ikusten duzunez, ekuazioak ebazteko erabiltzen ditugun eragiketa berdintsuak erabili ditugu.

b) –2x + 7 ≤ x2

– 3

2rekin biderkatuko dugu guztia, izendatzailea kentzeko:

–4x + 14 ≤ x – 6 x lehen atalera igaro⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→eta 14, bigarrenera –4x – x ≤ –6 – 14 →

→ –5x ≤ –20 zati –5⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→bi ataletan x ≥ 520–– = 4 . [4, +∞) tartea.

oso garrantzitsua! Desberdintza bateko bi atalak zenbaki negatibo bate-kin biderkatzean edo zatitzean, desberdintzak zeinua aldatzen du.

Lehen mailako inekuazioak ebazteko, ekuazioak balira bezala jokatuko dugu, salbuespen hau kontuan hartuz: zenbaki negatibo batekin biderkatzen edo zatitzen badugu, desberdintzak zeinua aldatzen du.

c) –x2 + 4x > 2x – 3 → –x2 + 2x + 3 > 0 → x2 – 2x – 3 < 0

2. mailako adierazpenaren erroak lortuko ditugu: x1 = –1, x2 = 3.

Horiekin, hiru tarte definituko ditugu: (– ∞, –1), (–1, 3) eta (3, + ∞)

x2 – 2x – 3 adierazpenak tarte bakoitzeko balio batekin zer zeinu hartzen duen aztertuta, desberdintza tarte horretan betetzen den ikusiko dugu.

(–2)2 – 2(–2) – 3 = 5 → Ez

02 – 2 · 0 – 3 = –3 → Bai –1–2 0 1 2 3 4

Ez EzBai

42 – 2 · 4 – 3 = 5 → Ez

Beraz, soluzioek (–1, 3) tartea eratzen dute.

Ez ahaztu

Abiapuntua a < b izanik,c > 0 bada, orduan ac < bcc < 0 bada, orduan ac > bcZenbaki negatibo batekin biderka-tzean, desberdintzak zeinua aldatzen du.

7. Ebatzi inekuazio hauek modu aljebraikoan. Kontuan izan goian ebatzitakoen oso antzekoak direla:

a) 2x + 4 ≥ 0 b) 2x + 4 < 0

c) –2x + 7 > x2 – 3 d) –2x + 7 ≥ x

2 – 3

e) –x 2 + 4x ≥ 2x – 3 f ) –x 2 + 4x < 2x – 3

8. Ebatzi modu aljebraikoan.

a) 3x – 5 ≥ 13 b) 5x + 1 < x + 9

c) 3 – 2x > x + 5 d) 7 – 11x + 2 ≤ 23 + 4x

e) x 2 – 3x + 2 ≤ 4x –8

9. Ebatzi 66. orrialdeko 3. ariketako a), c) eta d) inekuazioak eta interpretatu soluzioa.

Pentsatu eta egin

Inekuazio-sistemak

Irakur dezagun berriro atal honen hasieran agertu zaigun enuntziatua (66. orrial-dea). Mahai batek 141 cm-ko luzera du. Arrak erabiliz neurtu dut eta

6rekin ezin izan dut mahai osoa neurtu. Zer esan dezaket arraren luzerari buruz?

Nire arraren luzera x bada, enuntziatu hori honela adieraziko dugu aljebraikoki: 6x < 141. Soluzioa x < 23,5 da.Baina enuntziatua arretaz aztertzen badugu, agerian esaten ez bada ere, 7 arrare-kin mahaiaren luzera gaindituko dugula ematen zaigu nolabait aditzera.Hau da, 7x > 141. Inekuazio horren soluzioa x > 20,1 da.

Beraz, arra baten x luzerari buruz, hau esan dezakegu: xx

6 1417 141

<>

*

Soluzioa hau da: ,,

xx

23 520 1

<>

* . Hau da, x ∈ (20,1; 23,5).

Ondorioa: nire arrak 20,1 cm eta 23,5 cm bitarteko luzera du.

Inekuazio-sistema baten soluzioak sistema hori eratzen duten inekuazio guztienak izango diren soluzioak dira.

10. Ebatzi inekuazio-sistema hauek:

a) xx

3 71 0– ≥

<+* b)

x xx x

2 3 3 57 1 13 4

–≥< +

+ +* c)

x xx x

2 3 3 57 1 13 4

–≥< +

+ +*

d) x xx

7 6 03 2 17

– ≤>

2 ++

* e) x xx

7 6 02 5 7

– ≤<

2 ++

* f ) x xx

7 6 02 5 7

– ≤≤

2 ++

*

Pentsatu eta egin

Ariketa ebatzia

Ebatzi honako inekuazio-siste-ma hau:

≥

x

x x2 4 0

2 72

3– –

>+

+*

1. inekuazioa: 2x + 4 > 0 → 2x > – 4 → x > –2. Soluzioa: (–2, +∞)

2. inekuazioa: –2x + 7 ≥ x2 – 3 → – 4x + 14 ≥ x – 6 → –5x ≥ –20 →

→ x ≤ 520–– = 4. Soluzioa: (–∞, 4]

–2 0 4

1. inekuazioaren soluzioak

2. inekuazioaren soluzioak

Sistemaren soluzioak

Soluzioa: (–2, +∞) ∩ (– ∞, 4] = (–2, 4]Indartu inekuazioen ebazpenari buruzko ezagutzak.

Webgunean

Indartu inekuazio-sistemen ebazpenari buruzko zure ezagutzak.

Webgunean

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

7 a) [–2, +3 ) b) (–3 , –2)

c) (–3 , 4) d) (–3 , 4]

e) [–1, 3] f ) (–3 , 1) ∪ (3, +3 )

8 a) [6, +3 ) b) (–3 , 2) c) –,32–3c m

d) 3– ,1514 +c m e) [2, 5]

9 a) (–3 , 4). 4 baino txikiagoak diren zenbaki guztiak.

c) 30 euro ditu, gutxienez.

d) Hipotekaren hileko kuota 300 eurokoa da, gutxienez.

10 a) [1, 4) b) (–8, 4]

c) [4, +3 ) d) (5, 6]

e) Ez du soluziorik. f ) x = 1

Iradokizunak• Inekuazio baten soluzioak aurkitzeko bigarren metodoa soluzio aljebrai-

koa da. Prozesu honen helburua desberdintzak dituzten propietateak trebe erabiltzen ikastea da. Horrela, bada, emandako urrats bakoitzak inekuazio bat beste inekuazio baliokide bat bihurtzea ekarriko du, azke-nean ebazteko errazena den inekuazio mota bat lortu arte; hau da, era honetako inekuazio bat:

ax ≤ b edo ax 2 + bx + c ≤ 0 (o >, <, ≥)

Kontuan hartu behar da, eta hala azpimarratu behar da, desberdintza aldatu egiten dela zenbaki negatibo batekin biderkatzean edo zatitzean.

• 69. orrialdean ezezagun bakarreko inekuazio-sistema bat nola ebazten den landuko dugu. Horretarako, inekuazio biak beteko dituen soluzio bat aurkitu behar dela azpimarratuko dugu. Ariketa ebatziak argi erakus-ten du ebazpen prozesua zein den: hasieran, inekuazio bakoitza bere al-detik ebazten da, eta, gero, soluzio komuna grafikoki bilatu eta tarte moduan adierazi behar da.

•Ariketa on bat hau izan daiteke: ikasleei adibide horretako desberdin-tzak moldatu ditzatela eta moldaketa horiei dagozkien soluzioak aurki ditzatela proposatzea.

Indartzeko eta sakontzeko

Ariketa hauek gomendatzen dira:

•MATEMATIKAKO ARIKETAK 2. koadernotik:

Indartzeko: 41. orrialdeko 1. eta 2. ariketak. 42. orrialdeko 3., 4., 5., 6., 7. eta 8. ariketak. 44. orrialdeko 1. eta 2. ariketak.

Sakontzeko: 45. orrialdeko 1. ariketa. 46. orrialdeko 2., 3., 4. eta 5. ariketak.

• INKLUSIOAETAANIZTASUNARENARRETAfotokopiatzekobaliabidetik:

Indartzeko: B fitxako Egin ataleko 3. ariketa.

OHARRAK

55

71

Ariketak eta problemakAriketa eta problema ebatziak

70

1. Ekuazio bat planteatu eta ebaztea

Laukizuzen baten altuera % x eta oinarria % 2x handituz gero, laukizuzenaren azalera % 32 handituko da. kalkulatu x-ren balioa.

Egizu zeuk. Laukizuzen baten oinarriak altuerak baino 10 cm gehiago ditu. Oinarria % 20 eta altuera % 30 handituta, perime-troa % 24 handitzen da. Kalku-latu laukizuzenaren neurriak.

b oinarria % x handitzen bada, bider x1 100+b l egiten da.

a altuera % 2x handitzen bada, bider x1 1002+c m egiten da.

b · a azalera % 32 handitzen bada, bider 1 10032+c m egiten da.

Beraz: b x1 100+b l · a x1 1002+c m = b · a 1 100

32+c m

Ekuazioaren bi atalak zati b · a egin eta hau lortzen dugu:

x1 100+b l x1 1002+c m = 1 100

32+c m → (100 + x)(100 + 2x) = 13 200

10 000 + 300x + 2x 2 = 13 200 → x 2 + 150x – 1 600 = 0 →

→ x = ±2

150 170– xx

10160– .Ez du balio

==

Bila gabiltzan soluzioa x = 10 da.

3. Ekuazio esponentzialak, aldagai aldaketa eta guzti

Ebatzi ekuazio hau:

4 x – 1 – 5 · 2 x – 2 + 1 = 0

Egizu zeuk. Ebatzi.23 + 2x – 3 · 2x + 1 + 1 = 0

2x-ren funtzioan adieraziko dugu. Kontuan izan 4x = (22)x = (2x)2 dela.

( )844 5

42 1 0

42 5

42 1 0– –

x x x x2+ = + =

2x = t egingo dugu eta, beraz, (2x)2 = t 2. Ezezaguna t duen 2. mailako ekuazio bat lortzen dugu:

±8 8t t t t t4

54

1 0 5 4 0 25 3– –

2 2+ = + = = tt

14

==

x -ren balioak bilatuko ditugu: 2x = 4 → x = 2; 2x = 1 → x = 0

2. Sistema bat planteatu eta ebaztea

Garraiolari bat 300 km-ra dagoen hiri batera abiatu da. Itzuleran, joanekoan baino 10 km/h arinago joan da, ba-tez beste, eta ordubete gutxiago behar izan du bidea egiteko. Kalkulatu joanekoan eta itzu-leran erabili dituen abiadurak eta denborak.

Egizu zeuk. 450 km-ko beste bidaia batean, joanekoan itzuleran baino 15 km/h arinago joan da, eta ordubete gehiago behar izan zuen bidea egiteko. Kalkulatu era-bilitako abiadurak eta denborak.

Joanekoan, abiadura v da, eta denbora, t.

Itzuleran, abiadura v + 10 da, eta denbora, t – 1.

Egindako distantzia berdina da bi kasuetan, beraz:

( ) ( )vtv t

30010 1 300–

=+ =

3 2. ekuazioa garatu eta sinplifikatuko dugu, vt-ren lekuan 300 jarriz:

vt + 10t – v – 10 = 300 → 10t – v – 10 = 300 – vt → 10t – v – 10 = 0

( )8 8 8vtt v

v t t t t t300

10 1010 10 10 10 300 10 10 300 0

–– – – –2=

== = =3

→ t 2 – t – 30 = 0 → t = ± ±2

1 1 1202

1 11+ = :8t v

t6 300 6 5

5– .Ez du balio= = ==

Joan, 50 km/h-ra doa 6 ordutan. Itzuleran, 60 km/h-ra dator 5 ordutan.

Trebatu

Ekuazioak

1. Ebatzi honako ekuazio hauek. 2. mailako ekuazio osatugabeak direnak ebatzi formula orokorra erabili gabe.

a) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x12

1 23

3 16

1 2– – – –+ = + +

b) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x 2 – 20

c) ( )x x x x x4

26

12

33

4– – – – –+ =

d) x x x x21

22

31 0– – –2

+ + =c m

2. Ebatzi ekuazio hauek:

a) ( ) ( )x x4

316

2 11635– – –2 2

=

b) ( ) ( )x x x x16

12

116

14

2– – –2 2+ + = +

c) (x + 1)2 = x2 (5x + 6) – (2x 2 + 1)

d) ( )x x x x2 21

225

21 7 1 4– –

2+ + = +c cm m

3. Ebatzi.

a) x4 – 4x2 + 3 = 0 b) x4 – 16 = 0

c) x4 – 25x2 = 0 d) x4 – 18x2 + 81 = 0

e) (2x2 + 1)2 – 5 = (x2 + 2)(x2 – 2)

4. Ebatzi.

a) xx x x2 3 2

5 6+ + = + b) xx

xx x44

1 3– – – –=

c) xx

xx3 3

32–

2+ + = d) x xx x

11

23 1– – –

+ =

5. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) xx

xx

11 3 2

– – –+ = b) xx

x4 33 1 1 3–

++ =

c) xx

xx

33 4

21

4 619–+

+ =+

+ d) x x x xx

31 2

32 5– –2+ =

+6. Ebatzi.

a) x x x25 2 1– 2+ = + b) x x3 6 10 35+ + =

c) x x1 5 1 0–+ + = d) x x x4 7 2 2–2 + = +

7. Ekuazio hauetako bik ez dute soluziorik. Aurkitu zein diren eta ebatzi beste biak.

a) x – 17 = x169 – 2 b) x x3 3 0– –2 + =

c) x x5 7 1 0– – – = d) x x2 5 4 4 5– + =

8. Ebatzi.a) x x7 3 1– –+ = b) x x3 2 2–+ =c) x x2 5 6 4–+ = d) x x5 1 1 2–+ + =

9. Ebatzi honako ekuazio esponentzial hauek:a) 2x + 1 = 8 b) 3x = 17

c) 101 – x 2 = 0,001 d) 81 31 3

xx 2= +c m

10. Ebatzi.a) 3 · 5x + 5x + 1 = 200

b) 7 · 2x – 1 – 5 · 2x = 43–

c) 2 · 3x + 1 + 3x – 1 – 5 · 3x = 108d) 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 224

11. Ebatzi logaritmoaren definizioa erabiliz.

a) log5 (2x – 3) = 1 b) log x2

1 2–4+ =c m

c) ( )log x 1 3–2 = d) log (2x – 15) = 0

12. Erabili logaritmoen propietateak honako ekuazio hauek ebazteko:a) 2log3 x – log3 4 = 4 b) log2 x – log2 3 = 2c) log2 (x – 3) + log2 x = 2 d) log (x – 9) – log x = 1

13. Deskonposatu faktoretan eta ebatzi.a) x3 – 4x = 0 b) x3 + x2 – 6x = 0

c) x3 + 2x2 – x – 2 = 0 d) x3 – x2 – 5x – 3 = 0

14. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) (x – 2)(x 2 – 2x – 3) = 0 b) x (x 2 + 3x + 2) = 0c) (x 2 – 3x)(2x + 1 – 1) = 0 d) (x + 5) log2 (x – 3) = 0e) (x 4 – 5x 2 + 4)(5x – 10) = 0 f ) ( ) ( )x x5 3 0–2 + =

15. Askatu ezezaguna eta ebatzi.

a) x 3 – 64 = 0 b) x x625 0– 3 =

c) xx4

3916 02+ = d) x

x8 812 0– 3 =

Iradokizunak

• «Ariketa eta problema ebatziak» atalaren orrialdean, hainbat estrategia, iradokizun, zantzu eta pentsaera azaltzen dira, eta horiek guztiak oso la-gungarriak izango dira ikasleentzat ondoren edo unitatearen amaierako orrialdeetan proposatzen diren ariketak ebazteko. Ariketa horiek guztiek helburu argi bat dute: ikasleak, aurrez aurre problemazko egoera bat du-tenean, gauza izan daitezela antzeko prozedurak erabiltzeko.

Pentsamendu kritikoa

Ikasleek, hasieran, bakarka edo talde txikietan banatuta ebatziko dituzte orrialde honetan proposatzen diren ariketak. Gero, beraien prozesu eta soluzioak testuan ageri direnekin konparatuko dituzte, eta ahoz azalduko dituzte ondo egindakoak, akatsak, desberdintasunak, erroreak...

«Egizu zeuk» atalaren soluzioak

1 Oinarria = 30 cm; Altuera = 20 cm

2 Joanekoa: 90 km/h eta 5 orduko bidaia.

Itzulera: 75 km/h eta 6 orduko bidaia.

3 x1 = –1 eta x2 = –2

OHARRAK

OHARRAK

56

Lankidetzan ikasi Orrialde hauetan eta, orokorrean, eragiketen trebetasuna lantzeko helbu-rua duten orrialde guztietan, honako metodologia hau erabiltzea iradoki-tzen da:

— Ikasleak talde txikietan banatuko ditugu (binaka edo hirunaka).

— Ariketa batzuk bakarka ebatziko dituzte eta, gero, batzuek eta besteek lortutako soluzioak eta erabilitako prozesuak konparatuko dituzte.

— Soluzioak bat ez badatoz, non huts egin duten aurkitu behar dute. Zalantzak argitzen ez badakite edo ados jartzen ez badira, irakasleak esku hartuko du.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

1 a) –2 eta 1 b) 2 eta –2

c) 0 eta 310 d) Ez du soluziorik.

2 a) 0 b) x-ren edozein balio da soluzioa.

c) Ez du soluziorik. d) –32

3 a) x1 = 3 , x2 = – 3 , x3 = 1, x4 = –1

b) x1 = 2, x2 = –2

c) x1 = 0, x2 = 5, x3 = –5

d) x1 = 3, x2 = –3

e) x = 0

4 a) x = 2 b) x1 = 1, x2 = –45

c) x = 3 d) x1 = 1, x2 = –3

5 a) x1 = 2, x2 = –1 b) x1 = –1, x2 = –31

c) x = 27 d) x = 2

6 a) x = 3 b) x = 9

c) x1 = 0, x2 = 3 d) x1 = 1, x2 = –2

7 a) Ez du soluziorik. b) x1 = 0, x2 = –1

c) Ez du soluziorik. d) x1 = 45 , x2 =

41

8 a) x = –6 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3

9 a) 21 b) 5,16 c) –2 eta 2 d) 1

10 a) x = 2 b) x = –1 c) x = 4 d) x = 8

11 a) x = 4 b) x = –87 c) x = 81 d) x = 4

12 a) x = 18 b) x = 12

c) x = 4 d) Ez du soluziorik.

13 a) x1 = 0, x2 = 2, x3 = –2 b) x1 = 0, x2 = –3, x3 = 2

c) x1 = 1, x2 = –1, x3 = –2 d) x1 = –1 (bikoitza), x2 = 3

14 a) –1, 3 eta 2 b) –2, –1 eta 0

c) –1, 0 eta 3 d) 4

e) –2; 2; –1; 1 eta 1,43 f ) 9

15 a) x = 4 b) x1 = 5, x2 = –5

c) x = –34 d) x1 =

32 , x2 = –

32

71

Ariketak eta problemakAriketa eta problema ebatziak

70

1. Ekuazio bat planteatu eta ebaztea

Laukizuzen baten altuera % x eta oinarria % 2x handituz gero, laukizuzenaren azalera % 32 handituko da. kalkulatu x-ren balioa.

Egizu zeuk. Laukizuzen baten oinarriak altuerak baino 10 cm gehiago ditu. Oinarria % 20 eta altuera % 30 handituta, perime-troa % 24 handitzen da. Kalku-latu laukizuzenaren neurriak.

b oinarria % x handitzen bada, bider x1 100+b l egiten da.

a altuera % 2x handitzen bada, bider x1 1002+c m egiten da.

b · a azalera % 32 handitzen bada, bider 1 10032+c m egiten da.

Beraz: b x1 100+b l · a x1 1002+c m = b · a 1 100

32+c m

Ekuazioaren bi atalak zati b · a egin eta hau lortzen dugu:

x1 100+b l x1 1002+c m = 1 100

32+c m → (100 + x)(100 + 2x) = 13 200

10 000 + 300x + 2x 2 = 13 200 → x 2 + 150x – 1 600 = 0 →

→ x = ±2

150 170– xx

10160– .Ez du balio

==

Bila gabiltzan soluzioa x = 10 da.

3. Ekuazio esponentzialak, aldagai aldaketa eta guzti

Ebatzi ekuazio hau:

4 x – 1 – 5 · 2 x – 2 + 1 = 0

Egizu zeuk. Ebatzi.23 + 2x – 3 · 2x + 1 + 1 = 0

2x-ren funtzioan adieraziko dugu. Kontuan izan 4x = (22)x = (2x)2 dela.

( )844 5

42 1 0

42 5

42 1 0– –

x x x x2+ = + =

2x = t egingo dugu eta, beraz, (2x)2 = t 2. Ezezaguna t duen 2. mailako ekuazio bat lortzen dugu:

±8 8t t t t t4

54

1 0 5 4 0 25 3– –

2 2+ = + = = tt

14

==

x -ren balioak bilatuko ditugu: 2x = 4 → x = 2; 2x = 1 → x = 0

2. Sistema bat planteatu eta ebaztea

Garraiolari bat 300 km-ra dagoen hiri batera abiatu da. Itzuleran, joanekoan baino 10 km/h arinago joan da, ba-tez beste, eta ordubete gutxiago behar izan du bidea egiteko. Kalkulatu joanekoan eta itzu-leran erabili dituen abiadurak eta denborak.

Egizu zeuk. 450 km-ko beste bidaia batean, joanekoan itzuleran baino 15 km/h arinago joan da, eta ordubete gehiago behar izan zuen bidea egiteko. Kalkulatu era-bilitako abiadurak eta denborak.

Joanekoan, abiadura v da, eta denbora, t.

Itzuleran, abiadura v + 10 da, eta denbora, t – 1.

Egindako distantzia berdina da bi kasuetan, beraz:

( ) ( )vtv t

30010 1 300–

=+ =

3 2. ekuazioa garatu eta sinplifikatuko dugu, vt-ren lekuan 300 jarriz:

vt + 10t – v – 10 = 300 → 10t – v – 10 = 300 – vt → 10t – v – 10 = 0

( )8 8 8vtt v

v t t t t t300

10 1010 10 10 10 300 10 10 300 0

–– – – –2=

== = =3

→ t 2 – t – 30 = 0 → t = ± ±2

1 1 1202

1 11+ = :8t v

t6 300 6 5

5– .Ez du balio= = ==

Joan, 50 km/h-ra doa 6 ordutan. Itzuleran, 60 km/h-ra dator 5 ordutan.

Trebatu

Ekuazioak

1. Ebatzi honako ekuazio hauek. 2. mailako ekuazio osatugabeak direnak ebatzi formula orokorra erabili gabe.

a) ( ) ( ) ( ) ( )x x x x x12

1 23

3 16

1 2– – – –+ = + +

b) (x + 1)2 – (x – 2)2 = (x + 3)2 + x 2 – 20

c) ( )x x x x x4

26

12

33

4– – – – –+ =

d) x x x x21

22

31 0– – –2

+ + =c m

2. Ebatzi ekuazio hauek:

a) ( ) ( )x x4

316

2 11635– – –2 2

=

b) ( ) ( )x x x x16

12

116

14

2– – –2 2+ + = +

c) (x + 1)2 = x2 (5x + 6) – (2x 2 + 1)

d) ( )x x x x2 21

225

21 7 1 4– –

2+ + = +c cm m

3. Ebatzi.

a) x4 – 4x2 + 3 = 0 b) x4 – 16 = 0

c) x4 – 25x2 = 0 d) x4 – 18x2 + 81 = 0

e) (2x2 + 1)2 – 5 = (x2 + 2)(x2 – 2)

4. Ebatzi.

a) xx x x2 3 2

5 6+ + = + b) xx

xx x44

1 3– – – –=

c) xx

xx3 3

32–

2+ + = d) x xx x

11

23 1– – –

+ =

5. Ebatzi honako ekuazio hauek:

a) xx

xx

11 3 2

– – –+ = b) xx

x4 33 1 1 3–

++ =

c) xx

xx

33 4

21

4 619–+

+ =+

+ d) x x x xx

31 2

32 5– –2+ =

+6. Ebatzi.

a) x x x25 2 1– 2+ = + b) x x3 6 10 35+ + =

c) x x1 5 1 0–+ + = d) x x x4 7 2 2–2 + = +

7. Ekuazio hauetako bik ez dute soluziorik. Aurkitu zein diren eta ebatzi beste biak.

a) x – 17 = x169 – 2 b) x x3 3 0– –2 + =

c) x x5 7 1 0– – – = d) x x2 5 4 4 5– + =

8. Ebatzi.a) x x7 3 1– –+ = b) x x3 2 2–+ =c) x x2 5 6 4–+ = d) x x5 1 1 2–+ + =

9. Ebatzi honako ekuazio esponentzial hauek:a) 2x + 1 = 8 b) 3x = 17

c) 101 – x 2 = 0,001 d) 81 31 3

xx 2= +c m

10. Ebatzi.a) 3 · 5x + 5x + 1 = 200

b) 7 · 2x – 1 – 5 · 2x = 43–

c) 2 · 3x + 1 + 3x – 1 – 5 · 3x = 108d) 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 224

11. Ebatzi logaritmoaren definizioa erabiliz.

a) log5 (2x – 3) = 1 b) log x2

1 2–4+ =c m

c) ( )log x 1 3–2 = d) log (2x – 15) = 0

12. Erabili logaritmoen propietateak honako ekuazio hauek ebazteko:a) 2log3 x – log3 4 = 4 b) log2 x – log2 3 = 2c) log2 (x – 3) + log2 x = 2 d) log (x – 9) – log x = 1

13. Deskonposatu faktoretan eta ebatzi.a) x3 – 4x = 0 b) x3 + x2 – 6x = 0

c) x3 + 2x2 – x – 2 = 0 d) x3 – x2 – 5x – 3 = 0

14. Ebatzi honako ekuazio hauek:a) (x – 2)(x 2 – 2x – 3) = 0 b) x (x 2 + 3x + 2) = 0c) (x 2 – 3x)(2x + 1 – 1) = 0 d) (x + 5) log2 (x – 3) = 0e) (x 4 – 5x 2 + 4)(5x – 10) = 0 f ) ( ) ( )x x5 3 0–2 + =

15. Askatu ezezaguna eta ebatzi.

a) x 3 – 64 = 0 b) x x625 0– 3 =

c) xx4

3916 02+ = d) x

x8 812 0– 3 =

OHARRAK

57

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

16 a) x = 7, y = –3 b) x = –5, y = 10

17 a) x = –1, y = 2 b) Ez du soluziorik.

18 a) x1 = –2, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2

b) x1 = 0, y1 = 1; x2 = –1, y2 = 2

c) x1 = 1, y1 = 1; x2 = 23 , y2 = 0

d) x1 = 2, y1 = –3; x2 = –2, y2 = 3

19 a) x1 = 5, y1 = 4; x2 = 5, y2 = – 4; x3 = –5, y3 = 4; x4 = –5, y4 = – 4

b) x1 = 3, y1 = 2; x2 = 3, y2 = –2; x3 = –3, y3 = 2; x4 = –3, y4 = –2

c) x1 = –6, y1 = –2; x2 = –6, y2 = 1; x3 = 5, y3 = –2; x4 = 5, y4 = 1

d) Ez du soluziorik.

20 a) x1 = –1, y1 = 3; x2 = 3, y2 = –1

b) x1 = –5, y1 = 4; x2 = –12, y2 = 215

c) x = 4, y = 3

d) x1 = –1, y1 = –1; x2 = 8, y2 = 5

21 a) x1 = 5, y1 = 3; x2 = –5, y2 = –3; x3 = 3, y3 = 5; x4 = –3, y4 = –5

b) x1 = 6, y1 = 2; x2 = –6, y2 = –2

c) x1 = 4, y1 = 1; x2 = –4, y2 = –1; x3 = 1, y3 = 4; x4 = –1, y4 = –4

d) x1 = 3, y1 = –31 ; x2 = –3, y2 =

31 ; x3 =

31 , y3 = –3; x4 = –

31 , y4 = 3

22 a) x = 3, y = 2 b) x = 10, y = 1

c) x = 2, y = 8 d) x = 20, y = 2

23 a) (1, +3 ) b) (–16, +3 )

c) (2, +3 ) d) (–3 , 1)

24 a) (–3 , –3) ∪ (1, +3 ) b) (–2, 5]

c) (–1, 5) d) (–3 , –5] ∪ [1/2, +3 )

25 a) (1, 2] b) (–3 , –1] ∪ [3, +3 )

c) (–3 , –3) ∪ (4, +3 ) d) ,167–c m

26 a) (–3 , +3 ) b) Ez du soluziorik.

c) Ez du soluziorik. d) (–3 , +3 )

27 a) – ,215 1c m b) –3,

25–c m ∪ (2, +3 ) c) (–7, 2)

28 a) (–2, 2) b) [–4, 1]

c) (8, +3 ) d) (–3 , 0)

29 a) (14, +3 ) b) (–2, –1)

30 Sistema bakoitzeko inekuazioen soluzioek ez dute puntu komunik.

72 73

Ariketak eta problemak

Erabili ikasitakoa31. Itzuli enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikora

eta ebatzi:

a) Zenbaki baten erdia ken 10 unitate 7 baino txikia-goa da.

b) Zenbaki baten hiru laurdeni 2 kenduz gero, zenbaki horren erdiari 5 batuta baino gehiago lortzen dut.

c) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko batura ez da 8 baino handiagoa.

d) Oinarria altuera baino 3 cm handiagoa duen lauki-zuzen baten perimetroa 50 m baino txikiagoa da.

32. Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek:

a) x yx zy z

02 6

3

––

==

+ =

Z

[

\

]]

]] b)

x zx y

x y z

42 7

2

– =+ =

+ =

Z

[

\

]]

]]

33. Ebatzi ekuazio hauek eta egiaztatu soluzioak:

a) log (x – 2) + log (x – 3) = 1 – log 5

b) 21 log (3x + 5) + 2

1 log x = 1

c) 2log x – 3log 2 = log (x + 6)

34. Ebatzi ekuazio hauek x 3 = t aldaketa eginez:

a) x 6 + 7x 3 – 8 = 0 b) x 6 – 2x 3 + 1 = 0

35. Ebatzi 2x = t aldagai aldaketa eginez.

a) 4x + 1 + 2x + 3 = 320 b) 4x – 8 = 2x + 1

c) 23 – x = 5 – 2x – 1 d) 3 · 4x + 9 · 2x – 30 = 0

36. 5 kg pintura berderen eta 3 kg pintura zuriren nahastea 69 € ordaindu dut. Kalkulatu zenbat balio duen kilogramo bat pintura zurik eta kilogramo bat pintura berdek, kontuan hartuz bakoitzeko kilogra-mo bat nahastuz gero, nahasteak 15 € balio duela.

37. Bitxigile batek bi lingote urre ditu: batak % 80ko purutasuna du, eta besteak, % 95ekoa. Lingote bakoitzetik zenbat urtu behar du % 86ko purutasuna izango duen 5 kg-ko lingotea lortzeko?

38. Triangelu isoszele baten perimetroa 32 cm-koa da. Alde desberdinari dagokion altuera 8 cm-koa dela jakinda, kalkulatu triangeluaren aldeak.

Ebatzi problemak 39. Zenbaki oso baten eta hori baino bi unitate han-

diagoa den beste baten arteko biderkadura 8 baino txikiagoa da. Zein izan daiteke zenbaki hori?

40. Zenbaki baten karratuari horren hirukoitza ken-duz gero, 4 baino gehiago lortzen dugu. Zer esan dezakegu zenbaki horri buruz?

41. Hiru lagunek 756 € kobratu dituzte lan bat egi-teagatik. Badakigu lehenengoak 12 ordu lan egin due-la; eta hirugarrenak, bigarrenak baino bi bider ordu gehiago egiteagatik, 360 € kobratu dituela. Zenbat ordu lan egin eta zenbat kobratu du bakoitzak?

42. Zilindro baten azalera osoa 112π cm2-koa da, eta erradioa eta altuera batuta 14 cm lortzen ditugu. Kalkulatu bolumena.

43. 4. C ikasgelakoek 5,4ko batezbesteko nota atera dute Matematiketan; eta 4. B gelakoek, 6,4koa. Zenbat neska-mutil daude gela bakoitzean, bietakoak batuta 50 direla eta batezbesteko nota 5,88koa dela jakinda?

44. Triangelu angeluzuzen baten perimetroa 36 m-koa da, eta kateto batek bestea baino 3 cm gu-txiago ditu. Aurkitu triangeluaren aldeak.

45. Pertsona batek beste batek baino 3 ordu gehiago behar ditu lan bat egiteko. Bien artean eginez gero, 2 ordu behar dituzte. Zenbat denbora beharko du bakoitzak lana bakarka egiteko?

46. Antigualekoen saltzaile batek poltsikoko bi erloju 210 €-an saldu ditu. Batekin % 10 irabazi du, baina bestearekin, % 10 galdu. Erlojuon eroste-prezioare-kin alderatuta % 5 irabazi badu guztira, zenbatean erosi zuen erloju bakoitza?

47. Jagobak prezio bereko hainbat liburu erosi ditu eta 90 € ordaindu du. Baina bezero ona denez, Sara dendariak beste 3 oparitu dizkio eta, horretara, liburu bakoitza 5 € gutxiago kostatu zaio. Zenbat liburu era-man ditu Jagobak eta zenbat ordaindu zuen bakoitza?

48. Kalkulatu zenbat denbora igaro behar den banku an sartu dugun 10 000 €-ko kapitala % 50 handitzeko kasu hauetan:a) Urteko % 4an ezarrita, urteko kapit.-epeetan.b) Urteko % 3,6an ezarrita, hileko kapit.-epeetan.

Ekuazio-sistemak

16. Ebatzi ekuazio-sistema hauek laburketa-metodoa birritan erabiliz:

a) x yx y

13 12 12721 17 96

– =+ =

* b) , ,x y

x y8 6 5 4 1125 12 245– –

+ ==

*

17. Ebatzi ekuazio-sistema hauek:

a) x y

x y5

210

3 1103

82 3

47

819

–– –+ =

+ ++

=

Z

[

\

]]

]]

b)x y

x y8

14 8

5

123 1

2 61–

+ + =

+ =

Z

[

\

]]

]]

18. Ebatzi.

a) x yx y

3 05

–2 2

+ =+ =

* b) x yxy y

12 2

+ =+ =

*

c) x y

xy y2 3

0– 2+ =

=* d)

( )x y

x x y y3 2 0

2 8– –2+ =

=*

19. Ebatzi ekuazio-sistema hauek:

a) x yx y

419–

2 2

2 2+ =

=* b)

x yx y3 2 35

2 1–

2 2

2 2+ =

=*

c) x y x yx y x y

3228– –

2 2

2 2+ + + =

+ =* d)

x y xx y x

2 1 02 3 1 0–

2 2

2 2+ + + =

+ + =*

20. Ebatzi eta egiaztatu soluzioak.

a) x y

x y

21 1

32–

+ =

+ =

Z

[

\

]]

] b) x y

x y

1 1201

2 3

+ =

+ =

Z

[

\

]]

]

c) y y xx y

2 15

–2 + =+ =

* d) x y

x y2 1 12 3 1–

+ = +=

*

21. Ebatzi.

a) xyx y

15342 2

=+ =

* b) xyx y

125 16–2 2

==

*

c) ( )xyx y

4252

=+ =

* d) x y

xy982

1–

2 2+ =

=

Z

[

\

]]

]22. Ebatzi.

a) x y 12 2 4

––x y

==

* b) log logx yx y

19–

+ ==

*

c) y

y2 02 12

–x

x

1 =+ =

+* d)

log logx yx y

122

– =+ =

*

Inekuazioak eta inekuazio-sistemak

23. Ebatzi.

a) x x27 3 1– < + b) ≥x x

34 3

610+ + +

c) 2x – 2(3x – 5) < x d) x – 1 – x2

1 0– <

24. Ebatzi honako inekuazio hauek:a) x2 + 2x – 3 > 0 b) x2 – 3x – 10 ≤ 0c) x2 – 4x – 5 < 0 d) 2x2 + 9x – 5 ≥ 0

25. Ebatzi.a) –x2 + 3x – 2 ≥ 0 b) –x2 + 2x + 3 ≤ 0

c) x2 – 2x – 7 > 5 – x d) x2 < x6

7+

26. Inekuazio batzuetan, ez dago soluziorik; eta bes-te batzuetan, edozein zenbaki da soluzio. Inekuazio hauetan, bilatu zein den mota bakoitzekoa.a) x2 + 4 > 3 b) x2 + x + 2 < 0c) x2 + 7 < 5x d) x2 + 4x + 4 > 0

27. Ebatzi honako inekuazio hauek:a) 3x (x + 4) – x (x – 1) < 15b) 2x (x + 3) – 2(3x + 5) + x > 0

c) x x x5

915

43

1 2– – – –<2 2

28. Ebatzi honako inekuazio-sistema hauek:

a) xx

2 02 0

– >>+

* b) x xx x

5 3 12 6 2

– ≤≥

++ +

*

c) x x

x x3

2 5 1

3 1 52 1

–

– –

<

<

+Z

[

\

]]

]] d)

x x

x613

1839 2

43 5 1

–

– –

<

<

+Z

[

\

]]

]]

29. Ebatzi honako inekuazio-sistema hauek:

a) x x

x x4

22 3

38

21 1

–

– –

<

<

+

+

Z

[

\

]]

]] b)

x x x

x x x2

13

2 26

3 7

42 1 2

42 9

– –

– –

>

<

+ +

+

Z

[

\

]]

]]

30. Egiaztatu honako bi inekuazio-sistema hauek ez dutela soluziorik:

a) x x

x x8 7 16

3 5 2–

–<<

++

* b) x x

x x

3 5 2 3

73 3

–

–

<

<

++*

Webgunean Ebatzi «Latak» eta «Nahasteak» problemak.

OHARRAK

58

72 73

Ariketak eta problemak

Erabili ikasitakoa31. Itzuli enuntziatu hauek hizkuntza aljebraikora

eta ebatzi:

a) Zenbaki baten erdia ken 10 unitate 7 baino txikia-goa da.

b) Zenbaki baten hiru laurdeni 2 kenduz gero, zenbaki horren erdiari 5 batuta baino gehiago lortzen dut.

c) Ondoz ondoko bi zenbakiren arteko batura ez da 8 baino handiagoa.

d) Oinarria altuera baino 3 cm handiagoa duen lauki-zuzen baten perimetroa 50 m baino txikiagoa da.

32. Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek:

a) x yx zy z

02 6

3

––

==

+ =

Z

[

\

]]

]] b)

x zx y

x y z

42 7

2

– =+ =

+ =

Z

[

\

]]

]]

33. Ebatzi ekuazio hauek eta egiaztatu soluzioak:

a) log (x – 2) + log (x – 3) = 1 – log 5

b) 21 log (3x + 5) + 2

1 log x = 1

c) 2log x – 3log 2 = log (x + 6)

34. Ebatzi ekuazio hauek x 3 = t aldaketa eginez:

a) x 6 + 7x 3 – 8 = 0 b) x 6 – 2x 3 + 1 = 0

35. Ebatzi 2x = t aldagai aldaketa eginez.

a) 4x + 1 + 2x + 3 = 320 b) 4x – 8 = 2x + 1

c) 23 – x = 5 – 2x – 1 d) 3 · 4x + 9 · 2x – 30 = 0

36. 5 kg pintura berderen eta 3 kg pintura zuriren nahastea 69 € ordaindu dut. Kalkulatu zenbat balio duen kilogramo bat pintura zurik eta kilogramo bat pintura berdek, kontuan hartuz bakoitzeko kilogra-mo bat nahastuz gero, nahasteak 15 € balio duela.

37. Bitxigile batek bi lingote urre ditu: batak % 80ko purutasuna du, eta besteak, % 95ekoa. Lingote bakoitzetik zenbat urtu behar du % 86ko purutasuna izango duen 5 kg-ko lingotea lortzeko?

38. Triangelu isoszele baten perimetroa 32 cm-koa da. Alde desberdinari dagokion altuera 8 cm-koa dela jakinda, kalkulatu triangeluaren aldeak.

Ebatzi problemak 39. Zenbaki oso baten eta hori baino bi unitate han-

diagoa den beste baten arteko biderkadura 8 baino txikiagoa da. Zein izan daiteke zenbaki hori?

40. Zenbaki baten karratuari horren hirukoitza ken-duz gero, 4 baino gehiago lortzen dugu. Zer esan dezakegu zenbaki horri buruz?

41. Hiru lagunek 756 € kobratu dituzte lan bat egi-teagatik. Badakigu lehenengoak 12 ordu lan egin due-la; eta hirugarrenak, bigarrenak baino bi bider ordu gehiago egiteagatik, 360 € kobratu dituela. Zenbat ordu lan egin eta zenbat kobratu du bakoitzak?

42. Zilindro baten azalera osoa 112π cm2-koa da, eta erradioa eta altuera batuta 14 cm lortzen ditugu. Kalkulatu bolumena.

43. 4. C ikasgelakoek 5,4ko batezbesteko nota atera dute Matematiketan; eta 4. B gelakoek, 6,4koa. Zenbat neska-mutil daude gela bakoitzean, bietakoak batuta 50 direla eta batezbesteko nota 5,88koa dela jakinda?

44. Triangelu angeluzuzen baten perimetroa 36 m-koa da, eta kateto batek bestea baino 3 cm gu-txiago ditu. Aurkitu triangeluaren aldeak.

45. Pertsona batek beste batek baino 3 ordu gehiago behar ditu lan bat egiteko. Bien artean eginez gero, 2 ordu behar dituzte. Zenbat denbora beharko du bakoitzak lana bakarka egiteko?

46. Antigualekoen saltzaile batek poltsikoko bi erloju 210 €-an saldu ditu. Batekin % 10 irabazi du, baina bestearekin, % 10 galdu. Erlojuon eroste-prezioare-kin alderatuta % 5 irabazi badu guztira, zenbatean erosi zuen erloju bakoitza?

47. Jagobak prezio bereko hainbat liburu erosi ditu eta 90 € ordaindu du. Baina bezero ona denez, Sara dendariak beste 3 oparitu dizkio eta, horretara, liburu bakoitza 5 € gutxiago kostatu zaio. Zenbat liburu era-man ditu Jagobak eta zenbat ordaindu zuen bakoitza?

48. Kalkulatu zenbat denbora igaro behar den banku an sartu dugun 10 000 €-ko kapitala % 50 handitzeko kasu hauetan:a) Urteko % 4an ezarrita, urteko kapit.-epeetan.b) Urteko % 3,6an ezarrita, hileko kapit.-epeetan.

Ekuazio-sistemak

16. Ebatzi ekuazio-sistema hauek laburketa-metodoa birritan erabiliz:

a) x yx y

13 12 12721 17 96

– =+ =

* b) , ,x y

x y8 6 5 4 1125 12 245– –

+ ==

*

17. Ebatzi ekuazio-sistema hauek:

a) x y

x y5

210

3 1103

82 3

47

819

–– –+ =

+ ++

=

Z

[

\

]]

]]

b)x y

x y8

14 8

5

123 1

2 61–

+ + =

+ =

Z

[

\

]]

]]

18. Ebatzi.

a) x yx y

3 05

–2 2

+ =+ =

* b) x yxy y

12 2

+ =+ =

*

c) x y

xy y2 3

0– 2+ =

=* d)

( )x y

x x y y3 2 0

2 8– –2+ =

=*

19. Ebatzi ekuazio-sistema hauek:

a) x yx y

419–

2 2

2 2+ =

=* b)

x yx y3 2 35

2 1–

2 2

2 2+ =

=*

c) x y x yx y x y

3228– –

2 2

2 2+ + + =

+ =* d)

x y xx y x

2 1 02 3 1 0–

2 2

2 2+ + + =

+ + =*

20. Ebatzi eta egiaztatu soluzioak.

a) x y

x y

21 1

32–

+ =

+ =

Z

[

\

]]

] b) x y

x y

1 1201

2 3

+ =

+ =

Z

[

\

]]

]

c) y y xx y

2 15

–2 + =+ =

* d) x y

x y2 1 12 3 1–

+ = +=

*

21. Ebatzi.

a) xyx y

15342 2

=+ =

* b) xyx y

125 16–2 2

==

*

c) ( )xyx y

4252

=+ =

* d) x y

xy982

1–

2 2+ =

=

Z

[

\

]]

]22. Ebatzi.

a) x y 12 2 4

––x y

==

* b) log logx yx y

19–

+ ==

*

c) y

y2 02 12

–x

x

1 =+ =

+* d)

log logx yx y

122

– =+ =

*

Inekuazioak eta inekuazio-sistemak

23. Ebatzi.

a) x x27 3 1– < + b) ≥x x

34 3

610+ + +

c) 2x – 2(3x – 5) < x d) x – 1 – x2

1 0– <

24. Ebatzi honako inekuazio hauek:a) x2 + 2x – 3 > 0 b) x2 – 3x – 10 ≤ 0c) x2 – 4x – 5 < 0 d) 2x2 + 9x – 5 ≥ 0

25. Ebatzi.a) –x2 + 3x – 2 ≥ 0 b) –x2 + 2x + 3 ≤ 0

c) x2 – 2x – 7 > 5 – x d) x2 < x6

7+

26. Inekuazio batzuetan, ez dago soluziorik; eta bes-te batzuetan, edozein zenbaki da soluzio. Inekuazio hauetan, bilatu zein den mota bakoitzekoa.a) x2 + 4 > 3 b) x2 + x + 2 < 0c) x2 + 7 < 5x d) x2 + 4x + 4 > 0

27. Ebatzi honako inekuazio hauek:a) 3x (x + 4) – x (x – 1) < 15b) 2x (x + 3) – 2(3x + 5) + x > 0

c) x x x5

915

43

1 2– – – –<2 2

28. Ebatzi honako inekuazio-sistema hauek:

a) xx

2 02 0

– >>+

* b) x xx x

5 3 12 6 2

– ≤≥

++ +

*

c) x x

x x3

2 5 1

3 1 52 1

–

– –

<

<

+Z

[

\

]]

]] d)

x x

x613

1839 2

43 5 1

–

– –

<

<

+Z

[

\

]]

]]

29. Ebatzi honako inekuazio-sistema hauek:

a) x x

x x4

22 3

38

21 1

–

– –

<

<

+

+

Z

[

\

]]

]] b)

x x x

x x x2

13

2 26

3 7

42 1 2

42 9

– –

– –

>

<

+ +

+

Z

[

\

]]

]]

30. Egiaztatu honako bi inekuazio-sistema hauek ez dutela soluziorik:

a) x x

x x8 7 16

3 5 2–

–<<

++

* b) x x

x x

3 5 2 3

73 3

–

–

<

<

++*

Webgunean Ebatzi «Latak» eta «Nahasteak» problemak.

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

31 a) x2

– 10 < 7

Soluzioa: x < 34

b) 43 x – 2 > x

2 + 5

Soluzioa: x > 28

c) 2x + 1 ≤ 8

Soluzioa: x ∈ {3, 2, 1, 0, –1, …}

d) 2x + 2 (x + 3) < 50

Soluzioa: 0 < x < 11

32 a) x = 4, y = 4, z = –1 b) x = 5, y = –3, z = 1

33 a) 4 b) 5 c) 12

34 a) –2, 1 b) 1

35 a) 3 b) 2

c) 1 eta 3 d) 1

36 Pintura berdearen kilogramoak 12 € balio du, eta zuriarenak, 3 €.

37 % 80ko purutasuna duen lingotearen 3 kg % 95eko purutasuna duen lingotearen 2 kg-rekin nahastu behar du.

38 Alde berdinek 10 cm dute, eta alde desberdinak, 12 cm.

39 Zenbakia hau izan daiteke: –3, –2, –1, 0 edo 1.

40 Zenbaki hori –1 baino txikiagoa edo 4 baino handiagoa izan daiteke.

41 Lehenengoak12ordulanegineta216eurokobratzendu;bigarrenak,

10 ordu lan egin, eta 180 euro kobratu; hirugarrenak, 20 ordu lan egin, eta 360 euro kobratu.

42 160π cm3

43 26 daude 4.C-n, eta 24, 4.B-n.

44 Katetoek 12 cm eta 9 cm dituzte, eta hipotenusak, 15 cm.

45 Batek 3 h behar ditu, eta besteak, 6 h.

46 150 eta 50 euroan.

47 6 liburu ordaindu, baina 9 eraman zituen. 15 euro ordaindu beharko zituen bakoitza; baina, azkenean, bakoitza 10 euroan eraman zituen.

48 a) 11 urte.

b) 11 urte eta 4 hilabete.

OHARRAK

59

«Ariketak eta problemak» atalaren soluzioak

49 6 lagun dira.

50 5 000 l/h eta 2 600 l/h.

51 Erronboaren diagonalek 6 cm eta 8 cm dituzte.

52 Zenbaki hori 35 da.

53 160 m ditu oinarrian, eta 40 m altueran.

54 8 m eta 6 m.

55 Bila gabiltzan zenbakia 54 da.

56 Konoaren erradioa 8 cm-koa da, eta sortzailea, 17 cm-koa.

57 Gutxienez 24 galderari erantzun behar zaie ondo.

58 12 kg pintura nahastu behar ditugu.

59 7 zuri eta 24 beltz daude.

60 43 eta

53

61 11 350 m oinez eta 200 m igerian.

62 24 h behar ditu.

63 12 km/h-an jaitsi behar dut.

64 Ibilbidean 75 km/h-ko abiadura eraman dute batez beste.

65 3 m-ko distantzia utzi behar dugu.

66 a) V = 420 cm3

b) a = 5 cm, b = 7 cm, c = 12 cm

67 a) G b) E c) G d) G

e) E f ) E g) G

68 4, 3, 2, 1 soluzio izan ditzake, edo soluzio bat ere ez.

a)Lausoluzioditu:1,–1,3eta–3.

b) Hiru soluzio ditu: 0, 2 eta –2.

c) Bi soluzio ditu: 2 eta –2.

d) Soluzio bat du: x = 0.

e) Ez du soluziorik.

f ) Bi soluzio ditu: 2 eta – 2 .

69 [2, +∞) tartean.

70 (–1, 2) tartean.

71 Erantzun bat baino gehiago dago. Kasu bakoitzean, x1, x2 ekuazioen soluzioak badira, hau betetzen da:

x1 ⋅ x2 = ac x1 + x2 = –

ab

72 Berdintza hauekin eragiketak eginez egiaztatzen da:

ax12 + bx1 + c = 0 ax2

2 + bx2 + c = 0

74 75

Ariketak eta problemak63. Mendi batera 4 km/h-ko abiaduran igo naiz.

Igoera eta jaitsiera kontuan hartuz, batezbesteko abiadura 6 km/h-koa izatea nahi dut.

Zenbateko abiaduran jaitsi beharko dut?

64. Anbulantzia batekoei istripu bat egon dela esan diete, eta A ospitaletik B puntura 60 km/h-ko abia-duran joan dira.

Ospitalerako itzulera poliziek zainduta egin dute, 100 km/h-ko abiaduran.

Batezbesteko zer abiadura eraman dute ibilbidean?

65. Landatu daitezke 275 zuhaitz 72 m × 30 m-ko lursail laukizuzen batean, irudian ageri den moduko koadrikula erregular bat eratzen?

xx

Landatu badaitezke, kalkulatu zer distantzia utzi behar dugun ilara bereko bi zuhaitzen artean.

66. Ortoedro baten aurpegien azalerak hauek dira: 35 cm2, 60 cm2 eta 84 cm2.

a) Zenbatekoa da bolumena?

b) Kalkulatu ertzen luzera.

Egin teoriari buruzko gogoeta67. Egia ala gezurra? Arrazoitu eta eman

adibideak.

a) b 2 – 4ac = 0 bada, ax 2 + bx + c = 0 ekuazioak ez du soluziorik.

b) k < 1 bada, 9x 2 – 6x + k = 0 ekuazioak bi soluzio ditu.

c) Ekuazio birkarratu batek soluzio-kopuru bikoitia du beti.

d) (x 2 + 5)(2x – 5) = 0 ekuazioak bi soluzio ditu.

e) (x – 1)2 + (x + 1)2 – 2(x 2 + 1) = 0 ekuazioak infi-nitu soluzio ditu.

f ) Inekuazio-sistema batzuek ez dute soluziorik.

g) Inekuazio batek infinitu soluzio ditu beti.

68. Zenbat soluzio izan ditzake ekuazio birkarra-tu batek? Egiaztatu zure erantzuna honako ekuazio hauek ebatziz:

a) x4 – 10x2 + 9 = 0 b) x4 – 4x2 = 0

c) x4 – 16 = 0 d) x4 + x2 = 0

e) x4 + 3x2 + 2 = 0 f ) x4 – 4x2 + 4 = 0

69. Aztertu y = 2 – x2 eta y = 2x – 3 zuzenen adie-

razpen grafikoa:

2

2

–2y = 2x – 3

xy = 2 – — 2

Erantzun eragiketarik egin gabe: x-ren zer baliorekin

da 2x – 3 ≥ 2 – x2 ?

70. Aztertu y = –x – 1 zuzenaren eta y = x 2 – 2x – 3 parabolaren adierazpena.

y = –x – 1

y = x2 – 2x – 3

Erantzun eragiketarik egin gabe:

x-ren zer baliorekin da x 2 – 2x – 3 < –x – 1?

71. Idatzi soluzio hauek dituen bigarren mailako ekuazio bat:

a) 2 eta –3 b) 4 eta 5

c) –2 eta – 8 d) 2 eta 31

Aztertu idatzi dituzun ekuazioak eta erlazionatu ekuazioaren a, b eta c koefizienteak soluzioen arteko batura eta biderkadurarekin.

72. Egiaztatu ax 2 + bx + c = 0 ekuazioaren so-luzioak x1 eta x2 badira, orduan x1 + x2 = – a

b eta x1 · x2 = a

c direla.

49. Talde bateko lagunek freskagarri bana hartu dute eta guztira 9 € ordaindu dute. Baina bi lagunek 1 € baino ez zutenez, gainerakoek 0,25 €-na gehiago jarri behar izan dute. Zenbat lagun dira?

50. 36 m3-ko depositu bat betetzeko, A txorrota 2 orduz zabaldu dugu, eta B txorrota, 10 orduz. 28 m3 baino ez baditugu bete nahi bi txorrota horiekin, A txorrota 3 orduz zabalduko dugu, eta B, 5 orduz. Orduko zenbat litro ematen ditu txorrota bakoitzak?

51. Erronbo baten aldea 5 cm-koa da, eta azalera, 24 cm2-koa. Kalkulatu diagonalen luzera.

52. Zenbaki bateko bi zifren arteko batura 8 da. Zenbaki horri 18 unitate batuz gero lortzen dugun zenbakiak zifra berak izango ditu, baina alderantziz jarrita. Zein zenbaki da?

53. Laukizuzen itxurako lursaila dugu. Oinarria 80 m txikiagotzen eta altuera 40 m handiagotzen badiogu, karratu bihurtuko dugu. Baina oinarria 60 m txikiagotu eta altuera 20 m handiagotzen badiogu, orduan azalera 400 m2 txikiagotuko diogu. Zein dira lursailaren neurriak?

x

y

x – 80

y + 4

0

54. Triangelu angeluzuzen bati buruz badakigu hipotenusak 10 m dituela eta azalera 24 m2-koa dela. Zer neurri dute katetoek?

55. Zenbaki baten bi zifren artean unitate bateko aldea dago. Eta zenbaki hori zifrak alderantziz jarrita lortzen dugunarekin zatituz gero, zatiduran 1,2 lor-tzen dugu. Zein da zenbakia?

56. Aurkitu 15 cm-ko altuera eta alboko azalera 136π cm2-koa duen kono baten erradioa eta sortzailea.

57. 40 galderako azterketa batean, ondo erantzun-dako galdera bakoitzarekin bi puntu lortzen dira, eta huts egindako bakoitzarekin, 0,5 galdu. Zenbat galde-rari erantzun behar zaie ondo 40 puntu lortzeko gu-txienez, derrigorra bada denei erantzutea?

58. 3,50 €/kg-an saltzen den pinturaren zenbat kilo nahasi behar ditugu 5 €/kg-an saltzen den beste pintura baten 6 kg-rekin, nahastearen prezioa 4 €/kg baino merkeagoa izateko?

59. Kaxa batean bola zuriak eta beltzak daude. Kaxan bola zuri bat sartzen badugu, orduan zuriak bolen % 25 izango dira. Eta kaxatik bola zuri bat ate-raz gero, zuriak kaxako bolen % 20 izango dira. Ko-lore bakoitzeko zenbat bola daude kaxan?

60. Bi zatikiri buruz hau dakigu: zenbakitzaile bera du-te; izendatzaileak, berriz, ondoz ondoko zenbakiak dira eta zatikien arteko batura 27/20 da. Horrez gain, zatiki txikieneko zenbakitzailearen eta izendatzailearen arteko batura 8 dela ere badakigu. Zein dira zatiki horiek?

«+» problemak61. Kirolari bat A puntuan dago, itsasoan,

1 510 m-ko luzera duen BD hondartzatik 120 m-ra.

1 510 – x

120

m

B

A

Cx D

D muturreraino joateko, igeri joan da C-raino 40 m/min-ko abiaduran, eta oinez egin du C-tik D-rako tartea gero, 90 m/min-ra. Kalkulatu zer dis-tantzia egin duen igerian eta zenbatekoa oinez, ibilbi-dea egiteko 20 minutu behar izan baditu guztira.

62. Ontzi batek ibai baten ertzean dauden A eta B hirien arteko bidea egiten du egunero. A-tik B-ra ko-rrontearekin bat doa eta 3 orduan egiten du bidea. Itzuleran, ordea, korrontearen kontra, 4 ordu behar ditu. Zenbat denbora behar du A-tik B-ra joateko ur gainean flotatzen dagoen objektu batek?

Ontziaren abiadurari v esango diogu, eta korronteare-nari, v '. Ezabatu v lehenengo bi ekuazioetan eta or-dezkatu v ' hirugarrenean. Horrela, t lortuko duzu.

'v v d3

+ =

'v v d4

– =

't

vd=

abiad. dist. denbora

joanekoa v + v' d 3itzulera v – v' d 4objektua, flotatzen

v' d t

Webgunean Ebatzi «Mugikorrak» eta «Txoriak» problemak.

OHARRAK

60

76 77

Taller de matemáticas

77

Taller de matemáticas

Erabili burua BalantzakZer jarri beharko genuke hutsik dagoen platertxoan, azkeneko balantza orekatzeko?

Matematika-lantegia

1. Ebatzi ekuazio hauek:

a) x x x14

7– –+ = b) x xx1

11

25 0– –

+ + =

2. Ebatzi.

a) x y

y x44

–2 = +

=* b)

xyx y

154 11–2 2

==

*

3. Ebatzi.a) 102x – 1 = 0,001 b) 25x = 500

c) 2x – 1 + 2x + 3 = 817

d) ( ) ( )log log logx x21 3 2

13 2 3 2– –2 2 2+ =

4. Ebatzi.

a) 3x 2 – 5x – 2 ≤ 0 b) x

x2 3 44 1

–– ≥ –

<*

5. Dendari batek 60 000 € bildu nahi ditu biltegian dituen ordenagailuak salduta. Baina bi apurtu egin zaizkio eta, beraz, besteak 50 € garestiago salduko ditu pentsatutako dirutza biltzeko.

Zenbat ordenagailu ditu eta zenbatean saldu ditu?

6. Erronbo batean, diagonalak batuta 42 m dira eta azalera 216 m2-koa da. Zenbatekoa da erronboaren perimetroa?

7. Ikasgela batean, mutilak neskak baino 5 gehiago dira. Badakigu guztira 20 ikasle baino zertxobait gehiago direla, baina ez direla 25era heltzen.

Zenbat neska eta zenbat mutil egon daitezke gelan?

8. 5 €/l balio duen ardoaren zenbat litro nahastu behar ditugu 3,50 €/l balio duen beste ardo baten 20 l-rekin, nahasteak 4 €/l baino gutxiago balio izateko?

Autoebaluazioa Webgunean Ariketa hauen ebazpena.

Trebatu problemak ebazten

•Motorista bat arratsaldeko bostetan irten da etxetik hitzordu batera heltzeko. 60 km/h-ra joanda, ordu laurden berandu helduko da; baina 100 km/h-ra joan-da, ordu laurden lehenago. Zer ordutan da hitzordua? Etxetik zer distantziatara du hitzordua?

•Tren bat 300 km/h-ra doa tarte zuzen batean. Paralelo doan errepide batetik, eta norabide berean, auto bat doa 120 km/h-ra.

Zer luzera du trenak, tren osoak autoa gainditzeko 4 segundo behar dituela jakinda?

•Tenis irakasle batek hiruna pilota eman dizkie ikasleei entrenamendu batean, eta 11 sobera geratu zaizkio. Hurrengo egunean 20 pilota gehiago eraman ditu, ikas-leei bosna pilota eman dizkie eta bat geratu zaio sobera. Zenbat ikasle ditu?

•Taldean lagun bakoitzak 6 € jartzea erabaki dugu, Gorkari baloi bat oparitzeko urtebetetzean. Baina Ibaik eta Jonek ez dute dirurik eta, beraz, besteok 10na € jarri ditugu. Zenbat lagun gara taldean.

Saiatu ondoren proposaturiko problema hauek aljebra erabili gabe ebazten.IkertuProblema diofantikoakOndoren, ekuazio diofantikoen bidez ebatz daitezkeen zenbait problema proposatzen dizkizugu.Problema hauek soluzio bat baino gehiago izaten dute.Soluzio bat baino gehiago badago, denak aurkitu behar dituzu.

1. Problema

Altzari baten hanka apurtu zaigu, 4 zentimetrokoa da.Konpondu arte orekan edukitzeko, 5 mm-ko eta 3 mm-ko lodiera duten zurezko zenbait disko ditugu. Mota bakoitzeko zenbat disko erabiliko ditugu?

2. Problema

20 galderako test batean, ondo erantzundako galdera bakoi-tzeko 5 puntu lortzen dira, oker erantzundako bakoitzeko 3 gal-tzen dira eta erantzun gabe utzi-tako bakoitzeko 2 galtzen dira.Zer gertatu behar da testa egin eta 0 puntu lortzeko? Eta 50 puntu lortzeko?

76

Erabili hizkuntza aljebraikoa BerdinduHiru anaietan zaharrenari loteria tokatu zaio. Eskuzabala denez, anaia gazteagoen kapitala bikoiztea erabaki du. Hori egitean, aberatsena erdiko anaia da. Baina hori ere eskuzabala denez, beste bien kapitala bikoiztea erabaki du.Orain aberatsena anaia gazteena da. Eta besteak baino gutxiago izan nahi ez duenez, horrek ere beste bien kapitala bikoiztu du. Azkenean! Orain denak parera geratu dira eta bakoitzak 400 € ditu.Zenbat diru zeukan anaia bakoitzak hasieran?

ZUZENA

+ 5+ 5 OKERRA

– 3– 3 ZURIZ– 2– 2

ZUZE

NA

+ 5+ 5

OKERRA– 3– 3

ZURI

Z

– 2

– 2

ZUZENA

+ 5+ 5

OK

ERRA

– 3– 3

ZURIZ

– 2– 2

Bazenekien…

Ekuazio diofantikoen ezaugarri bat soluzioak zenbaki arruntak izatea da (eta, batzuetan, osoak). Diofanto Alexandriakoa iii. mendeko matematikari handiaren omenez esaten zaie horrela; lehe-nengo aljebraria izan zela esaten da.

eta ikasiizan ekimena

Ikertu

Problema diofantikoak

Problema diofantiko hauek oso hezigarriak dira. Helburu hau da: ikasleek idatz ditzatela aldagaiak (bi lehenengoan, hiru bigarrenean) erlazionatzen dituzten ekuazioak eta soluzioak haztamuka joz lor ditzatela.

Soluzioak

• 1. problema

Hiru soluzio ditu:

— 5 mm-ko 2 disko eta 3 mm-ko 10 disko.

— 5 mm-ko disko eta 3 mm-ko 5 disko.

— 5 mm-ko 8 disko.

• 2. problema

a) Puntuazioa 0 bada, problemak bi soluzio ditu:

— 6 erantzun zuzen, 2 oker eta 12 zuri.

— 7 erantzun zuzen, 9 oker eta 4 zuri.

b) Puntuazioa 50 bada, problemak soluzio bat du:

— 13 erantzun zuzen, 1 oker eta 6 zuri.

Erabili hizkuntza aljebraikoa

Berdindu

«Atzetik aurrera eginez» ebazteko problema tipikoa.

Soluzioak

Zaharrenak 650 € zituen; erdikoak, 350 € eta txikiak, 200 €.

Erabili burua

Balantzak

Soluzioak

Hiru bola hori.

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak

•Hitzordua arratsaldeko 6etan da. Etxetik 75 km-ra da.

• Trenak 200 metroko luzera du.

• 15 ikasle ditu.

•Gorka ere zenbatuta, 6 lagun gara.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 a) x = 3 b) x1 = 2, x2 = –31

2 a) x = 49 , y =

25 b) x1 = 3, y1 = 5; x2 = –3, y2 = –5

3 a) x = –1 b) x = 1,93

c) x = –2 d) x = 3

4 a) – ,31 2; E

b) –3,27c m

5 50 ordenagailu ditu eta 48 ordenagailu 1 250 euroan saldu ditu.

6 Erronboaren perimetroa 60 m-koa da.

7 Bi soluzio daude:

— 8 neska eta 13 mutil.

— 9 neska eta 14 mutil.

8 Ardo horren 10 litro nahastu behar dira.

OHARRAK

61