ecuaciÓns, inecuaciÓns e sistemas · se multiplicamos a expresión anterior: x2 – 5x – 4x +...
TRANSCRIPT
1
ECUACIÓNS, INECUACIÓNS E SISTEMAS
Índice
1. Ecuacións de primeiro e segundo grao ..................................................................... 1
1.1. Ecuacións de primeiro grao ................................................................................ 1
1.2. Ecuacións de segundo grao ............................................................................... 3
2. Outras ecuacións alxébricas ..................................................................................... 5
2.1. Ecuacións bicadradas ........................................................................................ 5
2.2. Ecuacións de grao superior a dous .................................................................... 5
2.3. Ecuacións racionais ........................................................................................... 7
2.4. Ecuacións con radicais ...................................................................................... 7
3. Ecuacións exponenciais e logarítmicas ..................................................................... 8
3.1. Ecuacións exponenciais ..................................................................................... 9
3.2. Ecuacións logarítmicas ...................................................................................... 9
4. Problemas que se resolven mediante ecuacións .................................................... 10
5. Inecuacións............................................................................................................. 11
5.1. Inecuacións de primeiro grao ........................................................................... 11
5.2. Inecuacións de segundo grao .......................................................................... 12
6. Sistemas de ecuacións ........................................................................................... 13
6.1. Métodos de resolución de sistemas ................................................................. 13
6.2. Clasificación dos sistemas lineais .................................................................... 14
6.3. Método de Gauss para sistemas lineais ........................................................... 15
7. Problemas que se resolven mediante sistemas ...................................................... 17
1. Ecuacións de primeiro e segundo grao
Unha ecuación é unha igualdade na que aparece unha letra que representa un número que se quere calcular, chamada incógnita.
Por exemplo, na ecuación x + 3 = 4 la incógnita é x. Esta ecuación dinos que x é un número que, sumado con 3, é igual a 4.
Resolver unha ecuación é atopar o valor da incógnita.
1.1. Ecuacións de primeiro grao
Unha ecuación de primeiro grao cunha incógnita é toda ecuación que mediante transformacións de equivalencia convértese noutra da forma ax + b = 0, con a ≠ 0; a e b son números reais e chámanse coeficientes da ecuación.
Noutras palabras, é unha ecuación na que a incógnita aparece elevada a 1.
Por exemplo, son ecuacións de primeiro grao as seguintes:
2
3x + 5 = 7; 3(x + 2) – 3 = 5x + 7; 2
x + 3 = –2(x – 2)
Vaise ir recordando mediante exemplos como se poden resolver as ecuacións de primeiro grado.
Exemplos:
Resolver a ecuación 2x – 4 = –3x + x + 10.
Agrúpanse os termos en x nun dos membros e os que non levan x no outro: 2x + 3x – x = 10 + 4. Entón: 4x = 14. A solución é un número que multiplicado por 4, dea 14, que se obtén dividindo 14
entre 4: x = 4
14 =
2
7.
Se a ecuación contén parénteses, quitaranse estes en primeiro lugar, para ter unha ecuación como a anterior.
Por exemplo, resolver a ecuación 2(x – 2) – 3(x + 1) = 2 + 3(x – 1).
Quítanse os parénteses: 2x – 4 – 3x – 3 = 2 + 3x – 3
Sepáranse os termos en x e os independentes: 2x– 3x – 3x = 2 – 3 + 4 + 3 ⟹ –4x = 6 Agora, pódese cambiar de signo a ecuación para que o x quede positivo (aínda que
non é imprescindible) e despéxase o valor de x: 4x = –6 ⟹ x = –4
6 = –
2
3.
Se a ecuación contén denominadores, estes elimínanse utilizando o mínimo común múltiplo.
Por exemplo, resolver a ecuación 30
123
5
2
3
2
xxx.
O mínimo común múltiplo de 3, 5 e 30 é 30. Divídese 30 entre cada denominador e multiplícase o resultado polo numerador. Cando algún termo non leve denominador, considérase que é 1: 10(x + 2) – 6(x – 2) = 90 + 2x – 1 E xa se está na situación do exemplo anterior. Elimínanse os parénteses, agrúpanse termos e despéxase x:
10x + 20 – 6x + 12 = 90 + 2x – 1 ⟹ 2x = 57 ⟹ x = 2
57.
Unha das aplicacións inmediatas das ecuacións de primeiro grao é a de resolver problemas. A resolución de problemas mediante ecuacións, e a resolución de problemas en xeral, son a parte máis complicada das matemáticas. Non hai regras que sirvan para todos los casos. O único segredo está en intentar resolver moitos, aínda desta forma sempre se tropezará con algún que simplemente no saia.
Exemplos:
Un pai ten 37 anos, e as idades dos seus tres fillos suman 25 anos. Cantos anos han de transcorrer para que as idades dos fillos sumen como a idade do pai?
Pregúntase polos anos que han de transcorrer para que ocorra algunha cousa. Esta vai ser a incógnita: x = anos que han de transcorrer. O pai ten agora 37 anos. Dentro de x años terá 37 + x.
3
Os fillos teñen agora, entre os tres, 25 anos. Dentro de x anos terán 25 + 3x xa que pasan x anos para cada un deles. Entón, quérese que as dúas expresións anteriores sexan iguais. Xa se ten la ecuación: 37 + x = 25 + 3x. Resólvese a ecuación e obtense que x = 6 anos. En efecto, dentro de 6 anos o pai terá 37 + 6 = 43 anos. E a suma das idades dos fillos será 25 + 3 · 6 = 43 anos tamén.
Nun hotel hai habitacións dobres e sinxelas. En total hai 50 habitacións e 80 camas. Cantas das habitacións son sinxelas e cantas son dobres?
Chámase x ao número de habitacións sinxelas. Entón debe haber 50 – x habitacións dobres. Para calcular o número de camas haberá que sumar o número de habitacións sinxelas, xa que en cada unha hai unha cama; máis dúas veces o número de habitacións dobres: x + 2(50 – x) = 80. Resólvese a ecuación e obtense x = 20. Polo tanto, hai 20 habitacións sinxelas e 50 – 20 = 30 habitacións dobres. Nos dous exemplos vistos ponse de manifesto a importancia de elixir cal vai ser a incógnita, é dicir, o número que se quere coñecer, o que preguntan. O resto da resolución do problema consiste en reler o enunciado e ir traducindo o texto a unha ecuación por medio de x.
1.2. Ecuacións de segundo grao
Unha ecuación de segundo grao é aquela que reducida ten a forma ax2 + bx + c = 0; onde a, b e c son números reais chamados coeficientes da ecuación, con a ≠ 0. Esta é unha ecuación de segundo grao completa, porque contén todos os termos posibles. Se falta algún, (bx ou c xa que se faltase ax2 non sería de segundo grao) entón é unha ecuación de segundo grao incompleta.
Vaise empezar resolvendo as ecuacións incompletas.
Exemplos:
Resolver a ecuación 2x2 – 32 = 0.
Despéxase x2: x2 = 2
32 = 16.
Entón, x é un número que, elevado ao cadrado, é 16. Hai dúas posibilidades:
x =. 416 .
Neste caso, téñense dúas solucións x = +4 e x = –4.
Resolver a ecuación x2 + 1 = 0.
Este exemplo aparecerá cando se estuden os números complexos. Se se despexa x
como antes, chégase a x = 1 .
Estes números só existen no conxunto dos números complexos, en cuxo caso as soluciones son x = i. Non obstante, nesta unidade só se considerarán como válidas as solucións reais. Polo tanto, cando se obteña unha raíz cadrada dun número negativo, dirase que a ecuación non ten solución.
Seguindo coas ecuacións de segundo grao incompletas, pero agora supoñendo que falta o termo independente, é dicir, o que non contén x. Por exemplo, resolver a ecuación x2 – 3x = 0. Sacando x factor común: x(x – 3) = 0.
4
Entón, razóase da seguinte maneira: o anterior é un produto que é igual a 0, polo tanto, necesariamente un dos dous factores ha de ser nulo, ou ben x = 0, ou ben x – 3 = 0, as solucións son x = 0 e x = 3.
Recórdase agora como se resolve unha ecuación de segundo grao que conteña todos os termos, é dicir, ax2 + bx + c = 0.
En primeiro lugar, vaise obter a fórmula. Non é preciso recordar de memoria o modo de obter a fórmula, aínda que si pode resultar un bo exercicio intentar comprendela. O que resultará importante será recordar a fórmula e aprender a utilizala.
Empézase pasando o termo independente ao membro dereito da ecuación: ax2 + bx = –c Multiplícase toda a ecuación por 4a: 4a2x2 + 4abx = –4ac Súmase b2 á esquerda e á dereita, desta forma os dous membros seguirán sendo iguais: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2 – 4ac. Recórdase que o cadrado dunha suma é (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Se se observa o membro esquerdo da ecuación, vese que se trata do desenvolvemento do cadrado dunha suma, na que a é 2ax e b é b. Entón, a ecuación pódese escribir da forma: (2ax + b)2 = b2 – 4ac.
Agora, quitando o cadrado do membro esquerdo, obtense: 2ax + b = acb 42
Despexando x: 2ax = –b acb 42
Pásase agora o factor 2a dividindo á dereita: x = a
acbb
2
42 .
En definitiva, para resolver a ecuación de segundo grao ax2 + bx + c = 0 utilízase a
fórmula x = a
acbb
2
42 .
Por exemplo, quérese resolver a ecuación x2 + x – 6 = 0. Os coeficientes da ecuación son a = 1, b = 1 e c = –6.
Substitúense na fórmula: x =
2
51
2
251
12
61411 2
E separando as solucións: x1 = 22
51
, x2 = 3
2
51
.
Poden darse tres posibilidades á hora de resolver unha ecuación de segundo grao: obter dúas solucións reais distintas, unha solución real e ningunha solución. Ás solucións dunha ecuación de segundo grao, e dunha ecuación en xeral, tamén se lles chama ás veces raíces.
O número de solucións non depende máis que do valor do número que aparece dentro da raíz cadrada. A este número chamáselle discriminante, que se denota por Δ:
Δ = b2 – 4ac
Se Δ > 0, a ecuación ten dúas raíces reais distintas.
Se Δ = 0, a ecuación ten unha raíz real dobre.
Se Δ < 0, a ecuación non ten raíces reais.
A partir das solucións dunha ecuación, pódese reconstruír a ecuación da que proveñen. Por exemplo, se unha ecuación de segundo grao ten dúas solucións, x1 = 4, x2 =5, entón pódese escribir da forma (x – 4)(x – 5) = 0.
5
É evidente que esta ecuación ten solucións 4 e 5, xa que para que o produto sexa nulo, debe selo algún dos dous factores x – 4 ou x – 5, de onde se obteñen as solucións. Se multiplicamos a expresión anterior: x2 – 5x – 4x + 20 = 0 ⟺ x2 – 9x + 20 = 0
O coeficiente da x é a suma das dúas solucións cambiada de signo, e o termo independente é o produto das dúas solucións. Entón, en xeral, se S = x1 + x2 é a suma das solucións e P = x1 · x2 é o produto, a ecuación de segundo grao da que proveñen é x2 – Sx + P =0.
2. Outras ecuacións alxébricas
Neste apartado vanse estudar outras ecuacións alxébricas, é dicir, outras ecuacións nas que aparecen involucradas operacións como sumas, produtos, cocientes e raíces.
2.1. Ecuacións bicadradas
As ecuacións de cuarto grao ax4 + bx2 + c =0 con a ≠ 0 que non teñen os graos un e tres, chámanse ecuacións bicadradas. Redúcense a ecuacións de segundo grao mediante o seguinte cambio de variable x2 = t, xa que ao substituír na ecuación dada obtense at2 + bt + c =0 (ecuación de segundo grao na variable t).
Por exemplo, quérese resolver a ecuación bicadrada x4 – 10x2 + 9 = 0.
Faise o cambio de variable x2 = t ⟹ x4 = t2. Isto converte a ecuación anterior na ecuación de segundo grao t2 – 10t + 9 = 0. Resólvese a ecuación mediante a fórmula correspondente:
t =
2
810
2
6410
2
3610010
12
91410102
E separando as solucións: t1 = 92
810
, t2 = 1
2
810
.
Non obstante, o que se quere calcular son as solucións da ecuación orixinal, é dicir, a x. Por esta razón agora tense que desfacer o cambio de variable.
Como x2 = t ⟹ x = t . Aplícase isto ás dúas solucións obtidas para t:
t1 = 9 ⟹ x = 39
t2 = 1 ⟹ x = 11
Neste caso, obtéñense catro solucións distintas: –1, +1, –3, +3. Non obstante, é evidente que non sempre será así. Por exemplo, se unha das solucións de t é negativa, a solución correspondente para x non existe, xa que hai que calcular a súa raíz cadrada.
2.2. Ecuacións de grao superior a dous
Xa se sabe resolver ecuacións de primeiro grao e de segundo. Tamén se sabe resolver un caso particular de ecuación de cuarto grao, a ecuación bicadrada. Para as ecuacións de terceiro e cuarto grao en xeral, hai fórmulas, do tipo da utilizada para resolver a ecuación de segundo grao. Non obstante, estas fórmulas para as ecuacións de terceiro e cuarto grao, son tan complexas que a súa utilidade é máis ben escasa. A partir do quinto grao, non hai posibilidade de encontrar fórmulas con radicais que as resolvan. Nestes casos, en xeral, utilízanse técnicas de aproximación numérica para encontrar as solucións. De todos os xeitos, cando as solucións son números enteiros, pódense resolver dun xeito elemental, utilizando a regra de Ruffini para a descomposición de polinomios, que se recorda aquí.
6
Supóñase que se ten unha ecuación factorizada da forma
(x – 1)(x – 2)(x + 3)(x – 5) =0
Se se multiplica esta expresión, obtense unha ecuación de cuarto grao. Pero para resolvela, non é preciso multiplicala, senón que pódense calcular as súas solucións directamente, igualando a cero cada un dos factores, desta forma chégase á conclusión de que as solucións son x = 1, x = 2, x = –3 e x = 5. Dada unha ecuación polinómica de grao n, se se pode factorizar da forma
(x – x1)(x – x2) ... (x – xn) = 0 entón a súa resolución, como se acaba de ver, é inmediata. De feito, as solucións son x = x1, x = x2, ..., x = xn.
En particular, isto é posible sempre que as raíces da ecuación sexan números enteiros.
Para facer esta descomposición imos utilizar a regra de Ruffini. Recórdase que esta é unha regra que serve para dividir un polinomio entre outro que sexa da forma (x – a).
Por exemplo, para dividir o polinomio x3 – 2x2 + 6x + 5 entre (x – 2), escríbese os coeficientes do primeiro polinomio e o número 2 (por ser (x – 2) abaixo á esquerda).
1 –2 6 5 2
Agora, o primeiro número báixase á fila de abaixo tal cal. Este número multiplícase por 2 e o resultado súmase ao seguinte coeficiente. Vólvese multiplicar o resultado por 2 e sumar ao coeficiente seguinte, así ata o final:
1 –2 6 5 2 2 0 12
1 0 6 17
O último resultado é o resto da división, 17, o cociente está formado polo polinomio cuxos coeficientes se obtiveron antes do 17, é dicir, x2 + 6 neste caso. Recórdase como se pode utilizar a regra de Ruffini para factorizar un polinomio.
Por exemplo, quérese factorizar o polinomio e, desta forma resolver a ecuación x4 – 5x3 +5x2 +5x – 6 =0
Considérase o polinomio P(x) = x4 – 5x3 +5x2 +5x – 6, debido a un resultado coñecido como teorema do resto, sábese que o valor numérico do polinomio para x = a, é dicir, P(a) é o resto de dividir P(x) entre (x – a). Trátase entón de localizar os números a tales que P(a) =0, é dicir, tales que o resto de dividir P(x) entre (x – a) sexa cero. Estes números serán as raíces da ecuación. Sábese ademais, que estes números son sempre divisores do termo independente do polinomio. Polo tanto, vaise probando cos distintos divisores de 6, que son –1, +1, –2, +2, –3, +3, –6, +6, ata que se atope un no que o resto sexa nulo. Divídese usando a regra de Ruffini e, ao cociente obtido, aplicáselle a mesma operación, así ata descompoñer completamente o polinomio.
Neste caso:
7
1 –5 5 5 –6 –1 –1 6 –11 6
1 –6 11 –6 0
1 1 –5 6
1 –5 6 0
2 2 –6
1 –3 0
3 3
1 0
Entón, o polinomio pódese descompoñer (x + 1)(x – 1)(x – 2)(x –3) = 0. E as solucións da ecuación son precisamente as raíces que se localizaron, é dicir, os números que se foron poñendo á esquerda, x = –1, x = 1, x = 2, x = 3.
2.3. Ecuacións racionais
As ecuacións nas que aparece algunha fracción alxébrica chámanse ecuacións racionais. Para suprimir os denominadores nestas ecuacións úsase o mínimo común múltiplo dos denominadores; ao simplificar obtéñense ecuacións que probablemente se poidan resolver.
Como hai que multiplicar por expresións alxébricas, poden aparecer solucións falsas; polo tanto, débese comprobar se as solucións obtidas son válidas para a ecuación proposta.
Por exemplo, quérese resolver a ecuación racional 111
2
x
x
x.
m.c.m. (x + 1, x – 1) = (x + 1)(x – 1) ⟹ (x + 1)(x – 1)
1
11
2
x
x
x ⟹
⟹ 2(x – 1) – x(x + 1) = –1(x + 1)(x – 1) ⟹ 2x – 2 – x2 – x = –x2 + 1 ⟹ x – 2 = 1 ⟹
⟹ x = 3
Comprobación: 113
3
13
2
⟹ 1
2
3
4
2 ⟹ 1
2
3
2
1 ⟹ 1
2
2 ⟹
⟹ 11 A solución x = 3 é válida.
2.4. Ecuacións con radicais
As ecuacións con radicais son aquelas nas que a variable aparece baixo o signo radical.
Para resolver as ecuacións con radicais íllase a raíz nun dos membros, despois elévanse ambos os dous membros ao índice do radical e resólvense as ecuacións obtidas (ecuacións de primeiro ou segundo grao).
8
Ao igual que nas ecuacións racionais, débese comprobar se as solucións obtidas o son da ecuación de partida.
Exemplos:
Resolver a ecuación 71 xx .
Tense que conseguir que desapareza a raíz para poder resolvela. Isto conséguese
elevando ao cadrado nos dous membros da ecuación: 22
71 xx .
No primeiro membro cancélase a raíz co cadrado, e no segundo membro desenvólvese a fórmula do cadrado dunha diferenza (a – b)2 = a2 – 2ab + b2: x – 1 = x2 – 14x + 49 Pasando todos os termos ao segundo membro: 0 = x2 – 15x + 50 Resólvese a ecuación de segundo grao e obtéñense as solucións x = 5 e x = 10. Non obstante, é posible que as dúas non sexan solucións da ecuación inicial, debido a que ao elevar ao cadrado puidéronse introducir solucións estrañas. Para verificalo, téñense que substituír as dúas posibles solucións na ecuación inicial, para ver se a verifican:
x = 5: 7515 ⟹ 24 , o cal non é certo, polo tanto, x = 5 non é solución.
x = 10: 710110 ⟹ 39 , que si é certo, polo tanto, x = 10 é a solución da
ecuación.
En xeral, antes de elevar ao cadrado hai que illar a raíz cadrada.
Por exemplo, na ecuación 31 xx .
Se se eleva ao cadrado directamente, como no primeiro membro hai unha suma, a
raíz non desaparecería. Polo tanto, primeiro se illa a raíz nun membro, 4 xx , e
xa se pode elevar ao cadrado.
Vese agora un exemplo dunha ecuación con dous radicais: 516 xx .
Neste caso resulta conveniente, antes de elevar ao cadrado, illar unha das raíces:
156 xx .
Agora elévase ao cadrado e utilízase, no segundo membro, a fórmula do cadrado
dunha diferenza (a – b)2 = a2 – 2ab + b2: 22
156 xx .
Entón: 1152256 xxx .
Despois de elevar ao cadrado segue quedando unha raíz cadrada, entón estase na situación dos exemplos anteriores. Polo que se debe illar novamente a raíz e volver elevar ao cadrado, pásase ao primeiro membro para que teña signo positivo:
20110 x ⟹ 210
201 x .
Elévase ao cadrado por última vez, e obtense x +1 = 4, de onde, x = 3. Pódese verificar que, en efecto, esta é a solución da ecuación.
3. Ecuacións exponenciais e logarítmicas
Neste apartado estudaranse ecuacións non alxébricas nas que a variable se atopa como expoñente ou nunha expresión afectada por un logaritmo.
9
3.1. Ecuacións exponenciais
Unha ecuación exponencial é unha ecuación na que aparecen potencias e a incógnita encóntrase nalgún expoñente.
Para a resolución das ecuacións exponenciais débese expresar, se é posible, o termo independente como unha potencia da mesma base que a da incógnita. Logo utilízase
a propiedade seguinte: se 2121 xxaa
xx .
Por exemplo, 2x = 8. O problema consiste en calcular o valor de x, de maneira que 2 elevado a x sexa 8. A solución neste caso é x = 3. A ecuación pode ser máis complicada, o obxectivo en caso de que así sexa é escribila da forma anterior. Unha vez escrita desta forma, a solución pode ser inmediata como antes, ou quizais sexa preciso utilizar logaritmos para calcular exactamente o expoñente.
Por exemplo, na ecuación 3x = 7; o número x non é enteiro, xa que: 31 = 3, que non chega, e 32 =9, que se pasa. Trátase dalgún número entre 1 e 2. Para calculalo exactamente faise o seguinte:
Tómanse logaritmos (neperianos por exemplo): ln (3x) = ln (7) Agora aplícase a propiedade dos logaritmos que permite sacar o expoñente fóra do logaritmo, é dicir, loga (x
p) = p · loga (x). Neste caso: x · ln (3) = ln (7).
Despéxase x e utilízase a calculadora:
77121́3ln
7lnx .
Véxase un exemplo dunha ecuación máis complicada, na que hai que facer algunhas manipulacións para chegar ás formas anteriores. Por exemplo, queremos resolver a ecuación 3x – 1 + 3x + 1 = 30.
Aplicando as propiedades das potencias, pódese escribir da forma 30333
3 x
x
.
Trátase agora, de despexar 3x, aínda que o mellor quizais sexa facer un cambio de
variable t = 3x, co que a ecuación queda da forma 3033
tt
.
Resólvese esta ecuación de primeiro grao: t = 9. Entón, 3x = 9, polo tanto x = 2. Tamén pode acontecer que a potencia a despexar estea dentro dunha ecuación de segundo grao. Por exemplo, a ecuación 22x – 9·2x + 8 = 0.
Neste caso, se se fai o cambio de variable 2x = t, a ecuación anterior convértese na ecuación de segundo grao t2 – 9·t + 8 = 0 (obsérvese que t2 = (2x)2 = 22x). Resólvese a ecuación e obtéñense as solucións t = 8 e t = 1. Entón, desfacendo o cambio de variable, 2x = 8 e 2x = 1. Polo tanto, x = 3 e x = 0 son as solucións da ecuación inicial.
3.2. Ecuacións logarítmicas
Unha ecuación logarítmica é unha ecuación na que a incógnita aparece baixo un logaritmo.
Na maioría dos casos pódense resolver sen máis que empregar as propiedades dos logaritmos para obter unha igualdade do tipo loga x1 = loga x2, e de aquí deducir unha igualdade x1 = x2.
10
Por exemplo, a ecuación log x + log (x – 2) = log 3.
Para resolvela hai que facer que ambos os dous membros da ecuación queden como un único logaritmo, para despois eliminalos: log (x(x – 2)) = log 3. Polo tanto, eliminando os logaritmos: x(x – 2) = 3. Resolvese esta ecuación de segundo grao e obtéñense como solucións x = –1 e x = 3. Aínda que só é válida x = 3, xa que os logaritmos de números negativos non existen. Noutras ocasións convén máis reducir a expresión a unha igualdade entre un logaritmo e un número. Por exemplo, para resolver a ecuación log5 x + 3·log5 x =4.
Transfórmase o primeiro membro: log5 x + log5 (x3) =4 ⟹ log5 (x
4) =4. Polo tanto, utilizando a definición de logaritmo, o anterior é equivalente a x4 = 54 de onde x = 5. (Podería ser x = –5?)
Outra forma de resolver a ecuación anterior máis sinxela: Sumando os logaritmos en base 5: 4·log5 x = 4.
Entón, log5 x = 4
4 = 1. Polo tanto, x = 51 = 5.
4. Problemas que se resolven mediante ecuacións
Lémbrase que para resolver problemas mediante ecuacións débense seguir os pasos seguintes:
Formulación: Consiste en traducir o enunciado escrito nunha ecuación.
Resolución: Parte na que se resolve a ecuación.
Discusión: Compróbase que a solución obtida é solución da ecuación e que cumpre as condicións impostas no enunciado.
Para formular unha ecuación a partir dun enunciado débese:
Realizar lecturas comprensivas para identificar o dato que se debe calcular e representalo mediante unha variable.
Trazar un plan para traducir a linguaxe escrita a linguaxe alxébrica. Planificar a información en resumos. Comparar o problema con outros coñecidos.
Levar a cabo o plan trazado e, se este non funciona, cambiar de plan.
Exemplo:
A cantidade de cartos que un rapaz leva no peto é tal que se gasta a terceira parte máis a súa sétima parte, aínda lle quedarían 2´5 euros máis a metade do que levaba. Que cantidade de cartos levaba no peto? Solución:
Formulación:
Sexa x o diñeiro que levaba.
Gastos: 73
xx
Quédanlle: 2
5´2x
Ecuación:
73252́
xxx
x
Resolver a ecuación: x = 105 euros.
11
Discusión: A solución cumpre as condicións do enunciado; véxase se cumpre a ecuación:
7
105
3
105105
2
10552́ ⟹ 2´5 + 52´5 = 105 – (35 + 15) ⟹ 55 = 55.
O valor x =105 converte a ecuación nunha igualdade numérica verdadeira.
5. Inecuacións
Unha inecuación é unha desigualdade que se compón de dúas expresións alxébricas separadas polos signos <, >, ≤ ou ≥.
A solución dunha inecuación está formada por todos os valores que fan que a desigualdade sexa certa.
Por exemplo, x + 2 > 3: Buscase un número x tal que, sumado con 2, sexa maior que 3. En primeiro lugar, é doado ver que non hai un único número que verifique esta relación. En efecto, valería o número 2, o 4, o 5, etc.
A solución dunha inecuación non é un só número, senón todo un intervalo de números.
Neste caso, son todos os números maiores que 1, é dicir, os x tales que x > 1; ou o que é o mesmo, os números do intervalo aberto (1, + ). Dúas inecuacións son equivalentes se teñen a mesma solución.
Por exemplo, as inecuacións x +2 > 5 e x2 + x > x2 +3 son equivalentes, ambas as dúas teñen por solución os valores de x que superen a 3. Para resolver unha inecuación transfórmase esta noutra equivalente, na que sexa sinxelo achar a solución, para o que se aplican os seguintes principios de equivalencia:
Se se suma ou resta aos dous membros dunha inecuación a mesma expresión alxébrica, a inecuación que resulta é equivalente á primeira.
p(x) < q(x) ⟺ p(x) + a(x) < q(x) + a(x) Por exemplo, as inecuacións x2 +2x < 6 + x2 e 2x < 6, son equivalentes; a segunda obtense ao sumar (–x2) aos dous membros da inecuación; ambas as dúas teñen como solución xeral os número reais x < 3 ou sexa o intervalo (– , 3).
Se se multiplican ou dividen os dous membros dunha inecuación por un número positivo, a inecuación que resulta é equivalente á primeira.
Se a >0 e p(x) < q(x) ⟺ a·p(x) < a·q(x) Por exemplo, as inecuacións 6x + 12 ≥ 18 e x + 2 ≥ 3, son equivalentes; ambas as dúas teñen como solución os números reais x ≥ 1 ou sexa o intervalo [1, + ).
Se se multiplican ou dividen os dous membros dunha inecuación por un número negativo, a inecuación cambiada de sentido é equivalente á primeira.
Se a <0 e p(x) < q(x) ⟺ a p(x) > a q(x) Por exemplo, as inecuacións –3x + 9 > 3 e 3x – 9 < –3 son equivalentes; ambas as dúas teñen como solución os números reais x < 2; ou sexa o intervalo (– , 2).
5.1. Inecuacións de primeiro grao
Unha inecuación lineal ou de primeiro grao cunha incógnita é toda desigualdade que simplificada equivale a ax + b > 0, con a ≠ 0. (Pode aparecer calquera dos catro signos de desigualdade, <, >, ≤ ou ≥).
12
A solución xeral dunha inecuación cunha incógnita son os puntos dun intervalo, a cal se interpreta con facilidade se se realiza unha representación gráfica dela. Véxase un exemplo, resolver a inecuación 2(x – 1) ≤ 5x – 8.
Quítanse as parénteses: 2x – 2 ≤ 5x – 8. Agrúpanse os termos en x no primeiro membro, por exemplo, e os independentes no segundo membro: –3x ≤ –6. Ata aquí, todo se fixo coma se se tratase dunha ecuación. Pero agora, para cambiar de signo a inecuación, necesariamente se ten que cambiar o sentido da desigualdade, porque ao cambiar de signo, multiplícase por un número negativo, –1: 3x ≥ 6. Polo tanto, x ≥ 2. Entón, a solución da inecuación son os números do intervalo [2, + ).
5.2. Inecuacións de segundo grao
As inecuacións de segundo grao cunha incógnita na súa forma reducida son expresións da forma ax2 + bx + c > 0 con a ≠ 0. (Pode aparecer calquera dos catro signos de desigualdade, <, >, ≤ ou ≥).
O estudo deste tipo de inecuacións pódese realizar para a > 0, pois se a é menor que cero multiplicase o trinomio por –1, para estudar o devandito caso.
As solucións destas inecuacións están intimamente ligadas ao número de solucións da ecuación ax2 + bx + c =0.
Exemplos:
Resolver a inecuación x2 – 2x – 8 ≤ 0.
Resólvese a ecuación x2 – 2x – 8 = 0. As solucións son: x = –2 e x = 4. Factorízase o trinomio: (x + 2)(x – 4) ≤ 0. Divídese a recta nos intervalos (– , –2), (–2, 4) e (4, + ). Tómase un valor de x do primeiro intervalo, por exemplo x = –3, e substitúese no trinomio factorizado: (–3 + 2)( –3 – 4) = +7 > 0; como non cumpre a desigualdade proposta, o primeiro intervalo non é solución. Repítese o mesmo proceso cun valor de x do segundo intervalo, por exemplo x = 0, (0 + 2)(0 –4) = –8 < 0 cumpre a desigualdade proposta, o intervalo (–2, 4) é solución. Repítese o proceso cun valor para x do terceiro intervalo, por exemplo x = 5, (5 + 2)(5 – 4) = 7 >0 non cumpre a desigualdade proposta, o terceiro intervalo non é solución. A solución será o intervalo [–2, 4].
Resolver a inecuación x2 – 6x + 9 ≤ 0.
Resólvese a ecuación x2 – 6x + 9 = 0; ten solución única x = 3. Factorízase o trinomio: (x – 3)2 ≤ 0. Divídese a recta en dous intervalos (– , 3] e [3, + ). O único valor de x que substituído no binomio dá cero é 3, por iso 3 é a única solución da inecuación.
–2 4
– + +
3
+ +
13
Resolve a inecuación x2 – 2x + 5 ≤ 0.
A ecuación x2 – 2x + 5 = 0 non ten solución, non admite factorización e tense como único intervalo (– , + ). Substitúese o valor de x = 0 no trinomio e resulta 02 – 2·0 + 5 = 5 >0, non cumpre a desigualdade proposta. A inecuación non ten solución.
6. Sistemas de ecuacións
Unha solución dunha ecuación con varias incógnitas é un conxunto de valores (un para cada incógnita) que fan certa a igualdade. Por exemplo, unha solución da ecuación x2 + y – z = 12 é x = 2, y = 3, z = –5 porque 22 + 3 – (–5) = 12.
As ecuacións con máis dunha incógnita acostuman ter infinitas solucións. Un sistema de ecuacións é un conxunto de ecuacións das que se pretende atopar a súa solución común (ou as súas solucións comúns).
Os exemplos seguintes son sistemas de ecuacións:
1223
4
732
zyx
zyx
zyx
;
5
3
2 yx
yx
O primeiro é un sistema de tres ecuacións lineais con tres incógnitas (todas as incógnitas son lineais); o segundo é un sistema non lineal (algunhas incógnitas non son lineais).
Chámanse solucións dun sistema aos valores das incógnitas que fan verdadeiras todas as ecuacións que forman o sistema.
Resolver un sistema é ou ben encontrar os valores das incógnitas ou variables que fan verdadeiras todas as ecuacións do sistema ou ben demostrar que non ten solución.
6.1. Métodos de resolución de sistemas
Entre os métodos alxébricos que existen para resolver sistemas atópanse os seguintes:
Método de substitución: Despéxase unha incógnita nunha das ecuacións e substitúese a expresión obtida nas outras ecuacións.
Exemplo: Resolver o sistema lineal
1223
4
532
zyx
zyx
zyx
Despéxase x na segunda ecuación (o seu coeficiente é un): x = 4 – y + z. A expresión obtida para x substitúese nas outras dúas ecuacións:
12243
5342
zyzy
zyzy ⟹
115
1335
zy
zy
+
14
Conséguese un sistema de dúas ecuacións con dúas incógnitas. Despéxase z na segunda ecuación: z = –11 + 5y.
Substitúese z na primeira ecuación: –5y + 3(–11 + 5y) = –13 ⟹ 10y = 20 ⟹ y = 2. Substitúese este valor na incógnita despexada z: z = –11 + 10 = –1. Substitúense os valores obtidos para y e z na incógnita x despexada: x = 4 – 2 –1 = 1. A solución do sistema é x = 1, y = 2 e z = –1.
Método de igualación: Despéxase a mesma incógnita en todas as ecuacións e iguálanse as expresións obtidas.
Exemplo: Resolver o sistema non lineal
24
8
2 xxy
yx
Despéxase a mesma incógnita nas dúas ecuacións e iguálanse, co que se obtén unha
ecuación cunha incógnita: y = 8 – x ⟹ x2 – 4x – 2 = 8 – x ⟹ x2 – 3x – 10 = 0. Resólvese a ecuación obtida:
22
4
2
73
52
10
2
73
2
73
2
493
2
4093
12
101433
2
422
a
acbbx
Substitúense estes valores nunha das incógnitas despexadas: para x = 5, y = 3 e para x = –2, y = 10. O sistema ten dúas solucións.
Método de redución: Multiplícanse as ecuacións por números axeitados de forma que ao sumar os resultados elimínase unha das incógnitas.
Exemplo: Resolver o sistema lineal
42
1034
yx
yx
Substitúese a segunda ecuación polo resultado de sumar a primeira coa segunda multiplicada por –2, número co que se consegue que as dúas ecuacións teñan os coeficientes de x iguais e opostos:
4x + 3y = 10 –4x – 2y = –8
0x + y = 2
O sistema de partida é equivalente ao sistema graduado:
2
1034
y
yx
Neste sistema y = 2; substitúese este valor na primeira ecuación para calcular x: 4x + 3·2 = 10 ⟹ 4x = 4 ⟹ x = 1. A solución do sistema é x =1 e y = 2.
6.2. Clasificación dos sistemas lineais
Cada ecuación ax + by = c dun sistema lineal de dúas ecuacións con dúas incógnitas representa unha recta do plano; os puntos (x, y) da devandita recta son as solucións da súa ecuación. A existencia ou carencia de puntos comúns ás dúas rectas que
15
forman o sistema determina a existencia ou non de solución para este tipo de sistemas. Graficamente temos as seguintes situacións:
As dúas rectas córtanse nun punto que será a solución. O sistema ten solución única. O sistema é compatible determinado.
As rectas coinciden, polo que toda a recta é solución. O sistema ten infinitas solucións. O sistema é compatible indeterminado.
As rectas son paralelas, non teñen puntos en común. O sistema non ten solución. O sistema é incompatible.
6.3. Método de Gauss para sistemas lineais
O método de Gauss é unha xeneralización do método de redución para resolver e discutir (saber se o sistema é ou non compatible) sistemas lineais con calquera número de ecuacións e de incógnitas. Trataranse sistemas con tres incógnitas, aínda que non necesariamente con tres ecuacións. O sistema dado convértese noutro sistema graduado equivalente mediante transformacións axeitadas:
3333
2323222
1313212111
bxa
bxaxa
bxaxaxa
Exemplos:
Resolver o seguinte sistema graduado:
93
023
1
z
zy
zyx
Despéxase z na terceira ecuación: z = 3
9 = 3; substitúese o devandito valor na
segunda ecuación e despéxase y: 3y – 2·3 = 0 ⟹ 3y = 6 ⟹ y = 2. Finalmente substitúense os valores de z e y na primeira ecuación e despéxase x: x + 2 – 3 = 1 ⟹ x = 1 – 2 + 3 ⟹ x = 2. A solución do sistema é: x = 2, y = 2, z = 3.
Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible:
1635
4432
12
zyx
zyx
zyx
Primeiro paso: Anular o coeficiente de x nas dúas últimas ecuacións: Substitúese a segunda ecuación pola que resulta de sumarlle a primeira multiplicada por menos dous: (2ª) – 2·(1ª): –y + 8z = 6. Substitúese a terceira ecuación pola que resulta de sumarlle a primeira multiplicada por menos 5: –5·(1ª) + (3ª): 4y + 13z = 21.
Co que resulta o sistema equivalente:
21134
68
12
zy
zy
zyx
Segundo paso: Anular o coeficiente de y na terceira ecuación:
16
Substitúese a terceira ecuación pola que resulta de sumarlle a segunda multiplicada por catro: 4·(2ª) + (3ª): 45z = 45.
Con isto conseguiuse o sistema graduado:
4545
68
12
z
zy
zyx
A terceira ecuación resólvese doadamente e permite afirmar que o sistema é compatible determinado, é dicir, de solución única:
z = 1; –y + 8 = 6 ⟹ y = 2; x –2 – 2 = –1 ⟹ x =3. A solución é x = 3, y = 2, z = 1.
Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible:
10223
62
43
zyx
zyx
zyx
10223
62
43
zyx
zyx
zyx
ª13ª3ª12ª2
27
27
43
zy
zy
zyx
ª2ª3
ª2ª3
00
27
43
z
zy
zyx
Conseguiuse o sistema graduado. A terceira ecuación é 0z = 0: calquera valor de z cumpre a ecuación, polo que ten infinitas solucións; trátase dun sistema compatible indeterminado.
Transformar o sistema seguinte nun sistema equivalente graduado, clasificalo e resolvelo se é posible:
3
9624
632
zyx
zyx
zyx
3
9624
632
zyx
zyx
zyx
ª3)ª2(ª3ª1
9624
632
3
zyx
zyx
zyx
ª14ª3ª12ª2
ª14ª3ª12ª2
322
0
3
zy
zy
zyx
ª22ª3
30
0
3
z
zy
zyx
Conseguiuse o sistema graduado. A terceira ecuación é 0z = -3 non ten solución (calquera número multiplicado por cero é cero). O sistema é incompatible. Os exemplos anteriores permiten dar as regras mediante as que se clasifica e resolve un sistema lineal usando o método de Gauss:
17
Se ao reducir o sistema dado a forma triangular graduada aparece algunha ecuación do tipo 0z = b, o sistema é incompatible, non ten solución.
Se ao reducir o sistema non sucede o anterior é compatible, pois ten solución. Se o número de ecuacións non triviais (as distintas ás da forma 0 = 0) é igual
ao número de incógnitas, o sistema ten solución única (Sistema compatible determinado).
Se o número de ecuacións é menor que o número de incógnitas, o sistema ten infinitas solucións (Sistema compatible indeterminado).
7. Problemas que se resolven mediante sistemas
A linguaxe alxébrica é unha potente ferramenta para resolver problemas; neste apartado tratarase a resolución de problemas que precisan dos sistemas estudados.
Os pasos a seguir para resolvelos son os indicados no apartado 4.
Exemplos:
Unha multinacional ten delegacións en Madrid, Barcelona e Valencia. O número total de altos executivos das tres delegacións ascende a 31. Para que o número de altos executivos da delegación de Barcelona fose igual ao de Madrid terían que trasladarse 3 de Madrid a Barcelona. Ademais, o número dos de Madrid excede nun á suma dos destinados nas outras dúas cidades. Cantos altos executivos están destinados en cada cidade?
Sexan x, y, z os altos executivos de Madrid, Barcelona e Valencia, respectivamente.
zyx
yx
zyx
1
33
31
1
6
31
zyx
yx
zyx
ª1ª3ª1ª2
ª1ª3ª1ª2
3022
252
31
zy
zy
zyx
ª2ª3
5
252
31
z
zy
zyx
Conseguiuse o sistema graduado. z = 5; –2y – 5 = –25 ⟹ –2y = –20 ⟹ y = 10; x + 10 + 5 = 31 ⟹ x = 16. A solución é x = 16, y = 10, z = 5. Os executivos da multinacional serán: 16 en Madrid, 10 en Barcelona e 5 en Valencia.
Un hipermercado inicia unha campaña de ofertas. Na primeira delas desconta un 4% nun produto A, un 6% no produto B e un 5% no produto C. Ás dúas semanas pon en marcha a segunda oferta descontando un 8% sobre o prezo inicial de A, un 10% sobre o prezo inicial de B e un 6% sobre o prezo inicial de C. Se un cliente compra durante a primeira oferta un produto A, dous B e tres C, aforra 16 euros respecto do prezo inicial; se compra tres produtos A, un B e cinco C na segunda oferta, o aforro é de 29 euros. Se compra un produto A, un B e un C, sen ningún tipo de desconto, debe aboar 135 euros. Calcúlese o prezo de cada produto antes das ofertas.
Sexan x, y, z, respectivamente, os prezos dos produtos A, B e C antes da oferta.
18
29421355940́900́3920́
1621353950́2940́960́
135
zxzyx
zyzyx
zyx
106700́900́760́
119850́880́960́
135
zyx
zyx
zyx
10600709076
11900858896
135
zyx
zyx
zyx
ª176ª3ª196ª2
340614
1060118
135
zy
zy
zyx
ª214ª38
12120202
1060118
135
z
zy
zyx
Conseguiuse o sistema graduado.
z = 202
12120
= 60; −8y −11⋅60= −1060 ⟹ −8y = −400 ⟹ y =
8
400
= 50;
x + 50 + 60 = 135 ⟹ x = 135 −110 ⟹ x = 25. A solución é x = 25, y = 50, z = 60. Os prezos iniciais serán: A = 25 euros, B = 50 euros e C = 60 euros.