izquierdo asensi - geometria descriptiva superior y aplicada

GEOMETRA DESCRIPTIVA SUPERIOR Y APLICADA

Fernando !zquierdo Asensi GEOMETRIA DESCRIPTIVA SUPERIOR Y APLICADA

ISBN: 84-922109-4-X Depsito Legal: M-26.039-1999

Preimpresin: Montytexto, S.L. Montejurra, 42 - 28017 Madrid Imprime: CLM - Eduardo Marconi, 3. Polg. Ind. Coden. Fuenlabrada (Madrid) Distribuye: Editorial Paraninfo Magallanes, 25 - 28015 Madrid

ES PROPIEDAD Queda prohibida la reproduccin to-tal o parcial de esta obra, sin previo consentimiento, por escrito, del autor.

FERNANDO IZQUIERDO ASENSI Doctor Ingeniero de Construccin. Ex-Profesor Titular de la Escuela Tcnica Superior de Arquitectura de Madrid

,

GEOMETRIA DESCRIPTIVA SUPERIOR Y APLICADA

QUINTA EDICiN TOTALMENTE REVISADA

Declarada de Utilidad Pblica por el Ministerio de Educacin y Ciencia, por Orden del 10 de Abril de 1978. Recomendada en diversas Escuelas Tcnicas Supe-riores de Arquitectura e Ingeniera, de Espaa e Hispanoamrica.

La enseanza de la Geometra en las Escuelas Tc-nicas Superiores se reduce, por lo general, a un curso de Geometra Descriptiva de un semestre de duracin (o un nmero equivalente de lecciones), enmarcado dentro del primero o segundo ao de carrera.

Pero el alumno, al ingresar en el Escuela, slo posee ligeros conocimientos de geometra mtrica (aprendidos de rutina la mayor parte de las veces), y con tan escaso bagaje y limitado tiempo no puede aprender ms que la representacin y construcciones de un reducido nmero de lneas y supeificies, sin lle-gar a profundizar en sus propiedades ni en sus aplica-ciones tcnicas y si, en su afn de saber, quiere cono-cer el fundamento de algunas propiedades y construc-ciones o su finalidad prctica, ha de recurrir a una extensa bibliografa que, a la larga, le produce can-sancio e inseguridad y lo que es peor, transforma en asignatura odiosa la que deba estar considerada por el tcnico como eficaz y utilsimo instrumento de tra-bajo.

Tan graves razones me han impulsado a escribir esta obra con una triple finalidad:

l. a Facilitar al alumno una base geomtrica razo-nada que tienda a elevar su nivel de preparacin (no olvidemos que va a ser tcnico superior), estudiando previamente la teora que debe conocer y demostran-

PRLOGO

do los teoremas y propiedades con la claridad y rigu-rosidad que el tcnico necesita para conocer bien las formas que ha de utilizar y decidir con acierto el mtodo o la aplicacin que ms conviene en la prctica.

2. a Exponer los mtodos generales utilizados en la representacin y construcciones de las lneas y super-ficies incluidas en los programas de las Escuelas Tc-nicas Superiores, completndolos luego con ejercicios y ejemplos.

3. a Indicar las aplicaciones y posibilidades de empleo de estas superficies en Ingeniera y Arquitec-tura, enfocando as su estudio desde un punto de vista tcnico.

La obligada extensin y generalidad con que se ha concebido la obra motiva que pueda considerarse como "de consulta", ms que de "texto", lo cual per-mite al profesor seleccionar los temas de su especiali-dad y al alumno, concentrar su estudio en un nmero de libros ms reducido.

No s si la obra alcanzar los objetivos con los que he soado durante muchos aos de profesorado, pero me dara por muy satisfecho si, al menos, consigo que el alumno adquiera seguridad en sus razonamientos y se sienta impulsado a profundizar en su estudio, en busca de nuevas formas y aplicaciones.

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En nuestra Geometra Descriptiva hemos expuesto la representacin del punto, recta y plano, y de las superficies ms sencillas. En esta obra, los conoci-mientos bsicos de Geometra Proyectiva y las lneas y superficies ms notables. Es, por tanto, una conti-nuacin o segunda parte de aqulla.

La falta de tiempo me ha impedido incluir otras supeificies, como las polidricas, plegadas, de trasla-cin, etc., que tambin interesan al tcnico, pero confo hacerlo (D. m.) en ediciones futuras.

En la cuarta edicin se corregieron diversas erra-tas y se aadieron algunas ampliaciones sobre clasifi-cacin proyectiva de las cnicas; polo de una secante; variante del mtodo de la cartulina para el trazado de elipses; curvas con un punto de parada; trazado de normales a una curva por el mtodo especular; recti-ficacin de arcos; asntotas de la cnica proyeccin de la interseccin de cudricas de plano principal comn, sobre dicho plano y supeificies de revolucin engendradas por cnicas.

En esta edicin, se ha revisado totalmente la obra para adaptarla a los profundos cambios de la enseanza y al elevado nmero de asignaturas de las carreras tcnicas. Con este fin, se han reducido o sim-plificado materias, demostraciones y razonamientos

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que, si bien interesan desde el punto de vista terico de la geometra, resultan innecesarios para la repre-sentacin de superficies. Los ejercicios, construccio-nes y aplicaciones de cada captulo se han agrupado, al final del mismo, para que puedan recurrirse a ellos cuando se necesiten. Pretendo con ello descargar al alumno de un excesivo bagaje de conocimientos y que slo retenga las propiedades y mtodos que luego ha de utilizar en Descriptiva. Tambin se han aumentado las dimensiones de las pginas y se han modernizado los tipos de letras y notaciones geomtricas, facilitan-do as su lectura y mejorando la exposicin del con-junto.

Quiero hacer pblico mi agradecimiento a los que, directa o indirectamente, han colaborado en la edi-cin de esta obra; a los que han autorizado la publi-cacin de las fotografas de construccin y cubiertas y, en especial, a los profesores y alumnos de Espaa e Hispanoamrica que al recomendar o adquirir mis obras, me han animado decisivamente en mi labor. A todos, sin excepcin, dedico esta obra en prueba de sincera y emocionada gratitud.

F. IZQUIERDO

Para evitar toda indeterminacin o confusin entre elementos geomtricos y proyecciones, hemos utiliza-do, lo mismo que en ni G.D., la notacin siguiente:

1. Elementos geomtricos del espacio Los puntos se representan con maysculas: A, B, M,

P, ... Las rectas y lneas, con minsculas: a, b, n, r, t, ... Los planos, con minsculas griegas:


h

Fig. a.

3. Proyecciones de punto y recta (Fig. a) a) En proyeccin didrica, con las mismas letras del

elemento del espacio, afectada del subndice 1, 2 3, segn se trate de la proyeccin sobre el horizontal, vertical o segundo vertical, respectivamente. Las pro-yecciones de un punto A son, por tanto, Al y A 2, Y las de una recta r, r l Y r2

Para indicar que A o r estn dados por sus proyec-ciones, se emplea tambin la notacin == y se escribe as: A == A I-A2, r == r l -r2 Por tanto, es lo mismo decir: punto A que punto A I-A2; recta r o recta r l -r2, etc.

b) En proyeccin axonomtrica, el punto A se pro-yecta sobre los planos coordenados en Al' A2 Y A" Y las proyecciones respectivas de estos cuatro puntos son: A', A '1' A ~ Y A '" procedindose anlogamente en cnica (Fig. a).

4. Trazas de recta y plano, con un plano de proyeccin Por ser puntual la traza de una recta, se la designa

con la letra del plano de proyeccin de que se trate, y la letra de la recta, como subndice. As, H,., es la traza horizontal de la recta r, y sus proyecciones quedan tambin definidas, puesto que la horizontal coincide con H r , Y la vertical est en LT (lnea de tierra).

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Anlogamente, las trazas ha-Va de un plano ex, por la letra del plano de proyeccin en minscula, y la griega del plano, como subndice.

5. Lneas de referencia Lnea de tierra, en didrica: LT. Proyecciones de los ejes X, y, Z, en axonomtrica:

X', Y',Z'. Proyecciones de los ejes X, Y, Z, en caballera: X, Y', Z. Lnea de tierra y horizonte en perspectiva lineal: t y h.

6. Coincidencia de elementos En geometra proyectiva o con elementos del espa-

cio, la coincidencia de puntos, rectas o planos se representa por la notacin == y en proyecciones, con dicha notacin o con guin. Ejemplos: Puntos o rectas coincidentes: A == B == e, r == s == t. Puntos y proyeccio-nes coincidentes: Hr-A-B H ==A, ==B,.

7. Abreviaturas utilizadas

n/G.D. nIE. de G.D.

n/D.T.

= nuestra Geometra Descriptiva. = nuestros Ejercicios de Geometra

Descripiva. = nuestro Dibujo Tcnico (Editorial

Anaya).

l. NOCIONES DE , GEOMETRIA PROYECTIVA

1.1. Propiedades geomtricas

Las propiedades geomtricas se dividen en mtricas y grficas. Las primeras pertenecen a la Geometra Mtrica, y generalmente no se conservan en proyeccin.

Las propiedades grficas, relacionadas con proyec-ciones, se llaman proyectivas, y las que se conservan en proyeccin, invariantes proyectivas. Su estudio ha dado origen a la moderna Geometra Proyectiva, que tanto sirve para representar superficies de orden superior.

1.2. Conceptos y axiomas geomtricos

La demostracin de una verdad matemtica se basa en propiedades y definiciones anteriores; stas, a su vez, en otras ya conocidas, y, as sucesivamente, hasta llegar, por deduccin, a varios conceptos o ideas pri-mitivas cuya certeza hay que admitir para edificar sobre ellas cualquier rama de la ciencia.

Los conceptos primarios o elementos fundamenta-les de la Geometra son: el punto, la recta y el plano. De aqu el fracaso de cuantos intentos se han realizado para definirlos, a pesar de la facilidad con la que los

1. GENERALIDADES

imaginamos o materializamos. El plano lo identifica-mos, por abstraccin, con la superficie del agua tran-quila de un estanque; la recta, con un rayo de luz, y el punto, con la interseccin de dos rectas.

1.3. Formas geomtricas. Clasificacin

Se llama figura geomtrica a cualquier conjunto determinado de elementos (puntos, rectas, planos) ais-lados o relacionados entre s. Ejemplos: el segmento, el polgono, la pirmide, etc.

Formas geomtricas son los conjuntos continuos de infinitos elementos (puntos, rectas, planos) en los que puede suponerse contenida cualquier figura.

El concepto de forma es mucho ms general que el de figura. Ejemplo: todas las figuras planas que cono-cemos (rectas, ngulos, polgonos, curvas planas, etc.) pertenecen a la forma plana. Las formas se clasifican en tres grupos:

10 FORMAS DE PRIMERA CATEGORA. (Fig. 1.1). Constituidas por elementos de una sola especie (puntos, o rectas, o planos). Las ms sencillas o funda-mentales son:

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A B e o E I Ir (a) Serie rectilnea.

(6) Haz de rectas. (e) Haz de planos.

Fig. 1. l.-Formas de a categora.

a) La serie rectilnea o conjunto de los infinitos puntos A, B, C, ... , (Fig. a) de una recta r (base de la serie). Son figuras de esta forma: el segmento o cual-quier conjunto de puntos de r.

b) El haz de rectas, haz de rayos o radiacin plana (Fig. b). Es el conjunto de las infinitas rectas a, b, c, ... , de un plano (base del haz) que pasan por un punto V (vrtice o centro). Son figuras de esta forma: el ngulo y el haz de rayos o semirayos en nmero finito.

B' /,// f' (b) ,A~ (a) '~

// p:. /C' B&-!.// , , , , / , /~" /f B~:'s'?lA; /// f ,// A' e

f C /~/ A -__________ --;-.:>~

C' :~A' ://~ s ___________ ~j.~-::~:~----- S' 0>

centro O Y las rectas que pasan por l, y en la axial (Fig. a), los puntos del eje y las rectas normales a l, como la n.

Si todos los elementos son dobles, la transforma-cin es una identidad. Ejemplo: el giro de 360, la traslacin de longitud nula, etc.

1" A-f\' O- A'

0-------0------- (a) _2"

----=-- '" M A~M' 0 0 1"\-0 (b) -.

I

Fig. 1.4.-Simetra central. Fig. 1.5.-Punto impropio de direccin d.

1.5. Producto de transformaciones. Transformacin involutiva

Si una forma f se convierte en otra f', por medio de una transformacin de elementos homlogos A y A' , Y la f' se transforma luego en otra f" por una segunda transformacin, de elementos homlogos A' y A", se llama producto de ambas transformaciones a la trans-formacin de elementos homlogos A y A" que con-vierte f en f" .

Si al aplicar sucesivamente dos transformaciones iguales se obtiene una figura idntica a la primera, la transformacin producto se llama involutoria o invo-lutiva. Ejemplo: La simetra central es involutiva ya que al aplicar dos simetras respecto al centro O (Fig. lA-a) al punto A le corresponde el A' (13 simetra) y al A', el A" coincidente con A (23 simetra).

Si el punto A de la forma f (Fig. b) coincide con el M' de f' (punto comn a ambas formas), sus simtricos A' y M tambin coinciden luego, en la involucin, los elementos homlogos se corresponden doblemente.

1.6. Congruencia, igualdad e isometra

Dos figuras rgidas (no deformables) son congruen-tes si al superponerse (mediante un movimiento) coin-ciden.

Dos figuras congruentes son iguales, pero dos figu-ras iguales pueden no ser congruentes, si no existe ningn movimiento en el plano o en el espacio que las haga coincidir. As, dos tringulos simtricos respecto a una recta (Fig. 1.3-d) son iguales pero no congruen-tes en su plano. Las manos son iguales pero no con-gruentes, pues si las consideramos como un slido con

1. GENERALIDADES

dos caras (palma y revs), no existe ningn movi-miento que las haga coincidir.

1.7. Elementos impropios

1 PUNTO IMPROPIO. El concepto de direccin es intuitivo y se representa por una flecha d o por cualquiera de sus paralelas, a, b, c, ... , etc. (Fig. 1.5), luego si stas tienen comn la direccin d, podemos definir el punto impropio como la direccin de una recta. Por tanto:

Las rectas paralelas tienen un punto impropio comn. Dos rectas no coincidentes se cortan en un punto

(propio o impropio). La recta determinada por un punto A (Fig. 1.6) Y

otro impropio M= es la paralela r a la direccin M=, trazada por A.

Fig. 1.6. - Plano determinado por un punto propio y dos

impropios.

Fig. 1.7.-lnterseccin de dos rectas impropias (orientaciones

de planos).

2 RECTA IMPROPIA O DEL INFINITO. Es la orientacin de un plano, definida por dos direcciones o puntos impropios M= y N= (Fig. 1.6). Las paralelas r y s a M= y N=, trazadas por un punto A, determinan el plano a. Haciendo lo mismo con otros puntos del espacio, obtendramos nuevos planos paralelos entre s, es decir con la misma orientacin.

Los puntos impropios (direcciones) de las rectas r, s, ... , del haz de vrtice A y base a estn contenidos en la recta impropia r= = M= N= (orientacin) del plano a. Por tanto:

Dos planos no coincidentes se cortan segn una recta (propia o impropia).

Un plano queda determinado por un punto A y una orientacin (recta impropia M= NJ.

3 PLANO IMPROPIO. Es el conjunto de los pun-tos impropios y rectas impropias del espacio. En efec-to, dos planos no coincidentes a y p (Fig. 1.7) se cor-tan segn una recta i cuyo punto impropio I pertenece a las rectas impropias de a y p; es decir:

Dos rectas impropias (orientacin de a y f3) se cor-tan segn un punto impropio (direccin de i) y deter-minan el plano impropio, comn a todas.

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1.8. Forma impropias

n DE PRIMERA CATEGORA (Fig. 1.8): a) La serie rectilnea impropia o recta impropia de

un plano (Fig. a). Contiene los puntos impropios de las rectas de un plano.

b) El haz impropio de rectas o haz de rectas de vr-tice impropio (Fig. b). Es el conjunto de rectas copla-narias y paralelas entre s.

c) El haz impropio de planos o haz de arista impro-pia (Fig. c). El conjunto de infinitos planos paralelos entre s.

a) Tres puntos no pertenecientes a la misma serie determinan un plano que contiene a los tres puntos.

(a) (b) (e)

Fig. 1.8.-Formas impropias de a categora.

1.10. Reciprocidad o dualidad

Las proposiciones a y a' del nmero anterior se deducen una de otra, permutando los elementos punto y plano y las expresiones contiene por pertenece. Si estas ltimas se sustituyen por la ms general de ser incidente, slo cambia el elemento punto por el plano y ambas proposiciones se reducen a una sola, diciendo:

Tres puntos (planos) no pertenecientes a la misma serie (haz), determinan un plano (punto) incidente con ellos.

Las proposiciones a) ya') comprendidas en una general, se llaman duales o recprocas. Ejemplo: El conjunto de puntos y rectas incidentes en un plano (forma plana) es dual del conjunto de planos y rectas incidentes en un punto (radiacin). La radiacin y la forma plana son, por tanto, formas duales.

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2) DE SEGUNDA CATEGORA: - La forma plana impropia o plano impropio. - La radiacin impropia o de vrtice impropio. El

conjunto de rectas y planos de la misma direccin.

1.9. Incidencia

La palabra incidencia es sinnima de pertenencia o determinacin. As, decir que una recta pertenece a un plano a significa que r est en a o que a pasa o con-tiene a r. Ejemplo:

a') Tres planos no pertenecientes al mismo haz deter-minan un punto que pertenece a los tres planos.

/A-~N , ~,

, , I \

(a) \ ,

\ 1 J

/ \ , ,,///

'-"---~---"..,,, loo

(b)loo- A B _ loo

()I~oo e A B Fig. 1.9.-Disposicin natural o circular

de puntos de una recta proyectiva.

1.11. Ordenacin y separacin de elementos

a) Como una recta AB (Fig. 1.9-a) slo tiene un punto impropio 1 (nm. 2.1), podemos imaginarla como una curva cerrada de radio infinito y extremos unidos en e que puede ser recorrida en toda su longi-tud, a partir de un punto A, pasando por e y volvien-do a A. Esta es la disposicin natural o circular de los puntos en la recta proyectiva.

b) Todo par de puntos A y B (Figs. b y c) determina sobre ~ recta dos segmentos complementarios: uno finito AB y otro infinito por contener e Para saber a cual nos referimos, basta conocer un punto intermedio C y D (Fig. c) que definen los segmentos ABC y ADB.

Si C y D estn en segmentos complementarios, se dice que A y B separan a C y D, Y a la inversa. Si C y D estuvieran en el mismo segmento, no se separan y lo mismo sucede con las rectas y planos de un haz.

Fig. 1. 1O.-Proyeccin desde un punto V y seccin por un plano Te.

1.12. Operaciones proyectivas

Las operaciones fundamentales de la Geometra Descriptiva son proyectar y cortar (Fig. 1.10), Y estas

PROYECCIN DESDE UN PUNTO V Proyectar un punto A desde V es trazar la recta

VA == a, llamada recta proyectante. Proyectar una recta r desde V es trazar el plano a

== [V, r] determinado por V y r, llamado plano pro-yectante.

Proyectar un figura formada por puntos y rectas desde V, es trazar las rectas y planos que V determi-na con los puntos y rectas de la figura. La radiacin formada es la proyeccin o perspectiva de la figura y V, el centro de proyeccin.

En Descriptiva slo se considera la proyeccin desde un punto; pero en Geometra Proyectiva tam-

PROYECCIN DESDE UNA RECTA r Proyectar un punto A desde r es trazar el plano a

== [A, r], determinado por A y r. Proyectar una recta a desde otra r, coplanaria con

ella, es trazar el plano a == [r, a] determinado por ambas.

Finalmente, proyectar una figura sobre un plano es lo mismo que cortar la proyeccin por dicho plano. La propiedad dual sera:

Proyectar una figura sobre un plano 1t (recta s) desde un punto V (recta r) es hallar la proyeccin de la figura desde V (r) y cortarla por el plano 1t (recta s).

1. GENERALIDADES

Fig. 1.11. - Proyeccin desde una recta r y seccin por otra s.

son precisamente las utilizadas en Descriptiva para representar las figuras.

SECCIN POR UN PLANO Cortar una recta a por un plano 1t es hallar la inter-

seccin o traza 1ta de a con 1t. Cortar un plano a por otro 1t es hallar la intersec-

cin o traza 1ta de a con 1t. Cortar una figura formada por planos y rectas, por

un plano 1t es hallar las trazas de dichas rectas y pla-nos con 1t. La forma plana formada por las trazas se llama seccin y 1t, plano secante o plano seccin.

bin se considera la proyeccin desde una recta, como vamor a ver (Fig. 1.11.)

SECCIN POR UNA RECTA s Cortar un plano a por una recta s es hallar la

interseccin o traza as == [s, a]. Cortar una recta a por otra s, coplanaria con ella,

es hallar la interseccin de ambas.

Si el centro de proyeccin es propio, la proyeccin se llama cnica o central y si es impropio, paralela o cilndrica. Esta ltima se subdivide en ortogonal o oblicua, segn que la direccin de proyeccin sea nor-mal u oblcua respecto al plano de proyeccin.

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1.13. Perspectividad. Formas perspectivas

Se llama perspectividad la correspondencia que existe entre dos secciones o dos proyecciones de una forma de primera categora o entre una forma y su seccin o proyeccin. Las formas que se corresponden se llaman perspectivas. Segn esto, son perspectivas:

(a) Series perspectivas. (b) Haces perspectivos de rectas. Fig. 1.12.-Perspectividad entre secciones de la mismaforma.

a) Las series rectilineas, de bases r y s (Fig. 1.12-a), por ser secciones del haz de vrtice V (centro perspec-tivo de las series).

b) Los haces rectilineos, de planos a y ~ (Fig. b), concurrentes o no en un punto V de r, por ser secciones del haz de planos de arista r (eje perspectivo de los haces).

v

(a) Haces perspectivos de rectas.

(b) Haces perspectivos de planos.

Fig. 1.13. - Perspectividad entre proyecciones de la misma forma.

c) Los haces de vrtices V y V' (Fig. 1.13-a), por ser proyecciones, de la serie r (eje perspectivo de los haces).

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d) Los haces de planos de aristas m y n concurren-tes en V (Fig. b), por ser proyecciones del haz V -a, b, c, oo., desde m y n. El plano del haz V es el plano cen-tral perspectivo de los haces de planos.

(a) Serie perspectiva con un haz de rectas.

(b) Serie perspectiva con un haz de planos.

Fig. 1.14.-Perspectividad entre una forma y su seccin o proyeccin.

e) El haz V de rectas a, b, c, oo., (Fig. 1.14-a) es perspectivo con la serie seccin A, B, e, oo., de base r y el haz de planos de arista r (Fig. b) lo es con la serie seccin de base s.

(a) Plano punteado perspectivo con la

radiacin de rectas.

y

(b) Plano reglado perspectivo con la

radiacin de planos.

( c) Haz de rectas pers-pectivo con el haz de

planos.

Fig. 1.15. - Perspectividad entre una forma y su seccin o proyeccin.

f) El plano punteado (Fig. 1.15-a) es perspectivo con la proyeccin de sus puntos desde un punto V exterior al plano (radiacin V). Anlogamente (Fig. b): el plano reglado 1t es perspectivo con la proyeccin de sus rectas desde un punto V, exterior a l.

Finalmente (Fig. c): el haz V de plano 1t es perspec-tivo con su proyeccin desde otra recta r, exterior al haz, trazada por V.

1. GENERALIDADES

__ ~A~A~' __ ~B~B~'~C~C~' __ r (a)

(b) (e) Fig. 1.16. - Formas superpuestas de 1" categora.

1.14. Formas superpuestas

Se llaman superpuestas las formas de igual cat-goda y clase que tienen la misma base. Ejemplos (Fig.1.16):

- Las series rectilneas A, B, e, ... , y A', B', C', ... , de base comn r (Fig. a).

- Los haces de rectas coplanarias a, b, c, ... , y a', b', c', ... , (Fig. b) Y vrtice comn (haces concntricos).

- Los haces de planos ex, ~, y, ... , y ex', W, y', ... , de arista comn a (Fig. c.).

- Dos formas planas de plano comn o dos radiacio-nes de vrtice comn V.

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2.1. Razn simple de ternas de elementos

Dados dos puntos fijos A y B de una recta (Fig. 2.1) Y un punto mvil P sobre ella, se llama relacin o

{+} -1" H I {t} I I I :0 ooL-

-o o A 1M B P

I

1/..11 Fig. 2.1. - Razn simple de tres puntos colineales.

razn simple de P respecto a A y B, a la relacin de los segmentos PA y PB de origen en P y extremos A y B. Se representa por la relacin (PAB) y su valor, por A. Por tanto:

A = (PAB) = PA PB

A ser positivo o negativo, segn que PA y PB sean de igualo distinto sentido.

A cada posicin de P corresponde un solo valor diferente de A, y a la inversa. A las posiciones P == A, P == B Y P == M (punto medio de AB) corresponden los valores 0, 00 y -1 de A y si P se aleja al infinito, a derecha o a izquierda, A = + 1 lo que prueba que la recta no tiene ms que un punto en el infinito (punto impropio).

Anlogamente (Fig. 2.2) en un haz V de rayos a, b y p, se llama razn simple (pab) de p respecto a a y b,

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al cociente:

2. FORMAS DE PRIMERA CATEGORA

A = (pab) sen (pa) sen (pb) siendo (pa) y (pb) los ngulos que el rayo p forma con los a y b. El signo de A ser positivo o negativo, segn que los ngulos sean de igual u opuesto sentido. Lo mismo que en las series, existe correspondencia biun-voca entre la posicin de p y el valor de A, luego A determina la posicin de p, suponiendo fijos a y b.

Si seccionamos el haz por la recta r y aplicamos la proporcionalidad de lados y senos de ngulos opues-tos, a los tringulos VPA y VPB, se verifica:

r

~r' b

Fig. 2.2.-La razn simple de tres puntos no es un invariante proyectivo.

PA = VA sen (pa) PB = VB sen (pb) sen (pr) sen (pr)

y dividiendo miembro a miembro: PA sen (pa) VA VA (PAB) = -==- = x-==-= (pab) -==- [1] PB sen (pb) VB VB

Fig. 2.3.-Ternas de puntos de bases paralelas.

Fig. 2.4.-Haz de vrtice impropio.

Seccionando el haz por otra recta r' se obtiene an-logamente:

p:;V (P'A'B') =-==- =

P'B' sen (pa) sen (pb)

La equivalencia de ambas temas exige que

y esto slo es posible si r y r' son paralelas (Fig. 2.3) o si V es impropio (Fig. 2.4), luego, exceptuando estos dos casos, la razn simple no es un invariante proyec-tivo.

Fig. 2.5.-Cuaternas obtenidas por proyeccin y seccin.

2.2. Razn doble de cuaternas de elementos

Se llama razn doble o anarmnica de cuatro pun-tos A, B, e y D de una recta r (Fig. 2.5) al cociente de las razones simples de los dos primeros respecto a los otros dos. Se representa por la notacin (ABCD) y su valor K es:


(ACD) AC BC K=(ABCD)= ==:-= (BCD) AD BD

Si A, B Y C son fijos y D mvil, a cada posicin de D le corresponde un solo valor de K, y a la inversa.

Anlogamente, se llama razn doble de cuatro rec-tas, a, b, c y d de un haz de vrtice V, al cociente:

(acd) sen (ac) sen (be) (abcd) = -- = : ---(bcd) sen (ad) sen (bd)

y aplicando la [1] resulta: (ABCD) = (abcd) = K

Fig. 2.6.-Razn doble de cuatro planos.

Esto demuestra que la razn doble de los cuatro puntos de la serie o de las cuatro rectas del haz, obte-nidos unos de otros por proyeccin o seccin, es un invariante proyectivo. Por tanto, se verifica:

(ABCD) = (abcd) = (a'b'c'd') = (A'B'C'D') Anlogamente, se llama razn doble de cuatro pla-

nos de un haz (Fig. 2.6) a la razn doble de las cuater-nas de puntos (rectas) que el haz determina en cual-quier recta (plano) secante no incidente con su arista.

En efecto, segn lo dicho, si cortamos el haz de pla-nos por dos planos ]t, ]t', la razn doble de los haces seccin V y V' ser igual a la de la cuaterna A", B", C", D", determinada por la secante comn r y tambin igual a las A, B, C, D, y A', B', C', D', de bases r y r' situadas en ]t y ]t'; luego:

(abcd) = (ABCD) = (A" B" C" D") = (a' b' c' d') = = (A' B' C' D')=K

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2.3. Cuaterna armnica

Se dice que dos puntos A y B (Fig. 2.7) son conju-gados armnicos de otros dos P y Q si las razones simples de A y B respecto a P y Q son iguales y de signo contrario, es decir, si se verifica: AP BP AP BP = = - -= [2] de donde: = : -= = (ABPQ) = -1 [3] AQ BQ AQ BQ

La proporcin [2] se llama armnica y la cuaterna (ABPQ) = -1, cuaterna armnica. Sus propiedades ms importantes, deducidas analticamente, son:

P r Q loo ~ A M B

Fig.2.7.

a) En las cuaternas de valor -1, el primer par A y B separa o divide armnicamente al segundo par P y Q.

b) Si dos puntos A y B separan armnicamente a otros dos P y Q, stos tambin dividen armnicamente a aquellos.

c) El semi segmento MA = MB determinado por el primer par es media proporcional entre las distancias del punto medio M de ste a los del segundo par, o sea:

-2 -2 - -MA = MB = MP x MQ [4] y recprocamente, si se verifica la igualdad [4], A Y B son conjugados armnicos de P y Q.

d) El conjugado armnico del punto impropio e , respecto a dos fijos A y B es el punto medio M de AB.

e) Las cuaternas de cuatro puntos conjugados arm-nicos slo tienen tres valores diferentes: -1, 2 Y 1/2.

2.4. Cuadriltero completo

Al prolongar los lados de un polgono convexo, sus intersecciones dan lugar a otra figura de mayor nme-ro de vrtices, lados y diagonales que el primitivo, sucediendo lo mismo al unir dos a dos los vrtices del polgono, de todas las formas posibles. Tales polgo-nos, llamados completos, se clasifican en multivrtices o multilteros, segn que se tome como elemento fun-damental el punto (vrtice) o la recta (lado).

Si se prolongan los lados del cuadriltero convexo ABCD (Fig. 2.8), los a y c se cortan en E y los b Y d,

20

M F N E Fig. 2.8.-Cuadriltero completo.

en F. En el cuadriltero completo as obtenido; a, b, c y d son los lados, A, B, C, D, E Y F, los vrtices, y m, n y p, las diagonales. Los vrtices pertenecientes a una diagonal se llaman opuestos. Tales son los A, C; B, D y E, F.

Analticamente se demuestra que los vrtices de una diagonal de un cuadriltero completo estn armnicamente separados por las intersecciones de dicha diagonal con las otras dos; es decir que (MNFE) = (NICA) = (MIDB) =-1.

M E

Fig. 2.9.-Cuadrivrtice completo.

2.5. Cuadrivrtice completo

Es la figura formada por los cuatro vrtices del cua-driltero ABCD (Fig. 2.9) Y las seis rectas (lados) a, b, c, d, m y n determinadas por cada dos vrtices.

Cada par de lados no concurrentes en un vrtice se llaman lados opuestos, como los a, c; b, d, y m, n; sus intersecciones, E, F Y G, puntos diagonales, y el trin-gulo EFG, tringulo diagonal.

En el cuadrivrtice completo se verifica: El par de lados opuestos m y n, por ejemplo, concu-

rrentes en el punto diagonal G estn armnicamente separados por los lados f y e del tringulo diagonal que concurren en G.

En efecto, segn el nmero anterior: (MNFE) = -1 Y proyectando la cuaterna desde G: (MNFE) = G (MNFE) = (mnfe) = -1 y anlogamente:

(acer) = (dbfr) =-1

2.6. Construccin grfica de conjugados armnicos

Dados tres puntos Q, A Y B de una recta r (Fig. 2.10), podemos hallar el conjugado armnico P de Q, respecto a A y B, por los mtodos que siguen:

r

Fig. 2.1O.-Determinacin del conjugado armnico por paralelas y transversales.

1 Por paralelas y transversales. Por A y B se tra-zan dos paralelas arbitrarias a y b, Y por Q, una trans-versal q que corta a a y b en C y D. Luego se toma sobre b: BE = BD, Y se traza la recta CE que corta a r, en P.

En efecto, de la semejanza de los tringulos AQC, BQD y PAC, PBE se deduce:

n --=--=-

m

Igualando estas expresiones y atendiendo al signo, resulta:

PA PB

QA =osea QB

PA PB

QA = (PQAB) =-1

QB Si P es el punto conocido, se trazan ~ b, Y por P, la

transversal p; se toma sobre b: BD = BE Y se traza la recta CD que corta a r, en Q.

2) Por bisectrices de ngulos adyacentes (Fig. 2.11). Describir la semicircunferencia de dimetro AB y unir un punto C de ella con Q y B. La simtrica p de q == CB, respecto a b == CB, corta a r, en P.

Si P es el punto conocido, se traza p == CP y la simtrica q, respecto a b, que corta a r en Q.


EJERCICIOS Y APLICACIONES

En efecto, en el tringulo QCP, las bisectrices del ngulo C y de su adyacente QCD dividen al aldo opuesto r en segmentos proporcionales a los lados p y q, luego:

Fig. 2.11. -Determinacin del conjugado armnico por bisectrices.

BP AP P AP BP =- = = - y atendiendo al signo: = = - = BQ AQ q AQ BQ Por otra parte, las bisectrices de ngulos adyacentes

son perpendiculares entre s, luego C pertenece a la semicircunferencia de dimetro AB, y P y q son simtri-cos respecto a b, por formar con ella el mismo ngulo.

I

A

//,,'/'

,

"' ......... .,--------

p Fig. 2.12.-Determinacin del conjugado armnico por tangente

o tercera proporcional.

3) Por tercera proporcional. Se describe la semi-circunferencia de dimetro AB y centro M (Fig. 2.12), y se traza la perpendicular QC a AB que corta a la semicircunferencia, en C. La normal CP al radio MC corta a AB en P.

Esta es la construccin de la tercera proporcional MP, deducida de la igualdad [4].

21


4) Por cuadrilteros completos. Para hallar el con-jugado armnico de un punto N (Fig. 2.13) respecto a A y B, se traza por N una secante s y sobre ella se toman dos puntos arbitrarios, que, unidos con A y B, determinan el cuadriltero completo FDGC. La diago-nal GF corta a r en M.

M A N B Fig. 2. 13.-Determinacin del conjugado armnico

por cuadriltero completo.

2.7. Aplicacin del cuadrivrtice completo

Dados tres rayos a, b y c de un haz de vrtice V (Fig. 2.14), hallar el conjugado armnico d del b, res-

22

pecto a los a y c. Por un punto P de b se trazan dos transversales r y s que cortan a los rayos a y c, en A, C y B, D Y determinan el cuadrivrtice ABCD. La inter-seccin M de los lados opuestos AD y BC (distintos de a y c) determina el rayo d == VM.

Fig. 2. 14.-Determinacin del conjugado armnico por cuadrivrtice completo.

Si d fuera el rayo conocido, se trazaran desde un punto M de l, dos transversales MA y MB que deter-minan el cuadrivrtice ABCD cuyo punto diagonal P define el rayo b == VP.

3.1. Definicin de proyectividad

Dos formas de primera categora son proyectivas si la razn doble de cuatro elementos de una de ellas es igual a la de sus homlogos en la otra.

De esta definicin se deduce: - Dos formas deducidas una de otra por proyeccin

y seccin son proyectivas (Fig. 3.1). - Dos formas proyectivas con una tercera son pro-

yectivas entre s. - El producto de dos o varias proyectividades es una

proyectividad. - Dos formas iguales o congruentes son proyectivas. - Dos formas perspectivas son proyectivas, pero dos

formas proyectivas pueden no ser perspectivas.

3.2. Determinacin y clasificacin

a) Si dos formas de primera categora proyectivas y superpuestas tienen tres puntos dobles, lo son todos los dems y la proyectividad es una identidad.

En efecto, si en dos series proyectivas y superpues-tas A, B, e, D, ... , Y A', B', e', D', ... , son dobles A == A', B == B' Y e == C', por ser proyectivas se verificar:

(ABeD) = (ABeD') = K luego D == D' porque a cada valor de K, corresponde un solo punto D, y lo mismo se demostrara para haces de rectas o planos, cortndolos por una transversal.

Las formas superpuestas slo pueden tener, por tanto, dos, uno o ningn elemento doble, y las no superpuestas, el comn a ambas, si es que lo tienen.

3. PROYECTIVIDAD ENTRE FORMAS DE PRIMERA

CATEGORA

b) Tambin se demuestra que dados tres pares de elementos homlogos de dos formas proyectivas, siem-pre puede hallarse una cadena de proyecciones y sec-ciones para relacionar ambas formas, y la proyectivi-dad obtenida es independiente de la cadena utilizada.

Fig. 3. l.-Cadena de proyecciones y secciones.

c) De las propiedades a) y b) se deduce: Una proyectividad entre dos formas de primera

categora queda determinada por tres pares de ele-mentos homlogos. La proyectividad se clasifica, segn la especie de los elementos homlogos, en:

Homografa: Si son de igual especie (punto y punto, recta y recta, plano y plano).

Correlacin: Si son de distinta especie (punto y recta, punto y plano, ... , etc.).

La homografa entre formas superpuestas se deno-mina elptica, parablica, hiperblica o idntica, segn que tenga ninguno, uno, dos o tres elementos dobles.

23


r, 'YI r l y'V6_ q..... '"'~ _~

Fig. 3.2.a.-Series perspectivas.

3.3. Perspectividad entre series y haces (Fig. 3.2)

a) Sean A, B, e, ... y A', B', e', .. , (Fig. a) dos series seccin del haz V. Los haces V (A, B, C) Y V (A', B', e') que las proyectan desde V son concn-tricos con tres rayos dobles, a == a', b == b' y c == c', luego tienen dobles los dems (nm. 3.2-a), es decir, los puntos homlogos D' y D estn alineados con V (centro perspectivo) y el punto comn M == M' es doble.

M-M A-IX. BB C-G Fig. 3.2.b.-Haces perspectivos.

a') Sean V y V' (Fig. b) dos haces proyectantes de la serie A, B, e, '" de base r. Las series seccin de estos haces por la recta r son superpuestas con tres puntos dobles A == A', B == B' Y e == e', luego tienen dobles los dems (nm. 3.2-a), es decir: los rayos homlogos se cortarn en puntos de r (eje perspecti-vo) y el rayo comn m == m' es doble.

b) De aqu se deduce que la condicin de perspectividad de dos series (haces) proyectivos y no superpuestos es que el elemento comn sea doble.

3.4. Construccin de elementos homlogos de una homografa

r" -

Fig. 3.3.-Eje perspectivo de dos series.

Dadas dos series proyectivas A, B, e, ... y A', B', e', o., de bases r y r', hallar el homlogo de un punto N.

a) Mtodo del eje perspectivo (Fig. 3.3). Las series r y r' se proyectan desde dos puntos V

y V', situados en la recta AA' que une dos puntos homlogos. Los haces V y V', son perspectivos, por tener doble el rayo comn a == a' (n 3.3-b), siendo

24

V' Fig. 3.4.-Centro perspectivo de dos haces.

Dados dos haces proyectivos V (a, b, e) y V' (a', b', e'), hallar el homlogo del rayo n.

a') Mtodo del centro perspectivo (Fig. 3.4). Los haces se cortan por dos rectas r y r' trazadas

por la interseccin A == Jt\ de dos rayos homlogos. Las series r y r' son perspectivas por tener doble el punto comn A == A' (n 3.3-b), siendo V" == [b", e"]

Fig. 3.5.-Eje proyectivo de dos series.

r" el eje perspectivo detenninado por B" == [b, b'] Y C" == [e, e'].

Se traza luego el rayo n == VN que corta a r" en N" y detennina el rayo V' N" que corta a r', en N'.

A cada par de puntos V y V' corresponden distin-tos haces y, por tanto, distintos ejes perspectivos.

b) Mtodo del eje proyectivo. Rectas asociadas (Fig. 3.5)

Si las series r y r' se proyectan desde dos puntos homlogos A' y A, el eje perspectivo r", detennina-do por B" == [b, b'] y C" == [e, e'], corta a r y r' en los homlogos D y E' del punto comn D' == E de las series.

En efecto, el punto D == D" de r, por ejemplo, determina el rayo d == A'D Y su homlogo d' == r corta a r' en D', homlogo del D.

Como D y E' son puntos fijos e independientes de la construccin empleada, el eje r" es tambin inde-pendiente de los haces auxiliares elegidos y se llama eje proyectivo o de colineacin de las series r y r'.

Los pares de rectas AB' y A'B, AC' Y A'C, ... , que unen puntos no homlogos de ambas series se llaman rectas asociadas, y se cortan en puntos B", C", ... del eje proyectivo, lo cual sirve para detenni-nar ste.

El homlogo de N se halla, trazando la recta A'N que corta a r" en N", Y su asociada A N" que corta a r',enN'.

La proyectividad entre haces de rectas o planos o entre series y haces, se resuelve, sustituyendo los haces por secciones rectilneas. La construccin de

3. PROYECTIVIDAD ENTRE FORMAS DE PRIMERA CATEGORA

V-El

Fig. 3.6.-Centro proyectivo de dos haces.

el centro perspectivo. Se traza luego el rayo n" == V" N que corta a r' en

N' y detennina el rayo n' == V'N'. A cada par de rectas r y r' corresponden distintas

series y, por tanto, distintos centros perspectivos.

b') Mtodo del centro proyectivo. Puntos asociados (Fig.3.6)

Si los haces se cortan por dos rectas homlogas a y a', el centro perspectivo V" (interseccin de b" == BB' Y e" == CC') detennina los rayos V"V y V"V', homlogos del rayos comn VV'.

En efecto, el rayo e == V"V corta a r, en E, y a su homloga r', en E', que detennina el homlogo e' == V'Vde e.

Como los rayos e == V"V y d' == V"V' son fijos e independientes, el centro V" es tambin indepen-diente de las series auxiliares elegidas y se llama centro proyectivo o de colineacin de los haces V y V'.

Los pares de puntos B y B', C Y C', ... , detennina-dos por pares de rayos homlogos a', b Y a, b'; a', e ya, e'; ... se llaman puntos asociados y estn alinea-dos con el centro proyectivo, lo cual sirve para hallar ste.

El homlogo de n == VN se detennina, hallando el punto N == [a', n] y su asociado N' == [n", a] que detennina el rayo n' == V'N'.

homografas particulares se detalla al final del captu-lo (n 3.9).

25


a

~I' 00 r

loa

rl Fig. 3.8.-Series semejantes producidas

en un haz por dos paralelas. Fig. 3.9.-Series semejantes producidas

por dos rectas en un haz de rayos paralelos. J~

Fig. 3.7.-Determinacin de puntos lmites

3.5. Punto lmites

Se llaman puntos lmites de dos series homogrfi-cas (proyectivas), al punto de cada serie, homlogo del impropio de la otra.

Sean las series A, B, C, ... y A', B', C', ... (Fig. 3.7), de bases r y r' y eje proyectivo r" definido por las intersecciones B" y C" de las rectas asociadas AB', A'B Y AC', A'C. El punto lmite l' de r' se halla, tra-zando la paralela A'I a r, que corta a r" en 1", y su aso-ciada Al" que corta a r' en 1'. El punto lmite J de r se halla de forma anloga.

Analticamente se demuestra que la recta [,J es paralela al eje proyectivo r", lo cual sirve para hallar un punto lmite, conociendo el otro.

3.6. Series semejantes Son las series proyectivas cuyos puntos impropios

son homlogos (Figs. 3.8 y 3.9), luego no tienen pun-tos lmites, y quedan determinadas por dos pares de puntos homlogos, puesto que el tercer par es impro-pio.

Dos series semejantes de bases paralelas (Fig. 3.8) son perspectivas, por ser doble su punto impropio (n 3.3-b).

De la igualdad (ABCC) = (A'B'C'I' J se deduce AC IBC = xC' lB 'C', lo cual demuestra que en dos series semejantes los segmentos homlogos son pro-porcionales. En el nm. 3.10 se indica la construccin de una semejanza.

26

3.7. Involucin

a) En dos formas F y F' de primera categora, horno grficas y superpuestas, al elemento A de F le corresponde el A' de F', pero si consideramos al A como perteneciente a F' (por ser superpuestas), puede ocurrir que tambin le corresponda A' en F, (nm. 1.5). Los elementos A y A' que se corresponden doblemente se llaman conjugados.

Si todos los pares de elementos se corresponden doblemente, la homografa se llama involutiva o sim-plemente involucin, y puede considerarse como una forma nica (serie o haz) constituida por los pares de elementos conjugados.

En dos series involutivas y superpuestas, al punto impropio de las dos series, comn a ambas, le corres-ponde el mismo punto propio I (punto lmite) llamado punto central o centro de la involucin.

Una serie s de base r y un haz V estn en involu-cin si s lo est con la serie seccin producida por r en el haz V.

b) si una homografa de formas superpuestas tiene un par de elementos homlogos que se corresponden doblemente, es involutiva.

En efecto, sea AA' el par de elementos conjugados y BB' dos elementos homlogos. Como la razn doble no vara al permutar entre s los elementos de cada par de la cuaterna, se verificar: (AA'BB') = (A'AB'B), luego al elemento B de F le corresponde el B' de F', Y al B' de F, el B de F', es decir, son conju-gados.

Debido a esta doble correspondencia, una involu-cin queda determinada por dos pares de elementos homlogos.

3.8. Elementos dobles

Las propiedades ms importantes de los puntos dobles, deducidas analticamente, son:


A8 8' f\ r r L P M Q 8 A Q f\ 8'

(a) De puntos conjugados annnicos. (b) De puntos simtricos. a b Fig. 3. IO.-Involuciones hiperblicas de series.

a) Una involucin slo puede tener dos puntos dobles o ninguno, es decir, es hiperblica o elptica.

b) Los pares de puntos A, A'; B, B'; ... conjugados armnicos de dosfijos P y Q (Fig. 3. lO-a) forman una involucin hiperblica cuyos puntos dobles son P y Q, y a la inversa: P y Q separan armnicamente a A, A'; B, B'; etc.

c) El centro de una involucin hiperblica de dos series superpuestas es el punto medio M del segmento PQ determinado por los puntos dobles (nm. 2.3-d).

pi

P' r

v

A B'

Fig. 3.11.-Haces superpuestos en involucin.

Si un punto doble P es impropio (Fig. b), los pares de puntos homlogos son simtricos respecto al otro punto doble Q.

Recprocamente: la simetra es una involucin cuyos puntos dobles son el centro de simetra y el punto impropio.

Fig. 3. 12.-Rayos dobles y principa-les de una involucin no rectangular

Fig. 3. 13.-Rayos dobles perpendiculares en una involucin no rectangular.

Fig. 3. 14.-Involucin absoluta.

3.9. Involucin de haces concntricos

Dos haces complanarios superpuestos de vrtice V son involutivos, si lo son las series seccin de los haces por una transversal.

Si uno de los haces se obtiene girando el otro 90 (Fig. 3.11), se obtiene una involucin llamada rectan-gular, circular o cclica. En efecto, al rayo a le corres-ponden el a', normal a l, y al a', el a, normal a l, luego se corresponden doblemente.

La involucin rectangular no tiene rayos dobles (involucin elptica) puesto que dos rayos perpendicu-lares entre s no pueden coincidir. Los rayos dobles son, por tanto, imaginarios y se llaman rectas istro-pas o mnimas.

Las propiedades ms importantes de la involucin rectangular, demostradas analticamente son:

a) En una involucin no rectangular (Fig. 3.12) de haces superpuestos existen dos rayos homlogos per-pendiculares entre s, llamados rayos principales.

b) Los rayos dobles m y n (Fig. 3. 12) forman ngu-los iguales con los principales p y p '.

c) Si los rayos dobles principales m y n son dobles (Fig. 3.13), los pares de rayos conjugados a y a' son simtricos respecto a los dobles, y stos son bisectri-ces de los ngulos formados por a ya', by b', ... , etc.

Las construcciones de una involucin se indican en los nms. 3.11 y 3.12.

3.10. Involucin cclica. Punto cclicos

La seccin de una involucin rectangular de centro V (Fig. 3.14) por la recta impropia del plano es una invo-lucin elptica (nm. 3.7) llamada involucin absoluta del plano cuyos puntos homlogos son los impropios, A, A' , de cada par de rayos conjugados a, a' .

Las intersecciones de los rayos dobles (imagina-rios) del haz cortan a la recta impropia en dos puntos dobles (imaginarios), llamados puntos cclicos, luego (nm.3.6-b).

Los puntos cclicos separan armnicamente los puntos impropios de dos direcciones perpendiculares (puntos conjugados de la involucin absoluta).

27


3.11. Construccin de homografas particulares

a) Series perspectivas r y r' (Fig. 3.15) Por ser perspectivas, su punto comn D == D' es

doble y la interseccin de AA' y BB' es el centro V de perspectividad.

El homlogo de un punto C se halla, trazando el rayo VC que corta a r', en C'.

Tambin puede hallarse, sin utilizar V, por medio del eje proyectivo r" (nm. 34-b) determinado por D == D' y por la interseccin B" de un par de rectas asociadas AB' Y A' B.

d

o-O'-Q" r

Fig. 3.15.-Eje proyectivo de series perspectivas.

b) Series y haces superpuestos Dadas dos series superpuestas r == r' (Fig. 3.17), se

proyecta la r', por ejemplo, desde un punto V (propio o impropio) sobre otra recta r,. Las rectas asociadas BA" B,A Y BC" B,C se cortan en puntos A" y C" que definen el eje proyectivo r" == A"C".

El homlogo de un punto D se halla, trazando Ap y su asociada AD" que corta a r" en D" y ste se pro-yecta desde V, sobre r, en D'.

Si se elige r, paralela a r == r', las intersecciones de r" con r y r' son los homlogos 1, y J del punto comn e == J,= de r Y r, (nm. 3.4-b). Proyectando 1, desde V, en 1', se obtienen los puntos lmites l' y J de r y r' .

Anlogamente se procedera con haces concntri-cos. En el nm. 5,8 se indica otro mtodo ms sencillo por series circulares.

28


a') Haces perspectivos V y V' (Fig. 3.16). Por ser perspectivos, su rayo comn d == d' es

doble, y las intersecciones A" == [a, a'] y B" == [b, b'] definen el eje perspectivo e == A"B".

El homlogo de un rayo c es el c' == V'C" que pasa por C" == [c, e].

Tambin puede hallarse, sin utilizar e, por medio del centro proyectivo V" (nm 3.4-b) determinado por la interseccin de d == d' con la recta que une el par de puntos asociados B' == [a, b'] y B == [a', b].

Fig. 3.16.- Centro proyectivo de haces perspectivos.

Fig. 3.17.-Construccin de series superpuestas.


V' Fig. 3. I 8.-Series superpuestas con dos

puntos dobles. Fig. 3.19.-Haces superpuestos con dos

rayos dobles. Fig. 3.20.-Series superpuestas con

un punto doble.

c) Series r == r' superpuestas, con puntos dobles (Fig.3.18).

Proyectando ambas series A, B, .00 A', B', desde dos puntos V y V' situados en una recta que pasa por el punto doble P == P', se obtienen dos haces perspec-tivos (por ser dobles el rayo comn p == p')o Las intersecciones A" == [a,a'] y B" == [b, b'] de rayos homlogos definen el eje perspectivo r" == A"B"o

La interseccin Q == Q' de r" y r == r' es el segundo punto doble de la homografao

El homlogo de un punto C se halla, proyectndo-lo desde V, en C"o El rayo V'C" nos da C' o Por tanto:

Si la homografa es hiperblica, el eje perspectivo r" pasa por el segundo punto doble, y, si es parab-lica (Figo 3020), por el nico punto doble que existeo

Fig. 3.2 l.-Haces superpuestos con un rayo doble.

3012. Construccin de una semejanza (Fig.3.22)

En dos series semejantes A, B, 0.0' A'B', 000' los pun-tos impropios 1 e l' son homlogos, luego los pares de rectas asociadas A'I, Al' Y B'I, BI' sern paralelas a r

c') Haces V == V' superpuestos, con rayos dobles (Figo 3019)0

Cortando ambos haces por dos rectas arbitrarias r y r', trazadas por un punto P == P' situado en el rayo doble p == p', se obtienen dos series perspectivas (por ser doble el punto comn)o La interseccin de las rectas AA' y BB' es el centro perspectivo V"o

La recta VV" es el segundo rayo doble q == q' de la homografao

Para hallar el homlogo de un rayo c que corta a r, en C, se proyecta ste desde V" en C', sobre r', y se traza VC' == c' o

Si la homografa es hiperblica, el centro pers-pectivo V" est sobre el segundo rayo doble, y, si es parablica (Figo 3021), sobre el nico rayo doble que existeo

Fig. 3.22.-Construccin de una semejanza.

y r', y se cortarn en puntos A" y B" del eje proyecti-vo r" == A"B" (nm. 3.4-b)0

El homlogo de un punto C se halla trazando Ce paralela a r' , que corta a r" en C", y por C", la paralela a r que corta a r', en C'.

29


-------

"-

"-

"-

r= r' O'"

"-

'-

'\ \

\

Fig. 3.23.-Construccin de haces en una involucin hiperblica.

/ I

I I I , I , I I \ \ \

--

I I

BI \ ",

",

'--

'\V_------___ ._, "

''-,\ \

\ \ \ \ \ ,

pi

Fig. 3.24.-Construccin de haces en una involucin elptica.

3.13. Construccin de series involutivas A,B, ... , A',B', ... (Fig. 3.23.)

Analticamente se demuestra que si se traza una cir-cunferencia que pase por A y N, Y otra que pase por B y B', Y corte a la primera, en dos puntos V y S, la cuerda comn VS corta a r en el centro I de la involucin.

El conjugado de un punto e (no dibujado) se halla, trazando la circunferencia que pasa por V, S Y e y corta a r, en e'. Los puntos de tangencia con r (si exis-ten) de las circunferencias que pasan por V y S son dos puntos dobles M y N (involucin hiperblica). En

-2-2--este caso, se verifica: 1M = IN = IS x IV. De aqu, la construccin:

Trazar la circunferencia de dimetro SV (no dibuja-da) y desde ~la tangente a ella en un punto T, siendo IT= IM= IN.

Si V Y S estn a distinto lado de r (Fig. 3.24) no existen circunferencias tangentes a r (involucin elp-

30

tica). En el nm 5.9-a se indica otro mtodo de cons-truccin de series involutivas.

3.14. Construccin de haces involutivos a,b y a'b' (Figs. 3.23 y 3.24)

La seccin de los haces por una transversal no inci-dente con V, determina dos series involutivas A, B Y A' B', y las circunferencias [V, A, A'] Y [V, B, B'] se cortan, como antes, en el punto S.

Toda circunferencia que pase por V y S Y corte a r en dos puntos e y C' (no dibujados), determina un par de rayos homlogos c == ve y c' == VC'. La que tiene por centro la interseccin O de r con la mediatriz de VS, corta a r en P y P', y determina los rayos principa-les (rectangulares) p == VP y p' == VP'.

La involucin es elptica (Fig. 3.24) o hiperblica (Fig. 3.23) segn que el par A,A' de puntos conjuga-dos est o no separado por el otro par B,B'.

m

Fig. 3.25.-Perspectividad de series proyectivas cuyas bases se cruzan.

3.15. Proyectividad entre formas de primera categora en el espacio

Las propiedades y definiciones de la proyectividad (nm. 3.1 y 3.2) son aplicables, tanto a las formas de primera categoa coplanarias, como a las espaciales. En efecto, si las bases r y r' (Fig. 3.25) de dos series proyectivas A, B, C, ... y A', B', C' ... se cruzan en el espacio, las rectas a == AA', b == BB' Y c == CC' tam-

a) Dos series proyectivas cuyas bases r y r' se cruzan, son perspectivas (Fig. 3.25).

En efecto, como antes dijimos, las series r y r' son secciones del haz de planos de arista m, luego son perspectivas.


Fig. 3.26.-Perspectividad de haces proyectivos de planos cuyas aristas se cruzan.

bin se cruzan y cualquier recta m que corte a las a, b, y c determina los planos a == [a, m], p == [b, m] y y == [c, m] cuyas trazas con r y r' son puntos homlogos de las series.

A cada secante m le corresponde un haz de planos distinto y en cada uno de ellos, a cada punto D de r le corresponde otro D' de r', tal que (ABCD) = (A'B'C'D'), luego D' ser el mismo para cada haz y la proyectividad ser nica. Recprocamente:

a') Dos haces de planos proyectivos cuyas aristas m y m' se cruzan son perspectivos (Fig. 3.26).

En efecto, toda recta m" que corte a las intersec-ciones a == [a, a'], b == [P, W] y c == [y, y'] de tres pares de planos homlogos, determina la serie A", B", C", cuya proyeccin desde m y m' son los haces dados, luego stos son perspectivos.

31

4.1. Definicin y generalidades

Se dice que dos formas de segunda categora son proyectivas si a cada elementos (punto o recta) de una de ellas le corresponde uno solo en la otra, y a cada forma de primera categora (serie o haz), contenida en la primera, le corresponde otra forma de primera categora en la segunda. Las formas que se corres-ponden se demuestra que son proyectivas.

Seccionando las radiaciones por planos, la corres-pondencia entre formas de segunda categora se redu-ce a la de sus secciones planas.

4.2. Elementos dobles

En la homografa de formas planas superpuestas, si un punto (recta) coincide con su homlogo, se llama doble. Dos puntos (rectas) dobles determinan una recta (punto) doble.

En general, si una recta r es doble, sus puntos no lo sern. Si estos lo fueran, aquella sera una recta de puntos dobles o serie doble. Anlogamente, en dos haces de vrtice doble (concntricos), los rayos no son

32

4. PROYECTIVIDAD ENTRE FORMAS DE SEGUNDA

CATEGORA. HOMOLOGA

Tambin se demuestra que la proyectividad entre formas planas queda determinada por dos formas de primera categora e igual nombre (dos series o dos haces) de una de ellas que sean proyectivas con dos formas de primera categora e igual nombre de la otra.

La proyectividad es homografa o correlacin, segn que los elementos que se corresponden sean respectivamente de igual nombre (punto y punto, o recta y recta) o distinto (punto y recta, o recta y punto).

HOMOGRAFA DE FORMAS PLANAS SUPERPUESTAS

dobles. Si estos lo fueran, aquellos seran un haz de rayos dobles o haz doble.

Ejemplo: En una simetra respecto a un punto O (Fig. 1-3-c) y puntos homlogos A y P:, la recta AA' que pasa por O es doble, por tener dos puntos dobles: el centro O y su punto impropio, pero A no es doble de A'.

Si la homografa de planos superpuestos tiene cua-tro puntos dobles, no alineados tres a tres (cuadrivr-tice doble), es una identidad.

4. PROYECTIVIDAD ENTRE FORMAS DE SEGUNDA CATEGORA. HOMOLOGA

Fig. 4.1. - Homologa plana. Fig. 4.2. - Homologa afn. Fig. 4.3. - Homologa entre formas planas perspectivas.

4.3. Homologa plana

En Proyectiva se demuestra que si una homografa de planos superpuestos tiene una recta de puntos dobles (Fig. 4.1) tambin tiene un haz de rayos dobles y a la inversa. Si tiene un haz doble, tambin tiene una recta doble.

Esta homografa se llama homologa plana; la recta e de puntos dobles, eje de homologa; el vrtice O del haz doble, centro de homologa, y las figuras homlo-gas ABC y A'B'C', figuras homolgicas.

4.4. Proyeccin de formas planas

Si una radiacin O (Fig. 4.3) es cortada por dos pla-nos 11:, 11:', las secciones son formas planas homogrfi-cas y perspectivas, y se verifica:

a) Los puntos homlogos A, A': B, B'; ... estn ali-neados con O.

b) Las rectas homlogas AB, A'B'; AC, A'C'; ... concurren en la interseccin e de 11:, 11:' que es, en este caso, una serie doble o recta de puntos dobles.

Esta homografa (proyeccin cnica de 11:, desde O, sobre 11:') es una homologa espacial de centro O y eje e. Si el centro O es impropio (proyeccin cilndrica), se tiene una afinidad (Fig. 4.4).

Las propiedades fundamentales de la homologa son: Dos formas planas 7[, 7[', distintas y perspectivas,

de centro O (propio o impropio), se corresponden en

En la homologa plana, los puntos homlogos A, A'; B,B '; ... estn alineados con el centro O, y las rec-tas homlogas AB, A'B'; Be, B'C'; ... concurren en puntos M, N, '" del eje e.

Si el centro O es impropio (Fig. 4.2), la homologa se llama homologa afn o simplemente afinidad, y la direccin d del centro impropio, direccin de afinidad. Las rectas AA' , BB', ... son, en este caso, paralelas a d.

HOMOGRAFA DE FORMAS PLANAS EN EL ESPACIO

una homologa de centro O y eje la interseccin e == [7[, 7['].

La existencia de una de estas propiedades (serie doble y radiacin doble) implica la otra. De aqu, la propiedad recproca:

Si dos formas planas se cortan segn una recta de puntos dobles, son perspectivas (de centro propio o impropio) y, por tanto, homolgicas o afines.

Si 11:', gira alrededor de e, las formas siguen siendo homogrficas con una serie doble e, luego siguen siendo perspectivas respecto a un nuevo centro que va movindose al girar 11:'. Cuando 11:' coincida con 11:, se obtiene una homografa de formas planas superpuestas con una serie doble; es decir, una homologa plana.

33


Fig. 4.4. - Afinidad entre formas planas perspectivas.

:-... ......

......

" ,

" " " " " ,

" " ......

" " ,

" , ,

"

" " ,

"

Fig. 4.6. - Producto de homologas. Caso particular.

0,/ ~

/

/

/ /

/

/ /

..-

/ /

/ /

/ /

..-

/

/ /

/

Fig. 4.5.-Producto de homologas de eje comn.

4.5. Producto de homologas de eje comn a) Dos formas FI y F2 (Fig. 4.5) no coplanarias y

homolgicas de una tercera F respecto a un mismo eje e y centro al y O2, son homolgicas entre s respecto al mismo eje y centro O, alineado en 01 y O2,

En efecto, el eje e comn es recta de puntos dobles entre F, y F2, luego stas son homolgicas (nm. 4.4) y las rectas A,A2, B,B2, , etc. concurren en el centro O. Por otra parte, el plano [O" O2, Al contiene a la recta A,A2 que cortar a 0,02 y lo mismo suceder con las rectas B,B2, C,C2, , luego si todas concurren en O y son cortadas por la recta 0,02, sta debe pasar porO.

b) Si F, Y F2 con superpuestas de plano 1t (Fig. 4.6), el centro O es la traza de 0,02 con M. Por tanto:

34

Fig. 4.7.-Homologa entre una forma plana y su proyeccin cnica.

Si una forma F de plano a se proyecta desde dos centros distintos sobre un plano n, las proyecciones FI y F2 son homolgicas de centro O, (traza de OP2 con n) y eje e == [a, nI.

Si O, u O2 es impropio, F, y F2 son homolgicas. Si O, Y O2 son impropios o la recta OP2 es paralela a 1t, son afines.

c) Las radiaciones de vrtices O, y O2 son perspec-tivas (por ser proyecciones de F), siendo a el plano central y 0,02 el eje perspectivo. De aqu que poda-mos enunciar (Fig. 4.6).

Si dos radiaciones perspectivas 01 y O2 son corta-das por un plano n, las secciones FI y F2 se corres-ponden en una homologa cuyo centro y eje son las secciones del eje perspectivo y del plano central con n.


Como aplicacin de estas propiedades, estudiare-mos la homologa existente entre una forma plana, su proyeccin y su abatimiento que tan frecuentemente se utiliza en Descriptiva.

4.6. Homologa entre una forma plana y su proyeccin

a) Como ya dijimos en el nm. 4.4: En proyeccin cnica de centro V (Fig. 4.7), unaforma F de plano a y su proyeccin F' sobre otro plano n (cuadro), son homolgicas de centro V y eje ta = [n, a].

Fig. 4.8.-Afinidad entre una forma plana y su proyeccin

cilndrica.

Fig. 4.9.-Afinidad entre una forma plana y su proyeccin

ortogonal.

4.7. Afinidad entre forma plana y abatimiento o giro

a) Al abatir una forma F de plano a sobre otro n, en (F) (Fig. 4.1O-a), todo punto A de a describe un arco circular A(A), de plano normal a ta Y radio OA- nor-mal a tao La recta A(A) y las B(B), C(C), ... , que unen cada punto y su abatimiento son normales al bisector

~ del diedro a--:n lo que demuestra que el abatimiento (F) es una proyeccin cilndrica de F sobre n, segn la direccin d normal al bisector del diedro a, luego (nm. 4.6-b) F y (F) son afines de eje ta = [a, nI y

APLICACIONES

Todo punto impropio e de a se proyecta sobre la recta lmite l' a == [n, a'] en 1', y los impropios de n, sobre la traza 1 == [n', a] (lnea de desvanecimiento), siendo a' y n' paralelos a a y n respectivamente.

b) En proyeccin cilndrica u ortogonal de direc-cin d (Fig. 4.8 y 4.9), una forma plana F y su proyec-cin F, sobre un plano n son afines, de eje ta = [a, MI Y direccin de afinidad d.

El homlogo de un punto impropio es tambin impropio, luego no existen rectas lmites.

Fig. 4.10. - Afinidad entre una forma plana y su abatimiento.

direccin de afinidad d, normal al bisector del diedro d;n.

La afinidad ser de direccin d o di' segn el senti-do del abatimiento. Si a es normal a n (Fig. b), for-mar 45 con a y n.

b) Como el abatimiento es un giro, podemos enun-ciar con ms generalidad:

Si una forma plana F' se deduce de otra F, por el giro de sta alrededor de un eje e coplanario con ella, F' y F son afines de eje e y direccin de afinidad d normal al bisector del didro formado por los planos de Fy F'.

35


4.8. Homologa entre proyeccin y abatimiento de una forma plana

a) Si proyectamos desde V (Fig. 4.11) una forma F de plano a sobre el cuadro 1t, en F', Y abatimos luego F sobre 1t, en (F), F' Y (F) se corresponden en la homologa-producto de dos homologas conocidas de eje comn ta == [a, 1t]: la de F y F' de centro V (nm. 4.6) y la de F y (F), de centro impropio VI' de direc-cin da' normal al bisector del diedro aJ: (nm. 47).

Fig. 4.11. -Homologa entre proyeccin cnica y abatimiento de formas planas.

El centro de la homologa-producto es (nm. 4.5) la traza O de VV I (paralela a dJ con 1t y coincide con el abatimiento (V) de V, alrededor de l~, sobre 1t, por ser a' paralelo a a. Por tanto:

En proyeccin cnica, la imagen F' y el abatimien-to (F) de una forma F de plano a se corresponden en una homologa plana de eje ta == [a, ni y centro, el abatimiento (V) de V sobre el cuadro. Las rectas lmi-tes de F' y (F) son l~ y el abatimiento (d) de la lnea de desvanecimiento d de a, respectivamente.

36

Fig. 4.12. - Proyeccin cilndrica.

b) En proyeccin cilndrica (Fig. 4.12), los centros V y V I son impropios (de direcciones dp Y da) Y la homologa se transforma en una afinidad. Por tanto:

La proyeccin cilndrica FI y el abatimiento (F) de una forma plana F de plano a sobre un plano n se

Fig. 4.13. - Proyeccin ortogonal.

corresponden en una afinidad de eje ta == [a, ni y direccin de afinidad, dada por la recta Al (A) que une la proyeccin y el abatimiento de cualquier punto A de F.

En proyeccin ortogonal (Fig. 4.13), la direccin de afinidad Al (A) es normal ata (afinidad ortogonal).


4.9. Proyeccin de una homologa entre formas planas

Si proyectamos una forma de plano ex (Fig. 4.14), desde un punto 0, sobre un plano ex', las formas ex y ex' se corresponden (nm. 4.6 en una homologa de centro y eje t == [ex, ex'] y al proyectar todo desde V sobre un plano 1t, los pares de puntos A, A' Y B, B', alineados con 0, se proyectan segn pares A), A') Y B), B;, alineados con la proyeccin O)' de O.

Anlogamente, las rectas r == AB Y r' == A'B', con-currentes en el punto 1 de t, se proyectan segn rectas r) == A)B) Y r') == A; B;, concurrentes en la proyeccin 1) de 1, y lo mismo suceder si V y son propios o impropios. De aqu, que podamos enunciar:

La proyeccin de una homologa entre dos formas planas distintas a ya', de centro O y eje t == [a, a'], desde un punto V (propio o impropio), sobre un plano 7r, es otra homologa cuyo centro y eje son las proyec-ciones O/y t/ de O y t, respectivamente.

Fig. 4.14. - Proyeccin de una homologa.

En general, si se proyecta una afinidad desde un punto V propio o impropio, la proyeccin es homo-loga o afinidad, respectivamente.

37

5.1. Serie Circular

Los haces obtenidos al proyectar puntos A, B, e, ... , de una circunferencia O; desde dos puntos V y V' de ella (Fig. 5.1), son congruentes y, por tanto, proyec-tivos.

Fig. 5.1. - Proyeccin de puntos de una circuriferencia desde dos puntos de ella.

Basta observar que los ngulos (a, b), (a, c), ... del haz Y y sus homlogos (a', b'), (a', c'), del Y' son inscritos y abarcan el mismo arco, luego son iguales.

La recproca tambin es cierta; es decir, el lugar geomtrico de las intersecciones A, B, e, ... de rayos homlogos de dos haces congruentes, de rayos no paralelos, es una circunferencia (J llamada serie cir-cular o circunferencia puntual que pasa por V y V', siendo (J la base de la serie.

Los homlogos del rayo comn YY' == d' == e son las tangentes a cr, en Y y Y', ya que cuando A, por ejemplo, se desplace sobre cr y tienda a coincidir con Y, a' coincidir con d' ya con la tangente d.

38

5. SERIES Y HACES DE SEGUNDO ORDEN

5.2. Haz circular

Las tangentes AA', BB', ... a una circunferencia de centro O (Fig. 5.2) determinan sobre dos tangentes cualesquiera r y r' dos series proyectivas A, B, ... y A', B', ...

o

Fig. 5.2.-Haz circular.

En efecto, sean T, S' Y M los puntos de tangencia de las bases r y r' de las series y de cualquier tangente AA'. Los rayos a == OA Y a' == OA' son bisectrices de los ngulos TOM y MOS', cuya suma TOS' = 2a es const~te, luego Ea' = TO.' /2 = a y anlogamente: aa' = bb' = ... = TOT' = T'OS' = a.

Este prueba que el haz O(A'B':"T') se obtiene, giran-do el O (ABT) un ngulo a = TOS'/2, luego son con-gruentes y, por tanto, proyectivos, y que T y S' son los homlogos del punto comn T' == S de r y r'. Al con-junto de tangentes AA', BB', ... a cr se le llama haz circular, y a la envolvente de ellas (rayos de haz), cir-cunferencia envolvente.


B e

Fig. 5.3.-La cnica, como homolgica de la circunferencia.

Fig. 5.4.-Serie de 2 orden. Fig. 5.5. - Haz de 2 orden.

5.3. Series y haces de segundo orden

La proyeccin de una circunferencia c de plano ex, desde un punto O (Fig. 5.3), sobre un plano 1t, es una cnica c' que se corresponde con c (nm. 4.6) en una

a) Los haces obtenidos al proyectar los puntos A, B, e, ... de una cnica (Fig. 5.4), desde dos cuales-quiera V y V' de ella, son proyectivos.

b) Recprocamente: El lugar geomtrico de las intersecciones de los rayos homlogos de dos haces V y V' coplanarios, proyectivos, no perspectivos ni concntricos, es la llamada cnica puntual o serie de segundo orden. La base de los puntos de la serie es la cnica puntual.

Las formas de primera categora (serie y haz) son las formas elementales de primer orden. Las series y haces de segundo orden se llaman formas elementales de segundo orden. Dos formas elementales de segun-do orden (serie o haz) se llaman superpuestas, si tie-nen la misma cnica base.

c) Se llama razn doble de cuatro puntos A, B, e y D de una cnica (Fig. 5.6), la del haz V (ABeD) que los proyecta desde un punto V de la cnica.

d) La razn doble del haz V que proyecta cuatro puntos A, B, e y D de una cnica, desde un punto V de ella, y la de la serie A', B', C' y D' que las tangen-tes a ellos determinan sobre cualquier otra t', son iguales.

homologa de centro O y eje e == [ex, 1t], luego los haces congruentes del nm. 5.1 y las series proyecti-vas del 5.2 se transforman en haces y series proyecti-vas, y gozan de las propiedades que siguen:

a') Las series obtenidas al cortar las tangentes a, b, c, oo. a una cnica (Fig. 5.5) por dos cualesquiera t y t', son proyectivas.

b ') Recprocamente: El conjunto de las rectas de unin de puntos homlogos de dos series t y t' coplanarias, proyectivas, no perspectivas ni super-puestas, es el llamado haz de segundo orden o de segunda clase. La envolvente de las rectas del haz es la cnica envolvente.

Fig. 5.6.-Relacin entre series y haces de ry 2 orden.

c') Se llama razn doble de cuatro tangentes a, b, c y d a una cnica (Fig. 5.6) la de la serie de primer orden A', B', C', D' que determinan sobre cualquier tangente t' a la cnica.

Esta propiedad es la que relaciona las series y haces de segundo orden con los haces y series de primero que los proyectan y seccionan, respectivamente.

39


Lo expuesto permite aplicar a las formas de segun-do orden las propiedades proyectivas de las de primer orden. La proyectividad queda, por tanto, determinada

PROVECTIVIDAD ENTRE FORMAS ELEMENTALES

DE SEGUNDO ORDEN

por tres pares de elementos homlogos y puede cons-truirse por mtodos anlogos, como vamos a ver.

5.4. Construccin de homografas de formas superpuestas

a) Series homogrficas A, B, e, ... y A', B', C', ... Los pares de rectas asociadas BA', B' A Y BC',

B'C (Fig. 5.7-a) se cortan en puntos M y N del eje proyectivo ro == MN, Y ste corta a a la cnica base de las series, en los puntos dobles R y S. La homo-grafa ser hiperblica, parablica o elptica, segn que ro sea secante, tangente o exterior a la cnica.

El homlogo D' de D se halla, trazando B'D que corta a ro' en 1, y su asociada BI que corta a la cni-ca, en D'.

5.5. Involucin de formas superpuestas

Lo mismo que en las formas de primera categora, si dos elementos se corresponden doblemente, todos se corresponden doblemen-te y forman una involucin.

El eje y centro proyectivo de la homografa se llama eje y centro proyectivo (polo) de la involucin.

a') Haces homogrficos a, b, e, ... ya', b', e', ... Las rectas de unin de puntos asociados A == [a,

c'] y A' == [a'c]; B == [b, c'] y B' == [b', c] se cortan en el centro proyecti vo Va. Las tangentes trazadas desde Va a la cnica son las rectas dobles de la homografa que ser hiperblica, parablica o elpti-ca, segn que Vosea exterior, incidente o interior a la cnica. (Fig. 5.7-b).

La homloga de d se halla por medio del punto D == [d, b'] Y de su asociado D' (interseccin de DVo con b) que determina la tangente d' .

o

D'

(a) Series superpuestas de 2 orden (b) Haces superpuestos de 2 orden Fig. 5.7. - Construccin de homografas entre formas superpuestas de 2 orden.

En dos series de segundo orden involutivas A, B, C, ... A', B', C', ... (Fig. 5.8), a un punto A de la pri-mera le corresponde el p.: de la segunda, y al F == A' , el F' == A. Los lados homlogos coinciden, por tanto, con las rectas asociadas BF' == BA Y B'F == B'A'; BD' == BC y B'D == B'C'. De aqu, las propie-dades que siguen:

a) Los pares de rectas homlogas AB, A'B'; Be, B'C' y las tangentes t y t' a la cnica base en pun-tos homlogos e y C' concurren en puntos del eje proyectivo ro.

b) Los puntos conjugados A y A': B, B'; ... estn alineados con el centro P (polo del eje proyectivo).

40

En dos haces de segundo orden involutivos a, b, e, ... ya', b', e', ... (Fig. 5.9), a un rayo a del prime-ro le corresponde el a' del segundo, y al f == a', el f' == a. Los pares de puntos homlogos coinciden, por tanto, con los pares de puntos asociados A == [a, g'] y A' == [a'g]; B == [b,d'] y B' == [b',d]. De aqu, las propiedades que siguen:

a') Los pares de puntos homlogos A == [a, b] Y A' == [a ',b']; B == lb, e] y B' == lb', e']; ... y los pun-tos de tangencia 1 y T de dos rayos conjugados a y a' estn alineados con el polo o centro proyectivo P.

b') Los rayos conjugados a, a'; b, b'; ... son con-currentes en puntos del eje ro.

c) Los puntos de contacto H y G de las tangentes a la cnica base, trazados desde P son los puntos dobles de la involucin, y pertenecen al eje de la involucin de los haces de tangentes a la cnica en los puntos de las series.

Fig. 5.8. - Involucin de series de 2 orden.

Fig.5.9.-Involucin de haces de 2 orden.

Por tanto: en la involucin hiperblica, su centro (polo) es exterior, y el eje, secante y en la elptica, el centro es interior, y el eje, exterior a la cnica.

5.6. Construccin de una involucin

Una involucin queda determinada por dos pares de elementos homlogos, como vamos a ver.

Series A, R. y A', R' (Fig. 5.10). El eje ro se determina por las intersecciones M y N

de las rectas asociadas AB' y A'B Y de las homlo-gas AB y A'B', respectivamente. El centro P es la interseccin de AA' y BB' .

El conjugado de un punto e es la interseccin D' de pe con la cnica.

Si no est dibujada la cnica, se prolonga Be hasta su interseccin I con ro' La recta lB' corta a pe, en e'.


c') Las tangentes en los puntos de corte H y G del eje con la cnica base son los rayos dobles de la involucin, y pasan por el centro (polo) de la involu-cin de las series de los puntos de contacto de aquellas.

N

Fig. 5.10. - Construccin de una involucin de series

de 2 orden.

Fig. 5.1 l.-Construccin de una involucin de haces de 2 orden.

Haces a, b ya', b' (Fig. 5.11). El eje ro se determina por las intersecciones R y S

de a, a' y b, b'. El centro P es la interseccin de las rectas AA' y MN que unen los puntos homlogos A == [a, b] y A' == [a' ,b'] y los asociados M == [a', b] Y N == [a, b'].

El conjugado de un rayo c que corta en I al eje ro es la tangente c' a la cnica trazada desde 1.

Si no est dibujada la cnica, se halla la intersec-cin e de c y b. La recta pe corta a b' en e', y determina c' == IC'.

41


Fig.5.I2.-Recta de Pascal.

P N ~ M ----~-------,~ / \ ----./"

.............. / \ ---;' 1,

"'- \A=B._---- // ~--- ;';' .;-

.;-;'

;' .;-

;' ;'

Fig. 5.14. - Teorema de Pascal aplicado al pentgono inscrito.

5.7. Teorema de Pascal Las intersecciones de los pares de lados opuestos

de un hexgono inscrito en una cnica (Fig. 5.12) pertenecen a una recta (recta de Pascal).

En efecto, los lados opuestos del hexgono son rectas asociadas de dos series de segundo orden A, B. C y A', B'. C' y se cortan en puntos del eje pro-yectivo ro (recta de Pascal). 5.8. Casos particulares

Si los vrtices consecutivos A y B (Fig. 5.14) se confunden en uno solo, el lado AB se transforma en la tangente /1 a la cnica. El teorema de Pascal sub-siste, asignando a la tangente el nmero del lado al que sustituye.

Por tanto: En el pentgono inscrito, la interseccin de la

tangente en un vrtice con el lado opuesto es coline-al con los de corte de los otros dos pares de lados opuestos.

42

I I

""' __ ..... \ ~V4 ..... , I -/-

,,#V9---/--- --~- .....

- ............................

V2 Fig. 5.I3.-Punto de Brianchon.

I I ,

I , -

..... , v,;:, _---............ --

-_. Q ..... -- ............

, ..... , / .....................

e

Fig. 5.I5.-Teorema de Brianchon aplicado al pentgono circunscrito.

Teorema de Brianchon Las rectas de unin de vrtices opuestos de un

hexgono circunscrito a una cnica (Fig. 5.13) con-curren en un punto (punto de Brianchon).

En efecto, los vrtices opuestos del hexgono son puntos asociados de dos haces de segundo orden a, b, c y a', b', c' y estn alineados con el centro Vo (punto de Biranchon).

Si dos tangentes consecutivas a y b (Fig. 5.15) se confunden en una sola, su punto de corte (vrtice) se confunde con el punto de tangencia de a == b. El teo-rema de Brianchon subsiste, asignando al punto de tangencia el del vrtice al que ~stituye.

Por tanto: En el pentgono circunscrito, la recta de unin

del punto de tangencia de un lado con el vrtice opuesto pasa por la interseccin de las que unen los otros dos pares de vrtices opuestos.


Fig. 5.16. -Aplicacin al cuadriltero inscrito y circunscrito. p

Fig. 5.17. -Aplicacin al tringulo inscrito y circunscrito.

El teorema es aplicable al caso de que el hexgono se convierta en cuadriltero o tringulo, como puede com-probarse en las figuras 5.16 Y 5.17.

'~=Jl ,I=J .... 00

C' r Fig. 5.18. - Construccin de homografas de series superpuestas.

5.9. Construccin de una homografa entre formas superpuestas de primera categora

a) Series A, B, e y A', B', C' (Fig. 5.18). Las series dadas se proyectan sobre una circunfe-

rencia arbitraria, desde un punto V de ella, obtenin-dose dos series homogrficas circulares Al, B I , el y A;, B;, e;. El eje proyectivo ro se determina por las intersecciones M y N de las rectas asociadas AlB;, A;Bl Y Ale;, A;el

b) El homlogo de un punto K se halla proyectn-dolo, desde V, en K l, y trazando la recta A'IKl y su asociada AlR que corta a la circunferencia en K;, proyectado desde V, sobre r, en K'.


Fig. 5.19.-Construccin de homografas de haces concntricos.

a') Haces a, b, e ya', b', e' (Fig. 5.19). Los haces dados determinan sobre una circunfe-

rencia arbitraria que pase por V dos series homogr-ficas circulares A, B, e y A', B', e'. El eje proyecti-vo ro se determina por las intersecciones M y N de las rectas asociadas AB', A'B y Ae', A'c.

b') El homlogo de un rayo m que corta a la cir-cunferencia en M se halla, trazando la recta A'M y su asociada AQ, cuya interseccin con la circunfe-rencia determina el rayo m' .

43


Fig. 5.20. - Construccin de series superpuestas en involucin.

e) Los puntos dobles D == D' Y E == E' son las pro-yecciones desde V, sobre r, de las intersecciones de ro con la circunferencia.

a

Fig. 5.21. - Construccin de haces concntricos en involucin.

e') Las intersecciones D y E del eje proyectivo ro con la circunferencia, determinan los rayos lmites d == d' ye==e'.

d) Los puntos lmites se hallan, como homlogos de los impropios e == J~ de ambas series, como se ha expli-cado en (a).

5.10. Construccin de una involucin entre formas superpuestas de primera categora

a) Series A, B Y A', B' (Fig. 5.20). Las proyecciones de las series dadas sobre una

circunferencia arbitraria, desde un punto V de ella, son las series involutivas circulares Al' BI Y ~ Y B;. El eje proyectivo ro se halla, por las intersecciones N y M de las rectas homlogas AIBI y A; B;, Y de las asociadas AIBI', A.'BI' Y el polo P, por las intersec-ciones de AlA; y BIB;.

Los pares de puntos homlogos Al' ~; B I , B; ... estn alineados con P, lo cual sirve para hallarlos.

Los puntos dobles D == D' Y E == E' son las pro-yecciones desde V, sobre r, de las intersecciones de ro con la circunferencia.

El punto lmite 1 == l' (punto central de la involu-cin) se halla proyectando los impropios I~ == J~ de

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a') Haces a, b ya', b' (Fig. 5.21) Las secciones de los haces dados con una circun-

ferencia arbitraria que pase por V, son las series involutivas circulares A,B y A',B'. El eje proyectivo ro queda definido por las intersecciones de las rectas homlogas AB y A' B', y de las asociadas AB' y A'B, y el polo P, por la interseccin de AA' y BB'.

Los rayos homlogos a y a', b y b' pasan por pun-tos homlogos A y A'; B Y B', alineados por P, lo cual sirve para hallarlos.

Los rayos dobles d == d' Y e == e' pasan por las intersecciones D y E de ro con la circunferencia, y los rayos rectangulares (rayos principales) pasan por los extremos del dimetro QQ' que une O con P.

ambas series en 1; == JI' cuyo homlogo 11 == J;, proyec-tado desde V sobre r, nos da 1 == l' .

6.1. Definiciones y propiedades

a) En una correlacin horno grfica de dos formas planas superpuestas F y F' (Fig. 6.1-a), al punto A de F le corresponde una recta a, y al A' == A de F', otra

(a) (b) (e)

Fig. 6.1. - Correlacin entre formas planas superpuestas.

que a y a' tambin coinciden; es decir, que a todo punto A del plano a (Fig. c) le corresponde una recta a, y a la inversa.

La correlacin involutiva entre dos formas planas superpuestas se llama polaridad plana; al conjunto de ambas formas, sistema polar plano, y al punto y recta que se corresponden, polo y polar. A los puntos A, B, C, ... de la serie de base p (Fig. 6.2) le corresponden (nm. 4.1) las rectas a, b, c, ... del haz de vrtice P, y a la base p, el vrtice P (polo de p). Como se ve en la figura, A pertenece a la polar p de P, y ste pertenece a la polar a de A. De aqu, la definicin:

Dos puntos (rectas) son conjugados si cada uno incide con la polar (polo) del otro. Si P pertenece a su

6. POLARIDAD PLANA

recta a', distinta de la a. Si la correlacin es involuti-va, a y a' tambin coinciden (Fig. b), no siendo nece-sario distinguir si A == N pertenece a F o F', puesto

p

A B e Fig. 6.2. - Formas mutuamente polares.

Fig. 6.3.-Elementos dobles o autoeonjugados.

polar p (Fig. 6.3) sigue siendo conjugado de todos los puntos de p y por lo tanto, de s mismo y lo mismo sucede con la recta p. El elemento (punto y recta) con-jugado de s mismo se llama doble o autoconjugado.

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Fig. 6.4.-lnvolucin de series (haces) en una

polaridad.

q~

Fig. 6.5. - Cnica fundamental de una polaridad.

b) Al punto A de p (Fig. 6.4) le corresponde su polar a que pasa por P y corta a p en Al' y al punto Al de p, la recta al == PA, (puesto que si Al pertenece a p y a, su polar al pasa por los polos P y A de stas) luego A y Al se corresponden doblemente. Por tanto:

La serie rectilnea de base p, no incidente con su polo, y la serie seccin de p en el haz de sus polares son involutivas.

b) El lugar geomtrico de los puntos dobles de una polaridad es una cnica llamada fundamental, doble o directriz del sistema polar.

A p

Si proyectamos la involucin desde P, los haces proyectantes son tambin involutivos.

c) Finalmente los puntos conjugados A y Al de una recta p son conjugados armnicos de los puntos dobles D y E de la involucin de base p (nm. 3.8-b).

6.2. Elementos dobles. Cnica fundamental

a) Si en una polaridad existe un elemento doble o autoconjugado, existen infinitos puntos y rectas dobles (Fig. 6.5).

En efecto, si p es una recta doble o autoconjugada (por contener a su polo P), las polares de los puntos A, B, ... de p son rectas del haz P no autoconjugadas (por no pasar por sus polos A, B, ... ) y como en la serie involutiva que cada una determina, P es un punto doble, habr tambin otro punto doble Q, R, ... (nm. 3.8-a) en cada una. Hay pues tantos puntos dobles como rectas del haz, es decir, infinitos, y lo mismo se demostrara para las rectas dobles.

b') El lugar geomtrico de las rectas dobles de una polaridad es un haz de segunda clase cuya envolvente es la cnica fundamental del sistema polar.

N (a) Punto exterior. (b) Punto interior. (e) Polaridad respecto a una

circunferencia. Fig. 6.6. - Polar de un punto respecto a una cnica.

En efecto, en la involucin de las rectas a, b, c, ... , no puede haber ms de dos puntos dobles, el P y otro situado en cada recta del haz, luego el lugar es una curva, y adems de segundo orden porque una recta no puede cortarla en ms de dos puntos, y lo mismo se demostrara para las rectas dobles. Tambin se demuestra que:

c) Las rectas dobles p, q, r, ... de una polaridad son tangentes a la cnica fundamental, y sus polos P, Q,

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R, ... , sus puntos de tangencia. d) Toda polaridad tiene una cnica fundamental

nica. De aqu, el nombre de polaridad respecto a una cnica. S es una circunferencia, se llama polaridad cclica o circular.

e) En la polaridad sin puntos dobles, cada recta determina una involucin elptica (sin puntos dobles reales). Los puntos dobles y la cnica lugar son imagi-narios.

6.3. Polo y polar respecto a una cnica

a) De lo expuesto se deduce que la polar p de un punto P, exterior, incidente e interior a una cnica (Fig. 6.6), es una recta p, secante, tangente o exterior a la cnica que contiene los puntos conjugados arm-nicos de P, respecto a los corte M y N de las secantes trazadas desde P.

En efecto, en la involucin determinada por una secante a, el punto de corte Al == [a, p] es conjugado de P (nm. 6.1-a), y M Y N son los puntos dobles (nm. 6.2-b), luego Al y P son conjugados armnicos respecto a M y N (nm. 6.1-c). Si P es exterior (Fig. a), la recta al' exterior a la cnica, corta a p en el

6. POLARIDAD PLANA

Fig. 6.7.-EI centro y eje de una involucin dada sobre una cnica son polo y polar, respecto a la cnica.

t

A 0 00

(a) Elipse. (b) Hiprbola. (e) Parbola.

Fig. 6.8. - Polo y polar de elementos impropios.

punto A, conjugado armnico de P, respecto a dos puntos dobles imaginarios (nm. 6.2-e).

En la circunferencia (Fig. 6.6-c), la polar p de un punto P exterior es normal a la recta PO por ser la recta que une los puntos de contacto de las tangentes a la circunferencia, trazadas desde P.

b) Finalmente, aplicando a la polaridad las propie-dades de la involucin, se demuestra que el centro P (polo) y el eje p (Fig. 6.7) de una involucin dada sobre una cnica son

izquierdo asensi - geometria descriptiva superior y aplicada

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