I.S.F.D. Y T. Nº 24

DE QUILMES.

PROFESORADO

EN MATEMÁTICA.

CURSO DE INGRESO.

2016.

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El equipo de profesores y toda la comunidad de la Carrera de Matemática les queremos dar la

bienvenida al Profesorado en Matemática. Entendemos que la elección de inscribirse en nuestra

institución y en esta Carrera, en particular, debe responder a distintas y variadas causas. Es

nuestra intención acompañarlos en esta primera etapa para revisar algunos conceptos matemáticos

que deberían servir de excusa para autoevaluarse y establecer fuertes vínculos, tanto con los

distintos actores institucionales como con los compañeros que compartirán con ustedes este tramo

de la Carrera.

Les deseamos la mayor de las suertes y que este espacio se constituya en un ámbito de reflexión,

de crecimiento personal y grupal y de circulación de información.

Ecuaciones e Inecuaciones en R.

HACIA LA NOCIÓN DE ECUACIÓN…

Un frutero compró 500 kg de naranjas y pudo vender 490 kg pues 10 kg se echaron a perder.

Vendió cada kilogramo a $8 por encima del costo. Averigua cuál fue el costo por kilogramo, sabiendo

que en la operación total ganó $3720.

¿De qué maneras puedes resolver esta situación? ¿Qué pasa si planteamos una ecuación para

resolverla? ¿Cuál será la incógnita?

Discutan en grupos y traten de definir el concepto de ecuación. Luego establezcan qué significa

resolver una ecuación.

Actividad 1.

Juan y María observan la siguiente ecuación: - 3x +4 = 5, tratan de resolverla y sucede lo

siguiente: Juan afirma que la ecuación no tiene solución. En cambio María dice que sí tiene solución.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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Observación.

Es muy importante, a la hora de resolver ecuaciones, establecer el conjunto numérico asociado a

dicha ecuación. En caso de que la ecuación se encuentre contextualizada en una situación particular,

es posible que la o las soluciones obtenidas tengan que adecuarse a la situación.

Actividad 2: Ahora te proponemos hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones en

los conjuntos indicados en cada caso.

a) 5x – 4 = - 3 . (2 – x) en ℕ.

b) -3z – 2 . (2 – z) = -3 en ℤ.

c) 2𝑦−5

2= 3 − 𝑦 en ℝ.

d) (2-q) (3-q) = 6 + q (- 5 + q) en ℝ.

e) −3𝑎−2

−3𝑎=

1

3 en ℕ.

f) 0. 𝑥 = 9 en ℝ.

g) 0. 𝑥 = 0 en ℝ.

h) 1

𝑥=

9

𝑥 en ℝ.

i) 1

𝑥=

0

𝑥 en ℝ.

j) 𝑥2 = 9 en ℤ.

l) 𝑥2 = −9 en ℝ.

m) 𝑥 − √9 = 0 en ℝ.

n) 0, 6̂. 𝑥 = 1 en ℝ.

Actividad 3: Utiliza de ser posible una ecuación para plantear y resolver las siguientes

situaciones. Analiza los resultados obtenidos.

a) ¿Cuál es el número real cuyo doble supera en treinta a su mitad?

b) El precio de un automóvil era de $23500 y con el descuento que me hicieron pagué $22400.

¿Cuál fue el porcentaje de descuento?

c) ¿Existe un número entero cuya mitad sea igual a su tercera parte?

d) ¿Cuál es el número real cuya tercera parte supera a lo sumo en treinta a su mitad?

e) ¿Cuántos números naturales son mayores o iguales a la raíz cuadrada de 144?

HACIA LA NOCIÓN DE INECUACIÓN…

¿Qué sucede con los puntos d) y e) de la actividad anterior? ¿Qué diferencias encuentras con

respecto a lo que venimos trabajando últimamente?

En grupos discutan al respecto y traten de definir este nuevo concepto matemático.

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Actividad 4: Resuelve las siguientes inecuaciones en R. Expresa el conjunto solución por

comprensión e intervalo real. Luego interpreta este resultado en la recta numérica.

a) 7𝑥+1

−2≤ 10

b) - 3 . (2x + 3) – 4x < 31

c) 4 . (x + 3) – 5 ≥ x + 1

d) 1𝑥

< 9

e) 1

−𝑥< 9

f) 1

𝑥−3≥ 1

g) 2𝑥−5

3< 2𝑥 + 5

h) 𝑥 +𝑥+3

4≥

1+5𝑥

2− 0,25

¡¡¡PARA DISTENDERSE UN RATO!!!

(Extraídos del libro Matemática … ¿Estás ahí? de Adrián Paenza).

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Relaciones y Funciones.

HACIA LA NOCIÓN DE FUNCIÓN…

El lenguaje que utiliza la Matemática tiene ciertos aspectos que, para algunas personas, lo hace

difícil e inentendible.

Entre ellos aparecen los signos que representan las operaciones elementales, los símbolos que

representan relaciones (como el igual, menor y mayor) y otros que hace que las afirmaciones que

realicemos tengan sentido y contundencia (como la implicación o el condicional).

A nadie escapa la idea de que, en Matemática, se deben tener en cuenta muchos elementos para

realizar construcciones conceptuales correctas y duraderas.

Un nombre que usamos muy habitualmente es el de función, pero ¿a qué llamamos función? ¿Todos

aludimos al mismo elemento cuando hablamos de la función en Matemática? Puede ser que sí

hablemos del mismo concepto, pero también puede ocurrir que le pongamos ese nombre a otro

objeto que no tenga nada que ver con el que la comunidad matemática ha designado de esa manera.

Para poder hablar de función hay que iniciar la charla hablando de “relación”. En nuestro lenguaje

cotidiano una relación hace referencia a:

1) Dos o más personas conectadas por diferentes situaciones: afectivas, laborales, deportivas,

etc.

2) La relación entre el espacio recorrido y el combustible empleado.

3) Una determinada compra y el pago realizado.

4) Velocidad – Espacio recorrido.

Serían innumerables los ejemplos que nos remiten al término “relación”.

En matemática, específicamente utilizamos este término con el mismo sentido pero con un

lenguaje propio de la ciencia matemática.

Veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1. Si quisiéramos vincular un número con su divisor podríamos enunciar coloquialmente

la relación de la siguiente manera: R1: “es divisor de“ o bien R1: ” x es divisor de y”. Como puede

verse estamos trabajando con dos conjuntos numéricos, por lo cual también tendríamos que pensar

con qué números vamos a trabajar. Es decir si vamos a elegir un conjunto finito de números o uno

infinito. En este caso les proponemos trabajar con el conjunto de los números naturales (ℕ).

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Es tan importante expresar la relación por comprensión (dando la condición que deben

verificar los pares para pertenecer a la relación) como ser precisos con los conjuntos en los que

se define la relación R.

También podemos definir, en ocasiones, una relación R por extensión, es decir nombrando

todos los pares ordenados de elementos que la verifican. En nuestro ejemplo podemos concluir

que R1 está formada por infinitos pares ordenados de números naturales donde la primera

componente de cada par divide exactamente a la segunda.

La relación R1: ℕ → ℕ/ x es divisor de y, es una relación que se define en conjuntos

infinitos, por lo tanto es imposible expresarla por extensión. Podríamos escribir algunos de los

elementos que componen R1, que está compuesto por todos los pares ordenados que cumplen con

la condición correspondiente.

(2,4) ∈ R1 (2;6) ∈ R1 (3;9) ∈ R1 (2;2) ∈ R1 (3;21) ∈ R1

Ejemplo 2. Consideramos ahora la relación R2:”tiene tantas cifras como”, en el conjunto ℤ

(números enteros).

Escribe cinco pares ordenados que pertenezcan a R2, vale decir cinco pares que cumplan con la

condición indicada anteriormente.

…………………………………………………………………………………………

¿Cuántos pares ordenados componen a R2? ¿Por qué?

Evidentemente se necesita llegar a determinados acuerdos para empezar a andar el camino de la

Matemática. Uno de esos acuerdos fundamentales es “llamar a las cosas por su nombre” o más

técnicamente “definir conceptos”.

Para ello vamos a definir “convencionalmente” qué es una función.

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Se llama función a toda aquella relación entre dos conjuntos, dada en un cierto sentido, en la que

todos los elementos del primer conjunto deben estar relacionados con uno y sólo un elemento del

segundo conjunto.

Es decir, dada la relación R: A → B, diremos que es función si cada uno de los elementos

del conjunto de partida A está relacionado (condición de existencia) con uno y sólo uno

(condición de unicidad) de los elementos del conjunto de llegada B.

Esa definición puede sonar muy linda y clara o tal vez no tanto, pero cuando se la empieza a

analizar (o desmenuzar en sus partes esenciales) podemos notar que hay ciertos términos que no

hemos definido y sobre los que nos deberemos poner de acuerdo para seguir hablando “en el mismo

idioma” (acá se nos aparece la idea de que la Matemática tiene un lenguaje propio al que hay que ir

asimilando de a poco e incorporarlo a nuestro uso cotidiano).

¿Qué se nos representa cuando hablamos de “relación”, “conjunto”, “todos”, “uno y sólo uno”? Es

muy importante establecer acuerdos para que cuando queramos emitir un mensaje quienes lo

reciban lo entiendan (eso significaría que manejamos el mismo tipo de lenguaje, que nos expresamos

con los mismos códigos). Otros nombres no aparecen de manera explícita, pero quedan dando

“vueltas por ahí”. El concepto de función viene inevitablemente ligado al concepto de variable. En el

caso de la función intervienen dos tipos de variables: las independientes y las dependientes. Las

variables independientes forman parte del primer conjunto (a veces conocido también con otro

nombre, ¿cuál?) y las dependientes pertenecen al segundo conjunto (también conocidas de otra

manera, ¿cómo?).

Ahora pensemos un poco: ¿Toda relación es función? ¿O pueden existir relaciones que no

cumplan necesariamente con las condiciones establecidas anteriormente?

Durante este curso de ingreso trabajaremos con relaciones binarias. Tal y como definimos

anteriormente, una relación binaria permite vincular elementos de dos conjuntos, no

necesariamente diferentes. Este vínculo se da a través de una propiedad relativa que condiciona a

los elementos de ambos conjuntos.

Para poder definir y representar una relación binaria utilizaremos diversos marcos y registros,

según corresponda: lenguaje coloquial, diagramas de Venn, gráfico cartesiano, por comprensión y

por extensión.

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Veamos un tercer ejemplo.

Ejemplo 3.Vamos a trabajar con dos conjuntos numéricos: A={0,1,2,3,4,5} y B={2,4,6,8,10}. Ahora

vamos a vincular los elementos de ambos conjuntos a través de la relación “… es la mitad de…” Al

conjunto A lo denominaremos “conjunto de partida “, y al conjunto B “conjunto de llegada”. R3 es el

conjunto de todos los pares ordenados (x; y) que cumplen con la condición: “x es la mitad de y”.

Actividad Nº1: Completa el Diagrama de Venn y representa la relación r3. Luego representa

R3 en un gráfico cartesiano.

A B

R3 : A→B/ x es la mitad de y

R3 ={( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; ), ( ; )}

Si tuviésemos que buscar una expresión matemática para R3, podríamos pensar una ecuación que

vincule los elementos del conjunto A con los del conjunto B. Como los elementos de A se denotan

con la letra “x” y los de B con la letra “y”, podríamos escribirla de la siguiente manera:

R3: 𝑥 =y

2 o también R3: 𝑦 = 2𝑥 en donde x∈A e y∈B

Es decir: R3 = { (x;y)∈AxB /x = 𝟏

𝟐y }

Ahora pensemos un poco: La tres relaciones definidas en los tres Ejemplos anteriores, ¿Son

funciones? ¿Por qué? De serlo propone un ejemplo de una relación que no sea función. De no serlo

propone un ejemplo que sí sea función.

Ahora que nos pusimos de acuerdo a qué objeto vamos a llamar función, podríamos presentar

algunos ejemplos.

Para ello deberíamos pensar en las distintas formas en que se puede expresar una función

matemática. Esas distintas formas podrían ejemplificarse desde distintos lenguajes: coloquial,

simbólico, gráfico, etc.

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Actividad 2: Propone, al menos tres ejemplos de una relación que sea función en cada uno de

los diferentes lenguajes. En cada uno de los ejemplos identifica la variable independiente y la

variable dependiente.

También propone, al menos tres ejemplos de una relación que no sea función.

¡PARA TENER EN CUENTA!

El dominio de una relación R: A→B está compuesto por la totalidad de elementos del conjunto

de partida A que admiten imagen en el conjunto de llegada B. Es decir, el dominio es un conjunto de

elementos de A que tienen vínculo en B.

La imagen de una relación R: A→B está compuesta por la totalidad de elementos del conjunto

de llegada B que admite preimagen o antecedente en el conjunto de partida A. Es decir, la imagen

es un conjunto de elementos de B vinculados con A.

Actividad 3: Observa las siguientes gráficas y decide si las relaciones representadas R: ℝ →

ℝ son funciones o no. Justifica todas tus respuestas.

Actividad 4. Escribe un dominio y una imagen adecuados para que las siguientes relaciones

sean funciones.

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Actividad 5: Decidir argumentando, cuáles de las siguientes relaciones son o no funciones.

Indicar posibles conjuntos de partida o llegada.

a) R1: ”es múltiplo de”

b) R2: ”su número de DNI es”

c) R3: ”es el triple de”

d) R4: ”es el número inmediato anterior a”

e) R5: ”es hermana/o de”

f) R6: ”tiene la misma latitud que”

g) R7: ”es mayor o igual a”

h) R8: ”su cuadrado es”

i) R9: ”la palabra roca tiene tantas letras

como”

j) R10: ”es el doble de”

k) R11 = {(𝑎, 4); (𝑏, 6)} y R11:{𝑎, 𝑏} → {1,2,3}

l) R12 = {(1, 𝑎); (1, 𝑐); (2, 𝑎); (3, 𝑏)}

m) R13 = {(𝑏, 4); (𝑐, 3)} y R14: {𝑎, 𝑏, 𝑐} → {1,2,3,4}

Actividad 6: Siendo A = {x/x∈ ℤ ∧ 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟}, B = {y/y∈ℕ ∧ 𝑦 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟} y R = {(x ; y)/ x es el

opuesto de y}. ¿Es R: A→B una función? ¿Por qué?

Actividad 7: Sea R una relación binaria sobre el conjunto de todos los enteros positivos, tal

que: R = {(a, b) / a - b es un entero positivo impar}. ¿Es R función? ¿Por qué?

Actividad 8: Representa en un gráfico cartesiano las siguientes relaciones. Luego determina

cuáles son funciones y cuáles no.

a) R1: ℝ ℝ / f(x) = -5 x b) R2: ℤpares ℤ / g(x) =-3x+2

c) R3: ℕ ℕ / h(x) = 2 x – 3 d) R4: ℝ ℝ / i (x) = −1

𝑥

Actividad 9: Explica las razones por las cuales las siguientes relaciones no son funciones:

a. 𝑅1: ℝ → ℝ definida por 𝑦 = √𝑥

b. 𝑅2: [0 , +∞) → ℤ definida por 𝑦 = √𝑥

c. 𝑅3: ℕ → ℚ definida por 𝑦 = √𝑥

Actividad 10: Grafica las siguientes funciones ¿Son iguales? justifica tu respuesta

𝐹1: ℝ → ℝ / 𝐹1 = 7 𝐹2: ℕ → ℝ / 𝐹2 = 7 𝐹5: [−2 , 3] → ℝ / 𝐹5 = 7

𝐹3: ℝ − {3} → ℝ / 𝐹3 = 7 𝐹4: ℤ → ℝ / 𝐹4 = 7

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Actividad 11: Sean 𝐴 = {1,2,3} 𝑦 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}; 𝑅: 𝐴 → 𝐵 ,si 𝑅(1) = 𝑏 𝑦 𝑅(3) = 𝑎 . Completar R

de todas las maneras posibles para que sea función.

Actividad 12: ¿Cuál es el dominio de las siguientes funciones?

a) Precio de un paquete de galletitas según el peso.

b) Cantidad de harina necesaria para una receta.

c) Variación de la temperatura en una ciudad durante las horas de un día.

Actividad 13: Dados los conjuntos 𝐴 = {2,3,4,5} , 𝐵 = {3,4,5} 𝑦 𝑟: 𝐴 → 𝐵 ; los pares de (𝑎, 𝑏) ∈

𝑅 ↔ 𝑎 𝑦 𝑏 , son números coprimos. Dar R por extensión y decidir si es o no función y porqué.

Actividad 14: Dado el conjunto 𝑀 = {−2, −1,0,1,2} 𝑦 𝑟: 𝑀 → 𝑀 ; los pares (𝑚, 𝑡) ∈ 𝑟 ↔ 𝑚 −

𝑡 = 0. Dar R por extensión y decidir si es o no función y porqué.

Actividad 15: Mensajes secretos.

Legrand, el protagonista de “el escarabajo de oro” de Edgar Allan Poe, encuentra en la playa un

pergamino con números y símbolos. Sospecha que puede contener las instrucciones para encontrar

un tesoro e intenta descifrarlo.

Legrand comienza por contar cuántas veces aparece cada símbolo. El que más se repite es un

número: el ocho. La letra más frecuente en inglés es la “e”. Sospecha entonces, que ese ocho debe

representar la letra “e” Confirma la sospecha el hecho de que el par 88 aparezca varias veces en

el mensaje y que la letra “e” se duplica muchas veces en inglés (speed, feed, agree,…) Luego

analiza la distribución de los símbolos, localiza la palabra the (la más frecuente en inglés) y paso a

paso termina por descifrar todo el mensaje... ¿encuentra el tesoro? Para saberlo habrá que leer

“El escarabajo de oro”.

Lo que hizo Legrand para descifrar el mensaje fue asignar a cada símbolo una letra. Por un lado

armó un conjunto de símbolos, por otro un conjunto de letras. Si unimos cada símbolo con la letra

correspondiente, vemos que a cada símbolo le corresponde una y sólo una letra. Matemáticamente

decimos que entre ambos conjuntos se ha establecido una función. Como dijimos anteriormente,

una función es una relación entre dos conjuntos de modo tal que a cada elemento del primer

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conjunto, o conjunto de partida, le corresponde uno y sólo uno del segundo conjunto, o conjunto

de llegada.

Se pueden idear infinidad de claves secretas, otra muy conocida es la llamada “clave de

desplazamiento” o clave cesarea, porque fue usada por Julio César y consiste en reemplazar

cada letra del mensaje por la que le sigue en el abecedario (o la que le sigue en una cantidad

determinada de posiciones, volviendo a empezar cuando el corrimiento no es posible por agotarse

el abecedario).

¿La clave cesarea es una función?

Si reemplazamos cada letra por la que se encuentra dos posiciones más allá. ¿Cómo

queda escrito tu nombre?

El método de desplazamiento se puede perfeccionar recurriendo a un número secreto. Por

ejemplo 4356. Este número indica que la primera letra del mensaje se reemplaza por la que está

cuatro lugares más allá en el abecedario, la segunda por la que está tres lugares, la tercera por la

que está a cinco lugares y la cuarta por el que está a seis. A partir de la quinta letra se repite el

ciclo.

FXJS GRQÑIPEU!!!!!

En alguna de las claves estudiadas a cada símbolo le corresponde una sola letra y

recíprocamente, a cada letra un solo símbolo. Cuando eso ocurre decimos que se trata de una

función biyectiva.

La clave desplazamiento con un número secreto, como la última que trabajamos ¿es

una función biyectiva?

Escribí la palabra “mono” con el número secreto 4152.

Actividad 16: Dadas las funciones f(x) = 3x - 2, g(x) = - 3x2 + 4 y h(x) = 8, representa

gráficamente las tres en un mismo par de ejes cartesiano. Luego, encuentra analíticamente, si es

que existen, las intersecciones entre las gráficas de:

a) f y g b) f y h c) g y h d) f,g y h.

¿Cómo caracterizarías el resultado de cada una de las intersecciones anteriores?

Razones Trigonométricas.

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Antes de adentrarnos al universo trigonométrico te proponemos realizar las actividades 1 y 2,

que aparecen a continuación.

Actividad 1: El siguiente esquema muestra las figuras numeradas del 1 al 6 que conforman un

rompecabezas. También, como puede observarse, aparecen las medidas correspondientes.

a) Si se desea construir otro rompecabezas que mantenga las mismas formas pero de manera tal

que lo que en el actual mide 4 cm pase a medir 7 cm. ¿Cuánto medirán cada una de las restantes

piezas?

Explica qué procedimiento de resolución utilizaste y arguméntalo matemáticamente.

b) Si ahora se pretende construir otro modelo más pequeño que continúe manteniendo las mismas

formas, en donde lo que en el diagrama mide 5 cm pase a medir 3 cm. ¿Cuánto medirán cada una de

las piezas?

Utiliza un procedimiento distinto al utilizado en el ítem anterior. Arguméntalo matemáticamente.

Actividad 12: Véase ANEXO: RÍDICULAMENTE BARBI. Ahora pensemos un poquito lo

siguiente...

La altura de la muñeca Barbie es 292 mm, supongamos que representa a una “mujer Barbie” de

1,75 m de altura…

Si el largo del cuello de la muñeca Barbie es 3,5 cm ¿cuál es el largo del cuello de la “mujer

Barbie”?

Las medidas de la “muñeca- Barbie” son 15cm-7.6 cm-14cm (busto-cintura-cadera) ¿Qué

medidas tendrá la “mujer Barbie”?

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Si quisiéramos construir una muñeca que represente a una mujer 90cm-60 cm-90cm ¿Qué

medidas debería tener?

Cuál es la razón cintura- cadera en Barbie y cuál en una mujer que tiene 70 cm de cintura y

100 cm de cadera? ¿Qué ocurre cuándo esta relación se aproxima más a 1?

Los tobillos de la muñeca Barbie miden aproximadamente 2,5 cm ¿Cuánto medirán los tobillos

de la mujer Barbie?

En el promedio de las mujeres el largo de las piernas superan en un 20% al largo de los

brazos. Si en una mujer promedio el largo de sus piernas es de 90cm ¿Cuánto medirán

aproximadamente sus brazos?

En Barbie la proporción es diferente. Las piernas son un 50 % más largas que los brazos. Con

estas proporciones ¿Cuánto medirían las piernas de una mujer cuyos brazos miden 70 cm?

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(Extraído del libro: Matemática 3/9 de Kapelusz, año 2011).

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Lee las siguientes situaciones problemáticas, realiza una figura de

análisis, plantéala y resuélvela utilizando razones trigonométricas y /o

teorema de Pitágoras.

a) Desde la terraza de un edificio se observa, con un ángulo de depresión de 15º, un automóvil que se

encuentra a 200 m. del pie del edificio. ¿A qué altura se encuentra la terraza?

b) La diagonal de un rectángulo forma, con la base de 8 cm., un ángulo de 38º. ¿Cuál es la longitud de la

diagonal?

c) Se sube la cuesta de una montaña que tiene una inclinación constante marcada por un ángulo de 23º. Si se

recorren 500m. por la cuesta, ¿a qué atura de la montaña se llega?

d) Una escalera de 15,8 m. está apoyada en un poste a una altura de 13,2 m. ¿Cuál es la amplitud del ángulo

que se forma con la escalera y el poste?

e) Se coloca un tablón de 4,25 m. para subir con una carretilla hasta un volquete. Si el tablón se apoyó en el

piso a una distancia de 3,25 m. del volquete, ¿cuál es la amplitud del ángulo que marca la inclinación del tablón?

f) Una escalera tiene dos hojas y cada una de ellas mide 8,5 m. Si se abre para alcanzar una altura de 7,2 m.

¿cuál es el ángulo de abertura de la escalera?

g) Un poste de 22,5 m. tiene dos tensores iguales, uno a cada lado, que lo sostienen desde su extremo más

alto. Si cada tensor está a 7,8 m. de su pie: ¿Cuál es el ángulo que forman los tensores? ¿Cuál es la amplitud de

ambos tensores?

h) Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles mide 8 cm. Y cada uno de sus ángulos congruentes

tiene una amplitud de 72º. ¿Cuál es el perímetro del triángulo?

¡¡¡A Recordar!!!

SOH CAH TOA

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