introducciÓn general del Área para el...

Contrato Interadministrativo 0803 de 2016 Mallas de aprendizaje, Matemáticas, Grado Segundo. Versión Preliminar

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INTRODUCCIÓN GENERAL DEL ÁREA PARA EL GRADO (Saber ser, saber hacer, saber conocer)

En las mallas de aprendizaje se pretende ofrecer orientaciones para esbozar caminos posibles para el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes en el área de matemáticas. Esta propuesta se fundamenta en los Derechos Básicos de Aprendizaje, a su vez, retoma la propuesta de los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, a partir de estos documentos subyace una visión de las matemáticas como creación humana y como disciplina en desarrollo y en constante cambio. En consecuencia con ello, se espera consolidar ideas para el acompañamiento a los profesores, en este caso de grado segundo; con la intención que se propenda por el desarrollo de dimensiones como el saber SER, el saber HACER, y el saber CONOCER, pues no se trata de la implementación aislada de conceptos, sino de apostarle al desarrollo integral de los estudiantes, al reconocer que las matemáticas forman parte del sistema de valores compartidos y tienen fundamentos éticos para constituirse en una práctica social. Para que los estudiantes alcancen el reconocimiento del entorno y el inicio de la formalización del lenguaje propio de las matemáticas se requiere que ellos se involucren en experiencias en las que indaguen por las características de los objetos y el rol que estos desempeñan en el lugar en que se encuentran. En ese sentido, los ambientes de clase deben propiciar la interacción, la experimentación, la manipulación de los objetos, el reconocimiento, la comparación de cantidades y de atributos. En coherencia con los planteamientos en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas (MEN, 2006), y los aprendizajes fundamentales descritos en los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2016) se enfatiza en que la formulación y resolución de problemas es el proceso a través del cual se dinamizan otros procesos, la actividad matemática misma y, por tanto, los aprendizajes de los estudiantes. La noción de ser matemáticamente competente sugiere ambientes de aprendizaje a través de la formulación y resolución de problemas que propicien la construcción progresiva y cíclica de niveles de conceptualización y construcción del conocimiento matemático de los estudiantes, para ello se requiere que los profesores propongan diversidad de situaciones, con diferentes grados de complejidad, de tal manera que se movilicen procesos que involucran las actividades que conforman el ciclo de resolución de problemas. En grado segundo, la actividad matemática favorece el desarrollo de herramientas y destrezas, aplicadas en contextos diversos y que posibilitan interactuar con el mundo. De manera particular, se enfatiza en el valor posicional y las relaciones numéricas en la adición y la sustracción. Los estudiantes comprenden la multiplicación, miden magnitudes con diferentes instrumentos y unidades no convencionales, además de clasificar las formas y los elementos que conforman figuras. De igual modo, se pretende en este grado que ellos puedan describir patrones y relaciones numéricas; explicar situaciones sencillas de cambio, recoger, organizar, analizar y representar conjuntos de datos; buscar estrategias para resolver problemas y hacer cálculos a través de algoritmos no convencionales basados en procesos de estimación, descomposición, completación y aproximación a cantidades conocidas. En este sentido el estudiante debe describir y representar con lenguaje matemático situaciones del contexto asociadas con los números, las magnitudes, los conjuntos de datos, las relaciones entre las formas y entre las líneas, la toma de decisiones, la estimación de cantidades y explicar soluciones y procedimientos utilizados. Numérico-Variacional: Identificar, plantear y resolver problemas que requieran el uso de los números, sus propiedades, la descomposición, y la transformación; y que permitan establecer relaciones entre ellos, además usar los números para describir situaciones que involucren magnitudes. Métrico espacial: Resolver, explicar y representar situaciones relativas a longitud, superficie, duración de eventos, relaciones entre formas bidimensionales y tridimensionales, a través de desplazamientos y en procesos de comparación y de medición con instrumentos y unidades no convencionales


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Aleatorio: Resolver problemas relacionados con su entorno que requieran de la recolección y organización de datos, los representa en tablas de conteo, pictogramas con escala y gráficos de puntos; y comunica de forma oral y escrita los resultados que dan respuesta a la pregunta planteada. Las situaciones cotidianas pueden involucrar la incertidumbre y el azar. En esta malla se retoman los enunciados y evidencias de la segunda versión de los Derechos Básicos de Aprendizaje. Se agrupan por tipos de pensamiento, a saber: Numérico - Variacional, Métrico- Espacial y Aleatorio, además una red conceptual que permite visibilizar algunas de las relaciones entre los saberes estructurantes, los DBA y los procesos generales. Otro componente de las mallas, son las consideraciones didácticas, como posibles caminos de diseño curricular, algunas claridades sobre los tópicos y las acciones sugeridas para abordar los aspectos mencionados, con el propósito de lograr consistencia, coherencia y pertinencia de las propuestas curriculares del MEN para el área de matemáticas. Los aprendizajes esperados en el estudiante al finalizar el grado se consolidan en la siguiente red conceptual:


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Matriz de aprendizajes estructurantes

Factor DBA Grado 1 Grado 2 Grado 3

Pensamiento numérico

1 Identifica los usos de los números (como código, cardinal, medida, ordinal) y las operaciones (suma y resta) en contextos de juego, familiares, económicos, entre otros.

Interpreta, propone y resuelve problemas aditivos (de composición, transformación y relación) que involucren la cantidad en una colección y la medida de magnitudes (longitud, peso, capacidad y duración de eventos) y problemas multiplicativos sencillos.

Interpreta, formula y resuelve problemas aditivos de composición, transformación y comparación en diferentes contextos y multiplicativos, directos e inversos, en diferentes contextos.

2 Utiliza diferentes estrategias para contar, realizar operaciones (suma y resta) y resolver problemas aditivos.

Utiliza diferentes estrategias para calcular (agrupar, representar elementos en colecciones, etc.) o estimar el resultado de una suma, resta, multiplicación o reparto equitativo.

Propone, desarrolla y justifica estrategias para hacer estimaciones y cálculos con operaciones básicas en la solución de problemas.

3 Utiliza las características posicionales del sistema de numeración decimal (SND) para establecer relaciones entre cantidades y comparar números.

Utiliza el Sistema de Numeración Decimal para comparar, ordenar y establecer diferentes relaciones entre dos o más secuencias de números con ayuda de diferentes recursos.

Establece comparaciones entre cantidades y expresiones que involucran operaciones y relaciones aditivas y multiplicativas y sus representaciones numéricas.

Pensamiento métrico

4 Reconoce y compara atributos que pueden ser medidos en objetos y eventos (longitud, duración, rapidez, masa, peso, capacidad, cantidad de elementos de una colección, entre otros).

Compara y explica características que se pueden medir, en el proceso de resolución de problemas relativos a longitud, superficie, velocidad, peso, duración de los eventos, entre otros.

Describe y argumenta posibles relaciones entre los valores del área y el perímetro de figuras planas (especialmente cuadriláteros).

5 Realiza medición de longitudes, capacidades, peso, masa, entre otros, para ello utiliza instrumentos y unidades no estandarizadas y estandarizadas.

Utiliza patrones, unidades e instrumentos convencionales y no convencionales en procesos de medición, cálculo y estimación de magnitudes como longitud, peso, capacidad y tiempo.

Realiza estimaciones y mediciones de volumen, capacidad, longitud, área, peso de objetos o la duración de eventos como parte del proceso para resolver diferentes problemas.


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Pensamiento espacial

6 Compara objetos del entorno y establece semejanzas y diferencias empleando características geométricas de las formas bidimensionales y tridimensionales (Curvo o recto, abierto o cerrado, plano o sólido, número de lados, número de caras, entre otros.)

Clasifica, describe y representa objetos del entorno a partir de sus propiedades geométricas para establecer relaciones entre las formas bidimensionales y tridimensionales.

Describe y representa formas bidimensionales y tridimensionales de acuerdo con las propiedades geométricas.

7 Describe y representa trayectorias y posiciones de objetos y personas para orientar a otros o a sí mismo en el espacio circundante.

Describe desplazamientos y referencia la posición de un objeto mediante nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en la solución de problemas.

Formula y resuelve problemas que se relacionan con la posición, la dirección y el movimiento de objetos en el entorno.

Pensamiento variacional

8 Describe cualitativamente situaciones para identificar el cambio y la variación usando gestos, dibujos, diagramas, medios gráficos y simbólicos.

Propone e identifica patrones y utiliza propiedades de los números y de las operaciones para calcular valores desconocidos en expresiones aritméticas.

Describe y representa los aspectos que cambian y permanecen constantes en secuencias y en otras situaciones de variación.

9 Reconoce el signo igual como una equivalencia entre expresiones con sumas y restas

Opera sobre secuencias numéricas para encontrar números u operaciones faltantes y utiliza las propiedades de las operaciones en contextos escolares o extraescolares.

Argumenta sobre situaciones numéricas, geométricas y enunciados verbales en los que aparecen datos desconocidos para definir sus posibles valores según el contexto.

Pensamiento aleatorio

10 Clasifica y organiza datos, los representa utilizando

tablas de conteo y pictogramas sin escalas, y comunica

los resultados obtenidos para responder preguntas

sencillas.

Clasifica y organiza datos, los representa utilizando

tablas de conteo, pictogramas con escalas y gráficos de

puntos, comunica los resultados obtenidos para

responder preguntas sencillas.

Lee e interpreta información contenida en tablas de frecuencia, gráficos de barras y/o pictogramas con escala, para formular y resolver preguntas de situaciones de su entorno.

11 Explica, a partir de la experiencia, la posibilidad de ocurrencia o no de un evento cotidiano y el resultado lo utiliza para predecir la ocurrencia de otros eventos.

Plantea y resuelve preguntas sobre la posibilidad de ocurrencia de situaciones aleatorias cotidianas y cuantifica la posibilidad de ocurrencia de eventos


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simples en una escala cualitativa (mayor, menor, igual).

NUMÉRICO - VARIACIONAL

APRENDIZAJES EVIDENCIAS

1. Interpreta, propone y resuelve problemas aditivos (de composición, transformación y relación) y que involucren la cantidad en una colección y la medida de magnitudes (longitud, peso, capacidad, duración de eventos) y problemas de factor multiplicativo y de razón unitaria.

Interpreta y construye diagramas y representaciones pictóricas para representar relaciones aditivas y multiplicativas entre cantidades que se presentan en una situación o fenómeno.

Describe y resuelve situaciones variadas y las relaciones con las operaciones de suma y resta en problemas cuya estructura puede ser a + b =?, a +? = c o ? + b = c.

Describe y resuelve situaciones variadas y las relaciones con las operaciones de multiplicación y división en problemas cuya estructura puede ser a x b =?, a x ? = c o? x b = c.

Reconoce en diferentes situaciones relaciones aditivas y multiplicativas y formula problemas a partir de ellas.

2. Utiliza diferentes estrategias para calcular (agrupar, representar elementos en colecciones, etc.) o estimar el resultado de una suma, resta, multiplicación o reparto equitativo.

Construye representaciones pictóricas y establece relaciones entre las cantidades involucradas en diferentes fenómenos o situaciones.

Usa algoritmos no convencionales para calcular o estimar el resultado de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre números naturales en contextos de situaciones problemáticas.

Justifica el funcionamiento de algunos algoritmos y estrategias propuestas.

3. Utiliza el Sistema de Numeración Decimal para comparar, ordenar y establecer diferentes relaciones entre dos o más secuencias de números con ayuda de diferentes recursos.

Compara y ordena números de menor a mayor y viceversa a través de recursos como la calculadora, Applet, material gráfico que represente billetes, diagramas de colecciones, etc.

Propone ejemplos y comunica de forma oral y escrita las condiciones que puede establecer para conservar una relación (mayor que, menor que) cuando se aplican algunas operaciones a ellos.

Reconoce y genera comparaciones (de orden y de equivalencias) entre expresiones numéricas y describe el tipo de operaciones que


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deben realizarse para que a pesar de cambiar los valores numéricos, la relación se conserve.

Propone equivalencias en las expresiones a x b = c, b = c/a, a=c/b.

4. Propone e identifica patrones y utiliza propiedades de los números y de las operaciones para calcular valores desconocidos en expresiones aritméticas.

Establece relaciones de reversibilidad entre la suma y la resta.

Utiliza diferentes procedimientos para calcular un valor desconocido.

5. Utiliza las propiedades de las operaciones para encontrar los términos faltantes en secuencias numéricas.

Utiliza las propiedades de las operaciones para encontrar números desconocidos en igualdades.

Utiliza las propiedades de las operaciones para encontrar operaciones faltantes en un proceso de cálculo numérico

Reconoce que un número puede escribirse como el resultado de diferentes operaciones entre otros números

Utiliza las propiedades de las operaciones para encontrar números u operaciones desconocidas en una secuencia o en una o varias igualdades.

MÉTRICO - ESPACIAL


6. Compara y explica características que se pueden medir, en el proceso de resolución de problemas relativos a longitud, superficie, velocidad, peso, duración de los eventos, entre otros.

Utiliza unidades de medición apropiadas para medir magnitudes diferentes.

Describe los procedimientos necesarios para medir longitudes, superficies, capacidades, pesos de los objetos y la duración de los eventos.

Mide magnitudes con unidades arbitrarias y estandarizadas.

Estima la medida de diferentes magnitudes en situaciones prácticas.

7. Utiliza patrones, unidades e instrumentos estandarizados y no estandarizados en procesos de medición, cálculo y estimación de magnitudes como longitud, peso, capacidad y tiempo.

Describe objetos y eventos de acuerdo con atributos medibles: superficie, duración de los eventos, longitud, peso, ángulos.

Realiza mediciones con instrumentos y unidades no estandarizados, como pasos, cuadrados o rectángulos, cuartas, metros y otros instrumentos para medir la longitud.

Compara eventos según su duración y utiliza relojes convencionales.

8. Clasifica, describe y representa objetos del entorno a Reconoce las figuras geométricas según el número de lados.


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partir de sus propiedades geométricas para establecer relaciones entre las formas bidimensionales y tridimensionales

Diferencia los cuerpos geométricos.

Compara figuras y cuerpos geométricos y establece relaciones y diferencias entre ambos.

9. Describe los desplazamientos y referencia la posición de un objeto utilizando nociones de horizontalidad, verticalidad, paralelismo y perpendicularidad en la solución de problemas relativos a la ubicación en el espacio.

Describe desplazamientos a partir de las posiciones de las líneas.

Representa líneas y reconoce las diferentes posiciones y la relación entre ellas.

En dibujos, objetos o espacios reales, identifica posiciones de objetos, de aristas o líneas que son paralelas, verticales, o perpendiculares.

Argumenta las diferencias entre las posiciones de las líneas.

ALEATORIO


10. Clasifica y organiza datos, los representa utilizando tablas de conteo, pictogramas con escalas y gráficos de puntos, comunica los resultados obtenidos para responder preguntas sencillas.

Identifica la equivalencia de fichas u objetos con el valor de la variable.

Organiza los datos en tablas de conteo y en pictogramas con escala (uno a muchos).

Lee la información presentada en tablas de conteo, pictogramas con escala y gráficos de puntos.

Comunica los resultados respondiendo preguntas tales como: ¿cuántos hay en total?, ¿cuántos hay de cada dato?, ¿cuál es el dato que más se repite?, ¿cuál es el dato que menos se repite?

11. Explica, a partir de la experiencia, la posibilidad de ocurrencia o no de un evento cotidiano y el resultado lo utiliza para predecir la ocurrencia de otros eventos.

Diferencia entre situaciones cotidianas cuyo resultado puede ser incierto de aquellas cuyo resultado es conocido o seguro.

Identifica resultados posibles o imposibles, según corresponda, en una situación cotidiana.

Predice la ocurrencia o no de eventos cotidianos basado en sus observaciones.


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CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

Sobre el Pensamiento Numérico y Variacional: Dado que los estudiantes inician el grado segundo con una primeras comprensiones del sistema numérico de los números naturales, se espera que en este grado los maestros propongan actividades para promover el uso de los números y de métodos cuantitativos en situaciones más complejas, donde la suma y la resta (trabajadas sin importar el rango numérico) se asuman como operaciones inversas para hacer cuentas (cuando se compra, no se resta, sino que se suma para determinar el monto exacto del vuelto). Los conocimientos numéricos se pueden usar para describir cantidades en el entorno, igualmente se usan los conocimientos numéricos para avanzar hacia la multiplicación. Se proponen actividades para que los estudiantes describan su entorno en términos de cantidades. El estudiante sabe qué mil pesos se pueden obtener con cinco monedas de doscientos pesos, así que se le puede preguntar sobre el número de monedas para obtener dos mil pesos, o tres mil doscientos pesos; igualmente se le puede pedir que estime la estatura de sus padres o de los compañeros, o de una cerca. Se le pueden proponer situaciones para que ‘adivine’ un número que cumple una condición, de tal suerte que el estudiante proponga números y explore la variación en rangos numéricos entre uno y cincuenta. tabla Con el propósito de avanzar en la comprensión de la multiplicación es necesario que los estudiantes se enfrenten a situaciones en las que aparezcan problemas denominados de isomorfismo de medidas, es decir, problemas en los cuales se hacen explícitas las relaciones entre dos magnitudes diferentes que varían de forma simultánea, así es posible introducir al estudiante al estudio de la proporcionalidad directa con actividades sencillas, por ejemplo, si un paquete de galletas contiene 6 unidades, es posible generar preguntas como: ¿Cuántas unidades contiene 8 paquetes de galletas? o también ¿Cuántos paquetes podrían conformarse con 48 galletas? Para dar respuesta a esta clase de preguntas es importante la elaboración de tablas en las que se registre la cantidad de galletas requeridas para 1, 2, 3, 4, 5 paquetes, etc., de manera que se avance en los procesos de hallar regularidades en términos de cómo varían diferentes cantidades. Estos cálculos se puede llevar a cabo a través de conteos (de dos en dos, tres en tres, etc.), sin embargo, a medida que se gana experiencia se deben promover discusiones para que el estudiante trascienda este tipo de conteos y proponga estrategias (no necesariamente algoritmos convencionales) para simplificar los procesos requeridos en la realización de diferentes cálculos. En la medida en que los estudiantes elaboren estrategias diferentes al conteo surge la necesidad de realizar sumas repetidas para dar cuenta del resultado de las multiplicaciones, en este caso, el maestro debe tener cuidado de no permitir que los estudiantes desarrollen ésta como la única manera de realizar la multiplicación. A partir de situaciones como la anterior se busca que los estudiantes no sólo establezcan las relaciones por la vía de la multiplicación sino también mediante la operación inversa (repartos equitativos). Para ello, es importante cambiar la cantidad por la cual se pregunta en el mismo contexto y propiciar la construcción y el análisis de tablas de registro. Se puede preguntar, por ejemplo, ¿Cuántos paquetes de galletas puedo empacar si tengo 24 unidades y quiero que haya 6 en cada paquete? o ¿Cuántas galletas debo empacar en cada paquete si quiero obtener 3 paquetes? No es necesario comenzar por presentar a los estudiantes el algoritmo convencional de la división sino poner el énfasis en la necesidad de hacer diferentes repartos o agrupaciones que no tienen que ser exactas ni de cantidades “grandes” entre cantidades “pequeñas” únicamente, como es el caso de repartir 2 galletas entre cuatro estudiantes o 15 pesos entre cuatro estudiantes. Adicional a las ideas anteriores, es importante que los estudiantes relacionen unidades del sistema de numeración decimal para el cálculo mental y escrito, y en este sentido, realicen procedimientos para multiplicar que no dependan de las sumas repetidas ni del conocimiento memorístico de las tablas de multiplicar. Por ejemplo, para realizar 15 x 4 se puede hacer como 15 x 2 = 30 y 30 x 2 = 60. También puede hacer 10 x 4 = 40, 5 x 4 = 20 y 40 + 20 = 60, esto da cuenta de procesos en los que pueden realizarse descomposiciones en dieces y unidades. Para favorecer otras maneras de


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multiplicar, el juego del parqués con unas pequeñas variaciones puede convertirse en una alternativa. Por ejemplo, asumir que cada punto de los dados le permitirá al estudiante mover la ficha cierta cantidad de casillas y realizar conteos de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, entre otros. Este tipo de situaciones sirven como insumo para desarrollar relaciones de doble, triple, cuádruple, mitad, tercera parte, cuarta parte, que pueden trabajarse de manera articulada a diferentes situaciones propuestas en clase. Otro aspecto que debe llamar la atención en este grado por parte del maestro, es la posibilidad de introducir en el aula situaciones de variación en las que se involucren cantidades negativas, al respecto, debe aclararse que esto no significa introducir el conjunto de los números enteros en sí mismo, sino generar actividades que promuevan en los estudiantes identificar que hay cantidades positivas y negativas, y también la noción de numerosidad que hay implícitamente en ello. En esta dirección, muchas actividades pueden apoyar el trabajo con este tipo de cantidades, entre ellas, el juego con bolos en los cuales, uno de ellos representan dan puntos (cantidades positivas) y otros quitan puntos (cantidades negativas). Este tipo de juegos permiten que los estudiantes trabajen con cantidades grandes y además se vean en la necesidad de calcular resultados cuya complejidad va más allá de realizar conteos simples. En este grado se espera que los estudiantes trabajen con fracciones referentes a medios, tercios, cuartos que no impliquen el desarrollo de algoritmos, ni conocer los nombres o significados de los términos involucrados en ellas como numerador y denominador. Tampoco debe enfatizarse en la partición de la unidad en partes iguales para luego colorear algunas de ellas, sino, acercar a los estudiantes a representaciones a partir de situaciones que se relacionan con procesos de medición o de repartos, como por ejemplo, hacer referencia a qué parte de la pizza equivale la mitad de la mitad, o la mitad de la tercera parte, o comparar qué es más grande, si la mitad de un queso o su cuarta parte y argumentar por qué. En este sentido, los estudiantes pueden expresar con palabras y símbolos las fracciones mencionadas, sin esperar que lo hagan de la manera convencional. Sobre el Pensamiento Espacial y Métrico En el desarrollo del pensamiento espacial y métrico cobra sentido en todo momento la visualización, la ubicación de objetos del entorno y la orientación, por lo tanto en los primeros grados escolares, no se debe reducir la geometría a representaciones o dibujos en el tablero o en el cuaderno, ni lo métrico a las longitudes y al patrón “metro” como único instrumento y única unidad de medida, lo cual podría generar dificultades en cuanto a la comprensión de la tridimensionalidad, de otros atributos medibles y del proceso de medida. Los principios y estándares del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) señalan que la geometría debe utilizarse como un medio para describir y modelizar el mundo físico. De allí la importancia de poner a los estudiantes en constante interacción con los objetos, haciendo énfasis en las relaciones y propiedades más que en los nombres de las figuras. En relación con la percepción del espacio, Holowey (1969) sugiere un proceso en el cual los estudiantes, se aproximan a partir de:

● El espacio vivido, los estudiantes, experimentan al palpar, sentir, en espacios pequeños. ● El espacio percibido, los estudiantes comprenden el espacio a partir de su percepción visual. ● El espacio concebido, los estudiantes construyen y forman concepciones e imágenes geométricas al utilizar la imaginación.

Se espera que los estudiantes del grado segundo, se ubiquen en el espacio a partir de la visualización y la acomodación de objetos, el cubrimiento de superficies, las actividades de giros y los


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desplazamientos con su propio cuerpo y con los objetos, además que reconozcan y compara en los atributos medibles, las propiedades, semejanzas y diferencias entre los objetos, y propongan estrategias para comparar, estimar y medir longitudes, superficies, duración de eventos con instrumentos y unidades estandarizadas y no estandarizadas, en diferentes contextos. Los sistemas geométricos y de medida (las unidades, los sistemas de unidades, sus patrones y los algoritmos para la conversión de unidades) no se constituyen en el centro de la enseñanza para este grado. A partir de la observación, se puede invitar a los estudiantes a identificar las características de los objetos (cajas, bolsas, pelotas, cubos, juguetes) y que expresen las relaciones referentes a tamaño, color, forma, bordes, figuras y líneas que lo componen, relaciones intrafigurales y entre objetos. Por ejemplo, que establezcan relaciones de equivalencia o no equivalencia en la longitud de los lados, diferencias entre líneas curvas y rectas, entre objetos que ruedan y se deslizan, entre otros aspectos. Se pretende que el maestro posibilite que los estudiantes expresen las características de los objetos en su propio lenguaje, además, que describen secuencialmente eventos tales como los recorridos que realizan para ir de la casa a la escuela y los momentos de descanso. Además propiciar diálogos a partir de algunos eventos, como programas de televisión y videojuegos, que les permiten describir y argumentar acerca de las formas, los desplazamientos, los giros, la temporalidad, entre otras características que identifican en ellos. La resolución de problemas es un proceso necesario para dar sentido a las observaciones, descripciones y mediciones de los objetos que hacen los estudiantes. Así, preguntas problematizadoras como ¿Por la puerta del salón puedo pasar un escritorio?, pueden generar curiosidad, reto e invitan al estudiante a comparar características y a describir formas, número de lados, longitudes de estos, observación de ángulos, necesidad de los giros, los desplazamientos. Con la ayuda del maestro se van consolidando las ideas acerca de las figuras y los cuerpos geométricos, las relaciones entre ellos y las relaciones intrafigurales, los efectos de los desplazamientos y de los giros, las relaciones de paralelismo y perpendicularidad no solo entre líneas sino también entre planos y entre objetos, los conceptos de atributos medibles (longitud, área y volumen) y algunos instrumentos y unidades para medirlos. Esta pregunta desencadenará otras como: ¿Cuánto mide el escritorio de alto y cuánto de alto mide la puerta?, para comparar y tomar una primera decisión, y así otras preguntas y posibles respuestas. La comprobación puede ser una opción, pero la idea es que los estudiantes exploren propiedades, y hagan comparaciones, mediciones y estimaciones. Estos procesos de medición, comparación y estimación requieren ser expresados con números y de acuerdo a las unidades que utilizan como cuartas, cuadrados, centímetros (no se descartan las unidades estandarizadas a las que posiblemente los estudiantes se han aproximado en su vida cotidiana, pero se sugiere un acercamiento paulatino a los sistemas estandarizados). Es importante notar que con respecto a las unidades no estandarizadas y estandarizadas, en este grado, se introducen paulatinamente reflexiones en términos del sistema de unidades que ellas pueden conformar. Las relaciones sobre las que más énfasis se pone son las de ser múltiplos (las mayores con respecto a las menores) y no en las relaciones de divisor o de fracción (de las menores con respecto a las mayores). El afán de introducir el sistema métrico decimal de manera formal limita la comprensión de los conceptos de magnitud, unidad e instrumento. Además, es necesario propiciar las mediciones y las estimaciones donde se pregunte por las ‘partes de’, aunque las respuestas sean intuitivas. En relación con el tiempo se propende por dar continuidad al trabajo iniciado en el grado primero en relación con la organización de las acciones de los estudiantes a lo largo del día, en momentos y lugares específicos. Sin embargo, se introduce de manera decidida el uso del reloj como un instrumento que permite el control autónomo del tiempo, en función de las diferentes actividades que debe realizar, tanto a lo largo de una clase como a lo largo del día. En términos de instrumentos, la reflexión se hace alrededor del reloj y del calendario, el primero permite conceptualizar unidades como horas, minutos, segundos; el segundo, unidades como el día, la semana, el mes, el año. En este caso, reflexionar sobre las unidades como un sistema de medida es complejo, no tanto por lo abstracto de las unidades mismas, sino también por la complejidad de las relaciones numéricas, y sobre todo, porque horas, minutos y segundos tienen un tipo de regularidad, el cual no se conserva


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cuando se pasa a los días, las semanas, los meses y los años (donde no se pueda definir una que permita unificar en una misma regularidad todos los procesos de conversión de una unidad en otra). Al igual que en el caso de la medida de longitudes, la comprensión del tiempo se hace en relación al desarrollo de acontecimientos o fechas especiales que permitan tener puntos de referencia a partir de los cuales contabilizar el tiempo transcurrido: los cumpleaños, las fiestas patrias nacionales, las festividades propias de la institución, etc. En relación con los procesos y formas de representación, es de notar que la geometría y la medición no puede ser pensada y desarrollada en la escuela de forma totalmente plana, siempre dibujada y plasmada en el tablero y en el cuaderno; esto no solo esconde la tridimensionalidad sino también las magnitudes asociadas a ella como la longitud, el área, el volumen, la masa, etc. Por lo tanto, en el grado segundo es pertinente propiciar las descripciones, modelos o construcciones y recorridos inicialmente en forma tridimensional con diferentes materiales. Luego podrán realizar descripciones, dibujos y recorridos sin ver y sin tocar los objetos, a partir de lo conocido, de la imaginación, de las propiedades, de mediciones de los objetos, del análisis de situaciones relativas a la ubicación del estudiante en el espacio, de la ubicación de los objetos y de sus movimientos. A manera de ejemplo: en el mapa de una zona o región, que el estudiante indique de manera verbal, escrita o gráfica cómo llegar de un lugar a otro sin perderse o desplazándose con cierta condición. Sobre el Pensamiento Aleatorio Como se afirmó en el grado primero se sugiere trabajar con datos reales a partir del desarrollo del ciclo investigativo el cual se compone de cinco fases: el problema (encontrar y definir un tema de interés y unas preguntas); el plan (definir los procedimientos para llevar a cabo el estudio); los datos (recolección y manejo de los datos), el análisis (ordenamiento, elaboración de tablas y gráficas, búsqueda de patrones, resumen de los datos); las conclusiones (interpretación y comunicación de las resultados de los análisis para dar respuesta a las preguntas planteadas y generación de nuevas preguntas). Cada etapa plantea preguntas como por ejemplo ¿qué se debe hacer para responder la pregunta?; ¿qué medir y cómo hacerlo?, ¿cuándo hacerlo?; ¿quiénes participan en el estudio?; ¿qué tablas o gráficos son los adecuados?; ¿qué concluyo?; ¿da respuesta a la pregunta?; ¿qué comunicar y cómo? Es deseable trabajar el ciclo investigativo completo y secuencialmente las etapas, sin embargo, el maestro puede iniciar en alguna de ellas y completar el ciclo, por ejemplo, en busca de la pregunta, el plan, etc., en el caso en que los datos provengan de estudios ya realizados, como es el caso de los informes de los medios de comunicación o de estudios elaborados por otras personas diferentes a los estudiantes. En lo que respecta a la probabilidad, en este grado se debe buscar que las situaciones que se plantean para el desarrollo del ciclo investigativo, contengan acciones que lleven a los estudiantes a reconocer que existen ciertos eventos de los cuales no se puede saber con certeza su resultado y si es posible anticipar la ocurrencia de posibles resultados. Los estudiantes en este grado, se interesan principalmente por situaciones en las que se estudian características de ellos mismos y su entorno más cercano, por lo que las preguntas pueden girar alrededor del conocimiento de las preferencias, los gustos, sus intereses y los de sus compañeros de clase. Las situaciones estarán dirigidas a resolver preguntas como ¿cuántos hay de…? cuál es el valor más frecuente?, ¿cuál es el dato menos frecuente?, y las representaciones utilizadas serán tablas de frecuencia y pictogramas con escala. Su razonamiento se apoya en lo perceptual y el uso del lenguaje será informal, expresiones como el pico más alto, o el pico más largo pueden referir el valor con mayor frecuencia. Los procedimientos utilizados se basan en la clasificación, el conteo y el establecimiento de las relaciones uno a muchos.


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Para este grado la preguntas pueden indagar por las características de una población, el curso 2o, las familias etc. en el marco de una situación que requiera tomar decisiones, por ejemplo, ¿Qué debemos informar al periódico de la institución para que pueda desarrollar un artículo sobre los cursos favoritos para ser ganadores en algún concurso a realizarse en el colegio? Con la ayuda del maestro, los estudiantes pueden formular un plan de recolección y organización de los datos, que incluye la elaboración de encuestas sencillas y decidir sobre el método de registrar los resultados de las encuestas en tablas de conteo, por ejemplo. Realizar un sondeo preliminar, en el cual los estudiantes propongan hipótesis sobre lo que podrán responder sus compañeros, o predecir si los resultados serán los mismos en todos los cursos, permite que los estudiantes reconozcan eventos o acciones en donde el azar y la incertidumbre están presentes, a la vez que se inician en el estudio de la variación de los datos. La construcción de representaciones, tablas o gráficos, implica la identificación de la variable en estudio y los valores que ésta toma, así como la visualización de los datos como una totalidad. Para el caso de las escalas en los pictogramas es necesario que se identifique la relación uno a muchos. Preguntas que indaguen sobre ¿cuántos hay de ..? ¿Cuál es el de menor posibilidad...? ¿Cuál es el curso que suponen ganará?, ¿Cuántos estudiantes respondieron la encuesta?, etc. direccionan la interpretación de los datos y se apoyan en las relaciones matemáticas como la suma. En la producción de los informes se trata de explicar cuestiones relacionadas con las maneras como encuestaron, el número de estudiantes, el número de estudiantes que indicaron un valor particular, si existe una tendencia particular en los datos, cuál de las representaciones es la mejor para informar sobre los resultados del estudio. Para incentivar la generalización y el reconocimiento de la variabilidad se puede cerrar el ciclo planteando nuevas preguntas como ¿si realizamos este mismo estudio el próximo año encontraremos las mismas respuestas?, ¿si preguntamos solamente a las niñas o solamente a los estudiantes, cambiarán los resultados? Como ya se ha mencionado es posible que el maestro decida iniciar la clase presentando a los estudiantes, informes ya terminados, o gráficas o tablas con la información. Proceder a leer e interpretar esa información y hacer comentarios sobre la verdad de los resultados, sobre las gráficas y las tablas elaboradas, etc. es una actividad en la que los alumnos pueden poner a prueba sus conocimientos sobre el análisis de datos y además los ayuda a ir elaborando lecturas críticas sobre información elaborada por otros. EVALUACIÓN La evaluación en el grado segundo debe considerar la diversidad de estilos de aprendizaje de los estudiantes; para esto, se utilizan instrumentos que permitan observar, valorar y acompañar la interacción permanente entre los estudiantes y el docente, las estrategias que utiliza para resolver problemas, las decisiones que toma frente a las trayectorias o localización de los objetos en el entorno, las mediciones de longitud o área, las representaciones gráficas o icónicas, las situaciones que resuelven. Para lograr los aprendizajes se requiere tanto de tiempo como de actividades matemáticas secuenciadas y articuladas, en las que se pongan en juego distintas habilidades y problemas que permitan desarrollar los procesos en la actividad matemática. Los DBA (enunciados y evidencias de aprendizaje) ayudan a diseñar actividades que permiten reconocer y valorar los avances o las dificultades en los aprendizajes - según las condiciones individuales - y ayudan al profesor a tomar decisiones a retroalimentar las producciones matemáticas de los estudiantes y la planeación de sus clases. El docente debe considerar que el pensamiento matemático se desarrolla a lo largo del tiempo y utilizar diferentes actividades y productos de evaluación como resolución de problemas, elaboración y desarrollo de proyectos en conjunto con otras áreas, o el desarrollo de ciclos investigativos completos. Por ejemplo, juntos estudiantes y maestro, plantean un tema y una pregunta estadística a resolver. Los estudiantes elaboran informes para comunicar a otros sobre las preferencias, los gustos, los intereses, las preocupaciones, las características de los estudiantes del grupo. Otra actividad de evaluación puede ser leer y analizar informes que incluyan tablas, pictogramas, conclusiones, en la cual los estudiantes necesitan leer la información que se representa, responder


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interrogantes tales como: ¿Qué pregunta se planteó el que elaboró el informe?; ¿Cómo recolectó la información?; Si utilizó una encuesta, ¿Cuáles fueron unas posibles preguntas?, ¿Las tablas y los gráficos están bien elaborados?; ¿Las conclusiones son válidas?

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