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Contrato Interadministrativo 0803 de 2016 Mallas de aprendizaje, Matemáticas, Grado Octavo. Versión Preliminar

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INTRODUCCIÓN GENERAL DEL ÁREA PARA EL GRADO (Saber ser, saber hacer, saber conocer)

En las mallas de aprendizaje se pretende ofrecer orientaciones para esbozar caminos posibles para el desarrollo de los aprendizajes de los estudiantes en el área de matemáticas. Esta propuesta se fundamenta en los Derechos Básicos de Aprendizaje, a su vez, retoma la propuesta de los Lineamientos Curriculares y los Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, a partir de estos documentos subyace una visión de las matemáticas como creación humana y como disciplina en desarrollo y en constante cambio. En consecuencia con ello, se espera consolidar ideas para el acompañamiento a los profesores, en este caso de grado octavo; con la intención que se propenda por el desarrollo de dimensiones como el saber SER, el saber HACER, y el saber CONOCER, pues no se trata de la implementación aislada de conceptos, sino de apostarle al desarrollo integral de los estudiantes, al reconocer que las matemáticas forman parte del sistema de valores compartidos y tienen fundamentos éticos para constituirse en una práctica social. Para el grado octavo se espera que los estudiantes participen de manera activa en la socialización de los ejercicios y problemas que se desarrollan, así como el interés por indagar y dar respuesta a las preguntas. Formular, plantear, transformar y solucionar problemas que requieran el re-conocimiento del cómo, cuándo y por qué del uso de un concepto, procedimiento y razonamiento. Formular y resolver coherentemente problemas de la cotidianidad haciendo uso de conceptos algebraicos, geométricos, métricos y estadísticos. En coherencia con los planteamientos en los Lineamientos Curriculares (MEN, 1998), los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas (MEN, 2006), y los aprendizajes fundamentales descritos en los Derechos Básicos de Aprendizaje (MEN, 2016) se enfatiza en que la formulación y resolución de problemas es el proceso a través del cual se dinamizan otros procesos, la actividad matemática misma y, por tanto, los aprendizajes de los estudiantes. La noción de ser matemáticamente competente sugiere ambientes de aprendizaje a través de la formulación y resolución de problemas que propicien la construcción progresiva y cíclica de niveles de conceptualización y construcción del conocimiento matemático de los estudiantes, para ello se requiere que los profesores propongan diversidad de situaciones, con diferentes grados de complejidad, de tal manera que se movilicen procesos que involucran las actividades que conforman el ciclo de resolución de problemas. Los estudiantes examinan los patrones en tablas y gráficas para generar ecuaciones y describir relaciones. Utilizan las estructuras aditivas y multiplicativas en el planteamiento y solución de problemas y ejercicios con números reales, estableciendo relaciones matemáticas entre ellos. Así mismo interpretan y utilizan las diferentes formas de medir y con base en ellas obtienen otras medidas de uso habitual en diversas áreas del saber. Presentan argumentos matemáticos acerca de las relaciones y propiedades de los cuerpos geométricos, dando cuenta del conocimiento adquirido, para resolver problemas relacionados con la geometría. Identifican e interpretan los datos registrados en una tabla de Distribución de Frecuencia o en gráficos, de tal forma que evidencien su importancia al momento de argumentarlos estadísticamente. Comprenden la influencia que tienen algunos conceptos de la estadística para dar respuesta a la ocurrencia de un fenómeno. Otro aspecto del desarrollo del pensamiento matemático de los estudiantes en este grado, se relaciona con los procesos y búsquedas que hacen para representar los datos de un problema, los fenómenos y las situaciones que se le plantean. Así las expresiones algebraicas deberán surgir de la necesidad de comunicar sus ideas a otras personas y de pasar por unas fases de interpretación de problemas, otra de análisis y resolución y finalizar con una de comunicación de resultados, validación y generalización de estrategias. Pero las formas de representación no son solo capricho del docente sino que deben interpretarse y en cada una encontrar la fortaleza de la información que proporciona y las posibles conversiones de una a la otra. En cuanto a los procesos de razonamiento, cobran sentido las discusiones en torno a: las relaciones entre los elementos de una figura, desde sus propiedades, más que desde su imagen representada en el papel o en el tablero; los argumentos y ejemplos de las propiedades de los números racionales y no racionales; el papel de la medición indirecta a través del uso de teoremas y diferentes de estrategias de cálculo; y los análisis de datos para tomar decisiones frente a la información que reciben de diversas fuentes.


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En esta malla se retoman los enunciados y evidencias de la segunda versión de los Derechos Básicos de Aprendizaje. Se agrupan por tipos de pensamiento, a saber: Numérico - Variacional, Métrico- Espacial y Aleatorio, además una red conceptual que permite visibilizar algunas de las relaciones entre los saberes estructurantes, los DBA y los procesos generales. Otro componente de las mallas, son las consideraciones didácticas, como posibles caminos de diseño curricular, algunas claridades sobre los tópicos y las acciones sugeridas para abordar los aspectos mencionados, con el propósito de lograr consistencia, coherencia y pertinencia de las propuestas curriculares del MEN para el área de matemáticas. Los aprendizajes esperados en el estudiante al finalizar el grado se consolidan en la siguiente red conceptual:


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NUMÉRICO - VARIACIONAL

APRENDIZAJES EVIDENCIAS

Reconoce la existencia de los números irracionales como números no racionales y los describe de acuerdo con sus características y propiedades.

Utiliza procedimientos geométricos para representar números racionales e irracionales.

Identifica las diferentes representaciones (decimales y no decimales) para argumentar por qué un número es o no racional.

Construye representaciones, argumentos y ejemplos de propiedades de los números racionales y no racionales.

Utiliza procedimientos geométricos o aritméticos para construir algunos números irracionales y los ubica en la recta numérica.

Justifica procedimientos con los cuales se representa geométricamente números racionales y números reales

Construye varias representaciones (geométrica, decimales o no decimales) de un mismo número racional o irracional.

Reconoce los diferentes usos y significados de las operaciones (convencionales y no convencionales) y del signo igual (equivalencia e igualdad condicionada) y los utiliza para argumentar equivalencias entre expresiones algebraicas y resolver sistemas de ecuaciones.

Reconoce el uso del signo igual como equivalencia de expresiones algebraicas en los números reales.

Propone y ejecuta procedimientos para resolver una ecuación lineal y sistemas de ecuaciones lineales y argumenta la validez o no de un procedimiento

Usa el conjunto solución de una relación (de equivalencia y de orden) para argumentar la validez o no de un procedimiento.

Identifica y analiza relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de expresiones algebraicas y relaciona la variación y covariación con los comportamientos gráficos, numéricos y características de las expresiones algebraicas en situaciones de modelación.

Opera con formas simbólicas y las interpreta.

Relaciona un cambio en la variable independiente con el cambio correspondiente en la variable dependiente.

Encuentra valores desconocidos en ecuaciones algebraicas.

Reconoce y representa relaciones numéricas mediante expresiones algebraicas y encuentra el conjunto de variación de una variable en función del contexto.

Propone, compara y usa procedimientos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas en diversas situaciones o contextos.

Opera con formas simbólicas que representan números y encuentra valores desconocidos en ecuaciones numéricas.

Reconoce patrones numéricos y los describe verbalmente.

Representa relaciones numéricas mediante expresiones algebraicas y opera con y sobre variables.

Describe diferentes usos del signo igual (equivalencia, igualdad condicionada) en las expresiones algebraicas.

Utiliza las propiedades de los conjuntos numéricos para resolver ecuaciones.

Propone relaciones o modelos funcionales entre variables e identifica y analiza propiedades de covariación entre

Toma decisiones informadas en exploraciones numéricas, algebraicas o gráficas de los modelos matemáticos usados.

Relaciona características algebraicas de las funciones, sus gráficas y procesos de aproximación sucesiva.


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variables, en contextos numéricos, geométricos y cotidianos y las representa mediante gráficas (cartesianas de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.)

MÉTRICO - ESPACIAL


Describe atributos medibles de diferentes sólidos y explica relaciones entre ellos por medio del lenguaje algebraico.

Utiliza lenguaje algebraico para representar el volumen de un prisma en términos de sus aristas.

Realiza la representación gráfica del desarrollo plano de un prisma.

Estima, calcula y compara volúmenes a partir de las relaciones entre las aristas de un prisma o de otros sólidos.

Interpreta las expresiones algebraicas que representan el volumen y el área cuando sus dimensiones varían.

Utiliza y explica diferentes estrategias para encontrar el volumen y la capacidad de objetos regulares e irregulares en la solución de problemas en las matemáticas y en otras ciencias.

Estima medidas de capacidad con unidades estandarizadas y no estandarizadas.

Utiliza la relación de las unidades de capacidad con las unidades de volumen en la solución de un problema.

Identifica la posibilidad del error en la medición de la capacidad y el volumen haciendo aproximaciones pertinentes al respecto.

Explora y crea estrategias para calcular el volumen de cuerpos regulares e irregulares.

Identifica relaciones de congruencia y semejanza entre las formas geométricas que configuran el diseño de un objeto.

Utiliza criterios para argumentar la congruencia de dos triángulos.

Discrimina casos de semejanza de triángulos en situaciones diversas.

Resuelve problemas que implican aplicación de los criterios de semejanza.

Compara figuras y argumenta la posibilidad de ser congruente o semejantes entre sí.

Identifica regularidades y argumenta propiedades de figuras geométricas a partir de teoremas, por ejemplo el teorema de Pitágoras y las aplica en situaciones reales.

Describe teoremas y argumenta su validez a través de diferentes recursos (Software, tangram, papel, entre otros)

Reconoce relaciones geométricas al utilizar teoremas.

Resuelve problemas utilizando teoremas básicos.

Aplica el teorema de Pitágoras para calcular la medida de cualquier lado de un triángulo rectángulo.

Argumenta la relación pitagórica por medio de construcción al utilizar material concreto.


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ALEATORIO


Interpreta información presentada en tablas de frecuencia y gráficos cuyos datos están agrupados en intervalos y decide cuál es la medida de tendencia central que mejor representa el comportamiento de dicho conjunto.

Interpreta los datos representados en diferentes tablas y gráficos.

Usa estrategias gráficas o numéricas para encontrar las medidas de tendencia central de un conjunto de datos agrupados.

Describe el comportamiento de los datos empleando las medidas de tendencia central y el rango.

Reconoce cómo varían las medidas de tendencia central y el rango cuando varían los datos

Hace predicciones sobre la posibilidad de ocurrencia de un evento compuesto e interpreta la predicción a partir del uso de propiedades básicas de la probabilidad.

Identifica y enumera el espacio muestral de un experimento aleatorio.

Identifica y enumera los resultados favorables de ocurrencia de un evento indicado.

Asigna la probabilidad de la ocurrencia de un evento usando valores entre 0 y 1.

Reconoce cuando dos eventos son o no mutuamente excluyentes y les asigna la probabilidad usando la regla de la adición.


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CONSIDERACIONES DIDÁCTICAS

Sobre el Pensamiento Numérico y Variacional: En el grado octavo, coherente con la actividad matemática desarrollada en los grados anteriores, el estudiante continúa con la exploración del sistema de los números racionales y retoma su interpretación como medición en magnitudes conmensurables. Además, se fortalece la “traducción” entre sus representaciones fraccionarias y decimal; para ello, el estudiante debe ampliar sus

experiencias y su comprensión de procesos infinitos. Un ejemplo de ello es problematizar la igualdad . Para los estudiantes, no siempre es sencillo aceptar esta igualdad debido, en parte, a las experiencias previas que han tenido en relación con el infinito han estado vinculada al estudio de los números naturales en los que el infinito es una acción creciente potencialmente. Para ampliar esa comprensión, se le puede proponer a los estudiantes que describan la manera en que se construye la siguiente secuencia: 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…. con base en la secuencia, se les pide que para cada término de la sucesión calculen la diferencia con respecto al número 1. De ese modo, aparecerá otra sucesión, en este caso decreciente, que será 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,… Con base en ello, se les puede pedir a los estudiantes que pueden tomar todos los infinitos términos de la primera sucesión y que mencionen cómo serían los términos de la segunda sucesión. También se les

puede preguntar que tomando como referencia al número (periódico, con sus infinitos números decimales) digan cuál es su diferencia con respecto a 1. Para algunos estudiantes, es natural que no aceptar que se puedan tomar todos los infinitos 9, y por tanto su respuesta sería 0.00...01. Esta idea de los estudiantes con frecuencia está sustentada en la imagen de que “en algún momento tendrían que parar de escribirlos”, es decir, “siempre tendrían que parar de escribirlos”. Frente a ello, es importante generar la reflexión acerca de la diferencia entre escribir empíricamente muchos 9, acto que tendría que ser finito; y capacidad de la mente humana de aceptar que se pueden asumir todos los infinitos 9.

Como una manera de argumentar la igualdad entre y 1. Se les propone a los estudiantes el siguiente razonamiento. En todo momento, se les pedirá que justifique cada paso, que describan aquellas acciones que consideren falaces; en cuyo caso, debería justificar por qué y proponer un nuevo razonamiento.


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Como puede observarse en el proceso anterior 0.999…=1; por tanto, se requieren de símbolos especiales para dar a conocer que se “toman” los infinitos 9. Se recomienda además que los profesores promuevan discusiones acerca de las experiencias previas que los estudiantes hayan tenido con el infinito, que describan lo que percibe como diferente dependiendo del sistema numérico que estén abordado. Un buen producto de evaluación de este tipo de aprendizajes sería proponer a los estudiantes que describieran otras igualdades con términos infinitos; por ejemplo:

Dado que es natural que los estudiantes conjeturen valores no adecuados para estas igualdades, se les pediría que construyan procedimientos como los ilustrados anteriormente para validar o refutar sus conjeturas. Ampliar la noción de infinito asociada a los números naturales es importante para entender la representación decimal de algunos racionales y, sobre todo, de los irracionales. Frente a ello, se sugiere

a los profesores tener cuidado con expresiones como “el número raíz de dos no es exacto”, “cinco no tiene raíz exacta”, “ no es exacto”, pues si bien es cierto que no es posible físicamente escribir todos los dígitos decimales, también es cierto que esa imposibilidad ha llevado a la construcción de representaciones simbólicas como una manera de “capturar” mentalmente el número con


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todas sus propiedades. Por ejemplo, la barra encima de los dígitos que configuran el periodo de un racional, la notación con radicales, o incluso símbolos como . Así, en lugar de decir, “ocho no tiene raíz exacta” se debería decir, “la raíz de 8 no es entera, aunque sí exacta”. En la tarea del DBA. 1 de este grado, se presenta un conjunto de estrategias para construir números con infinitos dígitos decimales y a partir de la manera en que se haga, se determina si es racional irracional. El desempeño de los estudiantes en este tipo de tareas es un buen indicador que daría cuenta de los aspectos conceptuales de los números racionales e irracionales. Otra forma de evaluar las compresiones de los estudiantes de los números irracionales sería pedir que ordene de mayor a menor un conjunto de números reales presentados en diferentes formas de representación

numérica, por ejemplo. 1.41; 1.41421356; , , 3/2, 1,5. El trabajo de los números racionales e irracionales en este grado se da principalmente apelando a la representación decimal que cada uno de ellos tiene. En este sentido el estudiante debe identificar que una expresión decimal exacta o periódica está relacionada con un número racional, y de esa manera logre establecer que existen otras expresiones decimales no periódicas cuyo dominio numérico Otro de los temas que ocupan gran parte de las propuestas curriculares en grado octavo es el estudio de las expresiones algebraicas, particularmente sus operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación); sin embargo, en muchas ocasiones este tipo de estudio se agota en un conjunto de fórmulas, procedimientos para calcular un resultado, y deja por fuera el significado de los objetos que son representados con los símbolos algebraicos y sobre todo, deja por fuera los argumentos que hacen que esos procedimientos sean válidos. Una crítica que valdría la pena hacer explícita sería la enseñanza de la multiplicación, los productos/cocientes notables, la factorización como tres temas aislados; estos tres temas disyuntos, se pueden estudiar de manera articulada como resultado de la comprensión de la propiedad distributiva de la multiplicación en reales. Incluso, como una forma de entender y utilizar el teorema fundamental del álgebra. Sea cual sea la decisión de introducir la factorización, es importante tener presente que son procedimientos que permiten construir expresiones algebraicas equivalentes a otras expresiones algebraicas, por tanto, son IDENTIDADES que posibilitan la sustitución de una expresión por otra y, por tanto, facilitar y posibilitar el tratamiento operatorio en la resolución de problemas (Ejemplo: solución de ecuaciones e inecuaciones; estudio y funciones, etc.).


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Es importante utilizar diversidad de formas construir y validar las identidades algebraicas. A manera de ejemplo, se sugiere la construcción de un material para el trabajo del aula (álgebra geométrica) con el cual se pueden construir varias de las identidades a la operaciones entre expresiones algebraicas, y entre ellas a la propiedad distributiva de la multiplicación (factorización asociadas con los productos notables); sin embargo, se debe tener cuidado en no agotar la factorización únicamente a este tipo de tareas, ya que solo se ofrecería una interpretación relacionada con áreas y de esta manera se generan restricciones para el trabajo de factorización de otro tipo de expresiones más complejas (expresiones de grado 4 o superior). Este tipo de propuestas se pueden trabajar en ambientes dinámicos en los cuales, las representaciones construidas anteriormente se conservan a pesar de que el tamaño de las figuras involucradas; para ello, se puede utilizar un software de geometría dinámica que permita ver cómo aunque el tamaño de las figuras cambian, las relaciones algebraicas se conservan. Un elemento importante para entender la las operaciones con expresiones algebraicas y no reducir el trabajo de los estudiantes solo a la repetición de procedimientos es la continua reflexión sobre el “dominio de la variable” es decir, preguntar en todo momento, ¿Qué representa este símbolo? ¿A qué conjunto numérico representa? Adicionalmente, se recomienda no reducir la interpretación

de las variables a conjuntos numéricos sino también interpretarlas como otras expresiones algebraicas; Es decir en una expresión como las expresiones y puede representar otras

expresiones algebraicas, por ejemplo: y . De ese modo al realizar la composición de las expresiones se tiene que equivale a . Es importante ayudar a los estudiantes a reconocer que a pesar que las dos expresiones son diferentes, tienen la misma “forma”, la misma estructura. Esta forma de reconocer las “formas” equivalentes de las expresiones algebraicas se consolida en los cimientos para posteriormente comprender la composición de funciones y para desarrollar estrategias para simplificar procedimientos; así, un buen producto de evaluación sería que tanto aritmética como algebraicamente los estudiantes pudieran hablar de los números y de las expresiones de diversas maneras, por ejemplo: 5 es el cuadrado de raíz de cinco, al mismo tiempo el cubo de la raíz cúbica de 5, la mitad de diez, etc.


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Es la potencia cuatro de a; pero al mismo tiempo es el cuadrado de y la potencia 8 de raíz cuadrada de , y la raíz cuadrada de , entre muchas más posibilidades. Otro recurso para apoyar la construcción de identidades algebraicas (expresiones equivalentes) es la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales a la cual se puede acceder a través del siguiente link: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html A continuación se presenta una ilustración de una la equivalencia entre dos expresiones algebraicas, un través de sumas y otra expresada en productos.

Imagen recuperada de http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_189_g_4_t_2.html?open=activities&from=topic_t_2.html

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html


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Sobre el Pensamiento Espacial y Métrico En el grado octavo, los estudiantes explicarán estrategias para calcular volumen, área, longitud y capacidad al ponerlas en juego en la resolución de problemas. Además encontrarán en la semejanza y la congruencia entre figuras, posibilidades para interpretar fenómenos y describir objetos de su entorno según la necesidad. Usualmente cuando se juega fútbol se piensa en el balón exclusivamente como una esfera. En efecto, la forma del balón es esférica, pero si el balón está desinflando, su forma es un poliedro. Se propone a los estudiantes que desinflen un balón de fútbol y respondan ¿qué forma tienen sus caras?, ¿cuántas caras tiene?, ¿cuántas aristas tiene?, ¿cuántos vértices tiene? Luego que construyan las figuras que conforman el balón con regla y compás y armen de manera artesanal el cuerpo que configura el balón de fútbol. Después y con base en la construcción del poliedro, los estudiantes responderán cuestiones como, ¿qué nombre recibe el poliedro que configura el balón? y que verifiquen si este poliedro satisface la fórmula de Euler para los poliedros:

Cuando se le pide a los estudiantes que cuenten las caras, los vértices y las aristas y que verifiquen si se cumple la relación de Euler, se pretende que dada la dificultad para contar por ejemplo las aristas, planteen conjeturas y necesiten pensar en regularidades, por ejemplo que una arista une dos caras, que un vértice une tres aristas y por lo tanto los cálculos vayan apareciendo más naturalmente. Aquí puede verse una conexión explícita con el pensamiento variacional. Otro punto sugiere que los estudiantes determinen las dimensiones de los polígonos que configuran el balón de fútbol y calculen el área del balón como si fuera un cuerpo truncado. Así mismo que calculen el volumen de la esfera como si estuviera compuesto por cuerpos geométricos similares a una pirámide, en las que la altura corresponde al radio de la esfera y la suma de las áreas de las bases de estas pirámides corresponde al área de la superficie. De otro lado se les propone que hallen el volumen de la esfera utilizando la medida del radio. Comparen los dos volúmenes hallados y determinen a qué porcentaje del volumen de la esfera corresponde el volumen del icosaedro truncado. ¿Existen otros poliedros que se aproximan al volumen de la esfera? ¿Cuál es su nombre? y para finalizar, los estudiantes dibujarán el desarrollo de dichos poliedros. De otro lado los estudiantes utilizarán la medida para explorar el significado de la semejanza, determinar las relaciones entre las longitudes de los lados y los perímetros y las áreas de figuras semejantes; investigarán que las áreas de los cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de las longitudes de sus aristas correspondientes y que sus volúmenes son proporcionales al cubo de tales longitudes.


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1 Para averiguar las dimensiones de los polígonos que conforman el balón de fútbol, calcular el área superficial y el volumen, los estudiantes tendrán la necesidad de hacer mediciones, tanto directas como indirectas, y la idea es que en la clase se generen discusiones para dar razones acerca de la conservación del área del balón y de las aproximaciones al volumen de la esfera. Es decir que esta tarea permite refinar procesos de razonamiento, puesto que las explicaciones ya no solo deberán ser en términos de las medidas aisladas de las magnitudes sino también en términos de sus relaciones con las formas geométricas y las variaciones de estas aunque sean sutiles. Por ejemplo reconocer que el volumen del balón es muy cercano (95%) al volumen de una esfera e interpretar el proceso de truncamiento y su papel en algunos problemas prácticos, requiere utilizar lenguaje, propiedades y modelos matemáticos para solucionar dichos problemas y plantear otros. Con relación a los procesos de comparación y ejercitación de procedimientos, en la situación planteada, si bien se utilizan fórmulas y se orienta al estudiante a realizar los cálculos utilizando una estrategia específica, surge la necesidad de comparar los resultados obtenidos para hacer validaciones y dar respuestas cada vez más acertadas a los problemas planteados. No es la cantidad de ejercicios de cálculos de áreas y volúmenes lo que permite desarrollar el pensamiento métrico y espacial, sino la posibilidad de ampliar cada vez más los conocimientos a través de la comparación la estimación, la creación de estrategias y la revisión de resultados y procedimientos, a la luz de las condiciones del problema. De otro lado los estudiantes utilizarán la medida para explorar el significado de la semejanza, determinar las relaciones entre las longitudes de los lados y los perímetros y las áreas de figuras semejantes; investigarán que las áreas de los cuerpos semejantes son proporcionales al cuadrado de las longitudes de sus aristas correspondientes y que sus volúmenes son proporcionales al cubo de tales longitudes. La intencionalidad de las situaciones que se abordarán en este grado, en cuanto a las competencias geométricas y métricas, se enfoca en el estudio de proposiciones geométricas y tanto la medición directa como las figuras dejan de ser el foco para abrir espacio a las deducciones y el uso de teoremas y propiedades de los cuerpos y figuras. Sobre el Pensamiento Aleatorio Para este grado, se propone que el ciclo investigativo se desarrolle con el fin de analizar un conjunto de datos cuantitativos discretos y continuos y tomar decisiones empleando las medidas de tendencia central. Para iniciar, el profesor puede pedir a los estudiantes que propongan un tema para investigar, en el que deban recolectar una gran cantidad de datos, más de 50 por ejemplo. Si ello no es posible los estudiantes pueden consultar datos de informes o en las instituciones del estado que producen datos como el DANE. Por ejemplo, un tema de interés para los jóvenes puede ser

1 Imagen tomada de http://www.cosasdearquitectos.com/2014/03/el-arquitecto-que-dio-nombre-una-molecula-de-carbono/


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los accidentes en bicicleta de acuerdo a la edad. Al buscar los datos, un estudiante trae la siguiente información:

Dado que en la tabla no se explicitan las unidades de los datos, el profesor indicará la necesidad de que la tabla contenga la información necesaria para comprender los datos que allí se encuentran. Para este caso la variable en estudio es el número de accidentes en bicicleta. Unas posibles discusiones que permiten comprender el problema en estudio, son, si los datos corresponden a una población o a una muestra, ¿cómo se recogieron los datos?, si es una muestra ¿cómo sabemos que es representativa y cuál sería la población del estudio? Ubicar estas condiciones permite que los estudiantes reconozcan las diferencias entre población y muestra además lo que ello representa al elaborar las conclusiones y su validez. Una vez que se ha definido las características de la información contenida en la tabla, se puede discutir una posible problemática asociada a estos datos, por ejemplo, ¿hacia qué franja de la población se debe dirigir una campaña de prevención de la accidentalidad y el respeto al ciclista en las vías? etc. Si este es el problema, ¿los datos aportados serán suficientes para resolverlo? Si se requieren más datos ¿cuáles serán?, ¿cómo se recolectarán?, etc. Continuando con el ciclo se invita a los estudiantes a proponer un plan de recolección de datos, en el que seleccionen las variables a estudiar, si los datos se recolectan a partir de encuestas, por medio de experimentos o se toman de bases de datos; ¿cuáles son las formas en las que se recolectan los datos?, ¿cuánto tiempo se emplea en la recolección?, ¿cuántos datos se recolectarán y cómo se organizarán, si se tomara una muestra o se hiciera un estudio censal? En la fase de recolección de los datos se espera que los estudiantes desarrollen el plan que han propuesto para recolectar los datos, en este sentido, se deberá tener claridad sobre los métodos y las condiciones mediante las cuales se recolectará la información. En el ejemplo que venimos mencionando, si se asume que los datos provienen de una muestra y como ya se tienen organizados en una tabla (agrupados en intervalos), se busca que los estudiantes respondan a preguntas como: ¿cómo se recolectó la información? ¿Qué instrumento se empleó para su recolección?, ¿cuántos datos se recolectaron?, ¿por qué se agruparon los datos en intervalos de tamaños iguales?, ¿qué ocurre con el último intervalo?, ¿qué representan los valores que aparecen en cada columna de la tabla?, ¿cómo y en dónde puedo obtener la información del número de accidentes en bicicleta?


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En la etapa de análisis se busca que los estudiantes representen datos agrupados en gráficos tales como el histograma, polígono de frecuencia, diagramas de línea, entre otros, los cuales permiten visualizar el comportamiento de una variable cuantitativa continua, para avanzar en el estudio de la distribución de la frecuencia de los datos. Aquí es importante que los estudiantes reconozcan las características de cada tipo de gráfico, en particular, a) si los intervalos en los que se han agrupado los datos son o no iguales, b) cuál es la marca de clase de cada intervalo, y para qué se utiliza, c) reconocer que la superficie de cada barra debe ser proporcional a la frecuencia de los valores representados. Particularmente, se busca que los estudiantes diferencien los histogramas que tienen intervalos iguales, de aquellos en donde los intervalos son diferentes, por esto, para discutir y ganar comprensión sobre lo que significa que las áreas de los rectángulos que se presentan en el gráfico, sean proporcionales a la frecuencia y lo que representa el eje de las ordenadas, ya que en este caso, no representa ni la frecuencia absoluta ni la relativa, sino la densidad de las frecuencias, que corresponde al valor de la frecuencia relativa dividido en la longitud del intervalo. En este sentido, el profesor puede proponerles a los estudiantes comparaciones entre diversos histogramas, para lo cual los programas informáticos especializados son de gran ayuda. Se espera también, que los estudiantes avancen hacia la consolidación de resúmenes numéricos de la información que se presenta, empleando las medidas de tendencia central en datos agrupados, y que empleen diferentes estrategias para su cálculo e interpretación a la luz del contexto del problema. Además de diferenciar lo que representa cada una de las medidas y elegir aquella que mejor resume el conjunto de datos teniendo en cuenta la distribución de las frecuencias. El profesor en esta etapa, deberá verificar qué estrategias usan los estudiantes para calcular las medidas de tendencia central, cómo las interpretan y si tanto el cálculo como la interpretación están en correspondencia con el problema propuesto. En este sentido, deberá permitir que los estudiantes empleen gráficas, tablas, calculadoras, hojas de cálculo entre otros, para obtener dichas medidas y en aquellas estrategias en donde los cálculos e interpretaciones son erradas o presentan dificultades, deberá producir analogías en relación con el cálculo de estas medidas para datos no agrupados y recurrir a las interpretaciones de dichas medias en contextos en los cuales han tenido sentido para los estudiantes, de manera que ellos puedan ampliar la conceptualización de dichas medidas. En el ejemplo, se les pide a los estudiantes que construyan gráficas para visualizar el comportamiento de la información presente en la tabla, para esto, se ha de discutir sobre las modificaciones que es necesario efectuar en el último intervalo de la tabla para construir el histograma, llegando a acuerdos de que se tomará el valor inferior del intervalo como abierto y el mayor valor como cerrado y para el último intervalo se cerrará en un valor que corresponda con la suma del límite inferior del intervalo y el ancho del intervalo, tal como se han construido los demás. Asumiendo las medidas de tendencia central como resúmenes numéricos, , se espera que los estudiantes calculen la media, moda y mediana de los datos y realicen interpretaciones de las mismas, en este caso, asuman que la moda en términos de la cantidad de accidentes está en el rango de edades comprendido entre (20,30], que explique las razones por las cuales se requieren las frecuencias acumuladas para calcular la mediana, y que decidan si la media es un buen representante de los datos dada la distribución de los mismos. Para finalizar el ciclo, se busca que los estudiantes produzcan conclusiones basadas en los análisis realizados, y las argumenten con la información que se explicita en las gráficas y tablas, de manera que se pueda dar respuesta al problema planteado en la primera etapa. Además, se espera que las conclusiones producidas, permitan proponer nuevos estudios que mantengan las características de análisis. Por ejemplo, ¿la accidentalidad en las ciudades es similar a la accidentalidad en la zona rural? En relación con el estudio de la aleatoriedad y el azar, se continúa con el desarrollo de experimentos aleatorios simples, pero en este caso, se busca que los estudiantes anticipen la probabilidad de un cierto evento compuesto a partir de la información que se presenta en tablas y gráficos, empleando las propiedades de la probabilidad.


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Por ejemplo, se pregunta a los estudiantes si ellos conocen los paquetes pequeños de dulces que vienen de diferentes colores. Se informa que el fabricante de dicho producto ha informado que la política de la empresa es llenar los paquetes de dulces con 6 diferentes colores, de acuerdo al siguiente porcentaje: 13% cafés, 13% rojas, 14% amarillas, 16% verdes, 20% naranjas y 20% azules. Se ha realizado un experimento aleatorio en el cual se compraron 20 paquetes de dulces y se revolvieron en un recipiente, completando cerca de 2000 dulces. Luego una persona fue extrayendo de allí, sin mirar, un dulce y anotaba en una hoja de cálculo los colores del dulce que extraía. Sacó 200 dulces y los resultados los presentó en el siguiente gráfico. Se pregunta si los datos recolectados confirman la afirmación del fabricante o no.

Para este ejemplo, los estudiantes deben estar en capacidad de utilizar nociones básicas de azar y probabilidad, y usar terminología adecuada, esto es, deberán poder decir que en la gráfica se muestran las probabilidades, como frecuencias relativas, de que cada color de dulce haya salido en la muestra. De otro lado, pueden diferenciar la probabilidad teórica de la probabilidad empírica y un evento simple de uno compuesto. Por ejemplo, podrán decir que seleccionar un dulce de color rojo es un evento simple con probabilidad teórica de 0,13, mientras que la probabilidad de seleccionar un dulce de color rojo o azul, se calcula sumando las probabilidades teóricas dadas. Una discusión importante, que puede promoverse se relaciona con las diferencias entre la distribución de frecuencia (distribución muestral), resultante del experimento, y la distribución que menciona el propietario de la fábrica (distribución teórica). Con ayuda de paquetes estadísticos o applets se puede hacer simulaciones del experimento y repetirlo cada vez un mayor número de veces y así ir encontrando si las diferencias se mantienen o por el contrario cada vez las dos distribuciones se acercan. Con lo que se da un tratamiento informal a la ley de los grandes números.

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