INTRODUCCIONLa teora de la Interpolacin permitir la resolucin de problemas cuyo anlisis matemtico puede ser establecido pero para los cuales la solucin analtica no es posible determinar o encierra gran complejidad. Las tcnicas interpoladoras permiten mediante clculos algebraicos determinar el valor de las derivadas e integrales de funciones que no son elementales. En el subcampomatemticodelanlisis numrico, se denominainterpolacina la obtencin de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.En anlisis numrico, la interpolacin polinmica es una tcnica de interpolacin de un conjunto de datos o de una funcin por un polinomio. Es decir, dado cierto nmero de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.Se dispone de varios mtodos generales de interpolacin polinmica que permiten aproximar una funcin por un polinomio de grado m. El primero de estos es el mtodo de las diferencias divididas de Newton. Otro de los mtodos es la interpolacin de Lagrange, y por ltimo, la interpolacin de Hermite.Ejemplos de interpolacin polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos,b) de segundo grado (cuadrtica o parablica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cbica) que une cuatro puntos.

Se define como Dada una funcin de la cual se conocen sus valores en un nmero finito de abscisas , se llamainterpolacin polinmicaal proceso de hallar unpolinomiode grado menor o igual a m, cumpliendo .Existencia de polinomio de interpolacinEl problema de la interpolacin tiene propiamente tres cuestiones: Saber si tiene solucin o no. En caso de tenerla, dicha solucin es nica o existen varias? Y nalmente mtodos de clculo lo mas ecientes posibles.

Mtodos de interpolacin Polinomial* CHOLESKYAndr-Louis Cholesky (15 de octubre de 1875 - 31 de agosto de 1918) fue un matemtico francs nacido en Montguyon, Francia. Estudi en la cole polytechnique y trabaj en geodesia y cartografa adems de desarrollar la descomposicin matricial que lleva su nombre para ayudarle en su trabajo

*CHEVYSHOVPafnuti o Pafnuty Lvovich Chebyshov, Chebyshev o Chebishev; Okatovo, 1821 - San Petersburgo, 1894) Matemtico ruso. Profesor de matemticas en San Petersburgo, fund una importante escuela de matemticos en esta ciudad. Se dedic al estudio de la teora de los nmeros, de las funciones elpticas y del clculo de probabilidades. Entre sus aportaciones ms notables destacan la generalizacin de la ley de los grandes nmeros y el teorema del lmite central.

*HERMITECharles Hermite (24 de diciembre de 1822 - 14 de enero de 1901) fue un matemtico francs que investig en el campo de la teora de nmeros, sobre las formas cuadrticas, polinomios ortogonales y funciones elpticas, y en el lgebra.Varias entidades matemticas se llaman hermitianas en su honor. Tambin es conocido por la interpolacin polinmica de Hermite.Los polinomios ortogonales son conjuntos de polinomios que forman una base ortogonal de cierto espacio de Hilbert. Los polinomios ortoganles son importantes porque aparecen en la teora de ecuaciones diferenciales, Los polinomios de Hermite aparecen en mecnica cuntica como soluciones del oscilador armnico unidimensional.

Aplicacin De Los Mtodos Numricos De Interpolacin En La Resolucin De Problemas Una gran cantidad de problemas fsicos estn descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuacin de Laplace, la ecuacin de onda, la ecuacin de Schrdinger, etc.). Matemticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusin. Slo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta fu ncin de peso.

GlosarioProblema numrico: Descripcin precisa de la relacin funcional entre un conjunto nito de datos de entrada y un conjunto nito de datos de salida.Algoritmo: secuencia ordenada y nita de pasos, excenta de ambigedades, que seguidas en su orden lgico nos conduce a la solucin de un problema especcoMtodo numrico: Procedimiento para transformar un problema matemtico en numrico y resolver este ltimoPolinomio: es una expresin matemtica constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (nmeros fijos llamados coeficientes), utilizando nicamente las operaciones aritmticas de suma, resta y multiplicacin, as como tambin exponentes enteros positivos

Interpolacin de HermiteAqu buscamos un polinomio por pedazos que sea cbico en cada subintervalo, y que interpole a F yen los puntos . La funcin Hn(x) queda determinada en forma nica por estas condiciones y su clculo requiere de la solucin de n sistemas lineales de tamao 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolacin de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. Esta interpolacin se refiere a la interpolacin de una funcin f y algunas de sus derivadas en un mismo conjunto de nodos. Sean puntos distintos de : Sean valores reales arbitrarios. Entonces existe un nico polinomio de grado tal que

Para demostrarlo basta tomar en el Teorema 1:

Al polinomio se le llama polinomio de interpolacin de Hermite.La base dual, que denominaremos , viene dada por:1], i =0,,n

donde:

entonces:

La interpolacin de Hermite puede hacerse en general, no solo para la primera derivada, sino para derivadas de cualquier orden. Adems de la interpolacin polinomica, de la que hemos visto tres ejemplos diferentes, se puede hablar de interpolacin trigonomtrica, exponencial, logartmicaComo primer ejemplo, supongamos que queremos encontrar un polinomio, de menor grado posible, que satisfaga Como hay 3 condiciones, podemos pensar en resolver el problema mediante un polinomio es el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales). Digamos P(x ) 2(2 es el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales). Digamos

donde a, b, c son coeficientes reales por determinar. Como ,entonces las condiciones impuestas conducen a:

De acuerdo con las ecuaciones y se concluye que no existe un polinomio de grado menor o igual que dos que resuelva el problema planteado. Intentamos con un polinomio Digamos

de donde se tiene que

Como el sistema

Tiene infinitas soluciones: entonces el problema tiene diferentes soluciones

Los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta funcin de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y tpicamente poseen una funcin generatriz, as como operadores de subida y de bajada. de Hermite. La interpolacion de Hermite puede

Interpolacin de Newton-GregoryEste mtodo es aplicable a funciones tabuladas con datos igualmente espaciados. Asume que la funcin es analtica sobre todo el rango de inters, lo que permite encontrar los valores de la funcin entre los valores tabulados utilizando la expansin en serie de Taylor y sustituir las derivadas por su representacin en forma de diferencias.* Formula de Gregory-Newton hacia delante* Formula de Gregory-Newton hacia atrsLa Formula de Gregory-Newton hacia delante se utiliza para interpolar valores que se encuentren cerca del tope de la tabla, y la Formula de Gregory-Newton hacia atrs para interpolar valores que se encuentren en el fondo de la tabla.Formulas de Interpolacin de Gregory-NewtonLas siguientes formulas de interpolacin se obtienen por intermedio de la expansin en serie de Taylor cerca de x=0, y sustitucin de las derivadas por su representacin en forma de diferenciaFormula de interpolacin de Gregory-Newton hacia delante += = ,n=0Formula de interpolacin de Gregory-Newton hacia atrs+= ,n=0Se dice que los datos estn uniformemente espaciados si es constante para Para el casoparticular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma ms sencilla del polinomio de Newton. Esta forma mas sencilla se basa en diferencias que se denen de la siguiente manera:Diferencia de orden 0: Diferencia de orden 1: Diferencia de orden 2: fiDiferencia de orden 3:

http://numat.net/tutor/newton.pdfhttp://esimecu-anumerico.blogspot.mx/2011/06/interpolacion-de-newton.html