intro al curso de mat discretas i capitulo1

Matemticas DiscretasCapitulo I

Introduccin - Lgica proposicional y de predicados

INTRODUCCION

Qu es Matemticas Discretas ?

Parte de la matemtica que estudia los objetos Discretos (distintos o no conectados)

Son usadas en donde los objetos son contados, cuando las relaciones entre conjuntos finitosson estudiados y cuando los procesos que involucran un numero finito de pasos sonanalizados

Las razones para estudiar Matemticas Discretas

1. Desarrollar su madurez matemtica (habilidad para entender y crear argumentosmatemticos)

2. Es el inicio de ms cursos avanzados del plan de estudio (Flp, Fada, Criptografa,BD, SO, Deteccin y Correccin de errores, entre otros)

Matemticas Discretas incluye :

Logica

Teora de Conjuntos.

Combinatoria.

Teora de Grafos.

Probabilidad



LGICA

Introduccin

La lgica ha adquirido un papel cada vez ms importante en la infomtica . La lgica tienetres 3 distintas e importantes aplicaciones :

1. En programacin para construir expresiones lgicas.

2. Para escribir pre y postcondiciones que describen el comportamiento de losprogramas.

3. Como fundamento para el diseo del computador.

La Lgica es el estudio del razonamiento; en particular, se analiza si un razonamiento escorrecto.

Ejemplos: Todos los matemticos utilizan sandalias Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista. Por lo tanto, todos los matemticos son algebrista.

La Lgica se centra en las relaciones entre los enunciados y no en el contenido de unenunciado en particular. El tipo de expresiones que interesan a la lgica son aquellas cuyo contenido puede serevaluado como falso o verdadero. A este tipo de expresiones se le denomina proposicin,sentencia o enunciado. Existen diversos tipos de lgica, pero en este curso en particular se explorarn las LgicaProposicional y la Lgica de Predicados

Lgica proposicional

Una Proposicin es un enunciado, declaracin, sentencia que puede tomar valores deverdadero o falso.

Ejemplo de proposiciones : Bogota es la capital de Colombia.



Madrid es la capital de Espaa. 3 + 5 = 7. 2 + 1 = 3. La tierra es el nico planeta en el universo que tiene vida. Los unicos enteros positivos que dividen a 7 son 1 y el propio 7. Otros ?.

Son proposiones ?. Qu hora es?. Cierra la puerta!. x + 1 = 2. x + y = z. Ella es muy inteligente. compre dos boletos para el concierto de rock para el viernes

Para representar las proposiciones se utilizan letras maysculas tales como P, Q, R, etc. Por ejemplo, sea: P: Hoy es martes. Q: Hay clase de matemticas

En cualquier lgica, las proposiciones se clasifican en simples o compuestas.Las proposiciones simples se identifican porque no contienen otras afirmaciones que lacompongan (tomos) Las proposiciones compuestas se obtienen al combinar proposiciones simples paraexpresar afirmaciones ms complejas

Conectivos lgicos

La combinacin de los tomos se efecta a travs de los conectivos lgicos:

Conectivo

Significado ProposicinCompueta

Nombre enLgica

Y P Q Conjuncin

O P Q Disyuncin

No P Negacin

Si....Entonces

P Q Condicional

Si y Slo Si P Q Bicondiconal



Las proposiciones tienen la siguiente jerarquia: , , y sonasociativas por la izquierda

Por ejemplo:

P Q R Q R P

La formula resultante sera:

((((P) Q))R) (Q (R P)))

La lengua castellana ofrece una gran cantidad de formas para expresar la misma idea : El nmero n es un nmero primo menor que 100. 10 < x < 100. Juan gana ms de 5.000 pero menos de 8.000. Henry era un buen estudiante, pero Mara una buena pintora. Aunque es mal futbolista, Juan termin siendo el mejor jugador del partido. Adems, Ms an, Algunos. Algunos han nacido para la grandeza, algunos alcanzan la grandeza y algunos soportan

sobre s la grandeza. (Simbolizar).

Si las proposiciones P1,....Pn se combinan para formar la proposicin compuesta P, seescribira entonces P = P (P1,....Pn)

Tablas de verdad (o de veracidad)

Las Tablas de verdad son un instrumento empleado en la lgica proposicional, para indicarlas diferentes interpretaciones de una frmula y el resultado de las mismas.La tabla de verdad o veracidad de una proposicin compuesta P = P (P1,....Pn) enumeratodas las posibles combinaciones de los valores de verdad para P1,....Pn. Se denota por T(true) el valor verdadero y F (false) el falso.

P Q P Q P Q P Q P Q P V V V V V V F

V F F V F F

F V F V V F V

F F F F V V



Tabla 1. Tablas de verdad de las frmulas conjuncin, disyuncin, condicional,bicondicional, y negacin.

Nota: la formula disyuncin (conector V) se utiliza en el sentido inclusivo (es verdadcuando P o Q o ambas lo son) El banco Bogota proporciona crditos a todo el que mantenga un saldo de 5000 pesos o quetenga un certificados de prestamo de 5000 pesos.Puedes ir a la piscina o a la pista de patinaje.

Proposiciones condicionales

La figura lgica del condicional, responde a conectar dos proposiciones mediante elesquema "si..., entonces...". Para leer una proposicin de la forma R S, se puede usar algunas de las siguientesexpresiones: Si R entonces S. R es suficiente para S. S es necesario para R. S siempre que R. R slo si S.

A la frmula R se le llama Antecedente, y a la frmula S Consecuente.

Mara ser una buena estudiante si estudia mucho. Juan puede cursar clculo slo si est en segundo, tercer o cuarto ao de estudio de

licenciatura. Cuando cantas, me duelen los odos. Una condicin necesaria para que la seleccin Colombia ganen un campeonato mundial

es que consiga un buen tcnico. Una condicin suficiente para que Diego visite Santa Marta es que vaya a Cartagena. .

La figura lgica del bicondicional, responde a conectar dos proposiciones mediante elesquema "si y solo si". (observe que es verdadera solo en los casos en que P y Q seanverdaderas o cuando ambas proposiciones sean falsas) Ejemplo :

T es un triangulo rectngulo si y solo si a2 + b2 = c2 P: T es un triangulo rectngulo Q: En un triangulo a2 + b2 = c2

P Q



Tautologas y contradiccionesLas tablas de verdad nos permiten clasificar las expresiones logicas en:

Tautologa: es una expresin logica que es verdadera para todas las asignaciones posiblesContradiccin: es una expresin logica que es falsa para todas las asignaciones posiblesContingencia: es una expresin logica que no es ni tautologa ni contradiccin

La frmula P P es Tautologa, vea por qu:

P P P P V F V F V V

La frmula (P Q) (P Q)es Contingencia:

P Q P Q P Q (P Q) (P Q) V V V V V V F F V V F V V F F F F V V V

La frmula P P es una Contradiccin, observe:

P P P P V F F F V F

Implicacin lgica

Si P y Q son dos expresiones lgicas y si P Q es una tautolgia, decimos que P implicalgicamente a Q, y escribimos P Q

Equivalencia lgica

Si P y Q son dos expresiones lgicas y si PQ tienen siempre el mismo valor de verdad,entonces se dice que P y Q son lgicamente equivalentes, y escribimos PQ si y solo siPQ es una tautologia.

Muestre que (P Q) P Q)



P Q P Q (P Q) P Q) V V F F F F V F F V F F F V V F F F F F V V V V

Ejemplos :((p => q) p) => q) p (q r) => s (p q) p q) p q p q)

Es posible generar leyes para la lgica proposicional que acorten el proceso dedemostracin significativamente. Las siguientes son Leyes de la Lgica proposicional:

Equivalencia Lgica P P Doble negacin P P P Idempotencia P P P Idempotencia P (Q R) (P Q) R Ley asociativa P (Q R) (P Q) R Ley asociativa (P Q) (Q P) Ley del contrarrecproco (P Q) (Q P) Ley conmutativa (P Q) (Q P) Ley conmutativa P (Q R) (P Q) (P R) Ley distributiva P (Q R) (P Q) (P R) Ley distributiva (P Q) P Q Ley de De Morgan (P Q) P Q Ley de De Morgan P F P Ley de identidad P V P Ley de identidad (P Q) P Q Ley de implicacin P V V Ley de dominacin



P F F Ley de dominacin P (P Q) P Ley de cobertura P (P Q) P Ley de cobertura P P F Ley de contradiccinP P V Ley de contradiccin

Ejercicios : Resolver usando leyes

(P Q) (P R)

((P Q)P) Q

((P Q) P) (P R)

(P (Q R)) ( P (Q S))

(P Q)(P Q)

Ejercicios

Ejercicios 1.1 y 1.2 Matematicas discretas (Richard Johnsonbaugh)



Logica de predicados

Expresiones que involucran variables tales como:

1. x > 3 2. x = y + 3 3. x +y = z

son encontradas frecuentemente en declaraciones matemticas y programas de computador.Cuando los valores de las variables no son especificados, estas expresiones no sonverdaderas o falsas. En esta seccin discutiremos las formas en las cuales proposicionespueden ser producidas de tales expresiones.Para 1 la expresin tiene 2 partes:

1. la variable x es el sujeto de la expresin2. es mayor que es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresin puede

tener)Podemos denotar la expresin x es mayor que 3 por P(x), donde P denota el predicadoes mayor que 3 y x es la variable. La expresin P(x) es ser el valor de la funcinproposicional P en xUna vez un valor le es asignado a la variable x, la expresin P(x) se convierte en unaproposicin y tiene su valor de verdad.

Ejercicios : Cuales son los valores de verdad de P(4) y P(2) ? Sea Q(x,y) la funcin proposicional para 2. Cuales son los valores de verdad de las

proposiciones Q(3,2) y Q(5,2) ? Sea R(x,y,z) la funcin proposicional para 3. Cuales son los valores de verdad de las

proposiciones R(1,2,3) y R(0,0,1) ?

En general una expresin que involucra las n variables x1, x2, ..... xn puede ser denotado porP(x1, x2, ..... xn).Una expresin de la forma P(x1, x2, ..... xn) es el valor de la funcin proposicional P en lan-tupla (x1, x2, ..... xn) y P es tambin llamado un predicado.

Cuantificadores

Cuando a todas las variables en una funcin proposicional le son asignados valores, laexpresin resultante tiene un valor de verdad. A traves de la cuantificacin tambien sepueden crear proposiciones desde una funcin proposicional.



Cuantificacin universalLa cuantificacin universal de P(x) es la proposicin P(x) es verdad para todos los valoresde x en el universo de discurso.La notacin xP(x) denota la cuantificacin universal de P(x). Aqu Es llamado elcuantificador universal. La expresin xP(x) es tambin expresada como:para todo x P(x) o para cada x P(x)

Ejemplo1Expresar la expresin: cada estudiante en esta clase ha estudiado calculo como unacuantificacin universal.R// 1. Sea P(x) que denota la expresin x ha estudiado calculo entonces se puede expresar

como: xP(x), donde el universo de discurso consiste de los estudiantes en esta clase.2. Tambin puede ser expresado como: x(S(x) P(x)) donde S(x) es la expresin x

esta en esta clase y el universo de discurso es el conjunto de todos los estudiantes.

Ejemplo2Sea Q(x) la expresin x



Sea Q(x) que denota la expresin x = x +1 Cual es el valor de verdad de xQ(x), donde eluniverso de discurso es el conjunto de los numeros reales ?R// Puesto que Q(x) es falso para cada numero real x, la cuantificacin existencial de Q(x),la cual es xQ(x), es falsa.

Cuando todos los elementos del universo de discurso pueden ser listados- digamos x1,x2, ..... xn la cuantificacin existencial xP(x) es la misma como la disjuncin P(x1) P(x2) ..... P(xn) puesto que esta disjuncin es verdad si y solo si al menos una de P(x1), P(x2),..... P(xn) esverdad

Ejemplo2Cual es el valor de verdad de xP(x), donde P(x) es la expresin x2 > 10 y el universo dediscurso consiste de los enteros positivos que no sobrepasan al 4 ?R// La expresin xP(x) es la misma como la disjuncin P(1) P(2) P(3) P(4). Ya queP(4) la cual es la expresin 42 > 10 es verdad, entonces se sigue que xP(x) es verdad.

Ejemplo3Transladar la expresin dada a continuacin al espaol, donde C(x) es x tiene uncomputador, F(x,y) es x y y son amigos y el universo de discurso para ambas x y y es elconjunto de todos los estudiantes en su escuela x(C(x) y(C(y) F(x,y)))R// Cada estudiante en su escuela tiene un computador o tiene un amigo quien tiene uncomputador.

Ejemplo4Asumiendo al conjunto de todos los numeros reales como el universo de discurso. Laexpresin xy(x + y = 0) dice que para cada numero real x hay un numero real y tal quex+y = 0 (inverso aditivo)

Variables LigadasCuando un cuantificador es usado sobre la variable x o cuando nosotros asignamos un valora esta variable, decimos que esta ocurrencia de la variable esta ligada. Una ocurrencia deuna variable que no esta ligada por un cuantificador o igualada a un valor particular se diceque es libre. Todas las variables que ocurren en una funcin proposicional deben estarligadas para tornarla en una proposicin. Esto se puede realizar usando una combinacinde cuantificadores universales, existenciales y asignacin de valores.La parte de una expresin logica para la cual un cuantificador es aplicado es llamado elalcance de este cuantificador. Consecuentemente, una variable es libre si esta fuera delalcance de todos los cuantificadores en la formula que especifican esta variable.

Ejemplo1



En la declaracin xQ(x,y), la variable x esta ligada por la cuantificacin existencial x,pero la variable y es libre por que no esta ligada por un cuantificador y ningun valor esasignado a esta variable.

Ejemplo2En la declaracin x(P(x) Q(x)) xR(x), todas las variables estan ligadas. El alcancedel primer cuantificador, x, es la expresin P(x) Q(x). El alcance del segundocuantificador, x, es la expresin R(x). Es decir el alcance de los 2 cuantificadores no sesobrelapan.

NegacionesUsualmente deseamos considerar la negacin de una expresin cuantificada. Por ejemplo,considere la negacin de la declaracin: cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo o xP(x). Donde P(x) es la declaracin x ha tomado un curso de calculo.La negacin de esta declaracin es: no es el caso que cada estudiante en la clase ha tomado un curso de calculo o hay un estudiante en la clase quien no ha tomado un curso de calculo. En esta ultima declaracin se ve que es simplemente la cuantificacin existencial de la

negacin de la funcin proposicional original. Es decir xP(x).

Considere la negacin de la declaracin: hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo o x P(x). Donde P(x) es la declaracin x ha tomado un curso de calculo.La negacin de esta declaracin es: no es el caso que hay un estudiante en la clase que ha tomado un curso de calculo cada estudiante en la clase no ha tomado un curso de calculo. En esta ultima declaracin se ve que es simplemente la cuantificacin universal de la

negacin de la funcin proposicional. Es decir xP(x).

Ejemplo1Cuales son las negaciones de las declaraciones: Hay un politico honestoR// Sea H(x) que denota x es honesto donde el universo de discurso son todos lospolticos. Estonces la declaracin se puede simbolizar como: xH(x). Luego la negacin esxH(x), la cual es equivalente a xH(x) la cual corresponde a Cada poltico eshonesto Todos los americanos comen hamburguesasR// Sea C(x) que denota x come hamburguesas donde el universo de discurso son todoslos americanos. Estonces la declaracin se puede simbolizar como: xC(x). Luego lanegacin es xC(x), la cual es equivalente a xC(x) la cual corresponde a Hay unamericano quien no come hamburguesas



Ejemplo2Cuales son las negaciones de: x(x2>x) R// x(x2>x) la cual es equivalente a x(x2>x). Lo cual puede ser reescrito como x(x2x) x(x2 = 2)R// x(x2=2) la cual es equivalente a x(x2=2). Lo cual puede ser reescrito como x(x22)

Ejercicios: seccin 1.3 de Rosen.

intro al curso de mat discretas i capitulo1

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