instituciÓn educativa stella vÉlez londoÑo (antes … · 2021. 3. 10. · números en el...

Asignatura: Matemáticas Grado 9 Periodo: 2

Temática: Grado de un monomio y polinomio Semana 1

Actividad #: 1 Total horas: 4

Indicador (es) de

desempeño:

• Argumenta el uso de las expresiones algebraicas como representaciones de

situaciones cotidianas.

Desarrollo temático: (Texto)

Qué es un monomio

Un monomio es una expresión algebraica que se compone de un signo (positivo o negativo), números y

variables, que están multiplicados entre sí, y por tanto, forman un producto.

A su vez, las variables pueden estar elevadas a un exponente natural.

Vamos a ver algunos ejemplos de monomios para que lo entiendas mejor:

Elementos de un monomio

A la hora de denominar los elementos de un monomio, éstos se dividen en dos partes: el coeficiente y la

parte literal.

El coeficiente está formado por el signo y por los números y la parte literal por las variables y sus

exponentes.

Vamos a ver más detenidamente cada una de ellas:

Coeficiente

Como te acabo de indicar, el coeficiente está formado por el signo y por el número, que está multiplicando

a la parte literal. Por lo general, se coloca al principio. Para verlo más claro, marco en color rojo los

coeficientes de los ejemplos anteriores:

Si el coeficiente no tiene ningún signo, equivale a que su signo es positivo, como es el caso de:

¿Qué pasa si no aparece ningún coeficiente?

INSTITUCIÓN EDUCATIVA STELLA VÉLEZ LONDOÑO (ANTES INSTITUCIÓN EDUCATIVA SAÚL LONDOÑO LONDOÑO)

(RESOLUCIÓN 07027 AGOSTO 12 DE 2009)

Calle 48DD Nº 99D – 118, TELEFONO: 492 27 68 - 492 75 13

Calle 48 DD Nº 99 F 99, Teléfono 4927192

Si no aparece ningún coeficiente, como por ejemplo:

Significa que en ese caso el coeficiente es 1 y no se escribe porque ya sabes que multiplicar un valor por 1,

no varía su resultado:

Por otro lado, el coeficiente nunca puede ser cero, ya que la expresión completa tendría como valor 0:

Para terminar con el coeficiente, indicarte que no tiene por qué ser un número entero, puede ser también

un número racional o irracional:

Parte literal

La parte literal la forman las variables con sus exponentes. Marco ahora en azul la parte literal de los

ejemplos anteriores:

Si alguna variable no tiene exponente, equivale a que esa variable está elevada a 1, como es el caso de:

Grado de un monomio

Ahora que ya estamos más familiarizados con el monomio vamos a ver cómo calcular su grado.

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de sus variables, independientemente de

que las variables sean iguales o no.

Calcular el grado de un monomio no tiene nada que ver con la multiplicación de potencias de la misma

base, en la que se suman los exponentes y es una condición necesaria que tengan la misma base para que

se puedan sumar los exponentes.

Esto es distinto, no te confundas. Aquí se suman los exponentes de todas sus variables.

Vamos a calcular el grado de los monomios anteriores:

Qué es un polinomio

Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios. A cada monomio del polinomio se le

llama término. Éste es un ejemplo de polinomio:

Cada término del polinomio, tal y como hemos visto antes, se compone de coeficiente y parte literal.

Al polinomio de un sólo término se le llama monomio, al de dos binomio, al de tres trinomio…

Por otro lado, cuando los polinomios sólo tienen una variable se suelen indicar nombrándolos con la letra

P en adelante (aunque esto da igual) y encerrando entre paréntesis a la variable que tienen:

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio es el grado de su monomio más alto. Vamos a verlo con un ejemplo:

En este caso, el primer monomio tiene grado 6, el segundo grado 11 y el tercero grado 5, por tanto, el

grado del polinomio es 11, ya que es el mayor grado de los tres.

Si el polinomio sólo tiene una variable, su grado se calcula exactamente igual:

El grado del polinomio coincide con el término de mayor grado.

Actividades de aplicación: Resolver cada ejercicio con la información antes dada.

1. Escriba el grado absoluto de cada uno de los siguientes monomios:

a) –5,5p⁴t² b) 3m³n²z² c) 1 2 a³bc² d) 5m2t3

e) 7

3m⁴b2 f) 2m⁴a⁴ g) 3a2b3c h) 3m5n2p

2. Halle el grado absoluto de cada polinomio.

a) 7x⁵y² – 8x⁴y + 2x³ – 1 b) 2

3 m¹¹x⁹–

3

4 m³x¹⁰ +

1

2 m⁹x⁹

c) 3x2y3 + 17x5y4 – a2x3y7 d) 2x3y5 + 3x2y2 + 5x3y6 + 2x6y3

e) 17x16y – 71xy15 f) 6x2y3z – 9x3y4z6 + 15xy5z3

g) 2

3m11 x9 -

3

4 m3 x10 +

1

2 m9 x9

h) 5x4y5z2 – 6x2y4z3 + 3x7y2z5

i) 4m2n3x – 2m4n5xy + m6n7 j) 3bx3y4 – 7b3x2y3 – 4x4y3

k) 7x5y2 – 2x8y6 + 8x3y2 l) 3

5 x5y3b2 +

1

3 x3y2z – x4y2z6

Estrategia y parámetros de evaluación:

1. Se debe copiar en el cuaderno todo el texto para un mejor aprendizaje, luego se verificara su cuaderno al regreso a la institución. 2. Realizar los ejercicios propuestos con procedimiento y enviarlo donde la institución lo proponga.


Temática: Valor numérico de un polinomio Semana 2 y 3


Indicador (es) de desempeño:

• Argumenta el uso de las expresiones algebraicas como representaciones de situaciones cotidianas.

Desarrollo temático: (Texto) Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio es el valor que toma cuando a las variables se les sustituye por un valor determinado. Una vez conocidos los valores que toman las variables, tan sólo debemos sustituir las variables por los números en el polinomio y después operar para hallar su valor. Vamos a verlo con un ejemplo 1: Hallar el valor numérico del siguiente polinomio:

Para estos valores de las variables:

Para calcular el valor del polinomio, sustituimos la x por -1 y la y por 2 y operamos:

El valor del polinomio en este caso será de -50. Para calcular el valor numérico de polinomios que dependen de una sola variable, hacemos lo mismo. Por ejemplo, calcular el valor del siguiente polinomio:

Para: Sustituimos la x por -2 y operamos:

El valor del polinomio en este caso es de -244. ¿Cómo se procede para calcular el valor numérico? Muy sencillo en este caso, al igual que en todos, sólo debes sustituir cada lugar donde veas “x” (es decir donde veas la variable) por el valor que te dieron. Ejemplo # 2





El valor numérico de

Aquí sustituimos a "X" por su valor, es decir (-2)

Aquí primero realizamos las potencias. P(x)=2(-32)- 4(-8)+ 5(-2) - 6 Luego los productos. P(x)= -64 + 32 -10 - 6 Resultado: -80 + 32 = -48 Ejemplo # 3

Aquí sustituimos a "X" y "Y" por sus respectivos valores.

Respuesta = (1)(16)+ 6(256)-10 Respuesta = 16+ 1024-10 Respuesta = 1030

Actividades de aplicación: 1. Para complementar el texto se debe ver un video con el link. https://www.youtube.com/watch?v=MCbKYBUeE3U&t=61s https://www.youtube.com/watch?v=Lw7snG-aheU&t=125s 2. Realizar el siguiente taller. Resolver los siguientes ejercicios besándose en el texto y los videos propuestos a. 7x3 – 3x2 – x + 10 para x = 2 b. 5x7 – 4x2 + 11x + 17 para x= -1 c. x4 – 5x2 + 7x – 20 para x= 0 d. (x – 5)2 * (x – 7) * (x + 12) para x = 4 e. 7x5 + 3x2 – 6x + 8 para x= 5 f. 12x4 – 6x3 + 15x2 – x – 8 para x = -2

g. (𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)

𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2 Para a =1, b= 2 h. a(x + y) – b (x – y) para x= 2, y= -1 , a=

−1

2 , b=

−2

5

i. √𝑝( 𝑝 − 𝑎)( 𝑝 − 𝑏)( 𝑝 − 𝑐) Para p= 5, a= 2, b= 3, c= 4

j. 𝑎+𝑏+𝑐

2 - .

𝑎−𝑏+𝑐

5 Para a=

1

2 , b =

1

3, c =

1

5

Para los siguientes polinomios tener en cuenta los siguientes valores a= 2 , b = -1, c= 3, d = 1 y e= 5 k. 5a2 + 2bc + 3d l. 3a2 – 2ac + 2e m. 2(a – c) + 3(c- e) n. (a + b – c + e)2

Estrategia y parámetros de evaluación: 1. Se debe copiar en el cuaderno todo el texto para un mejor aprendizaje, luego se verificara su cuaderno al regreso a la institución. 2. Realizar los ejercicios propuestos con procedimiento y enviarlo donde la institución lo proponga.

https://www.youtube.com/watch?v=MCbKYBUeE3U&t=61s

https://www.youtube.com/watch?v=Lw7snG-aheU&t=125s


Temática: Operaciones con polinomios de suma, resta, multiplicación y división.

Semana 4 y 5




Desarrollo temático: (Texto) Objetivos: Fortalecer los procesos utilizados para solucionar ejercicios relacionados con la suma y resta de polinomios. Sumar y restar polinomios puede sonar complicado, pero en realidad no es muy distinto de sumar y restar números. Cualquiera de los términos que tengan las mismas variables con los mismos exponentes puede ser combinado. Sumando Polinomios Sumar polinomios implica combinar términos. Los términos semejantes son monomios que contienen la misma variable o variables elevadas a la misma potencia. Los siguientes son ejemplos de términos semejantes y no semejantes:

Monomios Términos Explicación

3x 14x

semejante las mismas variables con los mismos exponentes

16xyz2 -5xyz2

semejante las mismas variables con los mismos exponentes

3x 5y

no semejante

diferentes variables con los mismos exponentes

-3z -3z2

no semejante las mismas variables con diferentes exponentes

Método y pasos para sumar polinomios Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.





javascript:void(0)

javascript:void(0)

javascript:void(0)

1. Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

Así, 2. Dar el resultado P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5 Ejemplo 1.

Ejemplo

Problema (4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2) + (–4x2 – 8xy + 10)

4x2y + 5x2 + 3xy – 6x + 2

+ – 4x2 – 8xy + 10

4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Escribir un polinomio bajo el otro, alineando verticalmente los términos comunes Dejar un espacio en blanco arriba o abajo de cada término que no tenga término semejante Combinar términos semejantes, poniendo atención en los signos

Solución

4x2y + x2 – 5xy – 6x + 12

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

Resta de polinomio También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto del otro termino (ósea es cambiarle todos los signos si están positivos cambiarle a negativo y si están negativos cambiarlos a positivos) y se coloca uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar. P(x) = 7x4 + 4x2 + 7x + 2 Q(x) = 6x3 + 8x +3

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Actividades de aplicación: Resolver los siguientes ejercicios realizando los procedimientos


Temática: Multiplicación y división de polinomios.

Semana 6 y 7




Desarrollo temático: (Texto) Multiplicación de polinomios. La multiplicación de polinomios es la más general de las multiplicaciones algebraicas en este caso se multiplican un polinomio con otro polinomio su resultado puede ser un polinomio, un número o cero. Reglas:

• Se multiplica cada término del polinomio por cada término del polinomio, sumando los exponentes de las literales iguales.

• Se coloca el signo de cada factor resultante de acuerdo con las reglas de los signos vistas anteriormente

• Se encuentra la suma algebraica de los productos parciales. Ejemplo 1: P(x)= 2x2+5x-6 Q(x)= 3x2-6x+3 Al igual, también podemos resolverlo de manera vertical:

Ejemplo 2: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x. Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.





División de polinomios En álgebra, no es división de polinomios (también división polinomio o división polinómica) es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo. Abordaremos la explicación con un ejemplo paso a paso el procedimiento. Ejemplo: Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8, Q(x) = x2 − 2x + 1. P(x) ÷ Q(x) 1. A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

2. A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. 3. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. x5 ÷ x2 = x3 4. Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

5. Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo. 2x4 ÷ x2 = 2 x2

6. Procedemos igual que antes. 5x3 ÷ x2 = 5 x

10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo. X 3+2x2 +5x + 8 es el cociente.

Actividades de aplicación: 1. Ver videos relacionados con el tema https://www.youtube.com/watch?v=uykMCi8pcUk&t=277s https://www.youtube.com/watch?v=Bg3ZzssmwKI 2. Resolver los siguientes ejercicios, realizando los procesos para cada uno, teniendo en cuenta el texto y los videos. 1. Resolver las siguientes multiplicaciones.

2. Resolver las siguientes divisiones.


https://www.youtube.com/watch?v=uykMCi8pcUk&t=277s

https://www.youtube.com/watch?v=Bg3ZzssmwKI


Temática: División método Ruffini Semana 8




Desarrollo temático: (Texto) Pero ahora, ¿qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza? La regla de Ruffini es un método que permite:

• Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)

• Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a

• Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)

• Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido. Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factoriza, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:





https://ekuatio.com/course/curso-de-polinomios/

3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:

En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviéremos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0. Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:

4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1. Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

6 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:

7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

8 – Se realiza la suma de la segunda columna:

9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

Actividades de aplicación: 1. Se refuerza la explicación en el texto con un video. https://www.youtube.com/watch?v=k7IfkbSyV8c https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0 2. Resolver los siguientes ejercicios, recuerda realizar procedimiento.


https://www.youtube.com/watch?v=k7IfkbSyV8c

https://www.youtube.com/watch?v=ozzalwEBhw0


Temática: Producto notables ( binomio de suma al cuadrado, binomio de la resta al cuadrado y Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados))

Semana 9 y 10



• Desarrolla y explica las propiedades y operaciones de los diferentes productos y cocientes notables.

Desarrollo temático: (Texto) Objetivos de aprendizaje Reconocer y utilizar los productos notables Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas. 1. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

Miremos otra forma:





Ejemplo 1:

Primer término elevado al cuadra = x² Más dos veces el primer término por el segundo término = + 2 (x * 5) = 10x Más el segundo término elevado al cuadrado= + 5² = 25 Resultado final (x + 5)² = x² + 10x+ 25. Ejemplo 2 (4a + 2b) = Primer término elevado al cuadrado = (4a)2 = 16a2 Más dos veces el primer término por el segundo término = + 2 (4a * 2b) = 2 (8ab) = 16ab Más el segundo término elevado al cuadrado= + (2b)2

= 4b2 Resultado final (4a + 2b) = 16a2 + 16 ab + 4b2. 2. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

(a – b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. Ejemplo 1 (2x – 6)2 = Primer término elevado al cuadrado = (2x)2 = 4x2 Menos dos veces el primer término por el segundo término= – 2 (2x * 6) = - 2(12x) = - 24x Más el segundo término elevado al cuadrado = + 62 = 36 Resultado final es (2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36. 3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados) El producto de la suma por la diferencia de dos términos sería: (8x +3) (8x – 3), expresión que es igual a (8x-3)(8x+3) debido a la conmutatividad de la multiplicación, a este tipo de expresiones también se les conoce como binomios conjugados. E este producto notable es posible realizarlo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla a) Primero se saca el cuadrado del primer término b) Se resta el cuadrado del segundo término, ejemplos; Ejemplo 1: (5x +9) (5x – 9)= 25x2 -81 a) Primero se saca el cuadrado del primer término: (5x)2= (5x) (5x) = 25x2 b) Se resta el cuadrado del segundo término. (9)2 = (9).(9) = 81 Ejemplo 2: (a + 2b3) (a -2b3) = a + a (c + d) + cd a) Primero se saca el cuadrado del primer término: (a)2= (a) (a) =a2

b) Se resta el cuadrado del segundo término. (2b3)2 = (2b3). (2b3) = 4b6 Ejemplo 3: (4x-3y) (4x-3y)= a) El cuadrado de la primera cantidad es (4x)2 = 16x2 b) El cuadrado de la segunda cantidad es (3y)2= 9y2 Entonces tendríamos: (4x-3y) (4x-3y)= 16x2 - 9y2

Actividades de aplicación: 1. Observar el video para complementar el texto https://www.youtube.com/watch?v=Gku9oX8GGZM 2. Realizar los ejercicios propuestos


https://www.youtube.com/watch?v=Gku9oX8GGZM

instituciÓn educativa stella vÉlez londoÑo (antes … · 2021. 3. 10. · números en el...

Documents