m.c. soraida zúñiga mtz -...
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EVALUACION
• 70 % EXAMEN
• 30% TAREAS Y TRABAJOS EN CLASE
• Obligatorio. PRESENTACIONES EN LIBRETA, CON LIBRETA COMPLETA cada parcial
MÉTODOS NUMÉRICOS
Primer parcial.Tema 1.-Aspectos GENERALES
Libros:• Metodos numéricos para ingenieros, Steven
Chapra, 5ta ed• Metodos numéricos aplicados a la ingeniería,
Antonio Nieves,2da ed (3 partes)
VAMOS A NECESITAR DESCARGAR OCTAVE O MATLAB, PARA TRABAJAR EN ALGUNOS TEMAS.
OCTAVE ES SOFTWARE LIBRE, PUEDEN DESCARGAR UNA VERSION MAS “AMIGABLE ” DE ÉSTE QUE SE LLAMA “OCTAVE UPM” desarrollado por la Universidad Politecnica de Madrid.En link esta en la página.
OCTAVE GNU
¿Qué son y para qué se usan los métodos numéricos?
¿Qué se usaba antes de la computadora (ordenador) para hacer los cálculos?
Diseño de dos contenidos con SmartArt
EL LENGUAJE DE LAS COMPUTA-DORAS
TIPOS DE ERRORES NUMÉRICOS
• Elementos de métodos numéricos para Ingeniería, Izar Landeta Juan Manuel
Respuesta: la computación cuántica
¿Cuál es el futuro de la computación, y por lo tanto de los métodos numéricos?
TEMA2.- INTERPOLACIÓN• Se estudiará la aproximación de funciones disponibles en forma
discreta(puntos tabulados) con funciones analíticas sencillas o bien de aproximación de funciones cuya complicada naturaleza exija su reemplazo por funciones mas simples.
¿Qué es interpolar?
• Encontrar el valor de f(x) para un cierto valor dado de “x”, por ejemplo para el punto marcado en la gráfica
2.1. Aproximación polinomial Simple
Ejemplo. Hacer INTERPOLACIÓN usando la aproximación polinomial simple, para encontrar la Temperatura de la acetona para presión de 2 atm usando la tabla:
TABLA ANTERIOR, PARA MENOS PUNTOS
APROXIMEMOS USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 1, DE LA FORMA P(X)=a0 +a1XPara el cual usaremos Los puntos 0 y 1 de la tabla
EL VALOR EXPERIMENTAL CORRECTO DEACUERDO A LA TABLA ES 78.6°c
INTERPOLACION POLINOMIAL SIMPLE USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 1
POLINOMIO DE GRADO “N”, NECESITAN “N+1” PUNTOS
• EN ESTE MÉTODO SURGE LA NECESIDAD DE RESOLVER UN SISTEMA DE “N” ECUACIONES LINEALES CON “N” INCOGNITAS, LO CUAL PUEDEN USAR MEDIANTE EL MÉTODO QUE USTEDES QUIERAN. POR EJEMPLO GAUSS JORDAN (método matricial).
• En la pagina esta el link de una pagina de internet en donde resuelven usando el método de Gauss Jordan paso a paso.
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/gaus/
• En el siguiente parcial veremos algunos métodos numéricos para solucionar éstos sistemas de ecuaciones lineales.
APROXIMACIÓN POLINOMIAL SIMPLE USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2
• Para usar un polinomio de grado 2 (parábola) usaremos los puntos 0,1,y 2 de la tabla
EL VALOR EXPERIMENTAL CORRECTO DEACUERDO A LA TABLA ES 78.6°c
¿Qué hacer si queremos una mejor aproximación?Usar un polinomio de orden mayor
POLINOMIO DE GRADO 2
TRABAJO EN CLASE/ tarea #1Encontrar el valor de la temperatura, para una presión de 2 atm, asi como el polinomio de aproximacion. Usando la aproximación polinomial simple con un polinomio de grado 3
NOTA: este polinomio es el de grado máximo que podemos tener ya que en la tabla solo tenemos 4 punto
POLINOMIO DE GRADO “N”, NECESITAN “N+1” PUNTOS
A0=57451/1482A1=182881/9880A2=-8971/11400A3=67/6175
RESPUESTA 72.72°c
TRABAJO EN CLASE #2
• un paracaidista en descenso cae, considerandoresistencia del aire se miden sus velocidades a través del tiempo (tabla) . encontrar la velocidadal tiempo de 2 seg.
• Use la aproximación polinomial simple con un polinomio de grado 1,2,3
Tiempo (s) Velocidad (m/s)
1 800
3 2310
5 3090
7 3940
RESPUESTASGRADO 1 , 1555 GRADO 2, 1646.3GRADO 3, 1696.3
2.2. POLINOMIOS DE LAGRANGE
Pn(x)= 𝑖=0𝑛 𝐿𝑖 𝑥 𝑓 (𝑥𝑖)
Pn polinomiode grado “n”𝐿𝑖(𝑥) =
𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
Un polinomio de Lagrange de grado 1 (n=1), se escribe:
Pn(x)= 𝑖=0𝑛 𝐿𝑖 𝑥 𝑓 (𝑥𝑖)
𝐿𝑖(𝑥) = 𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
Un polinomio de Lagrange de grado 2, se escribe:
𝐿𝑖(𝑥) = 𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
De manerageneral los polinomiosLn se obtienende la sig manera
𝐿𝑖(𝑥) = 𝑗=0𝑗≠𝑖
𝑛(𝑥 − 𝑥𝑗)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
EJEMPLO 2. POLINOMIOS DE LAGRANGE
USANDO POLINOMIO DE LAGRANGE GRADO 1 (2 puntos)
USANDO POLINOMIO DE LAGRANGE GRADO 1
USANDO POLINOMIO DE LAGRANGE GRADO 2
USANDO POLINOMIO DE LAGRANGE GRADO 3
USANDO POLINOMIO DE LAGRANGE GRADO 3
Codigo de octave para polinomios de lagrange de grado 1,2,3
VALOR INTERPOLADO
COEFICIENTES DEL POLINOMIO
VALOR A INTERPOLAR
GRADO DEL POLINOMIO
CODIGO #1, 3 codigos grado1,2 Y 3
tarea #3. Polinomios de Lagrange
4 puntos, polinomio de tercer grado
TRABAJO EN CLASE #4
• un paracaidista en descenso cae, considerandoresistencia del aire se miden sus velocidades a través del tiempo (tabla) . encontrar la velocidadal tiempo de 2 seg.
• Use un polinomio de Lagrange de grado 1,2,3
Tiempo (s) Velocidad (m/s)
1 800
3 2310
5 3090
7 3940
RESPUESTASGRADO 1 , 1555 GRADO 2, 1646.3GRADO 3, 1696.3
Respuestas grado 1, 2 y 3
Grado del polinomio
Valor a interpolar
Valor interpolado
Coeficientesdel polinomioDe grado 3
CODIGO MATLABPOLINOMIO LAGRANGE GRADO 3
CODIGO #2, 3 codigos grado1,2 Y 3
2.3 Polinomio de Newton en diferencias Divididas
• 2.3.1 ¿Qué son las diferencias divididas?
Ejemplo 4. Diferencias divididas
POR LO TANTO, LOS PUNTOS PROVIENEN DE UN POLINOMIO DE GRADO 3
2.3.2 Polinomio de Newton en Diferencias Divididas
DONDE a0, a1, a2 son las diferencias divididas
DONDE a0, a1, a2 son las diferencias divididas
a0
a1
a2
EJEMPLO 5. Polinomio de Newton en Dif. Div.
USE UN POLINOMIO DE NEWTON DE GRADO 1, 2 Y 3
a0
a1a2
a3
Para un polinomio de grado 1
Para un polinomio de grado 2
Para un polinomio de grado 3
72.7°C
Polinomiosgrado 1, 2 y 3
DiferenciasDivididas
PARA IMPRIMIR “fprintf”CONMAS DECIMALES%6.1f PARA 1 DECIMAL%6.2f PARA 2 DECIMALES%6.3f PARA 3 DECIMALES%6.4f PARA 4 DECIMALES
CODIGO #3, 1codigo grado 1,2 Y 3
TRABAJO EN CLASE/ TAREA #5
USE UN POLINOMIO DE NEWTON DE GRADO 2
a0
a1a2
CODIGO #4, 1codigo grado 1,2 Y 3
Mismo problema con 4 datos y polinomio de grado 3
TAREA/ TRABAJO EN CLASE #6INTERPOLACION NEWTOn LAGRANGE
Hágalo también usandoun polinomio de Lagrange de gradomáximo
Mismo para Newton y Lagrange