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7/18/2019 INFRME 2.docx

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ANGELA QUIRZ

GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL

Una gráfica de flujo de señal (SFG – Signal flow Graph) se puede ver como una

versión simplificada de un diagrama de bloues! "a SFG fue in#roducida por S! $!

%ason para la represen#ación de causa & efec#o de sis#emas lineales ue son

modelados por ecuaciones algebraicas! 'demás de la diferencia en apariencia

fsica de la SFG & el diagrama de bloues la gráfica de flujo de señal se puede ver

como res#ringida por reglas ma#emá#icas más rgidas mien#ras ue el uso de la

no#ación del diagrama de bloues es más liberal! Una SFG se puede definir como

un medio gráfico de re#ra#ar la relación en#rada*salida en#re las variables de un

conjun#o de ecuaciones algebraicas lineales!

+onsidere ue un sis#ema lineal es#á descri#o por un conjun#o de , ecuaciones

algebraicas-

.ebe señalarse ue es#as , ecuaciones es#án escri#as en la forma de relaciones

de causa & efec#o-

/ simplemen#e-

0s#e es el a1ioma más impor#an#e en la formación del conjun#o de ecuaciones

algebraicas para las SFG! 0n el caso de ue el sis#ema es#2 represen#ado por un

conjun#o de ecuaciones in#egro*diferenciales primero se deben #ransformar en

ecuaciones de la #ransformada de "aplace & despu2s se re*arreglan es#as 3l#imas

en la forma de la ecuación (4) o-

GRÁFICAS DE

FLUJO DE SEÑAL

– SFG

(SIGNAL FLOW GRAPH)



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ANGELA QUIRZ

ELEMENTOS BÁSICOS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO DE SEÑAL

+uando se cons#ru&e una SFG los pun#os de unión o nodos se u#ili5an para

represen#ar variables! "os nodos es#án conec#ados por segmen#os lineales

llamados ramas de acuerdo con las ecuaciones de causa & efec#o! "as ramas

#ienen ganancias & direcciones asociadas!Una señal se puede #ransmi#ir a #rav2s de una rama solamen#e en la dirección de

la flecha!

0n general dado un conjun#o de ecuaciones #ales como las ecuaciones (4) o (6)

la cons#rucción de una SFG consis#e en seguir las relaciones de causa & efec#o

relacionado cada variable en #2rminos de s misma & de las o#ras! 7or ejemplo

considere ue un sis#ema lineal es#á represen#ado por la ecuación algebraica

sencilla-

0n donde y1 es la en#rada y

2 la salida & a12 la ganancia o #ransmi#ancia

en#re las dos variables! "a represen#ación en SFG de la ecuación (8) se mues#ra

en la Fig!4! observe ue la rama ue se dirige del nodo y1 (en#rada) al nodo

y2 (salida) e1presada la dependencia de y

2 sobre y1 pero no el con#rario!

"a rama en#re el nodo de en#rada & el de salida se debe in#erpre#ar como un

amplificador unila#eral con ganancia a12 por lo ue cuando una señal de

magni#ud uno se aplica en la en#rada y1 una señal de magni#ud a

12 y

1 se

en#rega en el nodo y2. 'unue en forma algebraica la ecuación (8) se puede

escribir como-

"a SFG de la Fig!4 no implica es#a relación! Si la ecuación (9) es válida como unaecuación de causa & efec#o se debe dibujar una SFG nueva con y

2 como la

en#rada & y1 como la salida!

+omo un ejemplo de la cons#rucción de una SFG considere el siguien#e conjun#o

de ecuaciones algebraicas-



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ANGELA QUIRZ

"a SFG para es#as ecuaciones se cons#ru&e paso a paso como se mues#ra en laFig!:

PROPIEDADES BÁSICAS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO SEÑAL

"as propiedades impor#an#es de la SFG ue han sido cubier#as has#a el momen#o

se resumen como siguen-

4! "a SFG se aplica solamen#e a sis#emas lineales!

:! "as ecuaciones a par#ir de las cuales se dibuja una SFG deben ser algebraicasen la forma de causa & efec#o!

;! "os nodos se u#ili5an para e1presar variables! ,ormalmen#e los nodos se

arreglan de i5uierda a derecha desde la en#rada a la salida siguiendo una

sucesión de relaciones de causa & efec#o a #rav2s del sis#ema!



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ANGELA QUIRZ

6! "a señal viaja a #rav2s de las ramas solamen#e en la dirección descri#a por las

flechas!

8! "a dirección de la rama desde el nodo yk a y j represen#a la dependencia

de y j sobre yk pero no al con#rario!

9! Una señal yk ue viaja a #rav2s de una rama en#re yk & y j se mul#iplica

por la ganancia de la rama akj por lo ue la señal akj y k es en#regada en

y j !

DEFINICIONES DE LOS TERMINOS DE UNA GRÁFICA DE FLUJO DESEÑAL

NODO DE ENTRADA (fuente Un nodo de en#rada es un nodo ue #ienesolamen#e ramas de salida! (0jemplo- nodo y

1 en la Fig!:)

NODO DE SALIDA (!"#"$ Un nodo de salida es un nodo ue #iene solamen#e

ramas de en#rada (ejemplo- nodo y5 en la Fig!:) sin embargo es#a condición no

siempre se alcan5a median#e un nodo de salida! 7or ejemplo la SFG de la

Fig!;(a) no #iene ning3n nodo ue sa#isface la condición de un nodo de salida!

7uede ser necesario visuali5ar a y2 &<o y

3 como nodos de salida para el

propósi#o de encon#rar los efec#os en es#os nodos debido a la en#rada! 7ara hacer

ue y2 sea un nodo de salida simplemen#e se conec#a una rama con ganancia

uni#aria desde el nodo e1is#en#e y2 a un nuevo nodo #ambien designado como

y2 como se mues#ra en la fig!; (b)! el mismo procedimien#o se aplica a y

3 !

/bserve ue la modificación de la SFG de la fig!; (b) es euivalen#e a ue las

ecuaciones y2= y

2 & y3= y

3 se añaden a las ecuaciones originales! 0n



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ANGELA QUIRZ

general cualuier nodo de no en#rada de una SFG se puede hacer uno de salida

median#e el procedimien#o ilus#rado! Sin embargo no se puede conver#ir un nodo

de de no en#rada en un nodo de en#rada revir#iendo la dirección de la rama del

procedimien#o descri#o para los nodos de salida! 7or ejemplo el nodo y2 de la

SFG de la fig!;(a) no es un nodo de en#rada!Si se in#en#a conver#irlo en un nodo de en#rada median#e la adición de una rama

en#ran#e con ganancia uni#aria desde o#ro nodo id2n#ico y2 resul#a la SFG de la

fig!6!

"a ecuación ue re#ra#a la relación en el nodo y2 ahora se lee como-

=ue es diferen#e al de la ecuación original dada en la Fig!:(a)!

TRA%ECTORIA$ Una #ra&ec#oria es cualuier colección de una sucesión con#inua

de ramas ue se dirigen en la misma dirección! "a definición de una #ra&ec#oria esen#eramen#e general &a ue no previene ue cualuier nodo la a#raviese más de

una ve5! 7or #an#o la simple SFG de la Fig!;(a) puede #ener numerosas

#ra&ec#orias ue a#raviesan las ramas a23 & a

32 en forma con#inua!

TRA%ECTORIA DIRECTA$ Una #ra&ec#oria direc#a es una #ra&ec#oria ue empie5a

en un nodo de en#rada & #ermina en un nodo de salida a lo largo de cual ning3n



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nodo se a#raviesa más de una ve5! 7or ejemplo en la SFG de la Fig!:(d) y1 es

el nodo de en#rada & el res#o de los nodos son #odos nodos posibles de salida! "a

#ra&ec#oria en#re y1 & y

2 es simplemen#e la rama conec#ada en#re los dos

nodos! 01is#en dos #ra&ec#orias en#re

y1

&

y3

> una con#iene las ramas desde y

1 a y2 a y

3 & la o#ra con#iene las ramas desde y1 a y

2 a y4 (a

#rav2s de la rama con ganancia a24 ) & en#onces de regreso a y

3 (a #rav2s de

la rama con ganancia a43 )

0l lec#or debe #ra#ar de de#erminar las dos #ra&ec#orias direc#a en#re y1 & y

4 !

.e forma similar e1is#en #res #ra&ec#orias direc#as en#re y1 & y

5 !

MALLA$ Una malla es una #ra&ec#oria ue se origina & #ermina en el mismo nodo &en donde ning3n o#ro nodo se encuen#ra más de una ve5! por ejemplo e1is#en

cua#ro mallas en la SFG de la Fig!:(d)! 0s#as se mues#ran en la fig!8!

GANANCIA DE TRA%ECTORIA$ 0l produc#o de las ganancias de las ramas ue

a#raviesan una #ra&ec#oria se llama &anan'a )e *a tra+e't"ra$ 7or ejemplo la

ganancia de la #ra&ec#oria para la #ra&ec#oria de la fig!:(d) es

GANANCIA DE LA TRA%ECTORIA DIRECTA$ "a ganancia de la #ra&ec#oria

direc#a es la ganancia de la #ra&ec#oria de una #ra&ec#oria direc#a!

GANANCIA DE MALLA$ "a ganancia de malla es la ganancia de la #ra&ec#oria de

una malla! 7or ejemplo la ganancia de la malla de la Fig!8 es

MALLAS ,UE NO SE TOCAN$ .os par#es de una SFG no se #ocan si no

compar#en un nodo com3n! 7or ejemplo las mallas de la SFG de la

Fig!: son mallas ue no se #ocan!



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ANGELA QUIRZ

ÁLGEBRA DE LAS GRÁFICAS DE FLUJO DE SEÑAL

7ara ob#ener la relación en#re la en#rada & la salida se puede u#ili5ar la regla de laganancia de %ason (será lo más cómodo habi#ualmen#e) ue veremos más

adelan#e> o bien #ra#ar de reducir el grafo (de forma análoga a la reducción dediagramas de bloues) #ransformándolo has#a llegar a uno ue solamen#econ#enga las señales de en#rada & salida unidas por una sola rama!7ara ello se pueden seguir las siguien#es reglas-

a) 0l valor de un nudo con una rama de en#rada es (Fig!)- X2 = a·X1

fig! 9

b) "a #ransmi#ancia #o#al de ramas en cascada es igual al produc#o de #odaslas #ransmi#ancias de las ramas-

fig?

c) Se pueden combinar ramas en paralelo sumando sus #ransmi#ancias-

fig!@

d) Se puede eliminar un nudo mi1#o de la forma siguien#e-

fig!A

e) Se puede eliminar un la5o de la siguien#e forma-

fig!4B



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GRÁFICOS DE FLUJO DE SEÑAL DE SISTEMAS DE CONTROL$

0n las siguien#es figuras se pueden ver algunos gráficos de flujo de señal desis#emas de con#rol simples! 7ara ellos se puede ob#ener la función de#ransferencia de la5o cerrado fácilmen#e seg3n las an#eriores reglas! 7ara gráficosmás complejos es mucho más 3#il la fórmula de la ganancia de %ason ueveremos a con#inuación!

Fig! 44

fig!4:



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F-RMULA DE LA GANANCIA DE MASON PARA SFG$

0n la prác#ica en muchos casos se desea de#erminar la relación en#re unavariable de en#rada & una de salida en el gráfico de flujo de señal! "a#ransmi#ancia en#re un nudo de en#rada & o#ro de salida es la ganancia #o#al o#ransmi#ancia #o#al en#re esos dos nudos!

"a fórmula de la ganancia de %ason aplicada a la ganancia #o#al viene dada por la e1presión-

Siendo-

,ó#ese ue es#a regla solamen#ees aplicable en#re un nudo deen#rada & o#ro de salida! ,o obs#an#e podemos reali5ar una simple manipulaciónsi uisi2semos aplicarla a un nudo de salida (&sal) & un nudo de no en#rada (&1)cogiendo una en#rada arbi#raria real (&en#) adicional & aplicar-

.onde ahora podemos aplicar la regla para numerador & denominador por separado (es fácil conseguir ue &1 sea de salida) & dividir el resul#ado en#reambos! EJERCICIO DE APLICACI-N

0jemplo 4!- 0ncon#rar la función de #ransferencia final del siguien#e diagrama debloues #ransformando previamen#e a gráfico de flujo de señal para

pos#eriormen#e u#ili5ar la regla de la ganancia de %ason!



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7rimeramen#e ob#endremos el gráfico de flujo de señal-

7odemos observar ue en es#e sis#ema e1is#e un solo #ra&ec#o direc#o-

74 C G4DG:DG;

01is#en #res la5os individuales-

"4 C EG4DG:D4 > ": C *G:DG;D: > "; C *G4DG:DG;

odos ellos #ienen una rama en com3n por lo ue no e1is#en la5os disjun#os! 'spues-

'l ui#ar #odos los la5os adjun#os al camino 74 se eliminan #odos los la5os por loue

's pues la ganancia pedida es-

,ó#ese ue no hemos #enido ue reali5ar ning3n proceso de reducción para llegar al valor deseado!



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ANGELA QUIRZ

+omo es obvio en sis#emas con varias en#radas & salidas se irán eligiendoal#erna#ivamen#e una en#rada & una salida & aplicando repe#idamen#e es#a reglase ob#endrán #odas las funciones de #ransferencia deseadas!7or 3l#imo comen#ar ue debido a la simili#ud en#re el diagrama de bloues & lasgráficas de flujo de señal la fórmula de la ganancia de %ason #ambi2n es

aplicable a los diagramas de bloues pero en sis#emas complejos para poder iden#ificar los la5os & par#es disjun#as de forma clara suele ser de a&uda dibujar eldiagrama de flujo de señal euivalen#e al de bloues an#es de aplicar la fórmulade la ganancia!

BIBLIOGRAF.Ao Sis#emas de con#rol au#omá#ico benjamn c! Huo

o isa!uniovi!es<docencia<raImarina<U+"%I0%'6!7.F

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