Universidad Fermín Toro

Ministerio de Educación Superior

Valera. Estado Trujillo

Análisis Numérico

Profesor

Edecio Freitez

Alumna: Sofía Berrios

C.I: 17605831

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Introduccion

El analisis numerico resulta ser una opcion muy viable para la resolucion de de

ecuaciones, tanto algebraicas(polinomios) como trascendentes en comparacion con otro

tipo de metodos, en la actualidad el aumento del uso de las computadoras ha hecho mas

accesible el empleo de metodos numericos que se encargan de diseñar algoritmos para,

a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más

complejos aplicados a procesos del mundo real.

Los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la

inmensa mayorıa de los metodos que el Analisis numerico propone, dado el

considerable volumen de calculos y manipulaciones de datos que suelen llevar

aparejados

Las soluciones que ofrecen los métodos numéricos son aproximaciones de los

valores reales y, por tanto se tendrá un cierto grado de error que será conveniente

determina, en esta breve investigacion se abarcara de manera general los topicos mas

resaltantes que surgen de la aplicación de metodos numericos como son: cuales son los

tipos de errores que se cometen al realizar algun tipo de medicion y cuales son las

principales fuentes de error.

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Índice

Pag.

Introducción……………………………………………..2

Índice…………………………………………………....3

Métodos numéricos definición………………………….4

Importancia de los métodos numéricos…………………5

Tipos de error

Error relativo y error absoluto……………………………5

Fuentes de error:

Errores de redondeo y de truncamiento…………………..6

Conclusión……………………………………………….8

Bibliografía………………………………………………9

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Métodos numéricos

Un método numérico es un algoritmo que intenta resolver una operación

matemática compleja en un ordenador.

Antes de entrar en los tipos de errores es necesario definir el término de

medición.

Medir: es determinar una magnitud específica, empleando algún instrumento

graduado con dicha unidad

Los errores asociados a cálculos y medidas que resultan de la aplicación de

métodos numéricos se pueden caracterizar por medio de la observación de su precisión

y exactitud.

Exactitud: Se refiere a la aproximación de un número o una medida a un valor real

Precisión: El número máximo de decimales que considera el ordenador en la

representación interna de un número real se llama precisión.

En base a los conceptos anteriores podemos deducir que el error representa la

inexactitud y la imprecisión de los resultados obtenidos por el método numérico

aplicado.

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar

las operaciones y cantidades matemáticas

Importancia de los métodos numéricos

Algunas operaciones matemáticas pueden resultar complicadas, y por más que se

dominen los métodos tradicionales, estos muchas veces pueden no ser suficientes, sin

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embargo esto no quiere decir que la operación sea imposible de solucionar, y es ahí

donde los métodos numéricos se aplican, y facilitan es trabajo de cierta manera. Los

métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en:

Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices.

Tipos de errores

Error absoluto: es la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la

sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco

dispersas que resultaron

Ea=imprecisión=incertidumbre

En términos matemáticos se define como

El error absoluto indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la

medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo

Error relativo es el que nos indica la calidad de la medida. Es el cociente entre el error

absoluto y el valor que damos como representativo (la media aritmética).

Se puede dar en % de error relativo. En efecto, si cometemos un error absoluto de un

metro al medir la longitud de un estadio de fútbol de 100 m y también un metro al medir

la distancia Santiago-Madrid, de aproximadamente 600.000 m, el error relativo será

1/100 (1%) para la medida del estadio y 1 /600.000 para la distancia Santiago-Madrid.

Tiene mucha más calidad la segunda medida.

Fuentes de error: errores de redondeo y de truncamiento

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La elaboración de algoritmos no solo exige un buen conocimiento de los entes

Matemáticos y los métodos numéricos involucrados, sino también un cierto cuidado en

la disposición de los cálculos para minimizar, en la medida de lo posible, los efectos

indeseados e inevitables de los errores de redondeo que provienen del hecho de que el

ordenador no puede utilizar más que una cantidad limitada de números racionales para

representar todos los números reales

Error de redondeo: se define como la diferencia entre el número considerado y su

representación interna.

Definición Si r ∗ es una aproximación del número real r, se llama error absoluto a |r − r ∗ | y

error relativo a |r − r ∗ | |r| , siempre que sea r ̸= 0

Dos formulaciones equivalentes de un mismo problema pueden arrojar distintos

resultados al efectuar los cálculos en un ordenador. Así mismo, al realizar largas

cadenas de cómputos, los errores de redondeo pueden acumularse de tal modo que

resten validez a los resultados, dando lugar a fenómenos llamados de inestabilidad

numérica. Para controlar la propagación de errores de redondeo, es necesaria, por tanto,

la búsqueda de algoritmos con un número mínimo de operaciones convenientemente

dispuestas, manteniendo, de paso, el tiempo de cálculo dentro de unos lımites

aceptables.

La mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los

errores de redondeo parecerían no ser muy importantes. Sin embargo, hay dos razones

del por qué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

1) Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener

una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre si, es decir, los cálculos

posteriores son dependientes de los anteriores. En consecuencia, aunque un error de

redondeo individual puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso

de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

2) El efecto de redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo

operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo

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tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de

redondeo puede resultar de mucha importancia.

Errores de truncamiento: se originan al aproximar un proceso infinito por un proceso

finito. En esencia, supongamos que la obtención de la solución de un problema esta

dada por un algoritmo con un número no finito de pasos y que, si consideramos, para

cada n ∈ N, la solución xn del paso n-esimo, se verifica que

lim xn = s.

Estos tipos de errores son evaluados con una formulación matemática: la serie de

Taylor.

Taylor es una formulación para predecir el valor de la función en Xi+1 en términos de

la función y de sus derivadas en una vecindad del punto Xi.

Siendo el término final:

Rn= ((ƒ(n+1) (ξ))/(n+1)!)hn+1

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta para un

polinomio de n-ésimo den. Para otras funciones continuas diferenciables, como las

exponenciales o senoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número

finito de términos. Cada una de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de

la aproximación, aunque sea un poco.

Error numérico total

El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de truncamiento.

(Los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta, por lo

que se encara el siguiente problema: la estrategia de disminuir un componente del error

total lleva al incremento del otro)

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Conclusión

En un proceso de cálculo el error de los resultados proviene de una diversidad de

fuentes. Para estimarlo es necesario analizar su “composición” remitiéndolo a esas

fuentes. De esta manera pueden distinguirse distintos tipos de errores, para cuya

estimación se requieren, en general, tratamientos diferentes.

Puede tratarse de errores de medición. También se refiere a los que resulten de

representar un número por una secuencia finita de dígitos (como hace necesariamente

una computadora digital), aunque aquél sea conocido, teóricamente, con una precisión

infinita.

Los errores de redondeo se introducen en los procesos de computación por el

hecho de que las computadoras trabajan con un número finito de dígitos después del

punto decimal y tienen que redondear. Son los que se producen por truncar un proceso

matemáticamente infinito (es decir, un proceso que involucra, en algún sentido, un paso

al límite). Tal es lo que sucede al evaluar series por medio de sumas finitas, integrales

por fórmulas de cuadratura, derivadas por aproximaciones en diferencias finitas

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Bibliografía

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS. C.Chapra, Steven, Et al.

Ed MC GRAW-HILL . México 1995. 641 pp.

http://meto2numericos.blogspot.com/2008/02/tipos-de-errores.html

http://www.ingenieria.unam.mx/~pinilla/2011/Intro/Intro.pdf

https://mat.caminos.upm.es/wiki/Métodos_numéricos

http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-

numerico.shtml#ixzz3bmKcyAGk