informe 2 (recuperado)

[LABORATORIO DE FÍSICA 1] [UNMSM]

FACULTAD INGENIERIA ELECTRONICA Y ELECTRICA

FACULTAD DE SISTEMAS

1

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE

SAN MARCOS(Universidad del Perú, Decana de América)

Horario: Lunes 08:00 – 10:00

Fecha: 29 de setiembre del 2014

Tema: MOVIMIENTO ,VELOCIDAD Y

ACELERACIÓN

Profesor:

INTEGRANTES:

Alarcón de la Cruz [14190191]

Chipana Poccorpachi Lenin [14190033]

Mogollón Fachin Ricardo [14190039]

Pariona Silva Roly [14190208]

Rivera León Pool Gianmarco [14200204]

[141]

2014


TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

I. INTRODUCCIÓN

Como todos sabemos el hombre siempre ha tenido curiosidad, por el

mundo que los rodea, siempre ha buscado el modo de explicar la

diversidad de sucesos observados. Pues para esto con el paso de los años

apareció la estadística el cual nos va a permitir sacar conclusiones a partir

de muchos datos experimentales que tomemos. Estos datos son

seleccionados a partir de muestras que nos brinden confianza, los mismos

que son tratados a través de cálculos matemáticos, gráficos.

2


II. OBJETIVOS

Aprender a organizar los datos experimentales haciendo uso de tablas y gráficos.

Adquirir mayor destreza en el manejo de técnicas de ajuste de curvas principalmente el método de regresión lineal y el método de mínimos cuadrados.

Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenómeno físico e interpretarlas.

3


III. MATERIALES VISTOS EN CLASE

Papel milimetrado

El papel milimetrado es papel impreso con finas líneas entrecruzadas, separadas según

una distancia determinada (normalmente 1 mm en la escala regular). Estas líneas se

usan como guías de dibujo, especialmente para graficar funciones matemáticas o datos

experimentales y diagramas. Se emplean en la enseñanza de matemáticas e ingeniería.

Papel Logarítmico

El papel logarítmico es un papel cuyas escalas han sido previamente diseñadas para

reproducir el comportamiento de los logaritmos, es decir la escala es repetitiva y no

homogénea.

Por definición cada ciclo representa 10 veces el valor del ciclo anterior, así si el primer

ciclo mide centímetros, el segundo medirá decímetros, el tercer metro, el cuarto decenas

de metros y así sucesivamente.

Las ventajas de utilizar este tipo de papel son:

• Permite graficar en un solo papel rangos muy extensos

• Permite calcular en forma aproximada el exponente de una relación potencial (y = axn)

o bien de una relación exponencial (y = a ebx).

4

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mil%C3%ADmetro

http://es.wikipedia.org/wiki/Papel


Papel Semilogarítmico

El papel semilogarítmico se usa cuando quieres representar datos con diferentes órdenes

de magnitud. Por ejemplo, si quieres representar en un mismo eje de las y [0.5, 2, 700,

10000, 300000, 6000000, etc].

Si lo haces con papel milimetrado normal, no podrás representar todos los puntos y será

muy impreciso, por eso cuando tienes datos del mismo orden para las x y de diferente

orden para las y, usas papel semilogarítmico. En caso de que en ambos ejes tengas datos

de diferentes órdenes de magnitud, usa papel logarítmico y no semilogarítmico.

Para graficar, primero que nada, observa las divisiones verticales del papel. Está

dividido en ciclos de 10 pequeñas divisiones (son las que van de grandes a pequeñas

hacia arriba). Una vez hecho esto, procede a ponerle un valor en potencias de 10 a estos

ciclos. Puedes empezar, con el ejemplo anterior con 10-1, ya que el primer dato es 0.5.

Te vas a la división número 5 de este ciclo y ahí está el punto. Luego, de la misma

manera, te vas a la división grande de 100 y en la segunda división graficas el segundo

punto, así sucesivamente hasta graficar todos los puntos que quieras, finalmente trazas

tu curva de ajuste y listo. Sólo cuídate de escoger bien tu rango de potencias de 10, es

5


decir, la mínima y la máxima.

Ahora, para hacer las líneas de trazado de este papel, en el eje x tienes una escala

milimétrica pero en el eje y tienes una escala logarítmica. La logarítmica se hace con los

logaritmos de los números naturales: tienes que log 1 = 0 (el origen), luego log2, log3,

log4 así hasta llegar a log 10=1 e inicias luego un nuevo ciclo logarítmico, cada uno de

estos ciclos representa un aumento del orden. Como puedes ver, al graficar el papel te

saca el logaritmo automáticamente.

IV. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

Los datos teóricos en un proceso de medición se organizan en tablas. Las tablas de

valores así confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una

magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer

representaciones gráficas en un sistema de ejes de coordenadas con divisiones

milimetradas, logarítmicas o semilogarítmicas, según sea el caso, con el fin de encontrar

gráficas lineales (rectas) para facilitar la construcción de las fórmulas experimentales

que representen las leyes que gobiernan el fenómeno.

USO DEL PAPEL MILIMETRADO

6


Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:

1. Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el

eje de las abscisas y las variables dependientes en el eje de las ordenadas.

2. La distribución de puntos así obtenida se unen mediante una curva suave usando

una regla curva a trazo a mano alzada.

3. Las representaciones graficas que aparecen con más frecuencia son:

7

0 2 4 6 8 10 12 14 160

5

10

15

20

25

30

35

40

Función Lineal

y=b+mx


Veamos el primer caso, si la distribución de puntos en el papel milimetrada es de

tendencia lineal, entonces, se realiza al ajuste de la recta mediante el método de

regresión lineal por mínimos cuadrados (Ver Apéndice 1). Esto significa que la

relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es:

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en

el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.

8

0 2 4 6 8 10 12 14 160

50

100

150

200

250

Funcion Potencial

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Funcion Exponencial

y=k xn

y=k 10nx


Primero se construye una tabla de la forma:

Tabla 1

x i y i x i y i x i2

x1 y1 x1 y1 x12

x2 y2 x2 y2 x22

.

.

.

x p

.

.

.

y p

.

.

.

x p y p

.

.

.

x p2

∑ x i ∑ yi ∑ x i y i ∑ x i2

Luego se calcula la pendiente y el intercepto.

,

En el segundo caso, cuando la distribución de puntos en el papel milimetrado no

es de tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logarítmico o

semilogarítmico, en algunos de estos papeles la distribución de los puntos saldrá una

recta.

USO DEL PAPEL LOGARÍTMICO

Las relaciones de la forma , son funciones potenciales y sus

gráficos en el papel logarítmico son rectas de pendientes , que cortan el eje

vertical en . Se recomienda preferentemente usar papel logarítmico 3x3; en

donde cada ciclo está asociado a una potencia de base 10. El origen de un eje

coordenado logarítmico puede empezar con…, 10-1, 100, 101, 102, 103,… etc.

9


Al tomar logaritmo decimal a la ecuación obtenemos

, que tiene la forma lineal , en donde

, y . Concluimos entonces, que el método de regresión lineal puede ser aplicado a una distribución potencial de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mínimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna.

x i y i x i=log x i y i=log yi x i y i=log xi log y i x i2=( log x i )

2

x1 y1 log x1 log y1 log x1 log y1 ( log x1 )2

x2 y2 log x2 log y2 log x2 log y2 ( log x2 )2

.

.

.

x p

.

.

.

y p

.

.

.

log x p

.

.

.

log y p

.

.

.

log x p log y p

.

.

.

( log x p )2

∑ log x i ∑ log y i ∑ log x i log y i ∑ ( log xi )2

Para determinar la ecuación de la recta en el papel logarítmico, se calculan ahora los

valores de:

Para encontrar la ecuación de la función potencial graficada en el papel

milimetrado debemos determinar los valores de m y k. del párrafo anterior se tiene que

y .

10


USO DEL PAPEL SEMILOGARÍTMICO

Para relaciones exponenciales de la forma y = k10xn se utiliza papel semilogarítmica, este papel consta de dos partes:

1.- horizontal.- está en la escala de milímetros.

2.- Vertical.-

V. PROCEDIMIENTO

Se analizara tres experimentos: la conducción por un hilo conductor de micrón, la evaluación de agua en un depósito y la actividad radiactiva del radón.

4.1 En la Tabla 1 se tiene las medidas de la intensidad de corriente eléctrica i conducida por un hilo conductor de nicrón y la diferencia de potencial V aplicada entre sus extremos.

N° I (A) V (v)1 0.5 2.182 1.0 4.363 2.0 8.724 4.0 17.44

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.

11


h(cm) 30 10 4 1D(cm) Tiempo de vaciado t(s)

1.5 73.0 43.0 26.7 13.52.0 41.2 23.7 15.0 7.23.0 18.4 10.5 6.8 3.75.0 6.8 3.9 2.2 1.5

4.2 La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo (t) de un depósito con agua y las medidas de las alturas de nivel de agua para cuatro llaves de salida con diferentes diámetros (D).

Tabla 2

12

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20


Haga una gráfica de t vs D y t vs h

4.3 La tabla 3, muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radón. El cero se detectó una desintegración de 4.3 x 1018 núcleos. Requerimiento: Una hoja milimetrada y una hoja semilogarítmica.

t(días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17

5 CUESTIONARIO

1. Grafique las siguientes distribuciones:De la tabla 1:

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado V vs. i.

De la Tabla 2:

b) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. D para cada una de las alturas.

c) En una hoja de papel milimetrado grafique t vs. H para cada diámetro.d) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. D para cada una de las

alturas.e) En una hoja de papel logarítmico grafique t vs. H para cada uno de los

diámetros.f) Haga el siguiente cambio de variables Z = 1/D y grafique t = t(z) en el

papel milimetrado.

De la tabla 3g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs T.h) En una hoja de papel Semilogarítmico grafique A vs T.

2. Hallar las formulas experimentales:

13


a) Obtenga las formulas experimentales usando el método de regresión lineal para las gráficas en los casos a), d), e) y f)

b) Haciendo uso de la calculadora científica encuentre las formulas experimentales e indique el factor de correlación para todas las gráficas en los casos desde la a) hasta la h).

c) Solución Tabla 1:

X1 Y1 X1 Y1 (X1)2

0.5 1.95 0.975 0.251.0 3.65 3.65 13.0 10.45 31.35 94 13.85 55.4 16

5.0 17.25 86.25 25

m=p∑ xi y i−∑ x i∑ y i

p∑ x i2−¿¿¿¿

51.25 x 47.15−13.5 x177.625

5 x 51.25−13.52=0.25

La fórmula es Y = mx + b → V=3.4X+0.25

Tabla 2:

Caso 1:

Para h = 30 cm y t = t (d)

14


X1 Y1 log X1 Log Y1logX1. Log

Y1(log X1)2

1.5 73 0.1761 1.8633 0.3281 0.0312.0 41.2 0.301 1.6149 0.4861 0.09063.0 18.4 0.4771 1.2648 0.6034 0.22765.0 6.8 0.699 0.8325 0.5819 0.48867.0 3.2 0.845 0.5051 0.4268 0.7142

Σ 2.4982 6.0806 2.4263 1.552

M = 52.4263 – (2.4982)(6.0806)51.552- (2.4982)2 = -2.0139B = 1.552 (6.0806) – (2.4982) (2.4263)51.552 – 2.4982)2 = 2.222Anti logb = antilog2.222 = 166.72La fórmula es T = (166.72) x d (-2.0139)

Caso 2:

Para la h = 20 y t= t(d)

X1 Y1 log X1 Log Y1logX1. Log

Y1(log X1)2

1.5 59.9 0.1761 1.7774 0.3130 0.0312.0 33.7 0.301 1.5276 0.4598 0.09063.0 14.9 0.4771 1.1732 0.5597 0.22765.0 5.3 0.699 0.7243 0.5063 0.48867.0 2.7 0.845 0.4314 0.3645 0.7142

Σ 2.4982 5.6339 2.2033 1.552

m = -2.0132b = 135.77

Formula T = (135.77) x d(-2.0132)

15


Caso 3:Operamos de manera análoga que los anteriores casos:Para h = 10 y t = t(d)

m = -1.9841b = 94.56

La fórmula es T = (94.56) x d (– 1.9841) Caso 4h=4 cm y t = t (d)

m = -1.7483

b = 46.38

La fórmula es T = 46.38) x d(-1.7483)Caso 5

16


Para h = 1 cm y t = t (d)

m = -1.8b = 0.15

La fórmula es T = (0.15) x d (-1.8)Caso 6 Para d = 1.5 cm y t = t (h)

M =0.4979B = 1.13 10b = 13.4896

La fórmula Y = 13.4896 x0.04979

Caso 7: Para d = 2 y t = t (h)

17


M = 0.4905B = 0.8874 10b = 7.7161

La fórmula Y = 7.7161 x 0.4905

Caso 8 Para d = 3 cm y t = t (h)

M = 0.04711B = 0.5592 10b = 3.6241

La fórmula Y =3.6241 x0.4711

Caso 9:Para d = 5 cm y t = t (h)

M = 0.4383B= 0.1638 10b = 1.5481

18


La fórmula Y = 1.5481 x0.4383

Caso 10 Para d = 7 y t = t (h)

M = 0.4129B = -0.1108 10b= 0.7748

La fórmula Y = 0.7748x 0.4129

De la tabla 3

X1 Y1 log Y1 X 1Log Y1 ( X1)2

0 100 2 0 01 84 1.9243 1.9246 12 70 1.8451 3.6902 43 59 1.7709 5.36127 94 49 1.6902 6.7608 165 41 1.6128 8.064 256 34 1.5315 9.189 367 27 1.4314 10.0198 498 24 1.3802 11.0416 649 20 1.301 11.709 8110 17 1.2304 12.304 10055 525 17.7178 80.0154 385

M = -0.008B = 100

A = (100) x 10 -0.08T

d) Haciendo huso de MS EXCEL grafique y presente formulas experimentales y el factor de correlación para todos los casos desde a) hasta la h)

19


20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.502468

101214161820

a)

i (a) V (v)

0.5 2.18 1.09 4.7524

1 4.36 4.36 19.0096

2 8.72 17.44 76.0384

4 17.44 69.76 304.1536

7.5 32.7 92.65 403.954

Formula V= 4.36 x i


b)

T d h =30 t d h = 2073 1.5 59.9 1.5

41.2 2 33.7 218.4 3 14.9 36.8 5 5.3 53.2 7 2.7 7

T d h=10 t d h = 443 1.5 26.7 1.5

23.7 2 15 210.5 3 6.8 33.9 5 2.6 5

2 7 1.3 7

t d h = 113.5 1.57.8 23.7 31.5 50.8 7

21


c)

h 30 20 10 4 1d t

1.5 73 59.9 43 26.7 13.52 41.2 33.7 23.7 15 7.83 18.4 14.9 10.5 6.8 3.75 6.8 5.3 3.9 2.6 1.57 3.2 2.7 2 1.3 0.8

El grafico d y e son iguales al b y c respectivamente.

Grafico f

22

0 10 20 30 40 50 60 70 800

1

2

3

4

5

6

7

8

h = 30cmh = 20cmh = 10cmh = 4cmh = 1cm

0 10 20 30 40 50 60 70 800

5

10

15

20

25

30

35

d = 1.5cmd = 2cmd =3cm d = 5cm d = 7cm

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

h = 30cmh = 20cmh = 10cmh = 4cmh = 1


3. Interpolación y extrapolación

Considerando sus gráficos (en donde ha obtenido rectas):

a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50 % de los núcleos de radón, según la tabla 2.

X1 log Y1 X 1Log Y1 ( X1)2

0 2 0 01 1.9243 1.9246 12 1.8451 3.6902 43 1.7709 5.36127 94 1.6902 6.7608 165 1.6128 8.064 25

23

t (dias) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%)

100

84

70

59

49

41

34

27

24

20 17

w=√hd2


6 1.5315 9.189 367 1.4314 10.0198 498 1.3802 11.0416 649 1.301 11.709 8110 1.2304 12.304 10055 17.7178 80.0154 385

b) Halle los tiemb)

Halle el tiempo de vaciado de agua si:

CasosAltura h

(cm)Diámetro d

(cm)Tempo t

(s)01 20 4.0 8.5402 40 1.0 190.9403 25 3.5 12.4604 49 1.0 211.48

Caso 1:

24


W = 20 / 16 = 0.28Remplazando t = 30.2 w + 0.08 = 30.2 (0.28)+0.08T = 8.54s

Caso 2:W = 40/6.3 =6.32Remplazando T = 30.2 (0.41)+ 0.008T = 190.94Caso 3W = 25/3.5 = 0.41T = 30.2 (0.41) +0.08T = 12.46 Caso 4W = 49/7 = T = 30.2 (7) + 0.08T= 211.48

c) Compare sus resultados obtenidos de la parte a) y b) con los obtenidos con las formulas experimentales.

Elaboramos una nueva tabla experimental

H (cm) 30 10 4 1D(cm) Tiempo de vaciado t (s)

1.5 76.68 44.27 28 142.0 41.08 23.72 15 7.53.0 21.36 12.33 7.8 3.95.0 9.31 5.38 3.4 1.7

4. Haga w=√hd2 para las alturas y diámetros correspondientes y complete la tabla:

T (s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5W 2.4343 1.405 0.888 0.5 0.351 0.126 0.04

Solución: T = 73.0s:

H = 30cm / d =1.5cm W =2.4343

T = 43.0s:H =10cm / d= 1.5W= 1.405

25


T= 26.7s:H=4cm / d=1.5cmW=0.888

T = 15.0s:H= 4cm /2cmW =0.5

T = 10.5 s:H= 10cm / d = 3 cmW = 0.351

T = 3.9s:H = 10cm / d = 5cmW =0.126

T = 1.5sH= 1 cm / d = 5cmW = 0.04

5. Grafique t = t(w) en papel milimetrado. Si la distribución es lineal haga el ajuste respectivo. Luego encuentre la ecuación experimental correspondiente: t 0 t (h.d).

M = 30.0358B= 0.1427t(h.d) = t(w) = 30.0358 (w) + 0.127

6. Para investigar:

Para obtener la fórmula de una distribución de puntos en donde solo hay dos variables Y = y(x), se utilizó la regresión simple.Cuando se tiene tres o más variables, y = y (v, w,….., z) se tendrá que utilizar la regresión múltiple

26


a) Encuentre la formula t = t (h.d) t(h.d) = t(w) = 30.0358 (w) + 0.127

b) Hallar t para h = 15cm y D = 6 cm

t(h.d) = t(w) = 30.0358 (w) + 0.127 = 30.0358 (0.1) +0.127 = 3.13 s

c) Hallar t para h = 40 cm y d = 1cm

t(h.d) = t(w) = 30.0358 (w) + 0.127 = 30.0358 (6.3245) +0.127 = 190.09s

VII. CONCLUSIONES

27


Al trabajar con el plano en holas milimetradas, logarítmicas y semilogarítmicas. Se debió tener en cuenta las variables Dependientes e Independientes y analizarlas.

Al concluir con el ejercicio de gráficos adquirimos mayor destreza en el manejo de las distintas maneras de dibujar una curva, familiarizándonos con las ecuaciones y con el uso de los papeles milimetrados, logarítmicos y semilogarítmicos.

Consideramos la realización de esta práctica importante, ya que nos permitió, verificar por experiencia propia, lo aprendido en teoría.

Para escoger la escala en la hoja milimetrada, siempre se toma a partir del dato de mayor magnitud.

VII. RECOMENDACIONES :

28


Para un buen trabajo de realización de gráficos es necesario comprobar el buen funcionamiento de la calculadora así como verificar bien si los datos que obtuvimos son válidos para nuestra gráfica.

Para reducir el problema de ajuste de recta se debe verificar la precisión de los datos tomado en clase y de los instrumentos con los cuales hemos trabajado.

29

informe 2 (recuperado)

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