Revida Mexicana de Fúica 42, No. 6 (1996) 979-988

Influencia de las tensiones mecánicas sobre la seccióneficaz de dispersión elástica de electrones y el

coeficiente de retrodispersión

L. CALDERÍN, J.F. ECHEVARRÍA y P. LEIVA

Centro de Estudios Aplicados al Desarrollo NuclearP.O. Box 6122, La Habana, Cuba

Recibido el 18 de noviembre de 1994; aceptado el 27 de mayo de 1996

RESUMEN.Se propone un modelo teórico para la dependencia de la sección eficaz de rlispersiónelástica de electrones por el átomo y del coeficiente de retrodispersión de las tensiones mecá-nicas. Según el modelo desarrollado, las tensiones mecáni.cas provocan efectos medibles sobrela sección eficaz de dispersión elástica pero influyen débilmente sobre el coeficiente de retrodis-persión.

ABSTRACT. A theoretical model of the dependen ce of elastic scaltering cross section and the refle-xion coeflicient of electrons on mechanical stresses is presented. Following this model mechanicalstresses induce changes 00 elastic scattering cross sections that can be measured, however a verysmall influence of stresses is expected on the reflexion coeflicient.

PACS: 34.80.Bm; 62.20.Dc; 61.14.Rq

1. INTRODUCCIÓN

El estudio de los campos de tensiones, sobre todo de las tensiones residuales en los ma-teriales, es de primordial importancia no sólo desde el punto de vista académico sinotambién práctico por la incidencia directa que tienen dichos estudios en la obtención detecnologias más eficientes. Son muy conocidos los problemas que traen la presencia de ten-siones residuales en la seguridad de recipientes, tuberias a presión, circuitos integrados,etc.

Existen varios métodos para la determinación de tensiones en los materiales [1,2]. En-tre ellos se encuentran los de difracción de rayos X y neutrones, los cuales se basan en elcambio del patrón con las variaciones de las posiciones atómicas debido a las tensiones.En este trabajo se presenta un modelo teórico de la dependencia de la sección eficaz dedispersión elástica de un electrón por un átomo, así como del coeficiente de retrodispersiónen presencia de tensiones mecánicas. Este cálculo puede ser lÍtil para aprovechar la infor-mación contenida en las intensidades de los patrones de difracción de electrones y rayosX, y para establecer un nuevo método de medición.

979

980 L. CALDERÍN ET AL.

2. DESARROLLO

Para el cálculo de la sección eficaz diferencial de dispersión elástica de un electrón por elátomo en presencia de tensiones mecánicas, se utilizó la aproximación de Born [3,41

(1)

donde dO es el diferencial de ángulo sólido, m es la masa del electrón en reposo, e es lacarga eléctrica del electrón, h es la constante de Planck, Z es el número atómico y q es elvector de transferencia de momentum, cuyo módulo es:

wq = 2k sen 2'

siendo k el módulo del vector de onda incidente y w el ángulo de dispersión.F( q) es el factor de forma atómico que viene dado por

F(q) = J n(r) e-iqr dv, (2)

donde n(r) es el número de electrones por unidad de volumen en el punto r.Es necesario entonces estimar cómo cambiaría la densidad de la nube electrónica del

átomo con las tensiones. Para ello analicemos el siguiente ejemplo. Supongamos que te-nemos un sólido cargado en tracción, entonces la densidad del material disminuye en elsentido de las tensiones, mientras que aumenta en la dirección transversal. Esto implicaque entre dos átomos vecinos, según la dirección de aplicación de las tensiones, la den-sidad electrónica disminuye. En caso de que los átomos sean vecinos según la direccióntransversal de aplicación de las tensiones, dicha densidad aumenta. Podríamos pensarque se cumple lo mismo para la nube electrónica de un átomo del sólido bajo tensio-nes, es decir, en los puntos ubicados según la dirección de aplicación de las tensiones setendrá una disminución de la densidad electrónica, mientras que en los ubicados según ladirección perpendicular a la de aplicación de las tensiones, la densidad electrónica aumen-tará. Luego, la densidad electrónica del átomo ubicado en un sólido bajo tensiones en elpunto r, será proporcional a la densidad del átomo esférico sin tensiones evaluada en elpunto r + 8r. donde 8r es el desplazamiento de dicho punto provocado por las tensiones.Al generalizar obtenemos la siguiente expresión para la densidad electrónica:

n(r, <T) = p(<T)no(r + 8r(<T)), (3)

donde <T es el tensor de esfuerzos y no(r) es la densidad electrónica del átomo sin tensiones,la cual tomamos como la clásica densidad con simetría esférica [3,4)

Z -2"e •no(r) = --3-'

'Ira(4)

INFLUENCIA DE LAS TENSIONES MECÁNICAS SOBRE LA SECCIÓN EFICAZ... 981

donde a es el radio atómico. El factor de proporcionalidad p se determina mediante lacondición de normalización

J n(r,u)dll = Z.

Puede verse de la Ec. (4) que para desplazamientos pequeños se cumple que

no(r + <ir) = no(r + Ar),

(5)

(6)

donde Ar es la proyección del desplazamiento en la dirección de r. Tendremos entonces lasiguiente expresión para la densidad electrónica:

dnon(r, u) = p(u)(no(r) + dr Ar).

De la expresión (4) obtencmos

Por otro lado,

r rAr = r- • ,,(u). -,

r r

donde ,,(u) es cl tensor de deformaciones cn función de las tensiones.La densidad toma la forma

( 2r.,,(u).r)n(r, u) = p(u)no(r) 1 - ~ r .

A partir de la Ec. (5) obtcnemos

Ip(u) = 1- T(u)'

(7)

(8)

(9)

(10)

(1 1)

donde T( u) es la traza del tcnsor dc deformacioncs.Calculando F( q) scgún la Ec. (2) -tomando un sistcma dc referencia dondc el eje z se

hace coincidir con la dirccción de q y pasando a coordcnadas csféricas- se obtiene dc laEc. (1) quc

(12)

donde "qq es la dcformación en un plano pcrpcndicular a la dirccción dc q y según susentido.

982 L. CALDERíN ET AL.

x

y

z

FIGURA 1. Sistema de coordenadas utilizado en los cálculos relacionados con el coeficiente dereflexión.

Para el cálculo del coeficiente de retrodispersión se utilizó el modelo de Everhart [61teniendo en cuenta la sección eficaz calculada. Para ello supongamos que incide un haz deNo electrones que tiene una sección transversal S según la dirección x (Fig. 1), entoncesel nÚmero de átomos presentes en un diferencial de volumen S dx es

(13)

donde NA es el nÚmero de Avogadro, Pm es la densidad del sólido y A es el peso atómico.Multiplicando la expresión (12) por dN y sustituyendo la ley Thomson-Whiddington [61,

v. = Cpm(lT)(R - X),

que establece el cambio de velocidad v del electrón con el camino recorrido en el sólido(x), asumiendo C constante, obtenemos el diferencial de electrones dispersados desde unaprofundidad X (X = xl R, donde R es el alcance del electrón en el sólido) en la dirección(IJ,4»:

dN(X IJ lT ) = aN(X, a) dX dí!,'P, "q 47f(1 _ X)cos.(~)

(p(lT) ( 4€qq(-¡(IJ,X)-I)))2

x 1 - (-¡2(IJ, X) l - T + 6€qq - ,,(IJ, X) (14)

INFLUENCIA DE LAS TENSIONES MECÁNICAS SOBRE LA SECCIÓN EFICAZ... 983

donde

(15)

con

y

f3 = 21ramvo;h

(16)

(17)

e es una constante [61 y Vo es la velocidad inicial del electrón. Como se demuestra porEverhart para un valor de e igual a la constante de Terrill, no se obtienen buenos resul-tados para la dependencia del coeficiente de reflexión, por lo que se debe utilizar el valorde o reportado por el propio autor (o = 0.045 Z), que contiene un valor determinado im-plícito para e para cualquier estimación absoluta que se quiera realizar. Para los efectosde este trabajo no es necesario conocer los valores mencionados, pues los cálculos de lasmagnitudes bajo tensiones se presentan referidas al final a las sin tensiones.

Siguiendo el formalismo de Everhart se llega a una ecuación integral similar para No(X),el número de electrones que llegan a una profundidad X:

X !. 21'1"

N(X, u) = No -lo 10'10 dN(X,IJ,'P,u,q). (18)

La solución de esta ecuación integral fue obtenida por el procedimiento de aproximacionessucesivas hasta la primera aproximación, utilizando como aproximación nula la soluciónde Everhart. Este procedimiento fue programado en el sistema MATHCAD al igual que elresto de los cálculos. La obtención de una aproximación analítica es posible pero tediosa.

El coeficiente de reflexión dependiente de la dirección fue calculado según

(IJ ) _IoXO dN(X,IJ,'P,u)r ,cp,u - J\T'

o "O

donde X o se determina por la ecuación

Xo(l + secIJ) = 1,

(19)

(20)

la cual establece para IJ dado el valor Xo hasta el que se cumple la condición de escapedel electrón en el sólido, es decir que el mismo escapa si su recorrido es menor o igual qucel alcance R.

Integrando por (IJ,4» obtenemos cl coeficicntc de rcflcxión cn función de las tensioncs.

984 L. CALOERÍN ET AL.

10000

.-.. 1000

O

a 100~en'O 10..•..•.•.-..b

1

C'

~en 0.1'tl

= 100 MPa.= 100 MPa.K vector de onda incidente.'" angula de dispersion.

q=2Ksin(r.¡/2)

0.012

0.00 0.10 0.20 0.30o

q (A -1)0.40 0.50

FIGURA 2. Dependencia del cociente entre las secciones eficaces, con y sin tensiones, en funciónde q.

10000

.-.. 1000

O

a 100~en 4'O 10..•..•...-..b

a~en'tl 0.1

1

0.01 2

1 CYzz= 50 MPa.2 CYzz= 100 MPa.3 CYzz= -50 MPa.4 CYzz=-100 MPa.

0.00 0.10 0.30 0.40

FIGURA 3. Dependencia del cociente entre las secciones eficaces en función de q, para distintosvalores de tensiones.

INFLUENCIADE LASTENSIONESMECÁNICASSOBRELASECCiÓNEFICAZ... 985

100001 U••=Uyy=uzz=-100 MPa2 u ••=-100 MPa, uyy=100 MPa

~ 1000 3 u ••=uyy=uzz= 100 MPao

a 100

~U) 10'd.....•.•~b

3O'~ 0.1U)'d

0.01

0.0010.00 0.10 0.20

q (1-')0.30 0.40

FIGURA4. Dependencia del cociente entre las secciones eficaces en función de q, para diferentesestados tensionales.

3. RESULTADOS y DISCUSIÓN

Las Figs. 2, 3 Y 4 muestran ejemplos de la relación entre las secciones eficaces, con y sintensiones, en función de q. Aquí la dirección de q está fija según la dirección del eje z.Existe una variación sistemática de la relación entre las secciones eficaces con los cambiosdel tensor de esfuerzos. Las dependencias tienen dos comportamientos bien definidos: unoes monótono decreciente y en el otro se alcanza un mínimo pronunciado. La magnituddel efecto crece a medida que aumentan las tensiones (Fig. 3). Puede observarse un efectomuy grande para valores de q entre O y 0.1 Á - l. Si suponemos la energía del electrón deunos 500 eV, para que se cumpla la aproximación de Dom, el ángulo de dispersión para elque existe una variación muy grande de la relación entre las secciones eficaces está entreO y 0.5

0• Para valores de q de alrededor de 1 Á -1 aún se tienen variaciones de un .2 por

ciento en los valores de la relación de la secciones eficaces.De Ser cierto el modelo, estas variaciones serían medibles. Podrían hacerse experimen-

tos, utilizando un microscopio de electrones de transmisión, por ejemplo, que permitiríancomprobar el modelo o encontrar el cambio del factor de forma atómico con las tensio-nes.

Por otro lado, las Figs. 5, 6 Y 7 son ejemplos de la dependencia encontrada para elcoeficiente de reflexión relativo en función de la dirección y de las tensiones para el casodel hierro. En este caso 4>está fijo en 90°, la energía en 500 eV y el valor de Q es 0,045 Z(según Everhart). El cambio relativo del coeficiente de reflexión, con y sin tensiones, sufrevariaciones que no sólo son dependientes de la magnitud de las tensiones sino también de

986 L. CALDERfN ET AL.

,'r'0.060.0~~

~ll: <-0.0

~~'- 20.0

'-~O 0.0&-':' -20.0~'-I -<-0.0~b&-':> -60.0~'-~

-80.0

•O

•• O

• • O

~g ~

• O O~ O" " " " " "O O O OO O O O O

O OO O

O

aOODO Un = 100 MPa O

00000 Uzz = 50 MPa O

b,b..o.oA Un = O MPa00000 u" = -50 MPa O)()()()()(a

lZ =-100 MPa

-'00.0 'h..,.,-.,..,--rrrr-,..,.,rr-<..,.,-.,..,--rrrr-,..,.,rr-<..,.,-.,..,--rrrr-,..,.,rr-<0.0 0.4 O.B 1.2 1.6

"l9(rad.)

FIGURA 5. Variación del coeficiente de reflexión relativo, según diferentes direcciones, con lastensiones.

vvvvv Un,Uyy,Uu = -100 MPa00000 Un =-100 MPa, Uyy= 100""""" U",U" = 100 MPa

.10-'150.0

~ 100.0O.&-~ 50.0'-'-a 0.0&-

~'- -50,0

I

b:-l00.0&-

~"'="-,50.0

v vO O

"

vO

vO 11 O

V

O

V

O

v

"

oO

v v

MPa

""

_ 200.0 -+,~~"""""""""",-"",-"",-"",-,,-"-"-"-TT"rrTT"TT"TT"""'"0.0 0.4 O.B 1.2 1.6

"l9 (rad.)

FIGURA 6. Variación del coeficiente de reflexión relativo, según diferentes direcciones, para distintosestados tensionales.

INFLUENCIA DE LAS TENSIONES MECÁNICAS SOBRE LA SECCiÓN EFICAZ... 987

x la-S100.0

•• •• •• •• •• •• •• •• •• ••IQJ~ 0.0 IQJ~C!. IQJ!I- IQJ'1'>-100.0 IQJ~.."- IQJq-200.0 IQJ!I-'1'> IQJ"t:"-,JOO.O

I IQJ~~-400.0

00000 u,,=-100 MPa, uxz=100 MPa!I-'1'> I I I 1 I I u",u""u,,= 100 MPa IQJ~...=..-500.0 •.•.•.•.•. u,,=100 MPa

-600.0 'h-~~~rTl"""~~~T'T'rT;~~~TrT'T'rTl~""0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

" (rad.)

FIGURA 7. Variación del coeficiente de reflexión relativo, según diferentes direcciones, para distintosestados tensionales .

.29149360

.29149356

.29149352

r(CJ').29149348

.29149344

GaoDO axxayy

K- perpendicular a lamuestra segun el eje x.

.29149340-200.00 - 100.00 0.00 100.00

CJ'xx, CJ'yy(MPa)200.00

FIGURA 8. Dependencia del coeficiente de reflexión completo de las tensiones.

988 L. CALDERÍN ET AL.

la configuración de las mismas. Como puede observarse se ven variaciones muy pequeñas,estando éstas en el orden de 10-9_10-7•

En el caso del coeficiente de reflexión en función de las tensiones se predice un efectotambién muy débil (Fig. 8).

Los cálculos realizados predicen que no hay dependencia del coeficiente de reflexión conlas variaciones de la densidad de la muestra en ninguno de los casos.

El efecto de la aproximación contenida en el modelo de Everhart, de sólo considerarlas reflexiones de primer orden, se ve minimizado en estos cálculos al utilizar el valorde Ct ajustado a los valores experimentales por el mismo autor. Puesto que este valor esconstante para Z dado, el mismo desaparece al calcular la relación entre las sección eficazy el coeficiente de reflexión del sólido bajo tensiones y las correspondientes magnitudes enel sólido sin tensiones.

Los cálculos realizados subestiman los valores de la sección eficaz y del coeficiente dereflexión al no tenerse en cuenta el principio de indistinguibilidad de las partículas. Laaplicación de este principio genera una simetrización de la sección eficaz de dispersión [41que provocaría, en este caso, un aumento de la probabilidad de dispersión a ángulosmayores que 90° y por lo tanto aumentaría también cl coeficiente de reflexión.

4. CONCLUSIONES

Sc desarrolló un modelo teórico sencillo de la dependcncia de la sección eficaz de dispersiónelástica de un electrón por un átomo, así como del coeficiente de retrodispersión de lastensiones mecánicas.

Se encontró un cambio sistemático de la relación entre las secciones eficaces, con y sintensiones, con las variaciones del tensor de esfuerzos. La relación entre la sección eficaz,con y sin tensiones, muestra grandes cambios con las tensiones para valores pequeños delvector de transferencia de impulso. Los cambios más notables se encontraron para valoresde q entre O y 0.1 A -l. Para valores de q de alrededor de 1 A -1, la relación toma valoresdel orden de .2 por ciento.

El coeficicnte de reflexión relativo a la dependencia de la dirección y de las tensiones,se encuentra en el orden de 10-7 a 10-9; que son de muy pequeña magnitud. La variacióndel coeficiente de reflexión con las tensiones es también muy pequeña.

El modelo es susceptible de mejorarse utilizando datos experimentales del comporta-miento de la sección eficaz con las tensiones, empleando otras formas de cálculo del co-eficiente de retrodispersión (por ejemplo utilizando el método de Monte Carla), así comoteniendo en cuenta el principio de indistinguibilidad de las partículas.

REFERENCIAS

1. M.R. James and O. I3uck, Crit. Rev. Salid. Sto Matter. Sci. 9 (1980) 61.2. L. Mordfin, Residual Stress Jor Designers and Metal/urgists, ASM (1981), 189.3. L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Course oJ Theoretical Physics, Vol. 3, Pergamon Press (1965).4. A.S. Davidov, Quantum Mechanics, Editorial Rev, La Habaua (1965).5. L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Curso de Física Teórica, Vol. 7, Editorial Reverté, Madrid (1969).6. T.E. Everhart, J. Appl. Phy. 31, 8 (1960) 1483.7. M. Krasnov, Ecuaciones Integroles, Editorial Mir, Moscú (1982).