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martes, 02 de febrero de 2010

INECUACIONES Nombre:………………………………………………………………………………

1. Resuelve las siguientes inecuaciones (2 puntos):

a) � − �� ≥ � − �� ⇒ 5 ≥ 5 ⇒ ≥ 1

b) 1-�� + �� ≥ −� ⇒ 1 − 2 − 10 ≥ −3 ⇒ −2 ≥ 6 ⇒ ≤ −3

c) �� > ��

�� ⇒ �� > ��

�� ⇒ 2�6 − 2� > 1 − ⇒ 12 − 4 > 1 − ⇒

−3 > −11 ⇒ < 113

d) �� + ! ≥ �� − �� ⇒ 2 + 4 ≥ 6 − 2 ⇒ − 4 ≥ −6 ⇒ ≤ "�

e) �� − ��

� ≤ ! + � ⇒ �� − ��

� ≤ #� + ��

� ⇒ 6 − �1 − 2� ≤ 8 + 2 ⇒

6 − 1 + 2 ≤ 8 + 2 ⇒ 6 ≤ 9 ⇒ ≤ 32

2. Encuentra gráficamente la solución de las siguientes inecuaciones (1,5 puntos):

a) �� + � > � − �

&�� = 3 + 1 (�� = − 3




b) � + ) < � + �

&�� = 1 + (�� = + 2

3. Resuelve las siguientes inecuaciones: (2 puntos)

a�a�a�a� �� − �� + � < � Factorizamos el polinomio: � − 5 + 6 = 0 ⇒ � − 5 + 6 = � − 2�� − 3� Entonces � − 2�� − 3� < 0 2 3

� − 2� - + + � − 3� - - +

� − 2�� − 3� + - + ∈ �2, 3�

b�b�b�b� �� + �� < � Factorizamos el polinomio: � + 7 = 0 ⇒ � + 7 = � + 7� Entonces




� + 7� < 0 -7 0

� + 7� - + + - - +

� + 7� + - + ∈ �−7, 0�

c�c�c�c� ��@��@�� > �

Ya tenemos los polinomios factorizados -2 -1 0 3

� + 2� - + + + + - - - + +

� − 3� - - - - + �1 + � - - + + +

� + 2�� − 3��1 + � + - + - +

∈ �−∞, −2� ∪ �−1,0� ∪ �3, ∞�

d�d�d�d� ��@��@�� ≤ �

Factorizamos el numerador: −2" + � + = 0 ⇒ �−2� + + 1� = 0 ⇒ −2" + � + = −2� − 1� G + 1

2H Entonces −2� − 1� I + 12J

− 1 ≤ 0 − �

� 0 1 -2 - - - -

G + 12H - + + +

- - + + − 1 - - - + − 1 - - - +

−2� − 1� I + 12J − 1 - + - -




∈ �−∞K, K12L ∪ M0K, K1� ∪ �1, ∞�

e�e�e�e� �@�� < �

Factorizamos el denominador � = 0 ⇒ � = ∙ Entonces + 3 ∙ < 0

-3 0

� + 3� - + + - - + - - +

+ 3 ∙ - + +

∈ �−∞, −3�

4. Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones. También

expresa la solución en forma de intervalos (1,5 puntos):

a) � + O ≤ � �� − �O > 1

b) � + � ≥ � −�� + � ≥ �




c) � ≥ −� O < 1




5. Indica para que valores de x el area del triángulo equilátero de la figura es

mayor que la del rectángulo (1,5 puntos).

Se trata de un triángulo rectángulo Área del rectángulo = PQRS ∗ QUVWXQ = 3

Altura del triángulo = Y� − I��J� = Y� − �Z

[ = Y"�Z[ = �

� √3

Área del triángulo = ]^_`∗^abcd^

� = �∙eZ√"� = �Z√"

[

�√34 > 3 ⇒ �√3 > 12 �f�ghi √3 > 12 ⇒ > 12

√3 ⇒ > 4√3

6. Investiga que sistemas de inecuaciones tienen como solución las siguientes

regiones del plano. (1,5 puntos)

a)




La recta j = − + 1 divide al plano en dos partes, representadas por las siguientes inecuaciones:

• j ≥ − + 1 • j ≤ − + 1

Nos interesa aquella inecuación cuyo conjunto de soluciones esté por debajo de la recta. Para ver cuál de ellas es elegimos un punto cualquiera de uno de los semiplanos, por ejemplo, el más sencillo, el �0,0�. Si fuera solución de la inecuación (verifica la inecuación), todos los puntos situados en el mismo semiplano que el punto �0,0� serían solución de la inecuación y por lo tanto la inecuación es la que estamos buscando. En caso de que no verifique la inecuación significa que su conjunto de soluciones es el semiplano opuesto al semiplano donde se encuentra el punto �0,0�, y por lo tanto será la otra inecuación la que estamos buscando.

Sustituimos esa valor en una de la inecuaciones, por ejemplo en la 1ª de ellas: 0 ≥ 1. Vemos que eso no es cierto, por lo tanto el conjunto de soluciones de la 1ª inecuación es el semiplano opuesto a semiplano donde se encuentra el punto �0,0�. Eso no nos interesa. Por lo tanto, la inecuación que nos interesa es la otra: O ≤ −� + � Hacemos lo mismo con la otra recta. La recta j = −3 + 7 divide al plano en dos partes, representadas por las siguientes inecuaciones:

• j ≥ −3 + 7 • j ≤ −3 + 7

Sustituimos esa valor en una de la inecuaciones, por ejemplo en la 1ª de ellas: 0 ≥ 7. Vemos que eso no es cierto, por lo tanto el conjunto de soluciones de la 1ª inecuación es el semiplano opuesto al semiplano donde se encuentra el punto �0,0�. Es justamente lo que nos interesa. Por lo tanto, la inecuación que nos interesa es: O ≥ −�� + � O ≤ −� + � Sistema de inecuaciones: O ≤ −�� + �

b) Recta : O = � − �




El razonamiento es similar al problema anterior: La recta j = − 1 divide al plano en dos partes, representadas por las siguientes inecuaciones:

• j ≥ − 1 • j ≤ − 1

Elegimos el punto �0,0�. Sustituimos esa valor en una de la inecuaciones, por ejemplo en la 1ª de ellas: 0 ≥ −1. Vemos que eso es cierto, por lo tanto el conjunto de soluciones de la 1ª inecuación es el semiplano donde se encuentra el punto �0,0�. Eso no nos interesa. Por lo tanto, la inecuación que nos interesa es la otra: O ≤ � − � Hacemos lo mismo con la otra recta. La recta j = 2 divide al plano en dos partes, representadas por las siguientes inecuaciones:

• j ≥ 2 • j ≤ 2

En este caso, vemos claramente que el semiplano que nos interesa es el que tiene lo valores de y por encima de 2, sin incluir el valor 2. Por lo tanto, la inecuación que nos interesa es: O > 2

O ≤ � − � Sistema de inecuaciones: O > 2




c) Que sistemas de inecuaciones tienen como solución el siguiente segmento?

� > −2 Sistema de inecuaciones: � ≤ �

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