UNIDAD DIDÁCTICA 4:INECUACIONES

ALFONSO NAVARRO PERAL

INECUACIONES

DE PRIMER GRADO

(1 INCÓGNITA)

UNA INECUACIÓN

SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER

GRADO

DE SEGUNDO GRADO RACIONALES

DE PRIMER GRADO (2

INCÓGNITAS)

UNA INECUACIÓN

SISTEMA DE INECUACIONE

S DE SEGUNDO

GRADO

MAPA CONCEPTUAL

INTRODUCCIÓN

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas.El grado de una inecuación es el mayor de los grados al que están elevadas sus incógnitas.

4 ≥ x + 2 ; x + y <2 ; son inecuaciones de primer grado, mientrasque; es de segundogrado

Resolver una inecuación consiste en encontrar los valores que la verifican. Éstos se denominan soluciones de la misma.

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INTRODUCCIÓNINECUACIONES EQUIVALENTESDos inecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución.

A veces, para resolver una inecuación, resulta conveniente encontrar otra equivalente más sencilla. Para ello, se pueden realizar las siguientes transformaciones:

- Sumar o restar la misma expresión a los dos miembros de la inecuación.

- Multiplicar o dividir ambos miembros por un número positivo.

- Multiplicar o dividir ambos miembros por un número negativo y cambiar la orientación del signo de la desigualdad.

5 𝑥+4<9 ⇔ 5𝑥+4 − 4<9 − 4 ⇔ 5𝑥<5

5 𝑥<5 ⇔ 5 𝑥 :5<5: 5⇔ 𝑥<1

𝑥<2⇔ 𝑥>− 2−2

1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Inecuaciones de primer grado con una incógnita:Una inecuación de primer grado con una incógnita puede escribirse de la forma:

ax > b, ax ≥ b, ax < b o bien ax ≤ b. Para resolver la inecuación en la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:1º) Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. 2º) Quitar los paréntesis, si los hay.3º) Transponer los términos con x a un miembro y los números al otro. 4º) Reducir términos semejantes.5º) Despejar la x.

𝑥−53

− (𝑥− 8 )6

> 3 −𝑥2

1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

2 x -3 - x - 9 2-7x - 2x + 7

1. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:a) 5 + 3x < 2x + 4 b) 3 + 4x ≥ 8x + 6 c) 5 + 4x > 3x + 2

2. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:a) 4(3 + 2x) < -(6x + 8) b) 7(2 + 3x) ≤ 5(6x + 3) c) 9(2 + 4x) + 4(5x – 2) > 3(2x + 1)

3. Resuelvelassiguientesinecuaciones y representa la solución en la recta real:a) 6 + 3x <x/3 + 1 b) 5 + 5x/2 ≥ 9x/2 + 1 c) (2 + 5x)/3 > 4x + 1

4. Escribeunainecuacióncuyasolución sea el siguienteintervalo:a) [2, ) b) (-, 3) c) (4, ]

5. Calcula los valores de x paraque sea posiblecalcularlassiguientesraíces:

2. SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNTA

c

Los sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita son aquellos que pueden ponerse en la forma 

(*), siendo a, b, c y d números reales.(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >,  ≤ ó  ≥.

Para resolver un sistema de este tipo:

1º Resolveremos por separado cada una de las inecuaciones.2º Escogeremos entre las soluciones comunes a ambas.

2. SISTEMA DE INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNTA

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

Resolvemos cada inecuación por separado:

La solución común es la intersección de los conjuntos solución de ambas inecuaciones

3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de segundo grado con una incógnita puede escribirse de la forma:

empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad.

Para resolverla:

1º Calculamos las soluciones de la ecuación asociada.2º Las representamos sobre la recta real, quedando por tanto la recta dividida en tres, dos o un intervalo, dependiendo de que la ecuación tenga dos, una o ninguna solución.3º Determinar el signo que tiene dicho polinomio para un valor cualquiera de cada uno de los intervalos y comprobar así que intervalos cumplen la inecuación. ¡¡¡También los extremos de los intervalos !!!

𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0

3. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

𝑥2−6 𝑥+5 ≥ 0

Resolver la siguiente inecuación:

1º Raíces: x = 1 ; x = 5

2º

3º Solución:

+ - +

SI NO SI

4. INECUACIONES RACIONALES

𝑃 (𝑥)𝑄(𝑥)

>0

Una inecuación racional es una expresión de la forma:

1º Calculamoslasraícesde los polinomios P(x) y Q(x)

2º Estudiamos el signo y los valoresqueverifican la inecuación en los siguientesvalores (dondeson lasraíces)

!!Nuncacumplirá en la raízqueanula el denominador¡¡

(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >,  ≤ ó  ≥.Para resolver:

4. INECUACIONES RACIONALES

2𝑥− 43𝑥+1 ≤ 0Resolver la siguiente inecuación:

1º Raíces de los polinomios:

2º

3º Solución:

P(x) - - +

Q(x) - + +

P(x)/Q(x) + - +

¿Cumple? NO SI NO

Solución:

5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐>0Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una expresión de la forma:

(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >,  ≤ ó  ≥.Para resolver:

1º Representamos la recta: ax + by + c = 0

2º La recta divide al plano en dos semiplanos. Comprobamos el semiplano solución escogiendo un punto del mismo y analizando si verifica la inecuación.

3º Incluimos o no la frontera según si la incluye la inecuación.

5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Representación de rectas (ax + by + c = 0)

Una recta queda determinada por dos de sus puntos. Para poder representarla: 1º Hacemos un tabla de valores (damos dos valores a la x; calculamos los valores de y). 2º Representamos gráficamente los puntos y los

unimos para generar la recta.

Ejemplo: 2x – y +4= 0 y = 2x+4

x y

0 4

2 8

5. INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplo: 3x + 2y - 7 > 0

1º Representamos:

2º Analizamos que región del plano cumple la inecuación. Probamos con (0, 0)

-7 >0 no cumple la solución es la otra región.

3º Solución

x y

2 1/2

-1 5

6. SISTEMA DE INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Una inecuación de primer grado con dos incógnitas es una expresión de la forma:

(*) Puede ser cualquier otra desigualdad: >,  ≤ ó  ≥.

Para resolver:

1º Representamos las rectas.

2º Cada recta divide al plano en dos semiplanos. Comprobamos el semiplano solución escogiendo un punto del mismo y analizando si verifica la inecuación.

3º La solución será la región del plano que verifique ambas inecuaciones.

4º Incluimos o no la frontera según si la incluye la inecuación.

6. SISTEMA DE INECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

Ejemplo:

1º Representamos las rectas:

2º La solución será la región del plano que verifique ambas inecuaciones.