Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 1

TEMA 3 ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS RESOLUCIN DE ECUACIONES EJERCICIO 1 : Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 6

x13

1x2

1x2 2

b) x4 26x2 + 25 = 0 c) 4.(5x + 1)2 9 = 0 d) 2x4 + 9x2 68 = 0

e x4 4x2 3 0 f) 25

x2

2x

g) 4x2x3 h)65

x1

1xx2

i) x4 9x2 = 0 j) x51x k) 3xx3

x1

l) 3x4 10x2 8 = 0

m) 16

5x72

5x3

)1x3)(5x2( 2

n) 22xx ) 47

x2x

2x1

o) 5x2

8x p) 31x6x2 q) 4

151x

x21x

x

r) 21

x

813

s) 31x4x t) x(4x + 1)(2x 7)(x2 - 4) = 0 u) x(9x2 1)(2x + 3 ) = 0 v) 5x1x

w) 22 1 5 6 0x x x x x) 72x1x5

x1

y) x4 3x 2 4 0 z) x531x5

1) 33x2

x43x2

5

Solucin:

a) Multiplicamos los dos miembros por 6: 2 23 2 1 2 1 1 6 3 2 2 1x x x x x x

2

8 212 31 1 48 1 76 2 0

12 126 1

12 2

x x x 1 22 1Las soluciones son y .3 2

x x

b) Por ser bicuadrada, hacemos el cambio x2 z:

2

2 1226 676 100 26 576 26 2426 25 0

2 2 250 252

z z z

2

2

Si 1 1 1 Si 25 25 5

z x xz x x

Las soluciones de esta ecuacin son x 1 1, x 2 1, x 3 5 y x 4 5.

c) Sabemos que si a2 b2, entonces, o bien a b o bien a b.

En este caso:

22 2 29 34 5 1 9 0 5 1 5 1

4 2x x x

As:

3 15 1 10 2 3 10 12 10

3 5 15 1 10 2 3 10 52 10 2

x x x x

x x x x

1 2

1 1Las soluciones son y .10 2

x x

Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 2 d) 2x4 + 9x2 68 = 0 equivale a 2z2 + z 68 = 0, siendo z = x2.

34 174 29 81 544 9 625 9 25

4 4 416 44

z

2

2

17 17Si no hay solucin real.2 2

Si 4 4 2

z x

z x x

Las soluciones pedidas son x1 2 y x 2 2.

e Hacemos el cambio: x2 z x4 z2

As obtenemos:

2

6 324 16 12 4 4 4 24 3 0

2 2 22 12

z z z

2

2

Si 3 3 3

Si 1 1 1

z x x

z x x 1 2 3 4Por tanto, hay cuatro soluciones: 3, 3, 1, 1x x x x

f) x54xx4x5

x24

x2x

25

x2

2x 22

2

45 25 16 5 9 5 35 4 0

2 2 21

xx x x

x

g) x42x34x2x3 . Elevamos al cuadrado y operamos:

2 2 2 23 2 4 9 2 16 8 9 18 16 8x x x x x x x x

2

21 1 8 1 9 1 30 2

2 2 21

xx x x

x

)1x(x6)1x(x5

)1x(x6)1x(6

)1x(x6x12

65

x1

1xx2)h

2

2 2 212 6 6 5 5 7 11 6 0x x x x x x

211 121 168 11 289 11 17

14 14 146 3

14 7

xx

x

i) x4 - 9x2 = 0 x2(x2 9) = 0

39x09x

0x0x2

2 Hay tres soluciones: x1 0, x2 3, x3 3

j) 5x1xx51x

Elevamos al cuadrado y operamos: 2 2 2 21 5 1 10 25 0 11 24x x x x x x x

811 121 96 11 25 11 5

2 2 23 no vlida

xx

x

k) xx3

xx

x3

x13x

x3

x1 2

2 21 3 3 0 3 2x x x x

23 9 8 3 1 3 1

2 2 21

xx

x

Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 3

l) Haciendo x2 z, se obtiene: 3z2 10z 8 0

24 46

10 100 96 10 146 6

4 26 3

z

2

2

Si 4 4 22 2Si no hay solucin real.

3 3

z x x

z x

Las soluciones son x1 2 y x2 2.

m) Multiplicamos ambos miembros por 6: 22 2 5 3 1 3 5 7 5 6x x x x

2 212 4 30 10 3 15 7 5 6 0x x x x x 215 19 4 0x x

30 130

19 361 240 19 121 19 1130 30 30

8 430 15

x

1 2

4Las soluciones son 1 y .15

x x

n) 2x2x Elevamos al cuadrado ambos miembros:

2 4 4 4 6 2 3x x x x x

Volvemos a elevar al cuadrado: 94 9 es la posible solucin.4

x x

Lo comprobamos: 9 9 3 1 42 24 4 2 2 2 9Luego es la solucin buscada.

4x

) Multiplicamos ambos miembros por 4x(x 2): 2 2 24 4 2 7 2 4 4 4 4 7 14x x x x x x x x x

2 2 24 4 16 16 7 14 3 2 16 0x x x x x x x

22 4 192 2 196 2 14

6 6 616 86 3

x

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin:

1 4 1 8 7 2 es solucin.4 2 4 4

8 221 1 3 2 14 7 83 3 es solucin.8 8 2 8 2 8 8 4 32

3 3 3 3

1 28Las soluciones son 2 y .

3x x

o) Multiplicamos ambos miembros por 2x:

2 2 22 8 10 2 10 8 0 5 4 0x x x x x x 5 25 16 5 9 5 32 2 2

x4

1

Comprobacin de las posibles soluciones: 84 4 1 5 4 es solucin8

; 81 1 4 5 1 es solucin2

Las soluciones son x1 4 y x2 1.

Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 4 p) x231x6 Elevamos ambos miembros al cuadrado:

2 2 26 1 9 12 4 4 18 8 0 2 9 4 0x x x x x x x

9 81 32 9 49 9 74 4 4

x

2 14 2

16 44

Comprobamos las posibles soluciones sobre la ecuacin: 1 6 12 1 1 4 1 2 3 es solucin2 2 2

x

8 24 1 8 25 8 5 13 4 no es solucinx 1La nica solucin es .2

x

q) Hacemos comn denominador:

2 2 2

2 2 2

4 1 8 1 15 1 1

4 4 8 8 15 1512 4 15 15 3 4 15 0

x x x x x x

x x x x xx x x x x

18 36

4 16 180 4 196 4 146 6 6

10 56 3

x

Comprobamos las soluciones:

3 6 3 6 3 12 15 3 es solucin.

3 1 3 1 4 2 4 4

5 10 5 105 10 20 10 30 15 53 3 3 3 es solucin.

5 5 2 8 2 8 8 8 4 31 13 3 3 3

1 25Las soluciones son 3 y .

3x x

r) Multiplicamos ambos miembros por x3: 3 3381 3 81 3x 27 3x xx

Comprobamos si es, o no, solucin en la ecuacin inicial: 81 1 3 1 2 3 es solucin27

x

s) 1x34x Elevamos ambos miembros al cuadrado:

4 9 1 6 1 6 1 4 3 1 2x x x x x

Volvemos a elevar al cuadrado: 139 1 4 9 9 4 9 139

x x x x

Comprobamos si es, o no, solucin: 13 49 749 9 3

; 13 4 2 73 1 3 39 9 3 3

13Ambos miembros coinciden, luego es la solucin buscada.9

x

Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 5 t) Para que el producto de varios factores sea 0, alguno de ellos tiene que ser 0. As:

2

2

014 1 0

44 1 2 7 4 072 7 02

4 0 2

x

x xx x x x

x x

x x

1 7Las soluciones son 0, , , 2 y 2. 4 2

x x x x x

u) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir que: x 0

2 2 1 19 1 09 332 3 0

2

x x x

x x

1 2 3 41 1 3Las soluciones son 0, , y .3 3 2

x x x x

v) 5x1x5x1x Elevamos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

x 1 x 52 x 1 x2 10x 25 x2 11x 24 0

11 121 96 11 25 11 52 2 2

x 8

3

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin: 8 1 8 9 8 3 8 5 8 es solucin.x

3 1 3 4 3 2 3 1 3 no es solucin.x

w) Tenemos un producto de factores igualado a 0, luego se ha de cumplir: x 0

1 0 1 1x x x

2 5 25 24 5 15 6 02 2

x x x 3

2 Las soluciones son 0, 1, 2 y 3. x x x x

x) Multiplicamos ambos miembros de la ecuacin por xx 2:

1 5 1 7 2 5 1 7 22

x x x x x xx x

x 2 5x2 x 7x2 14x 12x2 14x 2 0 6x2 7x 1 0

7 49 24 7 25 7 512 12 12

x 1

2 112 6

Comprobamos si son o no solucin, sustituyendo en la ecuacin inicial: 1 5 1 1 6 7 1 es solucin.1 1 2

x

1 5 1 11 11 11 2 6 : 6 1 7 es solucin.1 6 6 6 6 66

x

y) Haciendo x2 z, obtenemos z2 3z 4 0 3 9 16 3 25 3 52 2 2

z 4

1

As: z 4 x2 4 x 2

z 1 x2 1 no hay solucin. Las soluciones son: x1 2, x2 2

z) x531x5x531x5 Elevamos al cuadrado ambos miembros:

Tema 3 Ecuaciones, Inecuaciones y Sistemas Matemticas B 4 ESO 6 5x 1 3 5x2 5x 1 9 30x 25x2 25x2 35x 10 0 5x2 7x 2 0

7 49 40 7 310 10

x 1

4 210 5

Comprobamos estas soluciones sobre la ecuacin: 5 1 1 3 4 3 2 3 1 5 1 no es solucin.x

2 2 25 1 3 1 3 2 5 es solucin.5 5 5

x

1) Multiplicamos ambos miembros de la ecuacin por 2x 3 2x 3:

5 4 3 5 2 3 4 2 3 3 2 3 2 32 3 2 3

x x x x x xx x

10x 15 8x2 12x 34x2 9 8x2 22x 15 12x2 27

4x2 22x 12 0 2x2 11x 6 0 11 121 48 11 169 11 134 4 4

x

2 14 2

6

Comprobamos estas soluciones en la ecuacin: 5 2 5 1 13 es solucin.

1 3 4 2 2 2x

5 24 5 24 1 8 9 3 6 es solucin.12 3 12 3 15 9 3 3 3

x

1 21Las soluciones son: , 62

x x

EJERCICIO 2 : , .1 1 3Escribe una ecuacin cuyas soluciones sean y2 2 2

Solucin:

1 1 3La ecuacin 0 tiene como soluciones las pedidas.2 2 2

x x x

Multiplicando estos tres factores se llega a la ecuacin buscada:

2 3 2 3 21 3 3 1 30 0 8 12 2 3 0 es la solucin.4 2 2 4 8

x x x x x x x x

SISTEMAS DE INECUACIONES EJERCICIO 3 : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones

a)

y3

1x2

55y2

21x

6 1 3 1b) 7

6 3

x y

y x