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Problemas Aplicativos de Inecuaciones y Ecuaciones Alumnos: Milko Tabra Yhordi Espinoza 1120428 Escuela: Ing. de Diseo Grfico Fecha: 01 / 06 / 12 Catedrtico: Dante Arturo Hurtado Saravia

En este caso hemos desarrollado lo aprendido en clase, aplicando los pasos y las formulas, Una ecuacin es una igualdad matemtica entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incgnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar

Tema: Problemas Aplicativos de Ecuaciones e Inecuaciones Alumnos: Pacco Monroy, Juan Alfredo 1011825 Rojas Alcalde, Renzo 0810255 Tupia Salazar, Jair Johao 1120428 Escuela: Ing. de Diseo Grfico Fecha: 01 / 06 / 12 Catedrtico: Dante Arturo Hurtado Saravia

Introduccin ................................ 1 Ejercicios de Inecuaciones ........ 3 Ejercicios de Ecuaciones ........... 12 Bibliografa .................................. 23

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1. Un fabricante de tornillos recibe un pedido de un cliente el cual estipula que los tornillos deben tener una longitud de 7,62 cm y son aceptables siempre y cuando el error no exceda al 5%. Cules son las medidas que deberan tener dichos clavos? Solucin: El error ocurre tanto si el tornillo es ms largo o ms corto Tenemos que hallar el 5% (0,05) de 7,62cm 7,62(0,05) = 0,381 El error e acepta con 0,385 por encima y debajo de 7,62 7,62 0,381 7,62 - 0,381=7,239 7,62 + 0,381=8,001 Repuesta: 7,239 medida 8,001 2. En cierto ao, en el mes de julio, al medir la temperatura en la ciudad de Arequipa se obtuvo una mnima de 12c y una mxima de 26c. es decir la temperatura vario en el intervalo (12,26). Si medimos la temperatura en grados Fahrenheit. Cul hubiera sido el intervalo de variacin? a. Planteamos la ecuacin que exprese grados centgrados en fahreheit.. C=5/9x(F-32) b. El intervalo cerrado (12,26) se describe mediante las ecuaciones: (12C) ^(C26) 12C26 c. Reemplazamos los valores de la frmula de la formula y despejamos el valor de F al igual que una ecuacin. 12 < 5/9(F-32) < 26 12 < 5/9(F-32) < 26 12(9/5) < F -32 < 26(9/5) 21,6 + 32 < F < 46,8 + 32 53,6 < F < 78,8 Respuesta (53,6; 78,8)

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3. Las ventas mensuales x de cierto articulo cuando su precio es p soles estn dadas por p=200-3x. el costo de producir x unidades del mismo artculo es C=(650+5x) soles, Cuntas unidades de este articulo debern producirse y venderse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos 2500 soles? Desarrollo Recordemos que UTILIDAD = INGRESOS COSTOS Veamos cada uno de ellos. INGRESO = Cantidad de Venta x Precio Ingreso = x(200-3x) Ingreso=-3x2 +200x COSTO= Dinero invertido por producir cierta cantidad de unidades del artculo. COSTO= 650 + 5x La UTILIDAD mensual debe ser por lo menos de 2500 soles Utilidades 2500 Utilidad=Ingreso-Costo Utilidad=(-3x2+200x)-(650+5x) -3x2+195x-650 2500 -3x2+195x-3150 0 Dividimos ambos lados entre -3 pero cambiamos el sentido de la desigualdad por ser negativo X2-65x+1050 0 Mtodo de factores tenemos.. (x-30)(x-35) 0 Si es menor igual a 0 existen dos posibilidades: (+,-)(-,+) ley de signos ((x 30)^(x 35))v((x 30)^(x 35)) Respuesta: deben producirse y venderse entre 30 y 35 unidades

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4. Una peluquera atiende un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra 5 soles por corte. Por cada incremento de 0,75 en la tarifa pierde 10 clientes. Qu precio deber fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por una tarifa de 5 soles? Desarrollo: Llamaremos x al nmero de incrementos 0.75 entonces: Precio = 5 + 0.75x P = 5 + 0,75x El nmero de clientes que vaya con esta tarifa ser de: CLIENTES = 100 10x C = 100 - 10x Recordemos que INGRESOS = Nro. CLIENTES x PRECIO Los ingresos por 100 clientes a la semana son de 500, por tanto, los nuevos ingresos deben ser de al menos 500 soles. I= CxP I=(100-10x)(5+0,75x) (100-10x)(5+0.75x) 500 500 + 75x 50x 7,5x2 0 2,5x (-3x2+10) 0 Aplicamos las leyes de los signos para resolver la inecuacin. Mayor igual a 0, Positivo = (+,+) (-,-) ((2,5x 0)^(-3x+10 0))v((2.5x 0)^(-3x+10 0)) 0 ((x 0)^(x 10/3))v((x 0)^(x 10/3)) 0 (0,10/3) Respuesta: Debera cobrar 7,50soles para obtener los mismos ingresos

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5. Las fbricas A y B confeccionan camisas, que sus representantes venden a las tiendas. Un representante de la fbrica A cobra 500 euros ms 4 euros por camisa vendida, mientras que uno dela fbrica B cobra 400 euros ms 6 euros por camisa vendida. Para qu cantidad de ventas cobra ms un representante de la fbrica B? Solucin: Sea x el nmero de camisas que venden. La inecuacin que se debe plantear es 500+4x 100 SOLES

Compaa A Banda Ancha + llamadas a Fijos gratis: 40 SOLES / mes Llamadas a mviles: 0,30 SOLES / min

Compaa B Banda Ancha + llamadas a Fijos gratis: 60 SOLES / mes Llamadas a mviles: 0,20 SOLES / min

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10. Hallar un nmero entero positivo que sumado con 11 resulte mayor que el triple de l, disminuido en 7 y que sumado con 5 resulte menor que el doble de l, disminuido en 2 Solucin: Sea x el nmero entero x > 0 Teniendo en cuenta las primeras condiciones x + 11 > 3x 7 De donde 9 > x. (1) Con las otras condiciones De donde x > 7. (2) De (1) y (2) se obtienes 7 < x < 8 y como x es un numero entero. Luego x = 8 11. Un fabricante produce un determinado nmero de mesas, si duplica su produccin y vende 60, le queda unas 24. Luego fabrica 10 ms y vende 28, tendr entonces menos de 10 mesas. El nmero de mesas que se fabric inicialmente fue: Solucin: Sea x: el nmero de mesas producidas 2x: El nmero duplicado, entonces 2 x 60 > 24 De donde x > 42.. (1) Luego: [(2x 60) + 10] 28 < 10 de donde x < 44 (2) De (1) y (2) se tiene: 42 < x < 44 como x es entero x = 43 : x + 5 < 2x 2

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12. Manuel invita a sus amigos al cine. Si dispone de 32 soles, le faltara dinero para comprar entradas de 5 soles, pero si adquiere entradas de 4 soles le sobrara dinero. El nmero de amigos que invito Manuel es: Solucin: Sea x: Nmero de personas Primero: 5x > 32 x > 6,4. (1) Luego: 4x < 32 x < 32.. (2) De (1) y (2) se tiene que x = 7 Entonces el nmero de personas que invit Manuel es: 7 1 = 6 13. Se compra un nmero par de naranjas, si se vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender y se venden la sexta parte quedara ms de 129 por vender. El nmero de naranjas que se compraron es: Solucin: Sea x: Nmero de naranjas que se compraron. Primero: x 1/4x < 118 3/4x < 118 X < 157,3. (1) Luego: x 1/6x > 129 5/8x > 129 X > 154,8 (2) De (1) y (2) determinamos: 157,3 < x < 154,8 Pero como x es par entonces x = 156

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14. Dados 3 nmeros enteros consecutivos se sabe que la tercera parte del menor menos 10 es mayor que 14, la cuarta parte del mayor ms 10 es menor que 29. El nmero menor es: Solucin: Primero: 1/4(x + 1) + 10 < 29 x < 75 El menor nmero es: x 1 = 74 1 = 7

x = 74

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1. Un padre decide recompensar a sus dos hijos a Jerson le dieron su propina por haber terminado el ciclo con buenas notasy a Robn le dieron 20 dlares ms por obtenido el primer puesto en su carrera si ambos tienen 80 dlares cuanto recibi Jerson. Respuesta: X + ( X + 20 ) = 80 2X = 60 X = 30 Jerson obtuvo 30 soles de propina 2. En un concurso de matemtica cada respuesta correcta vale 5 puntos y por cada incorrecta le quitan 1 punto. Si Paola contesta correctamente 8 preguntas y 6 contesta errneamente Cunto de puntaje obtuvo? Respuesta: Por las 8 preguntas correctas obtiene 8 x 5 = 40. Por las 6 incorrectas se le quita 6 puntos, siendo el puntaje obtenido 40 6 = 34 3. Una manzana pesa el doble de un pltano, el cual pesa 100gramos, cuantas manzanas y pltanos se han colocado en una balanza que marca 3kg, si se observa misma cantidad de cada uno? Respuesta: Cada pareja pesa 100 + 200 = 300 Si hay X parejas: 300X = 3000 X = 10

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4. Un fabricante de televisores obtiene un beneficio de 40 soles por cada televisor que vende y sufre una prdida de 45 soles por cada televisor defectuoso que debe retirar del mercado un da ha fabricado 561 televisores obteniendo unos beneficios de 8755 soles cuantos televisores buenos y defectuosos ha fabricado ese da? 40x 45y = 8755. (i) x + y = 561 (multiplicamos por 45) 45x + 45y = 561.45.(ii) Sumamos i + ii 85x = 25245 + 8755 85X = 34000 X = 400 Y = 161 5. En un bote pueden ir de paseo a lo mucho 5 nios con 5 adultos. Si un adulto pesa el triple de un nio. Cuntos nios como mximo pueden ir de paseo en dicho bote? Respuesta Cada adulto se reemplazamos por 3 nios, los adultos se reemplazan por 3 x 5 = 15 + 5 = 20 nios

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6. Si el nmero de libros que tiene una biblioteca, se duplica y se agregan 40 libros ms, se tiene en total menos de 76 libros se triplica y se agregan 16 libros ms, se tienen en total ms de 64 libros, Cuntos libros haba originalmente? Respuesta: Sea x el nmero de libros DEL ENUNCIADO: ENTONCES TAMBIEN 2x + 40 < 76 . X < 18

2X < 36

3x + 16 > 64

ENTONCES 3x > 48 .. x > 16 LUEGO 16 < x < 18 X = 17

7. Juan tiene un perro. Actualmente su perro tiene 12 aos menos que l. Dentro de 4 aos, Juan tendr el triple de la edad de su perro. Cul es la edad de Juan y su perro? Solucin: Sea x la edad actual de Juan. Ordenemos la informacin entregada en este problema en la siguiente tabla: Hoy Juan Su perro X X 12 En 4 aos X+4 (x 12) + 4 = x - 8

Luego, la ecuacin que modela este problema es: x + 4 = 3(x 8)

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Resolvamos esta ecuacin: x + 4 = 3(x 8) x + 4 = 3x 24 2x = 28 x = 14 Respuesta: La edad de Juan es 14 aos y la edad de su perro es 2 aos. 8. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determinar el nmero de unidades que deben vender para que la compaa obtenga utilidades de $60 y calcular el margen por unidad. Solucin: Se tiene que Utilidades = Ingresos totales Costos totales Ingresos totales = Cantidad vendida precio de venta Costos totales = Costos variables + Costos fijos

Sea q = nmero de unidades que deben ser vendidas. Luego el modelo para el problema es: 10q (6q + 80) = 60 Resolviendo esta ecuacin lineal se tiene que: 10q (6q + 80) = 60 4q 80 = 60 4q = 140 de donde se obtiene q = 35 Respuesta: Es necesario vender 35 unidades para obtener utilidades de $60.

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9. Un grupo de jvenes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un bote. A ltima hora, tres de los jvenes se arrepintieron, con lo cual la cuota de cada uno de los restantes jvenes subi en $1.500. Solucin: Sea n el nmero inicial de jvenes. Ordenemos la informacin del problema en la siguiente tabla

Nmero de jvenes Valor cuota de c/uSituacin inicial Situacin posterior n n-3 1400 / n 1400 / n - 3

Como la cuota inicial sube en $1500, se tiene que la ecuacin que modela este problema es: 14000 = 14000 + 1500 n3 n Desarrollando esta ecuacin se obtiene que ella se reduce a: n2 3n 28 = 0 Resolviendo esta ecuacin (cuadrtica) se obtiene que sus soluciones son: n = 7 y n = -4. Claramente, la solucin n = -4, un puede dar una solucin a este problema. Respuesta: (a) En el grupo inicial haban 7 jvenes. (b) Cada joven de grupo final pag $3500 (=14000/4)

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10. La liquidacin de sueldos de un empleado de la empresa Bienvenidos!! es la siguiente: .

Sueldo Base

Isapre (7%)

AFP (10%)

Sueldo lquido

$ 257.000

en base a la informacin entregada determinar: (a) Su sueldo base (b) El descuento de la Isapre (c) El descuento de la AFP Solucin: Sea x = sueldo base. Luego:

Sueldo Base

x

Isapre (7%)

0.07x.

AFP (10%)

0.1x

Sueldo lquido

$ 257.000

Por lo tanto la ecuacin que modela este problema es: x 0.07x 0.1x = 257.000 Resolviendo esta ecuacin, se tiene que x = 309.638, 5

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Respuesta: Los valores pedidos son (aproximados): (a) Su sueldo base es $309.638, 5 (b) El descuento de la Isapre es $21.6746, 9 (c) El descuento de la AFP es $30.963,8 11. La familia Verdana tiene una huerta con 90 plantas de tomates. El nmero de plantas de cada fila excede en 3 al doble del nmero de filas. Determinar el nmero de filas y el nmero de plantas por fila. Solucin: (a) Sea x = nmero filas. (b) Datos:

N de filas x

N de plantas en c/fila 2x + 3

Total de plantas x(2x + 3)

(c) Ecuacin: x(2x + 3) = 90 Equivalente a: 2x2 + 3x 90 = 0 (d) Resolviendo la ecuacin, se obtiene: x = 6 o x = 15 2 . Respuesta: Ya que, el nmero de filas debe ser un nmero entero positivo, luego: en la huerta hay 6 filas, y en cada fila hay 2 x 6 + 3 = 15 plantas de tomates.

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12. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:

Determinar el largo de cada auto. Solucin: Sea x el largo de cada auto. De acuerdo a la figura, la ecuacin que modela este problema es: 3x + 4 = 2x + 7 Resolviendo esta ecuacin se obtiene que x = 3. Respuesta: Cada auto mide 3 metros. 13. Un farmacutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La solucin debe tener 2% de ingrediente activo, pero slo tiene disponibles soluciones al 10% y al 1%. Qu cantidad de cada solucin debe usar para completarla receta? Solucin: Sea x = cantidad de ml. de la solucin al 10% Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.

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A Cantidad de ml. En cada caso Cantidad de ingrediente activo en cada caso x

B 5-x

C 15

0.1x

0.01 (15 x)

0.02 x 15

Luego, la ecuacin que modela este problema es: 0.1x + 0.01(15 x) = 0.02 15 Resolviendo esta ecuacin (lineal) se obtiene que x = 5 = 1.7 3 Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la solucin al 10% y 8.3 ml. de la solucin al1%, para obtener 15ml al 2%. 14. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10 Km/h. Cinco minutos despus, un segundo corredor comienza en el mismo punto, y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma pista. Cunto tiempo tardar el segundo corredor en alcanzar al primero? Solucin: Sea t el nmero de horas que recorre el primer corredor. Como el segundo corredor sale 5 minutos ( 1/12 horas) despus que el primero, el tiempo que recorre el segundo es (t 1/12) horas. Esto conduce a la siguiente tabla. Velocidad Corredores Km/h Primero Segundo Horas Km. Tiempo Distancia

10 13

t t 1/12

10t 13(t 1/12)

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Luego, como en el momento en que el segundo corredor alcanza al primero, ambos han recorrido la misma distancia, la ecuacin que modela este problema es: 10t = 13( t 1 ) 12 Resolviendo esta ecuacin (lineal) se obtiene que t = 13/36 = 0.36horas = 21.6 min. Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en 21.6min, aproximadamente. 15. Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si el costo por preparar el terreno es de $0.5 dlares por metro cuadrado, y la cerca cuesta $1 dlar el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el costo por prepararlo y cercarlo es de $120 dlares. Solucin: (a) Sea x = ancho del terreno = largo del terreno. (b) Organizando los datos: Permetro del terreno = 4xmetros rea del terreno = x2 metros2 Costo en dlares por: Cercar 1 m. Cercar todo el terreno 1(4x) Preparar 1 m2

Preparar todo el terreno

1

0.5

0.5 . x

2

(c) Considerando los datos del problema, se obtiene la ecuacin: 4x + 0.5x2 = 120 (d) Resolviendo la ecuacin se obtiene: x = 12 o x = 20. Respuesta: Como las dimensiones del terreno deben ser nmero positivos, luego, la medida de cada lado cuadrado es 12 m.

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Ecuaciones http://matesup.utalca.cl/nivemat/3_ecuaciones/3_problemas/problem as-ejem2.pdf

Inecuaciones http://razonamientomatematicototal.blogspot.com/2010/10/planteode-inecuaciones.html

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