II

PROFESOR PATROCINANTE

Ph. D. Sr. Alfredo Guillermo Illanes Manríquez. _______________

PROFESORES INFORMANTES

Ph. D. Srta. Agnes Madalinski. _______________

Ing. Sr. Daniel Vicente Lühr Sierra. _______________

III

Dedicada a mis Abuelos:

Ernestina, María (Q.E.P.D),

José (Q.E.P.D) y Pedro (Q.E.P.D).

“Gracias por la experiencia y cariños

entregados en mi vida

y en la de todos nosotros”.

IV

Comenzar agradeciendo a la vida que ha puesto seres especiales en mi camino, es lo

más apropiado en este minuto de mi vida, comandado por la introspección y término de una

etapa importante en mi vida como lo es la etapa universitaria.

Destacar la importancia que han tenido mis familiares cercanos dentro de este

proceso nuevo, desconocido, extenso y en momentos tedioso para todos nosotros, como lo

fue la universidad. Aún así el no sentirse solo o abandonado a su suerte, fue una de las

mayores ventajas con las que pude contar. Si bien familiares y amigos no estuvieron

siempre y en todo momento, lo estaban en los momentos más críticos y significativos.

En base a esto mismo agradecer a mi madre, Jacqueline, a mi padre, Félix, que

estuvieron en los diferentes momentos necesarios con alguna palabra de aliento para no

decaer. A mis tíos, Nazario, Arturo, Armando, por todo su apoyo brindado no solo en esta

etapa sino que a lo largo de la vida que he tenido. Mis tías, Yaneth, Matilde, cada una con

una forma diferente de entregar cariño. A todas las personas que han estado, o aun están, en

los diferentes momentos de mi vida apoyándome o simplemente intercambiando una

opinión con ellos. Agradecer eternamente a todas y cada una de las personas que he

conocido en la vida, de todos ellos he podido adquirir algo que permanezca en el tiempo y

mediante eso me he ido formando como persona.

Ser feliz es uno de los mayores beneficios que se pueden obtener en esta vida y es

nuestra mayor riqueza, disfrutar de cada momento como si fuese el último. Hacer frente a

las adversidades y problemas mediante la felicidad es algo que tengo que agradecer

eternamente a la vida. Me considero un hombre afortunado al tener mucha gente a mi lado,

familiares, amigos, una hija preciosa, Isidora, y por sobretodo, uno de los pilares más

fuertes, mi hermano Pedro, los cuales permiten que esto sea así.

Gracias a todos y cada uno de ustedes, y a los que se tomen el tiempo de leer esto.

Félix Bernardo Nahuelpán Díaz.

V

AGRADECIMIENTOS __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ IV

INDICE POR CONTENIDO__ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ V

INDICE POR FIGURA __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ IX

RESUMEN __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ XIII

ABSTRACT __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _ XIV

OBJETIVOS __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ XV

INTRODUCCIÓN __ __ __ __ __ ____ __ __ __ __ ____ __ __ __ __ ____ __ __ __ XVI

CAPÍTULO I.

LA CELULA Y SUS CARACTERISTICAS. 1

I.1.- La Célula como base de estudio. 2

I.1.1.- Las células y el cuerpo humano. 2

I.1.2.- Líquido extracelular y célula. 3

I.1.3.- Liquido extracelular y sus concentraciones. 4

I.2.- La Célula como Organismo. 5

I.2.1.- Composición celular. 6

I.2.2.- Partes de la célula. 7

I.2.2.1.- Membrana Celular. 7

I.2.2.2.- Retículo Endoplásmico. 8

I.2.2.3.- Aparato de Golgi. 9

I.2.2.4.- Lisosomas. 10

I.2.2.5.- Peroxisomas. 11

I.2.2.6.- Mitocondrias . 11

I.2.2.7.- Núcleo Celular. 12

I.3.- Comunicación celular interna y externa. 13

I.4.- Mecanismos de trasporte iónicos. 16

I.4.1.- Bomba de Na+ y Ka+. 16

I.4.2.- Proteínas de Canal. 17

VI

CAPITULO II.

POTENCIALES DE ACCIÓN NO CARDIACOS Y CARDIACOS 20

II.1.- Potencial de acción transmembranario. 21

II.2.- Base teórica y física del potencial de membrana no cardiaco. 23

II.3.- Fases del potencial de acción. 25

II.3.1.- Fase de reposo. 25

II.3.2.- Fase de despolarización. 25

II.3.3.- Fase de repolarización. 26

II.4.- Calcio y potencial de acción cardiaco. 27

CAPITULO III.

EL CORAZÓN, ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO. 29

III.1.- El corazón como motor de la vida. 30

III.2.- Configuración del corazón. 31

III.2.1.- Características histológicas del músculo cardiaco. 31

III.2.2.- Características eléctricas del corazón. 33

III.2.3.- Conducción eléctrica en el corazón. 34

III.3.- Interacción de los potenciales de acción con el electrocardiograma. 38

III.3.1.- El electrocardiograma. 38

III.3.2.- Relaciones entre las dinámicas intracardiacas y las dinámicas

proyectadas en la superficie del cuerpo observadas en el ECG. 39

III.3.3.- Potenciales de acción y su importancia como modelo

a implementar. 40

CAPITULO IV.

MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN A TRES VARIABLES DE ESTADO

PROPUESTO POR TOLKACHEVA - SCHAEFFER 42

IV.1.- Investigación de Tolkacheva - Schaeffer. 43

VII

IV.2.- El modelo de Fenton – Karma 44

IV.2.1.- Primera variable voltaje v. 45

IV.2.2.- Segunda variable, compuerta rápida f. 47

IV.2.3.- Tercera variable, compuerta lenta s. 47

IV.3.- Identificación de necesidades de la programación del modelo. 49

CAPITULO V.

SCILAB, CARACTERISTICAS Y PROGRAMACIÓN NÚMERICA. 50

V.1.- Descripción de Scilab. 51

V.2.- Características y requisitos de operación e instalación. 51

V.3.- Funciones básicas del programa. 56

V.3.1.- Definición de constantes. 56

V.3.2.- Funciones matemáticas presentadas por Scilab. 58

V.4.- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante Scilab

con resolución gráfica. 60

V.5.- Ejecución de un programa. 64

CAPITULO VI.

IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR

A TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB. 66

VI.1.- Simulación del Modelo de Fenton - Karma. 67

VI.2.- Resolución mediante Scilab del sistema de ecuaciones diferenciales

ordinarias implementadas en el modelo de potencial de acción a tres variables

de estado y su representación gráfica. 70

VI.3.- Introducción de una serie de impulsos en el sistema y su respuesta. 77

VI.3.1.- Variable v 81

VI.3.2.- Variable f 82

VI.3.3.- Variable s 83

VI.3.4.- Superposición de las tres variables de estado. 83

VIII

CAPITULO VII.

EXPERIMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULARA TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB. 85

VII.1.- Experimentación del modelo implementado en Karma y micromacro. 86

VII.2.- Algoritmo excitación, curva de restitución y representación

Gráfica en dos dimensiones, bajo el protocolo S1-S2. 89

CONCLUSIONES 99

BIBLIOGRAFIA 103

ANEXO 1

CODIGOS DE IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS TRATADOS. 105

A.1.- Código de fuente del algoritmo Karma mediante Scilab. 106

A.2.- Código de fuente del algoritmo micromacro mediante Scilab. 108

A.3.- Código de fuente del algoritmo cures mediante Scilab. 109

IX

Figura 1.a) Esquema general del sistema circulatorio en la eliminación de residuos 4

del líquido extracelular.

Figura 1.b) Difusión de líquido intersticial a través de las paredes capilares hacia el 4

torrente sanguíneo.

Figura 2.- Diagrama de una célula animal con sus elementos internos. 5

Figura 3.- Estructura de la membrana celular y configuración física. 7

Figura 4.a) Organización del retículo endoplásmico al interior de la célula. 9

Figura 4.b) diagrama de comunicación en la síntesis lipídica en retículo endoplásmico. 9

Figura 5.- Representación esquemática del aparato de Golgi y su relación con el 9

retículo endoplásmico.

Figura 6.- Esquema de representación del funcionamiento de los lisosomas al interior 10

de las célula.

Figura 7.- Estructura de la mitocondria, y sus partes características. 11

Figura 8.- Diagrama esquemático de funcionamiento de las mitocondrias desde la 12

oxidación hasta la emisión de ATP.

Figura 9.- Configuración interna del núcleo y las partes que la componen 13

Figura 10.- Seis formas de cómo se unen las proteínas a la bicapa lipídica en la 14

membrana celular.

Figura 11.- Visión esquemática de las proteínas de transporte. 15

Figura 12.- Concentraciones químicas de los líquidos intracelulares y extracelulares. 15

Figura 13.- Representación grafica de una bomba de Na+ y Ka+. 16

Figura 14.- Esquema representativo de un canal iónico. 18

Figura 15.- Esquema representativo de diferentes tipos de canales iónicos 18

Figura 16.- Representación un impulso eléctrico introducido en una célula de 22

conducción eléctrica.

Figura 17.- Representación grafica de un potencial de acción no cardiaco. 24

Figura 18.- Fase de reposo. 25

Figura 19.- Fase de despolarización. 25

Figura 20.- Fase de repolarización 26

X

Figura 21.- Representación gráfica de la curva característica de los canales de sodio 26

y potasio en el potencial de acción celular.

Figura 22.- Representación de un potencial de acción celular cardiaco. 27

Figura 23.- Esquema representativo de un corazón con sus componentes. 30

Figura 24.- Esquema de conexión establecido entre las fibras musculares cardiacas. 32

Figura 25.- Representación grafica de un potencial de acción a nivel cardiaco en el 33

músculo ventricular y en las fibras de Purkinje.

Figura 26.- Representación esquemática de cómo están distribuidos los diferentes 34

conductores eléctricos cardiacos.

Figura 27.- Representación grafica del comportamiento del potencial de acción de la 35

fibra del nódulo sinusal y su comparación con el potencial de acción de la fibra

muscular ventricular.

Figura 28.- Esquema del nódulo A-V. 36

Figura 29.- Esquema representativo de la figura cardiaca y sus tiempos de conducción 37

a lo largo de todo el corazón.

Figura 30.- Representación gráfica de un electrocardiograma y sus segmentos. 38

Figura 31.- Representación grafica de la sumatoria vectorial de los potenciales de 39

acción celulares a nivel cardiaco.

Figura 32.- Aproximación a la representación de QRS como despolarización ventricular 40

mientras que la onda T sería de repolarización.

Figura 33.- Representación grafica de la aproximación numérica de las soluciones de 48

los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios.

Figura 34.- Curva de restitución celular. 49

Figura 35.- Logo del Software Scilab versión 5.2.1. 52

Figura 36.- Licencia de distribución de software de Scilab 5.2.1. 53

Figura 37.- Selección de dirección de destino del software 53

Figura 38.- Selección de complementos de instalación de Scilab. 54

Figura 39.- Ventana de instalación de Scilab y listado de complementos a instalar. 55

Figura 40.- Consola de instrucciones de Scilab. 55

Figura 41.- Representación gráfica de ‘y = cos x’, con ‘x’ comprendido entre 0 y 10. 60

Figura 42.- Editor de textos de scilab y la declaración de la función f. 61

XI

Figura 43.- Solución gráfica de la ecuación diferencial presentada en Ec.14. 63

Figura 44.- Definición de la función Karma, definición de los parámetros de entrada y 67

salida del sistema.

Figura 45.- Definición de constantes establecidas en la Tabla 3 en nuestra función 68

Karma.

Figura 46.- Definición de ecuaciones diferenciales en la función Karma. 68

Figura 47.- Definición de las variables dependientes de voltaje y tiempo en nuestra 69

función Karma.

Figura 48.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente 72

a la duración de potencial de acción, para voltaje mayor a ‘Vcrit’.

Figura 49.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente 72

a la duración de potencial de acción, para voltaje menor a ‘Vcrit’.

Figura 50.- Representación gráfica del nemónico ‘f’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’. 74

Figura 51.- Representación gráfica del nemónico ‘s’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’. 74

Figura 52.- Representación gráfica de la función nemónica ‘f’ con ‘v’< ‘Vcrit’. 75

Figura 53.- Representación gráfica de la función nemónica ‘s’ con ‘v’<‘Vcrit’. 75

Figura 54.- Superposición de las Representaciones gráficas de las tres funciones 76

implementadas mediante nuestra función Karma para un único impulso.

Figura 55.- Definición de la función micromacro con entrada ‘Qp’ y salida ‘solf’ 77

Figura 56.- Definición de los valores iniciales que serán utilizados en la función 78

micromacro para la evaluación de Karma para más de un impulso.

Figura 57.- Programación del algoritmo micromacro, mediante la resolución de la 79

función Karma.

Figura 58.- Respuesta de micromacro para la variable ‘v’. 81

Figura 59.- Respuesta de micromacro para ‘f’. 82

Figura 60.- Respuesta de micromacro para ‘s’. 83

Figura 61.- Superposición de las variables ‘v’, ‘f’, y ‘s’. 84

Figura 62.- Interacción entre las tres variables evaluadas y presentadas en micromacro. 84

Figura 63.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en 87

cada una de sus variables, frente a una extrasístole que no permite la repolarización

celular.

XII

Figura 64.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en 88

cada una de sus variables, frente a una extrasístole que permite la repolarización celular.

Figura 65.- Definición de las entradas y salidas de la función cures. 90

Figura 66.- Introducción de los valores definidos, anteriormente, para ‘Es’ y ‘Qp’ en la 91

función cures.

Figura 67.- Confección del algoritmo cures. 92

Figura 68.- Definición del algoritmo de implementación de la función auxiliar 93

medición, complementario a cures.

Figura 69.- Multiplicación de APD por el factor de 8/7 para transformar las muestras a 96

mseg.

Figura 70.- Representación gráfica de la relación de restitución, curva de restitución, 97

implementada mediante cures y los algoritmos presentados en este trabajo.

Figura 71.- Representación grafica de la curva de restitución mediante puntos, obtenida 98

mediante cures, permitiendo una mejor aproximación a la curva de restitución teórica.

XIII

En la actualidad uno de los desafíos que se han planteado los investigadores es en

encontrar las asociaciones de los procesos microscopios de nuestro organismo y ver de qué

forma afectan a nuestro cuerpo. Frente a este mismo postulado es que se hace indispensable

el reducir los niveles de mortalidad por enfermedades cardiacas así como el de mejorar la

calidad de vida de las personas que poseen este tipo de insufiencias.

Para llevar a cabo este objetivo es importante recurrir a los conocimientos ya

existentes, acerca del comportamiento de nuestro organismo a nivel microscópico, los

cuales podemos encontrar en las ciencias biomédicas (biología, bioquímica, fisiología,

histología, etc.) así como también en el área de desarrollo de las ingenierías. Esto nos

permitirá observar cuales son los principales cambios que se generan en las dinámicas

microscópicas a nivel celular y cómo estas se pueden caracterizar para que después, en un

futuro cercano, puedan ser analizadas o contribuyan a el diagnostico diferencial de

patologías mediante el perfeccionamiento de las herramientas ya existentes como lo es el

electrocardiograma.

Estos modelos de desarrollo de características de dinámicas microscópicas a nivel

celular cardiaco ya han sido determinados. Por lo que en esta investigación se utilizó uno de

estos modelos para caracterizar las corrientes iónicas existentes en la célula a modo de

configurar un potencial de acción celular basado en ecuaciones matemáticas que nos

permitan ver las variaciones que se producen en caso de no mantener un ciclo cardiaco

constante y ver cómo se comporta esta curva de restitución, lo cual nos permite observar si

el algoritmo implementado responde de manera correcta al protocolo de excitación S1-S2

que fue el utilizado en este caso para la implementación del modelo y el diseño de la curva.

XIV

Currently one of the challenges raised by the researchers is to find the associations

of the microscope processes of our organism and analyze how they affect our body. This is

why it is essential to reduce the levels of mortality from heart disease and improve the

quality of life of people who possess this kind of pathologies.

To accomplish this goal it is important to use existing knowledge, about the

behavior of our body at the microscopic level, which is found in the biomedical sciences

(biology, biochemistry, physiology, histology, etc.) and also in the development of

engineering. This allows us to see which the major changes that are generated are in the

microscopic dynamics at the cellular level, and how these can be characterized so that later,

in the near future, they can be analyzed or they can contribute to the differential diagnosis

of pathologies by improving the existing tools such as the electrocardiogram.

These development models of the dynamic microscopic characteristics at the heart

cellular level have been determined. In this study utilizes one of these models, to

characterize the ionic currents present in the cell, for to configure a cellular action potential

based on mathematical equations. That allows us to see variations that occur in case of

failure to maintain a constant cardiac cycle and see how behaves this restitution curve,

which allows us to see if the algorithm implemented responds correctly to the excitation of

the protocol “S1-S2”, that was used in this case for the implementation of the model and the

design of the curve.

XV

• Implementar un modelo de potencial de acción celular a tres variables de estado,

obtenido en los estudios presentados en [1].La importancia de la implementación de

este modelo radica en que a partir de este se podrá a futuro relacionarlo con

dinámicas que ocurren a un nivel macroscópico en el ECG.

• Realizar una investigación que permite la interacción de disciplinas como lo son las

ciencias biomédicas con las ciencias de la ingeniería.

• Realizar un estudio bibliográfico acerca de las principales dinámicas y modelos de

la actividad eléctrica celular.

• Hacer uso del software Scilab para el modelado de sistemas dinámicos.

• Comprender la funcionalidad e importancia que posee el potencial de acción celular

para el análisis de señales eléctricas en el cuerpo humano.

• Analizar y comprender el modelo de presentado en [1] sobre todo en lo

concerniente a la relación de restitución cardiaca que puede ser obtenida de dicho

modelo.

XVI

Los tiempos contemporáneos nos invitan a encontrar las respuestas frente a cada

una de las interrogantes que se nos plantean u originan en nuestro diario vivir mediante esta

búsqueda incansable de conocimientos es como hemos podido trasladarnos de un área del

conocimiento a otra. Generando de esta forma una nueva visión más amplia de la

problemática la cual, esta vez, se centra en los diferentes puntos de vista de acuerdo a la

ciencia y es cimentada en diferentes epistemologías. Este tipo de trabajo permite la

interacción de estos mismos elementos, que son parte fundamental de problema, lo que nos

conlleva a desarrollar de una mejor manera y mucho mas acabada la respuesta en nuestro

propio trabajo al permitirnos conocer y observar realidades o visiones distintas, esta forma

de investigación se conoce como multidisciplinaria.

Debemos centrar el siguiente trabajo bajo este parámetro en el cual analizaremos el

principal problema de la investigación a desarrolla que es Implementar un Modelo de

Potencial de Acción a tres variables de estado el cual se encuentra basado en el modelado

propuesto por Tolkacheva y Schaeffer en [1], donde las características microscópicas, como

lo es la interacción iónica de la célula, se utilizan como variables.

El tema que se desea presentar en el siguiente documento es de vital importancia en

el mundo de la investigación a nivel cardiovascular debido a que las rutinas a las que esta

condicionado el potencial de acción celular, que es la columna vertebral del trabajo, nos

permiten obtener una respuesta clara de las falencias o problemas que se presentan a nivel

celular cardiaco. Con esto principalmente se busca avanzar en el tema de forma de

contribuir a la comprensión de ciertas dinámicas eléctricas cardiacas que producen

enfermedades o estados cardiacos anormales, fibrilación ventricular, arritmias. Así como a

la vez buscar algún tipo de tratamiento o terapia para cada una de estas patologías y otras

asociadas al corazón sobre todo en el ciclo cardiaco.

La caracterización de estas dinámicas cardiacas a nivel celular en forma bioquímica

y eléctrica a través de paramétrizaciones matemáticas es una forma de representar

XVII

principalmente los modelos sistémicos de membranas celulares las cuales son afectadas por

los cambios de condiciones iniciales estables o estados isoeléctricos. Las características

biológicas y fisiológicas principales que se desean analizar son las que nos permiten

comprender el comportamiento de la célula de acuerdo a los grados de excitabilidad de

estas mismas, dentro de estas rutinas eléctricas.

Las células no solo poseen un cierto tipo de características sino que además poseen

una variada gama complementarias y propias entre las cuales se cuentan el tener memoria,

hecho fundamental para esta investigación, ya que de esta manera se puede visualizar

mediante la curva de restitución las características eléctricas de la célula a lo largo de cierto

intervalo de tiempo conocido como ciclo cardiaco básico. Para poder apreciar si esta curva

satisface realmente la que necesitamos debemos centrarnos directamente en la interacción

que se desarrolla en la membrana celular entre el interior y exterior a nivel iónico de modo

de poder representar ciertos flujos de entrada y salida de forma de establecer una

comunicación constante que permita que se generen despolarizaciones y variaciones

eléctricas que sirvan de modo de observar su comportamiento. Dentro de estas mismas

características se encuentra la capacidad de agruparse a modo de formar tejidos u órganos

en los cuales una vez compuesto le permite tener características propias dependiendo de la

estructura y composición en la que se concentre a esto se le conoce como diferenciación

celular con lo que las células responden de forma diferente dependiendo de donde estén

ubicadas en nuestro cuerpo y a que órgano correspondan.

Una vez que se obtiene todo este tipo de información y centrándose en [1] debemos

de utilizar un software que nos permita realizar este tipo de modelado y programación del

mismo de modo de obtener no solo la curva representativa de restitución sino que además

la respuesta frente a cada uno de los estímulos eléctricos de excitación que se introducirán a

nuestro modelo. Para lo cual se utilizara el software de programación numérico Scilab el

cual es un lenguaje de programación desarrollado por la INRIA, Institut National de

Recherche en Informatique et Automatique, que nos permitirá desarrollar tanto el modelado

como la implementación a nivel de programación.

XVIII

Es de vital importancia dentro de esta investigación desarrollar un algoritmo que sea

robusto y que nos permita observar la variabilidad existente en la modificación tanto de las

variables que se utilicen como la frecuencia a la cual este modelo sea excitado. Esto es

debido a que debemos siempre pensar en cual es el grado de aporte que generaría este

modelo para futuras investigaciones en el área de la cardiología y sobre todo en el uso y

perfeccionamiento de herramientas que ya se encuentran disponibles como lo es el

electrocardiograma.

1

2

I.1.- La célula como base de estudio.

Como bien es sabido la piedra angular de la base del cuerpo humano como se conoce hoy

en día es la célula, la cual es un organismo diminuto que por cada tejido u órgano en el cual este

presente tiene un tipo de diferenciación distinta y una especificidad característica de esta.

Considerando lo anterior como la base de nuestro organismo podemos apreciar que los órganos

son un conglomerado de células las cuales unidas tienen características especiales que

caracterizan a la vez a cada uno de estos órganos o tejidos. Uno de estos casos es el corazón, el

cual es el tema central de estudio del siguiente documento, donde este conglomerado celular

posee varias características propias como lo son la auto excitabilidad, refractibilidad, y

conductividad eléctrica que le da vida a nuestro cuerpo.

Para poder comenzar a hablar de las características tanto eléctricas como fisiológicas de

nuestro corazón así como de su comportamiento de acuerdo a las diferentes frecuencias y

variaciones eléctricas producidas a nivel de la membrana plasmática debemos analizar que son

las células y como se comportan de acuerdo a sus características especificas.

I.1.1 Las células y el cuerpo humano.

El cuerpo humano posee cerca de 100 billones de células las cuales se encuentran

diferenciadas en varios tipos. Sabemos a la vez que todas las células poseen principios de

funcionamiento o características básicas similares, tales como: que en todas las células del cuerpo

se agrupan los productos de degradación (hidratos de carbono en glucosa; grasas en glicerol o

ácidos grasos; proteínas en aminoácidos) los cuales por medio de la oxidación, en presencia de

oxigeno, liberan la energía necesaria para desarrollar las funciones celulares básicas. Cabe

destacar que así como todos los mecanismos para transformar los nutrientes en energía son

similares, también lo son la eliminación de residuos de sus reacciones químicas las cuales son

expulsadas hacia el líquido extracelular.

3

I.1.2 Líquido extracelular y célula.

Las células se encuentran ubicadas en el líquido extracelular y este representa el 30 %

aproximadamente del líquido corporal total. Este líquido posee una gran movilidad interna ya que

viaja por el cuerpo humano a través de la sangre donde luego es mezclado con los líquidos que

existen en los tejidos mediante el proceso de difusión (traspaso de un medio a otro no importando

la dureza del material) este proceso se conoce como pasivo ya que no gasta energía en el traslado

de un medio a otro, sangre – tejido, ya que solo permeabiliza las paredes de los capilares de estos

últimos de acuerdo al gradiente de concentración iónica (hipertónico a hipotónico) o al gradiente

de carga eléctrica.

En el líquido extracelular podemos encontrar una variada gama de componentes

microscópicos tales como iones y nutrientes, siendo estos los que permiten que las células puedan

generar ciertos procesos químicos con lo que se genera la homeostasis en célula. Las células son

capaces de vivir, crecer y desarrollarse siempre y cuando tengan las concentraciones necesarias

de oxigeno, glucosa, aminoácidos, diferentes tipos de iones, sustancias grasas y diferentes

componentes que están presentes en el interior de la célula.

Como se mencionó anteriormente este liquido extracelular posee una gran variedad de

componentes en su extensión entre los que podemos encontrar grandes cantidades de iones de

sodio, cloruro y bicarbonato, y nutrientes celulares tales como oxigeno, glucosa, ácidos grasos y

aminoácidos. Este liquido a la vez transporta cierta cantidad de residuos o desechos celulares

donde podemos encontrar partículas de dióxido de carbono, para ser expulsadas por medio de los

pulmones, así como productos celulares los cuales son derivados hacia los riñones para su

excreción, el esquema de eliminación se representa en la Figura 1. a).

Este mecanismo de transporte se separa en dos partes: la primera es el movimiento de la

sangre a través de los diferentes organismos mediante los vasos sanguíneos, y la segunda

mediante el movimiento de difusión que se realiza entre los capilares sanguíneos y las células. A

medida que este líquido entra en movimiento a lo largo del cuerpo mediante el torrente sanguíneo

4

entra en un intercambio continuo de líquido extracelular entre la porción de plasma sanguíneo y

el líquido intersticial que ocupa entre las células, ver Figura. 1. b).

a) b)

Figura 1.a) Esquema general del sistema circulatorio en la eliminación de residuos del líquido

extracelular. b) Difusión de líquido intersticial a través de las paredes capilares hacia el torrente

sanguíneo.

I.1.3 Líquido extracelular y sus concentraciones.

Como se visualizo en el tópico anterior el líquido extracelular posee una gran cantidad de

elementos en su extensión pero lo importante ahora es ver en qué proporción están distribuidos y

cuáles son las concentraciones de estos, para lo cual nos referiremos a la Tabla 1. Estos valores

nos servirán como base para establecer las relaciones de comunicación celular entre el medio

interno y externo de la célula.

Tabla 1. Valores típicos de concentraciones de cada una de las sustancias presentes en el líquido

intersticial.

5

I.2.- La célula como organismo.

Para poder comenzar a entender el mecanismo de comunicación existente entre las células

y su entorno, además de observar sus cambios eléctricos, lo primero que debemos hacer es

conocer cómo funciona la célula como un sistema, como está compuesta, cual es su organización

interna, sus partes y toda la funcionalidad que otorga especificidad a cada una de las células de

nuestro cuerpo.

Comenzaremos entonces por definir la célula como una unidad pequeña compuestas de

líquido intracelular, es decir, esta rellena de una base acuosa, algo similar al líquido extracelular,

y está rodeada por una membrana que lo que hace es separar el líquido interior del líquido

exterior. Ahora bien la célula se compone internamente de dos partes fundamentales, ver figura 2,

las cuales son el núcleo (en celeste) y el citoplasma (damasco), donde el núcleo como se puede

apreciar está separado del citoplasma por una membrana nuclear, y el citoplasma está separado

por la membrana celular que mencionábamos anteriormente, cabe destacar que en el citoplasma

celular se alojan un gran número de organelos celulares los cuales también se pueden apreciar en

la Figura 2.

Figura 2.- Diagrama de una célula animal con sus elementos internos.

6

I.2.1 Composición celular.

La mayor parte de la célula está compuesta de agua la cual representa cerca del 80 % de

esta, los principales nutrientes de la misma célula se encuentran disueltos en los líquidos

intracelulares o bien suspendidos sobre este líquido. Al igual que en el medio extracelular el

interior de la célula posee grandes cantidades de iones entre estos los principales son los de

potasio, magnesio, fosfato, sulfato, bicarbonato y pequeñas cantidades de sodio, cloruro y calcio.

Estos iones son los principales encargados de generar impulsos electroquímicos tanto en los

nervios como en las fibras musculares mediante las variaciones de polarización de acuerdo a los

cambios de concentraciones.

La célula posee un gran número de proteínas las que se pueden dividir en dos grupos: las

estructurales, que se encuentran presentes en forma de largos filamentos delgados que resultan de

la agrupación de muchas proteínas básicas, conocido como polímero, la función principal que

poseen estos filamentos proteicos es la de proporcionar el movimiento contráctil al interior de la

célula. Mientras que el otro tipo son las globulares, que son independientes unas de otras, esto

quiere decir que solo están compuestas de una molécula por lo que puede contribuir en el

metabolismo celular de diferentes maneras cada una de ellas (por ejemplo, como enzima

descomponiendo y catalizando los nutrientes principales; almacenando aminoácidos; transportar

moléculas a través de la membrana plasmática).

Existe dentro de la célula un grupo de sustancias que son solubles en disolventes grasos

estos son conocidos como lípidos, dentro de este grupo de componentes celulares los que más

destacan son los fosfolípidos y el colesterol. El primero interviene en la formación de la

membrana celular debido a que no se puede disolver en el agua, mientras que el segundo adquiere

una alta importa al formar las separaciones o barreras membranosas intracelulares que separa los

diferentes compartimientos de la célula.

Otro componente que posee la célula y el cual es de vital importancia en la vida de esta

son los hidratos de carbono los cuales si bien no se utilizan en la parte estructural de la célula si

son parte importante de la nutrición de esta, es por esta razón que la gran mayoría de las células

7

en su interior almacena glucógeno, el cual es un polímero insoluble de glucosa, el cual puede ser

catalizado de forma rápida para proporcionar la energía necesaria en la célula.

Si bien la célula posee una gran cantidad de componentes como los vimos anteriormente

también debemos apreciar en el esquema representativo (Figura 2) se nos muestra una gran

cantidad de partes pequeñas que se encuentran en su interior. Estas pequeñas partes son los

determinados organelos celulares. Ahora bien cada uno de estos organelos celulares está

recubierto por membranas compuestas de lípidos y proteínas. Estas membranas al estar

compuestas de lípidos inhiben el movimiento libre del agua y de las sustancias hidrosolubles de

un compartimiento celular a otro, sin embargo permite el paso de las moléculas proteicas para

que se realice las síntesis de estas en cada uno de los organelos correspondientes.

I.2.2 Partes de la célula.

Para comprender el funcionamiento celular analizaremos como están estructurados cada

uno de estos organelos celulares tanto en el interior de la célula (citoplasma) como en el

perímetro de esta (membrana celular) y cuál es la función de cada uno de estos.

I.2.2.1.- La membrana celular: Se llama así a la capa que reviste la célula, las

características que posee esta son: que es flexible, delgada y elástica, su grosor bordea los 8 nm.

Su composición está formada casi por completo por proteínas y lípidos, para ser exactos 55% de

proteínas, 25% de fosfolípidos, 13% de colesterol, 4% de otros lípidos y solo un 3% de hidratos

de carbono.

Figura 3.- Estructura de la membrana celular y configuración física.

8

La membrana celular es una de las partes fundamentales de la célula debido a que

interviene en la comunicación que se realiza entre el interior y el medio externo de la célula, por

lo que no se analizara en este punto sino que se realizara en conjunto con la comunicación celular

que es la base del problema al cual queremos dar solución, ya que es debido a estos cambios de

concentraciones externas e internas que se genera la variación de potencial transmembranario o

potencial de acción celular.

I.2.2.2.- Retículo Endoplásmico: Este organelo celular genera una red canales a lo largo y

extenso del interior de la célula comunicando la membrana nuclear con el citosol, medio acuoso

interno. Esta comunicación se realiza mediante vesículas, que son parte del mismo retículo

endoplásmico, por lo que se considera que este sirve para comunicaciones interna a nivel celular

así como en la síntesis de algunos componentes microscópicos.

Este comunicador celular se clasifica en dos tipos: uno correspondiente al retículo

endoplásmico liso el cual participa en la síntesis de sustancias lipídicas junto con algunos

procesos enzimáticos relacionados con estas síntesis, cabe destacar la importancia de este proceso

ya que permite la creación de nuevos lípidos para las membranas celulares. Mientras que el otro

corresponde al retículo endoplásmico rugoso que se encuentra cubierto por una capa de

ribosomas, los cuales están anclados a la superficie externa y están compuestos de ácido

ribonucleico (ARN) y proteínas, los que favorecen la síntesis de nuevas moléculas proteicas al

interior de la célula.

Estas proteínas se utilizan en el proceso vesicular o bien terminan en la configuración de

alguna membrana (celular; nuclear; organelo) si bien este proceso de síntesis de nuevas proteínas

comienza en el citosol donde son capturadas por medio de un translocador el cual está unido por

ARNm (Acido ribonucleico mensajero) el cual lleva un péptido señal el cual luego de la síntesis

se sabe que terminara en el interior del retículo endoplásmico o bien en una membrana.

Este retículo endoplásmatico es un selector de proteínas donde las de calidad llegaran a

unos los caminos antes mencionados, membrana o retículo, o bien si es defectuosa o no sirve para

9

alguna de estas funcionas caerá nuevamente en el citosol y será secretada al exterior de la célula

para su posterior eliminación, en la Figura 4 se muestra su configuración y diagrama de

comunicación.

a) b)

Figura 4.- a) Organización del retículo endoplásmico al interior de la célula, b) diagrama de

comunicación en la síntesis lipídica en retículo endoplásmico.

I.2.2.3.- Aparato de Golgi: Este organelo posee una estructura similar al retículo

endoplásmico liso está ubicado en la parte anterior del retículo endoplásmico, por lo general se

organiza entre cuatro o cinco vesículas planas y alargadas que componen este aparato, véase

figura 5.

Figura 5.- Representación esquemática del aparato de Golgi y su relación con el retículo

endoplásmico.

10

La relación que se establece entre el retículo endoplásmatico y el aparato de Golgi se basa

en la comunicación de las vesículas del retículo endoplásmico las cuales transportan las

sustancias contenidas en el retículo endoplásmico las que una vez desplazadas se fusionan con el

complejo de Golgi, siendo en este último donde serán procesadas para formar los lisosomas o

bien las vesículas secretoras que son parte de la membrana celular y que le permite aumentar el

tamaño y la superficie celular.

I.2.2.4.- Lisosomas: Son organelos vesiculares que comienzan su formación en el retículo

endoplásmico y luego son terminados en el aparato de Golgi donde son esparcidos por todo el

citosol. Estos lisosomas corresponden a un sistema digestivo intracelular el cual permite que la

misma célula por medio de ellos digiera componentes tales como: partes de la célula que están

dañadas, alimentos que han sido ingeridos por la célula, digerir materiales y componentes

indeseables (como lo serian en este caso las bacterias), expulsar desechos de la célula.

Este organelo está compuesto por un capa bilipida y un número bastante alto de

hidrolazas. Las hidrolazas son digestores que cumplen la función de separar el componentes en

dos o más partes de las cuales una es mezclada con hidrógenos del agua interior y la otra se

mezcla con la parte lipídica de esta forma se sintetiza de forma completa cada partícula. Una de

las síntesis que realiza es la hidrolización de las proteínas con las cuales forma cadenas de

aminoácidos, un ejemplo de esto es el glucógeno que una vez hidrolizado genera glucosa. Este

organelo, como se menciono anteriormente, posee una membrana lipídica la cual es

exclusivamente para que sus digestores no digieran otras partes de la célula que no deben ser

digeridas.

Figura 6.- Esquema de representación del funcionamiento de los lisosomas al interior de las

células.

11

I.2.2.5.- Peroxisomas: Este organelo se gesta por autorreplicación posee una alta

concentración de oxidasas las cuales son capaces de combinar oxigeno con los hidrogeniones, a

partir de diferentes compuestos químicos celulares, para formar peróxido de hidrógeno el cual en

conjunto con las catalasa permite oxidar una gran cantidad de sustancias que podrían envenenar a

la célula como es el caso del alcohol. En definitiva podríamos caracterizar a estos con una

función oxidativa de degradación de aminoácidos y de ácidos grasos, destacando la importancia

de este último ya que se obtiene la mayor parte de la energía metabólica por medio de su

degradación.

I.2.2.6.- Mitocondrias: Es un organelo que se encuentra en todo el citoplasma celular es la

fuente de generación máxima de energía esto quiere decir que son directamente proporcional la

cantidad de energía necesaria por la célula y la cantidad de mitocondrias que está tendrá.

Las mitocondrias poseen una dobla capa lipídica una exterior y la otra en el interior de la

mitocondria. Ahora bien esta membrana interior, como se aprecia en la Figura 7, se expande por

toda la mitocondria en forma de invaginaciones por lo que en casi toda la cavidad interna se

encuentran una gran cantidad de crestas interiores sobre las que se disponen las enzimas

oxidativas que son de vital importancia en la extracción de energía de los nutrientes.

Figura 7.- Estructura de la mitocondria, y sus partes características.

Para saber cómo actúa la mitocondria y como genera la energía suficiente debemos poner

atención a las enzimas oxidativas de la crestas, junto con las enzimas disueltas al interior, las

cuales una vez que comienzan a oxidar los nutrientes estas obtienen dióxido de carbono y agua

como residuos de la liberación de energía. Esta energía se utiliza para sintetizar una sustancia de

12

alta capacidad energética como lo es el trifosfato de adenosina (ATP). El cual es transportado

luego fuera de la mitocondria y se difunde por todo el espacio intracelular donde se utiliza para

liberar la energía contenida en el lugar específico, ver Figura 8.

Las mitocondrias como se explico anteriormente están relacionadas en número con

respecto a la cantidad de energía requerida es por eso que poseen la capacidad replicarse ellas

mismas es decir que si ven que falta energía en la célula estas se replican para aumentar dicha

cantidad. Cada mitocondria replicada será igual a la que la gesto ya que este organelo celular

posee ácido desoxirribonucleico (ADN).

Figura 8.- Diagrama esquemático de funcionamiento de las mitocondrias desde la oxidación hasta

la emisión de ATP.

I.2.2.7.- Núcleo Celular: Este corresponde al centro de control de la célula este contiene

grandes cantidades de ADN los que corresponden a los genes, ver Figura 9. Estos genes

determinan las características de las proteínas celulares como las proteínas estructurales y

enzimas citoplasmáticas. Este núcleo es el que permite la reproducción celular debido a que los

13

genes se encuentran en este se replican para luego dividirse en dos grupos los que forman dos

células hijas.

La membrana nuclear se encuentra unida al retículo endoplásmatico ya que este

contribuye de manera directa en la generación de proteínas a nivel celular.

Figura 9.- Configuración interna del núcleo y las partes que la componen.

I.3.- Comunicación celular interna y externa.

Las células son organismos que poseen una membrana que delimita el interior y exterior

celular la cual cumple la función de barrera protectora frente al paso de las moléculas en ambos

sentidos de la comunicación. Debido a las características particulares que posee la membrana,

que corresponde a una bicapa lipídica, la cual está compuesta por dos capas las que poseen

características similares compuestas por fosfolípidos.

Los fosfolípidos tienen un cuerpo que está compuesto por: una cabeza polar (donde esta

posee la característica de ser hidrofílica) y dos colas (donde estas poseen la característica inversa

es decir son hidrofóbicas). Como ya se mencionó, a groso modo en la definición anterior de

membrana celular, el transporte a través de esta es realizado por proteínas de transporte las cuales

poseen iguales condiciones que la bicapa lipídica, es decir el interior de la proteína es hidrofóbico

y el exterior hidrofílico.

14

Estas proteínas de transporte se agrupan en cada uno de los lados de la membrana celular ,

es decir al interior y exterior de la célula, unidas a esta por medio de una unión covalente de una

o más cadenas de ácidos grasos que se encuentran en la mitad citoplasmática de la capa lipídica.

Si bien esta no es la única forma en que la proteínas se agrupan a lo largo de la bicapa

lipídica es la de mayor representación obsérvese Figura 10.

Figura 10.- Seis formas de cómo se unen las proteínas a la bicapa lipídica en la membrana

celular. 1, 3, 4: están unidas mediante enlaces covalentes. 1, 2: son de conexión simple y múltiple

respectivamente. 5, 6: Unidas por enlaces no covalentes a otras proteínas de membrana.

La comunicación de iones inorgánicos o pequeñas partículas orgánicas entre el interior y

exterior de la célula, a través de la bicapa lipídica, está determinada por las proteínas de

transporte de la membrana donde cada una de estas tiene una función específica, la cual queda

determinada por la responsabilidad de la transferencia de: una molécula; un ion especifico; un

grupo de moléculas; un grupo de iones afines.

Dentro de esta forma de comunicación entre el exterior y el interior celular se encuentran

dos principales proteínas que permiten realizar esta movilidad las cuales son proteínas de:

transporte y canal, ver Figura 11. La primera realiza esta función por medio de la especificidad es

decir transporta cierto soluto el cual adquiere características diferentes con las cuales puede

atravesar la bicapa lipídica sin problemas. El segundo tipo de proteína lo que hace en vez de

unirse a un soluto produce poros en la bicapa lipica de forma que genera una abertura por la que

ingresan una gran cantidad de iones determinados, este tipo de transporte al no estar asociado a

una fuente de energía solo se realiza para nivelar los niveles de concentraciones iónicas tanto en

15

el interior como en el exterior de la célula, señalando a la vez que este método de transmisión es

mucho más rápido que el de proteína transportadora.

Figura 11.- Visión esquemática de las proteínas de transporte.

Cuando el transporte de iones en la membrana está influenciado por una carga eléctrica

neta se considera el gradiente eléctrico además de la condición de equilibrio eléctrico entre la

célula y el medio exterior. Este gradiente de concentración eléctrica se conoce como potencial

eléctrico transmembranario. Esta condición isoeléctrica queda determina por la concentración

eléctrica del interior de la célula la cual es negativa versus el exterior celular donde este es

positivo (ver concentraciones iónicas Figura 12) esta condición favorece el intercambio iónico a

través de la membrana celular ya que permite el paso desde el exterior al interior de la célula de

iones cargados positivamente mientras que los iones cargados negativamente sean repelidos.

Figura 12.- Concentraciones químicas de los líquidos intracelulares y extracelulares.

16

I.4.- Mecanismos de transporte iónicos.

Dentro de los mecanismos de transporte que observamos existen diferentes tipos de

proteínas que generan variaciones en el comportamiento eléctrico de la membrana celular.

I.4.1.- Bomba de Na+ y Ka+: Uno de los métodos de comunicación es el de transporte

activo en el cual podemos encontrar una de las proteínas que corresponde a la bomba de Na+

(sodio) y Ka+ (potasio), la cual contribuye en un 10% al potencial de membrana total. Esta bomba

de ATPasa de Na+ y Ka+ corresponde al tipo de transporte activo debido a que ejerce cambios de

concentraciones iónicas por medio de una fuente de energía lo que genera un cambio en sentido

contrario a los gradientes electroquímicos del potasio y del sodio, ver Figura 13.

Figura 13.- Representación grafica de una bomba de Na+ y Ka+ donde se ingresa una fuente de

energía ATP. Señalización de los gradientes electroquímicos de Na+ y Ka+.

Al observar la Figura 13 nos podemos dar cuenta que a pesar de que la concentración de

Ka+ es mucho mayor al interior de la célula esta bomba permite el ingreso de mas potasio al

interior celular, mientras que la concentración de Na+ al exterior es mucho mayor y esta bomba

le permite sacar más sodio al exterior celular.

Esta característica que presenta la célula es principalmente para mantener un estado

osmótico que permita que esta se hinche o se retraiga fácilmente. Como se indicó anteriormente

la célula posee una gran cantidad de solutos orgánicos los cuales pueden ser iones negativos

(aniones) que tienen que estar acompañados por los iones positivos (cationes) que son los que

17

equilibran la carga neta celular. La célula al poseer un gran gradiente osmótico tiende a perder

una gran cantidad de agua debido a lo cual esta se comprime (estado hipertónico) por lo que la

bomba de ATPasa Na+ y Ka+ permite ingresar un menor número de iones de Ka+ y sacar una

mayor cantidad de Na+ para llevarla a su estado normal (estado isotónico) para que de esta

manera se evite el producir un estado hipotónico dentro de la célula y de esta forma no romper el

equilibrio osmótico de esta.

Cuando de activa está la bomba de sodio y potasio, y debido a que transporta un menor

número de iones de Ka+ que de Na+, se genera un estado electrogénico lo cual produce un

potencial eléctrico a través de la membrana con el interior negativo respecto al exterior celular.

I.4.2.- Proteínas de canal: En este tipo de transporte las proteínas forman poros

hidrofílicos que generan dos formas de comunicación: la que se realiza entre dos células

adyacentes que se conoce como unión comunicante (gap junctions) o bien la comunicación con el

medio extracelular que genera porinas las cuales tienen la característica de ser especificas para

los iones inorgánicos (canales iónicos).

Entre las características que tienen los canales iónicos destacan la velocidad que poseen

para transportar iones de un lado al otro de la membrana, en el cual dejan pasar 1 millón de iones

por cada segundo. Este tipo transporte no puede estar unido a una forma de energía debido a que

su mecanismo de activación es pasivo.

Estos canales permiten la movilidad de iones inorgánicos específicos, entre los más

importantes a nivel de concentraciones son el Ka+, Na+, Ca2+, Cl-, y esta depende directamente de

la dirección del gradiente electroquímico de cada una de ellas. Las proteínas de canal forman

poros hidrofilitos los que poseen selectividad iónica lo que permite que ingresen solo los iones

determinados en el momento de la apertura del canal. Deben eliminar todos los restos de agua

que los acompañan en el desplazamiento debido a que las paredes de estos canales están

específicamente diseñadas para que ingresen solo iones de determinado tamaño y por lo que el

ion no puede superar ni ser inferior a estas dimensiones.

18

Cuando se genera movilidad iónica a través del canal se puede observar cómo se genera

un estado de saturación por la gran cantidad de iones que se desplazan en ese momento lo que

corresponde a la velocidad máxima de transmisión de iones. Los canales iónicos debido a la

movilidad que poseen no se mantienen abiertos de forma permanente sino que más bien en el

minuto que se necesita generar movilidad iónica esta abre la compuerta del canal para dejar

ingresar o salir iones, ver Figura 14.

Figura 14.- Esquema representativo de un canal iónico, se puede apreciar el filtro selectivo y la

compuerta que permite la movilidad iónica en tiempos determinados.

Para que los canales iónicos reconozcan específicamente en qué momento deben de

accionar los mecanismos de abertura dependerá de los estímulos externos que se presenten en la

misma membrana celular, ver Figura 15.

Figura 15.- Esquema representativo de diferentes tipos de canales iónicos los cuales son

activados por diferentes estímulos externos.

19

La activación de muchos canales iónicos está determinada por los procesos de

fosforilización y desfosforilización de las proteínas de canal. Existen más de 100 canales iónicos

los que se han comprobado directamente que permiten que se genere excitabilidad eléctrica en las

diferentes células de nuestro cuerpo (músculo, cerebro, corazón).

Los canales iónicos que mayormente se presentan en las células animales son los canales

de Ka+ presentándose no solo en células que poseen la característica de excitabilidad eléctrica

sino que además en la que se encuentran en reposo, a los canales iónicos que se encuentran

presente en estas últimas células se les denomina canales de fuga de Ka+. Estos canales iónicos de

potasio son los que determinan el mantenimiento del potencial de membrana a lo largo de esta.

20

CAPITULO II

POTENCIALES DE ACCIÓN NO CARDIACOS Y CARDIACOS

21

II.1.- Potenciales de Acción Transmembranario.

Cuando se genera una mayor concentración de iones positivos en alguno de los dos lados

de la membrana plasmática o bien cuando se produce un ligero desperfecto en alguno se genera

un potencial de membrana.

Tabla 2. Gradientes de concentraciones de iones de sodio, potasio y calcio para el exterior y el

interior de la célula.

El potencial de membrana celular depende directamente de las concentraciones de iones

positivos en alguno de los lados de la membrana. Como se vio anteriormente la bomba de Na+ y

Ka+, permite generar movilidad iónica debido a los cambios osmóticos que produce en la célula,

donde esta bomba saca iones de sodio del interior celular, con lo cual genera que haya una menor

cantidad de sodio en el citosol, por lo cual existen menos cationes los que deben ser remplazados

por otros para nivelar a los aniones fijos que existen en la célula. Es debido a esta situación de

déficit de cationes de sodio que los que pasan a reemplazar dentro de este equilibrio a estos

cationes son los cationes de potasio los cuales ingresan por la ATPasa Na+ y Ka+, o bien por los

canales de fuga de Ka+ tanto hacia el exterior como al interior.

Debido a estos canales de Ka+ se mantiene prácticamente en equilibrio la fuerza eléctrica

ejercida por un exceso de las cargas negativas al interior de la célula lo que permite que el Ka+

sea atraído al interior de la célula equilibrando la tendencia de este a salir de acuerdo a su

gradiente electroquímico. El potencial de membrana corresponde entonces a la manifestación de

esta fuerza eléctrica que permite calcular su valor de equilibrio a partir del gradiente de

concentración del Ka+, ver Tabla 2.

22

Cuando el Ka+ comienza a salir del interior de la célula, a través de los canales de fuga,

hasta que el gradiente de concentración y la carga de los iones de potasio sean exactamente igual

al gradiente electroquímico de este se logra un equilibrio y se genera un potencial de membrana

de reposo. De esta misma manera se realiza el intercambio de iones de Calcio (Ca+) pero de

forma inversa ya que su mayor concentración se encuentra en la parte exterior de la célula esto

quiere decir directamente que cuando la carga de los iones de calcio iguala a su gradiente

electroquímico estos iones dejan de ingresar al interior de la célula. Por lo que se puede concluir

que con cada variación de permeabilidad que se presente en la membrana, al permitir el ingreso o

salida de iones a lo largo del tiempo, se ve directamente afectado el potencial de acción

transmembranario, ver Figura 16.

Figura 16.- Representación un impulso eléctrico introducido en una célula de conducción

eléctrica y su posterior observación al ir variando la permeabilidad de los canales de Na+.

Para explicar cómo se realizan estas modificaciones de permeabilidad en la membrana

plasmática debemos fijarnos en otro tipo de canales, que también existen y que poseen una gran

implicancia en el proceso de despolarización celular, como lo son los canales de iónicos

regulados por voltaje. Estos se caracterizan ya que al momento que ocurre una pequeña diferencia

de potencial en alguna parte de la membrana este tipo de canales se activa. Por la velocidad de

activación y de traslado de iones que posee el primero en activarse es el de Na+ el cual ingresa

23

iones al interior de la célula con lo cual su potencial eléctrico cambia, por lo que se siguen

habilitando uno tras otro los canales de Na+ controlados por voltaje hasta que la célula cambia su

valor de potencial desde -90 mV hasta el valor de equilibrio del Sodio que corresponde a un valor

de +50 mV. La célula una vez que se encuentra en este nivel de despolarización eléctrica inactiva

los canales se sodio con lo cual comienzan a trabajar los canales de Ka+ activados por voltajes,

que si bien son más lentos que los de Na+, hacen que la célula vuelva lentamente a su estado de

equilibrio negativo en los -90 mV. Dentro de estos canales controlados por voltaje también

existen los de Ca2+ los cuales igual generan variaciones del potencial eléctrico en la membrana

celular.

II.2.- Base teórica y física del potencial de membrana no cardiaco.

Como se aprecia hasta el momento para que exista un potencial de acción debe existir una

variación iónica entre en el interior y el exterior celular. Esta diferencia de potencial, para un ión

especifico, se determina por medio de la ecuación de Nernst la cual se basa en la proporción de

concentraciones iónicas a ambos lados de la membrana, de la siguiente manera.

(Ec. 1).

Las consideraciones que se aplican a esta ecuación son que cuando un signo de potencial

es negativo el ion con el que se trabajo es considerado positivo y de la misma forma en la

situación inversa. En este caso como todas las membranas son permeables a varios iones

diferentes, el potencial de la membrana pasa a depender de tres factores primordiales los cuales

serian:

- La polaridad de la carga eléctrica del ion con el cual se va a trabajar.

- La permeabilidad de la membrana para cada ion. (P)

- Las concentraciones de los respectivos iones tanto en el interior (i) como en el exterior

(e) de la membrana.

24

Con lo cual podemos apreciar que podemos trabajar más de un ion a la vez según estas

características, para lo cual utilizamos la ecuación de Goldman-Hodgkin-Katz la cual nos entrega

el potencial de membrana interior, en una neurona, cuando están implicados dos iones positivos y

uno negativo.

(Ec. 2)

Para obtener una apreciación acerca del comportamiento físico de los potenciales de

membrana observamos esta ecuación donde simplemente existen estos tres iones [Sodio (Na+),

Potasio (Ka+) y Cloruro (Cl2-)] debido a que son los de mayor representación a nivel corporal

además que son las que generan las variaciones de concentraciones iónicas en la aparición de los

potenciales de membrana en las neuronas, caso ideal para representación de los potenciales de

acción no cardiacos, mientras que en estas últimas encontramos Sodio (Na+), Potasio (Ka+) y

Calcio (Ca2+).

Comprendido las variaciones de potenciales de membrana y como estas ocurren podemos

centrarnos en las consideraciones que se deben aplicar en el momento de hablar de potencial de

acción celular. Este se genera mediante los cambios rápidos presentados en la membrana celular

donde cada potencial de acción comienza con un rápido cambio del potencial de membrana, que

es negativo, al interior de la célula a un brusco cambio a potencial positivo y luego con la misma

rapidez al potencial negativo nuevamente.

Figura 17.- Representación grafica de un potencial de acción no cardiaco correspondiente a una

neurona.

25

II.3.- Fases del potencial de acción

Podemos apreciar que cada lado de la campana resultante, de la figura 17, como potencial

de acción conlleva un nombre, para entender de mejor manera esto es que indicaremos que

existen ciertas fases en el momento que se genera un potencial de acción celular:

II.3.1.- Fase de reposo: en la cual la célula se encuentra con un valor de polarización de -

90 mV. La ubicación y configuración de sus canales iónicos sería la siguiente:

Figura 18.- Fase de reposo. Las puertas de activación tanto del sodio como del potasio se

encuentran deshabilitadas.

II.3.2.- Fase de despolarización: En este momento es cuando la membrana se vuelve

lentamente permeable a los iones de sodio cambiando levemente la polaridad interior a un valor

menos negativo con lo cual se habilitan los canales activados por voltaje con lo que el número de

iones de sodio ingresados supera fácilmente la polarización negativa que tenia la célula al

comienzo de esta etapa, la configuración del canal es abierta véase la Figura 19.

Figura 19.- Fase de despolarización. Canal de sodio habilitado, variación de voltajes entre los

cuales los canales de activación por voltaje comienzan a permitir el acceso de iones a la célula.

26

II.3.3.- Fase de repolarización: etapa donde la célula cambia rápidamente de tener un

voltaje positivo a uno negativo esto se debe principalmente a la abertura de los canales de potasio

donde a la vez se activan los canales de potasio activados por voltaje con lo que el número de

potasio aumenta, los canales iónicos se manifiestan más o menos de la siguiente manera.

Figura 20.- Fase de repolarización. Configuración de los canales de sodio y potasio al momento de

la repolarización.

La Figura 21 muestra de forma gráfica cómo se comporta la curva característica de cada

uno de los canales iónicos de sodio y potasio al momento de generarse un potencial de acción

celular a lo largo del tiempo.

Figura 21.- Representación gráfica de la curva característica de los canales de sodio y potasio en

el potencial de acción celular.

Cabe destacar como una observación que una vez que se han realizado los procesos de

despolarización y la repolarización de los potenciales de membrana, cuando ya ha se ha vuelto al

estado de reposo, queda siempre un pequeño delta entre las concentraciones iónicas presentes en

el interior de la célula este pequeño espacio de tiempo se conoce como post-potencial positivo,

que es un valor menor a los - 90 mV del estado de reposo.

27

II.4 Calcio y potencial de acción cardiaco.

El calcio será analizado en forma separada ya que es un factor importante en la generación

de potenciales de acción celulares principalmente debido a que este se encuentra presente en las

células cardiacas, el cual es nuestro tema central al cual queremos conducir esta investigación, y

otorga características especificas en el potencial de acción y su respuesta en el tiempo, ver Figura

22.

Figura 22.- Representación de un potencial de acción celular cardiaco, donde interviene el Calcio.

La Figura 22 nos muestra un potencial de acción celular a nivel cardiaco donde podemos

observar, además de una gran diferencia en comparación al potencial entregado en la Figura 17,

que este potencial de acción requiere de un tiempo mucho mayor para realizar la repolarización

celular en comparación al anterior. Podemos apreciar a la vez que este mantiene durante un

tiempo bastante largo una continuidad en un valor positivo antes de volver a su estado de reposo

en los -90 mV aproximadamente, este tiempo en el cual el potencial de acción se mantiene en un

valor diferente a los -90 mV se conoce como APD (action potencial duration o duración del

potencial de acción) mientras que el tiempo en el que potencial de acción se mantiene en el valor

de -90 mV, antes de volver a ser excitado nuevamente, se conoce como DI (Diastolic Interval o

intervalo diastólico). Donde el APD y DI sumados producen un BCL (Basic Cycle Length o

duración del ciclo básico) que corresponde al ciclo de excitación de la célula a lo largo del

tiempo.

28

Esta curva de potencial de acción celular es característica a nivel cardiaco debido a que en

el intercambio iónico a través de esta membrana celular, una vez que esta se despolariza, se

presenta la activación de los canales de calcio (Ca+) sumado a los canales de potasio. La célula

posee canales iónicos que permiten la comunicación de estos iones, estos canales son habilitados

por voltaje los que a la vez poseen un tiempo de habilitación y de traslado de iones más lento que

los de sodio. Debido a esto la primera parte del potencial de acción representado en la curva de la

Figura 22 corresponde al intercambio de iones de sodio lo cual muestra un peak en el lado

positivo de la representación gráfica mientras que la línea continua, la cual se determina como

meseta, corresponde a la activación de los canales de calcio. La implicancia que esto posee dentro

del análisis teórico es que el potencial de acción de las células cardiacas posee un APD mayor.

Debemos señalar que los potenciales de acción que se presentan en las diferentes células,

incluyendo en esto a las células cardiacas, poseen estados cíclicos de descarga donde una vez que

se repolariza la membrana celular esta queda inmediatamente permeable a los iones de potasio, o

calcio en el caso del corazón. Los cuales al pasar en gran número hacia el exterior de la célula

crean un estado de hiperpolarización eléctrica. Para poder compensar este estado se debe

comenzar a ingresar sodio al citosol con lo que nuevamente se lleva a un estado de equilibrio

entre las partes, interior y exterior, en donde luego de un tiempo se genera un potencial de acción

nuevamente el cual viene acompañado de la repolarización celular y así sucesivamente se

mantienen estos procesos de forma cíclica.

Este nivel, o valor referencial, que se encuentra entre el estado de equilibrio isoeléctrico y

la despolarización celular, o potencial de acción, se conoce como umbral de excitación celular y

nos permitirá a posterior obtener la información necesaria para poder generar un estado de

excitabilidad en la célula a modo de crear un potencial de acción.

Una vez comprendido cómo se comportan los potenciales de acción y que estos son de

mayor duración a nivel cardiaco debemos de identificar las características principales de este

órgano, corazón, de forma de entender cómo se distribuye este potencial de acción a lo largo de

este.

29

CAPITULO III.

EL CORAZÓN, ESTRUCTURA Y FUNCIONAMIENTO.

30

III.1.- El corazón como motor de la vida

El corazón es un órgano que está formado por dos bombas separadas por un tabique que

no permite la comunicación directa entre estas. Una de estas bombas corresponde a la porción

derecha del corazón la cual bombea sangre desoxigenada a los pulmones para su proceso de

oxigenación y su posterior transporte a la siguiente bomba cardiaca. La porción izquierda del

corazón recibe la sangre que proviene de los pulmones, la cual viene oxigenada, para ser

bombeada a los órganos periféricos y al cuerpo en general. Estas dos porciones están compuestas

de dos cavidades cada una, las que se conocen como aurícula (derecha e izquierda) y la otra como

ventrículo (derecho e izquierdo). Este órgano es de vital importancia en el funcionamiento de

nuestro cuerpo debido a que la transmisión eléctrica del potencial de acción de una célula a otra

por todo el espacio cardiaco produce un ligero golpe, conocido como latido, el cual da origen al

ritmo cardiaco que permite a la vez la movilidad sanguínea a través de nuestro cuerpo.

Las aurículas funcionan como impulsoras de sangre de baja potencia ya que solo

transportan la sangre una pequeña distancia hacia el ventrículo, como se muestra en la Figura 23.

Mientras que el ventrículo aplica una fuerza mayor de modo que esta sea lo suficientemente

grande para poder enviar esta sangre desde: el corazón a los pulmones en el caso del ventrículo

derecho o bien desde el corazón al torrente sanguíneo y de ahí a los órganos periféricos en el caso

del ventrículo izquierdo.

Figura 23.- Esquema representativo de un corazón con sus componentes indicados además de la

señalización de las direcciones de flujo de sus venas y arterias.

31

III.2.- Configuración del Corazón

Para entender el principio de funcionamiento eléctrico a nivel cardiaco lo primero que

debemos conocer es como está estructurado y como interviene cada una de sus partes en los

procesos normales de este.

III.2.1.-Características Histológicas del músculo cardiaco.

El corazón está compuesto por tres capas de músculo: auricular, ventricular, y las fibras

excitadoras y conductoras especializadas. Estos músculos, en especifico, poseen la característica

de generar contracciones bastante más fuertes que los otros músculos presentes en el cuerpo,

mientras que las fibras excitadoras y conductoras son poco contráctiles lo que permite que estas

posean una gran velocidad de conducción lo que propicia una buena conducción eléctrica con lo

cual se pueda originar el ritmo cardiaco.

En la Figura 24 se representa la configuración de los músculos cardiacos donde se puede

apreciar existen pequeños círculos los que corresponden a filamentos de actina y miosina, que

son componentes característicos de todos los músculos. Los pequeños discos de color negro, o de

tono más oscuro en el de la fibra muscular, son conocidos como discos intercalares la función que

poseen es la de separar una a una las células musculares cardiacas. Podemos deducir, de acuerdo

a lo anterior, que estos discos corresponden a un tipo de membrana que separa la célula de su

entorno de forma independiente.

Considerando que: las fibras musculares cardiacas se encuentran conectadas de forma

serial unas con otras; la resistencia que ejercen los discos intercalares es muy baja debido a las

uniones comunicantes que poseen entre ellos. Esto permite que el movimiento de iones sea

prácticamente libre en el fluido intercelular a lo largo de estas fibras con lo que los potenciales de

acción viajan de una célula miocárdica a otra, a través de estos discos, sin tener mayores

obstáculos. Por lo que en el momento que se genera un potencial de acción este se extiende a toda

la fibra cardiaca, que abarca todo el corazón, debido a la gran capacidad de conducción que

32

poseen estas fibras haciendo el viaje de célula a célula por medio de la interconexión del tejido

cardiaco.

Figura 24.- Esquema de conexión establecido entre las fibras musculares cardiacas.

Al observar la figura 24 podemos apreciar que se ven unos pequeños círculos, de color

claro y bien definidos, que corresponden a filamentos de actina y miosina, componentes

característicos de todos los músculos del cuerpo. Se observan además unos pequeños discos de

color negro y de tono más oscuro en el estriado de la fibra estos son los discos intercalares cuya

función es de separar las células musculares cardiacas entre sí. Las fibras musculares están

conectadas entre sí de forma serial y considerando que como la resistencia que ejerce este tipo de

membrana en especial es muy baja, debido a las uniones comunicantes que existen entre estas,

permite que el movimiento de iones en las fibras sea prácticamente libre en el fluido intercelular

a lo largo de estas fibras con lo cual los potenciales de acción viajan de una célula miocárdica a

otra a través de estos discos sin tener mayores obstáculos. En el momento que se genera un

potencial de acción este se extiende a todo el corazón, debido a la gran capacidad de conducción

que poseen, haciendo que viaje de célula en célula por medio de la interconexión del tejido

cardiaco.

Las fibras que poseen este tipo de entramado en el cual sean independientes pero que cada

cierto tiempo se entrelazan o comunican con otras son conocidas como sincitios, en el corazón

tenemos dos tipos de estos, auriculares y ventriculares (este enrejado se encuentra ubicado en las

paredes interiores de los ventrículos y aurículas).

33

Estas dos cavidades cardiacas están separadas por una abertura valvular, a la que se

denomina válvulas auriculoventriculares. Estas no dejan circular el potencial de acción desde las

aurículas a los ventrículos sino que lo derivan a un canal de conducción especializado como lo es

el haz auriculoventricular (AV). Debido a esta separación valvular la conducción eléctrica

generada en las aurículas puede realizar la contracción un poco antes que el ventrículo lo que

ayuda a la sangre a llegar a su destino.

III.2.2.- Características eléctricas del corazón

El comportamiento normal que presenta este potencial de acción en el músculo ventricular

se caracteriza por una variación de voltaje cercana a los 105 milivoltios, ver Figura 25. Mientras

que la variación en las fibras de Purkinje, presentada en la misma Figura 25, se puede observar

que supera los 110 milivoltios.

Figura 25.- Representación grafica de un potencial de acción a nivel cardiaco en el músculo

ventricular y en las fibras de Purkinje.

Los parámetros mínimos y máximos que se generan en las variaciones de potenciales a

nivel ventricular son cercanos a los -85 mV y los +20 mV respectivamente. El tiempo en que se

realiza esta despolarización y repolarización celular corresponde a un intervalo que varía entre los

0.2 s y 0.3 s.

34

La conducción eléctrica no es igual a lo largo del corazón debido a que la velocidad de

transmisión de la señal eléctrica de excitación en el músculo cardiaco varía entre 0.3 y 0.5 m/s,

mientras que en las fibras de Purkinje alcanza un valor de 4 m/s en la mayor parte del sistema.

Cuando la señal de excitación comienza a viajar a través de este sistema las células que ya

participaron en la transmisión van quedando atrás en el proceso e ingresan a un periodo

refractario del músculo, en donde es mucho más complicado poder excitar estas células por lo

que se debe esperar cierto tiempo poder comenzar con el ciclo nuevamente. Estos tiempos de

refracción se consideran cercanos a los 0.15 s para las aurículas mientras que para los ventrículos

varia de 0.25 a 0.30 s.

III.2.3.- Conducción eléctrica en el corazón

De acuerdo a lo presentado en la Figura 23 observamos al corazón como dos partes en las

que se indica la función de cada una de estas partes en la forma fisiológica, pero ahora debemos

centrarnos en la capacidad conductiva y de cómo se genera este tipo de conducción y

excitabilidad celular a lo largo del corazón, es por eso que debemos caracterizar el corazón como

un sistema eléctrico y de conducción, obsérvese figura 26.

Figura 26.- Representación esquemática de cómo están distribuidos los diferentes conductores

eléctricos cardiacos.

35

El impulso eléctrico cardiaco se origina en el nódulo sinusal el cual, de acuerdo a la

Figura 26, está ubicado en la parte superior de la aurícula derecha. Este nódulo es un músculo

especializado en la conducción eléctrica por lo que las fibras que lo componen no poseen

características de contractibilidad. Estas fibras están conectadas de forma directa con las paredes

auriculares por lo que en el minuto en que se genera un potencial de acción de acción en el

nódulo sinusal es transmitido de forma inmediata a la pared auricular (sincitios).

Las fibras cardiacas a la vez poseen la capacidad de autoexcitación lo que les permita

producir una rápida descarga eléctrica y generar una contracción rítmica automática. El grupo de

fibras que posee esta característica de autoexcitación con mayor realce es el nódulo sinusal, esto

se debe a que estas fibras poseen un voltaje de reposo o polarización bastante menor que las

demás células cardiacas llegando a un punto máximo en -60 mV, situación que se presenta en

casos normales sin enfermedades, manteniendo por lo general un potencial de -55 mV. Esta

negatividad menor se debe a que las fibras del nódulo sinusal son naturalmente permeables al

sodio por lo que este neutraliza la carga negativa en las células.

El potencial eléctrico de las células del nódulo sinusal en reposo bordea los -55 mV por lo

que a este nivel de voltaje los canales rápidos de sodio se bloquean internamente, pero debido a la

alta concentración de estos en el liquido extracelular tienden a filtrarse por osmosis al interior de

la célula variando el potencial de reposo, ver Figura 27, llevándolo a un valor cercano a los -40

mV que es donde se activan los canales de sodio y de calcio generando que ingresen a la célula

una gran cantidad de estos produciendo un potencial de acción y mintiendo de esta forma su ciclo

de autoexitabilidad.

Figura 27.- Representación grafica del comportamiento del potencial de acción de la fibra del

nódulo sinusal y su comparación con el potencial de acción de la fibra muscular ventricular.

36

Durante este potencial de acción se producen dos fenómenos bastantes característicos del

nódulo sinusal: primero la bomba de sodio y calcio se cierra al poco tiempo de estar abierta

aproximadamente a los 120 ms. Al mismo tiempo se genera el segundo fenómeno donde los

canales de potasio se abren por lo que la célula vuelve a su estado de reposo, de forma lenta pero

más rápida que si estuviera solo abierto el canal de calcio. Se destaca que este proceso dura de

forma indefinida durante toda la vida del individuo.

El potencial de acción cardiaco, como se menciono anteriormente, es generado en el nódulo

sinusal desde donde es transmitido por medio de las fibras musculares auriculares expandiéndose

a toda la aurícula para llegar finalmente al nódulo auriculoventricular (nódulo A-V). Como

sabemos el impulso eléctrico no se transmite directamente desde la aurícula al ventrículo sino que

pasa por este nódulo A-V. Además conocemos que entre el potencial de acción propagado en la

aurícula y el del ventrículo debe haber un desfase temporal, donde este desfase temporal es para

que la aurícula alcance a vaciar su contenido al ventrículo y a la vez este pueda tomarlo sin

expulsarlo cuan todavía no se hayan cerrado las válvulas. Por lo que el nódulo A-V corresponde a

un retardador eléctrico cardiaco, función que cumple en conjunto con las fibras de conducción

adyacentes, ver Figura 28.

Figura 28.- Esquema del nódulo A-V donde se muestran las partes que componen el tabique A-V

y el nódulo A-V. Se presentan los tiempos en que llega el potencial a cada una de estas zonas de

acuerdo a su conducción a través del nódulo sinusal.

37

Al sumar las diferencias de tiempo presentadas en la Figura 28 observamos que el proceso

de conducción en el nódulo A-V demora 0.13 s mas el retraso de 0.03 s desde que el potencial de

acción sale del nódulo sinusal por lo tanto al salir de estas fibras el impulso de conducción lo

hace 0.16 s más tarde que su generación en el principio de la aurícula. Este proceso de retardo en

la comunicación del potencial de acción en el nódulo A-V se explica debido a que en esta zona

cardiaca las fibras musculares no poseen uniones intercelulares comunicantes lo que genera una

mayor resistencia al paso de los iones estimulantes entre una célula y otra en esta zona en

específico.

Una vez que nuestro impulso logra atravesar el nódulo auriculoventricular nuestro

potencial de acción debe de seguir recorriendo el corazón en la zona ventricular por medio de las

fibras de alta velocidad de comunicación de Purkinje. La velocidad de conducción que poseen

estas células corresponde al rango comprendido entre 1,5 a 4,0 m/s lo cual permite que una vez

que el potencial de acción entro en contacto con la zona de las fibras de Purkinje este se expanda

de forma casi inmediata por toda la zona ventricular, ver Figura. La gran velocidad que poseen

estas fibras es debido a que estas células cardiacas poseen una gran cantidad de uniones

intercelulares comunicantes.

Figura 29.- Esquema representativo de la figura cardiaca y sus tiempos de conducción a lo largo

de todo el corazón, el tiempo está tomado en relación a su punto de partida en el nódulo sinusal.

La frecuencia cardiaca está dada por medio del nódulo sinusal debido a que este recarga

más rápido su estado de reposo después de un potencial de acción que el nódulo A-V y las fibras

de Purkinje, esto es debido a que la frecuencia con la que trabaja el nódulo sinusal es de 40-60

veces por minuto, mientras que las otras dos 15 y 40 veces respectivamente.

38

III.3.- Interacción de los potenciales de acción con el electrocardiograma.

El nódulo sinusal produce un potencial de acción el cual se desplaza por completo a lo

largo del corazón traspasándose de una célula a otra por medio de los iones estimulantes. Toda

esta actividad que realiza el corazón se conoce como dinámica eléctrica celular, la cual consiste

en la generación de electricidad por medio del voltaje existente en la célula y la resistencia que

oponen al paso del potencial de una célula a otra. Las medidas y características eléctricas que

hemos observado en esta investigación se pueden expresar mediante un trazado de la actividad

eléctrica corporal o global, que representa las características de fuentes microscópicas situadas al

interior del corazón, el cual es conocido como electrocardiograma.

III.3.1.- El electrocardiograma

Este trazado consiste en medir la actividad eléctrica corporal por medio de electrodos los

cuales hacen un muestreo de las diferencias de potencial entre un punto y otro de nuestro cuerpo.

Estas muestras se obtienen en la superficie corporal ya que la corriente generada en el corazón

forma gradientes y vectores eléctricos que se extienden difusamente hasta la superficie del

cuerpo. La función de los electrodos es captar la señal la cual luego será amplificada y filtrada de

manera de obtener la mejor imagen de la señal eléctrica cardiaca.

El electrocardiograma (Figura 30) es un registro de las dinámicas celulares a nivel

cardiovascular y representa la suma vectorial de los diferentes potenciales de acción a nivel

cardiaco, ver Figura 31.

Figura 30.- Representación gráfica de un electrocardiograma y sus segmentos.

39

Figura 31.- Representación grafica de la sumatoria vectorial de los potenciales de acción

celulares a nivel cardiaco, en cada uno de los distintos segmentos presentes y como representan

cada uno parte de los segmentos del electrocardiograma.

III.3.2.- Relaciones entre las dinámicas intracardiacas y las dinámicas proyectadas en la

superficie del cuerpo observadas en el ECG.

En la Figura 30 se mencionan diferentes segmentos caracterizados por las letras: P, Q, R,

S, T. Estos caracterizan ciertos intervalos de tiempo y ciertas condiciones presentadas por el

músculo cardiaco. Al observar la Figura 31 podemos ver que cada intervalo representa la suma de

los potenciales de acción presentes en ese tiempo: la curva P representa la sumatoria de los

potenciales de acción presentes en el nódulo sinusal (donde se origina el impulso eléctrico), las

aurículas y el nódulo A-V. Cuando el impulso llega a este ultimo el electrocardiograma queda en

un valor constante lo que se debe al intervalo de tiempo de retardo que produce este, para el

vaciado sanguíneo de las aurículas a los ventrículos. El complejo QRS se presenta una vez

llegado el impulso eléctrico a las fibras de Purkinje las cuales poseen una alta conducción

eléctrica lo que genera la despolarización de los ventrículos antes de contraerse. La onda T

comienza cuando los ventrículos comienzan nuevamente a repolarizarse.

40

De acuerdo a la descripción anterior del complejo QRS y la onda T sabemos que estos se

encuentran directamente ligados al potencial de acción ventricular ya que uno de estos comienza

con la despolarización y el otro termina con la repolarización de este, ver Figura 32.

Figura 32.- Aproximación a la representación de QRS como despolarización ventricular mientras

que la onda T sería de repolarización.

De acuerdo a lo presentado por la Figura 32 utilizaremos el intervalo QT para determinar

el potencial de acción (AP) mientras que TQ corresponderá al estado isoeléctrico o intervalo

diastólico (DI).

III.3.3.- Potencial de acción y la importancia de su implementación como modelo.

Como hemos visto en el aspecto teórico tenemos bastante claro que el potencial de acción,

y la duración de este, afectan directamente las señales intracelulares la cuales repercuten en las

dinámicas proyectas y recuperadas por mediante el electrocardiograma. Este es uno de los

desafíos que se nos presenta a posterior a la implementación del modelo de potencial de acción.

Bajo este mismo concepto es que necesitamos obtener un modelo de potencial de acción celular a

nivel ventricular que sea robusto y que nos permita acercarnos el máximo posible a las curvas

características del APD, DI y la curva de restitución celular. Este modelo además debe permitir

visualizar que sucede con los diferentes cambios de frecuencias que se generen en los estímulos

eléctricos además de visualizar cómo reacciona el potencial de acción ante estos cambios, lo cual

se conoce como relación de restitución.

41

A continuación se desarrollara el análisis de la investigación de Tolkacheva- Schaeffer

para lograr implementar el modelo de potencial de acción propuesto por ellos. Este modelo será

implementado y su experimentación frente a cambios posibles en los estímulos se realizara por

medio del software Scilab, donde ahí mismo se corroborara con una grafica de curva de

restitución celular para obtener una relación de restitución y ver si esta concuerda con la teoría

presentada anteriormente.

42

CAPITULO IVMODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN A TRES VARIABLES DE ESTADO.

43

IV.1.- Investigación de Tolkacheva – Schaeffer.

Al momento de comprender la complejidad en la que está inserto el modelo celular de

concentraciones iónicas cardiacas, podemos comprender el nivel de abstracción que representa el

analizar dichas dinámicas. Donde esta ultima situación nos permite entender el comportamiento

de determinadas enfermedades cardiacas, como lo es la fibrilación ventricular, o bien nos aporta

con alguna idea para desarrollar futuros tratamientos y/o terapias para determinadas

enfermedades cardiacas. De esta premisa comienza la búsqueda de modelos matemáticos que

nos permitan caracterizar dichos sistemas complejos mediante alguna representación lógica

matemática la cual mantenga el comportamiento celular, a nivel sistémico, de forma que permita

ingresar cierto tipo de entradas que representen los cambios de concentraciones iónicas y sus

respectivos mecanismos de regulación. De esto se desprende la caracterización de modelos de

membranas celulares cardiacas determinadas por un conjunto de ecuaciones diferenciales

ordinarias.

En este trabajo lo que se desea representar es la implementación de un modelo de

potencial de acción celular a tres variables de estado, lo cual nos permite realizar una

caracterización de un modelo de membrana celular cardiaca basado en la diferencia de potencial

transmembranario, donde estas representan de manera general las corrientes iónicas de sodio,

potasio y calcio las cuales nos permiten observar el comportamiento del potencial de acción

transmembranario. Estas variables se caracterizan de acuerdo a los tiempos de duración de los

intervalos diastólicos y de potenciales de acción respetando la característica principal de este

sistema complejo que es la memoria la cual le permite a la membrana entregar una respuesta de

acuerdo a los diferentes estados en los que se encontraba anteriormente. Para visualizar estas

características sistémicas se implementara el modelo presentado en [1] que corresponde a la

evaluación del modelo de Fenton-Karma.

Para mayor comprensión de la base matemática del modelo observar la investigación

presentada en [1], donde se puede apreciar las características de cada una de las ecuaciones del

modelado así como las mejoras propuestas por los investigadores.

44

IV.2.- El Modelo de Fenton-Karma.

Este modelo como se mencionó anteriormente maneja o establece la relación matemática

existente entre las diferencia de potencial en la membrana celular cardiaca y tres corrientes

iónicas. Cabe destacar a la vez que este modelo se representa por ecuaciones diferenciales

ordinarias las cuales representan estas variaciones de voltaje en la membrana celular en un solo

número final.

i) Las corrientes utilizadas en este modelo son:

Jfast: Corriente interior rápida.

Jslow: Corriente interior lenta.

Jung: Corriente no sincronizada.

ii) Las variables de estado del modelo son

v: Potencial transmembranario: corresponde a la respuesta de interacción entre las

corrientes existentes en el modelo.

f: Variable de compuerta Rápida: corresponde a un mnemónico de representación de

sincronización de compuerta rápida al interior de la célula.

s: Variable de compuerta Lenta: corresponde a un mnemónico de representación de

sincronización de compuerta lenta al interior de la célula.

Debemos identificar los parámetros y sus valores típicos que son utilizados en la

evaluación de las tres corrientes iónicas del modelo de Fenton-Karma, para lo cual

representáremos estos antecedentes en el siguiente recuadro, tabla 3, obtenido de [1].

Una vez conocidos los valores típicos y determinadas las variables comenzaremos por

interrelacionar las variables a utilizar en el modelo con las tres corrientes iónicas de forma de

obtener los valores reales de estos.

45

Tabla 3.- Valores y parámetros típicos para la evaluación de las tres corrientes iónicas del modelo

de Fenton-Karma.

IV.2.1.- Variable de Voltaje (v)

Caracterizamos en una primera instancia los cambios de voltaje como respuesta a los

cambios de las corrientes iónicas de acuerdo a la siguiente relación, Ec. 3:

(Ec. 3).

Como se puede apreciar nuestra variación de voltaje está determinada por el inverso de

cuatro corrientes distintas, esto es debido a que el estado isoeléctrico o estado de reposo del

potencial acción es negativo (-90 mV), donde tres de estas son iónicas mientras que la cuarta

corriente correspondiente a Jstim el cual simplemente es el impulso externo de estimulación que se

le otorga al sistema de forma de generar la despolarización, generando de esta forma los cambios

de estados iónicos a nivel membranario.

Una vez definido el estado de reposo, o primer estado del potencial de acción, debemos

comenzar a parametrizar por medio de ecuaciones características cada una de las corrientes. La

primera corriente a analizar es Jfast, la corriente de sodio, Ec. 4.

(Ec. 4).

46

Donde τfast representa la constante de tiempo rápida con que entra la corriente Jfast y

donde para efectos de simulación se utilizará el valor mostrado en la Tabla 3, mientras que la

función de voltaje dependiente Q(v) quedara determinada por el siguiente sistema de ecuación,

Ec. 5.

(Ec. 5).

En este sistema de ecuaciones podemos observar que cada una de las dos ecuaciones

posee la característica de estar condicionada al valor de voltaje determinado en la membrana

celular.

De forma muy similar podemos obtener Jslow, la cual viene determinada por la siguiente

ecuación, Ec. 6:

(Ec. 6).

Donde, al igual que en el cálculo de la corriente anterior τslow representa la constante de

tiempo lenta con que entra la corriente Jslow y donde para efectos de simulación se utilizará el

valor mostrado en la Tabla 3, mientras que la función de voltaje dependiente S(v) quedara

determinada por la ecuación, Ec.7.

(Ec. 7).

Luego para obtener la tercera corriente de la que depende v debemos de analizar la

ecuación Ec. 8.

(Ec.8).

Donde τung corresponde a la constante de tiempo de la corriente que no es dependiente del

potencial transmembranario. Para efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor

47

mostrado en la Tabla 3, mientras la función de voltaje dependiente P (v) quedara determinada por

ecuación Ec.9.

(Ec. 9).

IV.2.2.- Variable f mnemónico de compuerta rápida.

Una vez ya caracterizada la ecuación de Voltaje de nuestro modelo, la cual es

dependiente de las ecuaciones de las corrientes iónicas, debemos de definir las ecuaciones

determinantes de cada una de las variables de compuerta. Para lo cual comenzaremos definiendo

la compuerta f, mediante Ecuación Ec. 10.

(Ec. 10).

Donde las funciones de voltaje dependientes quedarían determinadas por las siguientes

ecuaciones y condiciones, Ec. 11.

(Ec. 11).

Donde τf corresponde a la constante de tiempo con la cual se activa o desactiva la

compuerta rápida dependiendo exclusivamente del voltaje de excitación que se aplique. Para

efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor mostrado en la Tabla 3.

IV.2.3.- Variable s mnemónico de compuerta lenta.

Mientras que la segunda función de compuerta la que correspondería a s, slow, quedaría

determinada por la siguiente ecuación, Ec. 12.

48

. (Ec. 12).

Donde las funciones de voltaje dependientes quedarían determinadas por las siguientes

ecuaciones y condiciones, Ec. 13.

(Ec. 13).

Donde τs corresponde a la constante de tiempo con la cual se activa o desactiva la

compuerta lenta dependiendo exclusivamente del voltaje de excitación que se aplique. Para

efectos de simulación del modelo esta variable tomará el valor mostrado en la Tabla 3.

De acuerdo a lo establecido en [1] al realizar la evaluación de las variables con los

parámetros determinados en la Tabla 3 y utilizando un voltaje de entrada mayor a 0.13 mV. lo

que deberíamos de obtener de cada una de estas se muestra en la Figura 33. Cabe señalar que la

representación grafica presentada a continuación corresponde a una simulación numérica del

modelo de Fenton-Karma presentada en el trabajo de Tolkacheva - Schaeffer.

Figura 33.- Representación grafica de la aproximación numérica de las soluciones de los

sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarios. a) Voltaje intermembranario y su punto de

excitación en Vcrit., b) variable de compuerta rápida f, y c) Variable de compuerta lenta s.

49

Una vez se obtenga la implementación del modelo debemos comenzar con la

experimentación del modelo por lo cual se utilizara un protocolo de excitación que nos permita

observar las respuestas al introducir diferentes valores muestrales para obtener las variaciones

que se producen tanto en nuestro intervalo diastólico como en el potencial de acción, como se

indica en la Figura 33.a), el protocolo que se utilizara en este caso es el S1-S2. Para que de esta

manera se pueda obtener una curva de restitución basada en el modelo de Fenton- Karma que

permita observar las variaciones que se producen en el valor de DI y APD, para que de esta

manera se pueda realizar un muestreo dentro de cierto intervalo de tiempo el cual permita

observar la respuesta de APDn+1, ya que este depende del intervalo BCL anterior, con respecto a

DIn de manera similar a la grafica presentada en la Figura 34.

Figura 34.- Curva de restitución celular.

IV.3.-Identificación de necesidades de la programación del modelo.

Para desarrollar la implementación de este modelo basado en ecuaciones diferenciales

tendremos que centrarnos en la programación numérica de estos sistemas que caracterizan cada

una de las variables de este modelo. Debemos identificar nuestros propios impulsos eléctricos de

forma de poder generar una variación entre el potencial de acción y el intervalo diastólico para

luego obtener una curva característica de esto la cual se asemeje a la presenta en la Figura 34, ya

que de esta manera podremos observar la relación de restitución celular de acuerdo al modelo

implementado basado en las tres variables de estado. Es debido a estas necesidades que

requerimos de un software que nos permita crear un algoritmo basado en el modelo y que permita

además observar gráficamente las diferentes representaciones de nuestras variables y modelo

implementado, para lo cual utilizaremos el software Scilab.

50

CAPITULO V.

SCILAB,

CARACTERISTICAS Y PROGRAMACIÓN N MÉRICA.

51

V.1.- Descripción de Scilab:

Scilab corresponde a un software de programación numérica de alto nivel, el cual permite

generar, programar y resolver diferentes operaciones y/o funciones numéricas. Este software es

desarrollado desde los años 90 por el INRIA, Institut National de Recherche en Informatique et

Automatique, y la ENPC, École Nationale des Ponts et Chaussées. Centra su filosofía en el

software libre y está amparado bajo licencia GPL, General Public License o licencia publica

general, se comienza a distribuir desde el año 1994, año de su publicación en la red, en el sitio de

internet http://www.scilab.org.

Nace a partir de la necesidad de establecer una programación interactiva y de uso libre, en

todo tipo de sistemas operativos, en el desarrollo de diferentes cálculos numéricos y simbólicos.

Así como obtener representaciones gráficas de un gran número de sistemas dinámicos, análisis

estadísticos, procesamiento de señales, simulaciones de dinámicas de fluidos y para la

optimización numérica de diferentes sistemas y funciones a desarrollar.

Este software posee la característica principal de tener una sintaxis sencilla para el manejo

de las operaciones, el cual se realiza mediante el uso de matrices, y el desarrollo de todo tipo de

operaciones y funciones. A la vez posee un entorno de programación sencillo y agradable al

usuario en donde se pueden desarrollar algoritmos de diferentes complejidades mediante la

introducción de comandos establecidos, siempre centrados en el trabajo a nivel matricial.

V.2.- Características y requisitos de operación e instalación:

Como se ha mencionado anteriormente Scilab® posee ciertas características

fundamentales reconocidas las cuales son: proveer el manejo de datos de forma natural y sencilla;

tener un entorno de programación fácil de manejar y escalar; poseer un gran número de librerías

que permiten desarrollar cualquier tipo de sistemas y funciones que se necesite implementar.

52

El software posee plataforma para cualquier sistema operativo en el que desee trabajar, la

configuración básica viene establecida por defecto pero se pueden agregar complementos al

momento de su instalación, esta última acción se detalla a continuación.

Para realizar la instalación de nuestro programa primero debemos descargar el instalador

de este, para lo cual nos referimos a la página indicada anteriormente www.scilab.org. En donde

en la primera pantalla aparece descargar el archivo para sistema operativo Windows, clicamos

sobre este con lo cual obtenemos el programa de instalación, luego que se haya descargado

buscamos dentro de la dirección donde se haya decidido guardar este archivo. El ejecutable

descargado de Scilab debería de tener un icono como el que se indica en la Figura 35:

Figura 35.- Logo del Software Scilab versión 5.2.1

Hacemos doble clic sobre este icono, donde lo primero que se nos pregunta es el idioma

en el que queremos instalar nuestro programa. Luego comenzamos el proceso de instalación ante

lo cual se nos pregunta si aceptamos la licencia de este, donde se indica claramente que es un

software libre y que posee una licencia GPL, ver Figura 36, lo cual es una de las características

principales de este software y que ya ha sido mencionada al inicio de este capítulo. Una vez

aceptada la licencia presionamos el botón “siguiente” con lo cual nos lleva a la próxima ventana,

ver Figura 37, donde se nos pregunta por la ubicación que se le otorgara a nuestro programa en el

disco duro, que será la misma carpeta en la que se instalaran los directorios principales y las

librerías de nuestro software. De la misma manera en esta ventana nos indica el espacio de disco

duro necesario para la instalación del programa que en este caso es de 204,3 MB libre en el disco,

para su instalación básica.

.

53

Figura 36.- Licencia de distribución de software de Scilab 5.2.1.

Figura 37.- Selección de dirección de destino del software, e indicación de espacio

requerido por el software para su instalación básica.

54

Una vez determinada la dirección de la instalación se nos presenta la ventana de los

componentes que se desean instalar, ver Figura 38, de acuerdo a la cantidad de librerías y

módulos que se deseen instalar el espacio requerido va a ser cada vez mayor. En este caso se han

seleccionado todos los complementos, anexos a los que vienen por defecto del programa y son

los que se mencionaban que tienen un peso de 204,3 MB, con lo cual el espacio requerido para su

instalación es de 417,8 MB en el disco duro.

Figura 38.- Selección de complementos de instalación de Scilab.

Cuando ya tenemos seleccionados los complementos que se instalarán presionamos el

botón “siguiente”, en las próximas tres ventanas, el cual nos derivara al final a una última

pantalla antes de instalar nuestro software, en la cual nos mostrara e indicara cada uno de los

pasos que realizamos y cada uno de los componentes que hemos decidido instalar mediante una

lista, ver Figura 39. Una vez que se nos presenta esta pantalla estamos listos para instalar el

programa, para lo cual presionamos el botón “instalar”.

Después de instalado el software se nos pregunta si queremos correr el programa, a lo cual

respondemos que si y obtendremos en la pantalla la consola de instrucciones de Scilab, ver

Figura 40, en la cual podremos indicar y/o definir las distintas funciones, variables y constantes

para los distintos cálculos que se deseen realizar a posterior, o de las distintas funciones u

operaciones del software que se deseen implementar.

55

Figura 39.- Ventana de instalación de Scilab y listado de complementos a instalar.

Figura 40.- Consola de instrucciones de Scilab.

56

V.3.- Funciones básicas del programa:

Para iniciar la experimentación con nuestro modelo a tres variables de estado de un

potencial de acción, lo primero que debemos de saber es como trabajar con nuestro software

numérico de implementación, para lo cual debemos entender de qué manera se desarrollan las

funciones básicas de este así como las que poseen un grado mayor de complejidad. La idea de

este tópico es indicar y señalar como se trabajan las funciones primarias y básicas de Scilab, para

luego terminar explicando cómo se trabajan los Scripts de programación de funciones, que es en

el cual se implementara este modelo a tres variables de estado.

Cuando iniciamos Scilab se nos presenta de forma inmediata la consola de instrucciones,

mostrada en la Figura 40, en la cual nos aparece en el lado izquierdo de la pantalla el símbolo:

-->

El cual nos indica que en esa línea comenzaremos a trabajar y que es ahí donde se

introducirán las instrucciones y operaciones a utilizar, al igual que la mayoría de los lenguajes de

programación podremos colocar comentarios al lado de la definición de funciones o constantes

mediante “ // “:

--> // y el comentario que queras establecer.

V.3.1.- Definición de constantes:

Lo primero que observaremos será la definición de valores y constantes de forma de

explicar de forma sencilla las diferentes funciones matemáticas que se podrán aplicar mediante

este software, para lo cual indicaremos un determinado valor para las letras a y b, lo cual lo

designaremos en la consola de nuestro software mediante la siguiente instrucción:

57

--> a = 7 // con esto estamos indicando que a tendrá un valor de 7

Al presionar Enter, tecla que sirve para fijar la constante, observaremos que esta realiza la

siguiente acción:

--> a = 7

a =

7.

Para evitar esta situación utilizaremos el comando “ ; ” al final de cada una de las

instrucciones que escribamos a modo de evitar que esta se vuelva a repetir abajo, por lo cual solo

queda de la siguiente manera:

--> a = 7;

-->|

Para consultar el valor de la constate definida que queda establecida en la memoria del

programa mientras este se mantenga abierto, ya que una vez cerrado estas se borran, debemos

solo escribir la constante sobre nuestro indicador de la siguiente manera:

--> a

a =

7.

-->|

Se debe considerar a la vez que el software discrimina entre las mayúsculas y las

minúsculas, por lo que si consultamos el valor de A obtendremos el siguiente resultado:

-->A

!--error 4

Variable indefinida: A

58

V.3.2.- Funciones matemáticas presentadas por Scilab.

Para efectos de simplificación de cálculo definiremos una nueva variable, de modo de

explicar las diferentes funciones matemáticas a desarrollar, para lo cual utilizaremos:

-->b = 5;

-->|

Una vez definidas nuestras constantes utilizaremos los comandos asignados a las

funciones básicas y primordiales como lo son: suma, resta, división y multiplicación,

respectivamente:

-->a + b // a sumado con b.

ans =

12.

-->a-b // a menos b.

ans =

2.

-->b/a // b dividido en a.

ans =

0.7142857

-->b * a // b multiplicado por a.

ans =

35.

Las demás funciones están definidas mediante diferentes instrucciones que se detallaran a

continuación algunas, básicas e importantes, pero solo se indicaran ya que no se ejecutaran

operaciones con ellas, ver Tabla 4.

59

Función Matemática Instrucción

Número elevado a n a^n ó a**n

Raíz cuadrada( ) sqrt(N)

Exponencial ( ) exp(x)

Logaritmo natural log(x)

Logaritmo base 10 log10(x)

Logaritmo base 2 log2(x)

Función seno sin(x)

Función coseno cos(x)

Función arcoseno asin(x)

Función arcocoseno acos(x)

Función tangente tan(x)

Función arcotangente atan(x)

Función cotangente cotg(x)

Tabla 4.- Funciones matemáticas básicas y su instrucción en Scilab.

Scilab posee un número bastante grande de instrucciones y operaciones matemáticas pero

no debemos olvidarnos de las funciones graficas que este posee, en las cuales de acuerdo a ciertas

instrucciones podemos desarrollar diferentes tipos de gráficos. El más básico de estos comandos

es el plot, el cual se basa en generar un gráfico de una función determinada y representarlo en un

eje de coordenadas xy. La función a graficar será:

--> x= [0:0.01:10]; // con esta instrucción indicamos que x toma los valores de 0 hasta 10, cada

0.01 de espaciado entre cada número para lograr una imagen más pura de la grafica.

--> plot (x, cos (x)); // llamamos a la instrucción plot (x,y) y le indicamos que x son los valores

comprendidos en el tramo indicado anteriormente, mientras que y será ‘cos(x)’.

60

El software para poder generar este tipo de entrega grafica lo que hace, al introducir la

orden, es generar una nueva ventana llamada ventana de gráfico número n, en este caso 0, en la

cual nos presenta el grafico configurado, ver Figura 41. Para más detalles de la configuración de

gráficos en Scilab observar [11].

Figura 41.- Representación gráfica de ‘y = cos x’, con ‘x’ comprendido entre 0 y 10.

V.4.- Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias mediante Scilab con resolución

gráfica:

Si bien se ha explicado cómo se deben trabajar las funciones básicas de Scilab, debemos

explicar y centrar nuestro trabajo en las ecuaciones diferenciales ordinarias, ya que estas son las

que debemos resolver para obtener nuestro modelo de potencial acción a tres variables de estado,

estas ecuaciones están presentes en [1].

Para resolver una ecuación diferencial ordinaria (ode, ordinary differential equations)

debemos centrarnos primero en las condiciones iniciales de la ecuación, así de igual manera

debemos identificar nuestras variables y constantes. En Scilab debemos seguir un cierto número

de pasos e instrucciones para poder resolver una ecuación de este tipo: Primero debemos definir

61

nuestra ecuación, luego identificar las condiciones iniciales y el parámetro variable en que se

observara la respuesta de esta ecuación diferencial. Todos estos antecedentes son recopilados

para aplicarlos a la instrucción ode, la cual posee una secuencia definida de introducción de

datos que es la siguiente:

--> ode (x0, t0, t, función);

Como se puede apreciar debemos de tener definidos, en la consola o en la función, los

diferentes parámetros que utilizarán para la resolución de la ecuación (x0, t0, t, función), un

ejemplo claro de esto sería:

(Ec.14)

Para poder establecer esta ecuación definida mediante scilab debemos primero abrir un

editor de texto con el cual podamos crear y configurar la ecuación, operación fundamental de la

implementación del modelo a tres variables de estado, ver Figura 42.

Figura 42.- Editor de textos de scilab y la declaración de la función f.

Donde function corresponde a la definición de una función que se introducirá, con udot de

salida y con entradas (t,u) y el nombre de la función será f. Luego se define nuestra ecuación a

resolver y se utiliza endfunction para cerrar esta función. Una vez definida esta función la

guardamos en la carpeta de destino y guardamos la dirección para ejecutar luego el programa

donde está inserta esta función, para efectos de fácil manejo el archivo se llamara f.sce.

62

Cuando ya tenemos guardada la función nos tenemos que dirigir a la consola y definir

nuestros parámetros, los cuales serán utilizados para implementar la solución de nuestra Ec.14 de

la siguiente forma:

--> k=0.2; // determinamos un valor de constante, cumpliendo con las condiciones de

la ecuación.

--> t=0:100; //definimos un tiempo de análisis entre 0 a 100 mseg.

-->t0=0.0; // tiempo inicial cero.

-->x0=1/10000; // definición de la condición inicial de nuestra ode.

Una vez definido estos valores llamamos y cargamos nuestra función f con la siguiente

instrucción exec, que corresponde a ejecutar, y dando la dirección donde se encuentra

almacenado nuestro programa que contiene la función, en el disco duro:

-->exec ('C:\Users\Felix\Documents\tesis\partes tesis\f.sce');

Luego llamamos a nuestra instrucción de resolución de nuestra ecuación diferencial

ordinaria ode, mediante la siguiente instrucción:

-->ode(x0,t0,t,f) //parámetros definidos anteriormente y función en la cual se encuentra

nuestra ecuación diferencial ordinaria.

Y nos entrega el siguiente resultado:

u =

column 1 to 5

0.0001 0.0001221 0.0001492 0.0001822 0.0002225

column 6 to 10

0.0002718 0.0003319 0.0004054 0.0004951 0.0006047

column 11 to 15

0.0007384 0.0009018 0.0011012 0.0013447 0.0016420

63

column 16 to 20

0.0020048 0.0024475 0.0029878 0.0036469 0.0044507

column 21 to 25

0.0054308 0.0066252 0.0080802 0.0098516 0.0120065

column 26 to 30

0.0146259 0.0178065 0.0216635 0.0263335 0.0319774

column 31 to 35

0.0387827 0.0469660 0.0567741 0.0684832 0.0823962

column 36 to 40

0.0988359 0.1181334 0.1406108 0.1665572 0.1961984

Y asi sucesivamente hasta llegar a la columna 101 con resultado de:

column 101

0.9999794

Para entender mejor la interpretación del resultado obtenemos la gráfica de la función

mediante la instrucción plot2d, ver Figura 43, para lo cual en nuestra consola ingresamos las

siguientes instrucciones:

-->plot2d(t,u);

Figura 43.- Solución gráfica de la ecuación diferencial presentada en Ec.14.

64

V.5.- Ejecución de un programa.

Mediante el mismo editor de texto, utilizado para configurar la ecuación diferencial

ordinaria en el ejemplo anterior, es posible configurar o programar determinados algoritmos que

nos permitan implementar cierto tipo de sistemas entre los que podemos considerar, para efectos

de solución del problema de la investigación, la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias

de manera más fácil y sencilla de resolver mediante una solución numérica y a la vez gráfica.

Para realizar la programación de determinados algoritmos utilizamos ciertos comandos o

instrucciones que son similares a los empleados en otros lenguajes de programación, no debemos

olvidar que Scilab posee compatibilidad con FORTRAN, Java, C y C++, donde estos son

señalados de acuerdo a las condiciones que se establezcan en el algoritmo a implementar. A

continuación se detallan algunas de las instrucciones establecidas en el algoritmo desarrollado

para la implementación de nuestro modelo de potencial de acción celular a tres variables de

estado, ver Tabla 5.1 y Tabla 5.2:

Instrucción Función

function Define el inicio de una ‘función’ en la cual se introducen las variables de

entrada y sus salidas que se deseen monitorear.

if Indica la condición ‘si’ de cualquier tipo de programación la cual va

acompañada de then si la condición es satisfecha de lo contrario se

aplica la instrucción else.

then Corresponde a la función ‘entonces’ con la cual se inicia la función

establecida si se satisface la condición indicada en if’.

else Corresponde a ‘de otro modo’ con el cual se introduce una nueva

condición dentro del algoritmo, se establece después de esta instrucción.

end Es para ‘terminar’ el bucle de repetición de las diferentes funciones

como if’, for, etc. Para los diferentes valores de evaluación.

endfunction Indica el término de la función implementada.

Tabla 5.1.- Instrucciones utilizadas en la programación y su respectiva función.

65

Instrucción Función

for Se utiliza en forma de indicar la función ‘para’ la cual indica, para una

variable establecida, cierta condición que esta debe satisfacer o

realizar, esta instrucción debe ser cerrada mediante un end.

while Corresponde a la instrucción ‘mientras que’ esta comprueba siempre

la condición establecida antes de iniciar un bucle, el bucle continua

mientras el resultado no satisfaga la condición establecida, esto se

hace hasta que el valor cambie. Esta función se cierra con un end.

getf(‘’);exec(‘’) Corresponden a la misma instrucción, la primera indica cargar la

función ubicada en la dirección indica entre paréntesis, y la segunda

implica ejecutar la función establecida en la dirección. La segunda

función se utiliza en la v5.2 de Scilab, mientras que la primera está

obsoleta para esta versión pero es utilizada en versiones anteriores.

plot() Es la instrucción que indica que se debe dibujar la respuesta en forma

gráfica, sus dimensiones serán establecidas de acuerdo al comando

que se utilice para graficar. Se deben señalar a la vez las variables que

representarán los ejes que se utilizaran en el grafico.

Tabla 5.2.- Instrucciones utilizadas en la programación y su respectiva función.

Una vez realizado un algoritmo en el editor de texto se almacena en el disco duro, en una

dirección determinada, la cual debe ser utilizada a posterior del comando exec (‘’) o de getf (‘’)

de modo de ejecutar la ecuación y/o el algoritmo desarrollado.

En el capítulo siguiente se detallara la implementación del modelo de potencial de acción

celular a tres variables de estado mediante Scilab, además se presentarán los códigos de fuente de

los algoritmos para posibles modificaciones o variaciones que se requieran realizar en estudios

posteriores. En esta implementación se observara de forma explícita como se trabajan cada una

de las instrucciones mencionadas y explicada anteriormente. Una vez presentado esto debemos

centrarnos en el algoritmo que se implementara para la experimentación del modelo.

66

CAPITULO VI

IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR A

TRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB.

67

VI.1.- Simulación e Implementación del Modelo de Fenton - Karma.

Antes de comenzar a realizar la experimentación debemos implementar un algoritmo el

cual nos permita obtener, en una primera instancia, las respuestas presentadas en [1], por lo que

debemos definir en nuestro algoritmo una primera función a la cual designaremos por nombre

Karma. Esta función, como se observo en el capitulo anterior, debe estar definida mediante un

algoritmo, en un editor de texto, el cual nos permitirá obtener las ecuaciones diferenciales

necesarias. De la misma manera este editor nos permite introducir las constantes requeridas para

obtener las respuestas presentadas en el análisis teórico de nuestro modelo, el cual ha sido

presentado en el capítulo 4.

Por lo que comenzamos definiendo nuestra ecuación, que en este caso será una ecuación

diferencial ordinaria de voltaje ‘v’, representado por x, sobre tiempo ‘t’. Utilizamos el comando

function acompañado de ‘xdot’ el que será utilizado como salida. Luego introducimos las

entradas de nuestro sistema que en este caso serán ‘(t,x)’, en representación de nuestras entradas

originales del sistema (t,v), y como se mencionó anteriormente nuestra función tendrá el nombre

de ‘Karma’, ver Figura 44 y/o Anexo 1, A.1, para mayor claridad del algoritmo o utilización.

Figura 44.- Definición de la función Karma, definición de los parámetros de entrada y

salida del sistema.

Una vez establecido el nombre, las entradas y las salidas de nuestra función principal, en

este caso Karma, debemos de establecer cuáles serán los parámetros constantes que tendremos

dentro de las ecuaciones. Para tal efecto nos referiremos a la Tabla 3 la cual establece los

68

parámetros típicos de las diferentes variables, con las cuales serán probadas estas ecuaciones a

modo de satisfacer de buena forma las condiciones iniciales. Una vez identificados cada uno de

los parámetros estos se definen a posterior de la función declarada en la línea 1 de nuestro editor

de texto, ver Figura 45.

Figura 45.- Definición de constantes establecidas en la Tabla 3 en nuestra función Karma,

desarrollada en el editor de textos de Scilab.

Una vez definidas nuestras constantes y establecido nuestro sistema de entrada y salida de

la función, debemos de establecer nuestras ecuaciones diferenciales tal cual como fueron

presentadas en el capítulo 4. Para lo cual a posterior de nuestra definición de constantes

establecemos nuestro sistema de ecuaciones diferenciales, ver Figura 46.

Figura 46.- Definición de ecuaciones diferenciales en la función Karma.

69

Como se puede apreciar, a simple vista, se introducen nuevas variables dentro de este

algoritmo como lo son: ‘Q(x(1))’; ‘P(x(1))’; ‘fastgate(x(1),x(2))’; slowgate(x(1),x(2)); ‘x(3)’.

Donde ‘x(1)’, ‘x(2)’ y ‘x(3)’ son las variables integradas de nuestras ecuaciones diferenciales

donde cada una corresponde a ‘v’, ‘f’ y ‘s’, respectivamente. Mientras que las otras funciones

establecidas son funciones dependientes de voltaje las cuales están definidas en el capítulo 4

como ‘Q(v)’ y ‘P(v)’. Debemos considerar que ‘S(v)’ fue definida directamente en la ecuación

‘xdot(1)’ ya que no posee variantes dependiendo del valor de ‘v’. Las otras dos son las

condiciones establecidas de apertura y de cierre de las compuertas ‘f’ y ‘s’, las cuales también

dependen del voltaje de entrada, en este caso se encuentran definidas, en el capítulo 4, como

‘ ’ y ‘ ’. Estas funciones dependientes de voltaje deben de ser definidas dentro de

nuestra función Karma, por lo cual debemos configurar nuevas funciones al interior de esta

última, por lo que implementamos las instrucciones establecidas en la Figura 47.

Figura 47.- Definición de las variables dependientes de voltaje y tiempo en nuestra función

Karma.

70

En la implementación anterior se puede observar que cada una de las funciones

dependientes fue establecida y definida mediante la instrucción function, y a la vez, cada vez que

se termina de usar alguno de los bucles de repetición, o la misma función definida, utilizamos el

comando end y endfunction respectivamente. Además debemos señalar que las indicaciones

presentadas mediante ///// corresponden a la separación de una función con otra, esto es a modo

de llevar un orden establecido en la programación.

Una vez implementadas las ecuaciones debemos comenzar a probar nuestro algoritmo,

mediante el ingreso de un solo impulso. Con lo anterior observaremos el comportamiento del

algoritmo para un solo pulso de respuesta con valor de voltaje, ‘v’, y los valores de los nemónicos

representados por ‘f’ y ‘s’, definidos con anterioridad en el capítulo IV. Para comenzar a resolver

nuestra ecuación, a modo de obtener la representación grafica de esta, debemos centrarnos en los

valores que se les deben asignar a nuestras variables mediante las condiciones iniciales.

VI.2.- Resolución mediante Scilab del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias

implementadas en el modelo de potencial de acción a tres variables de estado y su

representación gráfica.

Sabemos que para que nuestro modelo de potencial de acción comience a entregar una

respuesta en el tiempo nuestro voltaje debe ser mayor a ‘Vcrit’, mientras que si observamos los

valores en los que se encuentran las variables ‘f’ y ‘s’, respectivamente en [1], nos podremos dar

cuenta que son definidas en un valor inicial 1. Para comprobar esto primero asignaremos un valor

constante de 0.2 al voltaje, ‘v’, mientras que las otras dos variables las dejaremos en 1, ya que

estas últimas no serán observadas gráficamente en este paso aún, para lo cual introducimos las

siguientes instrucciones en nuestra consola:

-->getf('j:\modelos tesis\Karma.sci'); //dirección donde se encuentra el archivo Karma

-->x0= [0.2 1 1];

-->t0=1;

-->t=1:1000/875:1000;

-->solf=[];

71

Esto nos indica que cargamos nuestra función Karma mediante getf, luego indicamos las

condiciones iniciales las que son representadas mediante x0, mientras que el tiempo inicial, t0, en

el que comenzara a funcionar nuestro sistema de ecuaciones para la evaluación de la ecuación,

será 0. El tiempo de muestreo de la función será el definido en t, con el cual se observara el

comportamiento de está en pequeños lapsus de tiempo a modo de obtener una representación

gráfica más detallada de la función, recordando siempre que mientras mayor sea el muestreo

mejor es la recuperación de la información o su interpretación. Mientras que la instrucción

solf=[]; indica que vamos a almacenar algo en la memoria bajo ese nombre.

Una vez indicados los parámetros que se necesitan para resolver nuestras ecuaciones

diferenciales ordinarias nos centramos simplemente en la resolución de estas, pero a diferencia

del ejemplo presentado en el capítulo 5 esta vez utilizaremos una variable auxiliar que nos

permita trabajar la respuesta obtenida de la resolución de nuestra función. Nuestra variable

auxiliar que utilizaremos será solf=[]; para lo cual declaramos la siguiente instrucción:

-->solf = ode (x0’,t0,t,Karma) ; // donde x0’ corresponde a x0 transpuesto.

Una vez definida nuestra nueva variable auxiliar, como la resolución de las ode’s de

nuestro sistema, comenzaremos a trabajar con el resultado obtenido. Este resultado queda

almacenado bajo el nombre de solf, por lo cual lo primero que debemos visualizar es el

comportamiento grafico de ‘v’, con los valores mayores a ‘Vcrit’, para lo cual utilizaremos el

comando ‘plot’, de la siguiente manera.

-->plot (solf(1,:));

Lo cual nos permitirá obtener de forma individual cada una de las respuestas a nuestras

variables, en este caso se utiliza el número 1 debido a que ‘v’ es la ecuación ‘xdot(1)’, donde el

número entre paréntesis indica su ubicación dentro de la matriz solución.

72

Una vez introducido el comando aparece en nuestra pantalla la ventana de gráficos con la

siguiente representación correspondiente a ‘v’, ver Figura 48, pero mantiene las otras variables

utilizadas en la misma memoria, que fue establecida anteriormente como ‘solf’’. A la vez

debemos observar cómo se comporta el modelo implementado cuando le insertamos un valor de

voltaje menor a nuestro ‘Vcrit’ establecido en la Tabla 3. Para observar estas variaciones

insertaremos los mismos valores del ‘x0’, definidos anteriormente, para ‘f’ y ‘s’ mientras que

para ‘v’ será de 0.1, ver respuesta en la Figura 49. Una vez obtenida la grafica de la función

Karma, establecida mediante nuestro algoritmo en Scilab, debemos contrastar estos resultados

junto a la representación gráfica presentada en la investigación de Tolkacheva- Schaeffer,

presentada en el capítulo 4 para la variable ‘v’, ver Figura 33. a).

Figura 48.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente a la

duración de potencial de acción, para voltaje mayor a ‘Vcrit’.

Figura 49.- Representación gráfica, realizada mediante Scilab, de ‘v’ correspondiente a la

duración de potencial de acción, para voltaje menor a ‘Vcrit’.

73

En la Figura 48 obtenemos la misma curva características del primer AP representado en

la curva ‘v’ en la Figura 33. En la segunda gráfica, Figura 49, obtenemos la curva de respuesta

ante un impulso menor a ‘Vcrit’ en el cual observamos que nuestra gráfica toma como valor

mayor la asignación de 0.1 V, el cual fue introducido en la condición inicial de nuestro sistema.

Una vez obtenida la representación de un AP bajo la representación de la curva ‘v’,

mediante nuestro algoritmo definido en Karma, debemos visualizar que es lo que sucede con las

funciones ‘f’ y ‘s’, respectivamente, cuando tenemos los valores de voltaje introducidos para los

casos anteriores, es decir cuando se presenta un voltaje mayor a ‘Vcrit’ y para un voltaje menor a

este. Para lo cual, en una primera instancia, introduciremos los mismos valores iniciales

presentados para un voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’ donde observaremos gráficamente las variables ‘f’

y ‘s’ por separado, ver Figuras 50 y 51, respectivamente.

Como se observó anteriormente para obtener la representación gráfica de una variable de

forma individual debemos utilizar el número de su posición en el que se ubica dentro de la matriz

donde se almacenó, en el caso anterior se utilizo ‘plot (solf (1,:))’, debido a que la variable a

observar era ‘v’ y esta se ubica en la posición x(1) de la matriz ‘solf’, esto está definido en la

ecuación ‘xdot(1)…’, mostrada en la Figura 46 línea 17. Como en este caso las funciones a

visualizar son ‘f’ y ‘s’, debemos utilizar la posición 2 y 3 respectivamente de la matriz ‘solf’. A

continuación se indica como representar de manera individual la función ‘f’, debemos considerar

los mismos parámetros iniciales para v>Vcrit. Se debe contrastar esta gráfica con la presentada en

la Figura 33. b).

-->plot (solf(2,:));

Mientras que para observar la función ‘s’ introducimos la siguiente instrucción, donde al

igual que en la función anterior debemos considerar los mismos valores iniciales con ‘v’>‘Vcrit’.

Esta representación también debe ser contrastada con la Figura 33.c).

-->plot (solf(3,:));

74

Figura 50.- Representación gráfica del nemónico ‘f’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’.

Figura 51.- Representación gráfica del nemónico ‘s’ para voltaje ‘v’ mayor a ‘Vcrit’.

Mientras que si aplicamos la misma función gráfica a nuestro modelo implementado pero

esta vez utilizamos una variable ‘v’<‘Vcrit’. Obtendremos las siguientes curvas en cada una de

nuestras funciones ‘f’ y ‘s’, ver Figura 52 y Figura 53, respectivamente.

75

Como se puede apreciar la representación gráfica presenta un valor igualitario de ‘f=1’, lo

cual nos demuestra que nuestra función ‘f’ no sufre variaciones cuando el valor de voltaje, que se

está ingresando, es menor a ‘Vcrit’. Ante lo cual al momento de ingresar un valor para ‘v’ que no

satisfaga la condición de superar dicho voltaje, nuestra función nemónica ‘f’, que permite

observar una representación de la compuerta rápida a nivel celular cardiaco, mantendrá sus

parámetros iniciales de manera constante. Mientras que para nuestra función ‘s’ sucede la misma

situación, en la cual mantendrá nuestro valor inicial el cual fue definido en x0 en la consola de

Scilab, se mantiene constante a lo largo del tiempo.

Figura 52.- Representación gráfica de la función nemónica ‘f’ con ‘v’< ‘Vcrit’.

Figura 53.- Representación gráfica de la función nemónica ‘s’ con ‘v’<‘Vcrit’.

76

Una vez que hemos comprobado que nuestra función implementada mediante el editor de

texto de Scilab, denominada Karma, nos permite obtener las mismas respuestas presentadas en el

Capítulo 4 en la Figura 33, para el primer potencial de acción de esa secuencia, debemos

visualizar como se relacionan entre ellas en un impulso normal, ver Figura 54. Esto nos permite

tener una referencia de cómo deben interactuar las tres funciones en el momento en que se

introduzca una serie de impulsos cíclicos, o bien cuando la frecuencia varíe generando una

extrasístole, la cual corresponde a una situación de excitación no cíclica y de diferente duración

temporal a un impulso normal. Gracias a las extrasístoles podremos observar el comportamiento

del modelo de potencial de acción, ya que analizaremos las variaciones que se producen entre un

potencial de acción normal y otro posterior generado por medio de una extrasístole.

Figura 54.- Superposición de las Representaciones gráficas de las tres funciones implementadas

mediante nuestra función Karma para un único impulso. Las curvas se representan de acuerdo a

colores que son asignados a cada función en este caso ‘v’ es azul, ‘f’ es verde mientras que ‘s’ es

de color rojo.

77

VI.3.- Introducción de una serie de impulsos en el sistema y su respuesta.

Una de las principales funciones que debemos desarrollar para visualizar lo que sucede

con dos AP generados de forma diferente, uno por repetición cíclica mientras que el otro por una

extrasístole, es la introducción de una serie de impulsos dentro de nuestro sistema a modo de

representar las condiciones normales de los impulsos cardiacos. Este tipo de representación se

observa en la Figura 33, donde cada una de las variables a implementar ‘v’, ‘f’ y ‘s’, son

presentadas mediante una serie de impulsos con lo que se genera una cadena cíclica de cada una

de las curvas características, en el caso de cada variable.

Para poder generar esta introducción de impulsos dentro del sistema, configurado

mediante ecuaciones diferenciales, debemos desarrollar otro algoritmo que nos permita realizar y

obtener una repetición cíclica, en una primera instancia, de las respuestas observadas

anteriormente. Para lo cual nuevamente utilizamos nuestro editor de texto de Scilab en el cual

introducimos nuestra nueva función la cual llamaremos micromacro, ver Anexo 1, A.2. En

definitiva esta nueva función nos permitirá ingresar una determinada cantidad de impulsos,

definidos por el usuario del algoritmo, dentro del modelo los cuales deben responder a las

ecuaciones vistas anteriormente además de ser capaz de visualizar las respuestas a estos

impulsos.

Para comenzar a definir la función utilizaremos la variable de entrada ‘Qp’, la cual

representara nuestra serie de impulsos, que se definirá en la consola de Scilab. Mientras que la

salida del sistema quedara definida como ‘solf’, ver Figura 55.

Figura 55.- Definición de la función micromacro con entrada ‘Qp’ y salida ‘solf’. Carga de la

función Karma ubicada en la dirección indicada entre el paréntesis.

78

A la vez para utilizar nuestro modelo anteriormente implementado como Karma debemos

cargar esta función al inicio de este nuevo algoritmo, de modo de obtener una respuesta de

acuerdo al modelo que se ha implementado.

Una vez introducido nuestro parámetro de entrada al sistema que, en este caso,

corresponde a ‘Qp’ debemos definir nuestro nuevo algoritmo y sus parámetros iniciales que

utilizaremos en la evaluación de este. Para este propósito definimos las condiciones iniciales x0,

que le asignaremos, a la función micromacro para evaluar la función Karma, definida

anteriormente. A diferencia del modelo anterior esta vez las condiciones iniciales, para la

evaluación, de nuestras ecuaciones se establecerán en el editor de texto de Scilab donde se

configurará el algoritmo, ver Figura 56.

Figura 56.- Definición de los valores iniciales que serán utilizados en la función

micromacro para la evaluación de Karma para más de un impulso.

Como se puede apreciar se utilizan exactamente los mismos valores iniciales de nuestra

función Karma, pero se puede observar que en la línea 9 existe un nuevo parámetro definido

como ‘fe’ el cual corresponde a la frecuencia de muestreo. Este parámetro ayudara a reemplazar

al valor numérico definido como un periodo de tiempo de evaluación de la ecuación, en la

solución de la función Karma, ya que nos permitirá obtener este tiempo en función de la

frecuencia de muestreo, a modo de simplificar modificaciones posteriores que se deseen hacer en

la experimentación del modelo, ver Capítulo VII.

79

Cuando ya se han ingresado los valores iniciales, con los que responde nuestra función

Karma, debemos de comenzar la implementación de nuestro algoritmo, el cual nos permitirá

obtener las secuencias de impulsos necesarios para realizar la experimentación del modelo, ver

programación del algoritmo en la Figura 57. Este algoritmo debe permitirnos observar, mediante

una función lógica, la respuesta para cada uno de los impulsos que nosotros le ingresemos como

variable en ‘Qp’. A la vez debe permitir visualizar las modificaciones, si están existen o no, en la

respuesta obtenida cuando se ingresen valores que generen variaciones en la frecuencia cíclica de

entrada, esto se observara en la experimentación del capítulo VII.

Figura 57.- Programación del algoritmo micromacro, mediante la resolución de la función

Karma.

En este algoritmo podemos observar que utilizamos un bucle de repetición ‘for’ el cual

dependerá única y exclusivamente de la extensión que posea nuestra entrada ‘Qp’. Además se

define que la frecuencia de muestreo que utilizaremos, en este modelado, será variada de manera

independiente de nuestra entrada al sistema. De modo que la frecuencia de muestreo ‘fe’, definida

anteriormente, será el parámetro de variación de nuestro muestreo en la respuesta ‘solf’. Esto

queda bastante claro al observar que nuestro tiempo de muestro, para la solución de nuestra

ecuación diferencial definida en Karma, se basa directamente en la frecuencia dependiente de

nuestros impulsos de entrada ‘fin’, y de nuestro parámetro de frecuencia de muestreo ‘fe’.

80

Al mismo tiempo dentro de este algoritmo se deben definir los parámetros de evaluación

de nuestra ecuación diferencial ordinaria, con lo cual obtendremos la solución de esta para todos

los impulsos ingresados a nuestro sistema. Para tal motivo es que ingresamos a nuestro algoritmo

una variable ‘sol’ la cual será nuestra matriz solución de nuestra función Karma. Una vez

obtenido nuestro resultado, este debe ser almacenado en su completa extensión para lo cual se

designa una nueva matriz, de igual tamaño que la solución de nuestra ecuación, esto queda

establecido en la línea 17 de nuestro algoritmo.

Mediante los parámetros de almacenamiento de la respuesta, es decir ‘n’ y ‘m’,

redefiniremos nuestra extensión de las funciones ‘f’ y ‘s’, lo cual queda estipulado en las líneas

18 y 19 de nuestro algoritmo, con lo cual obtendremos la respuesta para cada una de las

funciones en relación a la extensión de la entrada al sistema, es decir para cada impulso de

entrada obtendremos una respuesta en cada una de las variables. Una vez obtenida esta respuesta

la debemos almacenar en nuestra salida del sistema la cual, como se indico anteriormente, está

determinada como ‘solf’.

Para visualizar el comportamiento de nuestro algoritmo debemos de cargar nuestra

función mediante la consola de Scilab, además debemos de introducir una serie de impulsos

separados cada cierto tiempo, el espacio muestral en este caso será de 700 muestras. Debemos de

saber que este valor que se utilizara de 700 muestras corresponde al valor de un ciclo normal,

muestreado, de funcionamiento cardiaco BCL.

Entonces una vez determinadas las condiciones que debemos establecer en nuestra nueva

función nos centramos en la consola de Scilab e introducimos los siguientes comandos:

-->getf('j:\modelos tesis\micromacro.sci');

-->Qp= 1:9;

-->Qp= Qp*700;

-->solf=micromacro(Qp)

81

Al igual que en la ejecución del programa Karma lo primero que se debe realizar es cargar

el programa micromacro desde la dirección en la que está almacenado. Luego se define Qp, que

como se indico anteriormente son la cantidad de excitaciones que se le desea introducir al modelo

para su evaluación, en este caso se ingresan 9 valores que van desde el valor 1 al 9, que además

son ubicados en ese orden en la matriz Qp. En la tercera instrucción lo que se realiza es ubicar

cada 700 muestras de separación entre si los impulsos de excitación establecidos anteriormente

desde el 1 al 9. Finalmente al definir solf lo que hacemos es que se ejecute la resolución del

algoritmo micromacro y que se almacene en la memoria solf.

Lo primero que debemos observar, al ejecutar la resolución de este algoritmo, es que

sucede con cada una de las tres variables dentro del modelo. Para tal efecto debemos de analizar

cada una de estas variables por separado, es decir ‘v’, ver Figura 58, ‘f’, ver Figura 59 y ‘s’, ver

Figura 60. Para luego analizar las tres variables juntas y observar su interacción entre sí, ver

Figura 61, estableciendo si responde de igual manera que la presentada en la Figura 54.

VI.3.1.- Variable v.

Para poder observar la curva de la variable ‘v’, debemos recurrir a la función plot y

utilizar el comando necesario para visualizar solo una de las variables a la vez, el cual fue visto

anteriormente en la evaluación de la función Karma.

-->plot (solf(1,:));

Figura 58.- Respuesta de micromacro para la variable ‘v’.

82

Como se puede observar la curva obtenida del algoritmo configurado, micromacro,

responde de manera precisa a 700 muestras del impulso anterior, para cada uno de los diferentes

impulsos establecidos, generando la misma respuesta obtenida a partir de nuestro modelo Karma

para el primer impulso establecido de acuerdo a las condiciones iniciales del sistema, ver Figura

48.

VI.3.2.- Variable f.

Para visualizar la variable ‘f’ de manera independiente debemos recurrir a la misma

instrucción con la que se visualizó en la evaluación de la función Karma, instrucción que

corresponde a la siguiente.

-->plot (solf(2,:));

Figura 59.- Respuesta de micromacro para ‘f’.

Se observa que la curva obtenida del algoritmo configurado, micromacro, responde de la

misma manera, para cada uno de los impulsos separados, unos de otros, a 700 muestras, que para

el primer impulso generando a partir de la respuesta de la evaluación de Karma frente a las

condiciones iniciales de nuestro sistema, ver Figura 50.

83

VI.3.3.- Variable s.

Para visualizar esta función ‘s’ de la misma manera que las anteriores, es decir de forma

independiente, debemos de realizar la misma instrucción para la función plot que la realizada

para la visualización de esta variable en la evaluación de Karma.

-->plot (solf(3,:));

Figura 60.- Respuesta de micromacro para ‘s’.

Se puede apreciar, al igual que en las dos variables anteriores, que la curva obtenida del

algoritmo configurado, micromacro, responde de la misma manera para cada uno de los impulsos

ubicados a 700 muestras de distancia entre ellos, que para el primer impulso generando a partir de

la respuesta de la evaluación de Karma frente a las condiciones iniciales de nuestro sistema, ver

Figura 51.

VI.3.4.- Superposición de las tres variables de estado.

Una vez observada las tres variables de forma independiente, en donde observamos que

responden de la misma manera que en la evaluación de la función Karma, para los parámetros

iniciales. Debemos visualizar que sucede con la relación de las tres variables, ver Figura 61, y

cómo interactúan entre ellas, ver Figura 62, y si se mantiene exactamente la misma interacción

que la presentada en la Figura 54.

84

Figura 61.- Superposición de las variables ‘v’, de color azul, ‘f’, de color verde, y ‘s’, de color

rojo. Se aprecia la continuidad entre los impulsos, de forma, que se mantienen separados cada

700 muestras entre ellos.

Figura 62.- Interacción entre las tres variables evaluadas y presentadas en micromacro.

Se aprecia que la relación presentada en la Figura 54 se mantiene exactamente igual en

cada uno de los impulsos presentados en el algoritmo micromacro, por que debemos observar que

es lo que sucede cuando se inserte una extrasístole al sistema, tema que se observara en la

experimentación del modelo presentado en este Capítulo VII.

85

CAPITULO VII

EXPERIMENTACIÓN DEL MODELO DE POTENCIAL DE ACCIÓN CELULAR ATRES VARIABLES DE ESTADO MEDIANTE SCILAB.

86

VII.1.- Experimentación del modelo implementado en Karma y Micromacro.

Como se observó, en el capitulo anterior, mediante la implementación del algoritmo

micromacro podemos apreciar que es lo que sucede, explícitamente, para cada uno de los

estímulos introducidos en el modelo implementado y en sus variables de estado. De esta forma

podemos determinar su normal funcionamiento, pero ahora debemos visualizar que es lo que

sucede cuando se introducen impulsos no cíclicos que generan una respuesta en un tiempo

diferente a los otros impulsos, este tipo de impulsos no cíclicos fueron definidos como

extrasístoles.

Para poder visualizar este tipo de respuesta, frente a los impulsos no cíclicos, utilizaremos

el mismo número de impulsos de entrada, utilizado anteriormente, pero a la vez introduciremos,

en el último de estos, una extrasístole con un BCL menor que los demás y menor a 250 muestras,

aprox., de forma que produzca el efecto de no alcanzar a repolarizar nuestro modelo. De esta

manera generaremos una variación en la respuesta de cada una de las variables la cual debe ser

contrastada con las curvas características observadas en la implementación de este modelo, ver

Capítulo VI.

Comenzaremos trabajando en la consola de Scilab, de la misma manera en que se realizo

anteriormente, cargando la función micromacro e introduciendo los impulsos del 1 al 9, dentro de

la variable Qp, separándolos uno de otro por 700 muestras para lo cual introducimos las

siguientes instrucciones

-->getf('j:\modelos tesis\micromacro.sci');

-->Qp= 1:9;

-->Qp= Qp*700;

Como micromacro solicita que se introduzca a la entrada una variable ‘Qp’, la cual es

definida en la consola como un impulso constante separado por 700 muestras entre cada uno de

ellos, debemos de introducir una extrasístole redefiniendo la entrada al sistema, pero

87

manteniendo los mismos parámetros del algoritmo como si fuera solo introducida la variable

‘Qp’, es decir crear una variable compuesta que contenga los elementos determinados en ‘Qp’

además de la extrasístole introducida, al final de los impulsos. Para lo cual debemos escribir los

siguientes comandos en la consola de Scilab.

-->solf= micromacro ([Qp 6350]);

Una vez introducida la extrasístole debemos centrarnos en el análisis gráfico de la

respuesta que se le entrega a cada una de nuestras funciones, es decir, ‘v’, ‘f’ y ‘s’, ver Figura 63.

Para lo cual generamos la respuesta gráfica para todo el intervalo superponiendo los resultados,

de modo de obtener la relación entre las variables, por lo cual utilizamos la siguiente instrucción

-->plot(solf’);

Figura 63.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en cada una de

sus variables, frente a una extrasístole que no permite la repolarización celular. Funciones

definidas de acuerdo al color ‘v’ = azul, ‘f’ = verde y ‘s’ = rojo.

Se puede apreciar, claramente, una variación en los valores del último pulso presentado en la

curva de la Figura 63, donde cada una de las funciones establecidas no alcanza a cumplir con su

88

ciclo normal, o repolarización en el caso celular, como el presentado en la Figura 62.

Debemos observar que dicho efecto se produce única y exclusivamente por que se introduce un

pulso diferente a los vistos anteriormente, el cual no corresponde a una manifestación normal

cíclica de excitación, sino más bien a una anomalía en el sistema que es representada en conjunto

con las respuestas correctas.

Así mismo como se introducen extrasístoles a niveles menores que los de muestreo entre

un impulso y el otro, a la vez debemos, representar una respuesta grafica para las extrasístoles

mayores a las 250 muestras definidas anteriormente, ver Figura 64. Para tal motivo debemos de

introducir, en la consola de Scilab, un nuevo valor de extrasístole en nuestra entrada ‘Qp’ de la

función micromacro, pero manteniendo constantes los valores ingresados anteriormente, entonces

escribimos las siguientes instrucciones para su resolución numérica y su visualización gráfica.

-->solf=micromacro([Qp 6500]);

-->plot(solf’)

Figura 64.- Respuesta del modelo implementado mediante Karma y micromacro, en cada una de

sus variables, frente a una extrasístole que permite la repolarización celular. Funciones definidas

de acuerdo al color ‘v’ = azul, ‘f’ = verde y ‘s’ = rojo.

89

Se observa claramente que nuestro sistema vuelve a la normalidad y que nuestras

funciones realizan su recorrido de forma completa frente a este tipo de entrada. Por lo tanto

podemos ratificar que nuestro modelo micromacro funciona de forma correcta, tanto para la

implementación de un modelo de varios impulsos normales o bien con variaciones que se

producen al momento de introducir la extrasístole en el sistema.

De esta forma ya hemos podido generar un algoritmo que nos responde de manera

correcta frente a cada tipo de impulso con extrasístoles, mayores y menores que el espacio

muestral mínimo necesario para su normal desarrollo. Ahora debemos observar de qué manera

interactúan los intervalos diastólicos, en conjunto, con los potenciales de acción establecidos

mediante la extrasístole introducida en el último espacio de la secuencia de impulsos presentados.

Para tal motivo debemos configurar un sistema que nos permita ingresar una secuencia de

extrasístoles, las que se anexen en la última posición de cada una de las secuencias introducidas.

Esto nos permitirá observar los cambios realizados en los valores establecidos, lo cual lo

interpretaremos como la relación existente entre el intervalo diastólico y el potencial de acción

precedente, con lo cual deberíamos acercarnos a la curva de restitución planteada en la Figura 34.

De esta manera podríamos determinar si nuestro algoritmo basado en [1] satisface las condiciones

necesarias y se puede establecer como un modelo de potencial de acción celular basado en tres

variables de estado.

VII.2.- Algoritmo excitación, curva de restitución y representación gráfica en dos

dimensiones, bajo el protocolo S1-S2.

Para poder desarrollar una solución concreta a la restitución celular, centrada en nuestro

modelo, debemos de entender el protocolo de análisis que se utilizará para obtener los datos de

comparación entre una secuencia introducida y otra, en este caso se utilizara el protocolo S1- S2.

El protocolo de análisis de señales S1-S2 nos permite observar las variaciones que se

producen en una de las señales visualizadas y como, esta misma señal, repercute en el valor de la

90

otra [2]. Este análisis se utiliza principalmente en las señales de tipo cardiacas esto se debe a que

en el ritmo cardiaco, una vez terminado un potencial de acción y después de que se establece la

repolarización completa a nivel celular, se observa que el potencial de acción que viene a

continuación de anterior, posee cierto grado de memoria con respecto al estimulo anterior. De

este mismo punto surge la necesidad de establecer, mediante el algoritmo anterior, una función

que nos permita implementar de forma gráfica los intervalos diastólicos (DIn) presentados por la

secuencia de impulsos introducidos versus la duración del potencial de acción precedente a este

(APDn-1), pero siempre centrándonos en el análisis de lo sucedido en la extrasístole introducida al

final de la secuencia de impulsos de excitación.

Para establecer el algoritmo que permita observar los parámetros anteriormente definidos,

debemos de centrarnos en la cantidad de secuencias e impulsos a introducir. Por lo tanto primero

determinaremos un nombre para esta nueva función a la cual llamaremos cures, por curva de

restitución, donde lo primero que debemos definir, nuevamente, son las entradas y salidas de

nuestro sistema, ver Figura 65 y/o Anexo 1, A.3. En este caso nuestras entradas al sistema son

representadas por dos constantes ‘Qp’ y ‘Es’, las que corresponden a los impulsos de excitación

del modelo y a las extrasístoles introducidas al sistema, respectivamente. Mientras que las salidas

APD y DI, indicadas en la misma Figura 65, corresponden a las siglas entregadas a la duración

del potencial de acción y al intervalo diastólico respectivamente.

Figura 65.- Definición de las entradas y salidas de la función cures, con la cual se desea encontrar

la relación de restitución celular.

Se puede observar, a la vez, que para comenzar a trabajar el nuevo algoritmo cures

debemos cargar la función micromacro, ya que es esta última la que cumple la función de aplicar

91

una secuencia de impulsos y extrasístoles al modelo implementado en Karma. Por lo tanto si

definimos que se introducirá una serie de impulsos acompañando de una extrasístole, lo primero

que debemos hacer es definir nuestros valores de ‘Qp’ y ‘Es’, esto lo hacemos en el mismo editor

de texto en el que se realizara el algoritmo, ver Figura 66, o bien dejarlos determinados en la

consola de Scilab. Los valores que se asignaran para el desarrollo del algoritmo son los

siguientes.

Qp= 1:9;

Qp= Qp*700;

Es= [120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77]*7/2 + Qp

(length(Qp));

Estos valores se utilizaran para efectos de cálculo, ya que la idea central del modelo es

que se pueda utilizar introduciendo las secuencias de excitación y las extrasístoles mediante la

consola de Scilab por el usuario final.

En el valor observado de la variable ‘Es’ podemos darnos cuenta que existe un factor de

multiplicación de ‘7/2’, el cual permite obtener un valor de impulso ubicado en el espacio

muestral de respuesta de nuestro modelo ‘420’ y ‘270’ muestras, respectivamente entre el valor

mayor y el menor. Mientras que el término ‘+ Qp (length(Qp))’ es para indicar que cada una de

las posiciones que se están definiendo, además de estar en el espacio muestral que corresponda,

están ubicadas a continuación del último impulso establecido en ‘Qp’.

Figura 66.- Introducción de los valores definidos, anteriormente, para ‘Es’ y ‘Qp’ en la función

cures.

92

La cantidad de extrasístoles introducidas en estas variables es bastante alta, debido a que

para obtener una relación de restitución celular debemos de observar mucho más que un punto

para visualizar la curva de forma refinada. Es por esto que a diferencia del modelo micromacro,

donde se utilizo solo una extrasístole, usamos un número total de 44 de extrasístoles, el cual es un

número considerablemente mayor.

Una vez determinadas nuestras condiciones de entrada al sistema debemos de

confeccionar el algoritmo basándonos directamente en lo que necesitamos, que en este caso es,

obtener las duraciones de cada una de nuestras variables de potencial de acción e intervalo

diastólico, para cada una de las extrasístoles introducidas al sistema.

Para la confección del algoritmo, ver Figura 67, se utiliza un pulso extra, en la

introducción del BCL, ya que por efecto de cálculo de micromacro se necesita restar un impulso a

la secuencia introducida. Por lo tanto este se definirá directamente en el algoritmo siendo el

último impulso introducido después de la extrasístole, como consideración, ya que solo se usa

para efecto de cálculo y no afecta las mediciones, se le otorgara una posición distante mayor a

450 muestras y se representara por ‘Pf’, esta se define en la línea 12 de la Figura 67.

Figura 67.- Confección del algoritmo cures, descripción de solución e introducción de función

auxiliar medición.

93

Como se puede observar en la Figura 67 el bucle de repetición for se crea para toda la

extensión de ‘Es’, donde se define un BCL que contiene la secuencias de impulsos establecida en

‘Qp’ además de cada una de las ‘Es’ introducidas, pero una por cada secuencia introducida,

además de contener el ‘Pf’. Como se puede apreciar lo primero que realiza este nuevo algoritmo

es el desarrollo de la solución de micromacro para cada una de las cadenas de impulsos

introducidos anexado a una extrasístole.

Una vez almacenada la respuesta para la variable ‘v’, línea 17 de la Figura 67, debemos

concentrarnos en el análisis de la comparación y medición de nuestras variables a encontrar, que

en este caso son APD y DI. Para tal motivo definimos una nueva función la cual posee como

entrada al sistema una nueva extensión la cual es definida por ‘BCL2’, en la cual ocupamos el

mismo ‘BCL’ anterior solo que restamos las últimas dos posiciones y nuevamente volvemos a

introducir la extrasístole. Además la otra entrada al sistema, que posee, es la solución ‘S’ del

algoritmo micromacro, definido en el encabezado del bucle de repetición for. Mientras que las

salidas observadas en esta función son ‘A’, ‘fin’, ‘prueba’, ‘D’. Los cuales corresponden al valor

del APD, repolarización del potencial de acción, inicio del potencial de acción, y el valor de DI,

respectivamente. Una vez identificadas las entradas y las salidas de la función medición debemos

de determinar el algoritmo de implementación de la función, ver Figura 68.

Figura 68.- Definición del algoritmo de implementación de la función auxiliar medición,

complementario a cures.

94

En el algoritmo se define un nuevo bucle de repetición for, para cada uno de los términos

resultantes de la diferencia existente entre el ‘BCL2’ y el primer impulso ‘Qp(1)’, impulso de

referencia, y dentro del mismo un ciclo while. A la vez definimos una condición if en la cual

establecemos que cuando la solución ‘S’, obtenida anteriormente en la muestra indicada como la

suma entre el valor de prueba mas el contador, posea un valor en la curva ‘v’ el cual sea menor o

igual al valor determinado como 0.0015, ya que el modelo no llega a cero como en la forma ideal,

cambie las condiciones iniciales establecidas. Con lo cual se cierre el bucle while y se le asigna

un valor de indicador ‘ind’ a ‘fin’ con lo cual tenemos el valor de la muestra en la que se cumple

la condición de repolarización.

Una vez creado el algoritmo de obtención del instante en que se cumple la condición de

repolarización, o en forma teórica nuestro valor de ‘v’ es menor o igual al valor de comparación,

podemos obtener la medida de nuestros espacios muestrales en los que se encuentran APD y DI.

Esto lo realizaremos generando una diferencia entre los valores que ya manejamos, como lo es la

variable ‘prueba’ con la variable ‘fin’, ver en la líneas 40 y 41 de la Figura 68.

Una vez obtenida la función auxiliar y definidas nuestras variables ‘A’ y ‘D’, debemos

centrarnos en los valores que nos interesan para obtener la curva de restitución ,que en este caso

corresponden a la última posición de cada uno de estas variables, ver línea 20 y 21 de la Figura

67. Con todas las salidas definidas, mediante funciones, y con las entradas ya introducidas solo

nos queda simular el modelo, de forma de observar si responde de la manera indicada frente a las

extrasístoles y si nos permite observar la relación de restitución celular.

Para realizar dicha simulación comenzaremos por cargar la función la función

implementada como cures y luego aplicaremos la resolución de esta función, esto lo realizaremos

mediante las siguientes instrucciones insertadas en la consola de Scilab.

--> getf ('j:\modelos tesis\cures.sci');

--> [APD,DI]= RC (Qp,Es);

95

La última instrucción nos entrega los siguientes valores para las salidas ‘APD’ y ‘DI’,

estos valores se muestran a continuación en la Tabla 6.

Tabla 6.- Valores obtenido de la simulación de cures para visualizar la relación de restitución

celular entre APD y DI.

Extrasístole N° APD DI

23 82 257

24 78.5 257

25 75 257

26 71.5 257

27 68 257

28 64.5 256

29 61 256

30 57.5 256

31 54 256

32 50.5 255

33 47 255

34 43.5 255

35 40 254

36 36.5 254

37 33 254

38 29.5 253

39 26 253

40 22.5 253

41 19 252

42 15.5 252

43 12 251

44 8.5 251

Extrasístole N° APD DI

1 159 257

2 155.5 257

3 152 257

4 148.5 257

5 145 257

6 141.5 256

7 138 256

8 134.5 256

9 131 256

10 127.5 255

11 124 255

12 120.5 255

13 117 254

14 113.5 254

15 110 254

16 106.5 253

17 103 253

18 99.5 253

19 96 252

20 92.5 252

21 89 251

22 85.5 251

96

Los valores presentados en la Tabla 6, para APD y DI, son valores numéricos muéstrales,

esto quiere decir que están en cantidades de muestras, por lo que debemos trasladarlos a

milisegundos. Para realizar dicha conversión debemos de multiplicar por el numero inverso al

muestreo que realizamos en el algoritmo micromacro, como este fue de 875 debemos de

multiplicar cada una de las variables, APD y DI, por el valor de 8/7, de esta forma nuestros

valores se quedaran expresados en mseg.

Si multiplicamos de forma directa podemos apreciar que el valor más alto de APD, es

decir, donde el espacio muestral que se insertó permite que se realice la repolarización, se acerca

bastante a los 300 mseg., ver Figura 69, lo cual nos entrega un parámetro correcto. Debemos

recordar siempre que debemos realizar lo mismo para DI. Debemos de recordar que un potencial

de acción teóricamente debería de durar 300 mseg. desde su despolarización hasta la

repolarización, y eso es lo que se nos indica en la Tabla 6, pero en muestras.

Figura 69.- Multiplicación de APD por el factor de 8/7 para transformar las muestras a mseg.

97

Una vez realizada esta conversión podremos realizar la gráfica de nuestra relación de

restitución, teniendo los ejes coordenados en mseg., como se explico anteriormente, la

representación de esta relación de restitución se conoce como curva de restitución celular, la cual

fue presentada en la Figura 34. Esta, además, corresponde a la grafica de DIn v/s APDn-1, para

poder observar el comportamiento de esta relación de restitución graficaremos la curva obtenida

mediante nuestro algoritmo cures, ver Figura 70.

Figura 70.- Representación gráfica de la relación de restitución, curva de restitución,

implementada mediante cures y los algoritmos presentados en este trabajo.

Podemos apreciar que la curva toma cierta forma con la cual no se logra determinar de

buena manera, por la continuidad de la línea entre un punto y otro, la curvatura que se obtiene de

la gráfica. Para evitar esto visualizaremos la misma curva pero con una representación diferente,

para lo cual utilizaremos el siguiente comando que nos permite obtener la curva en forma de

puntos cuadrados, con lo cual obtenemos la curva presentada en la Figura 71.

98

-->plot2d(x,y,-4).

Esta última instrucción lo que indica es que se represente en la ventana grafica los ejes x e

y de la función, pero que cada uno de los puntos de la curva sean representados mediante un

cuadrado, esta instrucción se le asigna en la tercera posición con el -4. Cabe señalar que además

de este tipo de representación existen varias más para la comodidad en la representación de

curvas.

Figura 71.- Representación grafica de la curva de restitución mediante puntos, obtenida mediante

cures, permitiendo una mejor aproximación a la curva de restitución teórica.

Como se puede apreciar, incluso a simple vista, el modelo implementado en conjunto con

el algoritmo configurado nos permite obtener una curva de restitución bastante cercana y

aproximada a la teórica, contrastar con la Figura 34. Por lo que podemos decir que el modelo de

potencial de acción a tres variables de estado, que se deseaba desarrollar, ha sido realizado con

éxito, ya que satisface de buena manera dicha relación, con lo cual podemos obtener una

visualización de las variaciones que se producen en el sistema, con la introducción de impulsos

eléctricos ubicados en diferentes frecuencias tanto cíclicas como no cíclicas.

99

CONCLUSIONES

100

Se ha podido realizar una investigación basada en la interacción de las ciencias

biomédicas en conjunto con las ciencias de la ingeniería demostrando que, con la interacción que

se plantea, entre la teoría establecida en la biología y la confección de algoritmos desarrollados

mediante el trabajo de ingeniería nos permite obtener mejores resultados, en el análisis de ciertos

campos, relacionados con las dinámicas eléctricas a nivel corporal, o como en este caso

cardiacas, que solo abarcando un área del conocimiento. Esto a la vez nos permite obtener una

nueva perspectiva a cerca del problema acercándonos siempre mas y mas a una respuesta exacta a

las interrogantes planteadas en las diferentes áreas desarrollo.

Las células son un objeto de estudio muy importante debido a que dependerá

exclusivamente de las diferentes condiciones en las que estas se encuentren el cómo repercutirán

a un nivel mayor, como es el caso de un organismo viviente. Se ha podido visualizar la

interacción de las concentraciones iónicas determinan el comportamiento eléctrico de nuestras

células cardiacas, lo que a la vez nos ha permitido caracterizarlas de forma matemática para

poder obtener un modelo del potencial acción a tres variables de estado aproximando, estas

últimas, a la interacción entre las compuertas iónicas, rápida y lenta, y los gradientes eléctricos

que estos iones poseen.

El modelo de potencial de acción celular nos ha permitido observar cómo se comportan

las diferentes dinámicas celulares y como estas inciden en el normal funcionamiento de nuestro

cuerpo, las diferencias existentes en estas y que nos permiten distinguir diferentes respuestas en

nuestro organismo son las variaciones temporales en los ciclos cardiacos. Donde estos últimos

deben estar de presentes de forma cíclica y de manera constante ya que ante cualquier variación

que se les presente, adelanto, atraso o variación en la duración de un impulso, genera

modificaciones a niveles microscópicos y que repercuten a niveles macroscópicos o corporales y

se manifiestan mediante estados anormales en las dinámicas cardiacas, como es el caso de las

arritmias.

Para la realización de la implementación del modelo se ha utilizado el software de

programación numérica Scilab debido a que es de distribución gratuita, free software foundation,

además de que permite trabajar los algoritmo sin mayores inconvenientes ya que este software es

101

de fácil manejo, posee una interface de usuario bastante agradable la cual no presenta

complejidades en el manejo de variables o funciones del programa. A diferencia de otros

software de simulación numérica que requieren de un mayor grado de manejo en sistemas de

programación para su utilización.

Para configurar el algoritmo y obtener una curva refinada en la grafica, tanto en la

relación de restitución como en las variables individuales visualizadas, debemos de contar con

una frecuencia de muestreo bastante alta, o lo que tolere el software, ya que como es sabido a

mayor cantidad de muestras obtenemos un mayor número de puntos para la representación

grafica. En este caso el algoritmo responde de manera correcta para cada una de las frecuencias

de muestreo menores a 875, pero no así para las mayores donde no obtenemos respuesta y se nos

indican errores. Por lo que podemos indicar que nuestro algoritmo posee su mayor grado de

fidelidad, con respecto a las curvas teóricas presentadas en la investigación de Tolkacheva-

Schaeffer, en el valor de 875.

La curva obtenida del modelo implementado micromacro nos permite obtener una

respuesta similar y muy próxima a la presentada en la investigación teórica de Tolkacheva-

Schaeffer, no obstante al ser una respuesta concreta y real, desarrollada mediante una

programación numérica, no cumple los mismos parámetros teóricos que debería representar. La

curva observada, v, que se utiliza para obtener los instantes de inicio y término de los potenciales

de acción y los intervalos diastólicos, lo cual se representa en el trabajo mediante el algoritmo

cures, no retorna al cero teórico que debería de tener presente el potencial de acción al finalizar

para indicar que comienza el intervalo diastólico. Para dar solución a este problema se utiliza una

función que nos permita observar un valor menor o igual a 0.0015, indicado en el algoritmo antes

mencionado, con lo cual presentamos un valor bastante cercano y próximo al valor de cero. Con

lo cual se puedo desarrollar sin problemas el algoritmo el cual entrega una respuesta muy

próxima a la analizada en forma teórica, para la relación de restitución celular.

El algoritmo desarrollado al momento de ingresar las variables de impulsos de excitación

e indicar un determinado número de extrasístoles para visualizar su relación de restitución

celular, debemos de ejecutar la función cures mediante la consola de Scilab. El tiempo en el que

102

se obtendrá la respuesta a las variables medidas en el algoritmo dependerá del número de

extrasístoles introducidas y del procesador del equipo en el que se esté ejecutando el programa. A

mayor número de extrasístoles mayor será el tiempo de espera y de ejecución del programa, esto

es debido a la gran cantidad de bucles de lazo cerrado que debe de hacer en el barrido de inicio y

termino de los potenciales de acción y de los intervalos diastólicos. Mientras que si ejecutamos el

programa con un número reducido de extrasístoles el programa responde de forma rápida. El

problema se crea en el momento de observar la relación de restitución donde una curva con 10

puntos a visualizar es mucho más inexacta que una curva con un número mayor a 30 puntos de

visualización. Por lo que se recomienda que para la utilización del algoritmo se utilice un número

bastante alto de extrasístoles de modo de obtener una curva bastante definida y refinada al

momento de graficar la relación de restitución celular.

Debemos rescatar la importancia de este modelo implementado para una posterior

utilización en investigaciones relacionadas con el mejoramiento de algoritmos ya establecidos u

otros que deseen observar el comportamiento cardiaco de los diferentes individuos en la

prevención y tratamiento de enfermedades cardiovasculares como las mencionadas anteriormente

arritmias, fibrilación ventricular, entre otras. La importancia que posee el tratamiento, terapia o

prevención de estas enfermedades o estados cardiacos es principalmente para reducir la tasa de

mortalidad establecida por este tipo de enfermedades, así como también mejorar la calidad de

vida de los individuos que las poseen.

103

BIBLIOGRAFIA

104

[1] Analysis of the Fenton – Karma model through an approximation by a one-dimensional map.

E. G. Tolkacheva, et al. 2002.

[2] A two – current model for the dynamics of cardiac membrane. C. C. Mitchell and D. G.

Schaeffer. 2003.

[3] Condition for alternans and stability of the 1:1 response pattern in a ‘‘memory’’ model

of paced cardiac dynamics. E.G. Tolkacheva, et al. 2003

[4] Electrocardiogram-based restitution curve. Computers in Cardiology. Vol. 33. Pág. 493-496,

Valencia, Spain, A. Illanes, et al. 2006.

[5] Determining the effects of memory and action potential duration alternans on cardiac

restitution using a constant-memory restitution protocol. P. Jordan and D. Christini, 2004.

[6] Dynamic restitution of action potential duration during electrical alternans and ventricular

fibrillation, M. Koller, et al. 1998.

[7] Biología molecular de la célula. Tercera edición, Bruce Alberts, et al. Omega S.A 2003.

[8] Minimanual I CTO cardiología, Mcgraw-Hill. Sexta ed. 2005

[9] Tratado de Fisiología Medica, A. Guyton, J. Hall. Décima edición, Mcgraw-Hill, 2001

[10] Introducción a Scilab, H. M. Mora. Univ. Nac. de Colombia, Bogota, 2002.

[11] Fundamentos de Scilab y Aplicaciones v 0.1, Andres A. Caro & Cesar V. Sepulveda.

Licencia de Documentación libre GNU, Free Software Foundation.

105

ANEXO 1

CODIGOS DE IMPLEMENTACIÓN DE LOS MODELOS TRATADOS.

106

A.1.- Código de fuente del algoritmo Karma mediante Scilab.

function xdot=Karma(t,x)

// valores constantes

tfast= 0.25;

tslow=127;

tung=130;

tfclose=10;

tfopen=18;

tsclose=1000;

tsopen=80;

Vcrit=0.13;

Vsig=0.85;

k=10;

Vout=0.1;

Vfgate=0.13;

Vsgate=0.13;

xdot(1)= -(-(x(2)*Q(x(1))/tfast)-x(3)*((1+tanh(k*(x(1)-0.85)))/2)/tslow + P(x(1))/tung)

xdot(2)= fastgate(x(1),x(2));

xdot(3)= slowgate(x(1),x(3));

////////////////////////////////////////////////////////

function qv= Q(v)

if v > 0.13 then

qv=(v-0.13)*(1-v);

else qv=0;

end

////////////////////////////////////////////////////////

107

////////////////////////////////////////////////////////

function pv= P(v)

if v < 0.1 then

pv=v/0.1;

else pv= 1;

end

////////////////////////////////////////////////////////

function fast=fastgate(v,f)

if v < Vfgate then

fast=(1-f)/tfopen;

else fast=-f/tfclose;

end

endfunction

////////////////////////////////////////////////////////

function slow=slowgate(v,s)

if v < Vsgate then

slow=(1-s)/tsopen;

else slow=-s/tsclose;

end

endfunction

108

A.2.- Código de fuente del algoritmo micromacro mediante Scilab.

function solf=micromacro(Qp)

getf('C:\Users\Felix\Documents\tesis\modelos tesis\Karma.sci')

//valores iniciales

v=0.2;

f=1;

g=1;

solf=[];

fe=875;

for i=1:(length(Qp)-1)

fin=(Qp(i+1)-Qp(i))*(1000/fe);

t=1:1000/fe:fin;

x0=[v,f,g];

t0=1;

sol=ode(x0',t0,t,Karma);

[n,m]=size(sol);

f=sol(2,m);

g=sol(n,m);

solf=[solf sol];

end

endfunction

109

A.3.- Código de fuente del algoritmo cures mediante Scilab.

function [APD,DI,solf,fin,BCL,BCL2]= RC(Qp,Es)

getf('C:\Users\Felix\Documents\tesis\modelos tesis\micromacro.sci')

// valores de evaluación para curva refinada, no implícita que sean valores únicos de solución.

Qp= 1:9;

Qp= Qp*700;

Es=[120 119 118 117 116 115 114 113 112 111 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100

99 98 97 96 95 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77]*7/2 + Qp(length(Qp));

Pf= 8400;

for i=1:length(Es)

BCL=[Qp Es(i) Pf];

solf=micromacro(BCL);

S=solf(1,:);

BCL2=[BCL(1:length(BCL)-2) Es(i)];

[A,fin,prueba,D]= medicion(BCL2,S);

// [D]= tramo(BCL2,S);

APD(i)= A(length(A));

DI(i)= D(length(D));

end

endfunction

//////////////////////////////////////

110

////////////////////////////////////////

function [A,fin,prueba,D]= medicion(BCL2, S,Qp)

prueba=BCL2-Qp(1);

for k=1:(length(prueba))

control= 0;

contador= 0;

while control==0

contador=contador +1;

if S(prueba(k)+contador)<=0.0015 then

ind=contador + prueba(k);

control= 1;

end

end

fin(k)=ind;

end

A=fin-prueba';

D=prueba(2:length(prueba))-fin(1:length(fin)-1)'

endfunction