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II.- Comportamiento a flexión

ESTADO LIMITE DE SERVICIO

• Hipotesis: ley de bernoulli, resistencia del hormigon a traccion = 0 y se cumple ley de hooke (rango elastico).

• Se define:1. As= Armadura de barras2. fs= tensión del acero3. fc= tensión del hormigón4. b = ancho de viga5. h= altura viga• Considerar equilibrio de

fuerzas, equilibrio de momentos.

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II.- Comportamiento a flexión

• Zona a compresion: C=1/2 kd*fc*b• Zona a traccion: As*fs

Equilibrio: ½*kd*fc*b=As*fs (ec.# 1)

• Si se cumple ley de Hooke � fc=Ec*εc y fs=Es*εs• Ademas si se considera secciones planas� compatibilidad de triangulos.

εc/kd=εs/(d-kd)� εc=εs*kd/(d-kd)• Reemplazando en ec.# 1, se tiene:• ½*kd*Ec*εs*kd/(d-kd)=As*Es*εs• Se define el parametro n=Es/Ec, relacion entre modulo elasticidad

acero/hormigon½*b*(kd)^2-n*As*(d-kd)=0 (ec. #2)

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II.- Comportamiento a flexión

SECCION FISURADA.- RANGO ELASTICO

Realizar Eq. De Momento en punto aplicación C o T.

Equilibrio de fuerzas

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II.- Comportamiento a flexión

DISEÑO EN HORMIGON

• Eq. De fuerzas.

½*b*(kd)^2-n*As*(d-kd)=0

• Eq. De Momento:M=C*j*d=1/2*fc*b*kd*jd=1/2fc*b*k*j*d^2�fc=2M/(kjbd^2)

• Consideración verificación de fisura:Vale ley de Navier: σ=M/Wfct=M/W, para viga rectangular� W=b*h^2/6fct=6M/(b*h^2), si este valor resulta menor a ft del hormigón� el

material se encuentra fisurado, este es requisito para validez de ec.#2

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II.- Comportamiento a flexiónESTADO LIMITE DE SERVICIO.- SECCION

NO FISURADA

• Hipótesis: ley de bernouilli, resistencia del hormigón a tracción = 0.62 √f c y se cumple ley de hooke (rango elástico).

• Se define:1. As= Armadura de barras2. fs= tensión del acero3. fc= tensión del hormigón4. b = ancho de viga5. h= altura viga6. fct= tensión a tracción hormigón7. eje neutro=centroide de la

sección

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En este caso kd se puede determinar geométricamente en función de la sección= centro de gravedad

II.- Comportamiento a flexión• SECCION NO FISURADA

Como es valida la ley de Navier, pues el hormigón se encuentra agrietado y se trata de una viga homogénea con valores de tensión menores al limite de proporcionalidad (tensión de tracción en el hormigón) Para poder analizar la viga como homogénea se procede de manera similar al caso de hormigón fisuradotransformando la sección de acero en hormigón.

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Se determina geometricamente el centro de gravedad y la inercia de la seccion, luego usando la validez de la formula de navier, se tiene:fc=M*y/I, donde Y es la distancia de la fibra extrema al centro de gravedad, analogamentese obtiene la tension en el acero o en la fibra de hormigon mas traccionada

(1)(2)

(1)+(2)=(n-1)*As

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II.- Comportamiento a flexión

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• Sección fisurada1. Resistencia a tracción del hormigón

= 0

2. Hipótesis bernoulli, secciones planas permanecen planas.

3. Eje neutro=distancia Kd se obtiene con equilibrio de fuerzas

4. Compatibilidad de deformaciones unitarias

5. Equilibrio de fuerzas y momentos

ESTADO DE SERVICIO: ELASTICO

EN AMBOS CASOS ES VALIDA LEY

DE HOOKE, y compatibilidad de

deformaciones.

• Sección NO fisurada1. Resistencia a tracción del hormigón

= = 0.62 √f´c2. Hipótesis bernoulli, secciones

planas permanecen planas.3. Eje neutro=C.G4. Sección de viga= sección

transformada con aporte de acero5. Tensiones en las fibras extremas se

obtiene con Ley de Navier: f=M*y/I

Fc adm= 0.4 f´c (0.33 R28)Fs adm= 0.5 fy (valores aproximados)Ambos casos.

II.- Comportamiento a flexión• EJEMPLO:• VIGA RECTANGULAR 40/70,

HORMIGON H30. ARMADURA DE REFUERZO INFERIOR 3 ф25. d=65 cm.

• Momento aplicado de 10 ton*m.

a) verifique si la tensión de compresión del hormigón es inferior a la a la admisible.

b) En caso que el momento sea de 20 ton*m, verifique nuevamente la tensión en el hormigón, comentar.

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II.- Comportamiento a flexión

• EJEMPLO

A) Para un momento de 10 ton*mt, se verifica si la seccion esta fisurada.

I=1244885 cm4

Yc=36.2 cm

Yt= 38.2 cm.

Fft=M*Yt/I=27.15 kg/cm2<31 kg/cm2 (resistencia a traccion H30)

� Se encuentra NO fisurado.

Luego es valido aplicar navier efectivamente.

Fc=M*Yc/I= 29,1 kg/cm2< 100 kg/cm2 O.K.

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II.- Comportamiento a flexión

• EJEMPLO

B) Para un momento de 20 ton*mt, se verifica si la seccion esta fisurada.

I=1244885 cm4

Yc=36.2 cm

Yt= 38.2 cm.

Fft=M*Yt/I=54.3 kg/cm2>31 kg/cm2 no es valida la ecuacion

� Se encuentra fisurado.

Luego es valido aplicar ecuacion de equilibrio de fuerzas y Momentos..

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II.- Comportamiento a flexión

• EJEMPLOB) fc=2M/(kjbd^2)

• J=1-K/3

• b=40 cm

• d=65 cm.

• N=Es/Ec, Ec=4700 √f´c

K se determina a partir de equlibrio de fuerzas.

½*b*(kd)^2-n*As*(d-kd)=0

20*k^2*65^2-9*14.7*(65-65K)=0

84500k2-8600-8600k=0� k=0.37�j=0.877

fc=2*2000/(0.37*0.877*20*65*65) ton/cm2

fc=145.88 kg/cm2 > 100 kg/cm2� fuera rango elastico

¿Por qué si se duplico el momento, la tension en el hormigon se quintuplico??, las fisuras afectan la inercia del elemento

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II.- Comportamiento a flexión

Hasta ahora se ha analizado el comportamiento de vigas en estado elástico, pero ¿Qué se hace en la practica habitual chilena?, la idea es ofrecer una resistencia de la estructura que sea cercana (y superior) al estado de carga último (cargas mayoradas), en este escenario el comportamiento de l hormigón armado deja de ser elástico, y por tanto se tiene en este escenario las siguiente hipótesis:

1. Secciones planas permanecen planas2. Perfecta adherencia acero-hormigón3. Se desprecia resistencia a tracción del

hormigón4. No es aplicable la ley de Hooke

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ANALISIS INESTASTICO DE VIGAS A FLEXION

FUENTE: NILSON

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II.- Comportamiento a flexión

γ= 0, 85 (Rectangulo de whitney) H60 e

inferiores, hormigones superiores γ= =0.86

β1=0.85, para f´c<= 30 Mpa.

β1= 0.85-0.008(f´c-30), para f´c>30 Mpa

β1= 0.65, para f´c>55 Mpa.

εu= 0.003 en estado ultimo, segunACI 318

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CASO DE VIGAS RECTANGULARES

II.- Comportamiento a flexiónQue significa estado ultimo?

Cuando analizamos las cargas;estado elastico de servicio se considera:

Carga: PP+SC+S, donde PP= peso propio, SC= sobre carga y S= sismoEn estado ultimoCarga: 1.2 PP+1.6 SC; o 1.2 PP+1.0 SC+1.4 S y otras (según Nch 3171 of 2010), hay casos en que incrementar

peso propio da estabilidad a la estructura, tal es el caso de un muro de contencion.

Si se analiza los materiales:Servicio: tensiones admisiblesEstado ultimo (rotura): resistencias ultimas minoradas φ fy por ejemplo.

Deformaciones y tensiones

Servicio: validez ley de HookeEstado ultimo: teoria+ensayos, resultados empiricos.

Lo que se busca es, una falla dúctil es decir que el hormigón se agriete sin romperse, pero que exista suficiente acero de modo que puedan terminar con una gran deformación sin fallar.

La falla frágil por otro lado es poca armadura, que no resisten la carga del hormigón al momento de fisurarse, o lo opuesto demasiada armadura que no permita que el hormigón se fisure y falla por compresión.

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II.- Comportamiento a flexión

EQUILIBRIO DE FUERZAS

C=0.85f´c*b*a=T=fs*As

Al igual como se esta haciendo trabajar el hormigon a la rotura, se hara trabajar el acero a su capacidad, es decir la fluencia ,de este modo fs=fy.

Asi, 0.85*f´c*b*a=As*fy

�a=As*fy/(0.85*f´c*b*a)

Pero como nos aseguramos que el acero se encuentre trabajndoefectivamente a la fluencia??

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II.- Comportamiento a flexión

Hasta la fluencia el acero se comporta en el rango elástico y por tanto es valida la ley de hooke para este material.De este modo, para asegurarnos que el acero se encuentre trabajando en la fluencia, se debe cumplir:

εs>εy=fy/EsPor compatibilidad de deformaciones se tiene;εc/c=εs/(d-c), donde c= posición de línea neutro

Cuando se cumple simultáneamente que ec=0.003, y que se logra εεεεs=εεεεy, se habla de condición de deformación balanceada.

Asi se habla de una cuantia de balance=ρρρρb=As/b*d, tal que la armadura As cumpla con esta condicion.

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II.- Comportamiento a flexión

EQUILIBRIO DE MOMENTO:

Realizando equilibrio de Momento en torno al punto de accion de la fuerza de compresion se tiene:

Mn=T*(d-a/2), Mn= Momento nominal.Ademas conocido As, se tiene T=As*fy (verificando que el acero se

encuentre fluyendo)Asi: Mn=As*fy*(d-a/2).Este momento nominal se debe minorar por coeficientes de reduccion

φ=0.9 para elementos controlados a traccion.El momento soportante por tanto de la seccion sera:Φ∗Μn, este valor es el que se debe comparar con el Momento ultimo.En el caso de cargas estatica Mu=1.2PP+1.6SC por ejemploAsi se debe cumplir por tanto la siguiente relacion: Φ∗ΜΦ∗ΜΦ∗ΜΦ∗Μn >=Mu.

Ver ejemplo en clases: viga 25/65, H30, 3fe25 de refuerzo.

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