Historia del Clculo.

Prof. Vctor Ortega Armenta.

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Historia del Clculo.

Histricamente los conceptos bsicos del Clculo se remontan a los antiguos

matemticos griegos, de los que se sobresali Arqumides (287-212 a.C) hace ms

de 2000 aos. Tambin destacan los trabajos del siglo XVII realizados por Ren

Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1601-1665), John Wallis (1616-1703),

Christian Huygens (1629-1695) e Isaac Barrow (1630-1677). Sin embargo, segn los

ingleses la invencin del Clculo se atribuye a Sir Isaac Newton (1642-1727) y

segn los alemanes se atribuye a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). No

obstante, tanto Newton como Leibniz iniciaron la generalizacin y unificacin de

dichos conceptos matemticos. Trabajaron en forma independiente (en la misma

poca) y mostraron cmo determinar el rea bajo la curva aplicando la

antiderivacin para evaluar una integral definida. Descubrieron el destacado

Teorema Fundamental del Clculo.

El desarrollo del clculo tuvo su auge a la sombra de cuatro problemas sobre los

que estaban trabajando los matemticos europeos del siglo XVII:

1. El problema de la recta tangente.

2. El problema de la velocidad y la aceleracin.

3. El problema de los mximos y mnimos.

4. El problema del rea.

Aunque se haban dado soluciones parciales al problema de la recta tangente

por parte de Pierre de Fermat (1601-1665), Ren Descartes (1596-1650), Christian

Huygens (1629, 1695), Isaac Barrow (1630-1677), la primera solucin general se

suele atribuir a Isaac Newton (1642 - 1727) y a Gottfried Leibniz (1646-1716). El

trabajo de Newton en este problema provena de su inters por la refraccin de

luz en ptica.

Asimismo otros matemticos de los siglos XVII y XVIII intervinieron en el desarrollo

del clculo, algunos de ellos fueron: Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli

(1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783), Joseph L. Lagrange (1736-1813) y Carl

Friedrich Gauss (1777-1885). No obstante fue hasta el siglo XIX cuando se

perfeccionaron los fundamentos de las nociones y de los procesos del Clculo por

matemticos tales como Bernhard Bolzano (1781-1848), Augustin L. Cauchy (1789-

1857), Karl Weierstrauss (1815-1897) y Richard Dedekin (1831-1916).

El Clculo es la matemtica de los cambios velocidad y aceleraciones. Tambin

son objeto del Clculo las rectas tangentes, pendientes, reas, volmenes,

longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que

han hecho capaces a los cientficos, ingenieros y economistas de crear modelos y

resolver problemas en situaciones de la vida real.

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Aunque las matemticas previas al Clculo tambin tratan las velocidades,

aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., existe una diferencia

fundamental entre ellas y el Clculo. Mientras que las primeras son estticas, el

Clculo es ms dinmico. He aqu algunos ejemplos.

Las matemticas previas al Clculo permiten:

Describir un objeto que se mueve con velocidad constante.

Describir la pendiente de una recta.

Describir una recta tangente a un crculo.

Describir el rea de un rectngulo.

Sin embargo, es necesario recurrir al Clculo para:

Describir la velocidad de un objeto que se mueve aceleradamente.

Describir la pendiente de una curva.

Describir una recta tangente a una grfica.

Describir el rea bajo una curva.

Muchos problemas de clculo dependen de la determinacin de la recta

tangente a la grfica de una funcin en un punto especfico de su grfica. Qu

significa decir que una recta es tangente a una curva en un punto? Para un

crculo, la recta tangente en un punto P es la recta perpendicular al radio que

pasa por P como se indica en la figura 2.1. Sin embargo, para una curva general,

el problema es ms difcil, como se puede observar en la figura 2.2.

La recta normal a una grfica en un punto dado es la recta perpendicular a la

recta tangente en ese punto. La figura 6 muestra la parbola y la recta tangente

en (2, 3). La figura 7 muestra la parbola y la recta normal en (2, 3)

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Dos conceptos fundamentales en Clculo son la diferenciacin y la integracin.

Estas operaciones implican la determinacin de la derivada y la integral definida,

cada una con base en la nocin de lmite, probablemente el concepto ms

imprescindible en clculo.

La integracin, tambin conocida como antiderivada o primitiva de una funcin,

es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las

antiderivadas de una funcin dada. El smbolo representa a la letra S y fue

introducido por Leibniz.

Definicin formal de integral. Una funcin F es una antiderivada o primitiva de una

funcin f en un intervalo si = () para todo valor de en .

Familia de Primitivas. Si F es una primitiva de en un intervalo , entonces es es

una primitiva de en si y slo si es de la forma:

= + para todo en

La solucin general de la antiderivada de una funcin f se denota por:

= + donde:

= Integrando o funcin a integrar

= Variable de integracin

+ = Es el conjunto de todas las funciones

cuyas diferenciales son , o bien el conjunto

de todas las funciones cuya derivada es

= Constante de integracin

De ah que la antiderivacin es la operacin para determinar el conjunto de

todas las funciones que tienen una derivada dada.

= + La integracin es la inversa de la derivacin

= La derivacin es la inversa de la integracin

Como la antiderivacin y derivacin son operaciones inversas, los teoremas de

antiderivacin (integracin) se obtienen a partir de los teoremas o frmulas de

diferenciacin.