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Portal de problemas de matemáticas : cálculo diferencial e integral I : global: evaluaciones : / EGlobal: evaluaciones
Portal de Problemas de Matemáticas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 Global : evaluaciones Este material fue aprobado para su publicación por el Consejo Editorial de la División de Ciencias Basicas e Ingeniería de la Unidad Azcapotzalco de la UAM, en su sesión del día Ot de marzo del 2005.
1/(¿1t </3C, C- /3 2,j 7 2J' ¡(,,?
Portal de Problemas de Matemáticas
LálcUIO Diferencial e Integral I
Global: evaluaciones
Manuel Meda Vidal Carlos Antonio Ulín Jiménez
2892868
Universidad htólllla HeLro,ulitm
SECRETARIA Dra. Sylvie Jeanne Turpin Marioo
DIRECI'OR DE~LA DIVISiÓN DE CIENCIAS BÁSICAS Mtro. José Angel Rocha Martíoez
JEFE Da DEPARTAMENlO DE CIENCIAS BÁSICAS Dr. Juan Manuel Velázquez Arcos
COORDINADORA GENERAL DE DESARROLLO ACADÉMICO Dra. Alicia Chacalo Hilu
COORDlNADOR DE EXTENSIÓN UNIVERSITARJA DI Jorge Armando Morales Aceves
JEFA DE LA SB:CIÓN DE PRODUCCiÓN Y DISTRIBUCiÓN EDl10RlALES DCa Silvia Guzmán Bofill
UAM-4zcapo1zalco o M. en C. Ernesto Javier Espinosa Herrera
Dr. Ignacio Canals Navarrete M. en C. Manuel Meda Vidal Dr. Carlos Antonio UUo Jiménez
e Departamento de Ciencias Básicas División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Captura de dalos; Jorge Ulises Ramírez Guerrero Diseño de ponada: Lucila Montoya Garcfa Portada: Modesto Serrano Rarnírez Cuidado editorial: Concepción Asuar
Sección de producción y distribuci.ón editoriales Te!. 5318-9222/ 9223 Fax 5318-9222
Universidad Autónoma Metropoli.tana Unidad Azcapotzalco Av. San Pablo 180 Col . Reynosa Tamaulipas Delegación Azcapotzalco c.P. 02200 Mé~co, D.F.
Número de registro de obra
ISBN de la colección: 970~31·0372·3
ISBN del volumen: 970·3 1 ·0489~4
Primera edición, 2005
Impreso en México
•
Global, evaluación 3 25
Global. evaluación 6 53
Global , evaluación 11 113
G lobal, evaluación 24 279
VII
Prefacio
El material de este trabajo es parte de un Proyecto aprobado por el Consejo Divisional de la Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Azcapotzalco, con
el nombre de Material de Apoyo para los Cursos de Cálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones
Diferenciales. Portal de Problemas. El material completo del Proyecto, desarrollado por los autores del
presente Cuaderno, se encuentra en línea, en la dirección http:\\canek.azc.uam.rnx.
El Proyecto, hoy conocido como Canek, nace con el objetivo de proporcionar , a los alumnos de Ciencias
Básicas e Ingeniería, la solución y el desarrollo detallado de Evaluaciones Departamentales de las
Unidades de Enseñanza - Aprendizaje (UUEEAA), del Tronco Básico de las carreras de Ingeniería, aplicadas
por el Departamento de Ciencias Básicas, en fechas anteriores.
En este Cuaderno, el lector encontrará Evaluaciones del Global de la UEA Cálculo Diferencial e Integral 1; en
otros cuadernos, se irán publicando diferentes partes del material disponible en la red.
IX
Global, evaluación 1
(A) Primer parcial
1. Una compañía que fabrica escritorios los vende a $200 cada uno. Si se fabrican y venden x escritorios cada semana, el gasto total por la producción y la venta (semanal) viene dado por la función:
G(x) = X2 + 40x + 1500,
¿Cuántos escritorios se deben fabricar semanalmente para que haya ganancia?
.. Al vender x escritorios a $200 cada uno, se obtiene un ingreso semanal de
J(x) = 200x .
La ganancia o la pérdida que se tenga semanalmente, depende de la diferencia (D) entre 1 & G
D(x) = J(x) - G(x) = 200x - (x 2 + 40x + 1500) =
= 200x - x2 - 40x - 1500 = _x2 + 160x - 1500.
Si D(x) > O, entonoes hay ganancias; si D(x) < O, hay pérdidas y si D(x) = O, entonces no hay ganancias ni pérdidas.
D(x) > O <* _x2 + 160x - 1500 > O <o> (-1)( _x2 + 160x - 1 500) < O <*
<* x2 - 160x + 1 500 < O <o> (x - lO)(x - 150) < O.
Desigualdad que se cumple cuando
x-lO < O & x-ISO> O o bien x-lO > O & x- ISO < O; x < 10 & x > 150 o bien x > 10 & x < 150;
x no existe o bien 10 < x < 150.
Es decir, D(x) > O cuando 10 < x < 150.
Esto es, hay ganancia cuando el total x de escritorios fabricados está entre 10 y 150.
2. Dadas las funciones f(t) = Jt=1T & g(u) = )2u - ! ),
obtener: (J o g)(x), (g o J)(x) y los dominios de las funciones f o 9 & 9 o f .
,. Para las funciones f(t) = Jt=1T & g(u) = )2u - 1) se tienen:
(J o g)(x) = f[g(x)) = f( )2x - 1)) = V)2x - 1) - 11 .
1
o
y su dominio es:
y su dominio es:
D ,og = {x 1 x E Dg & g(x) E D, } =
= { x 1!2x - 1! E IR & v''''!2,-x-----:1'"""'!----;1-:-1 E IR } =
={XIXE IR & !2x - 1! - 1l ~0 } ={xl!2x - 1! ~ 1l} =
= {x 12x -1 ~ - 11 o bien 2x - 1 ~ 11} =
= { x 12x ~ - 10 o bien 2x ~ 12 } = {x 1 x ~ -5 o bien x ~ 6 } =
= (-00, - 51 U [6, +00) = IR - (-5,6).
(g o f)(x) = g[!(x)1 = !2f(x) - 1 1 = 12v'x - 11 - 11 .
Dgol = {x 1 x E D, & f (x) E Dg } =
= {x 1 v'x - 11 E IR & 12v'x - 11 - 11 E R } =
= { x 1 v'x - 11 E IR } = { x 1 x - 11 ~ O} = { x 1 x ~ 11 } =
= [11 ,+00).
o
3. Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadradas para almacenar 12000 pies3 de agua. El concreto para construir la base y los lados tiene un costo de $100.00 por pies2 y el material para construir la tapa cuesta $200.00 por pies2.
Obtenga el costo de la construcción de la cisterna en función de la longitud x del lado de la base cuadrada.
~ Veamos el correspondiente dibujo:
" . ,0/"
x x
x2pies2 (x en pies) y su costo es entonces 200x2 pesos.
El costo de la base es 100x2 pesos.
El área de las cuatro caras laterales es 4xh pies2, y el costo 400xh pesos; pero, x & h están relacionados pues el volumen de la cisterna, 12000 pies3 , es igual al área de la base X2 por la altura h:
v = 12000 = x 2h ,
X2 '
y por último, el costo de la construcción como función de x es
C() 200 2 100 2 00 12000 300 2 4800000 x= x+ x+4 x--2-= x+ . x x
4. Determinar dominio, raíces, un esbozo de la gráfica de la función y su rango.
¡(X) = {2 - I X+3 1 1 + 2x - x2
y Si x > -3, entonces x + 3 > O, por lo que
Su dominio: DI = (-3,+00).
¡(x) = {2 - (x +3) 1 + 2x - X2
{ - x - 1
si - 3 < x < 1;
si x 2 1.
si - 3 < x < 1;
si x 2 l .
Raíces: Como -x - 1 = O ~ x = - 1 es una raíz de ¡ y como
- 2 ± ';4 + 4 2V2 1 + 2x - X2 = O ~ x = = 1 ± - - = 1 ± V2 ,
- 2 2
las raíces son x = - 1 & x = 1 + V2. Un esbozo de la gráfica de la función ¡(x):
f(x)
----------------- 2
- 2
3
o
x
Entonces _x2 + 2x + 1 = _(X2 - 2x + 1) + 2 = -(x - 1)2 + 2 ~ Y = _x2 + 2x + 1 es una parábola de vértice (1,2) que dirige su concavidad hacia abajo y tiene rango IR I = (-00, 2J.
o
(B) Segundo parcial
. x2 +4x+3 l. Para la función f(x) = x2 _ X _ 2 ' determinar:
(a) Dominio, raíces e intervalos de continuidad ~ Dominio:
D, = lR - {x E lR I X2 - X - 2 = O} ,
pero
X2 - X - 2 = (x - 2)(x + 1) = O <* x = -1 o bien x = 2,
luego entonces,
Para calcular las raíces, vemos que:
X2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1) = O <* x = -1 o bien x = -3,
pero, como -1 '1- D" x = -3 es la única raíz de f(x).
La función f(x) es continua en su dominio: (-oo,-1)U(-1,2)U(2,oo).
(b) Discontinuidades y su clasificación ,. Ahora:
(x + l)(x + 3) x + 3 .. f(x) = ( )( 2) = --2' en su domInIO; x+1 x- x-
lím f(x) = lím x + 3 = ~ = _~; % __ 1 z __ l X - 2 -3 3
o
2 luego, en x = - 1 la función tiene una discontinuidad removible, ya que si definimos f( - l) = -3 ' f(x)
resultaría continua en - l.
x_2±
en x = 2, la función tiene una discontinuidad infinita. o
(c) Asíntotas verticales y horizontales y Por lo anterior I inferimos que x = 2 es la única asíntota vertical de la función. Para obtener las horizontales, calculemos
,x+3 1+1 1+0 1 Um f(x) = tim -- = !lm __ x = -- = - = l'
z_±oo x- o±oo X - 2 x_±oo 1 - 1 1 - O 1 ' x
obtenemos que y = 1 es asíntota horizontal.
o
(d) Un esbozo de la gráfica ~ Ésta es la gráfica de la función ¡(x):
f (xl
-------------------- 1 --------+0------------------. - 1 '
- 3 - 2/3 2
2. Calcular el límite siguiente: lím(_l __ 3 ) x---tl x - 1 x3 - 1 .
~ Un poco de álgebra
Luego
1 3 X2 + X + 1 - 3 X2 + X - 2 x-l-x3 -1 = = = x3 -l x 3 -1
(x - l)(x + 2) x + 2 . = (x -1)(x2 + X + 1) = x2 + X + 1 SI x'" 1.
]' (1 3)]' x+2 zt.!!1 x - 1 - x3 - 1 = z~ x2 + X + 1 3
=3= 1.
3. Calcular el límite siguiente: lím (v' x2 + 2x + 6 + x). %-0-00
~ Racionalizando,
x
X2 + 2x + 6 - x2 2x + 6 '¡x2 +2x+6+x= = r==~~=~- =
v'x2+2x+6-x (2 6) 2x +6
= ---¡======7~ Ixl /1+ ~+ ~ - x V X x2
si x < O, como va a ser el caso, entonces
X2 1 + - + - - x X X2
2x+6
por lo que
6 -2 - - -2 - O 2
lím (v'X2 +2X+6+X)= lím x =--=--=-l. z~- co z~-co J 2 6 1 + 1 2
1+-+-+1 X x2
o
4. Trace la gráfica de una función f que tenga una discontinuidad removible en x = -2 Y que además satisfaga todas las condiciones siguientes:
f(O) = 3; lím f(x) = 2;
x_3 -
%_3+
%--0-00 x~co
~ Una posible gráfica de la función f(x) que satisfaga todas esas condiciones es:
f(x )
3
2 -------- - -----------------
x - 2
En nuestra gráfica vemos que f( -2) = 2, pero lím f(x) = lím f(x) = O. % __ 2- x--t-2+
{
X + 1 si x < li f (x) = ax2 + b si 1 ::; x < 2;
3x six2::2, •
o
~ Claramente la función es continua en (-00, 1) , [1, 2) yen [2, +00), por lo que necesitamos comprobar que sea continua en x = 1 yen x = 2. Para ello se tiene que cumplir que
lím f(x) = lím f(x) = a + b, que es f(l) %_1 - 3:_1+
y que lím f(x ) = lím f(x) = 6, que es f(2) .
%_2- x_2-+
De aquí tenemos que 2 = a + b, de la primera condición,
y que 4a + b = 6, de la segunda condición.
Esto es, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para hallar a & b.
{ a+b=2;
4a + b=6.
7
Restando la primer: de !a_~gun~a tenemos que 3a = 4; entonces, a = ~ & b = 2 - a, de la primera ecuación,
por lo que b = 2 - - = -- = -. 3 3 3
o
(C) Tercer parcial
1. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva x'y - y3 = 8, en el punto (-3,1) .
... Efectivamente, el punto (-3, 1) pertenece a la curva, pues sus coordcnad. 8.l::i x = - 3 & y = 1 satisfacen la ecuación, ya que (-3)' x 1 - 13 = 9 x 1 - 1 = 9 - 1 = 8.
Para calcular la pendiente de la recta tangente, derivemos implícitamente la ecuación, donde estamos suponiendo que y es una función derivable de x . Tenemos
2xy + x2y' - 3y2y' = 0 ,*
'* y'(x2 _ 3y2) = - 2xy '* , 2xy
,*y=32 2' Y -x
Esto es, para cualquier punto de la curva donde 3y2 - X2 # O; en particular en el punto (-3, 1), tenemos que la pendiente es
, 2(- 3)1 - 6 - 6 Y (-3, 1)= 3(1)2_(-3)2 = 3-9 = -6 = 1
Y que la ecuación de la tangente es
y - 1 = l(x + 3) '* Y = x + 3 + 1 '* Y = x + 4.
2. Para la función f(x) = (X2 - 4)3 determine:
(a) Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. Los extremos relativos
" Calculemos: I'(x) = 3(x2 - 4)22x = 6x(x + 2)2(x _ 2)2 .
Los puntos críticos están en x = -2, O Y en 2. f'(x) > O si x > O( x # 2), luego f (x) es creciente en [0,2J Y en [2, +00); f '(x) < O si x < O( x # -2)' luego f(x ) es decreciente en (-00 , - 2J Y en [- 2,OJ.
o
Entonces el único extremo relativo es (O, - 64), donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente; luego, es un mínimo.
o
8 Cálculo Diferencial e Integral I
(b) Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo. Los puntos de inflexión ~ Calculemos la derivada de ¡'(x) = 6x(x2 _ 4)2:
J"(x) = 6(x2 - 4)2 + 6x X 2(x2 - 4) x 2x = 6(x2 - 4)(x2 - 4 + 4x2) =
= 6(x2 - 4)(5x2 - 4) = 6(x + 2)(x - 2)( V5x + 2)( V5x - 2) .
La segunda derivada se hace O en ±2 yen ± ~ '" 0.89, Y su signo está dado en la tabla siguiente:
Intervalo x+2 V5x+2 V5x - 2 x-2 J"(x) I (x) es cóncava hacia
x < -2 « -fs < fs < 2) - - - - + arriba
- 2 < x < -fs « fs < 2) + - - - - abajo
(-2 <) - 7s < x < 10 < 2 + + - - + arriba
( -2 < -fs < fs <) 2 < x + + + + + arriba
y nada más, pues la función es par.
Vemos entonces que en (~, 2) la función es cóncava hacia abajo y que en (2 , +00) lo es hacia arriba y
que los puntos (±2, O) & (± ~, ~~~3) '" (±0.89, - 32.77) son de inflexión.
Tenemos además 1(0) = - 64 & 1(±4) = 1728.
(c) La gráfica
- 4 I ,
3. A partir de la gráfica que vemos a continuación, cuyo dominio es [-0.5,00),
flx )
-1
determine:
5
4 ------------ -----
3
1
6
" La función J(x) es creciente en [-0.5, 0J, [1, 3J, [4,5] yen [6,+00); la función J(x) es decreciente en [0,1], [3, 4] Y en [5,6].
(b) Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo " La función J(x) es cóncava hacia arriba en [0.5,2] yen [3.5 , 4.5];
x
la función J(x ) es cóncava hacia abajo en [-0.5,0.5], [2, 3.5] , [4.5, 6] y en [6, +00).
(e) Los máximos y mínimos relativos, los máximos y mínimos absolutos y los puntos de inflexión " Los máximos relativos son (0, 2), (3, 4) Y (5,3). Los mínimos relativos son (-0.5, 1), (1, O), (4,2) Y (6,1). No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto es (1, O).
D
D
Los puntos de inflexión son (0.5,1), (2,2), (3.5, 3) & (4.5, 2.5). D
9
4. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. (Por consiguiente, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo.) Si el perímetro de la ventana es de 30 cm solamente, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz.
" Usaremos el dibujo siguiente:
Queremos que el área de la ventana
sea máxima.
2 4
rr p = x + 2y + "2x = 30,
luego
30 - (1+ ~)x 2+rr y = = 15 - --x,
2 4 Y el área queda, como función de la única variable XI
A(x) = 15 - --x x + -x = 15x - --x + -x = ( 2+rr) rr 2 2 + rr 2 rr 2
4 8 4 8
8 8
cuyos puntos críticos los calculamos igualando a cero la derivada:
, rr + 4 15 x 4 60 A (x) = 15 - -4-x = O <* x = rr + 4 = rr + 4·
Como A "(x) = - rr; 4 < O, se t rata de un máximo y como
x entonces y = "2.
2 + rr 60 15(rr + 2) 15rr + 60 - 15rr - 30 30 Y = 15 - - 4- rr + 4 = 15 - rr + 4 = rr + 4 = rr + 4 '
o
(A) Primer parcial
1. Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 15 mis desde el borde de un acantilado a 135 m arriba del suelo. La altura de la pelota como función del tiempo está dada por
(a) ¿Cuándo choca contra el suelo?
,. Tenemos que hallar t tal que
s(t) = _5t2 + 15t + 135.
- 51' + 15t + 135 = O o bien - 5(t2 - 3t - 27) = o.
Esto es, resolver la ecuación
2 3 ± )9 + 108 3 ± JIT7 t - 3t - 27 = O '* t = 2 = 2 .
Como no debemos considerar tiempos negativos, pues el experimento se inicia para t = 0, la pelota llega al suelo cuando
t = 3 + JIT7 '" 6.9083269. 2
(b) Determinar el dominio de la función s(t)
" Dominio:
pues al llegar al suelo cesa el experimento.
(e) ¿Para qué valores de t la pelota se encuentra a menos de 45 m del suelo? ,. Cuando
-5t2 + 15t + 135 :5 45 '* _ 5t2 + 15t + 90:5 O '* 5t2 -15t - 90 ~ O '* '* 5(t2
- 3t - 18) ~ O '* t 2 - 3t - 18 = (t + 3)(t - 6) ~ o.
Esta desigualdad de cumple si:
t + 3 ~ O & t - 6 ~ O o bien
t ~ -3 & t ~ 6 o bien
tE [6,(0) o bien
t :5 - 3 & t :5 6;
tE (-00, - 3).
12 Cálculo Diferencial e Integral 1
Entonces, la pelota estará a menos de 45 m del suelo si
[ 3 + V117] t E 6, 2 "" [6,6.9083269J.
2. Sean f(x) = ";2x + 3 & ( ) _ 2X2 - 18
9 x - 2 . x -1 Determinar:
(a) Dominio y raíces de f(x) y de g(x)
.. Tenemos, primero los dominios:
DI = {X E IR 12x+3 ~ 0} = {XE IR Ix~ -n = [-~ , ool; Dg = {x E IR Ix2-1 iO} = {X E IR I(x+l)(x-l) iO} = IR - {±l}.
La raíz de f(x) es x = -~.
Las raíces de g(x) son las x tales que
2x2 - 18 = O '* 2x2 = 18 '* x2 = 9 '* 1 x 1 = 3 '* x = ±3.
(b) (gof)(x) ysu dominio '1' Calculamos
El dominio:
3. Sean
2( ";2x + 3)2 - 18 (g o f)(x) = gl/(x)J = g( ";2x + 3) = (y'2x+3)2 _ 1 =
2(2x + 3) - 18 4x - 12 2x - 6 = = --
2x+3 - 1 2x+2 x+l
D(gof) = {x E DI I f(x) E Dg} = { x E [-~, 00) 1";2X + 3 i ±1 } ,
";2x + 3 i ±l '* 2x + 3 i 1 '* 2x i - 2 '* x i -1 ,
D(gof) = [- ~,oo) - { - 1} .
& g(x) = 2f(x + 1) - 2, 13x-4[ si x >-1
determinar dominio, raíces, paridad, esbozo gráfico y rango de f(x) y de g(x) .
'1' Dominio: DI = IR = Dg.
Raíz de f(x) es cuando 13x - 41 = O únicamente, pues va=x = O sólo si x = 3, pero 3 > - 1.
o
o
o
Luego, la única raíz real de f (x) es x = ~.
Las rafees de g(x) son los x tales que
g(x) = 2f(x + 1) - 2 = O=> 2f(x + 1) = 2 => f(x + 1) = 1 =>
=> "'3 - x = 1 si 3 - x = 1 ~ x = 2, pero 2 i - 1 .
Luego f(x) = 1 solamente si
13x - 41 = 1 ~ 3x - 4 = ± 1 ~ 3x = 4 ± 1 ~ 3x = { ~ 5 ~x =- &x = l.
3
13
y como f(x + 1) se obtiene a partir de f(x) desplazándose a la izquierda una unidad, los ceros de g(x) son
O(= I-I)&H=~ - I) Paridad: ninguna de las dos son pares ni impares, por ejemplo:
La gráfica de f (x) es
El rango de f(x): RJ = [O, oc).
f(-I ) = y'3 - (-1) = v'3+1 = \1'4 = 2;
f (l ) = 13 x 1 - 41 = 13 - 4 1 = 1-1 1 = 1 ;
g(-I) = 2f(0) - 2 = 2 x 4 - 2 =8- 2 = 6 ;
g(l) = 2f(2) - 2 = 2 x 2 - 2 = 4 - 2 = 2.
f (x)
x
Como g(x) = 2f(x + 1) - 2 = 2[J(x + 1) - 11, hay que trasladar a la gráfica de f( x) una unidad a la izquierda, otra unidad hacia abajo y después dilatarla multiplicando el resultado por 2.
De hecho
g(-7) = 4 ,
g( -2±) = {
12
2 ,
g(-I) = 6, g(0) = O,g G) = -2 ,g G) = 0 ,g(2) = 8.
La gráfica de g(x):
x - 7 - 2 - 1 2 3
Rango de g(x): Rg = [- 2,00) . o
4. Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 45 CID, exprese su área (A) como función del ancho x de la misma.
" Primero un dibujo de la ventana:
x/2
y
x
x El área A es la suma del área del rectángulo más la del semicírculo que tiene radio '2' es decir,
x21 1f A = xy + 1f-- = xy + _x2 .
4 2 8
y así
y de aquí que
( 71") 45 ( 71") X 2y = 45 - 1 + 2 x => y = 2 - 1 + 2 2'
Luego, sustituyendo este valor, nos queda A como función sólo de x :
[ ( 71") xl 71" 2 (71" 1 71") 2 A = x 22.5 - 1 + 2 2 + 8'x = 22 .5x + 8' - 2 - ¡ x =
( 1 71") 2 = 22.5x - 2 + 8' x .
o
(B) Segundo parcial
{
f(x} = a six =- I ;
" La función en - 1 tiene que cumplir:
lím f(x} = f(-I} . x __ l
y de aquí:
Pero, como
lím f(x} = b + 1 , % __ 1+
y como
f(-I}=a,
entonces, para que exista límite en - 1. - 5 = b + 1 => b = - 6,
y para que la función sea continua en - 1: a = -5.
o
2. Calcular el siguiente límite lím 2x - .'Ii-12x + 40 x_. 3x + x - 14
" Racionalizando el numerador tenemos:
2x-V-12x+40 4x'-(-12x+40) = =
4x' + 12x - 40 4(x' + 3x - 10) = =
(3x + 7)(x - 2)(2x + V-12x + 40) (3x + 7)(x - 2)(2x + V - 12x + 40) 4(x + 5)(x - 2) 4(x + 5)
= = I
(3x + 7)(x - 2)(2x + V - 12x + 40) (3x + 7)(2x + V-12x + 40)
si x '" 2, para que x - 2 '" O.
Aquí vemos que
6 6 6
Por lo que
3x' + x - 14 = 3 (x' + ~x - ~4) = 3 (x + D (x - 2) = (3x + 7)(x - 2) .
Por último
1 , 2x - 'Ii- 12x + 40 l' 4(x + 5) 1m = 1m
.-. 3x' + x - 14 .-. (3x + 7)(2x + J -12x + 40) 4x7 7
= 13 x 8 = 26
f ( x )
x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 3 • 5 6
o
T ¡(x) tiene una discontinuidad removible en x = -4;
¡(x) es discontinua en x = 2, donde tiene una discontinuidad infinita.
(b) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y las ecuaciones de las asíntotas horiwntales .. x = 2 es la única asíntota vertical & y = O, la única asíntota horizontal.
17
o
o
4. La ley de Newton de la gravitación afirma que la magnitud F de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre otro de masa M es
F_ GmM - r 2
donde G es la constante gravitacional y T es la distancia entre los cuerpos.
(a) Si los cuerpos se están moviendo, encuentre dF! la razón de cambio instantánea de la fuerza F cuando dr
cambia la distancia T entre los cuerpos. T Calculamos:
GmM GmM dF , (r + h)2 - ---;:o- , [r2 - (r + h)2 ] dr = ~~ h = GmM l~ hr2(r + h)2 =
[ -~h-~] [ -~-h] = GmM lím h 2( h)2 = GmM lím 2( h)2 = h_O T T + h_O r T +
= GmM [ ~~r ] = 2G;;M
o (b) Suponga que se sabe que la Tierra atrae a un objeto con una fuerza que disminuye a razón de 2 N/ km ,
cuando r = 20000 km. ¿Con qué rapidC2 cambia esa fuerza cuando r = 10 000 km?
T Por un lado tenemos
y por otro
dFI = dr r=20000
2GmM 3 (20000)' = - 2 =? GmM = (20000) ;
dFI = -2 x (200~)3 = -2 X 23 = - 16 N/km . dr r=IOOOO (10000)
o
18
X2 -1 ¡(x) = -3-'
X
Raíces: x = ±l, que son las raíces de X2 - 1 = O. Es impar, pues
Cálculo Diferencial e Integra! I
¡( -x) = (_x)2 - 1 = X2 - 1 = _ x2 -1 = _ ¡(x). (-x)3 _ x3 x3
(b) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales ... x = O es asíntota vertical pues
lím ¡(x) = :¡:oo; x-tO±
¡¡m ¡(x) = Hm (~-!,) = 0 . :c-±oo z--o±oo x x
(e) Discontinuidades y su clasificación
o
o
,. ¡(x) es una función racional y por lo tanto es continua en su dominio. En x = O la discontinuidad es infinita por lo visto en lo anterior.
o (d) Esbow gráfico y rango
,. Ésta es la gráfica de la función ¡ (x):
f (x)
o
(e) Tercer parcial
1. Dos automóviles empiezan a moverse a partir del mismo punto con velocidad constante. Uno viaja hacia el sur a 60 km/ h y el otro hacia a! oeste a 25 km/ h ¿Con qué razón aumenta la distancia entre los dos automóviles dos horas más tarde?
o 25 km/ h
s
El espado que recorre el autómovil que va hacia el sur (en km) es 60t con t en horas y el del otro automóvil es 25 t, por lo que, por el teorema de Pitágoras, la distancia entre ambos automóviles es
d(t) = }(60t)2 + (25t)2 = }3600t2 + 625t2 = v'4225t = 65t km,
entonces,
y en particular
d d d(t)! = d'(t)lt=2 = 65 km/ h. t t=2
o
donde la recta tangente es horizontal.
'f Suponiendo que la curva es la gráfica de una función derivable y = ¡(x) , la cual está definida implícitamente, su derivada está dada por
2xy2 + 2x2yy' + y + xy' = O =}
=} (2x2y + x)y' = _(2xy2 + y) =}
2x2y + X '
1 y' = O si Y = O o bien 2xy + 1 = O <* Y = --, x", O.
2x
Ahora bien, y = O no corta a la curva dada pues no existe x tal que x2 x 02 + X X O = 2.
Veamos ahora si hay puntos de la curva tales que y = _...!:.. ; resolviendo el sistema: 2x
{ :2~2_+~y = 2;
y sustituyendo el valor de y = -~ en la primera ecuación (la que determina a la curva) , tenemos que 2x
~ + x (-~) = 2 ~ ~ - ~ = 2. 4x' 2x 4 2
Lo cual es absurdo, por lo que tal curva no tiene tangente horizontal.
Este resultado lo podemos comprobar pues podemos hallar explícitamente la función y = ¡(x).
Despejando y de la ecuación
2 2 - x ± v'X2 + 8X2 - x ± 3x {!. = x- 1
(x ¡f O) x y +xy - 2=0~y = = = x 2 2x2 2X2 __ = _ 2X-l .
X
Entonces la derivada de cada una de las funciones y = x- 1 & y = -2x- 1, respectivamente, 1 2 Yí = _x-2 = -2 & Y2 = 2 nunca es O, por lo que no tienen tangentes horizontales.
x x
, , ,
2
determine el conjunto de puntos del dominio de ¡ que satisfacen:
(a) ¡ '(x) > O, ¡'(x) < O, f'(x) = O
T ¡'(x) > O para x E (-2,-1) U (1,2);
3
f'(x) <Osi x E (- 00, - 4)U(-4,-3) U (- 3, - 2) U (- 1,1)U(2,+00); ¡'(x) =Osi x= - 3,-1 o bien 1.
(b) f"(x) > O, f"(x) < O, f"(x) = O
T f" > O si x E (- 00, -4) U (-4, - 3) U (O, 2) U (2, +00) ; f" < O si x E (-3, - 2) U (- 2, O) ; ¡" = O si x = - 3 o bien x = o.
4 5 x
(e) ¡'(x) " En x = -4, -2 & 2 no existe la derivada.
4. Para la función ¡(x) = X2 ; 1, determine: x
(a) Dominio, raíces y paridad
" Dominio: DI = IR - {O} . Raíces: x = ±1 .
La funci6n es impar.
" Veamos el signo de la derivada de f(x):
, 2x' - 3x2(x2 - 1) 2x2 - 3x2 + 3 f (x) = x6 = x, =
3 x2 = ~ > O.,. x2 < 3 .,. Ixl < v'3.,. - J3 < x < J3 con (x i' O).
x
Luego, ¡(x) es creciente en (- J3,0) yen (0,J3). 3 - x2
f'(x) < O.,. --.- < O.,. 3-x2 < O.,. X2 > 3 "'Ixl > 3.,. x > J3 o bien x < - v'3. x
Entonces, f(x) es decreciente en (-00, -v'3) yen (v'3, +00).
(e) Intervalos de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo; puntos de inflexión
" Calculemos la segunda derivada de f(x)
f" = [J'J' = e :.x 2
) , = -2x' - ~83(3 - x2) = _2x 2 -x~2 + 4x
2 2x
Ix l> V6&x>O x> V6
o bien
o bien
o bien
o bien
En ese intervalo, f(x) es cóncava hacia arriba.
y ¡(x) será cóncava hacia abajo en (-00, - Vii) yen (O, Vii).
2x2 - 12 < O & x, < O;
X2 < 6 & x < O;
Ixl < V6 & x < O;
- V6 < x < O;
Los puntos de inflexión está.n donde f"(x) = O, como observamos en
2x2 - 12 = O .,. x2 = 6 .,. x = ±V6,
pues en ellos la segunda derivada cambia de signo y además la función es continua.
(d) Ecuaciones de las asíntotas verticales y de las asíntotas horizontales
" x = O es asíntota vertical & y = O es asíntota horizontal.
(e) Máximos y mínimos relativos y absolutos T Los puntos críticos están donde
¡' = O ~ X2 = 3 ~ Ix l = J3 ~ X = ±v'3.
21
o
o
o
o
o
En x = - v'3 hay un mínimo relativo pues f(x) pasa de ser decreciente a ser creciente. En x = v'3 hay un máximo relativo ya que f(x ) pasa de ser creciente a decreciente. Debido a que lím f(x) = ::¡:oc, la función no tiene valores extremos absolutos.
z _ o±
,. Calculamos los siguientes valores
±v3 3' 5 5
La gráfica de la función f(x) es:
f (x)
o
o
5. Se va a construir un recipiente cilíndrico con capacidad de 2 litros. La superficie lateral será de cartón con base y tapa de metal. Si el cartón cuesta 2 pesos por metro cuadrado y la superficie metálica cuesta 5 pesos por metro cuadrado, calcular las dimensiones del cilindro que minimicen el costo del material de éste.
,. Veamos el correspondiente dibujo:
Puesto que el volumen (V) es 2 litros, consideramos entonces que el V = 21 = 2 dm3 .
Sabemos que el volumen del cilindro es el área de la base, 7T7,2, por la altura h; para r y h en decímetros.
V = 2 = 7f,.2h.
El costo de la superficie lateral será (27fTh) 2 Y el de la superficie metálica, (27fr2)5 por lo que el costo total es:
C = 47fr" + 107fT2 ;
2 pero como h = -2
' entonces podemos expresar el costo como función de la variable T:
1fT
rrT
8 201fr3 - 8 . C'(T) = - 2 + 207fT = 2 = O <* 207fr.l - 8 = O <*
r r
v2 x 25 _ ,,(50. -rr-- - V-; '
Éstos son los valores que corresponden al costo mínimo del material : el punto crítico l' =
puesto que C"(r) = l~ + 201f > O para T > O. r
{i;2 ,. - es Inmuno 57f
(A) Primer parcial
,. La desigualdad es equivalente a
_x __ ~>0 ,* 4x-x+1 3x+1 x - 1 4 4(x - 1) >0,* 4(x- 1) > 0,
Ésta se cumple si
3x + 1 > O & 4(x - 1) > O o bien 3x + 1 < O & 4(x - 1) < O;
3x >-1
&x>1 o bien
1 & x < 1; x <--
3 1
x < - 3'
2, Dibuje la región (si la hay) definida por el siguiente sistema de desigualdades:
{ 4 :5 x' + y' :5 9;
Ix+yl :5 1.
o
,. Observemos que 4 :5 x' + y' :5 9 *" 2 :5 y'x' + y' :5 3 Y que la distancia de un punto P(x, y) al origen O (O, O) es precisamente d = y'(x _. O)' + (y _. 0)2 = y'x2 + y2; luego, los puntos que satisfacen esa desigualdad son los de la corona circular determinada por las circunferencias con centro en el origen y radios 2 y 3.
La desigualdad Ix + y I :5 1 equivale al sistema de desigualdades - 1 :5 x + y :5 1 Y éste al - x - 1 :5 y :5 -x + 1; luego, los puntos que satisfacen a la desigualdad original son los que están "abajo" de la recta y = -x + 1 Y "encimall de la recta y = -x - 1.
25
En resumidas cuentas la región definida por el sistema de desigualdades propuestas es la que corresponde a la siguiente figura:
3. Considere las funciones
{
x
El dominio, la gráfica y el rango de la función definida por
f(x) = sgn(x) + xU(x) .
{
si x > O. {
- l six<O;
o
f(x )
2
1
El rango: R, = {-I,O}U(I ,+oo).
4. Si f(x) = X2 + 2x + 2, encuentre dos funciones 9 para las cuales
(fog)(x) =x2 -4x+5.
y también que
luego entonces:
[g(x)12 + 2g(x) + 2 = x2 - 4x + 5 <* [g(x)12 + 2g(x) - x2 + 4x - 3 = O =>
también:
y
=> g(x) = -2 ± y'4 - 4(-x2 + 4x - 3) = - 1 ± VI + X2 _ 4x + 3 = 2
= - 1 ± Vx2 - 4x + 4 = - 1 ± V(x - 2)2 =
= -1 ± 1 x _ 21 = {-I ± (x - 2) si x ~ 2; - 1 ± (-x + 2) si x < 2;
. { - I +(X-2) g,(X¡= -1+(-x+2)
si x ~ 2; {x - 3 si x < 2; = -x + I
{ -1 - (x - 2) si x ~ 2; {-x + 1
g.(x) = = - 1 - (- x + 2) si x < 2; x - 3
si x ~ 2;
si x < 2;
27
o
o
5. Sean f , 9 & h tres funciones definidas por
f(x) = X+l; g(x)=x2+1; h(x) = '¡x - 2 ; x-l
encuentre una expresión para la función H dada por H(t) = (f ~ g) (t2 + 2) .
? Vemos que
(f o g)(t2 + 2) = f [g(t2 + 2)] = f[(t2 + 2)2 + 1] = f(t 4 + 4t2 + 5) = t4 + 4t2 + 5 + 1 t 4 + 4t2 + 6
= = t 4 + 4t2 + 5 - 1 t4 + 4t2 + 4
y que
Luego entonces,
Ht _ (fog)(t2 +2)_ t4+4t2+6 ( ) - h(t2 + 2) - I t I (t4 + 4t2 + 4)'
o
6. Un viaje subsidiado por una escuela costará a cada estudiante 150 pesos, si viajan no más de 150 estudiantes; sin embargo, el costo a pagar por estudiante se reduciría en 5 pesos por cada uno más que se inscriba al grupo de los 150. Exprese los ingresos brutos recibidos por la escuela en función del número de inscritos a dicho viaje.
.. Si 1 es el ingreso bruto y n el número de estudiantes que van a viajar, tenemos:
I(n) = {150n si n ~ 150 = {150n [150 - 5(n - 150)]n si n > 150 (150 - 5n + 750)n
I(n) = {150n si n ~ 150 = {1 50n si n ~ 150; (900 - 5n)n si n > 150 (180 - n)5n si n > 150.
si n ~ 150;
si n > 150;
Como se ve, no se podrían aceptar más de 180 estudiantes, pues si n > 180 ::::} 180 - n < 0, los ingresos serían negativos.
o
g(x) = {;2 si x ::; 1;
six>1.
Calcule lím f(x)g(x), !lm f (x)g(x) & lím f(x)g(x). %_1 - %- 1+ %_ 1
IGlobal, evaluación 3
... Tenemos:
lím (J(x)g(x)) = lím f(x) x lím g(x) = 4 x 1 = 4 (ya que ambos límites existen) ; %_1- %-1 - x_l -
lím (J(x)g(x)) = lím f(x) x lím g(x) = 2 x 2 = 4; .1:-1+ %_1+ x __ l T
lím(J(x)g(x)) = 4, pues lfm [f(x)g(x)) = lím (J(x)g(x)) = 4. :1:_1 x __ l - %_1 +
2. Determine el siguiente límite:
r Jh+f - I .~':!!& h .
... Vemos que, al racionalizar:
lím Jh+f - 1 = lím h + 1 - 1 = lím 1 1 h_O h h_O h( Jh+f + 1) h_O -,¡"F.h=+~1 -+""1 2
3. Determine el siguiente limite: lím (y'x3 + x - vfx3+i). :I: __ (x)
... No tiene sentido, pues Dv'x'+x = {x E IR I x 3 + X ~ O}
y x 3 + X = X(X2 + 1) ~ O <o} x ~ o.
Luego, no podemos tomar valores de x negativos como es el caso si x ---+ -oo .
29
o
o
Ocurre algo análogo con la función .JX3+l, pues su dominio son los reales x tales que x3 + 1 2: O, es decir, aquellos que x3 ~ -1; luego, x 2: - 1 por lo que x no puede tomar valores menores que - 1.
o
8_2+ S - 2 82 - 4 .
,. Efectuamos primero la operación:
1 3 s+2-3 s - I -----= =--* s-2 .2-4 (s+2}(. - 2) .2 - 4
* lím (_1 ___ 3_) = lím • -1 = +00. ,_2+ S - 2 s2 - 4 ,_2+ (s + 2)(s - 2)
Puesto que s-I - 1 > O, .+2 _ 4 > O & 8-2 - 0+, cuando s --> 2+, entonces, (8+2)(. - 2) - 0+, cuando s -+ 2+.
o
5. Para la función J , definida por J(x) = ~, determine: x2 - 4
(a) Dominio y raíces ~ Dominio:
D¡ = {x E IR I X2 - 4 > O} = (-00, - 2) U (2, +00) .
Pues x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) > O #
x+2 > 0 &x-2> 0 o bien x+2<0 x > -2 &x > 2 o bien x < - 2 x > 2 o bien x < -2; x E (2, +00) o bien x E (-00 , - 2) .
Raíz sería x = O pero, como O f/. D J, entonces J no tiene raíces.
(b) Asíntotas verticales y horizontales
lí 4x2 2" 1 .. m ~ = +00 :::;:} x = es una asmtota vertlca . % ......... 2+ VX2 - 4
Como J(x) es par ~ x = - 2, también es asíntota vertical. Como
4X2 4 llm = lím =
& x - 2 < O; &x < 2;
4 l' 4 = lím --- = 1m = +00 , .:z:-±oo ~ x_±oo _ I 1 4 -----rxr VZI - z;r
no tiene asíntotas horizontales.
f (x)
6. Considere la función 9 definida por 9 (x) = (x - I)J (x) con O :<; x :<; 2, donde J (x) es la función máxima entera. Decida, señalando claramente sus argumentos, si 9 es continua o no en x = l .
'f Por un lado tenemos que g(l ) = (1 - I)J(I) = O Y que
lím g(x) = lím [(x - I)J(x) ) = lím (x - 1) x lím J(x) = O x O = O Y también que %--1 - z_l - z_l - z_l -
lím g(x) = lím (x - I) x lím J(x) = Ox I = 0. %_1+ z_l+ %_1+
Luego, lím g(x) = O = g(l) por lo que g(x) es continua en x = 1. %_ 1
D
x> b.
(a) Determine el valor de b para el cual J es continua
'f Por un lado lím J(x) = b2 - 7(= J(b)) Y por otro lím ¡(x) = ~b. %_b- x-b+
Luego, para que f sea continua, debe existir lím f( x), por lo que los límites laterales deben ser iguales, %-b
esto es,
b2 - 7 = ~ .,. b(b2 - 7) = 6 .,. b3 - 7b - 6 = o.
Luego b = - 1 es una raíz (por inspección) , por lo que b3 - 7b - 6 es divisible entre b + 1:
Tenemos, por esto
b2 - b - 6
- b2 -7b - 6
b3 - 7b - 6 = (b + I)(b' - b - 6).
Además b2 - b - 6 = O .,. (b - 3)(b + 2) = O, esto es, si b = -2 o bien si b = 3.
Por lo que finalmente J(x) sería continua si b = - 2, - 1 o bien si b = 3, pero, como J(x) está definida solamente en valores positivos, J(x) es continua si b = 3.
D
(b) Indique si J es diferenciable en el (los) valor(es) de b hallado(.) en (a) . No se espera una respuesta como si o no, la respuesta debe ir acompañada de argumentos. 'f Calculamos
J'(b- ) = lím ¡(x) - J(b) = lím x2 - 7 - b' + 7 = lím (x + b) (x - b) = 2b x_b- x - b z_b- x - b 2:_b- X - b
y también
f'(b+) = lím f(x) - f(b) = lím ~ - ~ = lím 6(b - x) = _ lím ~ = _~. x-b+ X - b x_b+ X - b x_b+ bx(x - b) x_b+ bx b2
Como f es diferenciable si y sólo si las dos derivadas laterales son iguales, esto es si 2b = - ~ .,. b3 = -3,
que no es el caso, entonoes f(x) no es derivable en x = 3.
2. Encuentre ~~ en (a) y (b), a continuación:
1 (a) y = --;=0;;==
y = (x - v'x2=1)-1 '* , - (1 - 2,,~L,) -( v'X2=l - x)
'*y= = = (x - ~)2 VX2 _ 1(x _ ~)2
(b) y = (x2 - 1)t (X2 - 4)1 ... Derivamos:
x-~ 1
= --,==--::--xv'X2=l - x2 + 1 .
dy 2x(x2 - 4)1 v'X2=l2x 3x(x2 - 4) + 2x(x2 - 1) - = + = = dx 2v'X2=l 3(X2 - 4)! 3VX2 - 1(x2 - 4)1
3x3 - 12x + 2x 3 - 2x 5x3 - 14x = 3vx2 - 1(x2 - 4)1 = 3vx2 - 1(x2 - 4)j .
3. Encuentre una ecuación de la recta normal a la curva x - y = "jx + y en el punto (3 , 1) .
o
o
o
,. Efectivamente el punto (3, 1) pertenece a la curva pues sus coordenadas satisfacen a la ecuación, ya que 3 - 1 = .J3TI '* 2 = 2.
Calculamos entonces la pendiente de la tangente a la curva en el punto, derivando implícitamente
, 1 +y ' 1 - Y = 2 ¡;;;-r;;; .,.
yx+y I 1 yf
.,. 1 = Y + 2 ¡;;;-r;;; + 2 r.:-T:; .,. yx + y yx+y
1 ,( 1) .,. 1 - 2"jx + y = y 1 + 2Vx + y .,.
2"jx + y - 1 ,2"jx + y + 1 .,. = y .,. 2"jx + y 2"jx + y
, 2.,¡x:¡:y - 1 .,. Y = 2"jx + y + 1 .
En el punto (3, 1) la pendiente es
y la pendiente de la normal es - ~. La ecuación de la normal pedida es
4. Sea la función f(x ) = 1 - (x - 3)3.
33
'(3 1) = 2/3+T - 1 = 4 - 1 = ~ y, 2/3+T +1 4+ 1 5
5 5 Y - 1 = --(x - 3) <* Y = --x + 6.
3 3
o
Encuentre los extremos relativos y absolutos (si tiene) , los intervalos donde sea creciente y donde sea decreciente, también calcule dónde es cóncava hacia arriba y dónde es cóncava hacia abajo. Finalmente haga la gráfica.
" La función f (x) es un polinomio
f (x) = 1 - (x3 - 9X2 + 27x - 27) = _x 3 + 9x2 - 27x + 28.
Calculamos sus puntos críticos
<* X2 - 6x + 9 = (x - 3)2 = ° <*
{::} x = 3 que es el único punto crítico.
Como f'(x) = -3(x - 3)' < ° si x # 3, la función f (x) es decreciente en IR y no tiene valores extremos.
Analicemos su concavidad
. {x < 3; SI
x> 3.
Luego f(x) es cóncava hacia arriba en (-00 , 3) Y cóncava hacia abajo en (3, +00).
En x = 3 hay un punto de inflexión que es (3,1).
La gráfica de f(x) es:
f (x )
5. Un ganadero desea cercar un prado rectangular junto a un río. El prado ha de tener 180000 m2 para propor cionar suficiente pasto. ¿Qué dimensiones debe tener para que requiera la menor cantidad de cerca posible, teniendo en cuenta que no hay que cercar en el lado que da al río?
.., Dibujamos el prado:
Despejando y de la expresión del área: 180000
y= x
y sustituyendo en la expresión del perímetro, t.enemos una función de una sola variable:
P( ) 180000
Sus puntos críticos se hallan cuando P'(x) = O, es decir,
Desechamos x = -300
vemos que
2 _ 180000 = O <* x2 = 180000 = 90000 <* x ± 300 m. x2 2
P"(x) = 2180~00 = 360~00. x x
P"(300) > O.
Luego para x = 300 ID & y = 600 m tenemos la menor cantidad de cerca posible.
• o
" Es equivalente a:
2x + 3 5 x+B < .
2x + 3 5 O 2x + 3 - 5x - 40 O - 3x - 37 O -- - < # < # < . x+B x + B x+B
Lo cual se cumple si
-3x - 37 > O & x + B < O o bien 3x < -37 & x < -B o bien
37 x < -- & x < - B o bien
3 37 x < - - o bien
3
Luego, el conj unto solución de la desigualdad propuesta es
-3x - 37 < O & x + B > O; 3x > - 37 & x > - B;
37 x> -- & x > - 8·
Como vemos en la siguiente figura:
...
•
., Esta desigualdad equivale al sistema de desigualdades
-3x :<::: 4x + 8 :<::: 3x .
Resolvemos la primera desigualdad:
- 3x:<::: 4x+8~ - 7x :<::: 8~x 2: - ~ **x E [-~,+oo) Resolvemos la segunda:
4x + 8 :<::: 3x .". x :<::: -8 .,. x E (-00, -8J .
Por lo que el conjunto solución es
Como vemos en la figura:
.. • o .. - 8 8 O
f(x)= Ix'+x-21 si -3:<:::x:<::: 1; l -x six>l,
(a) trace su gráfica
., Para x < - 3, la gráfica es una parte de la recta paralela al eje de las x de "altura" 4.
y para x> 1, es parte de la recta de pendiente -1 y ordenada en el origen 1, que "casi" llega al punto (1, O). La parábola
1 1 (1)' Y = x' + X - 2 = x' + x + 4 - :\ - 2 = x + "2 9 4
tiene su vértice en ( -~, -~) , dirige su concavidad hacia arriba y corta al eje de las x cuando
X'+X_2=0~X=-1±v'f+8=-1±3={1 2 2 -2;
por eso, X2 + x - 2 > O si x es menor que -2 o bien mayor que l. Entonces, del intervalo 1- 3, 1J es positiva en 1- 3, - 2) Y es negativa en (-2, 1J.
Siendo así
f(x) = 1 x' + x _ 21 = {x' + x - 2 si x E 1-3, -2J; - (x' + x - 2) si x E (-2,1].
Por lo anterior, su gráfica es un segmento de la parábola y = x' + x - 2 "sobre" 1-3, -2J yel reflejo de la parábola con respecto al eje x en el intervalo (-2, 1J.
f (x)
(b) Determine su dominio, rango y raíces
" Dominio: D, = (-00, +00) = IR. Rango: R, = (-00, 4J . Y raíces: x = -2 & x = 1.
4. Sean
y(x) = {l - 2x si x $ O; x2 si x > o.
Obtenga el dominio y la fórmula de la función ¡ + y.
" Dominio de ¡(x): D, = (- 10, +00).
x 2
1- x
Dominiodey(x): Dg = R =?Dl+g = D,nDg =D, = (-10, +00) pues (- 10,+00) e IR.
Su fórmula:
si x E (-10,0];
37
o
o
o
5. Un alambre de 100 cm de longitud se oorta en dos partes. Una de ellas se dobla para formar un cuadrado y oon la otra forma un triángulo equilátero. Obtener el área de ambas figuras oomo función del lado del cuadrado.
" Usamos las siguientes gráficas:
(lOO-4x) 13
(50-2x) 13
Llamemos x alIado del cuadrado (por lo que su área es obviamente Ao = X2); luego, una parte del alambre mide 4x¡ la otra, la parte con la que vamos a formar un triángulo equilátero, mide 100 - 4x. Cada lado de
d' h '. I d" I 100 - 4x SIl d P' • le o tnangu o me ITa por o tanto 3 . u a tura entonces, por e teorema e ltagoras:
y su área:
9 3 ""12x2 - 600x + 7500
3 y'12(x2 - 50x + 625)
= -'-------;,-----'-- 2v'31 x - 251 21 x - 251
3 3 =
v'3
A _ ~ 100 - 4x 21 x - 251 (100 - 4x)(25 - x) " - 2 3 v'3 =
3v'3
Observe que y'(x - 25)2 - 1 x - 251 = 25 - x, pues x ~ 25.
o
f(x) = x2 - X - 2 X2 - 2x
(a) Los puntos de discontinuidad y su clasificación y Como es una función racional, los puntos de discontinuidad son las raíces del denominador
X2 _ 2x = x(x - 2) = O =} x = O & x = 2,
Como X2 -x-2 = (x-2)(x+ 1) =O=} x =2 & x = - 1,
x = 2 es un punto de discontinuidad removible; lo vemos en:
x = X2 - X - 2 = (x - 2)(x + 1) = x + 1 si x # 2 f() X2 _ 2x (x - 2)x x
yen:
Por lo que definiendo f(2) = ~, f(x) resultaría continua en x = 2.
En x = O hay una discontinuidad infinita pues, lím f(x) = ±oo. x-.o±
(b) Las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales
39
o
.. Según lo que acabamos de calcular, x = O es una asíntota vertical; para hallar la asíntota horizontal calculamos
lím f(x) = lím (1 + .!.) = 1 + 0 = 1; Y = 1 es la asíntota horizontal. X_±ex> %_±oo X
o (e) Un esbozo de la gráfica
,. Vemos que x = -1 es la única raíz de f(x), esto es que f(-I) = O. Entonces, la gráfica de la función f(x) es:
f(x )
-1 2
2 E 1, 1 lí' . . t ( di . . t) l' v'X+T - 2 . va ue emite 51gmen e o, ga en su caso SI no eXlS e, 1m . :1:_3 X - 3
.. Racionalizando el numerador
Por lo que
(x - 3)( v'X+T + 2) (x - 3)( v'X+T + 2)
= ~ si x - 3 ,;, O, esto es x ,;, 3. x+l+2
1, v'x + 1 - 2 l' 1 1m = 1m ._3 x - 3 ._3 v'XTI + 2
1 - 4
. 8x+6 3. Evalúe el límite siguiente (o, en su caso diga si no eXlste), lím
• __ 00 v'5x2 + 6x - 8
... Dividiendo numerador y denominador entre ,fX'i = I x l. si x < O. se tiene Ixl = -x.
Y entonces:
8x +6 -8 - ~ -V~5=éx2;;+~6x~-=8 = -Vr==;;6=x~8;=
5+--- x x2
X X2
o
4. Trace la gráfica de una función f que tenga una discontinuidad removible en x = -2 Y que además satisfaga todas las condiciones siguientes:
f(O) = 3; lím f(x) = 2;
f(4) = O; lím f(x) = 00;
%_ 3+
%_3- :1: __ 00 x_oo
... Una posible gráfica de la función f(x) que satisfaga todas esas condiciones es:
f (x l
- 2 6
En nuestra gráfica vemos que f( -2) = 2. pero lím f(x) = lím f(x) = O. x_-2 - x--2+
5. Calcule los valores a & b de modo que la función
sea continua en todos los reales.
{
six2::2 ,
x
o
... Claramente la función es continua en (-00.1). [1.2) Y en [2. +00). por lo que necesitamos comprobar que sea continua en x = 1 yen x = 2. Para ello se tiene que cumplir que
lím f(x) = lím f(x) = a + b, que es f(l) 3::_1 - .1:_1 +
y que lím f(x) = lím f(x) = 6, que es f(2).
%_2- %_2+
De aquí tenemos que 2 = a + b , de la primera condición,
y que 4a + b = 6, de la segunda condición.
Esto es, tenemos que resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas para hallar a & b.
{ a + b = 2;
4a + b = 6 .
41
Restando la primera de la segunda tenemos que 3a = 4; entonces, a = ~ & b = 2 - a, de la primera ecuación, 4 6-4 2 · 3
por lo que b = 2 - 3 = -3- = 3· o
(C) Tercer parcial
1. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva x2y - y3 = 8, en el punto (- 3,1) .
~ Efectivamente, el punto (-3, 1) pertenece a la curva, pues sus coordenadas x = - 3 & y = 1 satisfacen la ecuación, ya que (_3)2 X 1 - 13 = 9 x 1 - 1 = 9 - 1 = 8.
Para calcular la pendiente de la recta tangente, derivemos implícitamente la ecuación, donde estamos suponiendo que y es una función derivable de x. Tenemos
22y + x2y' - 3y2y' = O ~
, 2xy ~ y = 3y2 - x2 ·
Esto es, para cualquier punto de la curva donde 3y2 - X2 f O; en particular en el punto (- 3,1), tenemos que la pendiente es
, 2( -3)1 -6 - 6 Y (-3,1) = 3(1)2 _ (-3)2 = 3 _ 9 = - 6 = 1
Y que la ecuación de la tangente es
y - 1 = I(x + 3) ~ Y = x + 3 + 1 ~ Y = x + 4.
2. Para la función f(x) = (x2 - 4)3 determine:
(a) Los intervalos de crecimiento y los de decrecimiento. Los extremos relativos ~ Calcuiemos:
f'(x) = 3(x2 - 4)22x = 6x(x + 2)2(X _ 2)2 .
Los puntos críticos están en x = - 2, O y en 2. f'(x) > O si x > O(x f 2), luego f(x) es creciente en [0,2J yen [2, +00); f'(x) < O si x < O(x f -2), luego f(x) es decreciente en (-00, - 2J Y en [- 2, OJ.
o
Entonces el único extremo relativo es (O, - 64), donde la función pasa de ser decreciente a ser creciente; luego, es un mínimo.
o
(b) Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo. Los puntos de inflexión .., Calculemos la derivada de !,(x) = 6x(x2 - 4)2:
f "(x) = 6(x2 - 4)2 + 6x X 2(x2 - 4) x 2x = 6(x2 - 4)(x2 - 4 + 4x2) =
= 6(x2 - 4)(5x2 - 4) = 6(x + 2)(x - 2)( v'5x + 2)( v'5x - 2) .
La segunda derivada se hace O en ±2 y en ± ]s "" 0.89, Y su signo está dado en la tabla siguiente:
Intervalo x+2 v'5x + 2 v'5x - 2 x-2 f"(x) f(x) es cóncava hacia
X<-2«-f.<f.<2) - - - - + arriba
-2 < x < -f. « f. < 2) + - - - - abajo
(-2 <) - -jo < x < -jo < 2 + + - - + arriba
( -2 < -f. < f. <) 2 < x + + + + + arriba
y nada más, pues la función es par.
Vemos entonces que en (]s, 2) la función es cón.cava hacia abajo y que en (2, +00) lo es hacia arriba y
que los puntos (±2,0) & ( ± ]S, ~~~3) '" (±0.89, - 32.77) son de inflexión.
Tenemos además f(O) = -64 & f(±4) = 1728.
(c) La gráfica .., Tenemos la gráfica de la función f(x):
- 4 , ,
3. A partir de la gráfica que vemos a continuación, cuyo dominio es [-0.5,00),
f (x )
" , , , , , 2 3 4 5
6
" La función ¡(x) es creciente en [-0.5, O], [1, 3], [4, 5J Y en [6, +00); la función ¡(x) es decreciente en [O, l J, [3, 4J yen [5,6J .
(b) Los intervalos de concavidad hacia arriba y los de concavidad hacia abajo " La función ¡(x) es cóncava hacia arriba en [0.5,2J yen [3.5,4.5J;
x
la función ¡(x) es cóncava hacia abajo en [-0.5, 0.5], [2,3.5], [4.5, 6J Y en [6, +00). (e) Los máximos y mínimos relativos, los máximos y mínimos absolutos y los puntos de inflexión
" Los máximos relativos son (0,2), (3, 4) Y (5,3). Los mínimos relativos son (-0.5,1), (1,0), (4,2) Y (6,1). No tiene máximo absoluto y el mínimo absoluto es (1, O).
43
O
O
Los puntos de inflexión son (0.5,1), (2, 2), (3.5, 3) & (4.5,2.5). O
4. Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado por un semicírculo. (Por consiguiente, el diámetro del semicírculo es igual al ancho del rectángulo.) Si el perímetro de la ventana es de 30 cm solamente, encuentre las dimensiones de la ventana de modo que se admita la cantidad más grande posible de luz.
" Usaremos el dibujo siguiente:
Queremos que el área de la ventana
sea máxima.
2 4
rr p = x + 2y + "2x = 30,
luego
30-(l+i)x 2+rr y = 2 = 15 - -4-x ,
y el área queda, como función de la única variable X,
A(x) = 15 - --x x + _x2 = 15x - --x + -x = ( 2+rr) " 2+rr2 rr2
4 8 4 8
8 8
cuyos puntos críticos los calculamos igualando a cero la derivada:
, rr + 4 15 x 4 60 A (x) = 15 - --x = O <* x = -- = --.
4 rr+4 rr+4
Como A"(x) = - rr ~ 4 < O, se trata de un máximo y corno
x entonoes y = 2".
•
1 5x -11 > 4. 3x+2 -
,. La desigualdad equivale a dos desigualdades, (a) y (b):
5x - 1 (a) -- > 4.
É 5x-l sta equivale a 3x + 2 - 4 2: O.
y de aquí que
5x - 1 - 12x - 8 - 7x - 9 7x + 9 7x + 9 =-=-----"-'=-----=- > O ..,. > O ..,. - -- > O ..,. -- < O 3x + 2 - 3x + 2 - 3x + 2 - 3x + 2 - ,
desigualdad que se cumple cuando
7x + 9 2: O & 3x + 2 < O o bien
(b) 5x - I < -4. 3x+2 -
7x 2: -9 & 3x < -2 o bien
9 2 x> - - & x < - - o bien
- 7 3
y de aquí que
7x $ - 9 & 3x > - 2;
- 7 3 '
xE 0.
5x - I + 12x + 8 < O..,. 17x + 7 < O 3x+2 - 3x+2 - ,
17x + 7 . a su vez, 3x + 2 ~ O equl'\d.le a que
17x + 7 2: O & 3x + 2 < O o bien 17x 2: - 7 & 3x < - 2 o bien
7 2 x> - - & x < -- o bien
- 17 3
17x + 7 $ 0&3x+2> 0; 17x $ - 7 & 3x > -2;
7 2 x < - - & x > __ o - ¡r 3'
XE \-~'- 177l ·
Luego el conjunto solución de la desigualdad propuesta es el siguiente:
[-~ ,-D U(-~'- 177l·
2. Dadas las funciones f(t) = v'i+3, g(z) = z2 - 1 & h(w) = ./5 - w,
( f+h) obtener: -g- (x), (g o h)(x) & (J o g)(x), así como sus respectivos dominios.
( f+h) ? Calculando -g- (x), tenemos:
( f + h) (x) = (J + h)(x) = f(x) + h(x) = VxTI + .;'5=X .
9 g(x) x2-1 x2-1
Dominios:
DI = {x E IR 1 x + 3 ~ O} = {x E IR 1 x ~ -3} = [-3, +00);
Dg = IR;
Dh = {x E IR 15 - x ~ O} = {x E IR 1 x::; 5 } = (-00,5].
Luego entonces
= [-3, +00)n(-00,5]- {±l} = [-3,5]- {±l};
(g o h)(x) = g[h(x)] = g(./5 - x) = 5 - x - 1 = 4 - x;
Dgoh = { x E Dh 1 h(x) E Dg } = {x E (-00,5]1 v'5=X E IR } = (-00,5] ;
(J o g)(x) = f[g(x)] = f(x2 - 1) = ..jx2 - 1 + 3 = ..jx2 + 2;
Dlog = { x E Dgl g(x) E DI } = {x E IR 1 X2 - 1 E [-3, +oo)} =
= { x E IR 1 X2 - 1 ~ - 3 } = { x E IR 1 X2 ~ -2 } = IR pues x2 ~ O > -2.
3. Resolver la desigualdad 3X2 - 4x + 5 ::; 9x - 3x2 + 10.
? Equivale a 6X2 - 13x - 5 ::; O.
Como
6x2 _ 13x _ 5 = O '* x = 13 ± ./169 + 120 <* x = 13 ± v'289 = 13 ± 17 = {% 1 12 12 12
-3 '
tenemos que 6x2 - 13x - 5 = 6 (x - %) (x + ~) y su signo nos lo da la tabla siguiente:
Signo de
x<-~«~) - - +
Luego, el conj unto solución de 6 (x + ~) (x - i) = 6x2 - 13x - 5 :o; O es [-~ ~l · 3'2
4. Realizar un bosquejo de la gráfica de la función
- 2x + 1 si x < - 2; Ix2 - 11
si - 2:0; x < 2, & x#O; ¡(x) = x 1 si x = 2;
3x - 5 si x > 2.
.. Tenemos que X2 - 1 ~ O <o> X2 ~ 1 <o> Ixl ~ 1 <o> x ~ 1 o bien x :o; - 1 .
Luego, para el caso que nos ocupa
2 {x2 - 1
y también
si x E ( - 1, 1);
si xE [-2, - lJU[l ,2);
si x E (-1,1) - {O}.
47
o
En los demás intervalos no hay problema pues la gráfica es parte de una recta ya que ¡ es lineal en ellos; luego, la gráfica de la función ¡(x) se ve así:
f(x )
ya que 1(-3) = 7 & 1(-2- ) = 5; 1(2+) = 1 & 1(3) = 4.
La parte más delicada de graficar I por lo que hasta ahora hemos obtenido, es la correspondiente a los intervalos [-2, O) & (0,2).
. 1 . Al respecto se puede menClonar que x - - es crecIente pues x
X2 1 1 1 1 1 1 Xl < X2 < O =} 1 > - =? - < - =} -- < -- =? Xl - - < X2 - - .
Xl X2 Xl Xl X2 X l X2
y lo mismo ocurre si
x211 11 1 1 O < XI < X2 ~ 1 < - ~ - < - ~ - - < -- ~ Xl - - < X2 - -.
Xl X2 Xl Xl X2 Xl X2
En cambio - x + ..!.. es decreciente pues Xl < X2 < O => -X2 < -Xl por un lado, y por el otro X
X2 1 1 1 1 1 > - ~ - < - ~ - X2 + - < -X l + -; sucede también que
Xl X2 Xl X2 Xl
o < Xl < 72 => -Xl> -X2 & , X2 1 1 1 1
1 < - ~ - < - ~ -XI + - > - X2 + - . Xl X2 Xl Xl X2
Como podemos comprobar, si x < O es muy pequeño, entonces..!.. < O es muy grande en valor absoluto. Lo X
. ced 1 mlsmo su e con - x + -, X
1 1 E, igualmente, si x > O es muy pequeño, - > O es muy grande y es positivo. Igual sucede con - x + -.
X X o
(B) Segundo parcial
x_2 X - 2 x3 - 8 .
... Efectuemos la operación, recordando que x 3 - 8 = (x - 2)(x2 + 2x + 4) :
1 12 x 2+2x+4-12 x2+2x-8 = =
X - 2 - x 3 - 8 (x - 2)(x2 + 2x + 4) x 3 - 8
(x + 4)(x - 2) = (x - 2)(X2 + 2x + 4) .
Entonces,
1 12 = 2 x + 4 si x _ 2 '" O, esto es, si x '" 2, x-2-x3 -8 x +2x+4
y también
lím -- - -- = ¡¡m = - = - . ( 1 12) x + 4 6 1
• ~2 X - 2 x 3 - 8 .~2 x2 + 2x + 4 12 2
o
2 ) 1m --
%_1- x2_} .
• Tenemos que
( 3x2 ) 3x2
lím -- = lím = -00, .~I- x2 - 1 .~l - (x + l)(x - 1)
pues lím 3x2 = 3; lím (x + 1) = 2 & lím (x - 1) = 0- ~ límJ(x + l)(x - l)J = 0- . %- 1- %_ 1- x-l - ;1:- 1
o
3. Calcular el límite siguiente: lím (Jx2 - 2x + 5 - x). x_+oo
... Racionalizando: ,¡ x' _ 2x + 5 _ x = x' - 2x + 5 - x' = -2x + 5
Jx2 - 2x + 5 + x Jx2 - 2x + 5 + x
Multiplicando numerador y denominador por ~ = _1_ = _ 1_, si x > 0, tenemos que x Ixl ..fX2
5 - 2+- ,¡ x' - 2x + 5 - x = x, por lo que
/1-~+~+1 V x x2
5 -2 + - - 2-2
lím ('¡x'-2x+5 - x)= lím x =--=-=-1 . "~+= x~= V 2 5 1 + 1 2 1-- +-+ 1
X x'
49
o
-3x' 4. Para la curva y = f(x) = -,--, obtener: dominio, raíces y paridad; intervalos de continuidad, discon
x -4 tinuidades y su clasificación; asíntotas verticales y horizontales.
" Dominio: Dy = {x E IR Ix' - 4," O} = {x E IR I (x + 2)(x - 2) '" O} = IR - {± 2}.
Raíz: x = O, que es donde -3x' = O.
-3( - x )' -3x' Espar,pues (-x')-4 = x'-4'
Como es una función racional, es continua en todo su dominio y discontinua en x = ±2, donde tiene discon tinuidades infinitas pues
3x' - 3x' lím f (x) = lím -;--,--:-=--;:-;- = 1'00 & lím = ±oo . x~,± x~,± (x + 2)(x - 2) x~-,± (x + 2)(x - 2)
Comprobamos por esto que x = ±2 son asíntotas verticales y como
-3 - 3 lím f(x) = lím --4- = - = -3,
x_±oo x --t±OO 1 _ _ 1
x' tenemos que y = -3 es asíntota horizontal.
5. Determinar los valores de las constantes a, b & e que hacen continua en todo su dominio la función
¡ 2X + 1 si x < - 2;
f(x) = ax'+b s~ -2::;x<l; e slx=l;
l -:- x six>l.
o
" Claramente f(x) es continua en (-00, - 2) , [- 2, 1) & (1, +00), pues la función es polinomial en tales intervalos, pero tenemos que hacerla continua en x = - 2 & x = 1. Tenemos que
lím ¡(x) = - 3 & f( -2) = 4a + b = lím ¡(x). x _ _ 2- %-- 2+ 11111111110811
2892868
Por lo cual, para que J sea continua en x = -2, se tiene que cumplir que 4a + b = - 3.
Así mismo
lím ¡(x) = a + b ,J(l) = e & lím ¡(x) = O. x_l - .%'_ 1+
Por lo que e = O & a + b = O; entonces, para que f sea continua en lR, se tienen que cumplir ambas ecuaciones
{ 4a + b = -3;
a+b=O.
Para resolver este sistema restemos de la primera ecuación la segunda; tendremos, 3a = -3 :::} a = - 1; sustituyendo este valor en la segunda resulta que b = 1.
o
(C) Tercer parcial
1. Un fabricante produce latas de aluminio cilíndricas (con la forma de cilindros circulares rectos) para envasar 400 mi de cierta bebida refrescante (400 cm3 ). Calcular las dimensiones de cada lata de manera que ésta requiera la mínima cantidad de aluminio en su fabricación. Suponemos que tanto T como h están dadas en centímetros.
~ Si dibujarnos una lata:
AT = 271"r 2 + 271"rh.
Donde r es el radio y h la altura de la lata; a su vez estas dos variables están relacionadas en el volumen de la lata
v = 71"r2h = 400cm3 •
Por lo que
Si sustituimos este valor en la fórmula del área, tendremos expresada a ésta como función de una única variable r:
400 AT(r) = 211"r' + 211"r-, = 211"r' + 800r- 1
•
"" Ésta es la función que queremos minimizar. Su punto crítico se presenta cuando la derivada vale 0, esto es
A;'(r) = 411"r _ 80 2 0 = O.,. 411"r = 80
2 0 .,. r3 = 800 = 200 => r = (200) 1/ 3
r r 41(" 1T 1['
Como A" (r) = 411" + 2 x 800r- 3 > O, entonces se trata de un mínimo; por último:
400 400 400 2 X 200 ' /3 (200) 1/ 3
h = "r' = 11" (2~0) ' / 3 = 11"' /3200'/3 = ,,1 / 3 = 2 --;;- = 2r.
No es usual que en el mercado encontremos latas cilíndricas en ,que la altura sea el diámetro de la base.
-8x 2. Para la curva y = f(x) = -,--,
x +4
o
51
obtener: intervalos de crecimiento y de decrecimiento, puntos críticos y su clasificación , intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo, así como sus puntos de inflexión.
.. Para estudiar la monotonía de la función calculemos su derivada:
, - 8(x' + 4) - 2x( - 8x) 8x' - 32 f (x) = (x' + 4)' = (x' + 4)' .
El signo de la derivada nos lo da el numerador, pues (x' + 4)' > O.
y como 8x' - 32 = 8(x' - 4) = 8(x + 2)(x - 2), usamos la tabla
Signo de
x> 2 (> - 2) + + +
Sus puntos críticos son x = ±2, donde la derivada vale O.
f(x) es
creciente
decreciente
creciente
En x = -2 hay un máximo pues en ese punto la {unción pasa de ser creciente a ser decreciente; en x = 2 hay un mínimo pues ahí la función J pasa de ser decreciente a ser creciente.
Para hablar de concavidad obtengamos la segunda derivada:
"( ) _ 16x(x' -+ 4)2 - 2(8x2 - 32)(x' + 4)2x _ 16x(x' + 4) - 4x(8x' - 32) =
f x - (x' + 4)4 - (x' + 4)3
-16x3 + 192x =
(x' + 4)3
-16x3 + 192x = - 16x(x' -12) = - 16x(x + V12)(x - V12) = = - 16x(x + 2V3)(x - 2/3).
Para ver dónde 1" < O Y dónde 1" > O, recordemos que 1" = O <* x = O, x = -2,13 o bien que x = 2,13.
Luego construimos la siguiente tabla
Signo de
Intervalo x + 2,13 -16x x - 2,13 !,,(x)
x < -2,13« O < 2,13) - + - + - 2,13 < x < O ( < 2,13) + + - - (-2,13 <) 0 < x < 2,13 + - - + (-2,13 < O <)2,13 < x + - + -
De aquí se puede afirmar que:
Por lo tanto,
1" < O en los intervalos ( -2V3, O) Y (2/3, +00) .
1 es cóncava hacia arriba en (-00, -2/3) U (0,2/3) ;
1 es cóncava hacia abajo en (-2/3, O) U (2V3, +00) . o
3. Suponiendo que en la siguiente ecuación se tiene implícitamente definida a y = <f¡(x), calcular la ecuación de la recta tangente en el punto (2, .,/2) de la curva
(x2 + y2 + 4)2 _ 16x2 = 36.
" En efecto, el punto (2,.,/2) pertenece a la curva pues sus coordenadas x = 2 & y = .,/2 satisfacen la ecuación ya que
[22 + (.,/2)2 + 4]' - 16(2)2 = (4 + 2 + 4)2 - 16 x 4 = 102 - 64 = 100 - 64 = 36.
Calculemos la pendiente de la recta tangente obteniendo implícitamente la derivada de la función
2(x2 + y2 + 4)(2x + 2yy ') - 32x = O => => 4(x2 + y2 + 4)(x + yy') = 32x =>
, 32x => x + yy = 4(x2 + y2 + 4) =>
, 1 ( 8x => y = y X2 + y2 + 4
En particular, en el punto (2, .,/2), la pendiente vale
y'(2,.,/2) = ~ [~~ la ecuación de la recta tangente es entonces:
.,/2 .,/2 2 .,/2 7 y-.,/2= --(x-2) => y = --x + -V2+V2 = --x+ -V2 =>
5 5 5 5 5
V2 =>y=--(x- 7) . 5
o
,12_x_2 _- _x,.....-_3--,1 - <4.
~ Sabemos que x - 1 # O '* x # 1.
Busquemos primero puntos x del conj unto solución tales que x > 1, es decir, x - 1 > O.
Entonces, la desigualdad propuesta es equivalente a
12x2 - X - 31 < 4(x - 1) '* - 4x + 4 < 2x2 - X - 3 < 4x - 4.
A su ve> la primera desigualdad - 4x + 4 < 2x2 - X - 3 equivale a
2x2 - X - 3 + 4x - 4 > O '* 2x2 + 3x - 7 > O .
Resolviendo 2X2 + 3x - 7 = O, hallamos
- 3 ± v1i'+56 - 3 ± v'65 x= =
4 4
Y entonces
2X2 + 3X - 7 = 2(X - -3~v'65) ( x - -3~v'65). El signo de 2x2 + 3x - 7 nos lo da la tabla siguiente
Signo de
X < -3",1§5 « -3±;¡,1§5) - - +
-3-,1§5 < < ~ 4 X 4 + - -
( -3.,1§5 <) - 3-t;¡,1§5 < x + + +
En este caso, la desigualdad la cumplen las x tales que x > -3"\,1§5, ya que -""\,1§5 > 1, es decir , x E
( -3"\,1§5, +00).
La segunda desigualdad 2x2 - x - 3 < 4x - 4 equivale a
2x2 - x - 3 - 4x + 4 < O # 2x2 - 5x + 1 < O.
Resolviendo 2x2 - 5x + 1 = O, hallamos
5±v'25-85 ± v'I7 x= = - -;--
4 4 y entonces
2x2 -5x+1 = 2 (x- 5- 4 v'I7) (x- 5\v'I7) .
El signo de 2x2 - 5x + 1 nos lo da la tabla siguiente:
Signo de
4 4 + - - (5-fU <) 6tfU < x + + +
S+ v'I7 ( S+ v'I7) . y en este otro caso aquellas x tales que 1 < x < 4 ' esto es, x El, 4 cumplen la desigualdad.
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad propuesta para x > 1 es
( 1 5 + v'I7) n ( - 3 + v'65 00) = (-3+ v'65 5 + v'I7) . , 4 4 ,+ 4 ' 4
ya que -3 ~ v'65 '" 1.2655644 & 5 + 4v'I7 '" 2.2807764.
Busquemos ahora puntos x tales que x - 1 < O, es decir, x < 1.
12x2 -x-3 1 La desigualdad propuesta, < 4, equivale ahora a 12x2 - x - 31 > 4x - 4 que equivale a su vez a
x - 1
2x' - x - 3 > 4x - 4 o bien 2x' - x - 3 < - 4x + 4 .
Igualmente, 2x2 - x - 3 > 4x - 4 equivale a 2x2 - x - 3 - 4x + 4 > O; esta desigualdad equivale a 2x2 - 5x + 1 > O.
En la tabla anterior vimos que 2x2 - 5x + 1 > O # x E ( -00, 5 - 4v'I7) U ( 5 + 4v'I7 , +00 ) , pero, como
, ( 5 - v'I7) 5 - v'I7 buscamos x < 1, solo nos quedamos con -00, 4 ya que 4 '" 0.2192235 < 1.
Ahora resolvamos 2x2 - x - 3 < -4x + 4 # 2x2 - X + 4x - 3 - 4 < O # 2x2 + 3x - 7 < O con la restricción que x < 1.
En la primera tabla vimos que tal desigualdad se cumple si
-3 - v'65 - 3 + v'65 - 3 + v'65 4 < x< 4 donde 4 >1.
Luego entonces, otra parte del conjunto solución es
- 3 - v'65 4 <x< l.
Global, evaluación 6"
En resumen, el conjunto solución de la desigualdad original es
Como podemos comprobar, x = ° & x = 2 satisfacen a la desigualdad propuesta pues:
LI2_x_ O",,"2_--:;-O_-_3...l1 = _1- _31 = - 3 < 4 & 12(2 2 ) - 2 - 31 = _18_- _51 = _13 1 = 3 < 4 .
0-1 - 1 2 - 1 1 1
Pero en cambio x = 3 no la satisface, pues
,-12""-(3~)2:----:3,----,3'-l1 = 118 - 61 = _11_21 = 6 ,.: 4 . 3 - 1 2 2
2. Encuentre el conjunto solución de :x ~xl ~ 4.
" Esta desigualdad equivale a
3-x 3-x - 16x - 4 - 17x - l -- - 4 > 0# > O*' > 0# 4x+l - 4x + l - 4x+l -
17x+l > ° 17x + l ° # - # <. 4x + l - 4x+l - ,
esta última se cumple si
17x + 1 ~ O Y 4x + 1 < O o bien 17x + 1 ::; O Y 4x + 1 > O; 17x ::; - 1 Y 4x > - 1; 17x ~-ly4x <- 1 o bien
1 1 x>--yx <-- ohien
- 17 4
x E - ~· -~l . 4 · 17
Por lo que el conjunto solución es precisamente
3. Dada la siguiente función
¡(x) = x, + 1 si ° < x < 3; {
13x + 1 1 si x ::; O;
-3 si x ~ 3 ,
obtener la gráfica de J, su dominio, su rango y sus raíces.
{
. 1 SI X < --'
f(x)
10 --------------
------- ·5 ---------
-3 ----------- -
Para esta gráfica hemos tabulado los valores: ¡ ( -2) = 5; ¡ ( - ~) = O & ¡ (O) = 1.
Dominio: DI = IR,RI = {-3}U[0,+oo).
y 1 •.• 1 a umca rruz es x = -3'
4. Expresar como cociente de dos enteros el número x = 20.58.
~ Sea
x
x = 20.58 ;} l00x = 2058.58 ;} l00x - x = 2058.58 - 20.58 ;} 99x = 2038,
2038 entonces, x = """"99" '
1 5. Dadas ¡(x) = (x2 + 3)2 & g(x) = ----c==i::::~ Vi - (x + 6)2
(a) encontrar el dominio de ¡ y de 9
~ Dominio de ¡(x): DI = IR ,
Dominio de g(x):
D. = { x E IR 11 - (x + 6)2 > O} = {x E IR 1 (x + 6)2 < 1 } = = {x E IR 1I x + 6 1 < l} = {x E IR 1 - l < x + 6 < 1 } = = {x E R 1 -7 < x < - 5} = (-7, - 5) .
(b) Obtener (f2 + 4g){x)
~ Calculamos 4
(f2 + 4g)(x) = ¡2(x) + 4g(x) = (x2 + 3)4 + -;===i'=~ JI - (x + 6)2
(e) Expresar (f o g) (x) y dar su dominio
o
o
o
o
(f o g)(x) = flg(x) ) = f [ 1 ] = J I - (x + 6)2
[ ( 1 ) 2 ] 2 ( 1 ) 2 (1 _ 3X2 _ 36x _ 105) 2
= JI (x + 6)2 + 3 = 1 - x2 - 12x - 36 + 3 = _x2 - 12x - 35
= [-(3X 2
+36X+ 104)2 ; _(X2 + 12x + 35) x2 + 12x + 35
Dlog = {X E Dglg(X) E DI} = { XE (- 7, -5) I 1 2 E IR } = (-7, - 5) . J I - (x + 6)
(B) Segundo parcial
1. Calcule el siguiente límite: lím (v'x2 + 5x - x). x ...... -oo
T Racionalizando el numerador, tendremos:
v'X2 + 5x - X x2 + 5x - X2 5x 1 = v' x2 + 5x + x = -..¡rx'if2=;+=;5;=x~+-:-::x
1 1 ¡r, Multipliquemos el numerador y el denominador por - = -1 -1 = 2" si x < O, I - X X
como es el caso, pues x --+ -00, entonces:
por lo tanto:
~' - y1+;; + 1
lím (Jx2+5x-x) = lfm g = +oo, z-- - oo % __ 00 5 1 - 1 +
x
Como x --+ -00, entonces: -x --+ +00, x2 --+ +00 & J x2 + 5x --+ +00.
Por lo tanto, (Jx2 +5x-x) = ¡Jx2 +5x+(-x)) -> +00.
2. Calcule el siguiente límite: lím (~ - 3) x . %_0 X
T Vemos que
lím [(~-3)X] = lím(4 -3x)= 4-(3xO)=4 - 0 = 4. x-o x x-o
57
o
o
3. Sea la función f(x) = 2~2 + X - a x +x-2
(a) Determine su dominio y sus raíces .,. Dominio:
D, = {x E IR I X2 + X - 2 1'" O} = {x E IR I (x + 2)(x - 1) 1'" O} = IR - {- 2, 1} .
Raíces:
2 -1±v'1+24 -1±V25 - 1±5 {1; 2x +x - 3 = 0 #x = = = ---= 3
4 4 4 - "2'
Luego entonces, la raíz es x = - ~ , pues en x = 1, la función no está definida.
(b) Clasifique sus puntos de discontinuidad ? En x = -2 hay una discontinuidad infinita, pues
lím f (x) = Um _2 ->(~x_+""",-::.D,,-( X-,--,--I_) = lím _2x_+_3 = " (_-_1) " = +00 . %~-2- %~-2- (x + 2)(x - 1) % _ _ 2 - X + 2 0-
También 2x+3 "(-1) " lím f (x) = Um -- = - = - oo.
%- - 2+ %_-2+ X + 2 0+
En cambio, en x = 1 la discontinuidad es removible pues definiendo f (l) como
, 2x + 3 5 Um f(x ) = Um -- = -, %_ 1 %_1 X + 2 3
f(x) resultaría continua en x = 1.
(e) Dé las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales ? De lo visto en (b) se desprende que la recta x = -2 es la asíntota vertical y como
3 , 2x+3, 2 + - 2+02
hm f (x) = Um -- = hm ~2 = --O = - = 2, %_%00 %_±oo x + 2 Z_%OO 1 1 + 1 +-
x
comprobamos que y = 2 es la asíntota horizontal.
(d) Haga un bosquejo de la gráfica de f (x) 2 x 02 + O - 3 2 x O - 3 O - 3 -3 3
? Podemos tabular f(O ) = 02 + O _ 2 = 0 - 2 = 0- 2 = -2 = "2'
o
o
o
f (x l
-2 - 1 1
4. Bosqueje la gráfica de una función f( x) que cumple con las siguientes condiciones:
(a) f(x) = 1 si 4 < x < 6;
(b) lím f(x) = O Y lím f( x) = O; % _ _ 00 z_+oo
(e) f( - 2) = O;
(d) 1'(- 4) = O;
(e) lím f(x) = -00 y lím f (x ) = -00; %_0+ %_0-
(f) lím f(x) = lo x~6
Señale los puntos de discontinuidad esencial.
" Un bosquejo de la gráfica de la función ¡(x) es:
f (xl
1 -------- - -;-----".. -2
En", = O hay una discontinuidad infinita (esencial) .
o
5 D d I fu ., f () 3",3 + 14",2 - 27x + 4 . . a a a nCIon x = I encuentre el punto donde esa función no es contmua.
3x-4 ¿Cómo definiría la función en ese punto, para que ésta sea continua en todos los reales?
~ Como J(x) es racional, es continua en todos los reales menos en las raíces del denominador, es decir , es
continua en IR con exoepci6n de x cuando 3", - 4 = O <* 3", = 4 <* x = ~. 4
Para hacer continua a f( x) en 3' este valor tiene que ser también raíz del numerador y por lo tanto el numerador
tiene que ser divisible entre 3x - 4:
X2 + 6x - 1
- 3x3 + 4x2
+3x-4
O
por lo que, en efecto, 3x3 + 14x2 - 27x + 4 = (3x - 4)(x2 + 6x - 1) &
f () (3x - 4)(x2 + 6x - 1) 2 6 l· ..1. 4 x = =x + x- SIX r - 3
. 3x -4
Entonces, definiendo
f (~) = lím f(x) = lím (X2 + 6x _ 1) = (~) 2 + (6 x ~) _ 1 = 16 + 8 _ 1 = 16 + 63 = 79, 3 .-t . _ ! 3 3 9 9 9
. 4 f (x) resultaría contmua en x = 3.
o
1. Encuentre ~ en la ecuación y2(X2 - 1)2 + 3(2y3 - 1)2 = o.
" Derivemos implícitamente con respecto a x:
2yy'(x2 _1)2 + 2y2(X2 - 1)2x + 6(2y3 - 1) X 6y2y' = O =}
=} 12y(x2 _1 )2 + 36y2(2y3 - I)Jy' = 4xy2(i _ X2) =}
, 4xy2( 1 _ X2) 2xy(1 - X2) =} y = 2y(x2 - 1)2 + 36y2(2y3 - 1) = (X2 - 1)2 + 18y(2y' - 1) ·
Vemos que (x2 - 1)2 + 18y(2 y3 - 1) tiene que ser f. O.
o
(a) Puntos críticos y clasificación
.. Los puntos críticos serán las raíces de la derivada, esto es:
¡'(x) = 4x3 - 6x2 = 2x2(2x - 3) = O <o> x = O & x = ~ .
2
¡"(x) = 12x2 - 12x = 12x(x - 1) ,
¡"(O) = O,
61
por lo que no podemos decidir si es máximo o mínimo relativo con el criterio de la segunda derivada; analicemos la primera derivada:
3 ¡'(x) > 0 <0> 2x-3 > 0 <0> x > 2;
¡'(x) < O en (-00, D . Por lo que en x = O no hay valor extremo pues en (-oo,~ ) la función ¡ (x) es decreciente.
En cambio
¡" (D = 12 x ~ G -1) > O.
Por lo que en x = ~ la función tiene un mínimo lo cual coincide con que ¡(x) decrece en (-oo,~) y
crece en (~, +00 ).
o (b) Intervalos donde crece o bien decrece
'1' Acabamos de ver que ¡(x) es decreciente en ( -oo,~) yes creciente en (~, +00 ).
o (e) Puntos de inflexión
.. En x = O Y en x = 1 hay puntos de inflexión, pues ahí la segunda derivada vale cero y cambia de signo como se puede ver en la tabla:
Signo de
Intervalo x x -1 ¡"(x) = 12x(x - 1) ¡ (x) es cóncava hacia
x<O«I) - - + arriba
O<x<l + - - abajo
(O <) 1 < x + + + arriba
o (d) Los intervalos de concavidad
" Como acabamos de ver, la función f(x) es cóncava hacia arriba en (-- 00, O) yen (1, +00), Y es cóncava hacia abajo en (0,1).
o
fO) = or G -2) = 2; (-D = -~~ ~ -1.6875;
f(O) = O;
f(2) = O.
f Ix)
o -1
x
o
3. Dado que f(x) = ~ y siendo que h & 9 son funciones reales de variable real, halle la derivada f'(x). x + 1
,. Supongamos que h & 9 son funciones derivables¡ entonces:
cr;-;- 2x (hog)'(x) x vx- + 1 - cr;-;-(hog)(x)
f'(x) = 2VX2 + 1 X2 + 1
h'[g(x)[g'(x)"'x2 + 1 - ~(h o g)(x) vx- + 1 = -------------x~2~+~I~~~-------
h'[g(x)[g'(x)(x2 + 1) - x(h o g)(x) (X2 + 1)3/2
4. Demostrar que entre todos los rectángulos de área dada, el de menor perímetro es el cuadrado.
o
La función que queremos minimizar es P = 2x + 2y.
A su vez estas variables X, y están relacionadas, pues el área del rectángulo es Aa = xy, por lo que, por ejemplo,
y = ~; ahora, sustituyendo este valor en la fórmula del perímetro, lo tendremos expresado como función de x
una única variable x:
Sus puntos críticos son cuando la derivada vale O:
P'(x) = 2- 2~ = 0 <* 2~ = 2 <* X2 = Ao<* x = VAo.
Este resultado es efectivamente un mínimo, pues P"(x) = 4~ > O Y también x
Constatamos así que x = y , es decir , que el rectángulo buscado es realmente un cuadrado.
o
(A) Primer parcial
'1' Esta desigualdad es equivalente a
2x - 9 -->8. x-l -
2x-9 -8> 0.,. 2x-9 -8x+8 = - 6x - 1 = _6x+1 > 0 .,. 6x+1 < O. x-1 - x - l x-1 x-1 - x - 1 -
y esta última se cumple si
6x+ 1 ~ 0&x - 1 < 0 obien
6x ~ - 1 & x < 1 o bien 1
x > - - & x < 1 o bien - 6
xE [- ~,1) o bien
2. Resuelva la desigualdad 2x2 +7x - 5::; 2x - 2.
'1' La desigualdad equivale a
6x + 1 ::; O & x - 1 > O;
6x::; - 1 & x > 1; 1
x< -- &x>1' - 6 '
2x2 + 7x - 5 - 2x + 2 ::; O ~ 2x2 + 5x - 3 ::; O.
Resolvamos la igualdad
2x2+5x-3 = O ~ x = = --- = 2 ' 4 4 - 3 .
65
o
y entonces, 2x2 + 5x - 3 = 2 (x - ~) (x + 3); el signo de este trinomio nos lo da la tabla siguiente:
Signo de
x < - 3 « ~) - - + -3 < x < ! + - -
x> ! (> - 3) + + +
Por lo que el conjunto solución de la desigualdad propuesta es [-3, ~ l.
3. Dada la función
obtener la gráfica de f , su dominio, rango y raíces.
,. Como
si 2 ~ XI
X2 - 3 ~ O <* X2 ~ 3 <* Ixl ~ V3 <* x ~ V3 o bien x :o; -V3, entonces,
I 2 I {x 2
- 3 si V3 :o; x < 2 = { _ x 2 + 3
f(x) = x - 3 = _(x2 _ 3) si _ 1 < x < V3 x2 - 3
Tabulamos f( - 2) = - 7, f(-I) = 2, f(O) = 3, f(V3) = O, f(2) = 1.
Por lo que la gráfica de f(x) es:
-2 -1
Raíz: x = V3.
1 ..f3 2
x
o
o
x - 1
(a) Obtenga, reduciendo a su mínima expresión, ( 1;. g) (x), así como (g o I)(x)
~ Calculamos
1
( 1 - g) (x) = I(x) - g(x) = J4=X - X2=l = (x 2
- 1)J4=X - 1 ; j2 j2(x) 4 - x (4 - x)(x2 - 1)
(g o I)(x) = glf(x) ] = g( "'4 - x) = 4 _ ~ _ 1 = 3 ~ x
(b) Obtenga los dominios de 1, g, 1 - g, gol, 1;. 9
T Dominios:
DI = {x E IR 14 -x 2: O} = {X E IR Ix :S 4} = (-00,4];
Dg = { x E IR 1 x2 - 1 i' O} = { x E IR 1 x2 i- 1 } = { x E IR 11 xli- 1 } =
= { x E IR 1 x i' ± I } = IR - { ±I l ;
DI _g = DI nDg = (-00,4]- {± l l = (- 00, - 1) U (- I , I)U (1, 4] ;
Dgol = {x E DI I/(x) E g(x) } = {x E (- 00,4] 1 "'4 - x i' ± I } =
= { x E (-00,4]14 - x i' 1 } = { x E (-00, 4] 1 x i' 4 - 1 } =
= { x E (-00,4] 1 x n } = (- 00,3) U (3, 4] ;
D~ = DI_gntDI - {x E IR I/(x) = O}] = I
= [(-oo,4]-{ ± l}]n[( -oo, 4]- {XE IR 1J4=X=O}] =
= [( -00,4] - {±t l] n [( - 00,4]- {4l] = [( - 00,4] - ( ± I l ] n (-00,4) =
= (-00,4) - {±l} = (-00, - 1) U (- I , I)U(I,4) .
5. Exprese el área de un triángulo equilátero como función de la longitud de uno de sus lados.
~ Usamos la figura siguiente:
Por el teorema de Pitágoras, la altura h del triángulo vale
h=JX2- x 4
2 =J¡X2= V;X.
1 y'3 y'3 2 Aó(X) = -x-x = -x .
2 2 4 o
(B) Segundo parcial
1. Calcular el siguiente límite: lím ../X - 1 . %- 1 X - 1
T Racionalioemos el numerador multiplicando arriba y abajo por ../X + 1, que es el binomio conjugado del numerador:
../X-l x-l 1 --- si x # 1, luego x-l (x - l)(../X+l) ../X + 1
lím ../X - 1 = lím __ 1_ = __ 1_ = _1_ = ~ . • _1 X - 1 ._1 ../X + 1 JI + 1 1 + 1 2
2 Cal 1 l ·· 1" l' 3x + 4 . cu ar e sIgUlente Imite: 1m '-- 00 ,,(2x2 + 5
... Observemos que
para x < 0, como será el caso pues vamos a hacer que x tienda a -oo. Entonces:
lím 3x + 4 = lím _ 3 + ; = _ 3 + O =_~ ( 4) ' --00 v'2x2 + 5 '--00 J 2 + :2 v'2 + O v'2 .
X 2 - 1 3. Para la función f(x) = --2' obtener:
4 - x
(a) Dominio y puntos de intersección con el eje x
o
o
... Como es una función racional , su dominio es todo IR excepto las raíces del denominador, es decir, los x tales que
4 - x 2 = O <* X2 = 4 <* Ix l = 2 <* x = ±2 .
Por lo que dominio de f: DI = IR - { ±2}.
La gráfica de la función interseca al eje x cuando f(x) = O, esto es, cuando
X2 - 1 = O <* X2 = 1 <* Ixl = 1 <* x = ±1 .
o
Global, eval uación 7
(b) Intervalos de continuidad " En (-00, - 2) U (-2,2) U (2, +00) f(x ) es continua, debido a que es una función racional.
(e) Ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales
" Tenemos que
1, f ( ) l ' x2 - I 1m x = 1m = =fOO , ._-2' .--2' (2 + x)(2 - x)
69
o
Por lo que la recta x = - 2 es una asíntota vertical; pero, como la función es par. la recta x = 2 también es asíntota vertical. Ahora vemos que
I , 1 - 2 1 - 0 1
lím f(x) = 11m -4 x = - - = - = - 1 , x - -±oo x-deo _ _ 1 0-1 - 1
X2
Por lo que la recta y = - 1 es asíntota horizontal.
(d) Bosquejo gráfico I
" Tabulamos feO ) = - ¡' La gráfica de la función f( x) es:
f (x l
- 2 - 1 - 1
4. Determine los valores de las constantes e & k que hacen a la función
f( X) = {:+k - 2x
continua en todo R; dibuje la gráfica de esa función,
" Tenemos
x
lím f(x) = I = f(l) & lím f( x) = e + k; luego c + k = 1, si queremos que f sea continua en x = 1. %_1 - %_1+
o
o
Análogamente lím f(x) = 4c+ k & f(4) = -8 = lím f(x) , por lo que 4c + k = - 8, para que f sea continua r __ 4 - %-4 +
en x = 4.
Para que f sea continua en IR, habida cuenta que es lineal en (-00, 11,(1, 4) yen (4,+00), neoesitamos solamente que sea continua en x = 1 yen x = 4, por lo que
{ C+k = l ;
4c+k = -8 .
Resolvamos este sistema de dos ecuaciones con dos inc

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